FUNDAMENTOS DE LA PROBABILIDAD UNIDAD I 1.3. PERMUTACIONES Y COMBINACIONES Permutaciones: Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. Se tienen tres casos de permutaciones: 1er. Caso: En este caso llamado de ordenamientos con reemplazo (con repetición, con orden), y cuando n=r, es decir, las extracciones son del mismo tamaño que el conjunto y su fórmula es n! (ene factorial) Ejemplos: 1. Cuántas series de 3 letras se pueden formar con las letras ABC, si se permite la repetición. 2. Cuantas permutaciones con orden se pueden formar con 10 alumnos: 2do. Caso: Cuando n≠r, y se permite la repetición, con orden y con reemplazo, su formula es nr Ejemplo: De los 15 hombres de un salón y 18 mujeres obtener: 4 arreglos con reemplazo, Tercias de hombres con reemplazo. Cuartetos de mujeres con orden 3er. Caso: Cuando n≠r, y no se permite la repetición, sin orden y sin reemplazo, su formula es: n! (n r )! Ejemplo: Cuantas series de dos letras se pueden formar, con orden, con las letras ABC, si no se permite la repetición Ing. Cintia del Carmen Hernández Crisóstomo Página 1 FUNDAMENTOS DE LA PROBABILIDAD UNIDAD I Combinaciones Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden. n! nCr= r!(n r )! Una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos. Ejemplo: 1. El congreso anglo mexicano de administración pública, debe elegir el futuro comité ejecutivo que regirá a esa institución durante el próximo año. La comisión directiva se forma con 6 integrantes y este año han sido propuestos 7 representantes mexicanos y 4 ingleses para ser electos. Se pide determinar de cuántas maneras se puede integrar la comisión en los siguientes casos: a) Si en la comisión debe haber 4 mexicanos y 2 ingleses. Solución: a) Los mexicanos se pueden escoger de: Los ingleses se pueden escoger de: Conjuntamente Ing. Cintia del Carmen Hernández Crisóstomo Página 2 FUNDAMENTOS DE LA PROBABILIDAD UNIDAD I Tarea de permutaciones 1. De los 18 hombres del salón y 15 mujeres, se pide formar: a) Pares de alumnos hombres con reemplazo b) Permutaciones de mujeres c) Tercias de mujeres sin reemplazo d) Permutaciones de alumnos (hombres y mujeres) e) Quintetos de mujeres con reemplazo 2. De cuantas maneras diferentes sin reemplazo o sin repetición podemos acomodar cuatro carros distintos en los 8 estacionamientos diferentes 3.- De cuantas maneras diferentes sin reemplazo podemos acomodar 10 alumnos en 15 mesa bancos 4.- En una caja hay 6 pelotas negras y 8 pelotas rojas, si extraemos pelota tras pelota hasta completar 5 sin reemplazo, cuantas maneras diferentes se pueden formar 5.- En una caja hay 8 canicas blancas, 6 canicas verdes y 4 canicas rojas si extraemos canica tras canicas hasta completar un trío de canicas verdes, cuantos tríos diferentes se pueden formar 6. En una jaula hay 2 pescados, 3 gatos, 5 perros, 4 delfines, 2 pericos, 3 caballos y 5 águilas (pobre jaula) extraer: a) 5 animales con reemplazo b) 3 plumíferos sin reemplazo c) 4 mamíferos con reemplazo d) 6 marinos sin reemplazo 7. ¿Cuántos puntos de tres coordenadas ( x, y, z ), será posible generar con los dígitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si: a). No es posible repetir dígitos y b). Es posible repetir dígitos. 8. Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar, si debe constar de dos letras, seguidas de cinco dígitos, las letras serán tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9. a. Considere que se pueden repetir letras y números, b. Considere que no se pueden repetir letras y números, 9. Se va celebrar la final de salto de longitud en un torneo de atletismo. Participan 8 atletas. ¿De cuántas formas pueden repartirse las tres medallas: oro, plata y bronce? a) sin reemplazo b) con reemplazo 10. Si no se permite de repetición, cuantos dígitos de 3 números se pueden formar Con los números 235679 Ing. Cintia del Carmen Hernández Crisóstomo Página 3 FUNDAMENTOS DE LA PROBABILIDAD UNIDAD I Tarea de combinaciones 1. En los laboratorios “ELKO” hay 3 plazas vacantes de un total de 33 solicitudes de empleo, sólo 14 se han considerado aceptables, con base en las entrevistas practicadas por el departamento de personal. ¿De cuántas maneras pueden asignarse las 3 plazas?. Si todos los empleos son de la misma categoría 2. La junta directiva de un periódico universitario tiene 6 reporteros del penúltimo año y 8 del último año. ¿De cuántas maneras se pueden escoger 2 reporteros de penúltimo año y 3 del último año para una tarea especial? 3. Un almacén de quesos tiene 10 variedades de queso nacional y 8 variedades de queso importado, ¿Cuántas combinaciones de queso se pueden tener si se seleccionan 6 quesos, que tenga 2 variedades de queso nacional y 4 de queso importado? 4. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tecnológico, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos. 5. Para contestar un examen un alumno debe contestar 9 de 12 preguntas, ¿Cuántas maneras tiene el alumno de seleccionar las 9 preguntas?. 6.- Una caja contiene 7 tarjetas rojas, 6 blancas y 4 azules, De cuantas maneras, sin importar el orden, se pueden elegir tres tarjetas de forma que: a) ¿Qué todas sean rojas? b) ¿Qué ninguna sea roja? 7. ¿Cuántos comités diferentes de 4 hombres y tres mujeres pueden formarse con 8 hombres y 6 mujeres? Ing. Cintia del Carmen Hernández Crisóstomo Página 4