MÓDULO DE MATEMÁTICA_10º_I.P.T.V.

REPÚBLICA DE PANAMÁ
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA
DIRECCIÓN REGIONAL DE EDUCACIÓN DE VERAGUAS
INSTITUTO PROFESIONAL Y TÉCNICO DE VERAGUAS
AÑO LECTIVO 2011
SANTIAGO, VERAGUAS, PANAMÁ
MÓDULO DE MATEMÁTICA
ESTUDIANTE: ____________________
PROFESOR: ALEXIS J. MONTALVO G.
ASIGNATURA: MATEMÁTICA
NIVEL: Xº
GRUPO: CUARTO
SECCIÓN: BACHILLERATOS INDUSTRIALES Y GESTIÓN FAMILIAR E
INSTITUCIONAL
PRÓLOGO
El aprendizaje de las matemáticas está considerado como una prueba evidente de la capacidad intelectual
y el aprovechamiento de un estudiante. Otros saberes o disciplinas no han alcanzado el prestigio
académico que se concede a las matemáticas. Probablemente no es sólo porque requiere el manejo de
nociones abstractas, sino porque está en la base de otros aprendizajes y especialmente en el estudio de
las materias científico-técnicas. A menudo el alumno que encuentra dificultades en esta asignatura tiende
a renunciar: la frase yo no sirvo para las matemáticas suele ser la expresión de esta renuncia.
Sin embargo, las matemáticas están tan al alcance de los estudiantes como pueda estarlo cualquier otra
materia. Estamos hablando de los estudiantes que estudian, naturalmente, porque, pese a que hay quien
defiende que no hay que estudiarlas, porque basta con entenderlas, lo cierto es que el fracaso escolar en
matemáticas no provienen casi nunca de la falta de capacidad (o por lo menos no en mayor grado que en
otras materias), sino de la falta de estudio y de un método de aprendizaje adecuado.
¿Cómo deben estudiarse las matemáticas? ¿Cuál es el método más adecuado?
La verdad es que no hay un solo método, como no hay tampoco un solo tipo de inteligencia o un solo tipo
de estudiante. Cada persona debe encontrar su método, el más adecuado a su estilo de aprendizaje, el que
le reporta mayor eficacia. Pero, sea cual sea su método de estudio, deberá integrar los siguientes pasos o
procesos:
 La identificación del problema al que da respuesta cada aprendizaje. Porque todo cuanto el
estudiante deba aprender carecerá de valor o significado para él si no responde a un problema
planteado previamente, a algo con lo que pueda relacionar el aprendizaje que se le propone. Así,
por ejemplo, aprender qué es y cómo se calcula la raíz cuadrada es menos significativo y
motivador que aprender cómo calcular cuántos metros lineales de muro deberán construirse para
cerrar uno de los lados de un terreno cuadrado de 144 m².
 El establecimiento de relaciones lógicas que permitan, por inducción y deducción, llegar al
enunciado de reglas y principios, de modo que el estudiante a prenda a pasar del caso particular al
enunciado general. Y de éste a la resolución de todos los casos de una misma categoría. En este
proceso se hallan implicados otros procesos significativos, entre los cuales la identificación de las
variables relevantes en un problema.
 La identificación de conceptos y el uso preciso del lenguaje matemático para la descripción de
problemas y procesos, de modo que el estudiante no sólo sea capaz de utilizarlos en un contexto
de estudio de la materia, sino de aplicarlos a la designación, descripción y explicación de
situaciones, experiencias y fenómenos en su propio interno.
 El aprendizaje de los diversos procedimientos de cálculo y operativos, identificando cuáles son las
variables que intervienen, los procesos de transformación o generación de datos que se producen
y la interpretación o lectura exacta del resultado como nueva información, y reconociendo como
tales las estrategias, recursos y rutinas utilizados, sin identificarlas o confundirlas con el
procedimiento en sí mismo. Así, por ejemplo, el estudiante no sólo debe conocer con seguridad el
algoritmo de la multiplicación, sino que debe ser saber por qué en el algoritmo operativo desplaza
un lugar hacia la izquierda la escritura de cada nuevo producto para al final obtener, sumando los
productos parciales, el resultado de la operación.
 La aplicación de los conceptos y procedimientos aprendidos a la definición y resolución de
problemas de todo tipo, no sólo de índole práctica sino también de orden especulativo,
recuperando de este modo el valor de las matemáticas como conocimiento instrumental en todas
las áreas del conocimiento, equiparable al valor instrumental del lenguaje.
A todos los estudiantes del curso de Reforzamiento de Matemática se dirige este módulo, que ha sido
concebido y desarrollado con el único propósito de facilitar el aprendizaje teórico y práctico de los
contenidos matemáticos estudiados en el nivel de undécimo grado.
INTRODUCCIÓN
Desde una perspectiva pedagógica renovada y actual, la enseñanza es un proceso cuyo propósito
fundamental es apoyar y orientar el aprendizaje a través de la mediación cognitiva que debe realizar el
docente.
Este módulo de Matemática ha sido desarrollado de acuerdo al programa vigente del Ministerio de
Educación, para los estudiantes que cursan el Décimo Grado.
En este módulo empezamos con la profundización de la Potenciación, la Teoría de los exponentes y
Números en Notación Científica. Incluye, además, la Radicación y sus operaciones básicas, y por último la
Ecuación cuadrática, sus métodos de solución y gráfica.
El lenguaje empleado en el desarrollo de los temas es sencillo y adecuado al nivel, con definiciones y
ejemplos en cada tema, de la cual espero que los estudiantes logren un aprovechamiento efectivo y
duradero, ya que todos los temas han sido desarrollados de manera metódica y ordenadamente.
Al final del desarrollo de los temas, aparecen ejercicios de práctica correspondientes a cada uno, que
complementa y facilita el sistema enseñanza-aprendizaje.
Espero que mi esfuerzo sea comprendido por los alumnos y todo aquel que en una u otra forma está
relacionado con la actividad docente.
Recomiendo a todos los alumnos que hagan todas las prácticas en el cuaderno. Recuerde que el dominio
de las matemáticas sólo puede aprenderse practicando.
A mis estimados colegas, agradeciéndole que me proporcionen las recomendaciones y sugerencias
necesarias para el mejoramiento del módulo.
Profesor
Alexis J. Montalvo G.
POTENCIACIÓN
INTRODUCCIÓN
En el desarrollo de esta unidad vamos a continuar con el estudio de dos operaciones que son inversas
entre sí: la Potenciación y la Radicación. Avanzaremos en la resolución de las operaciones con diferentes
clases de números y aplicaremos sus propiedades para resolver distintos problemas.
POTENCIACIÓN
La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base y exponente .
Se escribe , y se lee: « elevado a ».
Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número por sí mismo varias veces:
el exponente determina la cantidad de veces.
TEORÍA DE LOS EXPONENTES
 Exponente entero positivo
El entero positivo que indica el número de veces que la base se utiliza como factor, se llama exponente
entero positivo. En el exponente es 2, en es 3, en es 5 y en
es 4.
 Leyes de los exponentes
Si y son bases cualesquiera distintas de cero y
de los exponentes:
1. Multiplicación de potencias de igual base.
Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
2. División de potencias de igual base.
a)
, cuando
b)
c)
Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
, cuando
, cuando
y enteros positivos, se tiene las siguientes leyes
7)
3. Potencia de una potencia.
Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
4. Potencia de un producto.
Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
5. Potencia de un cociente.
Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
PRÁCTICA Nº1
1. Escribir las siguientes expresiones en forma exponencial.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
2. Encontrar el valor de las siguientes potencias.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
3. Encontrar el producto.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
4. Encontrar el cociente.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
5. Expresar cada uno de los siguientes ejercicios en forma de potencias.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
6. Expresar los siguientes productos como una simple potencia.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
7. Expresar cada cociente, como una potencia.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
 Exponente 0
De acuerdo a la definición de potencia, la potencia
carece de significado pues no existe producto
cuando no hay ningún factor. Para este caso se puede dar una definición particular, pero que éste de
acuerdo con las leyes de la potenciación.
Así se sabe que
, y por división de potencias de igual base, cuando los exponentes eran
iguales vale la unidad.
Luego, tomaremos como definición
, si no es cero.
Todo número elevado al exponente cero es igual a la unidad.
Ejemplos:
1)
2)
3)
, si
4)
, si
5)
6)
 Exponente 1
Toda potencia de exponente 1 es igual a la base:
Ejemplos:
1)
2)
3)
 Exponente entero negativo
El exponente negativo resulta de dividir dos potencias de la misma base cuando el exponente de
dividendo es menor que el exponte del divisor.
es lo mismo que:
De donde observamos que:
En general, toda potencia con exponente negativo es igual a la unidad dividida por la misma potencia
con exponente positivo.
y
,
Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Las leyes establecidas para las potencias con exponentes enteros positivos son válidas para las
potencias con exponentes negativos y siempre se deben cumplir las reglas generales de los signos.
 Transformación de exponentes negativos a positivos y viceversa
De acuerdo con la definición del exponente negativo, veamos los siguientes ejemplos:
A. Expresar con exponentes positivos.
1)
2)
3)
4)
Cualquier factor de un término de una fracción se puede trasladar al otro término, si se cambia el
signo del exponente del factor.
Cuando simplificamos una expresión significa que todas las respuestas deben expresarse usando
exponentes positivos.
B. Expresar con exponentes negativos.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
PRÁCTICA Nº2
1. Simplificar.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
2. Escribir las siguientes expresiones usando sólo exponentes positivos y simplificar.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
3. Escribir cada expresión con exponente negativo y simplificar.
a)
b)
c)
d)
e)
Leyes que no cumplen los exponentes
No son distributivos con respecto a la adición y sustracción:
No cumplen la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el
mismo valor o son equivalentes. En general:
Tampoco cumplen la propiedad asociativa:
Potencia de base 10
En las potencias con base 10, el resultado será la unidad desplazada tantas posiciones como indique el
valor absoluto del exponente: hacia la izquierda si el exponente es positivo, o hacia la derecha si el
exponente es negativo.
Ejemplos:
NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
HISTORIA
El primer intento de representar números demasiados grandes fue emprendida por el matemático y
filósofo griego Arquímedes, descrita en su obra El contador de Areia en el siglo III a. C. Ideó un sistema de
representación numérica para estimar cuántos granos de arena existían en el universo. El número
estimado por él era de 1063 granos. Nótese la coincidencia del exponente con el número de casilleros del
ajedrez sabiendo que para valores positivos, el exponente es n-1 donde n es el número de dígitos, siendo
la última casilla la Nº 64 el exponente sería 63 (hay un antiguo cuento del tablero de ajedrez en que al
último casillero le corresponde “2 elevado a la 63” granos).
A través de la notación científica fue concebido el modelo de representación de los números reales
mediante coma flotante. Esa idea fue propuesta por Leonardo Torres Quevedo (1914), Konrad Zuse
(1936) y George Robert Stibitz (1939).
NOTACIÓN CIENTÍFICA
La Notación Científica (o notación índice estándar) es una manera rápida de representar un número
utilizando potencias de base diez. Esta notación se utiliza para poder expresar fácilmente números muy
grandes o muy pequeños.
Los números se escriben como un producto:
siendo:
un número entero o decimal mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe el nombre de coeficiente.
un número entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud.
La notación científica utiliza un sistema llamado coma flotante, o de punto flotante en países de habla
inglesa y en algunos hispanohablantes.
Escritura
100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1 000
104 = 10 000
105 = 100 000
106 = 1 000 000
107 = 10 000 000
108 = 100 000 000
109 = 1 000 000 000
1010 = 10 000 000 000
1020 = 100 000 000 000 000 000 000
1030 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
10 elevado a una potencia entera negativa
es igual a
o, equivalentemente
:
10–1 = 1/10 = 0,1
10–3 = 1/1 000 = 0,001
10–9 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001
Por tanto, un número como:
puede ser escrito como
,
y un número pequeño como 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 939 kg (masa de un
electrón) puede ser escrito como 9.10939×10–31kg.
Usos
Por ejemplo, la distancia a los confines observables del universo es 4,6×1026 m y la masa de un protón es
1,67×10-27kg. La mayoría de las calculadoras y muchos programas de computadora presentan resultados
muy grandes y muy pequeños en notación científica; la base 10 se omite generalmente y se utiliza la letra
E (mayúscula o minúscula) para indicar el exponente; por ejemplo: 1,56234E29. Nótese que esto no está
relacionado con la base del logaritmo natural también denotado comúnmente con la letra e.
La notación científica es altamente útil para anotar cantidades físicas, pues pueden ser medidas
solamente dentro de ciertos límites de error y al anotar sólo los dígitos significativos se da toda la
información requerida de forma concisa.
Para expresar un número en notación científica debe expresarse en forma tal que contenga un dígito (el
más significativo) en el lugar de las unidades, todos los demás dígitos irán entonces después del
separador decimal multiplicado por la potencia de 10 que indique el exponente. Ejemplos:
238294360000 = 2,3829436E11 y 0,00031416 = 3,1416E-4.
OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA
Suma y resta
Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se debe sumar los coeficientes, dejando la potencia de
10 con el mismo grado (en caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse el coeficiente,
multiplicándolo o dividiéndolo por 10 tantas veces como sea necesario para obtener el mismo
exponente):
Ejemplos:
2×105 + 3×105 = 5×105
3×105 - 0.2×105 = 2.8×105
2×104 + 3 ×105 - 6 ×103 = 0,2 × 105 + 3 × 105 - 0,06 ×105 = 3,14 ×105
Multiplicación
Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican los coeficientes y se suman los
exponentes.
Ejemplo:
(4×1012)×(2×105) =
8×1017
División
Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen los coeficientes y se restan los
exponentes (el del numerador menos el del denominador).
Ejemplos:
Potenciación
Se eleva el coeficiente a la potencia y se multiplican los exponentes.
Ejemplos:
(3×106)2 = 9×1012
(1.5 × 10−5 )3 = 3.4 × 10−15
Radicación
Se debe extraer la raíz del coeficiente y se divide el exponente por el índice de la raíz.
Ejemplos:
PRÁCTICA Nº3
1. Resolver las siguientes operaciones con notación científica.
a) 5 × 104 + 3 × 104 = ______________________________
b) 6 × 10−5 + 2 × 10−5 = ______________________________
c) 2.5 × 107 + 5.7 × 107 = ______________________________
d) 3.1 × 10−3 + 4.9 × 10−3 = ______________________________
e) 9 × 109 − 2 × 109 = ______________________________
f) 5 × 10−6 − 2 × 10−6 = ______________________________
g) 6.3 × 105 − 4.9 × 105 = ______________________________
h) 6 × 107 + 2 × 105 = ______________________________
i) 3.1 × 104 + 5.4 × 103 = ______________________________
j) 7 × 105 − 7 × 103 = ______________________________
k) 4.6 × 106 − 5.2 × 104 = ______________________________
l) 2 × 107 + 5 × 105 − 8 × 103 = ______________________________
m) 2.8 × 105 − 1.7 × 104 + 5.1 × 103 = ______________________________
n) (3 × 105 ) × (2 × 108 ) = ______________________________
o) (2 × 10−7 ) × (4 × 10−5 ) = ______________________________
p) (4 × 103 ) × (5 × 105 ) = ______________________________
q) (5.3 × 10−4 ) × (1.5 × 10−9 ) = ______________________________
r) (4.5 × 108 ) × (7.4 × 103 ) = ______________________________
8×109
s) 2×105 = ______________________________
6.5×106
t) 3.3×10−6 = ______________________________
7×10−4
u) 4×10−6 = ______________________________
5×107
v) 1×1010 = ______________________________
w) (5 × 105 )4 = ______________________________
x) (8.3 × 10−2 )6 = ______________________________
y) √4 × 1024 = ______________________________
5
z) √32 × 1095 = ______________________________
Método para representar un número entero en notación científica
Cualquier número entero o decimal, independientemente de la cantidad de cifras que posea, se puede
reducir empleando la notación científica. Veamos en la práctica algunos ejemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
Como se podrá observar, la notación científica se compone siempre de un solo número entero y el resto
pueden ser varios decimales, según la mayor o menor exactitud que requiera una representación
numérica determinada. La cantidad de decimales se puede recortar a uno o dos números solamente por
medio de la aproximación o redondeo de la cifra, pues el objetivo de emplear la notación científica es,
precisamente, acortar las cifras largas, ya sean de números enteros o decimales.
Para convertir en notación científica el número 529 745 386, será necesario contar de derecha a
izquierda los espacios que existen entre el último número de la serie numérica a partir del “6” hasta
llegar al primero (“5” en este caso). Después de contar veremos que hay ocho espacios, por lo que la
notación científica de ese número entero la podemos escribir así: 5,29 x 108. (El superíndice 8 representa
los espacios que hemos contado desde el “6” hasta el “5”).
Si queremos redondear esa cifra para que la notación sea aún más simplificada, podemos escribirla
también como 5,3 x 108 . Igualmente se pueden representar más cifras decimales empleando los propios
números que forman el número entero como, por ejemplo, 5,2975 x 108.
Para convertir de nuevo la cifra representada en notación científica en el número entero que le dio
origen, realizamos la operación inversa. Por ejemplo, si el número entero 529 745 386 se redondeó
originalmente para que su representación decimal en notación científica fuera 5,3 x 10 8 y queremos
restaurar ahora el número original, en este caso será necesario multiplicar
(los ocho
8
ceros se corresponden con el superíndice 10 ). El resultado de la operación será 530 000 000 en lugar de
529 745 386, que como se podrá comprobar difiere algo del número entero original debido a la
aproximación o redondeo que se realizó anteriormente.
Método para representar un número decimal o fraccionario en notación científica
El procedimiento para convertir un número decimal en otro número en notación científica es parecido al
anterior. Tomemos por ejemplo el número 0,000987. Para realizar la conversión, sencillamente corremos
la coma hacia la derecha los cuatro espacios que la separan del “9”, con lo que obtendremos el siguiente
número decimal: 9,87. Por tanto, la notación final quedará de la siguiente forma: 9,87 x 10 -4. Si queremos
acortar más la notación podemos redondear y escribirla también como 9,9 x 10-4. En el caso de la
conversión de decimales a notación científica, el superíndice del “10” llevará el signo “menos” para
indicar que esta notación corresponde a un número fraccionario en lugar de uno entero.
Para convertir de nuevo la notación científica de este ejemplo en decimal, movemos la coma tantos
lugares a la izquierda como número nos indique el superíndice negativo, agregando los correspondientes
ceros para completar la cifra.
PRÁCTICA Nº4
1. Represente los siguientes números en notación científica.
a) 2 549 632 = ______________________________
b) 32 587 695 104 017 100 658 321 = ______________________________
c) 0.000000598 = ______________________________
d) 0.000933 = ______________________________
e) 0.0012 = ______________________________
RADICACIÓN
 Exponente fraccionario
Ahora, queremos extender la definición de 𝑎𝑛 , para potencias de exponente fraccionario, las cuales
cumplen las mismas reglas de cálculo que con los exponentes enteros positivos.
1
1
1
1
1
1
1
Ejemplos: 32 , 43 , 55 , 102 , 26 , 325 , 273 .
1
hemos visto que toda expresión 𝑎𝑛 es una potencia con exponente fraccionario.
1
La expresión 𝑎𝑛 se define como la raíz enésima de 𝑎.
1
𝑛
𝑎 𝑛 = √𝑎
Una potencia de exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo radicando es la base elevada al
numerador del exponente y cuyo índice es igual al denominador.
En general,
𝑚
𝑛
𝑎 𝑛 = √𝑎𝑚
 Transformación de potencias con exponentes fraccionarios a radicales
Aplicando la definición, podemos expresar una potencia con exponente fraccionario en forma de
radicales.
Ejemplos: Expresar con radicales.
1
5
1) 𝑎5 = √𝑎
1
2
2
3
3
4
1
7
2
5
2) 5 = √5
3
3) 9 = √92
4
4) 𝑥 = √𝑥 3
1
1
3
2
7
5) 2 𝑎7 𝑏 7 = √2𝑎𝑏
5
6) 3 𝑥 5 𝑦 5 = √32 𝑥 3 𝑦 2
1
7) 252 = √25 = 5
3
4
4
4
3
8) 814 = √813 = √(34 )3 = ( √34 ) = 33 = 27
2
3
2
3
9) 83 = √82 = ( √23 ) = 22 = 4
1
3
3
10) 273 = √27 = √33 = 3
 Transformación de radicales a potencias con exponente fraccionario
Suele ser conveniente cambiar un radical a su forma equivalente con el exponente fraccionario.
Ejemplos: Expresar los siguientes radicales a su forma exponencial.
1
1) √5 = 52
1
3
2) √7 = 73
4
3
3) √𝑥 3 = 𝑥 4
3
5
4) √𝑚3 = 𝑚5
4
1
5) 5 √𝑚 = 5𝑚4
6
3
6) √𝑥 6 = 𝑥 3 = 𝑥 2
1
4
1
1
1
1
1
1
1
7) √16𝑎𝑏 2 = (16)4 𝑎4 (𝑏 2 )4 = (24 )4 𝑎4 𝑏 2 = 2𝑎4 𝑏 2
4
4
4
2
8
1
1 1
1
8) √625𝑎2 𝑏 8 = √54 𝑎2 𝑏 8 = 54 𝑎4 𝑏 4 = 5𝑎2 𝑏 2
5
10
5
5
9) √𝑥 5 𝑦 5 𝑧 5 = 𝑥 10 𝑦 10 𝑧 10 = 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2
1
6
16𝑥 3 𝑦 4
10) √
9𝑧 2
16𝑥 3 𝑦 4 6
=(
9𝑧 2
) =
1
1
1
(24 )6 (𝑥 3 )6 (𝑦 4 )6
1
1
(32 )6 (𝑧 2 )6
2 1 2
=
23 𝑥 2 𝑦 3
1 1
33 𝑧 3
PRÁCTICA Nº5
1. Expresar cada uno de los siguientes ejercicios como un radical.
1
a) 22 = ______________________________
3
b) 34 = ______________________________
5
c) 646 = ______________________________
1
1
d) 32 𝑝2 = ______________________________
3
e)
16 2
(49)
= ______________________________
5
f) (−128)7 = ______________________________
1
g) (49𝑎2 𝑏 6 )2 = ______________________________
4
h) (27𝑚12 𝑛6 )3 = ______________________________
1
i) (−8𝑥 3 )3 = ______________________________
3
1
3 5
j) 35 𝑥 5 𝑦 5 𝑧 5 = ______________________________
2. Expresar con exponente fraccionario.
a) √5 = ______________________________
5
b) √43 = ______________________________
4
c) √(2𝑥𝑦)3 = ______________________________
3
d) √(𝑎 + 𝑏)2 = ______________________________
1
e) 𝑥 = ______________________________
√
f) √16𝑎𝑏 4 𝑐 8 𝑑 = ______________________________
3
g) 5 √𝑎 = ______________________________
24
h) 3 √𝑥 2 𝑦 5 = ______________________________
4
i) 5𝑚 √25𝑚2 𝑛4 = ______________________________
𝑛
2
j) √𝑥 2𝑛 𝑦 𝑛 +𝑛 = ______________________________
3
k) √𝑥 3𝑛 (𝑥 + 𝑦)3𝑛+6 = ______________________________
4
l) √24 𝑎4 𝑏 4 𝑐 8 = ______________________________
En general, la raíz enésima de una expresión algebraica (de índice 𝑛) es uno de sus 𝑛 factores (divisores)
iguales.
𝑛
√𝐴 = 𝑎, si 𝑎𝑛 = 𝐴
Ejemplos:
Encontrar la raíz indicada.
1) √25 = 5, 52 = 25
4
2 2
2
4
2) √9 = 3, (3) = 9
3
3) √𝑥 6 = 𝑥 2 , (𝑥 2 )3 = 𝑥 6
 Propiedades de los radicales
𝒏
𝒏
𝒏
1. √𝒂𝒃 = √𝒂 √𝒃
La raíz cuadrada de un producto de dos o más factores es igual al producto de las raíces cuadradas de
cada uno de ellos por separado.
𝒏
𝒂
𝒏
2. √𝒃 =
√𝒂
√𝒃
𝒏
La raíz cuadrada de una fracción es el cociente de las raíces cuadradas del numerador y denominador
respectivamente.
𝒏
𝒎
𝒏
3. ( √𝒂) = √𝒂𝒎
Para elevar un radical a una potencia basta elevar el radicando a dicha potencia.
𝒎 𝒏
𝒎𝒏
4. √ √𝒂 = √𝒂
Para hallar la raíz de un radical basta hallar la raíz del mismo radicando con un índice igual al producto
de los índices.
𝒏
𝒏
5. ( √𝒂) = 𝒂
La potencia 𝑛 de la raíz 𝑛 de un número es igual al número mismo.
 Radical a su más simple expresión
Un radical está en su más simple expresión cuando la cantidad que se halla bajo el signo radical es
entera y de menor grado posible.
 Simplificación de radicales
Simplificar un radical es reducirlo a su más simple expresión.
Para simplificar u radical se dividen el exponente del radicando y del índice por un mismo número, (si
existe un divisor común).
Si el índice y el exponente se dividen por su máximo común divisor (m. c. d.) los coeficientes serán
primos entre sí, y el radical se llama irreducible, quedando así reducido a su más simple expresión.
En la simplificación de radicales consideraremos los dos casos siguientes:
1. Cuando la cantidad subradical contienen factores cuyos exponentes son divisibles por el índice.
Ejemplos:
1) Simplificar √40
√40 = √22 ∙ 2 ∙ 5 = 2√10
2) Simplificar √25𝑥 3
√25𝑥 3 = √52 𝑥 2 𝑥 = 5𝑥 √𝑥
3
3) Simplificar √2𝑎4
3
3
√2𝑎4 = √2𝑎3 𝑎 = 𝑎 3√2𝑎
13
13
1
3
1
3
4) Simplificar 4 √160𝑥 7 𝑦 9 𝑧13 = 4 √23 ∙ 22 ∙ 5𝑥 6 𝑥𝑦 9 𝑧12 𝑧 = 4 (2𝑥 2 𝑦 3 𝑧 4 ) √22 ∙ 5𝑥𝑧 = 2 𝑥 2 𝑦 3 𝑧 4 √20𝑥𝑧
5) Simplificar √(𝑎 + 𝑏)2 (𝑎 − 𝑏)
√(𝑎 + 𝑏)2 (𝑎 − 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)√𝑎 − 𝑏
6) Simplificar √𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2
√𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 = √(𝑥 − 𝑦)2 = 𝑥 − 𝑦
4
7) Simplificar √𝑎4 𝑏 4 + 𝑏 4 𝑐 4
4
4
√𝑎4 𝑏 4 + 𝑏 4 𝑐 4 = 4√𝑏 4 (𝑎4 + 𝑐 4 ) = 𝑏 √𝑎4 + 𝑐 4
2. Simplificación cuando los factores de la cantidad subradical y el índice tienen un divisor común.
Ejemplos:
6
1) Simplificar √𝑎3 𝑏 6 𝑐 9
3 6 9
√𝑎3 𝑏 6 𝑐 9 = √𝑎3 𝑏 3 𝑐 3 = √𝑎𝑏 2 𝑐 3
6
15
10
5
2
1
3
2) Simplificar √𝑎10 𝑦 5 = 𝑎15 𝑦 15 = 𝑎3 𝑦 3 = √𝑎2 𝑦
6
3) Simplificar √64𝑎9 𝑏12
6
6
6 9 12
2 3 4
√64𝑎9 𝑏12 = √26 𝑎9 𝑏12 = 26 𝑎6 𝑏 6 = 22 𝑎2 𝑏 2 = √22 𝑎3 𝑏 4 = √22 𝑎2 𝑎𝑏 4 = 2𝑎𝑏 2 √𝑎
Los ejemplos anteriores han sido resueltos en forma más conveniente utilizando los exponentes
fraccionarios, para dividir el índice y los exponentes de los factores por un divisor común y de esta
manera obtener otro radical equivalente al dado.
PRÁCTICA Nº6
1. Hallar la raíz cuadrada exacta.
a) √36 = ______________________________
b) √22 ∙ 34 = ______________________________
1
c) 2 √56 ∙ 32 = ______________________________
d) √49𝑏 8 = ______________________________
e) √192 𝑥 2 𝑦 6 𝑧 8 = ______________________________
2. Simplificar.
4
a) √9 = ______________________________
1
b) √225 = ______________________________
4
225
1
75
5
16
c) 5 √256 = ______________________________
d) √
= ______________________________
4𝑥 2 𝑦 6
e) √9𝑚4 𝑞2 = ______________________________
1
f) 2𝑥𝑦√8𝑥 3 𝑦 36 = ______________________________
(𝑎+𝑏)2
g) √(𝑎−𝑏)2 = ______________________________
6
(𝑥+2𝑦)2
h) √(𝑦+2𝑥)6 = ______________________________
(𝑎+𝑏)10
i) √243(𝑎−𝑏)5 = ______________________________
7
37 𝑎14
j) √𝑚21 𝑛35 = ______________________________
3
k) √24 = ______________________________
l) 3√250𝑥 3 = ______________________________
4
m) 2√81𝑡 3 = ______________________________
4
n) √625𝑥 5 𝑦 5 (𝑥 − 𝑦)4 = ______________________________
5
ñ) √𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏)5 (𝑥 + 𝑦)5 = ______________________________
 Introducción de cantidades bajo el signo radical
Para introducir un coeficiente como factor del subradical se eleva el coeficiente a un exponente igual al
índice de la raíz y luego se multiplica por el subradical, siendo ese producto el nuevo subradical.
En símbolos:
𝑛
𝑛
𝑎 √𝑛 = √𝑎𝑛 𝑏
Ejemplos:
Introducir el coeficiente en el radical.
1) 2𝑚√3𝑚 = √(2𝑚)2 ∙ 3𝑚 = √22 ∙ 𝑚2 ∙ 3 ∙ 𝑚 = √12𝑚3
3
3
2) 3𝑥 3√𝑥𝑦 = √(3𝑥)3 𝑥𝑦 = √27𝑥 4 𝑦
3) (𝑥 + 𝑦)√𝑥 − 𝑦 = √(𝑥 + 𝑦)2 (𝑥 − 𝑦)
Si el coeficiente aparece con un signo menos (−), y el índice de la raíz es par, se introduce el coeficiente
sin el signo menos (−), conservándose éste delante del radical.
4) −2𝑎√𝑎𝑏 = −√(2𝑎)2 𝑎𝑏 = −√4𝑎3 𝑏
5) −3√𝑥 = −√(3)2 𝑥 = −√9𝑥
PRÁCTICA Nº7
1. Introducir el coeficiente dentro del signo radical.
a) 5√3 = ______________________________
4
b) 2 √3 = ______________________________
c) 𝑥 3√𝑦 = ______________________________
d) 3𝑥√2𝑥𝑦 = ______________________________
3
e) 𝑥 4 𝑦 2 √𝑥𝑦 2 = ______________________________
f) 5𝑥 2 𝑦 3 √3𝑥𝑦 2 = ______________________________
𝑎−𝑏
𝑎+𝑏
g) 𝑎+𝑏 √𝑎−𝑏 = ______________________________
h) (𝑎 + 𝑏)√𝑎 + 𝑏 = ______________________________
2
3
i) 3 𝑎3 𝑏 2 √𝑎2 𝑏 = ______________________________
j) 5(𝑎2 + 𝑏 2 )√𝑎 = ______________________________
1
k) 3 √6 = ______________________________
4
l) 4𝑥 5 √2𝑥 2 = ______________________________
 Reducción de radicales al mínimo común índice
Para reducir varios radicales a índice común, se encuentra el mínimo común múltiplo (m. c. m.) de los
índices; éste será el índice común, luego se divide el común índice por el índice de cada uno de los
radicales; el resultado de esta división es el exponente al que se eleva el subradical respectivo.
Ejemplos:
3
1) Reducir los radicales √5 y √2 a índice común.
Tenemos que el m. c. m. de 2 y 3 (índices de los radicales dados) es 6; luego 6 ÷ 2=3 y 6 ÷ 3 = 2, por
lo tanto los radicales dados se transforman en:
6
6
6
3
6
√5 = √53 = √125, √2 = √22 = √4
los cuales tienen el mismo índice.
3
4
6
12
2) Reducir √𝑎2 𝑏𝑐 4 , √𝑎𝑏 3 𝑐 , √𝑥 2 𝑦𝑧, √𝑚3 𝑛2 𝑝5
El m. c. m. de los índices es 12, luego 12 ÷ 3 = 4, 12 ÷ 4 = 3, 12 ÷ 6 = 2, 12 ÷ 12 = 1
3
12
√𝑎2 𝑏𝑐 4 = 12√(𝑎2 𝑏𝑐 4 )4 = √𝑎8 𝑏 4 𝑐16
4
12
√𝑎𝑏 3 𝑐 = 12√(𝑎𝑏 3 𝑐)3 = √𝑎3 𝑏 9 𝑐 3
6
12
12
√𝑥 2 𝑦𝑧 = √(𝑥 2 𝑦𝑧)2 = √𝑥 4 𝑦 2 𝑧 2
12
12
√𝑚3 𝑛2 𝑝5 = √𝑚3 𝑛2 𝑝5
PRÁCTICA Nº8
1. Reducir a índice común.
3
a) √3𝑎 y √4𝑎2
3
4
b) √2𝑥 2 𝑦 y √3𝑥𝑦 2
c) √𝑥 3 𝑦 2 𝑧 y 5√4𝑥𝑦
3
4
d) √3𝑥𝑦, √4𝑥 2 𝑦 y √25𝑥 2 𝑦 3
4
12
3
e) 2 √25𝑚, 3√4𝑚2 y √𝑚5
3 4
2 6
1 3
f) 4 𝑎 √3𝑏, 3 𝑎 √3𝑏 y 2 𝑎 √3𝑏
Operaciones
 Adición y Sustracción
Para adicionar o sustraer radicales debe tenerse presente que sean del mismo índice e igual radicando:
es decir, que sean radicales semejantes.
Al efectuar estas operaciones se toma como factor común al radical de la suma algebraica de los
coeficientes. Los radicales no semejantes, en principio, se pueden sumar o restar siempre que sean
reducibles a radicales semejantes mediante simplificaciones adecuadas.
Ejemplos:
Reducir los siguientes radicales semejantes.
a)
b)
c)
d)
e)
PRÁCTICA Nº9
1. Simplificar
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
 Multiplicación
Para multiplicar radicales de igual índice se multiplican los coeficientes entre sí y las cantidades
subradicales entre sí, colocando este último producto bajo un signo radical común para luego
simplificar, si es posible.
En caso de que los índices sean diferentes, deben reducirse al m .c .i. y luego efectuar la operación
indicada.
PRÁCTICA Nº10
Resolver las siguientes multiplicaciones de radicales.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
 División
Para dividir radicales de igual índice se dividen los coeficientes y lasa cantidades subradicales entre sí,
colocando este último cociente bajo un signo radical común, y simplificando si es posible.
En caso de que los índices sean diferentes, deben reducirse al m. c. i. y luego efectuar la operación
indicada.
PRÁCTICA Nº11
Resolver las siguientes divisiones de radicales.
a)
b)
c)
d)
e)
 Racionalización
La Racionalización es una operación que tiene por objeto transformar las expresiones con
denominadores (numeradores) irracionales, en otras equivalentes cuyo denominador (numerador) sea
racional.
PRÁCTICA Nº12
Racionalizar el numerador o denominador, según se indique.
a)
, denominador
b)
, numerador
c)
, denominador
d)
e)
f)
g)
h)
, denominador
, numerador
, numerador
, denominador
, numerador
i)
, denominador
j)
, denominador
k)
, numerador
l)
, denominador
m)
n)
, numerador
, numerador
ñ)
, denominador
o)
, denominador
 Potenciación
Para obtener la potencia de un radical entero se eleva el radicando a esa potencia, de lo contrario, se
eleva tanto el coeficiente como el radical a dicha potencia. El resultado se simplifica.
PRÁCTICA Nº13
Desarrollar los siguientes ejercicios.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
 Radicación
Para extraer la raíz a una expresión de la forma
resultado; es decir:
se multiplican los índices y se simplifica el
Si la expresión tiene la forma
y no tiene raíz
se procede luego como en el caso anterior.
, se introduce al radical de índice
y
PRÁCTICA Nº14
Simplificar los siguientes ejercicios.
a)
b)
c)
d)
e)
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Actividades de introducción
1.
Si en un cuadrado aumentamos en 6 unidades dos lados paralelos obtenemos un rectángulo.
Calcula el área del rectángulo en función del lado del cuadrado.
2.
Una mujer tiene un estanque rectangular de
estanque como muestra el siguiente dibujo:
metros. Quiere hacer un camino alrededor del
La anchura del camino ha de ser constante en todo el contorno.
Llama a la anchura constante del camino. ¿Cuál será el área del camino?
Calcula los valores de A cuando es 0, 1, 2, 3 y 4. Escribe los valores en una tabla.
Dibuja unos ejes y dibuja los puntos (
).
Si el área del camino ha de ser de
, utiliza la gráfica y averigua el ancho del camino.
¿Para qué valor de es
?
Definición
Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma
y son números cualesquiera, con la condición de que sea distinto de 0.
Las funciones
y
son ejemplos de funciones cuadráticas.
, donde ,
que se corresponden con las dos primeras actividades,
La representación geométrica de una función cuadrática es una curva simétrica que se llama Parábola.
Concavidades
Si 𝑎 > 0, entonces la parábola abre hacia arriba y se dice que la curva es cóncava hacia arriba.
Si 𝑎 < 0, entonces la parábola abre hacia abajo y se dice que la curva es cóncava hacia abajo.
Máximo, Mínimo y Vértice
Considerando 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Al aplicar los métodos de factorización y completar cuadrados se tiene:
𝑥=
La función tiene su valor Mínimo en 𝑦 =
−𝑏
2𝑎
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
y
𝑦=
4𝑎𝑐 − 𝑏 2
4𝑎
si 𝑎 > 0 y su valor Máximo cuando 𝑎 < 0.
−𝑏
A este punto máximo o mínimo se le llama Vértice (𝑉) y sus coordenadas son ( 2𝑎 ,
4𝑎𝑐−𝑏2
).
4𝑎
Eje de simetría
−𝑏
En toda parábola de la forma 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, el Eje de Simetría está representado por la recta 𝑥 = 2𝑎 (abscisa
del vértice), paralela al eje de ordenadas. Esta simetría recibe el nombre de Axial.
Raíces o ceros
Si se tiene presente que 𝑦 = 𝑓(𝑥) y 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, para calcular los ceros de la función se hace 𝑦 = 0
(intersección con el eje 𝑋). Entonces, 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 es una ecuación de segundo grado que puede resolverse
por los métodos estudiados, pudiendo obtener dos, una o ninguna raíz.
Dominio y Codominio
El Dominio de toda función cuadrática es 𝑅 y su Codominio es un subconjunto de 𝑅 determinado así:
i. Si 𝑎 > 0, el codominio es el conjunto de todos los elementos mayores o iguales que la ordenada del vértice de la
parábola.
Simbólicamente:
4𝑎𝑐 − 𝑏 2
𝐶𝑜𝑑(𝑓) = {𝑦 ∈ 𝑅: 𝑦 ≥
}
4𝑎
ii. Si 𝑎 < 0, el codominio es el conjunto de todos los elementos menores o iguales que la ordenada del vértice de la
parábola.
Simbólicamente:
4𝑎𝑐 − 𝑏 2
𝐶𝑜𝑑(𝑓) = {𝑦 ∈ 𝑅: 𝑦 ≤
}
4𝑎
Lo anterior se resume en el siguiente cuadro:
𝑎<0
𝑎>0
Parábola
Parábola
Hacia abajo
Hacia arriba
𝑅
𝑅
4𝑎𝑐 − 𝑏 2
4𝑎𝑐 − 𝑏 2
(−∞,
Codominio
]
[
, +∞)
4𝑎
4𝑎
−𝑏
−𝑏
Eje de simetría
𝑥=
𝑥=
2𝑎
2𝑎
−𝑏 4𝑎𝑐 − 𝑏 2
−𝑏 4𝑎𝑐 − 𝑏 2
Vértice
𝑉 (𝑥 =
,
,
) 𝑉 (𝑥 =
)
2𝑎
4𝑎
2𝑎
4𝑎
Gráfica
Concavidad
Dominio
Gráfica de las funciones cuadráticas
La función cuadrática más sencilla es
9
4
1
0.25
cuya gráfica es:
0 0.5 1 2 3
0 0.25 1 4 9
Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.
Dibujar la gráfica de
0
1
0
2
3 4
0 5
Cortes con los ejes
Observe las parábolas:
a)
Los puntos de corte con el eje son de la forma
.
Sustituyendo por 0 en la fórmula obtenemos la ecuación de segundo grado
, cuyas
soluciones son
,y
.
Los puntos de corte son ( ,0), (3,0).
El punto de corte con el eje se obtiene haciendo
en la ecuación de la parábola. Por tanto, será
(0,3).
b)
Puntos de corte con el eje :
Resolviendo la ecuación
solo punto de corte con el eje :(2,0).
Punto de corte con el eje : (0,4).
, se obtiene como única solución
, que nos proporciona un
c)
Puntos de corte con el eje :
Si resolvemos la ecuación
, obtenemos que
. No existe solución y, por lo tanto,
no tiene cortes con el eje .
Punto de corte con el eje : (0,3)
PRÁCTICA Nº15
1. Determina los cortes con los ejes de las parábolas siguientes:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
2. Determina la ecuación de una parábola cuyos cortes con el eje
sean los puntos (1,0) y (3,0).
3. Determina la ecuación de la parábola cuyos cortes con el eje
eje sea (0,4).
sean los puntos (
4. Determina la ecuación de una parábola que corte al eje
en el punto (2,0) y al eje
Influencia de los parámetros en la gráfica de las funciones cuadráticas
Parábolas del tipo
Las parábolas de ecuación
tienen por vértice el punto
.
Cuanto mayor sea a (en valor absoluto), más cerrada será la parábola.
Las ramas van hacia arriba si
o hacia abajo si
.
,0) y (3,0) y con el
en (0,6).
La forma de una parábola depende única y exclusivamente del coeficiente a de , es decir, cualquier
parábola del tipo
tiene la misma forma que la parábola
.
Por ejemplo:
La parábola
tiene la misma forma que
; encajan perfectamente una encima
de la otra como se puede comprobar si se dibujan las dos parábolas.
Al someter la parábola
su vértice, obtenemos la parábola
a una traslación de vector (4,3), que son las coordenadas de
.
Ejemplo ilustrativo:
Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos:
,
y
Como
es un punto de la parábola ha de cumplir su ecuación, es decir,
De la misma manera,
Y
.
ha de cumplir:
:
Se obtiene el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
Para resolverlo, se puede utilizar el siguiente método general:
Cambiando el signo a alguna ecuación (por ejemplo a la ) y sumándola a las otras dos.
Se obtiene así un sistema
:
cuya solución es
,
Sustituyendo estos valores en cualquier ecuación del sistema inicial, obtenemos
La parábola buscada es
.
Representarla gráficamente.
.
.
PRÁCTICA Nº16
1. Obtener la ecuación de la parábola que pasa por los puntos dados. Y representarla gráficamente.
1.1.
,
y
1.2.
,
y
2. Dibujar la gráfica de cada una de las siguientes parábolas
2.1.
.
2.2.
.
2.3.
Resumiendo:
Dada la parábola
, entonces:
Su forma (hacia arriba, hacia abajo, más cerrada, menos cerrada) depende del coeficiente a de .
Si
, la forma es
y si
, la forma es .
Cuando más grande sea , más cerrada es la parábola.
Existe un único corte con el eje , el punto
.
Los cortes con el eje , se obtienen resolviendo la ecuación
y pueden ser dos,
uno o ninguno.
La primera coordenada del vértice
es
PRÁCTICA Nº17
1. Determinar el signo de los coeficientes de las siguientes parábolas:
Resolución del caso 1:
porque la parábola tiene sus ramas hacia abajo.
La primera coordenada del vértice es negativa, es de decir
mismo,
.
El único corte con el eje
Estudiar los casos 2 y 3.
es el punto
. Observando la gráfica
; luego
.
, o lo que es lo
2. Un agricultor posee 50 m de valla para cercar una parcela rectangular de terreno adosada a un muro.
¿Qué área máxima puede cercar de esta manera?
3. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada (en Km) y los kilómetros recorridos
por la ecuación
. Calcula la máxima altura alcanzada por el proyectil.
están relacionados
Intersección de recta y parábola
Como los puntos comunes (si los hay) de una recta y una parábola han de verificar la ecuación de ambas,
para obtenerlos, se tiene que resolver el sistema de ecuaciones formado por ellas.
Ejemplos:
1. Estudiar la intersección de la recta
y la parábola
.
Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones:
Igualando, se tiene:
Luego,
Las soluciones de esta ecuación son
y
.
Si
, entonces
.
Si
, entonces
.
Por tanto, hay dos puntos de corte entre recta y parábola y tienen de coordenadas
respectivamente.
Se dice, entonces, que la recta y la parábola son secantes.
y
,
2. Estudiar la intersección de la parábola
El sistema
tiene ahora una solución
con la recta
.
.
Por tanto, la recta y la parábola son tangentes.
3. Estudiar la intersección de la parábola
El sistema
y la recta
.
no tiene solución y, por tanto, la recta y la parábola no tienen ningún punto de
corte.
En consecuencia, las posiciones relativas de una recta y una parábola son:
según que el sistema que forman sus ecuaciones tenga dos soluciones, una o ninguna.
Aplicaciones
1. Se lanza un proyectil. La altura alcanzada (en Km) y los kilómetros recorridos están relacionados
por la ecuación
. A 1 Km del lugar de lanzamiento se encuentra una montaña cuya ladera
oeste sigue la recta de ecuación
. Hallar el punto de la montaña donde se producirá el impacto.
El punto de impacto se obtiene resolviendo el sistema
Para
, que tiene dos soluciones:
, que no tiene sentido para el problema real.
, se tiene que
Por lo tanto, el impacto se producirá en el punto
.
3. Un delfín toma impulso y salta por encima de la superficie del mar siguiendo la ecuación
donde es la distancia al fondo del mar (en metros) y el tiempo empleado en
segundos.
a. Calcula cuándo sale a la superficie y cuándo vuelve a sumergirse sabiendo que la profundidad del
lugar es de 20 metros.
b. ¿A qué profundidad inicia el ascenso?
Área bajo de una curva
Podemos estimar el área encerrada por una curva. Por ejemplo, esta gráfica corresponde a la parábola
con tomando valores desde 0 hasta 4.
A partir de los punto marcados, y trazando perpendiculares al eje
, obtenemos una serie de trapecios y
triángulos, cuya suma de áreas se aproximará al área bajo la curva.
Sólo se necesita recordar:
;
En este caso,
,
,
y
, cuya suma total proporciona un área
aproximada de 10 unidades de superficie. Por supuesto podrías sólo calcular el área de
multiplicando por dos obtener el área total.
y
y
Ejemplo:
El techo de un hangar para aviones está diseñado de tal forma que se corresponde con la curva
con
tomando valores desde
hasta 20.
Obtenemos para la función anterior esta tabla de valores:
que nos proporciona la gráfica adjunta.
La suma de estas áreas es de
.
El volumen del hangar se obtiene multiplicando el área del frontal (base) por la profundidad (altura).
PRÁCTICA Nº18
1. Dibujar la gráfica de
para valores de
desde 0 hasta 5.
2. Este dibujo muestra una pieza de una máquina de bronce. La parte curva sigue la fórmula de la función
anterior. Estimar el volumen de bronce que se necesita para construir esta pieza.
3. Un túnel de 100 m de largo ha de ser excavado. La boca del túnel está dada por la ecuación
con
desde 0 hasta 6. Estimar el volumen de tierra y roca que hay que excavar para construir el túnel.
TRIGONOMETRÍA
Etimológicamente, la palabra Trigonometría significa medida de los elementos de un triángulo y
proviene del griego trígonos: triángulo y metría: medida.
La Trigonometría nace con HIPARCO, un griego del siglo II a. C., por una necesidad manifiesta de la
Astronomía de ser una ciencia más exacta. Sin embargo, los egipcios también hicieron aportes a esta rama
recorrido horizontal en palmas
de la matemática, como fue el seqt (1 seqt = recorrido vertical en codos ) que lo utilizaron para medir la
inclinación de las pirámides y que hoy corresponde a la función trigonométrica como cotangente.
Por otra parte, hay indicios de que los babilonios tenían conocimientos del teorema de PITÁGORAS que
los indujo a determinar el valor de una razón que en la actualidad se llama secante.
Se puede decir que la Trigonometría alcanza su punto culminante a principios del siglo XIX, cuando ésta
se une estrechamente con el análisis y de allí en adelante ha sido un valioso auxiliar de otras ciencias.
Trigonometría
La Trigonometría es aquella parte de la Matemática Elemental que estudia la medida de los tres ángulos
de un triángulo en relación con sus lados.
ÁNGULO
Si dos rayos tienen el mismo origen o extremo, pero no están en la misma recta, entonces su reunión es
un ángulo. Los dos rayos se llaman lados del ángulo y el extremo común es el vértice. Si la rotación es
contraria a las manecillas del reloj, el ángulo es positivo y si es en el sentido de las manecillas del reloj,
negativo. Lo representaremos con letras del alfabeto griego y utilizaremos el grado como unidad de
medida.
Lo anterior queda ilustrado en las siguientes figuras:
Lado Terminal
Vértice
Vértice
Lado Inicial
Lado Terminal
Lado Inicial
Medida de Ángulos
Sistemas de medición de ángulos
Hay tres sistemas para medir ángulos: El sistema Sexagesimal, el sistema Mixto y el sistema Circular.
1. El Sistema Sexagesimal: Este sistema fue creado por los primitivos babilonios. Su unidad de medida es
el grado.
Cada grado se considera, a su vez, dividido en 60 partes llamadas minutos y cada minuto en 60 partes
iguales llamadas segundos. Los símbolos para estas unidades son: grados (°), minuto (´) y segundo (´´).
A continuación se presentan equivalencias de este sistema:
1° = 60´
1° = 3600´´
1´ = 60´´
Ejemplo: Expresar 15°40´20´´ en grados.
2. El Sistema Mixto: Este sistema de mediada angular se basa en el sistema sexagesimal, ya que los
ángulos se expresan en grados sexagesimales y en fracciones decimales de grados sexagesimales.
Ejemplo: Expresar 28.53° en grados, minutos y segundos.
PRÁCTICA Nº19
Expresar el ángulo en grados con aproximación a cuatro decimales.
1) 12°34´35´´
2) 273°36´30´´
3) 57°41´
4) 94°17´06´´
Expresar el ángulo en términos de grados, minutos y segundos.
1) 83.162°
2) 12.2575°
3) −223.4500°
4) 60.45°
5) 283°36´30´´
5) 26.25°
3. El Sistema Circular: Este sistema usa como unidad de mediada el radián, cuya abreviatura es 𝑟𝑎𝑑.
Relación entre grados y radianes
 Para convertir medidas de ángulos de grados a radianes se multiplican los grados por
Ejemplos: Exprese cada ángulo como un múltiplo o fracción de 𝜋 radianes.
a) 40°
b) 8°53′20′′
c) 5 ángulos rectos
d) 2 revoluciones
𝜋
180°
 Para convertir medidas de ángulos de radianes a grados se multiplican los radianes por
Ejemplos: Convierta a grados los ángulos dados.
𝜋
5𝜋
𝜋
7𝜋
a) 6
b) 9
c) 36
d) 24
180°
𝜋
Ángulo en posición normal
Si se tiene un sistema de coordenadas rectangulares, un ángulo está en posición normal cuando su vértice
coincide con el origen de coordenadas y su lado inicial con el semieje positivo de las 𝑋. El ángulo queda
localizado en el cuadrante donde se encuentra su lado terminal. Si éste coincide con un eje coordenado,
entonces el ángulo se llama ángulo de cuadrante.
Ángulo Relacionado
Toda función trigonométrica de un ángulo mayor que 90° puede expresarse en términos de una función
trigonométrica de un ángulo del primer cuadrante (ángulo positivo) y ello es posible mediante el uso del
ángulo relacionado.
Sea 𝜃 un ángulo en posición normal mayor que 90° y no múltiplo de él. El ángulo agudo positivo formado
por su lado terminal y el eje 𝑋 se denomina ángulo relacionado.
Si 𝜃 es un ángulo positivo en su posición normal y 𝜃𝑅 el relacionado, entonces podemos determinar el
ángulo relacionado en los diferentes cuadrantes.
Cuadrante Ángulo Relacionado
𝑄1
𝜃𝑅 = 𝜃
𝑄2
𝜃𝑅 = 180° − 𝜃
𝑄3
𝜃𝑅 = 𝜃 − 180°
𝑄4
𝜃𝑅 = 360° − 𝜃
Ejemplos:
Determinar el ángulo relacionado para cada uno de los ángulos dados y construya la gráfica que muestre
los dos ángulos.
43𝜋
𝜋
1) 𝜃 = 248°
2) 𝜃 = 45
3) 𝜃 = 865°
4) 𝜃 = 4
5) 𝜃 = 300°
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Definición
Si 𝜃 es un ángulo en posición normal y 𝑃(𝑥, 𝑦) un punto cualquiera distinto del origen perteneciente al
lado terminal del ángulo, las seis funciones trigonométricas de 𝜃 se definen en términos de la abscisa,
ordenada y la distancia 𝑟 de 𝑃 al origen, así:
y
P(x,y)
= sen 𝜃 =
coseno 𝜃
= cos 𝜃 = 𝑟
tangente 𝜃
= tan 𝜃 = 𝑥
𝑟
𝑥
𝑦
𝑥
r
cotangente 𝜃 = cot 𝜃 = 𝑦
y
secante 𝜃
O
𝑦
seno 𝜃
𝑟
cosecante 𝜃 = csc 𝜃 = 𝑦
x
x
𝑟
= sec 𝜃 = 𝑥
Observación: Haciendo uso del Teorema de Pitágoras, podemos calcular cualquiera de los tres números
𝑥, 𝑦, 𝑟, por la fórmula 𝑟 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 .
Signos algebraicos
Al tomar en consideración los signos de las coordenadas de un punto cualquiera, se pueden determinar
los signos que tendrán las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes. La distancia 𝑟 es
siempre positiva.
Cuadrante sen 𝜃 cos 𝜃 tan 𝜃 cot 𝜃 sec 𝜃 csc 𝜃
𝑄1
+
+
+
+
+
+
𝑄2
+
+
𝑄3
+
+
𝑄4
+
+
Mediante el uso la Geometría Plana se pueden calcular los valores numéricos de las funciones
trigonométricas de 30°, 45° y 60°, así como la de los múltiplos enteros de estos ángulos.
VALOR DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE TRIÁNGULOS NOTABLES
Valores numéricos de las funciones trigonométricas de 𝟑𝟎°, 𝟒𝟓° y 𝟔𝟎°
𝜋
Considerando primero el ángulo de 30° = 6 , cuya construcción en su posición normal aparece en la figura
1.
Y
En consecuencia, de acuerdo con la definición de funciones trigonométricas,
se tiene:
sen 30° =
r=2
𝑦
30
x= 3
Figura 1
𝑟
𝑥
X
1
𝑥
=2
cos 30° = 𝑟 =
y=1
O
𝑦
tan 30° = 𝑥 =
√3
2
1
√3
𝑟
√3
1
2
𝑟
√3
2
cot 30° = 𝑦 =
sec 30° = 𝑥 =
=
√3
3
= √3
csc 30° = 𝑦 = 1 = 2
𝜋
Ahora, considerando el ángulo de 60° = 3 , cuya construcción en su posición normal aparece en la figura
2.
Y
En consecuencia, de acuerdo con la definición de funciones trigonométricas,
se tiene:
sen 60° =
r=2
y=
𝑦
𝑟
𝑥
=
tan 60° = 𝑥 =
60
√3
1
𝑥
1
𝑟
√3
2
𝑟
2
cot 60° = 𝑦 =
cos 60° = 𝑟 = 2
3
𝑦
O
√3
2
1
=
√3
3
sec 60° = 𝑥 = 1 = 2
= √3
csc 60° = 𝑦 =
√3
2√3
=
3
X
x=1
Figura 2
𝜋
Ahora, considerando el ángulo de 45° = , cuya construcción en su posición normal aparece en la figura
4
3.
Y
En consecuencia, de acuerdo con la definición de funciones trigonométricas,
se tiene:
sen 60° =
r= 2
𝑟
𝑥
=
𝑦
X
x=1
√3
2
1
tan 60° = 𝑥 =
√3
1
𝑥
1
𝑟
√3
2
𝑟
2
cot 60° = 𝑦 =
cos 60° = 𝑟 = 2
y=1
45
O
𝑦
=
√3
3
sec 60° = 𝑥 = 1 = 2
= √3
csc 60° = 𝑦 =
√3
=
2√3
3
Figura 3
Aplicando un método análogo al empleado, se pueden calcular las funciones trigonométricas de cualquier
múltiplo de 30°, 45° y 60° cuyo lado terminal no coincida con uno de los ejes coordenados. Por ejemplo,
para calcular el valor de las funciones trigonométricas de 240° se construye el ángulo en su posición
normal (Figura 4). De esta manera el ángulo relacionado con el ángulo de 240° es:
𝜃𝑅 = 240° − 180° = 60°
En consecuencia, de acuerdo con la definición de funciones trigonométricas,
se tiene:
Y
x = -1
240
O
X
sen 240° =
𝑦
𝑟
𝑥
=
cos 240° = 𝑟 =
y=-
3
r=2
𝑦
tan 240° = 𝑥 =
−√3
2
−1
√3
2
1
= −2
2
−√3
−1
=−
= √3
𝑥
−1
𝑟
2
𝑟
2
cot 240° = 𝑦 = −√3 =
√3
3
sec 240° = 𝑥 = −1 = −2
csc 240° = 𝑦 = −√3 = −
2√3
3
Figura 4
Funciones de ángulos de cuadrantes
Al considerar las funciones de los ángulos de cuadrante se destaca la función que desempeña el cero en la
división. Si el dividendo es cero y el divisor es diferente de cero, el cociente es cero; pero si el divisor es
cero, no existe el cociente como número único.
Mediante el cálculo de las funciones trigonométricas del ángulo de 270° (Figura 5), se ilustrará el
procedimiento para obtener las funciones trigonométricas de un ángulo de cuadrante.
En consecuencia, de acuerdo con la definición de funciones trigonométricas,
Y
se tiene:
𝑦
−𝑟
𝑥
0
sen 270° = 𝑟 = 𝑟 = −1
cot 270° = 𝑦 = −𝑟 = 0
O
𝑥
0
𝑦
−𝑟
cos 270° = 𝑟 = 𝑟 = 0
270
x=0
X
tan 270° = 𝑥 =
0
No existe
𝑟
𝑟
sec 270° = 𝑥 = 0 No existe
𝑟
𝑟
csc 270° = 𝑦 = −𝑟 = 1
y = -r
Figura 5
PRÁCTICA Nº20
Construir en su posición normal, los ángulos indicados en los ejercicios 1 y 2 y calcular los valores de sus
funciones trigonométricas.
1. 135°
2. 90°
Demostrar las igualdades de los ejercicios 3, 4 y 5; utilizando los valores de las funciones trigonométricas
de los ángulos de 30°, 45°, y 60° y sus múltiplos.
3. cot 210° sen 60° = 1 + cos 300°
4. csc 60° − tan 30° = tan 210°
1+sen 150°
5. sen 60° = √
2
Valores de las funciones trigonométricas cuando se conoce una de ellas
Conocidos el cuadrante donde se localiza el ángulo y el valor de una de sus funciones trigonométricas, se
puede calcular el valor del resto de ellas haciendo uso de las definiciones. Si el cuadrante no se indica,
entonces procedemos a contemplar aquellos para los cuales se cumple el signo de la función dada.
PRÁCTICA Nº21
1. Tomando en consideración los signos de las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes,
indicar en qué cuadrante(s) queda(n) localizados los ángulos que satisfacen las condiciones indicadas.
a) Secante y tangente negativas.
b) Las demás son negativas, excepto seno y cosecante.
c) Seno y coseno con el mismo signo.
d) Cotangente y secante con signos contrarios.
e) Cosecante y secante con igual signo.
f) Seno y tangente negativas.
g) Cotangente positiva.
h) Tangente y coseno de signos contrarios.
2. Construir el ángulo en posición normal y encontrar los valores de las funciones trigonométricas que se
indican.
4
1) sen 𝜃 = − 5; 𝜃 está en 𝑄1 . (sec 𝜃, cot 𝜃)
2
2) tan 𝜃 = 3; 𝜃 está en 𝑄3 . (sen 𝜃, cos 𝜃)
3) csc 𝜃 = √2; 𝜃 está en 𝑄2 . (tan 𝜃, cos 𝜃)
12
4) cot 𝜃 = 5 ; 𝜃 está en 𝑄1. (csc 𝜃, sec 𝜃)
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Objetivos: Analizar, sintetizar y aplicar la Trigonometría a la resolución de los Triángulos Rectángulos.
Introducción
A continuación se conocerá la aplicación de la Trigonometría a la Resolución de los Triángulos
Rectángulos, y se indicará cómo calcular los elementos desconocidos de esta clase de triángulos cuando
se conocen uno de sus lados y cualquier otro elemento.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
A lo largo del desarrollo de la clase se usará la notación siguiente.
Los ángulos de un triángulo rectángulo (Figura 1) se representarán por las
B
letras mayúsculas A, B, y C, siendo C el vértice del ángulo recto. Y se usarán las
letras minúsculas 𝒂, b y c para representar los lados opuestos a los ángulos A, B
c
y C, respectivamente. Por costumbre, C representa siempre el ángulo recto, y c
a
la hipotenusa. Puesto que el valor de C es siempre fijo e igual a 90°, quedan
cinco elementos del triángulo, A, B, 𝒂, b y c, que son susceptibles de variación.
A
C Para resolver los triángulos rectángulos se usarán cinco fórmulas elementales:
b
Figura 1
sen 𝐴 =
𝑎
𝑐
cos 𝐴 =
𝑏
𝑐
tan 𝐴 =
𝑎
𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180°
Ejemplo 1: En un triángulo rectángulo, 𝐴 = 36°40´ y 𝑎 = 12.63, resolver el triángulo.
Solución:
B
La figura 2 es un esquema a escala aproximada del triángulo determinado por
los datos.
c=?
a = 12.63 Los elementos no conocidos de este triángulo son: el ángulo B, el cateto b y la
36 40
hipotenusa c.
A
C
𝐴 = 36°40´, 𝐵 = __________, 𝐶 = 90°
b=?
𝑎 = 12.63, 𝑏 = __________, 𝑐 = __________
Figura 2
El ángulo B se calcula usando la fórmula 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180°, de donde se obtiene:
𝐵 = 180° − 𝐴 − 𝐶
𝐵 = 180° − 36°40´ − 90°
𝐵 = 53°20°
𝑎
El lado c se calcula como sigue. Puesto que los elementos conocidos son A y 𝒂, y puesto que sen 𝐴 = 𝑐 ,
esta relación es útil para determinar c. En efecto se tiene que:
12.63
sen 36°40´ =
𝑐
𝑐 sen 36°40´ = 12.63
12.63
𝑐=
sen 36°40´
𝑐 = 21.15
Para determinar el valor de b se hace uso de tan 𝐴, obteniéndose
12.63
tan 36°40´ =
𝑏
𝑏 tan 36°40´ = 12.63
12.63
𝑏=
tan 36°40´
𝑏 = 16.96
Ejemplo 2: Dados 𝑎 = 271 y 𝑐 = 428, resolver el triángulo.
B
Solución:
La figura 3 es un esquema a escala aproximada del triángulo determinado por
c = 428
a = 271 los datos.
Los elementos no conocidos de este triángulo son: los ángulos A y B y el cateto b.
𝐴 = __________, 𝐵 = __________, 𝐶 = 90°
A
C
b=?
𝑎 = 271, 𝑏 = __________, 𝑐 = 428
Figura 3
𝑎
El ángulo A se calcula usando la fórmula sen 𝐴 = 𝑐 , de donde se obtiene:
271
sen 𝐴 =
428
sen 𝐴 = 0.63
𝐴 = sin−1(0.63)
𝐴 = 39°20´
El ángulo B se calcula usando la fórmula 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180°, de donde se obtiene:
𝐵 = 180° − 39°20´ − 90°
𝐵 = 50°40´
Para calcular el valor de b, se utiliza el Teorema de Pitágoras 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 , de donde se tiene:
𝑏 = √𝑐 2 − 𝑎 2
𝑏 = √(428)2 − (271)2
𝑏 = 331
PRÁCTICA Nº22
Resolver los siguientes triángulos rectángulos:
1) 𝑎 = 16, 𝐴 = 45°
2) 𝑏 = 28√3, 𝑐 = 56
3) 𝑐 = 48, 𝐵 = 60°
4) 𝑎 = 7.26, 𝐴 = 56°20´
5) 𝑎 = 0.46, 𝑏 = 0.55
ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN
Objetivos: Describir y resolver problemas de aplicación en los que intervienen el ángulo de elevación o el
ángulo de depresión. Interpretar el concepto de dirección o rumbo de una recta que pasa por un punto
dado. Representar gráficamente vectores.
ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN
Si un observador en el punto A (Figura 1) mira hacia un objeto situado en el punto B, el rayo AB se
denomina línea visual. Sea C un punto cualquiera situado en el rayo horizontal que pasa por A y en el
mismo plano vertical que AB.
A
B
C
B
A
C
Figura 1
Entonces, el ángulo CAB formado por la línea visual y la horizontal, se denomina ángulo de elevación o
ángulo de depresión de B, según que B quede arriba o debajo de A. En la figura 1 se ilustran estas
definiciones.
Como aplicación, veamos un problema en el que interviene el ángulo de elevación.
Ejemplo: Desde un punto situado en una línea horizontal a 452 m de la base de un edificio, se encuentra
que el ángulo de elevación a la parte más alta es de 32°10´. Calcular la altura del edificio.
Solución: Se construye primero la figura 2 para tener un esquema del problema.
Para resolverlo se hace uso de la tangente de A en virtud de que esta función
B
contiene los datos y el lado que se busca.
𝑎
Por definición, tan 32°10´ = 452;
Por tanto,
a=?
𝑎 = (452)(tan 32°10´)
𝑎 = (452)(0.63)
32º10´
𝑎 = 284.26
A
C
b = 452
Figura 2
La altura del edificio es, aproximadamente, 284.26 m
Dirección de una recta
En Topografía y en Navegación Marítima, la dirección o rumbo de una recta que pasa por un punto dado
se expresa indicando el ángulo agudo que forma la recta, al este o al oeste, con la línea norte-sur que pasa
por el origen.
Por ejemplo, en la figura 3, el rumbo de OB es 50° al este del norte y se representa N 50° E.
De manera análoga los rumbos de las líneas OC, OD y OF son, respectivamente, N 30° O, S 40° O, y S 20° E.
N
C
B
O
E
D
F
Figura 3
Ejemplo 1: Un terreno está limitado como sigue: Se parte de un ciprés que sirve como marca inicial, se
recorren 402 m en dirección sur, luego 484 m en N 30°10´ E, y de ahí siguiendo exactamente rumbo al
poniente hasta llegar al punto inicial. En la figura 4 se muestra en un esquema del terreno. Calcular el
área en metros cuadrados y la longitud del tercer lado.
Solución:
Para calcular el lado a se hace uso del seno de A, el cual implica a las dos
a=?
partes conocidas y a la incógnita.
C
B
𝑎
sen 30°10´ =
464
Por tanto,
b = 402
c = 464
𝑎 = (464)(sen 30°10´)
𝑎 = (464)(0.50)
𝑎 = 233
A
Figura 4
1
Puesto que se trata de un triángulo, el área es 𝐴 = 2 𝑏ℎ; por tanto,
1
𝐴 = (402)(233)
2
𝐴 = 46800 m²
Ejemplo 2: Un aeroplano parte desde un aeropuerto, A, y viaja durante 3 horas a razón de 180 km por
hora en la dirección 125° y aterriza en el aeropuerto B. Después de abastecerse de combustible, sigue un
rumbo de 270° para aterrizar en C, situado exactamente al sur de A. Calcular la distancia de C a B.
Solución: En la figura 5, las rectas AB y BC son las dos rutas del avión.
El ángulo CAB = 180° − 125° = 55°. Puesto que la dirección 270° es hacia el
N
poniente, el ángulo C es de 90°. En consecuencia, el problema se puede resolver
N
de la siguiente manera:
125º
𝐶𝐵
A
sen 55° =
540
540 km
Por tanto,
𝐶𝐵 = (540)(sen 55°)
B
C
𝐶𝐵 = (540)(0.82) = 442 km
270º
Figura 5
VECTORES
La velocidad de un aeroplano en el aire en calma está determinada por el valor absoluto de la velocidad
transmitida por los motores, y por la dirección dada por el timón. El valor absoluto de la velocidad se
expresa, generalmente, en kilómetros por hora, y la dirección mediante el ángulo que la línea de vuelo
forma con otra fija de antemano, o bien mediante alguna de las convenciones con que se escribe una
dirección tales como “rumbo Este” o “rumbo Noreste”. Se puede observar, pues, que la velocidad del
aeroplano tiene dos características –una magnitud y una dirección-, y que no queda determinada sino
cuando se especifican las dos. Las cantidades que poseen magnitud y dirección se conocen como vectores.
Otros ejemplos de cantidades vectoriales son las fuerzas, las aceleraciones y los desplazamientos. Tales
cantidades se pueden representar gráficamente mediante un segmento rectilíneo que tiene una longitud
y una dirección dadas.
Ejemplo: Si desde un automóvil que va a una velocidad de 20 metros por segundo en dirección Norte, se
arroja una pelota en dirección al Este con velocidad de 15 metros por segundo, determinar la velocidad
de la pelota y la dirección en su trayectoria.
15
3
Solución: El vector que representa 15 metros por segundo es 20 = 4 del vector que representa 20 metros
por segundo. El segmento OB de la figura 6 representa la velocidad que tendría la pelota si la persona que
la ha arrojado no estuviera en movimiento; el segmento OC representa la velocidad del automóvil, y el
segmento OD representa la velocidad real de la pelota. La longitud y la dirección de OD se pueden
determinar por los métodos de la Trigonometría puesto que OCD es un triángulo rectángulo del cual se
conocen dos elementos, siendo uno de ellos un lado. En efecto:
𝐶𝐷
C
D
tan 𝛼 = 𝑂𝐶
15
tan 𝛼 = 20 = 0.75
De donde, 𝛼 = tan−1(0.75) = 37°
𝛼
O
B
Figura 6
Por otra parte
𝑂𝐶
cos 𝛼 = 𝑂𝐷, o sea
20
cos 37° = 𝑂𝐷
20
y 𝑂𝐷 = cos 37° = 25
En consecuencia, la pelota se desplaza con rumbo N 37° E, a razón de 25 metros por segundo.
PRÁCTICA Nº23
1. Un muro vertical de 6.35 metros de alto sirve como represa de control de un canal cuya pendiente es
constante. Cuando el agua ha alcanzado la altura máxima del muro; el espejo del agua tiene una longitud
de 14.3 metros de largo. Calcular el ángulo de elevación del canal.
2. En una torre de 45.6 metros que está sobre un peñasco de 50. 8 metros de alto junto a una laguna, se
encuentra un observador que mide el ángulo de depresión de 18°30´ de un objeto con paracaídas que cae
en la laguna, en el momento de tocar el agua. ¿A qué distancia de la orilla del peñasco debe de empezar a
bucear si es que quiere encontrar el objeto?
3. Un observador encuentra que el ángulo de elevación de la parte superior de un árbol es de 74°30´
medido desde un punto separado 11.98 metros de la base de dicho árbol. Determinar la altura del árbol.
4. Se desea construir una rampa para dar acceso a un puente; el desnivel que se tiene que lograr con
dicha rampa es de 10 metros con un ángulo de elevación constante de 3°30´. ¿A qué distancia de la orilla
del puente debe empezarse la rampa?
5. Un estadio de futbol en Johannesburgo se planea con un ángulo ascendente en las gradas de 38°20´ con
la horizontal; si cada 0.76 metros horizontalmente puede haber una fila de asientos y se desean 48 filas,
¿Qué altura debe tener el estadio?
6. Una tubería de 286 metros de largo se extiende desde el fondo de un tanque situado en lo alto de una
colina a un valle, con ángulo de pendiente constante de 22°33´ ¿Qué altura tiene el fondo del tanque
respecto al valle?
7. La rampa para descender de un barco es de 8 metros de largo, y el extremo inferior descansa a 1 metro
de la orilla del muelle. Si la rampa forma un ángulo con la horizontal de 10°20´ ¿A qué distancia se
encuentra el barco de la orilla del muelle?
8. Un pozo de irrigación está en la línea de demarcación oeste de una hacienda y a 226.5 metros al norte
de la esquina suroeste, se quiere construir una acequia desde dicho pozo a un punto que está a 101.5
metros al norte de la línea de demarcación sur, si la dirección de la acequia es S 62°31´ E, encuentre la
longitud de la acequia.
9. Debido a un accidente en una industria química se tuvieron que desalojar las casas que estuvieran
dentro de un radio de 402 metros de la fábrica. Un hombre vivía a 200 metros al este y 286 metros al sur
de la fábrica. Se desea saber si tuvo que desalojar o no la casa.
10. El propietario de un terreno triangular construyó un muro de 42 metros de largo con dirección S
48°10´ O sobre una de las líneas limítrofes del terreno, los otros dos límites tienen dirección norte-sur y
este oeste. ¿Cuál es el área del terreno?
BIBLIOGRAFÍA
ÁLGEBRA. Décima Edición. McGraw-Hill, México, 1996.
ÁLGEBRA. XIV Impresión. Publicaciones Cultural, México, 1996.
ÁLGEBRA MODERNA, ESTRUCTURA Y MÉTODO. Publicaciones Culturales. XXXII. Reimpresión, México,
1998.
ÁLGEBRA. McGraw-Hill, México, 2000.