Operadores Lógicos y tablas de verdad

ACTIVIDAD ACADEMICA: RAZONAMIENTO Y REPRESENTACION MATEMÁTICA
DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA
UNIDAD N°1: LOGICA Y LENGUAJE
Competencias Básicas

Simboliza proposiciones simples y compuestas

Clasifica las proposiciones de acuerdo a los conectivos lógicos

Determina el valor de verdad de proposiciones compuestas
1.
NEGACION DE UNA PROPOSICION
La negación es la conexión lógica más sencilla. Toda proposición se puede negar anteponiendo a su
enunciado “es falso que”, “no es cierto que” o “no es el caso que” o insertando dentro de la proposición la
palabra “no”. Simbólicamente, la negación de la proposición p sería ~p, que se lee “no p”, “no es cierto que
p”, “es falso que p” o “no es el caso que p”.
La negación es el conectivo lógico que permite cambiar el valor de verdad de una proposición. Así si la
proposición p tiene un valor de verdad verdadero, entonces la proposición ~ p tiene valor de verdad falso.
Tabla de verdad de la negación
p
V
F
~p
F
V
Ejemplo: negar las siguientes proposiciones y escribir el valor de verdad de la negación
p: El índice de precios es una medida frecuente de la inflación
q: Plutón es un planeta
r: Los bancos centrales no controlan el tamaño de la emisión monetaria
s: El número real x es negativo
t: La inflación baja se atribuye a las fluctuaciones de la demanda de bienes y servicios
Solución
~ p: El índice de precios no es una medida frecuente de la inflación ( falso)
~ q: no es cierto que Plutón es un planeta (verdadero)
~ r: Los bancos centrales controlan el tamaño de la emisión monetaria (verdadero)
~ s: El número real x no es negativo o también El número real x es positivo ó cero (abierta
~ t: Es falso que la inflación baja se atribuye a las fluctuaciones de la demanda de bienes y servicios (falso)
2. CONJUNCION
Al enlazar una dos o más proposiciones simples mediante el conectivo y se obtiene una tercera proposición
compuesta llamada conjunción.
La conjunción sirve para indicar que se cumplen dos condiciones simultáneamente. Se puede utilizar cuando
se quiere expresar el hecho de que dos proposiciones son verdaderas. El conectivo lógico que se usa en la
conjunción es  , el cual se lee como “y”. Si p y q son dos proposiciones, p  q se llama conjunción de p y
q.
Ejemplo 1: 5 es un número impar
y
6 es un número par
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
p
q
Se observa que está compuesta de dos proposiciones simples que se denotaran p y q,
p: 5 es un número impar
q: 6 es un número par
Por ser ambas verdaderas, la conjunción de ellas (que no es sino la declaración) es verdadera.
Ejemplo 2: Colombia produce textiles y exporta café
Se observan las dos proposiciones simples
p: Colombia produce textiles
q: Colombia exporta café
Tabla de verdad de la conjunción
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p q
V
F
F
F
Obsérvese que para la conjunción p ^ q sea verdadera las dos expresiones que intervienen deben ser
verdaderas y sólo en ese caso como se indica por su tabla de verdad.


La palabra “y “no siempre denota conjunción como en el caso de: “Santa Marta y Cartagena son destinos
turísticos”.
Se pueden utilizar otras palabras para denotar conjunción como por ejemplo: “pero”, además”, “más
aún”.
3. DISYUNCION.
La disyunción es una proposición compuesta formada por dos o más proposiciones simples relacionadas con
el conectivo o. La disyunción puede ser utilizada en sentido incluyente o excluyente

La disyunción incluyente se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera.
Las oraciones que contienen una “o” se pueden traducir como disyunciones. El conectivo lógico que se usa en
la disyunción es “  ”, el cual se lee como “o”. Si p y q son dos proposiciones, p  q se llama disyunción de
p y q.
Ejemplo: “Colombia firma el TLC con estados unidos o se afilia al grupo de Mercosur”. Se observan las dos
proposiciones simples
p: Colombia firma el TLC con estados unidos
q: Colombia o se afilia al grupo de Mercosur
p  q
Ejemplo: En la oración “El programa de computadora tiene un error, o la entrada es errónea”, no excluye
ninguna de las dos posibilidades. La disyunción se puede decir que es incluyente por lo tanto p  q se puede
leer como “p o q o ambas
A esta disyunción se le conoce también como bancaria, lógica o matemática, que es la misma y se utiliza en
computación como el operador OR
Tabla de verdad de la disyunción
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p q
V
V
V
F
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

Con la disyunción a diferencia de la conjunción, se representan dos expresiones y que afirman que
una de las dos es verdadera, por lo que basta con que una de ellas sea verdadera para que la
expresión p  q sea verdadera.

La disyunción sólo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas.
La disyunción excluyente
La o excluyente, que algunos también le llaman o exclusiva, y que indica que una de las dos proposiciones se
cumple, pero no las dos. Este caso corresponde por ejemplo a: Hoy compraré un libro o iré al cine; se
sobrentiende que una de las dos debe ser verdadera, pero no la dos. Se representa por p XOR q y su tabla
de verdad es:
p
q
p  q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Ejemplo: En la oración “ó el senado realiza una reforma a la justicia ó el gobierno presenta proyectos para
endurecer las penas” la presunción es que debe darse una de las dos situaciones, pero no ambas, entonces
el sentido es de exclusividad
Ejemplo: Sea la proposición: “o se remodela el aeropuerto Simón Bolívar o se construye un aeropuerto con
mayor capacidad” Queda claro que sólo debe darse una de las dos situaciones, y sólo una. Es decir que el
enunciado es verdadero sólo si se da una. En caso de ser a ambas, o de no ser ninguna, el enunciado es
Falso
4. IMPLICACION O CONDICIONAL
Una proposición compuesta es condicional cuando las proposiciones que la forman están relacionadas con el
conectivo lógico si…entonces…, llamado implicación. Recibe también el nombre de implicación. El conectivo
lógico que se usa en la condicional es →. Si p y q son dos proposiciones, p → q se llama condicional de p y q,
y se lee como “si p entonces q” o “p implica q”. La afirmación p se llama antecedente y q el consecuente.
Ejemplo: Si la tierra es un planeta, entonces carece de luz propia
Ejemplo: “Si aumenta el precio de un artículo entonces disminuye la cantidad demandada”
Tabla de verdad de la implicación
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p
q
V
F
V
V
Con respecto a este operador binario, lo primero que hay que destacar es que no es conmutativo, a
diferencia de los dos anteriores la conjunción y la disyunción. El único caso que resulta falso es cuando el
primero es verdadero y el segundo falso. También cabe señalar que este viene a ser el operador más
importante en el proceso deductivo y que la mayoría de las leyes de inferencia y las propiedades en
matemáticas se pueden enunciar utilizando este operador
4.1 Otras formas del condicional
Hay varias maneras de expresar el condicional, algunas son: “si p, entonces q”, “siempre que p, entonces q”,
“p es suficiente para q”, “p sólo si q”, “p implica q”, “Siempre que sucede p sucede q “, “No puede suceder q
si no sucede p” , “q es una consecuencia de p” , “p sólo si q” , “p es razón suficiente para q” , “q es razón
necesaria para p”.
Ejemplo: El aumento en el precio de un bien es suficiente para que la oferta que exista de ese bien sea
mayor.
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También se puede invertir el orden del antecedente y el consecuente; entre las diferentes formas de decir “si
p entonces q” invirtiendo el orden del antecedente y el consecuente se tienen: “q si p”, “q siempre que p”, “q
es necesario para p”, “q es implicada por p”; En este caso se puede representar simbólicamente como q ¬ p.
Ejemplo: “El frasco lleva una etiqueta de advertencia si contiene veneno”, la cual se puede expresar como
“Es necesaria una etiqueta de advertencia para los frascos que contienen veneno”.
En una implicación la relación que se establece entre antecedente y consecuente es meramente suficiente y
no suficiente y necesaria.
4.2 Elementos de un condicional.


Hipótesis o Antecedente: Es la parte del condicional que sigue a la partícula “si”
Conclusión, tesis o consecuente: Es la parte del condicional que sigue a la palabra entonces
Ejemplo: En la expresión: Si el caudal del río Manzanares aumenta, entonces se inundaran los barrios que
se encuentran en su cauce.
La proposición “aumenta el cauce del río Manzanares” es la hipótesis
Y la proposición “se inundaran los barrios que se encuentran en su cauce” es la conclusión
4.3. Contraria, Recíproca y contra recíproca de un condicional
Dado el condicional p  q , llamada para el caso condicional directa, entonces se denominan

Contraria: es la condicional ~ p  ~ q

Recíproca: es la condicional q  p

Contrarecíproca: Es la condicional ~ q  ~ p
5. EQUIVALENCIA O BICONDICIONAL
Una proposición compuesta es bicondicional cuando cada proposición simple implica a la otra. Dichas
proposiciones están relacionadas con el conectivo lógico…si y solo si…
Recibe también el nombre de equivalencia o doble implicación. El conectivo lógico que se usa en la
bicondicional es . Si p y q son dos proposiciones, p q se llama bicondicional de p y q, y se lee como “p si
y sólo si q”. Se puede utilizar “si” como una abreviatura para “si y sólo si”.
Ejemplo: Las células vegetales poseen cloroplastos si, y solo si contienen clorofila
Ejemplo: Se reducen los accidentes laborales si, y solo si se tiene un adecuado programa de prevención de
riesgos.
Tabla de verdad de la equivalencia
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p
q
V
F
F
V
La equivalencia o bicondicional es verdadera cuando una y solo cuando, las dos proposiciones que la forman
tienen el mismo valor de verdad
6. ESTRUCTURA DE LOS ENUNCIADOS
Tanto en el lenguaje corriente como en la lógica, resulta de gran importancia identificar la estructura
conformada por una secuencia de enunciados, que elementos de la secuencia están relacionados entre si y
cuales no lo están.
En el lenguaje corriente hablado, la señalización de la estructura se consigue fundamentalmente con la
entonación y las pausas, en el lenguaje escrito se consigue con los signos de puntuación. Para la lógica
simbólica la estructura del enunciado se pone de manifiesto con el uso de los signos de agrupación
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(paréntesis, corchetes y llaves) que indican que dos o más proposiciones agrupadas se comportan como una
sola.
En algunos casos los signos de agrupación pueden ser eliminados, ya que los términos de enlace poseen
diferente potencia.
7. POTENCIA DE LOS TERMINOS DE ENLACE
Los términos de enlaces o conectivos lógicos cumplen las siguientes leyes:
1. La negación es la más débil de los términos de enlace
2. La disyunción y la conjunción tienen igual potencia y son más fuertes que la negación
3. La condicional y la bicondicional tienen igual potencia y son más fuertes que los demás términos de
enlace
Ejemplos:
El enunciado: “No hay aumento del salario mínimo y no subirá la inflación a final de año” es una conjunción
La representación simbólica ~ p  q  r es un condicional
8. REPRESENTACIÓN DE ENUNCIADOS DEL LENGUAJE COMÚN MEDIANTE LA LÓGICA
PROPOSICIONAL
Conociendo la potencia de los conectivos y con el uso de los signos de agrupación se pueden construir
párrafos o textos completos ya sea en lenguaje común oracional o en lenguaje simbólico, incluso se puede
hacer el proceso de conversión de uno al otro.
Ejemplo: Simbolizar el siguiente párrafo y determinar el tipo de operación lógica predominante
1. Si no se toman las medidas económicas pertinentes, entonces se producirá una revaluación del peso
Solución

Se identifican las proposiciones simples y se les asigna una variable proposicional
Sean p: Se toman las medidas económicas pertinentes
q: Se producirá una revaluación del peso

Se simboliza el párrafo
~ pq
El enunciado es un condicional
2. Si la empresa diseña un presupuesto adecuado entonces podrá establecer prioridades, y
evalúa la consecución de los objetivos si y solo si el presupuesto presentará un superávit.
Solución


la empresa
Se identifican las proposiciones simples y se les asigna una variable proposicional
Sean p: La empresa diseña un presupuesto adecuado
q: La empresa podrá establecer prioridades
r: La empresa evalúa la consecución de los objetivos
s: El presupuesto presentará un superávit
Se simboliza el párrafo
( p  q)  (r  s )
El enunciado es una conjunción
Es importante tener en cuenta los signos de puntuación para equipararlos con los de agrupación y poder
determinar la extensión de la proposición y la potencia del conector
9. DIAGRAMAS DE VERDAD
En algunos casos se tiene el valor de verdad de las proposiciones simples que hacen parte de la proposición
compuesta y se desea conocer el valor de verdad de dicha proposición compuesta. Un proceso cómodo y
sencillo es utilizando los diagramas de verdad, que consta de los siguientes pasos:
1. Se simboliza el enunciado en caso de que sea idiomático
2. Se coloca debajo de cada proposición simple su valor de verdad
3. Se determina el valor de verdad de las proposiciones compuestas mas sencillas
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4. Se continua el proceso de acuerdo con la estructura del enunciado hasta llegar al último enlace
Ejemplo: Si p es verdadera, q falsa y r falsa, determinar el valor de verdad de
(~ p  q)  r
10. TABLAS DE VERDAD DE PROPOSICIONES COMPUESTAS
Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una
proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus
componentes. Las tablas de verdad se usan para encontrar el valor de verdad de las proposiciones
compuestas de naturaleza extensa.
CONSTRUCCIÓN DE UNA TABLA DE VERDAD
A partir de una fórmula cualesquiera en lógica de enunciados se va a poder construir su tabla de verdad
siguiendo los cuatro pasos siguientes
1. Hay que especificar qué proposiciones simples aparecen en la fórmula dada. estas deberán colocarse
individualmente al principio de la tabla de verdad y justo debajo de ellas se deberán construir todas
las combinaciones posibles de valores de verdad entre estas, por medio de una serie de filas, cuyo
número deberá ser igual a 2 elevado al número de proposiciones simples diferentes, es decir
2 n donde n representa el número de proposiciones simple
2. En segundo lugar, se deben rellenar ese número de filas especificado asegurándose que están
presentes todas las combinaciones entre los valores de verdad
3. A partir de estas líneas iniciales y siguiendo las tablas de verdad de los conectivos lógicos se deben
construir las columnas intermedias
4. Por último, a partir de las columnas intermedias se debe llegar hasta la columna final, siguiendo
siempre el mismo procedimiento, es decir, teniendo en cuenta los conectores implicados en cada
caso y los valores de verdad y las fórmulas a las que afectan.
Miremos un ejemplo:

Hallar el valor de verdad de ( p  q)

~ (p  q)
Solución: se construye una tabla en la que aparezcan las proposiciones compuestas, siguiendo el orden de
los signos de agrupación
p
q
(p  q)
(p  q)
~ (p  q)
( p  q)  ~ (p  q)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
11. TAUTOLOGIAS Y CONTRADICCIONES
Una tautología es una expresión lógica que es verdadera para todos los posibles valores de verdad de sus
componentes atómicos. En lógica se entiende por tautología aquella proposición cuya tabla de verdad da
siempre el valor de verdad V en todos los casos posibles de los valores de verdad (V, F) de cada una de las
proposiciones que la integran, o de un modo más sencillo: la supuesta explicación de algo mediante una
perogrullada, la “explicación” o definición de algo mediante una ligera variación de palabras que tienen en
conjunto el mismo significado ya conocido de lo supuestamente explicado (Ej.: “Existe el calor porque lo
provoca el calórico”).
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Tautología: en todos los casos la forma del argumento ofrece un resultado verdadero, por lo que el
argumento es válido.
Una contradicción es una expresión lógica que es falsa para todos sus valores.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE AUTONOMO
I. Niegue las expresiones siguientes.
p: El presupuesto es un plan de acción dirigido a cumplir una meta prevista
q: El estado está aumentando su deuda externa
r: México no es socio comercial de Colombia
s: Los gerentes tienen capacidad de liderazgo
t: Los empleados demuestran ser eficientes
w:. Ninguna empresa publica paga impuesto
II: Escriba las siguientes expresiones en forma simbólica y determine el operador predominante
1. El estado no conoce la información o las empresas públicas no están declarando sus rentas
2. Si las exportaciones aumentan entonces se acelera el envío de divisas, y con esto, disminuye el flujo de
capitales nacionales o se reducen los impuestos arancelarios.
3. Si se eliminan las aduanas o no se intervienen las zonas fronterizas, entonces, se incrementaría el
contrabando y se perjudicaría enormemente al comercio formal
4. La nación reconoce a las victimas del estado y les retorna sus tierras si y solo si el senado apruebe la ley
de restitución de tierras o la fiscalía establezca las verdaderas víctimas
5. Si encuentra un producto mejor, cómprelo
6. Steve Jobs no es empresario ni profesional
III. Escriba con palabras las siguientes expresiones simbólicas
1. p v q
p: Las tasas de interés son muy altas
q: Los clientes de los bancos temen endeudarse
2. p → (q v r)
p: Se tiene un plan de contingencia para la temporada invernal
q: Se construyen albergues provisionales
r: Se cuenta con un plan de alimentación para afectados
3. (p ^ q) ↔ r
p: compraré el texto de pensamiento lógico
q: Diseñaré unas diapositivas
r: el docente organiza grupos colaborativos
4. (p v q) ↔ r
p: encuentro un cuaderno azul
q: encuentro un cuaderno rojo
r: compro un cuaderno
5. ( p ^ q ) → (r v s)
p: Apruebo el examen de pensamiento lógico
q: resuelvo la guía de aprendizaje autónomo
r: Aseguro la nota del segundo seguimiento
s: voy relajado al examen final
IV. Construya un diagrama de verdad, sabiendo que p es falsa, q es verdadera, r es falsa y s
verdadera determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones
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( p  q)  r
2. ~ q  (r  p)
3. ~ (q  s) ~ r
4. ~ p  (r  p)  (r  s ) ~ (s  q) 
1.
V. Completar las siguientes tablas de verdad
p
V
V
V
V
F
F
F
F
p
q
V
V
F
F
V
F
V
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
(p  q)
~ (p  q)
~(p  q)
F
q
~ p  q  q  p
V
V
F
(p  q)
(q  r)
(p  r)
(p  q)
 (q  r)
((p  q)

(q  r))

(p  r)
V. Construya una tabla de verdad
1.
2.
3.
4.
5.
p q r
(p ^ ~q) → p
(p  q) ↔ (p → r)
((p → q) ^ p)→ q
(p  r) → (q → p)
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Y WEBGRAFICAS
Jesús Tinoco Del Valle. Introducción a la Lógica Simbólica
Seymour Lipschutz. Matemáticas para Computación. Editorial Mc Graw Hill. México 1988
Escobar, Gustavo. 2005. Lógica Nociones y Aplicaciones. McGraw Hill Interamericana. 3ed Edición, México
D.F
Corina Yoris. Introducción a la lógica. Notas sobre Lógica Proposicional. Caracas 2007
Jaramillo Atehortua, Alberto and Mejía Laverde, Clara Elena y otros (2001). \Modelos de razonamiento
logico-matematico implementados en situaciones problema, en algunos temas específicos de la matemática.
\Medellín: Universidad de Antioquia.
http://www.mitecnologico.com/Main/ImplicacionTautologica
http://es.wikipedia.org/wiki/Tabla_de_verdad
http://es.scribd.com/doc/39851696/5/III-3-CONSTRUCCION-DE-TABLAS-DE-VERDAD
http://es.wikipedia.org/wiki/Presupuesto
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