Hoja No - Rescate Estudiantil

MATEMATICA II
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Hoja No. 4
Solución
Muy importante:
Cada uno de los diferentes arreglos que ordenadamente pueden hacerse con una parte de los
elementos o con todos los elementos de un conjunto se llama PERMUTACION. En toda
permutación, el orden es una característica de especial importancia. Cuando se varia el orden de
los elementos en una permutación, se dice que los elementos se permutan. En su forma general,
una permutación de un conjunto de n elementos tomados de r en r se identifican con la notación
nPr (se lee: ene permutaciones de erre), siendo su fórmula, nPr =
n! .
(n-r)!
Cada uno de los diferentes grupos que pueden formarse tomando todos o parte de los elementos
de un conjunto, sin considerar el orden de los elementos tomados se llama combinación. En su
forma general, una combinación de un conjunto de n elementos tomados de r en r se identifica
con la notación nCr=
n! .
r!(n-r)!
1. Si se lanza una moneda y luego un dado, ¿Cuántos son los posibles resultados?
(2P1)(6P1)= (2)(6)=12
2. En un restaurante se preparan pizzas con dos ingredientes especiales. Si se disponen de
doce diferentes tipos de ingredientes especiales, ¿Cuántas clases diferentes de pizzas
pueden ofrecer?
N=12 & r=2
12!/(12-2)! = 479001600/3628800 = 132
3. Cuantos dígitos de 4 letras pueden formarse con las primeras 10 letras del alfabeto, si:
a) No se pueden repetir; b) se pueden repetir & c) las letras adyacentes no pueden ser
iguales.
N=10 & r=4 10!/(10-4)! = 3628800/720 Respuesta inciso a) 5,040
Para inciso b) formula nPr= (ene a la potencia r)
N=10 & r=4 entonces 10ˆ(4)= 10,000
Para inciso c) ¿?
4. ¿De cuantas formas se puede seleccionar el presidente, el vicepresidente y secretario de
un comité de 10 personas?
N=10 & r=3 npr= 10P3= 720
5. ¿Cuántas placas distintas se pueden hacer si se usan tres letras seguidas de tres
números?
Letras de la a la z 26
Números de 0 a 9 =10
N=26 & r=3
n=10 & r=3 =
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Vielman Lopez
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26ˆ(3)= 17576
10ˆ(3)=1000
1756*1000=1,756,000 tipos de placas.
6. ¿Cuántos números de 8 cifras diferentes se pueden formar con los digitos del 1 al 8?
N=8 R=8 8P8=40,320
7.
8.
9.
10.
11.
Si hay cinco sillas en una fila, ¿de cuantas formas se pueden acomodar a 5 personas?
¿con 10 sillas y 10 personas? ¿con n sillas y n personas? inciso a= 5P5=120; inciso
b=10P10=3,628,800, inciso c= n=n & r=r entonces nPr= nPn =n!/(n-n)!=n!
¿De cuantas formas distintas pueden sentarse cinco personas alrededor de una mesa
redonda? N=5 & Recordar que es una permutación circular (caso 5)= nPc=(n-1)! = (5-1)!=
4!=24
¡Cuántas señales se pueden hacer con 4 banderas, si cada señal puede utilizar cualquier
numero de estas?
N=4 4P1= 4
4P2=12
4p3=24
4p4=24
TOTAL-----64
¿Cuántas palabras sin importar su significado, pueden formarse cons las letras
“chalana”?
N=7 & A se repite 3 veces, entonces 7!/3! =5040/6= 840 palabras
¿De cuantas maneras pueden formarse en fila 7 personas si 3 de ellas conservan el
mismo lugar?
N=7 (menos 3 que conservan su lugar)
N=4 & R=4 4P4=24 maneras
Combinaciones
1. De un comité de 5 personas ¿Cuántos subconjuntos de dos personas se pueden formar?
N=5 & R=2 5C2 = 10 subconjuntos.
2. Una heladería dispone de 25 sabores diferentes de helado. Si vende helados de tres
sabores, ¿Cuántos helados puede ofrecer si no importa el orden de los sabores?
nCr=25C3=2300
3. Si se dispone de un quetzal en monedas de Q.0.05 & un quetzal en monedas de Q.0.25, de
cuantas maneras pueden acularse Q.0.45?
Monedas de 0.5=20
0.45=
Monedas de 0.25=4
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4. Una bolsa contiene 5 dulces de chocolate, 4 de menta y 3 de fresa. Si todos los dulces son
del mismo tamaño, forma y peso, encuentre el numero de formas en que pueden
extraerse tres de estos, si a) no importa el sabor; b) 2 pueden ser de chocolate y uno de
fresa; c) todos pueden ser del mismo sabor.
5 de chocolate,
a) 12C3 = 220 formas
4 de menta,
b) 5C2*3C1 = 10X3= 30 Formas
3 de fres
c) 5C3+4C3+3C3= 10+4+1=15
12 Total =N
Formas
5. Entre seis personas, de cuantas maneras pueden elegirse cuatro, si: a) No existen
restricciones; b) Dos de ellas no pueden figurar; c) Dos de ellas deben figurar; d) Una de
ellas siempre debe figurar y otra nunca debe figurar.
a) 6C4=15 maneras
c) 2C4=6 maneras
b) 4C4=1 maneras
d) 4C3=4 maneras
6. De un grupo de 8 estudiantes de matemática 5 de ellos son los mejores en algebra. Si se
quiere formar un equipo de cuatro, tomando en cuenta que deben integrarlo por lo
menos 2 de los mejores en algebra, ¿de cuantas formas pueden integrarse el equipo?
8 estudiantes, 5 los mejores equipo de 4.
Entonces: (5C2)(3C2)+(5C3)(3C1)+(5C4)+3C0=
30 +
30 + 5=65 formas
7. Un consejo estudiantil está formado por 18 hombres y 16 mujeres, a) ¿Cuántos comités de
6 estudiantes pueden formarse? b) ¿Cuántos comités de 3 hombres y 3 mujeres son
posibles?
18 H+16 M=34 34C6=1,344,904 & 18C3*16C3=816*560=456,960
8. ¿Cómo se pueden partir un conjunto de 10 elementos en cuatro partes, de modo que en la
primera hayan dos elementos, en la segunda tres, en la tercera uno y en la cuarta cuatro?
9. De un grupo de 6 elementos a) ¿Cuántos subgrupos pueden hacerse si se toman 3 o más
elementos? B) ¿Cuántos, si se toman 3 o menos elementos? C) menos de 3 elementos.
a) 6C3+6C4+6C5+6C6=42
c) 6C2+6C1
=21
b) 6C3+6C2+6C1
=41
10. ¿De cuantas formas pueden seleccionarse seis candidatos para un empleo?
6C1= 1
Miscelánea
1. ¿De cuantas formas se puede hacer la lista de seis candidatos a un empleo?
N=6 & r=6 nPr= 6P6=720 formas
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2. 4 libros distintos de algebra, 6 diferentes de geometría y 2 diferentes de aritmética, se
colocan en un estante. De cuantas formas distintas es posible ordenarlos si: a) los libros de
cada rama deben estar todos juntos, b) solamente los libros de algebra deben estar juntos;
a) 4 algebra + 6 geometría+2 aritmética = 12 = (4P4)(6P6)(2P2)(3P3)=207360 Formas
b) (4p4)(9p9)=8,709,120
3. ¿De cuantas formas se pueden escoger cuatro objetos de un grupo de 7?
N=7 & r=4 nCr= 7C4=35 FORMAS
4. De un grupo de 10 mujeres y 8 hombres, cuantos diferentes comités de 7 personas
pueden formarse de tal manera que el comité quede conformado con: a) exactamente 4
mujeres; b) por lo menos 4 mujeres; c) a lo sumo 4 mujeres.
a) Datos 10 mujeres + 8 hombres = 18 (10C4)(3C3)= 210*56=11,760, diferentes
comités.
b) (10C4)(8C3)+(10C5)(8C2)+10C6(8C1)+(10C7)(8C0)=20,616 Diferentes comités.
c) (10C0)(8C7)+(10C1)(8C6)+(10C2)(8C5)+(10C3)(8C4)+(10C4)(8C3)=22,968
Diferentes comités
5. ¿De cuantas maneras pueden agruparse las letras a, b, c, d si se toman de 2 en 2?
4C2=6
6. ¿De cuantas maneras pueden ordenarse las letras anteriores si se toman de dos en dos?
N=4
R=2 4P2=12
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