ahora

N.9 EXTRAÌDO DEL TEXTO: ELEMENTOS PRÀCTICOS DE MICROECONOMÌA.(J.M. BENINCASA)
Nº 9: Maximizar de la función de utilidad. Efecto ingreso y efecto
sustitución. Determinación de la demanda individual de bienes.
Datos:
dos bienes: x e y (NORMALES)
Px = 8
Py = 3
I = 200
Determinar analíticamente las cantidades de x e y que debe comprar el consumidor para
maximizar su utilidad:
Datos: Y = U /x + 5
Paso I: Los extremos:
y = I / Py - Px . x
y = 200 / 3 - 8 / 3 . x
x= 0y = 66,6
y = 0x = 25 o sea y = 66,6 - 8 / 3. 25
y = 66,6 - 66,6 = 0
Paso II Maximizar la función utilidad
Y=U/x+5
Max. U = y (x + 5)
= yx + y5
Sujeta Restricción
R = Px X + Py . Y - I
R = 8x + 3y - 200 = 0 (condición de existencia de extremo)
L = yx + 5y +  (8x + 3y - 200)
L / x = y + 8 = 0
y = - 8
y / x + 5 = 8/3
L / y = x + 3 = 0
x + 5 = - 3
L /  = 8x + 3y - 200 = 0
y = 8 / 3 (x + 5)
y = 8 / 3 x + 40 / 3
(1)
8x + 3  8 / 3 x + 40 / 3  = 200
8x + 8x = 200 - 40
16x = 160
x = 40
Reemplazo en I
y = 8 / 3 .10 + 40 / 3
y = 40
Para gràficar la curva de indiferencia
U = 40 . 10 + 40 .5 =
400 + 200 = 600
x
600/x +5 = y
0
120
10
40
Curva de indiferencia: Utilidad = 600.
20
24
Punto de máxima utilidad = A
30
17,1
Suponemos que todo se mantiene igual pero
Px disminuye a Px = 4
x = 0y = 66,6
y = 200 / 3 - 4 / 3x
y = 0x = 50
Max. U = yx + 5y
R = 4x + 3y - 200 = 0
L = yx + 5y +   4x + 3y -200 
L / x = y + 4 = 0
y/x+5=4/3
L / y = x + 5 + 3 = 0
y = 4/3x (x + 5)
L /  = 4x + 3y -200 = 0
y = 4/3x + 20/3 (1)
4x + 3 ( 4/3x + 20/3) = 200
4x + 4x = 200 - 20
8x = 180
x = 22,5
y = 4/5 . 22,5 + 20/3
y = 36,6
Para graficar la curva de indiferencia
U = 36,6 . 22,5 + 5 . 36,6
U = 823,5 + 183
U = 1006,5
x
1006/x +5 = y
0
201,3
22,5
36,6
Curva de indiferencia: Utilidad = 1006,5.
35
25,6
Punto de máxima utilidad = B
El consumidor experimenta un aumento en el ingreso, ya que se ubica en el punto B de
mayor satisfacción, debido a una disminución del precio del bien x
Antes de la disminución del precio del bien x, consume en max. utilidad X = 10
y = 40
Total 50 unidades
Después de la disminución del precio del bien x, consume en max utilidad :
x = 22,5
y = 36,6
Total 59,1 unidades
Sacrifica o sustituye muy poco del bien y, para consumir mayor cantidad del bien x.
Para analizar el efecto sustitución, trasladamos paralelamente, la recta de presupuesto
P, intersectándose con la curva de indiferencia original en el punto C. Observemos que
ha aumentado la cantidad de los bienes, a un precio menor. En otras paralelas al
disminuir el precio del bien x, se consume mayor cantidad de dicho bien A = x = 10
Px = 8
C = x = 20
Px = 4
Graficamos la demanda del bien x en función del precio y tendremos
N 9 Ver Fig. 3 y 4 ( Link)
N.11 EXTRAÌDO DEL TEXTO: ELEMENTOS PRÀCTICOS DE MICROECONOMÌA.(J.M. BENINCASA)
N 11 Maximizaciòn del ingreso total a travès de la funciòn de demanda
Dada la función de demanda
P = 45/q + 3 - 2,5
Determinar el precio y el nivel de producción que aseguran el ingreso total máximo.
IT = p.q
IT = 45q/q + 3 - 2,5) q
IT = 45q/q + 3 - 2,5q
Img = 135/(q + 3)2 - 2,5 = 0
Img = 135/(q + 3)2.= 2,5
Img = 135/2,5 = (q + 3)2
54 = q2 + 6q + 9
q2 + 6q - 45 = 0
-6/2 ± √36/4 + 45
-3 ± √36
Interesa el valor positivo (Maximización).
q = -3 + 6 = 3
q=3
IT = 45 . 3/(3 + 3) - 2,5 . 3
IT = 135/6 - 7,5
IT = 15
p = 45/3+3 - 2,5
p=5
El ingreso marginal cuando q = 0 será:
Img = 135/(0 + 3)2 - 2,5 = 0
Img = 135/9 - 2,5
Img = 12,5
Por lo tanto el precio 5 y el nivel de producción 3 aseguran el ingreso total máximo.
N 11 Ver Fig. 5 (Link)
Nº 12 : Tarea para desarrollar.
Dada la función de demanda:
p = 84,4/q + 5,6 - 4,7
Determinar el precio y el nivel de producción que aseguran el ingreso total
máximo
N.13 EXTRAÌDO DEL TEXTO: ELEMENTOS PRÀCTICOS DE MICROECONOMÌA.(J.M. BENINCASA)
N 13 Valor del ingreso marginal: Fòrmula Amoroso-Robinson
1) Dada la función de demanda
pi = ai - bi qi
siendo el ingreso total inicial:
Ii = pi qi
y suponiendo un cambio en el precio y la cantidad demandada distinta a cero:
Ii = (pi + pi) (qi + qi)
siendo
pi  qi
pi  qi  0
determinar
La fòrmula de Amoroso-Robinson
Que sucedería si qi  0 y pi = 0 
Si
pi = ai - bi qi
entonces
Ii = ai qi - bi qi2
Ii = (pi + pi) (qi + qi)
Ii = (ai - bi qi) +  (ai - bi qi) (qi + qi)
Ii = (aiqi - bi qi2) + (aiqi - bi qi2) + (aiqi + aiqi) - (bi qi2 - biqi)
Si II - II = I y siendo II  II
entonces
II = (ayqi - bi qi2) + (aiqi +biqi2)
(ayqi - bi qi2) = piqi = (ay - biqi) qi
(ayqi + bi qi2) = piqi = (ay - biqi) qi
en términos de calculo diferencial
dI = pidqi + dpiqi
dI/dqi = dpiqi/dqi + pi
dI/dqi = dpi/dqi . qi + pi (1)
se analiza la expresión señalada
e = q/p . p/q
l/e = p/q . q/p
p. l/e = p/q . q
(2)
en términos de calculo diferencial la expresión (2) será
p. l/e = dp/dq . q
entonces redefiniendo la expresión (1) será
dI/dqi = I = p. l/e + p
I= p (1 - l/e)
Si qi  0 y pi = 0 entonces el valor de la inversa de la elasticidad-precio de demanda
será igual a cero, por tanto el ingreso marginal equivaldrá al precio
Nº 14 : Tarea para desarrollar.
El lector deberá determinar el valor del ingreso marginal, aplicando la formula de
Amoroso-Robinson
a) En el caso en el que la inversa de la elasticidad-precio de demanda es igual a 1.
b) En el caso de que la variación de precio y cantidad demandada sea igual a 1 y
-1 respectivamente, y en el caso de una función de demanda p = 84,4/q + 5,6
- 4,7
para p = 5
N.13 EXTRAÌDO DEL TEXTO: ELEMENTOS PRÀCTICOS DE MICROECONOMÌA.(J.M. BENINCASA)
N 31 Costos de Producción. Relaciones entre el Costo Marginal y el Costo
Medio Total
Dato:
Costo Total = 50 + 14x + 0,02x2
¿ Cual es el Costo Medio Total ?
CMeT = CT/x = 50/x + 14 + 0,02x
A qué nivel dará el mínimo costo por unidad ?
dCMeT/dx = -50/x2 + 0,02 = 0
= 50/x2 = 0,02
= x2 = 50/0,02 = 2500
=  2500
= 50
Comprobar que el Costo Marginal corta en su punto mínimo (al Costo Medio Total) 
Cmg = CMeT
Cmg = dCT/dx = 14 + 0,02x
14 + 0,04x = 50/x + 14 + 0,02x
50/x = 14 + 0,04x - 14 + 0,02x
50/x = 0,04x - 0,02x
50/x = 0,02x
50 = 0,02x2
x2 = 50/0,02
x2 = 2500
x = 2500
x = 50
Cual es el costo a ese mínimo 
Cmg = 14 + 0,04 . 50 = 16
CMeT = 50/50 + 14 + 0,02 . 50 = 16
¿ Cuál es el punto mínimo del Cmg 
Cmg = 14 + 0,04x
d'Cmg = 0,04 (mayor que cero, o sea, un mínimo)
Cmg = 14 + 0,04 . 0,04 = 14,0016
(N 31 Ver Fig. 10) (Link)
Nº 32 : Tarea para desarrollar.
Teniendo en cuenta la función de Costo Total:
CT = 0,0778x2 + 54,46x + 194,5
Determinar:
a) ¿Cuál es el Costo Medio Total ?
b) ¿A que nivel dará el mínimo costo por unidad ?
c) Comprobar que el Costo Marginal corta su punto mínimo al Costo
Medio Total ?
d) ¿Cuál es el Costo a ese mínimo ? y e) ¿Cuál es el punto mínimo del Costo Marginal ?
y con un precio de $ 10,2 por unidad, determinar los puntos (a), (b), (c) y (d) del ejercicio
precedente.
N 37 Comportamiento de la oferta y la demanda global en
competencia perfecta, bajo supuesto de predeterminación del precio.
Análisis estático.
El precio y la cantidad de equilibrio en un mercado totalmente libre surge de la
intersección resultante entre las curvas de oferta y demanda del bien en cuestión.
Grafique la implantación, por parte del Estado, de un precio máximo (inferior al precio de
equilibrio) y de un precio mínimo (superior al precio de equilibrio).
Analice las consecuencias económicas de dicha intervención Estatal en el mercado y las
posibles soluciones que el mismo Estado puede proponer para restablecer el equilibrio en el
mercado afectado.
Suponiendo un equilibrio inicial, la implantación de un precio máximo OC la cantidad
demandada aumentara mientras que la oferta se reducirá, produciéndose una escasez por el
segmento RS. La posible solución a este caso, puede estar dada por la aplicación de subsidios
a la producción, lo que permitirá al oferente retomar un punto de producción inicial B, a fin de
satisfacer sus necesidades potenciales de rentabilidad (gráfica 12).
La implantación de un precio mínimo ON, la cantidad demandada se reducirá mientras que la
oferta aumentara, produciéndose un excedente dado por el segmento FG. La posible solución
a este caso, puede estar dado por la aplicación de racionamientos a la producción, lo que
permitirá al oferente retomar su punto de producción inicial, a fin de obtener la rentabilidad
anterior que dicha producción le otorgaba
(N 37 Ver Fig. 12 y 13) (Link)
N 43 Efecto de la fijaciòn de impuesto y otorgamiento de subsidio en el
equilibrio.
Datos:
D = 700 - 2p
S = -100 + 4p
Determinar:
Precio y cantidad de equilibrio.
El efecto de la fijación de un precio máximo de $ 80 por unidad.
El subsidio que el Estado deberá otorgar a los productores para lograr que estos
satisfagan la totalidad de la demanda.
1) S = D
-100 + 4p = 700 - 2p
p = 800
p = 133,3
q = 433,3
2) S = -100 + 4p = -100 + 4 . 80 = 220
D = 700 - 2p = 700 - 80 = 540
540 = -100 + 4p
640 = 4p
p = 160
3) p max = p - a
80 = 160 - s
s = 160 - 80
s = 80
p max = p - s
p max = S + 100/4 - s
S = (p + 80).4 - 100
S = - 100+ 320 + 4p
S' = 220 + 4p
S' = D
220 = 4p = 700 - 2p
6p = 480
p = 80
q = 540
(N 43 Ver Fig. 16) (Link)
Nº 44 : Tarea para desarrollar.
Datos:
D = 40 - p
S = -20 + 3p
Determinar:
Cantidad y precio de equilibrio.
El efecto de la fijación de un precio mínimo de $ 18 por unidad.
El subsidio del Estado a los consumidores.
N 47 Maximización de beneficio en el monopolio puro. Condición de 1
y 2 grado. Alternativa competitiva.
Determinar con los siguientes datos, el beneficio máximo del monopolista, verificando
como es el ritmo de crecimiento del costo marginal con respecto al ingreso marginal, y
como se alteraría
el beneficio en el caso que este monopolista actuara como un
competidor perfecto. Gráfica.
Datos
p = 100 - 2q
CT = 50 + 8q
IT = 100q - 2q2
CT = 50 + 8q
Cmg = CT= 8
II = (100q - 2q2) - (50 + 8q)
Img = Cmg
100 - 4q = 8
q = 23
p = 100 - 2q
p = 54
II = (100 . 23 - 2 .(23)2) - (50 + 8 . 23)
II = 2.300 - 1.058 - 234
II =1008
Cmg' = CT'' = 0
Img' = IT'' = -4
El ritmo de incremento del Costo Marginal (cero) es mayor que el del Ingreso Marginal (4).
Si el monopolista actuara como competidor perfecto igualara:
p = Cmg
100 - 2q = 8
q = 46
p=8
II = (100 . 46 - 2 .(46)2) - (50 + 8 . 46)
II = 4.600 - 4.232 - 418
II = 50
Estará vendiendo una cantidad mayor pero a un precio menor, obteniendo beneficios
negativos. Si lo analizamos en una gráfica de equilibrio a corto plazo del monopolista, si actúa
como un competidor perfecto, el punto donde se iguala el p = Cmg, el p 1 es menor que p2 y la
cantidad q1 mayor q2.
N 47 Ver Fig. 19 (Link)
Nº 48 : Tarea para desarrollar.
Siendo el beneficio II = I(q) - C(q) determinar mediante el cálculo diferencial, las
condiciones de primer y segundo orden o grado que aseguran el máximo beneficio para
un monopolista puro de oferta.
N 53 Monopolio regulado por un impuesto específico
Una empresa monopólica posee la siguiente curva de demanda por su producto y su
función de costos de producción
p = 304 - 2q
CT = 500 + 4q + 8q2
Determinar el nivel de producción que asegura el máximo beneficio y el beneficio del
monopolista si el gobierno establece un impuesto sobre cada unidad producida de $ 20.por unidad.
IT = p . q
= (304 - 2q) . q
= 304,q - 2q2
Img = 304 - 4q
CT = 500 + 4q + 8q2
Cmg = 4 + 16q
Img = Cmg
304 - 4q = 4 + 16q
300 = 20q
q = 300/20
q = 15
p = 304 - 2 . 15
= 304 - 30
Img = Cmg
304 - 4 . 15 = 4 + 16 .15
244 = 244
II = IT - CT
= 274 . 15 - 500 - 4 . 15 - 8 . 225
4.110 - 500 - 60 - 1800
II = 1.750
Aplicando el impuesto:
CT = 500 + 4q + 8q2 + tq
Siendo t = 20
CT = 500 + 24q + 8q2
Cmg = Img
24 + 16q = 304 - 4q
20q = 280
q = 14
p = 304 - 2 . 14
p = 276
II = IT - CT
II = 1.460
Nº 54 : Tarea para desarrollar.
Teniendo en cuenta los datos del ejercicio anterior, determinar el beneficio máximo
suponiendo que la función de demanda es: p = 274
N 55 Monopolio regulado por un impuesto fijo o global
Una empresa monopólica posee la siguiente curva de demanda por su producto y su
función de costos de producción:
p = 125 - 2q
CT = 84 + 35q
Determinar el nivel de producción que asegura el máximo beneficio y el beneficio del
monopolista si el gobierno establece un impuesto sobre los ingresos por ventas del 12$.
Cmg = CT' = 35
IT = p . q = 125q - 2q2
IT' = Img = 125 - 4q
Img = Cmg
125 - 4q = 35
-4q = -90
q = 22,5
p = 80
II = IT - CT
= 125q - 2q2 - 84 - 35q
= 125 . 22,5 - 2 . (22,5)2 - 84 - 35 . 22,5
II = 928,5
El nivel de producción q = 22,5 asegura un máximo beneficio de II = 928,5.Impuesto t = 0,12
II = IT - CT tIT
= (1 - t) IT - CT
= (1 - 0,12) . (125q - 2q2) - 84 - 35q
= 0,88 . (125q - 2q2) - 84 - 35q
= 110q - 1,76q2 - 84 - 35q
= -1,76q2 + 75q - 84
(1)
dIT/dq = -3,52q + 75 = 0
q = 75/3,52
q = 21,31
Reemplazando en la expresión (1)
II = -1,76 . 454,1 + 75 . 21,34 - 84
= -799,2 + 1.598,2 - 84
II = 715
El impuesto aplicado sobre los ingresos por ventas modifica el beneficio disminuyéndolo.
.
Nº 56 : Tarea para desarrollar.
Teniendo en cuenta los datos del ejercicio precedente, analizar el caso de un impuesto
sobre los beneficios del 10% (dejando sin efecto el impuesto sobre las ventas).
Nº 1: Maximización de la función de la utilidad bajo restricción presupuestaria
La función de utilidad de una persona es:
U = xy + 5y
Sujeta a la restricción presupuestaria de su ingreso y precio de los bienes x e y.
I = 400
Px = 16
Py = 3
Gasta todo su ingreso en el consumo de la combinación óptima que le maximiza su
utilidad.
Determinar, por el método de multiplicadores de Lagrange y Hessiano Orlado, cuál es la
combinación de bienes que optimiza su satisfacción.
max
U = xy + 5y
R = 16x + 3y – 400
L = xy + 5y +  [16x + 3y - 400]
dy / dx = y + 16 = 0
y = -16
dL / dy = x + 5 + 3 = 0
x + 5y = -3
dL / d = 16x + 3y – 400 = 0
(1)
y / x+5 = 16 / 3
y = 16 / 3 (x + 5)
y = 16 / 3x + 80 / 3
reemplazando (2) en (1):
16 x + 3 ( 16/3x + 80/3) = 400
(2)
16 x + 16 x = 400 – 80
32x = 320
x = 10
(3)
reemplazando (3) en (2)
y = 16/ 3 . 10 + 80 / 3
y = 80
Planteo del Hessiano Orlado
H
R
Rx
Ry
Rx
Rxx
Ryx
Ry
Rxy
Ryy
0
16
3
=
16
0
1
3
1
0
Resolviendo por Ley Sarrus
0
16
3
0
16
16
0
1
16
0
3
1
0
3
1
=
48 + 48 = 96
96 – 0 = 96  0
(máximo)
N 2 Tarea para desarrollar
Datos
U = 0,5xy + 2,5y
R = 8x + 1,5y - 200
Encontrar el máximo de dicha función por el método de Lagrange y Hessiano Orlado.
N 3: Maximización de la función de utilidad. La Utilidad marginal del ingreso.
Encontrar el máximo de una función
U = 4xy + 2y
Bajo restricción única
R = 8x + 3y – 250
Por el método de Lagrange
L = 4xy + 2y +  [ 8x + 3y - 250 ]
dL/dx = 4y + 8 = 0
dL/dy = 4x + 2 +3 = 0
dL / d = 8x + 3y - 250 = 0
(1)
4y / 4x + 2 = -8 /-3
4y = 8 / 3 ( 4x +2 )
y = 8 / 3x + 4 / 3
Reemplazando en (2) en (1)
8x + 3 8 / 3x + 4 / 3 = 250
8x + 8x + 4 = 250
16x = 256
x = 15,4
Reemplazando el valor de x en (2) hallamos el valor de y.
y = 42,4
Hallando el valor del multiplicador de Lagrange  , nos indicara cuanto habrá de aumentarse a
la utilidad si el presupuesto de ingresos se aumentase de 250 a 251 ; por tanto no es mas que
la productividad marginal del dinero.
dL / dx = 4y + 8 = 0
dL / dy = 4x + 2 +3 = 0
4 . 42,4 = - 8
169,6 = - 8
 = - 21,2
4 . 15,4 + 2 = - 3
63,6 = - 3
 = - 63,6 / 3
 = - 21,2
R = 8x + 3y - 251 =
8 . 15,4 + 3 . 42,4 - 251 =
123,2 + 127,2 - 251 = - 0,6
(-0,6) . (- 21,2) = 12,72
Por tanto si aumentamos el ingreso en unidad, incrementara la utilidad en 12,72
N 3 Fig. 1 y 2 (Link)
N 4 Tarea para dearrollar.
Datos
U = 4xy + 2y
R = 8x + 3y - 250
Cuanto aumentara la utilidad si el presupuesto de ingresos aumenta en una unidad ?
Gráfica.
N5
N 5 : Determinación de las características de los bienes según su
comportamiento frente al ingreso y al precio.
Determinar con el siguiente cuadro de datos
Ingreso
Pan de Trigo/Kg.
Pan de Soja/Kg.
q1
q2
858
0,65
0,40
967
0,70
0,50
1.022
0,81
0,70
1.215
1,42
0,30
2.000
1,49
0,20
a) Si el bien q1 es un bien inferior o normal para cada nivel de ingreso.
b) Si el bien q2 es un bien inferior o normal para cada nivel de ingreso.
Justifique las respuestas.
a) q1 Pan de Trigo / Kg.:
Normal, debido a la relación directa entre ingreso (aumenta) y cantidad demandada del bien
(aumenta).
b) q2 Pan de Soja / Kg.:
Normal, hasta el nivel de ingreso 1022. A partir de allí, q2 se comporta como un bien inferior
(debido a la relación inversa entre ingreso y cantidad demandada del bien).
N 6 : Determinación de las características de los bienes según su
comportamiento frente al ingreso y al precio.
Teniendo en cuenta el cuadro de datos del ejercicio precedente:
Determinar la elasticidad-ingreso de ambos productos (entre los niveles de ingreso 967
y 1022).
Determinar la elasticidad precio de ambos productos, suponiendo que el precio del pan
de trigo y del pan de soja con 2,0 ; 2,2 ; 2,5 ; 2,9 y 2,3 para el primero y 1,6 ; 1,8 ; 1,9 ; 2,0
y 2,1 para el segundo (en cada caso el orden expuesto de los precios corresponde a
cada nivel de ingreso).
Determinar la relación entre ambos bienes, es decir, como se comportan el uno respecto
del otro.
N 7 : Elasticidad cruzada de demanda como determinante del
comportamiento de los bienes
Con el consiguiente cuadro de datos comprobar que los bienes café-té y azúcar se
comportan como sustitutos y complementarios respectivamente mediante el calculo de
la elasticidad cruzada de demanda.
PERIODO I
PERIODO II
café (y)
te (x)
azúcar (z)
te (x)
PRECIO
7,5y1
3,1x1
4,3z1
3,1x'1
CANTIDAD
558
350Dx1
250
350D'x1
PRECIO
8,5y2
3,1
5,3z2
3,1
CANTIDAD
508,5
457,1Dx2
158
248D'x2
I Café-Té
e
x/y =  Qx /  Py . Py / Qx = Dx1 - Dx2 / y1 - y2 .y1 / Dx1
=350 - 457,1 / 7,5 - 8,5 . 7,5 / 350
=-107,1 / -1. 0,0214
=2,29 (mayor que cero)
Cuando el precio del bien café (y) aumenta, del periodo I al periodo II, de 7,5 (y 1) a 8,5 (y2) la
cantidad demandada del bien te (x) responde aumentando de 350 (Dx 1) a 457,1 (Dx2).Se infiere
que los bienes café-té se comportan como sustitutivos y el valor de la elasticidad cruzada es
mayor que cero (positiva).
II Azúcar Te
e
x/z =  Qx /  Pz . Pz / Qx
e
x/z =  Qx /  Pz . Pz / Qx = D'x1 - D'xz / z1 - z2 .z1 / D'x1
=350 - 248 / 4,3 / 350
=-102 / 0,01228
=-1,25 (menor que cero)
Cuando el precio del bien azúcar (z) aumenta, del periodo I al II, de 4,3 (z1) a 5,3 (z2), la
elasticidad demandada del bien te (x) responde disminuyendo de 350 (D'x 1) a 248 (D'x2).Se
infiere que los bienes Azúcar-Té se comportan como complementarios y el valor de la
elasticidad cruzada es menor que cero (negativa).
N 8 Tarea para desarrollar.
El consumo promedio de aves de un país asciende de 135 Kg. anuales a 145 Kg.
anuales cuando el precio de la carne vacuna asciende de $ 1.450 a $ 2.450.Determinar la elasticidad correspondiente explicando el resultado.
Dato
CT = CV + CF
CV = 1/6q3 - 5/3q2 + 10q
CF = 100
CMV = CV/q = = 1/6q2 - 5/3q + 10
CMF = CF/q = 100/q
CMT = CMV = CMF = = 1/6q2 - 5/3q + 10 + 100/q
Cmg = dCT/dq = 3/6q2 - 10/3q + 10 =
= 1/2q2 - 10/3q + 10
El mínimo de la curva de Cmg corresponde al punto de inflexión de la curva de costo total.
Para la existencia de un punto de inflexión deben cumplirse las siguientes condiciones
La derivada parcial segunda de Cmg debe ser distinta que cero.
La derivada parcial tercera del CT deber ser distinta que cero.
La derivada parcial segunda del CT deber ser igual a la derivada parcial primera del Cmg.
Hay una correspondencia entre el CMT y el CT, el mínimo valor del CMT se halla donde se
produce la tangencia del vector (a) con la curva del CT (ver gráfica).
Cmg = 1/2q2 - 10/3q + 10
Cmg' = q - 10/3
(1)
Cm'' = 1 > 0 (mínimo)
Tomamos:
Cmg' = q - 10/3 = 0
q = 10/3 = 3,33
q = 3,33
Reemplazando en (1)
Cmg = 1/2 (3,33)2 - 10/3 (3,33) + 10
1/2 . 11,8 - 11,1 + 10
Cmg = 4,46
CMT = 1/6q2 - 5/3q + 10 + 100/q
(2)
CMT' = 1/3q - 5/3 - 100/q2 = 0
= 1/3q - 5/3 = 100/q2
= q2 (1/3q - 5/3)= 100
= 1/3q3 - 5/3q2 = 100
q = 8,86
Reemplazando en (1) y (2)
Cmg = CMT = 19,7
CMV' = 1/3q - 5/3
= q = 5/3 1/3
=q=5
Reemplazando en (1) y (3)
Cmg = CMV = 5,84
N 29 Ver Fig. 8 y 9 (Link)
Nº 45: Análisis dinámico del equilibrio de mercado, bajo competencia
perfecta.
Partiendo de un equilibrio entre oferta y demanda, plantear una oscilación dinámica
decreciente estable, recordando que el equilibrio para Marshall es estable si la curva de
oferta posee menor inclinación que la demanda.
ed = BC/CE . OP1/OQ1
OP1/OQ1 =ed . CE/BC
es = BC/AB . OP1/OQ1
OP1/OQ1 =es . AB/BC
ed . CE/BC = es . AE/BC
CE/BC  AB/BC
ed  es
N 45 Ver Fig. 17 (LinK)
N 49: Maximización del beneficio del monopolio puro, sujeto a la
restricción dada por la función de demanda y la de producción
Un monopolista utiliza un insumo x, que compra a un precio fijo w = 25, para producir su
producto Q. La función de demanda y de producción son:
P = 185 - 8q
q = 6 x
Determinar los valores de p, q y x para que los el monopolista maximiza sus beneficios.
IT = 185 (6x) - 8q (6x)
Img = 185 - 16q
CT = 25x
Cmg = 25
Img = Cmg
185 - 16q = 25
160 = 16q
q = 160/16
q =10
x = (10/6)2
x = (1,67)2
x = 2,79
p = 185 . 80
p = 105
N 49 Ver Fig. 20 (Link)
Nº 51: Monopolio discriminador de precios. Condiciòn para su
existencia.
Suponga la existencia de un monopolista que se enfrenta con la siguiente
función de Costos Total
CT = 15 + q
Además, coloca sus productos en dos mercados diferentes, los cuales presentan
las siguientes funciones
q1 = 16 - 2p1
q2 = 8 - p2
Determinar
Los valores de equilibrio, suponiendo la imposibilidad de separar los mercados.
Los valores de equilibrio, suponiendo la diferenciación de ambos mercados y el
beneficio máximo conjunto resultante.
Comparar los ambos resultados y fundamente la decisión que debería adoptar el
monopolista.
Gráfica.
a) La demanda total es la suma de las demandas de ambos mercados, por tanto
q = q1 + q2
q = 16 - 2p1 + 8 - p2
q = 24 - 3p
p = 8 - 1/3q
IT = p . q = 8q - 1/3q2
Img = dIT/dq = 8 - 2/3q
La condición de máximo beneficio resulta cuando
Img = Cmg
8 - 2/3q = 1
7 = 2/3q
q = 10,5
p = 11,5
II = 120,75 - 25,5
II = 95,25
b) Para el Mercado I
donde el Cmg es el mismo que considerando ambos mercados como un todo, entones
IT = 8q1 - 0,5q21
Img = dIT/dq1 = 8 - q1
Por tanto
8 - q1 = 1
q1 = 7
p1 = 4,5
III = 9,5
Para el Mercado
La condición de máximo beneficio resulta cuando
q2 = 8 - p2
p2 = 8 - q2
Img = Cmg
IT = 8q2 - q22
Img = 8 - 2q2
Img = Cmg
8 - 2q2 = 1
7 = 2q2
q2 = 3,5
p2 = 4,5
II = - 2,75
El beneficio máximo conjunto que resulta de discriminar los mercados
III + IIII = 9,5 - 2,75 = 6,75
Iiconjunto = 6,75
c) La comparación de ambos resultados permite deducir que el monopolista no
incrementa su beneficio al discriminar los mercados por lo que seria conveniente dejar
de lado dicha discriminación para actuar simplemente como existiera un solo tipo de
demanda. Esta conclusión puede afirmarse aun mas , si se tiene en cuenta la teoría
sobre monopolio discriminador la cual requiere como condición indispensable para la
discriminación de mercados la existencia de diferentes precios (en nuestro caso p 1 =
p2). La igualdad en los precios se da por la existencia de igual elasticidad de ambas ya
que
eI = eII = 0,143
N 51 Ver Fig. 21 (Link)
N 9 bis . El efecto sustitución y el efecto renta, para bienes normales o
superiores, anormales o inferiores y Giffen. Ecuación de E. Slutsky.
Desarrollar la ecuación de E. Slutsky, clasifique a los bienes en normales, anormales o
Giffen, partiendo del efecto ingreso y el efecto sustitución, y proyectar las demandas en
función del precio y del ingreso.
El objetivo es lograr a través del análisis de ambos efectos, el establecimiento de una relación
unívoca entre la demanda individual del consumidor y su comportamiento frente a
modificaciones exógenas del precio de los bienes y la importancia de dicha relación en la
clasificación de los mismos.
Partiendo de un punto de tangencia entre recta de presupuesto y curva de indiferencia (Z)
(Fig.N 9bis A), es de máxima utilidad si cumple dos condiciones, la primera , que el
consumidor gaste todo su ingreso en el consumo de una combinación de ambos bienes en
cantidades variables, y la segunda, que la razon de las utilidades marginales de cada uno de
los bienes, sea igual a la razon de sus respectivos precios relativos. Esto es así, debido a que
se supone los precios de ambos bienes y el ingreso del consumidor constantes.
Supongamos que el precio px disminuye a px*, esto hace que la recta de presupuesto se
expanda hacia el noreste del primer cuadrante carteciano ortogonal, en forma de “abanico”,
intersectandose en una curva de indiferencia mas alejada del origen o sea en el punto V. El
traslado de Z a V es el efecto total. Por lo tanto, el efecto total de un cambio de precios, es el
cambio en la cantidad demandada al pasar el consumidor de un punto de equilibrio a otro.
Se proyecta geométricamente la demanda en función del precio (N 9bis Fig. A´). Al cuantificar
el efecto total, desde el punto de vista analítico, determinando el determinante adjunto de cada
elemento del Hesiano Orlado, obtenemos la función denominada de Slustky. Este efecto total
puede descomponerse en dos: el efecto sustitución y el efecto ingreso o renta. El efecto
sustitución es el cambio en la cantidad demandada del bien, debido a un cambio en los precios,
manteniendo constante el nivel de utilidad. Trasladando en forma imaginaria una recta de
presupuesto paralela a la desplazada, se obtiene el punto de tangencia (W). El traslado de (Z)
a (W) es el efecto sustitución o variabilidad residual, que siempre es negativo debido a las
características de la curva de indiferencia convexa al origen, pendiente negativa y con tasa
marginal de sustitución (x/y) tambien negativa.
El efecto ingreso es el traslado de (W) a (V) y es el cambio en la cantidad demandada debido a
un cambio en el ingreso real. Proyectando geométricamente obtenemos la demanda en función
del ingreso (N 9bis Fig A´´). Antes de analizar el efecto ingreso se plantea una alternativa (n
9bis Fig. B). Se proyecta la demanda (Fig. B´´), si se compara la (Fig.A´´ y la B´´) resalta una
diferencia de pendiente ¿ En qué se basa esta diferencia?, en el tipo de bien, en nuestro primer
caso es un bien normal, en el segundo caso es un bien inferior. El efecto ingreso para un bien
normal es positivo y refuerza el efecto sustitución, al aumentar el ingreso real, aumenta la
cantidad demandada del bien. En cambio para un bien inferior el efecto ingreso es negativo y
reduce el efecto sustitución, al aumentar el ingreso real disminuye la cantidad demandada.
Una tercer alternativa es la denominada Giffen. Proyectase la (Fig. C a C´ y C´´) , aquí se
observa que el efecto ingreso es negativo y tan fuerte que absorve y anula el efecto sustitución.
En la Fig C´´) se observa que ante una variación en el ingreso real, la cantidad demandada se
reduce sustancialmente. Ademas se observa en la Fig.C´una relación directa entre precio y
cantidad demandada. Finalmente el efecto ingreso podrá ser positiva o negativa, esto depende
del tipo de bien en cuestión, o sea, si es superior, inferior o Giffen.
La ley de demanda se invalida para un bien inferior no sujeto a la paradoja Giffen? Si
proyectamos Fig. B´se observa que no. La ley de la demanda no se invalida debido a la
existencia funcional inversa entre precio y cantidad demandada.
Si se observa las Fig. A´´ B´´ y C´´, encontramos que la variación en el ingreso real (magnitud
cuantificable) es la misma, pero el efecto sobre la cantidad demandada es distinta. Esto se
debe a las ubicaciones de las curvas de indiferencia (Fig. A,B,C), planteando tres mapas de
curvas de indiferencia distintas con funciones de utilidad distintas y preferencias reveladas
distintas.
En la N 9bis Fig. A el efecto ingreso refuerza el efecto sustitución y los bienes son normales
porque cumplen con la ley de demanda en función del precio y del ingreso. En la N 9bis Fig.B
el efecto ingreso reduce el efecto sustitución y el bien es inferior porque cumple con la ley de
demanda en función del precio pero no del ingreso. En la N 9bis Fig. C el efecto ingreso anula
el efecto sustitución y los bienes son Giffen porque viola la Ley de demanda en función del
precio y del ingreso.
La función de E. Slustky será:
Max. U = f (x ,y)
Sujeta Restricción
I = pxX + pyY = 0
L = f(x,y) +  (px + py - I)
L / x = f´(x) - px = 0
L / y = f´(y) -py = 0
L /  = px + py - I = 0
f´(x) / f´(y) = px / py
Umgx / Umgy = px/py
fxx fxy -px
R = Px X + Py . Y - I
H.O.
fyx fyy -py
-px -py
> 0
0
Diferenciando y hallando el determinante adjunto de cada elemento del Hesiano Orlado (que
será siempre positivo por ser máximo) se obtiene la D11 (determinante de la fila 1 columna 1
Fyy
-py
-py
0
D11 =
D31= es el determinante de la fila 3 columna 1
Fxy
-py
Fyy
-py
D31 =
Si el precio del bien y, y el ingreso del consumidor están fijos, entonces:
Dpy = dI = 0
Dx/dpx = D11/D + x D31/D
Dx/dpx = (dx/dpx)U=const. - x(dx/dI) p = const.
El primer componente es el efecto sustitución o variabilidad residual, y el segundo componente
es el efecto ingreso que podrá ser positivo o negativo según los tipos de bienes(normal,
inferior, Giffen). El primer componente(efecto sustitución) es negativo porque:
fyy
-py
-py
0
D11 =
D11/D = -p2y
Además por ser convexa al origen, de pendiente negativa y tasa marginal de sustitución x/y
también negativa.
El efecto cruzado implica que la ecuación de Slutsky puede expresarse en términos de
elasticidad cruzada, explica el cambio en la demanda de un bien con respecto al cambio en el
precio de otro bien. En este caso ya no es siempre negativo el efecto sustitución, podrá ser
mayor o menor que cero, si son sustitutivos o complementarios:
Dx/dpy = (dx/dpy)U = const. - y(dx/dI) p= const.
N 9 bis. Fig. A,B,C(Link)