Fibonacci

INTRODUCCIÓN
Desde los tiempos más antiguos los números han cautivado al ser humano, no solo por su aplicación
inmediata a la vida cotidiana sino por la riqueza teórica y simple que se encuentra dentro de ellos. Existe una
gran cantidad de números con propiedades especiales, entre ellos se pueden citar los números primos,
números perfectos, números amigos, sociables, etc. Como puede verse la lista es bastante larga y lo más
interesante es que cada clase de éstas ha conducido a importantes e interesantes estudios teóricos. Los
números de Fibonacci son algunos de los que más frutos han dado, pues cuentan con asiduos matemáticos
y aficionados que se han dedicado a la búsqueda de las relaciones mas insospechadas de estos números y
que han encontrado resultados de estas caracterÃ-sticas en la mano humana, en los pétalos de una flor, las
espirales de los girasoles, las espirales de las piñas, la altura de la cadera, la altura de la rodilla, la altura de
un ser humano y la altura de su ombligo, la crÃ-a de los conejos, la Mona Lisa, y otras más que
desarrollaré a continuación.
BiografÃ-a de Fibonacci
Leonardo de Pisa, mejor conocido por su apodo Fibonacci (que significa hijo de Bonacci) nació en la ciudad
italiana de Pisa y vivió de 1170 a 1250. Su padre trabajaba como representante de la casa comercial italiana
más importante de la época, en el norte de Ãfrica. Este lo animó a estudiar matemáticas. Leonardo
recibió este tipo de enseñanza de maestros árabes. Se convirtió en un especialista en Aritmética y en
los distintos sistemas de numeración que se usaban entonces. Convencido de que el sistema indo−arábigo
era superior a cualquiera de los que estaban en uso, decidió llevar este sistema a Italia y a toda Europa, en
donde aún se usaban los numerales romanos y el ábaco. Escribió gran cantidad de libros y textos de
matemáticas: Liber Abaci escrito en 1202, Practica Geometriae en 1220, Flos en 1225 y Liber Quadratorum
en 1227. Es importante destacar que en esa época no existÃ-a la imprenta, por lo tanto los libros y sus
copias eran escritos a mano. Fue sin duda el matemático más original de la época medieval cristiana.
Sucesión de Fibonacci
Una sucesión de Fibonacci es aquella cuya ley de recurrencia es:
an = an−1 + an−2
Es decir, cada término de la sucesión se obtiene sumando los dos anteriores. Para empezar a construirla
necesitamos, por tanto, dos números de partida, a1 y a2. De esta forma, a3 serÃ-a a2 + a1 ; a4 serÃ-a a3 + a2
y asÃ- sucesivamente.
La más conocida es la que tiene a1 = 1  y  a2 = 1, cuyos términos son:
1 Â 1 Â 2 Â 3 Â 5 Â 8 Â 13 Â 21 Â 34 Â 55 Â 89 Â 144 Â 233 Â 377 ...
Números que son conocidos como Números de Fibonacci.
Los términos de cualquier sucesión de Fibonacci tienen la particularidad de que el cociente entre dos
términos consecutivos se aproxima al Número de Oro (1.6180339887499...), es decir, el lÃ-mite de los
cocientes an+1/an tiende al Número de Oro cuando n tiende a infinito.
Además, las series de Fibonacci cumplen otras curiosas propiedades, como por ejemplo, que la suma de n
términos es igual al término n+2 menos uno:
1
a1 + a2 + a3 + a4 +..... + an−1 + an = an+2 − 1
El número de oro
El número áureo o de oro (también llamado número dorado, razón áurea, razón dorada, media
áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en honor a
Leonardo de Pisa Fibonacci), es el número irracional:
Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la
antigüedad, no como unidad sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en
algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las
hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.
Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, asÃ- como
una importancia mÃ-stica. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de
arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la
arqueologÃ-a.
Se dice que dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si:
Para obtener el valor de
a partir de esta razón considere lo siguiente:
Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y que la de a sea x. Para que estos segmentos cumplan con la
razón áurea deben cumplir que:
Multiplicando ambos lados por x y reordenando:
Mediante la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado se obtiene que las dos soluciones de la
ecuación sean:
La solución positiva es el valor del número áureo.
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Los pitagóricos obtuvieron este número de hallar la relación entre la diagonal del pentágono regular y su
lado. Esta proporción se puede encontrar en muchas obras de arte.
En la Torre Eiffel de ParÃ-s la razón entre la altura de un nivel y el precedente guarda la relación áurea.
En el cuadro Atomic Leda Salvador Dali hizo uso también de la proporción áurea.
En la Mona Lisa la cara está perfectamente encuadrada en un rectángulo áureo, al igual que el resto de
proporciones de la misma.
La serie de fibonacci
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...
Es aquella en la que cada número, a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le preceden. Los
cocientes entre dos números consecutivos se aproximan cada vez más al número de oro según se avanza
en la sucesión.
2/1 = 2, 3/2 = 1,5, 5/3 = 1,66, 8/5 = 1,6, 13/8 = 1,625, 21/13 = 1,615...
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La espiral logarÃ-tmica basada en la relación áurea
Partimos de un cuadrado de lado 1 y añadimos otro cuadrado de lado también igual a 1, para formar un
rectángulo de 2x1. Añadimos otro cuadrado de 2x2 para formar otro rectángulo de 3x2 (siguiendo la
serie de fibonacci) y después un cuadrado de 3x3 teniendo un rectángulo de 5x3 y asÃ- sucesivamente.
Trazando un cuarto de cÃ-rculo con origen del mismo desde un vértice de cada cuadrado obtendremos la
espiral.
Las pirámides de Egipto, construidas cuatro mil años antes de que Fibonacci diera con la serie, fueron
construidas manteniendo una sorprendente proporción áurea.
El Partenón griego fue construido también respetando las proporciones áureas.
Naturaleza
− Existen cristales de Pirita dodecaedritos pentagonales (piritoedros) cuyas caras son pentágonos perfectos.
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− Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de los ábacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesión que
lleva su nombre para calcular el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja
comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducir
cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundación hasta la parición y cada camada es de
dos conejos). Este es un problema matemático puramente independiente de que sean conejos los
involucrados. En realidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos y varias veces al
año, aunque no cada mes, pese a que la preñez dura 32 dÃ-as. El problema se halla en las páginas 123 y
124 del manuscrito de 1228, que fue el que llegó hasta nosotros, y parece que el planteo recurrió a conejos
como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incógnita, un acertijo
matemático. El cociente de dos términos sucesivos de la Sucesión de Fibonacci tiende a la sección
áurea o al número áureo si la fracción resultante es propia o impropia, respectivamente. Lo mismo
sucede con toda sucesión recurrente de orden dos, según demostraron Barr y Schooling en la revista The
Field del 14 de diciembre de 1912.[3]
− La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.
− La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el
nombre de Ley de Ludwig).
− La distribución de las hojas en un tallo. Ver: Sucesión de Fibonacci.
− La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles
− La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las
secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior).
− La distancia entre las espirales de una Piña.
− La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol o de
cefalópodos como el nautilus hay por lo menos tres espirales logarÃ-tmicas más o menos asimilables a
proporciones aúreas. La primera de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo
entre los radiovectores de puntos situados en dos evolutas consecutivas en una misma dirección y sentido.
Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, de Scalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium trochleare, entre
otras, siguen este tipo de espiral de crecimiento.[4] [5] Se debe entender que en toda consideración natural,
aunque involucre a las ciencias consideradas más matemáticamente desarrolladas, como la FÃ-sica,
ninguna relación o constante que tenga un número infinito de decimales puede llegar hasta el lÃ-mite
matemático, porque en esa escala no existirÃ-a ningún objeto fÃ-sico. La partÃ-cula elemental más
diminuta que se pueda imaginar es infinitamente más grande que un punto en una recta. Las leyes
observadas y descriptas matemáticamente en los organismos las cumplen transgrediéndolas
orgánicamente.[6]
− Para que las hojas esparcidas de una planta (Ver Filotaxis) o las ramas alrededor del tronco tengan el
máximo de insolación con la mÃ-nima interferencia entre ellas, éstas deben crecer separadas en hélice
ascendente según un ángulo constante y teóricamente igual a 360º (2 − φ) ≈ 137º 30' 27,950 580
136 276 726 855 462 662 132 999..." En la naturaleza se medirá un ángulo práctico de 137º 30' o de
137º 30' 28" en el mejor de los casos. Para el cálculo se considera iluminación vertical y el criterio
matemático es que las proyecciones horizontales de unas sobre otras no se recubran exactamente. Aunque la
iluminación del Sol no es, en general, vertical y varÃ-a con la latitud y las estaciones, esto garantiza el
máximo aprovechamiento de la luz solar. Este hecho fue descubierto empÃ-ricamente por Church y
confirmado matemáticamente por Weisner en 1875. En la práctica no puede medirse con tanta precisión
el ángulo y las plantas lo reproducen "orgánicamente"; o sea, con una pequeña desviación respecto al
valor teórico. En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de las
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inflorescencias, como en el caso del girasol, y en otros objetos orgánicos como las piñas de los pinos se
encuentran números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci.
Música
En toda canción, la melodÃ-a se basa en un conjunto de notas que llevan asociado un patrón. Existen
múltiples maneras de combinarlas, para suerte de todos, pero ciertas sucesiones son tan buenas que pueden
repetirse en muchas composiciones, resultando en fórmulas distintas pero que realmente tiene la misma base.
Por decirlo de otra forma es como en las sucesiones de números; existen muchas pero alguna son tan
interesantes y prácticas que pueden encontrarse en múltiple sitios, como la secuencia de Fibonacci.
Existen diferentes autores, como es el caso de Béla Bartók (1881−1945), que han utilizado dicha
sucesión como patrón para determinar ciertos elementos de sus composiciones. Dicho autor desarrolló una
escala musical basándose en la sucesión que denominó escala fibonacci. AsÃ- mismo, en su obra Música
para instrumentos de cuerda, percusión y celesta, un análisis de su fuga muestra la aparición de la serie y
de la razón áurea. Por otra parte, estudios realizados acerca de la Quinta sinfonÃ-a de Beethoven
(1770−1827) muestran como el tema principal incluido a lo largo de la obra, está separado por un número
de compases que pertenece a la sucesión. También en varias sonatas para piano de Mozart (1756−1791) la
proporción entre el desarrollo del tema y su introducción es la más cercana posible a la razón áurea.
Relaciones matemáticas de este estilo se han encontrado también en la coral situada al final de Kunst der
Fuge de Johann Sebastián Bach (1685−1750). En ella determinados motivos se repiten, por disminución a
escalas menores, una y otra vez con distintas variaciones dentro de una región mayor de la pieza. AsÃ-, por
ejemplo, varias voces repiten al doble de velocidad la melodÃ-a de la voz principal. Este es un ejemplo de
pieza musical auto semejante, que, como veremos más adelante, es una caracterÃ-stica de la geometrÃ-a
fractal, un concepto matemático de finales del siglo XX. Existen trabajos que analizan la manifestación de
estas caracterÃ-sticas fractales en otras obras, como en el tercer movimiento de la sonata numero 15 de
Beethoven y el triángulo de Sierpinski, o la analogÃ-a entre el conjunto de Cantor y la primera Ecossaisen
de Beethoven.
Arquitectura
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Leonardo da Vinci realiza una visión del hombre como centro del Universo al quedar inscrito en un cÃ-rculo
y un cuadrado. El cuadrado es la base de lo clásico: el módulo del cuadrado se emplea en toda la
arquitectura clásica, el uso del ángulo de 90º y la simetrÃ-a son bases grecolatinas de la arquitectura. En
él se realiza un estudio anatómico buscando la proporcionalidad del cuerpo humano, el canon clásico o
ideal de belleza.
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El hombre de Vitrubio es un claro ejemplo del enfoque globalizador de Leonardo Da Vinci que se desarrolló
muy rápidamente durante la segunda mitad de la década de 1480. Trataba de vincular la arquitectura y el
cuerpo humano, un aspecto de su interpretación de la naturaleza y del lugar de la humanidad en el "plan
global de las cosas". En este dibujo representa las proporciones que podÃ-an establecerse en el cuerpo
humano (por ejemplo, la proporción áurea). Para Leonardo, el hombre era el modelo del universo y lo
más importante era vincular lo que descubrÃ-a en el interior del cuerpo humano con lo que observaba en la
naturaleza.
La Proporciones del Hombre de Vitruvio
Vitrubio el arquitecto, dice en su obra sobre arquitectura que la naturaleza distribuye las medidas del cuerpo
humano como sigue: que 4 dedos hacen 1 palma, y 4 palmas hacen 1 pie, 6 palmas hacen 1 codo, 4 codos
hacen la altura del hombre. Y 4 codos hacen 1 paso, y que 24 palmas hacen un hombre; y estas medidas son
Ls que él usaba en sus edilicios. Si separas la piernas lo suficiente como para que tu altura disminuya 1/14
y estiras y subes los hombros hasta que los dedos corazón estén al nivel del borde superior de tu cabeza,
has de saber que el centro geométrico de tus extremidades separadas estará situado en tu ombligo y que el
espacio entre las piernas será un triángulo equilátero. La longitud de los brazos extendidos de un hombre
es igual a su altura. Desde el nacimiento del pelo hasta la punta de la barbilla es la décima parte de la altura
de un hombre; desde la punta de la barbilla a la parte superior de la cabeza es un octavo de su estatura; desde
la parte superior del pecho al extremo de su cabeza será un sexto de un hombre. Desde la parte superior del
pecho al nacimiento del pelo será la séptima parte del hombre completo. Desde los pezones a la parte de
arriba de la cabeza será la cuarta parte del hombre. La anchura mayor de los hombros contiene en sÃ- misma
la cuarta parte de un hombre. Desde el codo a la punta de la mano será la quinta parte del hombre; y desde el
codo al ángulo de la axila será la octava parte del hombre. La mano completa será la décima parte del
hombre; el comienzo de los genitales marca la mitad del hombre. El pie es la séptima parte del hombre.
Desde la planta del pie hasta debajo de la rodilla será la cuarta parte del hombre. Desde debajo de la rodilla
al comienzo de los genitales será la cuarta parte del hombre. La distancia desde la parte inferior de la barbilla
a la nariz y desde el nacimiento del pelo a las cejas es, en cada caso, la misma, y, como la oreja, una tercera
parte del rostro.
Después de Leonardo, artistas como Ralaei y Miguel ángel hicieron un eran uso de la Sección Ãurea
para construir sus obras. La impresionante escultura de Miguel Ãngel El David se ajusta en varios sentidos a
la Sección Ãurea, desde la situación del ombligo con respecto a la altura, hasta la colocación de las
articulaciones de los dedos.
Los constructores de las iglesias medievales y góticas y de las catedrales europeas también erigieron estas
asombrosas estructuras para adaptarse a la Sección Aurea. En este sentido, Dios realmente estaba en los
números.
El número áureo en el misticismo
En la cruz latina, sÃ-mbolo del catolicismo, la relación entre el palo vertical y el horizontal es el número
áureo. AsÃ- mismo, el palo horizontal divide al vertical en secciones áureas.
La sucesión de Fibonacci en la cultura popular
− En la pág. 61 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada de los
primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el
conservador del museo del Louvre, Jacques Saunière.
− En el álbum Lateralus de la banda estadounidense Tool, los patrones de la baterÃ-a (Danny Carey) de la
canción "Lateralus" siguen la Sucesión de Fibonacci del número 13 (número de pistas del disco):
8
1,1,2,3,5,8,13,1,1,2,3,5,8,13,1,1,...
− En la miniserie Abducidos, la Sucesión de Fibonacci, como la Ecuación de Dios, es descubierta en los
planes de los extraterrestres, en ejemplos como que sus naves tienen 5 tripulantes, sus manos 3 dedos y un
pulgar, 1597 avistamientos ovnis en año anterior, se siguieron a 55 parejas para descubrir la hibrida
humano−extraterrestre Allie, y que finalmente el número de abducidos era de 46368. Incidentalmente se
habla en de un hombre que fue abducido 13 veces. 1, 3, 5, 13, 55, 1597, 46368, todos números Fibonacci.
− En el filme de Darren Aronofsky Ï€ el orden del caos el judÃ-o Rabbi Cohen presenta la teorÃ-a en hebreo
transcrito en números en la cual el personaje Max Cohen relaciona esta última teorÃ-a con la secuencia de
Fibonacci llegando en conclusión que todo esta basado en la ley del orden y el caos.
− En un lateral de la cúpula de la antigua sinagoga ahora convertida en el Museo Nazionale del Cinema,
más conocida como Mole Antonelliana, en Torino (Italia), se puede observar una instalación luminosa de la
sucesión de números de Fibonacci.
− El Dr. Walter Bishop de la serie de televisón Fringe usa numeros de la serie de Fibonacci para las
contraseñas de sus cajas de seguridad.
CONCLUSIÓN
El número de oro es un número importante en todo lo que nos rodea, ya que se llegó a descubrir la
multitud de situaciones de la vida cotidiana en las que aparece; es utilizado tanto en la naturaleza, como en el
arte y en las matemáticas. La sucesión de Fibonacci es una proporción muy precisa, y gracias a esto se
han representado grandes cuadros como es El hombre de Vitrubio de Leonardo Da Vinci.
BIBLIOGRAFÃA
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http://fhi−design.com/musica1.htm
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