Clase 2 Matemática 2013 - Funciones

FUNCIONES
Consideremos dos conjuntos numéricos
A
x1
x2
x3
x4
x:. 5
y1
y2
.
.
xn
.
.
.
.
yn
.
.
y3
y4
y.5
B
f(x)
A
x1
x2
x3
x4
x:. 5
y1
y2
.
.
xn
.
.
.
.
yn
.
.
y3
y4
y.5
B
En este caso se definió una
RELACIÓN de A en B
Formas de expresar una relación
•
•
•
•
•
Diagramas de Venn
Enunciado
Fórmula
Pares ordenados (Tabla)
Puntos del plano (Gráfico)
DIAGRAMA DE VENN
-2
-1
0
1:
2
3
½
-4
-2
0
1
2
4
6
7
ENUNCIADO
R : “A cada valor de X le corresponde su
doble”
R : “Y es el doble de X”
FÓRMULA
y = 2x
f(x) = 2x
Esto se lee: “la imagen de x”
TABLA DE VALORES
X
f(X)
1
2
2
4
-2
-4
9
18
0,5
1,25
0,75
-2,5
GRÁFICO
Definiciones
• Dominio: Es el conjunto de todos los
elementos X del conjunto de partida que
poseen imagen.
• Imagen: Es el conjunto de todos los
elementos Y del conjunto de llegada que
son imagen de algún valor de X
Conjunto de partida
Dominio
(Dm)
R
Conjunto de llegada
1
2
3
-1
2
4
6
-2
-2
-4
2
¾
y
Imagen
(Im)
z
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Una función definida de A en B
(f : A B)
Es una relación en la que:
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
• Todos los valores de X tienen una imagen
Y. (CONDICIÓN DE EXISTENCIA)
• Cada valor de X tiene una y solo una
imagen Y. (CONDICIÓN DE UNICIDAD)
• EXISTENCIA
x  A, y  B / f ( x )  y
• UNICIDAD
f ( x)  y1  f ( x)  y2
 y1  y2
El dominio coincide con el conjunto de partida
FUNCIONES REALES DE
VARIABLE REAL
• Son aquellas cuyo Dominio e Imagen con
subconjuntos de R, o bien, el mismo R.
f: AB / f(x)=y
A R ; B  R
EJEMPLOS
¿La siguiente fórmula
representa a una función?
f ( x)  x
CLASIFICACIÓN DE
FUNCIONES
• INYECTIVA: Una función es inyectiva si y
solo si a cada par de valores distintos de
X del dominio le corresponden imágenes
distintas.
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
CLASIFICACIÓN DE
FUNCIONES
• SOBREYECTIVA: Una función es
sobreyectiva si y solo si todos los
elementos Y del conjunto de llegada son
imagen de algún elemento X del dominio.
y  B , x  A / y  f ( x )
CLASIFICACIÓN DE
FUNCIONES
• BIYECTIVA: Una función es biyectiva si y
solo sí es inyectiva y sobreyectiva.
Ejemplos
f ( x )  0, 5 x 2  1
Ejemplos
f ( x )  0, 5 x  1
3
• FUNCIÓN INVERSA: Dada una función
f : AB
-1
Si existe una relación f : BA y es función,
-1
entonces f se llama función inversa de
f.
Para que exista la inversa de una función,
ésta debe ser biyectiva
Ejemplo
Sea f: RR / f(x) = 2x+1
Despejamos x
Expresamos la nueva función
Intervalos de crecimiento y
decrecimiento
• Intervalos abiertos (a ; b)
• Intervalos cerrados [a ; b]
• Intervalos semiabiertos (a ; b]
[a ; b)
FUNCIÓN LINEAL
Una función lineal es aquella cuya forma es:
y = mx +b
donde: m es la pendiente
b es la ordenada al origen
Si m=0, la función es
CONSTANTE
f(X)=b
f(x) = 2
Distintas formas de expresar la ecuaciones
de una recta.
Forma Explícita : y = mx + b
Forma implícita o general: Ax + By + C = 0
Forma segmentaria: x/a + y/b = 1
Condición de paralelismo y
perpendicularidad
Ecuación de la recta que pasa
por un punto y tiene pendiente
conocida
Ecuación de la recta que pasa
por dos puntos
Ejemplos
FUNCIÓN CUADRÁTICA
f : R  R tal que
f(x) =
2
ax
a, b, c  R,
+ bx + c
a  0
El gráfico de una función
cuadrática es una curva llamada
PARÁBOLA cuyos elementos
principales son:
Eje de simetría
Ordenada
Al origen
Vértice
Raíces
Distintas posiciones y formas de la
parábola
•Si a > 0, entonces las ramas de la parábola se
orientan hacia arriba, en ese caso habrá un
MÍNIMO
•Si a < 0, entonces las ramas de la parábola se
orientan hacia abajo, en ese caso habrá un
MÁXIMO
•Cuado mayor es el valor absoluto de a, la
curva es más cerrada.
Ejemplos:
f(x) = x2 +3x – 1
f(x) = –0,5 x2 +3x – 2
Cálculo de la posición de los
elementos de la parábola
 b  b  4ac
x1 , x2 
2a
2
Raíces:
Coordenadas del vértice V=(Xv ; Yv)
b
xv 
2a
yv  f ( xv )
Ordenada al origen
Eje de simetría
y0  c
X  xv
Análisis del discriminante
=
2
b
– 4ac
Si  > 0  la función tiene dos raíces reales y distintas, es
decir, el gráfico corta al eje x en dos puntos (x1  x2)
Si  = 0  la función tiene dos raíces reales e iguales (una
raíz doble), es decir, corta al eje x en un punto (x1 = x2)
Si  < 0  la función no tiene raíces raíces reales, es decir
el gráfico no corta al eje x en ningún punto.
>0
=0
<0
Ejemplo de aplicación práctica de
la función cuadrática
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Función logarítmica
f:
+
R 
R tal que:
f(x) = logb (x)
b  R , b > 0 , b 1
Gráfico
f(x) = log2 x
Variación del gráfico según la
expresión del argumento
f ( x)  log b ( x)
Base
Argumento
f(x) = log2 (x-1)
f(x)= log2(x – 1)
f(x)= log2(x + 3)
f(x)= log2(x – 3)
Variación del gráfico según el valor
de b
b< 1 : ejemplo f(x) = log1/2 (x)
FUNCIÓN EXPONENCIAL
f: R  R / f(x) = k.ax + b
f(x) = 2x
Función polinómica
f : R  R tal que:
f ( x)  an x  an 1 x
x
n 1
 an  2 x
n 1
 ....  a1 x  a0
Ejemplos:
Graficar la siguientes funciones
f(x)= 0,5x2 – 3x + 2,5
f(x) = log2 (2x – 1)
f(x) = – 2. 2x + 4