guÍa de estudio no 1 cÁlculo diferencial 2016-1

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA
ÁREA DE MATEMÁTICAS
GUÍA No. 1
2016-1
Dependencia: Facultad de Ciencias
Empresariales y Económicas
Asignatura: Cálculo Diferencial
INTERVALOS
Subconjunto de los números reales y se clasifican en finitos e infinitos.
Finitos
 Abierto
Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, excluyendo a y b,
simbólicamente (𝑎 , 𝑏) = {𝑥 𝜖 𝑅 / 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}
Gráficamente
-∞
∞
a
b
 Cerrado
Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, incluyendo a y b,
simbólicamente [𝑎 , 𝑏] = {𝑥 𝜖 𝑅/ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
Gráficamente
-∞
∞
a
b
 Semi-abierto o semi-cerrado
(a , b] = {x 𝜖 𝑅/ a < x ≤ b}
-∞
∞
a
[a , b) = {x 𝜖 𝑅/ a ≤ x < b}
b
-∞
∞
a
b
Intervalos Infinitos:
(a,∞) = {x 𝜖 𝑅/ x > a}
-∞
∞
a
[a,∞) = {x 𝜖 𝑅/ x ≥ a}
-∞
∞
a
(-∞, a) = {x 𝜖 𝑅/ x < a}
-∞
∞
a
(-∞, a] = {x 𝜖 𝑅/ x ≤ a}
-∞
∞
a
Ejercicios 1
1. Escriba la desigualdad correspondiente a cada intervalo y dibuje su gráfica
(1,3)
(0,3]
[-0.5, 4.5)
(− 3 , 5]
2
[-1,∞)
3 7
[− 4 , 2)
(-∞,2)
2
(5 , ∞)
Desigualdades
Proposiciones tales como 𝑎 < 𝑏, 𝑎 > 𝑏, 𝑎 ≥ 𝑏 𝑜 𝑎 ≤ 𝑏, se llaman desigualdades. En
particular, 𝑎 > 𝑏 y 𝑎 < 𝑏 son desigualdades estrictas. La solución de una desigualdad en
una variable es el conjunto de todos los valores de la variable para los cuales la
desigualdad es una proposición verdadera.
Propiedades.


Cuando el mismo número real se suma o se resta a ambos lados de una desigualdad,
el sentido de la desigualdad no se altera.
El sentido de la desigualdad se preserva si ambos lados se multiplican (o dividen)
por el mismo número positivo y se invierte cuando se multiplican (o dividen) por el
mismo número negativo.
Desigualdades lineales
Ejemplo 1.
2x  5
 x 1
3
2 x  5  3 ( x  1)
2 x  5  3x  3
 5  3  3x  2 x
8  x
x  8
Solución: (- 8, + ∞)
(
-8
Ejemplo 2.
2  3  3 x  7
Primercaso
2  -3 - 3x
3x  -3 - 2
3x  -5
x-
Segundo caso
3  3x  7
-3  7  3x
3x  4
5
3
x
4
3
Solución: ( 53 , 43 ]
(
]
Ejemplo 3.
1
2
x  2  14 x  3
1
2
x  14 x  3  2
1
4
x 1
x4
Solución: (-∞, 4]
]
4
Desigualdades Cuadráticas
Ejemplo 4.
x 2  4x  3  0
Factorando
(x - 3) (x - 1)  0
(x - 3)(x - 1)  0
Igualando a cero
Luego, x = 3 y x = 1
Estos valores dividen a la recta real en tres intervalos: (−∞, 1]; [1,3]; [3, ∞)
Tomando puntos de prueba dentro de cada intervalo y remplazando en la desigualdad,
obtenemos que para x=0 y para x = 4 la desigualdad no se cumple, mientras que para x = 2,
si, luego el intervalo solución es:
Solución: [1, 3]
[
1
]
3
EJERCICIOS: resolver las siguientes desigualdades
1. −7 < 2𝑥 + 1 < 19
2. −5 ≤ 𝑥 − 3 ≤ −3
3. −1 <
3−7𝑥
4
1
1
<6
3
4. 2 ≤ 2𝑥 − 2 ≤ 4
5. 𝑥 2 + 2𝑥 − 15 > 0
6. 3𝑥 2 + 2𝑥 − 5 ≤ 0
7. 8𝑥 2 − 22𝑥 + 15 ≥ 0
8. 𝑥 2 + 9𝑥 + 20 < 0
9.
2𝑥+3
𝑥+2
>0
𝑥+5
10. (𝑥−4)(𝑥−3) ≤ 0
RELACIÓN Y FUNCIÓN
Se define como relación o correspondencia R entre los conjuntos A y B, a un subconjunto
del producto cartesiano A x B, compuesto por pares de elementos que cumplen cierta regla
definida. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios, todos o ninguno de los
que forman parte de A x B, por lo tanto:
Ejemplo:
Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} , B = {1, 3, 5, 6} y la relación R definida como
“mayor que” que vincula elementos de A con los de B (en ese orden)
Forma implícita:
R = {(x, y)  AxB / x  y}
Forma explícita:
R = {(2,1); (3,1); (4,1); (4,3); (5,1); (5,3)}
El conjunto de pares ordenados que forman parte de R está compuesto por un elemento del
primer conjunto y un elemento del segundo conjunto en ese orden y además satisfacen la
condición que define esa relación. Se dice que:
Elementos de una relación
x
R
y
o
( x, y )
 R
Volvamos al ejemplo anterior:
El conjunto A es el conjunto Inicial o conjunto de Partida. Los elementos de A que forman
parte de la relación son el primer componente de las parejas; en el diagrama de flechas es el
de donde parten las flechas.
El conjunto B es el conjunto Final o conjunto de Llegada. Los elementos de B que forman
parte de la relación son el segundo componente de las parejas; en el diagrama de flechas es
al que llegan las flechas.
El Dominio es el conjunto de los primeros elementos de cada par ordenado. De cada
elemento del dominio sale por lo menos una flecha. O sea que el Dominio es un
subconjunto del conjunto de Partida, ya que algunos elementos del conjunto inicial pueden
no formar parte de la relación.
Simbólicamente:
Dada R  (AxB), DR = { x / x ∈ A ˄  (x,y) ∈ R}
Imagen es el conjunto de los segundos elementos de cada par ordenado. En una relación, a
cada elemento del conjunto Imagen llega por lo menos una flecha. El conjunto Imagen es
un subconjunto del conjunto de Llegada, ya que algunos elementos del conjunto final
pueden no formar parte de la relación. Al conjunto Imagen, también se le llama Domino de
Imágenes.
Simbólicamente:
Dada R  (AxB), IR = { y / y ∈ B ˄  (x,y) ∈ R}
En nuestro ejemplo:
Conjunto de Partida = {1, 2, 3, 4, 5}
Conjunto de Llegada = {1, 3, 5, 6}
Dominio R = {2, 3, 4, 5}
Imagen R = {1, 3}
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Una función (f) es una regla que produce una correspondencia entre los elementos de dos
conjuntos tal que a cada elemento del primer conjunto le corresponda un elemento y sólo
un elemento del segundo.
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN
Recordemos que toda función es una relación pero toda relación no es función. Todas las
relaciones que son funciones están definidas para un determinado intervalo de números en
el conjunto de los Reales en un plano cartesiano. Si nombramos la función como y=f(x),
decimos que “x” es la variable independiente de dicha función cuyos valores están
definidos por el DOMINIO, además, “y” es la variable dependiente (pues depende de los
valores que tome “x”) cuyos valores están definidos por el RANGO de la función. Como
se definió anteriormente una función puede considerarse como una correspondencia de un
conjunto X de números reales x a un conjunto Y de números reales y, donde el número y es
único para cada valor especifico de x
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN.
Es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a
“X” (variable independiente) forman el conjunto de partida. Gráficamente lo miramos en el
eje horizontal (abscisas), leyendo como escribimos de izquierda a derecha. El dominio de
una función está formado por aquellos valores de “X” (números reales) para los que se
puede calcular la imagen de f(x).
RANGO DE UNA FUNCIÓN.
Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "Y" (variable
dependiente), por eso se denomina “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a "X".
Gráficamente lo miramos en el eje vertical (ordenadas), leyendo de abajo a arriba. El Rango
de una función es el conjunto formado por las imágenes f(x) de los valores de “X” que
pertenecen al Dominio de dicha función. La manera más efectiva para determinar el Rango
consiste en graficar la función y ver los valores que toma “Y” de abajo hacia arriba.
Gráficamente:
f
1
2
3
X
4
5
Y
1
2
3
El dominio está dado por los elementos de salida:4 Dominio = {1,2,3,4,5} y el rango está
dado por los elementos de llegada que son imágenes
de cada elemente del dominio:
5
Rango = {2,4,5}. Se identifica también en este documento que existe el CODOMINO y
son todos los elementos del conjunto Y (los que son y no son imágenes) en la función de la
gráfica Codominio = {1,2,3,4,5}.
Para determinar el dominio de una función tenga en cuenta lo siguiente:
1. Si f (x ) es polinómica entonces el dominio es el conjunto de todos los números
reales, es decir Domf ( x)  x / x  (, )  Domf ( x)  R
p ( x)
2. Si f (x ) es de la forma f ( x) 
entonces el dominio se expresaría así:
q ( x)
Domf (x)  R  ai  , donde los a i son aquellos valores tales que q(ai )  0
3. Si f (x ) es de la forma f ( x)  n p( x) y n es par, entonces el dominio se expresaría
así: Dom f ( x)  x / p( x)  0  x  R ( esto nos muestra el hecho que si el índice
de la raíz es par la cantidad subradical no puede ser negativa)
4. Si f (x ) es de la forma f ( x)  ln( p( x)) el dominio se expresaría así:
Dom f ( x)  x / p( x)  0  x  R
Ejemplos:
Hallar el dominio y rango de las siguientes funciones:
1. Sea la función constante 𝑓(𝑥) = 5.
2. 𝑓(𝑥) = 2x + 1. Dom = Rango = R
3. 𝑓(𝑥) =
3x
4
−1
Dom = Rango = R.
4. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 − 3
Dom = R, Rango = {5}
Como es una función cuadrática es decir de segundo grado el dominio será todo el
conjunto de los números reales. Dom f(x) = R
y




x













El eje “Y” empieza a tomar valores (de abajo hacia arriba) a partir de -4 lo que
quiere decir que el Rango = [– 4, + ∞).
5.
−2
ℎ(𝑥) = x−12 . Igualando el denominador a cero: 𝑥 − 12 = 0 se encuentra que x = 12
con lo que el Dominio = R − {12}. Para hallar el rango se despega la variable x
−2+12y
quedando así 𝑥 = y
entonces el Rango = R − {0}
6. 𝑓(𝑥) = √x − 4 es una función con raíz cuadrada por lo que el dominio está restringido
es decir 𝑥 − 4 ≥ 0 con lo que x ≥ 4 entonces:
El Dominio f ( x)  x / x  4  x  R o lo que es lo mismo x  4, . Y para el rango
tenemos que despejar a x así: x  y 2  4 por tanto el rango son todos los números
reales.
7.
f ( x) 
4x
En esta función tenemos dos casos, el de la raíz de índice par y la
x2
variable x en el denominador, por tanto se debe cumplir que x  2  0  x  2 , es
decir el Dominio f ( x)  x  R / x  2
EJERCICIOS.
Hallar el dominio de cada función
1. 𝑓(𝑥) = 10
−4
11. 𝑓(𝑥) = 2𝑥−3
4
2. 𝑓(𝑥) = 4 − 3𝑥
12. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +9𝑥+20
3. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 7𝑥 + 10
13. 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 100
4. 𝑓(𝑥) = 5𝑥 2 − 2𝑥 − 3
14. 𝑓(𝑥) = √3𝑥 + 2
5. 𝑓(𝑥) =
1
𝑥+2
6. 𝑓(𝑥) =
7. 𝑓(𝑥) =
15. 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 − 36
𝑥−10
𝑥−3
𝑥 2 −1
8. 𝑓(𝑥) = {
𝑥−1
3x − 2, si x < 1
𝑥2 ,
si x ≥ 1
16. 𝑓(𝑥) = {
3x − 2,
𝑥2 − 1 ,
17. 𝑓(𝑥) = {
3x − 2, si x < 1
𝑥2 ,
si x ≥ 1
18. 𝑓(𝑥) = {
9. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2 − 2
19. 𝑓(𝑥) =
10. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 3𝑥 − 1
20. 𝑓(𝑥) =
si x < 1
si x ≥ 1
−x, si x < 0
x , si x ≥ 0
2𝑥 2 +7𝑥+3
𝑥+3
√𝑥−1
2𝑥+3
FUNCIÓN LINEAL. Una función
lineal se define por f ( x)  mx  b . Donde m y b son
b
constantes y m  0 . Su gráfica es una recta cuya pendiente es m y su intercepción y u
ordenada al origen es b . El dominio de cualquier función lineal es ( , ) , y el rango es
igual a su dominio siempre y cuando m  0
b
b
m  0, b  0
b
m  0, b  0
b
m  0, b  0
m  0, b  0
FUNCIÓN CONSTANTE. Una función constante es una función lineal de la forma
f ( x)  b , donde b es un número real. El rango para este tipo de función es b .
b
b
b0
b0
En la definición de función lineal se utilizó el término pendiente, el cual corresponde a la
medida de la inclinación de la línea recta que representa a la función. Una forma de medir
dicha inclinación es comparar su cambio vertical (la elevación) con el cambio horizontal (el
avance) cuando se avanza a lo largo de la recta de un punto fijo hacia otro, es decir, dados
dos puntos distintos  x1 , y1  y  x2 , y2  la razón de cambio en y al cambio en x , se expresa
m
y2  y1
x2  x1
Ejemplo 1. Trace la gráfica de la recta que tiene pendiente de 2 / 3 y pasa por el punto
 1, 4 
En primer lugar, hay que localizar el punto  1, 4  en una gráfica, como se muestra en la
figura
, después con la definición de pendiente,
m
y2  y1 2

x2  x1 3
Hay que moverse dos unidades hacia arriba en la dirección y , y después tres unidades a la
derecha en la dirección x , para ubicar otro punto de la gráfica (denotado con P) la recta que
pasa por  1, 4  y P, es la gráfica que se pide.
Ejemplo 2. Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos  2, 1 y  5,3  .
Si  2, 1   x1 , y1  y  5,3   x2 , y2  , entonces
m
y2  y1 3  (1)
4


x2  x1
5  2
7
Si los puntos se ubican en forma contraria la pendiente sigue siendo la misma.
Ejemplo 3. Calcule la pendiente, si fuera posible, de cada una de las rectas siguientes.
a) x  3
Tras una simple inspección, se tiene que
 3,5 y  3, 4  son
dos puntos que
satisfacen la ecuación x  3 . Utilizando estos puntos para encontrar la pendiente
tenemos
y y
4  5
9
m 2 1 
  Pendiente indefinida
x2  x1 3  (3)
0
¿Corresponde esta ecuación a una función? Explique.
b) y  5
De igual manera tómese los puntos
3,5 y  1,5 ,
y utilícese la definición de
pendiente
m
y2  y1
55
0

 0
x2  x1 3  (1) 4
¿Corresponde esta ecuación a una función? Explique.
Si se conocen dos puntos de una recta, es posible obtener la ecuación de la recta. En primer
lugar, se encuentra la pendiente con la fórmula de ésta, luego se utiliza su valor en la forma
y  m( x  x1 )  y1 que recibe el nombre de forma punto-pendiente con uno de los puntos
dados. Si lo que se conoce es la pendiente y la intercepción con el eje y tiene las
coordenadas (0, b) . Entonces, se obtiene que la fórmula es y  mx  b , que se conoce como
forma pendiente-intercepto.
Ejemplo 4. Obtenga la fórmula de la función lineal representada en la recta que pasa por
los puntos (4,3) y (5, 7) .
En primer lugar se obtiene la pendiente, por medio de la definición
m
y2  y1
7  3
10


x2  x1 5  (4)
9
Como ( x1 , y1 ) puede usarse cualquiera de (4,3) y (5, 7) , en la forma punto-pendiente de
la ecuación de la recta. Si se emplea (4,3) tenemos
y  m( x  x1 )  y1
10
 x  (4)  3
9
10
40
y   x 3
9
9
10
13
y  x
9
9
y
Luego la función lineal es f ( x)  
10
13
x
9
9
Ejemplo 5. Dibuje la gráfica de la función lineal f ( x)  2 x  3 . Diga el dominio y el
rango.
Por tratarse de una función lineal no constante, tanto el dominio como el rango es ( , ) ,
por otro lado para trazar la gráfica de la función ubique la intercepción con y , (0,3). Desde
2
para ir dos unidades hacia abajo y una a la derecha.
1
Este segundo punto se emplea para obtener la gráfica de la figura
este punto, use la pendiente 2 
Ejemplo 6. Dibuje la gráfica de la función lineal f ( x) 
1
x  2.
2
f ( x) 
1
x2
2
Nótese que el punto de intercepto es (0, 2) , desde este punto, use la pendiente para
introducir una unidad hacia abajo y dos unidades a la derecha, este segundo punto (2,3) se
emplea para obtener la gráfica uniéndolo con el primero como muestra la figura
EJERCICIOS:
1. Dibuje la gráfica de cada función lineal. Escribe el dominio y el rango.
a) f ( x)  2 x  5
1
x2
2
c) k ( x)  3x
b) h( x) 
1
d) g ( x)   x  1
4
e) f ( x)  4
2. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones define una función lineal? Explique.
x5
a) y 
4
b) y  x 2
c) y 
1
x
d) y  x
3. Determine una ecuación que satisfaga las condiciones que se exponen. ¿son funciones?
a) Pasa por (9,5) ; pendiente 0.
b) Pasa por (9,10) ; pendiente indefinida.
4. Hallar (si es posible) la función que pasas por los dos puntos.
a) (3, 4) y (5,8)
b) * (2,5) y ( 8,1)
 2 2 4 2
c)   ,  y  , 
 5 5 3 3
 3 8 2 2
d)  ,  y  , 
 4 3  5 3
5. Halle la función de la recta que satisface las condiciones que se exponen.
5
1
a) m   ; b  
8
3
b) m  5; b  15
c) m  2; b  12
6. Explique por qué la forma punto-pendiente de una ecuación no puede usarse para
encontrar la ecuación de una recta vertical.
7. Tarifas De Taxis.
a) Suponga que un taxista cobra $1.50 por milla. Complete la tabla con la respuesta
correcta para el precio f ( x ) que cobra por un viaje de x millas.
x
f ( x)
0
1
2
3
b) La función lineal que da una regla para la cantidad que cobra es
f ( x)  _____ .
c) Trace la gráfica de esta función para el dominio 0,1, 2,3
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Una función 𝑓 es una función cuadrática si y solo si 𝑓(𝑥) puede escribirse de la forma 𝑦 =
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 son constantes y 𝑎 ≠ 0.
1
Por ejemplo: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 3𝑥 + 1; 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 2 + 𝑥 ; 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 5 ; 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2
A las funciones cuadráticas también se les llama funciones de segundo grado porque en la
expresión 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 el mayor exponente de la variable es 2.
La representación gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola. En la
parábola se pueden distinguir varios elementos: abertura, vértice, eje de simetría, intercepto
con el eje y e intercepto con el eje x.
La parábola que representa una función cuadrática puede abrir hacia arriba o hacia abajo,
teniendo en cuenta lo siguiente:
Si 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, con 𝑎 > 0 entonces la parábola abre hacia arriba y su punto mínimo
es el vértice.
Si 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, con 𝑎 < 0 entonces la parábola abre hacia abajo y su punto máximo
es el vértice.
𝑏
El vértice V es un punto de coordenadas (ℎ, 𝑘) en el cual ℎ = − 2𝑎 𝑦 𝑘 =
4𝑎𝑐−𝑏 2
4𝑎
𝑜𝑘=
𝑏
𝑓 (− 2𝑎)
La recta paralela al eje y que pasa por el vértice se llama eje de simetría.
La parábola tiene un intercepto con el eje y en el punto (0, 𝑐), este valor se halla al
remplazar 𝑥 por 0 en la función 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Mientras que los interceptos con el eje
𝑥, se hallan al remplazar 𝑦 por 0 en 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.
El dominio una función cuadrática es el conjunto 𝑅(números reales), el rango es el
intervalo [𝑘, ∞) si la parábola abre hacia arriba, y es (−∞, 𝑘] si la parábola abre hacia
abajo.
EJERCICIOS
Grafique cada función. Obtenga el vértice y las intersecciones, y determine el rango.
1. 𝑦 = 𝑥 2 − 6𝑥 + 5
2. 𝑓(𝑥) = −4𝑥 2
3. ℎ(𝑥) = −2𝑥 2 − 6𝑥
4.𝑦 = 𝑥 2 − 1
5. 𝑗(𝑡) = 𝑡 2 + 2𝑡 + 1
6. 𝑦 = 2𝑡 2 + 3𝑡 − 2
7. 𝑓(𝑠) = −9 + 8𝑠 − 2𝑠 2
8. 𝑦 = 1 − 𝑥 − 𝑥 2
9. 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 8𝑥 + 14
10. ℎ(𝑥) = 𝑥 2 + 6𝑥 + 11
En los ejercicios del 11 al 14 no haga la grafica
11. Para la parábola 𝑦 = −4𝑥 2 + 8𝑥 + 7, encuentre el vértice. ¿El vértice corresponde al
punto más alto o más bajo de la grafica?
12. Repita el ejercicio anterior si 𝑦 = 8𝑥 2 + 4𝑥 + 1
13. Para la parábola 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 8, encuentre la intersección con el eje 𝑦, las
intersecciones con el eje 𝑥 y el vértice.
14. Repita el ejercicio anterior si 𝑦 = 3 + 𝑥 − 2𝑥 2
EN LOS EJERCICIOS DEL 15 AL 18 ESTABLEZCA SI 𝑓(𝑥) TIENE UN VALOR
MAXIMO O MINIMO Y ENCUENTRE ESE VALOR.
15. 𝑓(𝑥) = 100𝑥 2 − 20𝑥 + 25
16. 𝑓(𝑥) = −2𝑥 2 − 16𝑥 + 3
17. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 50 − 0.1𝑥 2
18. 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥 + 3) − 12
FUNCIÓN RACIONAL
Una función 𝑓 es una función racional si
𝑃(𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝑄(𝑥)
𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥) son
donde
polinomios y 𝑄(𝑥) ≠ 0.
El dominio de 𝑓 está formado por todos los números reales excepto los ceros del polinomio
que está en el denominador.
1
𝑥 3 −8
3
Por ejemplo, las funciones: 𝑓(𝑥) = 𝑥−2 ; 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 −4 𝑦 ℎ(𝑥) = 𝑥 2 +9
son funciones
racionales y sus dominios son respectivamente: 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑅 − {2}; 𝐷𝑜𝑚 𝑔 = 𝑅 −
{−2,2} 𝑦 𝐷𝑜𝑚 ℎ = 𝑅.
El rango de una función racional puede determinarse al trazar su gráfica.
GRAFICA DE UNA FUNCIÓN RACIONAL
Para trazar la gráfica de una función racional es importante tener en cuenta los valores para
los cuales la función no está definida.
Asíntota vertical
La recta 𝑥 = 𝑎 es una asíntota vertical de la gráfica de una función racional 𝑓, si
𝑓(𝑥) tiende a ∞ o si 𝑓(𝑥) 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 − ∞ cunado 𝑥 tiende a 𝑎 por la izquierda o por la
derecha.
1
La recta 𝑥 = 1 es una asíntota vertical de 𝑓(𝑥) = 𝑥−1 porque lim− 𝑓(𝑥) = +∞
𝑥→1
Asíntota horizontal
La recta 𝑦 = 𝑐 es una asíntota horizontal de la gráfica de una función racional 𝑓, si
𝑓(𝑥) 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑐 cuando 𝑥 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 ∞ o cuando 𝑥 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 − ∞.
2𝑥
La función 𝑓(𝑥) = 𝑥+1 tiene una asíntota horizontal en 𝑦 = 2, porque el lim 𝑓(𝑥) = 2
𝑥→∞
FU NCIÓ N E X PO N E NCIAL
Una función exponencial es una función de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 donde 𝑎 es una constante
positiva.
Recordemos que:
.a
.a
...
1 . a n  a

a
n v e c e s
2. a  1
3 . a1  a
1
4. a  n  n
a
mn
 aman
5. a
am
6. a mn  n
a
0
 
n
7. a m
 a mn
8. ab   a n b n
n
Existen dos tipos de funciones exponenciales las cuales se ilustran a continuación:
y  a x si 0  a  1 , si a  1
FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL
Se llama función exponencial natural a aquella función exponencial cuya base es el número
e , es decir y  e x ; donde e es un número irracional cuyo valor aproximado es
e  2.71828...
EJEMPLOS
Resolver la siguiente ecuación exponencial haciendo uso de las propiedades:
2
1
21 x 
8
Solución
2
2
1
21 x  3  21 x  2 3  1  x 2  3  3  1  x 2  0  4  x 2  0
2
 2  x 2  x   0
De donde: x  2  x  2
2.
S ol uci ón:
2
2 4 x  2 2 x  12  2 2 x   2 2 x  12  0
(2 2 x  4)( 2 2 x  3)  0
 22x  4  0  22x  3  0
 2 2 x  4  2 2 x  3
La segunda ecuación es imposible por lo tanto la solución es:
22x  4  22x  22  2x  2  x  1
EJERCICIOS:
Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:
1) 2x = 8
2) 10x = 100
3) 4 x - 3 = 8
4) 5 2 - x = 125
5) 2x = 64
6) 27 x + 1 = 9
7) 3𝑥 . 52𝑥 = 75
2
2
2
8) 𝑒 𝑥 − 5𝑒 −𝑥 + 4𝑒 −3𝑥 = 0
9)
4e 2 x
3
e2 x  1
4e 2 x
2
2x
10) e  1
Para resolver los ejercicios del 8 al 10
exponencial natural y el logaritmo natural.
recuerde la equivalencia entre la función
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
La función logarítmica de base 𝑎 es la inversa de la función exponencial de base 𝑎. Los
valores de la función 𝐿𝑜𝑔𝑎 se denotan como 𝐿𝑜𝑔𝑎 (𝑥) y puesto que 𝐿𝑜𝑔𝑎 y la función
exponencial con base 𝑎 son inversas se puede afirmar que:
𝑓(𝑥) = 𝐿𝑜𝑔𝑎 (𝑥) 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑎 𝑦
El dominio de la función es el conjunto de números reales positivos y su recorrido es el
conjunto de los números reales.
La función 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑜𝑔𝑎 (𝑥), tiene las siguientes características:
a. Si 𝑎 > 1 entonces 𝐿𝑜𝑔𝑎 (𝑥) aumenta a medida que 𝑥 aumenta.
b. Si 0 < 𝑎 < 1, 𝐿𝑜𝑔𝑎 (𝑥) disminuye a medida que 𝑥 aumenta.
c. Si 𝑎 > 1 entonces 𝐿𝑜𝑔𝑎 (𝑥) es positivo si 𝑥 > 1.
d. Si 𝑎 > 1, entonces 𝐿𝑜𝑔𝑎 (𝑥) es negativo si 0 < 𝑥 < 1
e. La función no está definida para 𝑥 ≤ 0
f. La función logarítmica corta al eje 𝑥 siempre en 𝑥 = 1
g. 𝐿𝑜𝑔𝑎 (𝑥) = 1 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑎
h. Si 𝑎 > 1 entonces 𝐿𝑜𝑔𝑎 (𝑥) tiende a menos infinito (−∞) a medida que 𝑥 tiende a
cero por la derecha.
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
a.
b.
c.
d.
e.
𝐿𝑜𝑔𝑎 1 = 0
𝐿𝑜𝑔𝑎 𝑎 = 1
𝐿𝑜𝑔𝑎 𝑎 𝑥 = 𝑥
𝐿𝑜𝑔𝑎 (𝑥𝑦) = 𝐿𝑜𝑔𝑎 𝑥 + 𝐿𝑜𝑔𝑎 𝑦
𝑥
𝐿𝑜𝑔𝑎 (𝑦) = 𝐿𝑜𝑔𝑎 𝑥 − 𝐿𝑜𝑔𝑎 𝑦
𝑛𝐿𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝐿𝑜𝑔𝑎 𝑥 𝑛
g. 𝐿𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝐿𝑜𝑔𝑎 𝑦 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑦
f.
Ejemplo: Utilizar las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión
2𝐿𝑜𝑔(𝑥) + 3𝐿𝑜𝑔(2𝑦) − 2𝐿𝑜𝑔(𝑥 − 𝑦)
Solución:
2𝐿𝑜𝑔(𝑥) + 3𝐿𝑜𝑔(2𝑦) − 2𝐿𝑜𝑔(𝑥 − 𝑦) = 𝐿𝑜𝑔𝑥 2 + 𝐿𝑜𝑔(2𝑦)3 − 𝐿𝑜𝑔(𝑥 − 𝑦)2
2𝐿𝑜𝑔(𝑥) + 3𝐿𝑜𝑔(2𝑦) − 2𝐿𝑜𝑔(𝑥 − 𝑦) = 𝐿𝑜𝑔[𝑥 2 (2𝑦)3 ] − 𝐿𝑜𝑔(𝑥 − 𝑦)2
𝑥 2 (2𝑦)3
2𝐿𝑜𝑔(𝑥) + 3𝐿𝑜𝑔(2𝑦) − 2𝐿𝑜𝑔(𝑥 − 𝑦) = 𝐿𝑜𝑔 [
]
𝐿𝑜𝑔(𝑥 − 𝑦)2
Ejemplo: Graficar la función 𝑦 = 𝐿𝑜𝑔2 𝑥
Dominio = (0, +∞)
Recorrido = ℝ
Asíntota: 𝑥 = 0
Corte 𝑂𝑋: (1,0)
Creciente
x
y
0,15
-3
0,5
-2
0,5
-1
1
0
2
1
4
2
EJERCICIOS:
1. Dadas las funciones determine: Dominio, Rango, Asíntota, Corte con el eje 𝑋 y
determine si es creciente o decreciente.
a. 2𝐿𝑜𝑔(𝑥 + 1)
b. 𝑦 = 𝐿𝑜𝑔(5𝑥)
2. Expresa como un solo logaritmo aplicando las propiedades.
a. 𝑚𝐿𝑜𝑔𝑥 − 𝑛𝐿𝑜𝑔(𝑥 + 𝑦) + 3𝐿𝑜𝑔𝑥 𝑛
8
3
b.
2
3
𝐿𝑜𝑔(𝑚 + 𝑛)3 − 3𝐿𝑜𝑔(𝑛 + 𝑚) + 2𝐿𝑜𝑔𝑦
3. Resolver las siguientes ecuaciones:
a. 𝐿𝑜𝑔2 𝑥 + 𝐿𝑜𝑔2 (𝑥 + 2) = 3
b. 2𝐿𝑜𝑔3 𝑥 = 3𝐿𝑜𝑔3 5
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO.
La función valor absoluto es una función específica que permite calcular la distancia de
cualquier número real a cero y se representa como 𝑦 = 𝑓(𝑥) = |𝑥|.
La función valor absoluto se define de la siguiente forma:
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
𝑦 = 𝑓(𝑥) = {
−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0
El dominio de la función valor absoluto es el conjunto de los números reales, mientras el
rango son los reales mayores o iguales a cero.
GRAFICA DE LA FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
En la gráfica se observa que el valor absoluto de un número real nunca es negativo, es
decir, |𝑥| ≥ 0, ∀𝑥𝜖𝑅.
OPERACIONES ENTRE FUNCIONES
Las funciones no son números. Pero al igual que ellos pueden sumarse, restarse,
multiplicarse y dividirse como veremos a continuación.
SUMA Y DIFERENCIA DE FUNCIONES.
La suma y diferencia de funciones se determina de la siguiente manera:
(𝑓 ± 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)
Los dominios respectivos de 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) son respectivamente 𝐷𝑓 𝑦 𝐷𝑔 de manera que el
dominio de la función suma o de la función diferencia son: 𝐷(𝑓 ± 𝑔) = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
Ejemplo 1. Sean 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 − 7 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 1. 𝐷𝑓 = 𝑅 𝑦 𝐷𝑔 = 𝑅, entonces:
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = (𝑥 2 + 𝑥 − 7) + (𝑥 2 − 1) = 2𝑥 2 + 𝑥 − 8 (Ver figura 1)
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = (𝑥 2 + 𝑥 − 7) − (𝑥 2 − 1) = 𝑥 − 6
y
=
x^2-1
y = x^2 + x - 7
y = 2 x^2 + x - 8
Figura 1. (𝑓 + 𝑔)(𝑥)
PRODUCTO DE FUNCIONES.
El producto de dos funciones se establece de la siguiente manera:
(𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)
Los dominios respectivos de 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) son 𝐷𝑓 𝑦 𝐷𝑔 de manera que el dominio de la
función producto es: 𝐷(𝑓 ∙ 𝑔) = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
Ejemplo 2. Sean 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 − 7 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 1. 𝐷𝑓 = 𝑅 𝑦 𝐷𝑔 = 𝑅, entonces:
(𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = (𝑥 2 + 𝑥 − 7) ∙ (𝑥 2 − 1) = 𝑥 4 + 𝑥 3 − 8𝑥 2 − 𝑥 + 7 (Ver figura 2)
y = x^2-1
y = x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 7
y = x^2 + x - 7
Figura 2. (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥)
COCIENTE DE FUNCIONES.
El cociente de dos funciones se define de la siguiente manera:
𝑓
𝑓(𝑥)
( ) (𝑥) =
, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑔(𝑥) ≠ 0
𝑔
𝑔(𝑥)
Los dominios respectivos de 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) son respectivamente 𝐷𝑓 𝑦 𝐷𝑔 de manera que el
𝑓
dominio de la función cociente es: 𝐷 (𝑔) ⊂ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
Ejemplo 2. Sean 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 − 7 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 1. 𝐷𝑓 = 𝑅 𝑦 𝐷𝑔 = 𝑅, entonces:
𝑓
𝑥2 + 𝑥 − 7
( ) (𝑥) =
𝑔
𝑥2 − 1
𝑓
El dominio 𝐷 ( ) = {𝑥𝜖𝑅/𝑥 ≠ ±1} ∁ 𝑅 (Ver figura 3)
𝑔
y = x^2 - 1
y = x^2+x-7
y = x^2 + x - 7/ x^2 - 1
𝑓
Figura 3. (𝑔) (𝑥)
EJERCICIOS.
1. Dada las siguientes funciones, encuentra: intercepto de la gráfica de f con los ejes
coordenados, el dominio, rango de f y Dibuje la gráfica de f.
a.
b.
𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 1|
𝑓(𝑥) = |(𝑥 − 2)2 − 4|.
2. Sean las funciones 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 7𝑥 − 2 , 𝑔(𝑥) = 4𝑥 2 − 𝑥 + 1, ℎ(𝑥) = 𝑥 3 +
𝑥 2 − 2, definida en los R, determina:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)
ℎ(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)
3. Sean las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 𝑥 − 3 , 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 3 , ℎ(𝑥) =
𝑥 2 − 1 , 𝑗(𝑥) = 𝑥 + 4 definida en los R, determina:
a.
𝑓
𝑗
(𝑔) (𝑥); (ℎ) (𝑥),
𝑓
𝑗
b. 𝐷 (𝑔) ; 𝐷 (ℎ)
FUNCIONES POR PARTES O A TROZOS
Algunas funciones por su estructura difiere su criterio para ciertos valores de la variable
independiente (variable x), esto hace que en muchos casos se necesite hacer un estudio
particular de las mismas. Por estas variaciones en su criterio se definen como funciones por
partes o a trozos.
La función valor absoluto es un caso especial de una función por partes
Ejemplos
𝑥 + 1 , 𝑠𝑖 𝑥 < −3
 𝑓(𝑥) = {
2𝑥 + 4 , 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −3
Para esta función si la variable independiente toma valores inferiores a -3 el criterio es 𝑥 +
1 , pero si son valores mayores o iguales que -3 el criterio es2𝑥 + 4.
Siguiendo estos criterios obtenemos la siguiente grafica:









y
x









Note que
𝑓(−4) = −4 + 1 = −3

𝑥 − 1 , 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
𝑥2,
𝑠𝑖 𝑥 > 0
𝑓(𝑥) = {
𝑦
𝑓(−2) = 2(−2) + 4 = 0
De igual manera que el ejemplo anterior, para valores menores o iguales acero el criterio es
𝑥 − 1 y para valores estrictamente mayores que cero el criterio es 𝑥 2
Siguiendo estos criterios obtenemos la siguiente gráfica:
y




x














Otro elemento importante a tratar aquí es que las funciones en valor absoluto se
transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:
1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.
2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.
3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es
negativa se cambia el signo de la función.
Ejemplo 1: Representemos la función resultante 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 3|.
Paso 1.𝑆𝑖 𝑥 − 3 = 0 → 𝑥 = 3
Paso 2.
𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3
Paso 3. 𝑦 = 𝑓(𝑥) = {
−(𝑥 − 3) 𝑠𝑖 𝑥 < 3
Gráfica.
D=R
Ejemplo 2: Representemos la función resultante 𝑓(𝑥) = |𝑥 2 − 2𝑥 − 3|.
Paso 1. 𝑆𝑖 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0 → 𝑥 = 3 ó 𝑥 = −1
Paso 2.
𝑥 2 − 2𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1
Paso 3. 𝑦 = 𝑓(𝑥) = {−(𝑥 − 2𝑥 − 3) 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 ≤ 3
𝑥 2 − 2𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 > 3
2
Gráfica.
D=R
Ejercicio
El costo de enviar por correo una carta de primera clase con peso 𝑤 en una determinada
empresa es 𝐶(𝑤). La regla que utiliza esta empresa es la siguiente: el costo es de 1.5
centavos de dólar hasta por un onza, mas un dólar por cada onza sucesiva hasta 11 onzas
(peso máximo admitido por correo). Explícitamente tenemos la función por partes:
1.5 0 < 𝑤 ≤ 1
2.5 1 < 𝑤 ≤ 2
3.5 2 < 𝑤 ≤ 3
𝐶(𝑤) =
.
.
{11.5 1 < 𝑤 ≤ 11
Siguiendo estos criterios la gráfica seria la siguiente:
y




x














Esta clase especial de las funciones por partes se le denomina función escalón o escalonada.
Ejemplo: Sea la función f definida por
x − 1, si x < 3
si x = 3
𝑓(𝑥) = {5 ,
2x + 1, si x > 3
Determine el dominio y el rango y dibuje su gráfica.
Solución.
El dominio de f es (−∞, + ∞). La figura muestra la gráfica de la función; consta de una
porción de la recta y = x +1 para la cual x < 3. El punto (3,5) y la parte de la recta y= 2x+1
para la cual x > 3. Los valores de la función son números menores que 2, el numero 5 o
números mayores que 7. Por tanto el rango de la función es el número 5 y aquellos números
en (−∞, 2) ∪ (7, +∞).
Observación.
1. En algunos ejemplos las funciones están expresadas con el dominio restringido, Sea la
función 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 5x + 2 ; 1 ≤ x ≤ 10. Entonces el dominio de f consta de
todos los números reales entre 1 y 10 incluidos estos.
FUNCIÓN COMPUESTA
Sean 𝑓 𝑦 𝑔 dos funciones. La función dada por (𝑓 ° 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) se llama
compuesta de 𝑓 𝑐𝑜𝑛 𝑔.El dominio de 𝑓 ° 𝑔 es el conjunto de todas las 𝑥 del dominio
de 𝑔 tales que 𝑔(𝑥) este en el dominio de 𝑓.
Ejemplo. Dadas las funciones 𝑓 𝑦 𝑔 , encontrar 𝑓 ° 𝑔
y 𝑔 ° 𝑓
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥 2
b) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 𝑦 𝑔(𝑥) =
2
𝑥
Solución
a) (𝑓 ° 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥 2 ) = 2𝑥 2 − 3
(𝑔 ° 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(2𝑥 − 3) = (2𝑥 − 3)2 = 4𝑥 2 − 12𝑥 + 9
2
2
2+ 𝑥
b) (𝑓 ° 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓 (𝑥) = √𝑥 + 1 = √
(𝑔 ° 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(√𝑥 + 1) =
𝑥
2
√𝑥+1
Observe en este último (inciso 1) que no todas las 𝑥 del dominio de 𝑔 (por ejemplo 𝑥 = −2
) son tales que 𝑔(𝑥) este en el dominio de 𝑓.
Ejercicios.
En los ejercicios del 1 al 3 evaluar la función como se indica. Determine su dominio y
grafique.
1.𝑓(𝑥) = {
2𝑥 + 1, 𝑥 < 0
2𝑥 + 2, 𝑥 ≥ 0
𝑎)𝑓(−1)
𝑏)𝑓(0)
𝑐)𝑓(2)
𝑑)𝑓(𝑡 2 + 1)
2. 𝑓(𝑥) = {
𝑥 2 + 2, 𝑥 ≤ 1
2𝑥 2 + 2, 𝑥 > 1
𝑎)𝑓(−2)
3. 𝑓(𝑥) = {
𝑏)𝑓(0)
𝑐)𝑓(1)
𝑑)𝑓(𝑠 2 + 2)
𝑏)𝑓(1)
𝑐)𝑓(3)
𝑑)𝑓(𝑏 2 + 1)
|𝑥| + 1, 𝑥 < 1
−𝑥 + 1, 𝑥 ≥ 1
𝑎)𝑓(−3)
En los ejercicios del 4 al 5 encontrar 𝑓 ° 𝑔
y 𝑔 ° 𝑓
4. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 5 𝑦 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 4
5. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 1 𝑦 𝑔(𝑥) =
1
√𝑥+2
INTERSECCIÓN ENTRE DOS FUNCIONES
Dadas dos funciones f y g, la intersección entre ellas es el punto o puntos (x,y) tales que
f(x) = g(x).
Ejemplos:
1. Hallar la intersección entre las funciones f ( x)  4 x  3  g ( x)  2 x  1
Solución: Igualamos las dos funciones así: 4x  3  2x  1 luego resolvemos la
ecuación 4x  2x  3  1  2x  2  x  1 ahora remplazamos este valor en
cualquiera de las dos funciones para hallar la pareja ordenada
f (1)  4(1)  3  4  3  1 , por tanto el punto de intersección es (1 , 1).
2. Hallar la intersección entre las funciones f ( x)  x 2  2 x  3  g ( x)  4 x  12
x 2  2 x  3  4 x  12 luego
Solución: Igualamos las dos funciones así:
x 2  2 x  4 x  12  3  0  x 2  2 x  15  0  x  5x  3  0
de
donde
x  5  x  3
cuyas
parejas
respectivamente
son:
g (5)  4(5)  12  32  g (3)  4(3)  12  0 por tanto los puntos de
intersección son: (5 , 32) 𝑦 ( −3 , 0)
APLICACIONES
FUNCIÓN COSTO TOTAL.
Sea 𝑦 = 𝐶(𝑥) la función de costo total, la cual está dada por la suma de los costos variables
con los costos fijos, es decir 𝐶(𝑥) = 𝐶𝑣 + 𝐶𝑓 , donde 𝐶𝑣 representa los costos variables y 𝐶𝑓
representa los costos fijos.
FUNCIÓN INGRESO TOTAL
Sea 𝑦 = 𝑅(𝑥) la función de ingreso total, la cual está dada por el producto entre el precio y
el número de unidades que se vendan de un producto, es decir 𝑅(𝑥) = 𝑝𝑥 𝑜 𝑅(𝑥) = 𝑝𝑞,
donde 𝑝 representa el precio y 𝑥 𝑜 𝑞 representan el número de unidades.
FUNCIÓN UTILIDAD
Sea 𝑦 = 𝑈(𝑥) la función de utilidad, la cual está dada por la diferencia entre los ingresos y
los costos, es decir 𝑈(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥).
A continuación te presentamos algunos ejercicios resueltos para que te puedas guiar y
resolver de manera acertada los ejercicios propuestos sobre esta temática en particular.
Ejercicio No.1 Peripheral Visions Inc., produce cintas de audio con calidad de estudio de
concierto en vivo. La compañía publica un anuncio en un boletín comercial. El costo del
anuncio es de $100. Producir cada cinta cuesta $20, y la compañía cobra $24 por cada una.
a) Exprese el costo C como función de x , el número de cintas producidas.
El costo fijo es de $100, y por cada cinta que se produce el costo variable es de $20.
Por tanto, el costo se expresa como función de x , el número de cintas que se
produce es: C ( x)  20 x  100 ( C en dólares).
b) Exprese el ingreso R como función de x , el número de cintas vendidas.
Puesto que cada cinta se vende en $24, el ingreso está dado por R( x)  24 x
c) ¿Para qué valor de x el ingreso es igual al costo?
La compañía estará en equilibrio (sin utilidad ni pérdida) mientras el ingreso iguale
al costo, es decir R( x)  C ( x) . Por tanto
R( x)  C ( x)
24 x  20 x  100
4 x  100
x  25
Lo que significa que si se producen y venden 25 cintas, la compañía estará en
equilibrio.
d) Trace la gráfica del costo y del ingreso en el mismo sistema de coordenadas e
interprete la gráfica.
Para trazar la gráfica de cada uno se procede asi:
En el caso de C ( x)  20 x  100 , ubique la intercepción con y , (0,100); se remplaza
25 (que es el valor de equilibrio) en la función y vemos que ésta pasa por el punto
(25,600), se traza una recta uniendo los puntos. Para el caso de R( x)  24 x , se
ubica la intercepción con y en (0,0), se traza la recta pasando por el punto (25,600)
pues este es el punto de equilibrio.
En la figura se observa que si se producen y se venden 25 cintas, tanto el costo como el
ingreso son de $600. Si se producen y se venden menos de 25 cintas, la compañía pierde
dinero. En el caso de más de 25 cintas, se presenta una utilidad.
Ejercicio No 2. Una compañía ha determinado que el costo de producir 𝑥 unidades de su
producto por semana está dado por:
𝐶(𝑥) = 5000 + 6𝑥 + 0.002𝑥 2
Evalúe el costo de producir:
1. 1000 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎
2. 2500 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎
3. 𝑁𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑
Solución:
1. El costo de producir 1000 unidades por semana està dado por:
𝐶(1000) = 5000 + 6(1000) + 0.002(1000)2
𝐶(1000) = 5000 + 6000 + 0.002(1000000)
𝐶(1000) = 5000 + 6000 + 2000
𝐶(1000) = 13000
Luego el costo de producir 1000 unidades por semana es de 13000
2. El costo de producir 2500 unidades por semana està dado por:
𝐶(2500) = 5000 + 6(2500) + 0.002(2500)2
𝐶(1000) = 5000 + 15000 + 0.002(6250000)
𝐶(1000) = 5000 + 15000 + 12500
𝐶(1000) = 32500
Luego el costo de producir 2500 unidades por semana es de 32500
3. El costo de producir ninguna unidad por semana está dado por:
𝐶(0) = 5000 + 6(0) + 0.002(0)2
𝐶(1000) = 5000 + 0 + 0
𝐶(1000) = 5000
Luego el costo de producir ninguna unidad por semana es de 5000
Ejercicio No 2. La demanda mensual 𝑥, de cierto artículo al precio 𝑝 dólares por unidad
está dada por la relación
𝑥 = 1350 − 45𝑝
El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este producto es de $5 por
unidad y los costos fijos son de $2000 al mes. ¿Qué precio por unidad 𝑝 deberá fijarse
al consumidor con objeto de obtener una utilidad máxima mensual?
Solución:
El costo total 𝐶 (en dólares) de producir 𝑥 unidades al mes es
𝐶 = 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 + 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝐹𝑖𝑗𝑜𝑠 = 5𝑥 + 2000 (1)
La demanda 𝑥 está dada por
𝑥 = 1350 − 45𝑝 (2)
Sustituyendo (2) en (1), se tiene que:
𝐶 = 5(1350 − 45𝑝) + 2000 = 8750 − 225𝑝 (3)
El ingreso 𝑅 (en dólares) obtenido por vender 𝑥 unidades a 𝑝 dólares por unidad es
𝑅 = 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 × 𝑁ù𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠
𝑅 = 𝑝𝑥 = 𝑝(1350 − 45𝑝) = 1350𝑝 − 45𝑝2 (4)
La utilidad 𝑈 (en dólares) està dada entonces por la diferencia entre el ingreso y el costo
𝑈 = 𝑅 − 𝐶 (5)
Sustituyendo (3) 𝑦 (4) en (5), se tiene que:
𝑈 = 1350𝑝 − 45𝑝2 − (8750 − 225𝑝)
𝑈 = 1350𝑝 − 45𝑝2 − 8750 + 225𝑝
𝑈 = −45𝑝2 + 1575𝑝 − 8750
La utilidad 𝑈 es una función cuadrática de 𝑝, es decir, tiene la forma
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.
Puesto que 𝑎 = −45 < 0, la gráfica es una parábola que abre hacia abajo y la utilidad
máxima se alcanza en el vértice. En este caso tenemos que:
𝑎 = −45, 𝑏 = 1575 𝑦 𝑐 = −8750
El vértice de la parábola está dado por
𝑝=−
𝑏
1575
1575
=−
=
= 17.5
2𝑎
2(−45)
90
En consecuencia un precio de 𝑝 = $17.5 por unidad debe fijarse al consumidor con el
propósito de obtener una utilidad máxima. La utilidad máxima se puede calcular por la
siguiente expresión:
4𝑎𝑐 − 𝑏 2 4(−45)(−8750) − 15752 1575000 − 2480625
𝑈=
=
=
4𝑎
4(−45)
−180
𝑈=
−905625
= 5031.25
−180
Por consiguiente la utilidad máxima será de $5031.25 al mes.
EJERCICIOS.
1.
Una empresa que fabrica correas para perros, estima que el costo C (en dólares) de
producir x cintas, está dada por la función 𝐶(𝑥) = 20𝑥 + 100
a) Calcule el costo de producir 50 unidades
b) Si el costo fue de U$ 2700 ¿Cuántas correas se fabricaron?
2. Un fabricante determina que el ingreso R por la fabricación y venta de
artículos está dado por
𝑅(𝑥) = 350𝑥 − 0,25𝑥 2
a) Calcule el ingreso si se producen y venden 100 artículos.
b) Si el ingreso obtenido es U$12000 determine el número de artículos
vendidos.
x
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