Trabajo Práctico Nº 1 - Facultad de Ciencias Exactas y

MATEMATICA I (Algebra)
Trabajo Práctico Nº 1 – Fundamentos de Lógica Simbólica y Teoría de Conjuntos.
TRABAJO PRACTICO Nº 1
FUNDAMENTOS DE LOGICA SIMBOLICA Y TEORIA DE CONJUNTOS
FUNDAMENTOS DE LOGICA SIMBOLICA
1) Para describir los diversos restaurantes de la ciudad, denotemos con p “la comida es
buena” ; con q “el servicio es bueno” y con r “es de tres estrellas”. Escribir
simbólicamente las siguientes proposiciones :
a) La comida es buena o el servicio es bueno, o ambas cosas
b) La comida es buena o el servicio es bueno, pero no ambas cosas.
c) La comida es buena y el servicio no.
d) No sucede que tanto la comida sea buena como que el restaurante sea de tres
estrellas
e) Si tanto la comida como el servicio son buenos, entonces el restaurante es de tres
estrellas
f) No es cierto que ser de tres estrellas siempre signifique buena comida y buen
servicio.
2) Denotemos con p “el clima es agradable” y con q “vamos de día de campo”. Traducir las
siguientes proposiciones al lenguaje coloquial y, si es posible, simplificar :
a) p  q
b) p  q
c) q  p
3) Construir las tablas de verdad de los siguientes esquemas proposicionales :
a) (p  q)  p
b) (p  q)  p
c) p  (p  q)
d) (q  p)  (p  q)
e) (p  q)  ( r)
f)  (r  r)
4) Los valores de verdad de las proposiciones p ; q ; r y s son respectivamente V ; F ; F y V.
Obtener los valores de verdad de :
i) [(p  q)  r]  s
ii) r  (s  p)
iii) (p  r)  (r   s)
5) Determinar en cada caso si la información que se da es suficiente para conocer el valor
de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. En caso afirmativo, justificarlo.
i) (p  q)  r ;
r es V
ii) (p  q)  ( p   q) ;
q es V
6) Determinar, si es posible, el valor de verdad de las siguientes proposiciones :
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Licenciatura en Sistemas de Información – Año 2009
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura - UNNE
MATEMATICA I (Algebra)
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a) (p  q)  q
si
pq
es Falso
b) p  (p  q)
si
pq
es Verdad
c) [ (p  q)   q]  q
si
p es Verdad y q es Verdad
7) Simplificar las siguientes proposiciones :
a)  ( p   q)
b)  (p  q)  ( p   q)
8) Determinar si las siguientes proposiciones son leyes lógicas :
i) p  q  r
iii) p  [ p  q ]
ii) [ (p  q)  (q  r) ]  (p  r)
9) Negar los siguientes esquemas proposicionales y obtener expresiones equivalentes
i) (p  q)  r
iii) q  r
ii) p  q
iv) p  (q  r)
TEORIA DE CONJUNTOS
10) Escribir simbólicamente :
a) R es un subconjunto de T
b) x es un elemento de Y
c) El conjunto vacío
d) M no es un subconjunto de S
e) z no pertenece a A
f) R pertenece a A
12) Escribir por extensión los conjuntos :
i) A = { x : x 2  x  2  0 }
ii) B = {x es dígito del número 2324}
iii) C = {x : x 2  9  x  3  5 }
iv) D = {x : x es vocal}
13) Escribir por comprensión los siguientes conjuntos :
A = { 1, 2, 4, 8, 16,...}
B = { 1, 3, 5, 7, 9, .... }
D = {1, 4, 9, 16, 25, 36}
14) Escribir por extensión los siguientes conjuntos definidos por comprensión :
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A = { x / x  N  3  x  10 }
15) Sean
B={ x / x  N  5 / x}
A = { 1, 2, . . . . ., 8, 9 } ;
C = {1, 3, 5, 7, 9 }
B = { 2, 4, 6, 8 } ;
D = { 3, 4, 5 }
E = { 3, 5 }
¿Cuáles de estos conjuntos son iguales a X ?, si se da la siguiente información:
i) X y B son disyuntos
iii) X  A pero A  C
ii) X  D pero X  B
iv) X  C pero X  A
16) Indicar en cada caso si la proposición es verdadera o falsa :
i) {1, 4, 3} = {3, 4, 1}
iii) 1  {1,2}
v) {4}  {{4}}
ii) {3, 1, 2}  {1, 2, 3}
iv) {4}  {{4}}
vi)   {{4}}
17) Determine si los conjuntos dados son vacíos:
i) X = {x : x 2  9
 2x  4 }
ii) Y = { x : x  x }
iii) Z = { x : x + 8 = 8 }
18) ¿ Cuales de los conjuntos siguientes son finitos ?
i) Los meses del año
iv) El conjunto Q de los números racionales
ii) {1, 2, 3, . . . ., 99, 100}
v) El conjunto R de los números reales
iii) El número de personas que viven en la tierra.
19) En los siguientes diagramas de Venn, sombree :
i) W - V
ii) Vc  W
iii) V  Wc
iv) Vc – Wc
20) Dados tres conjuntos A, B y C cualesquiera y un conjunto D disjunto con los anteriores,
dibujar su diagrama de Venn y rayar las siguientes zonas :
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a) A  B
b) A  B
c) (A - C)  B
d) (A - C)  B
e) (A  B  C)  D
21) Sean U= {1, 2, . . . . , 8, 9} ; A ={1, 2, 3, 4} ; B={2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6} . Hallar:
i) Ac
ii) A  C
iii) (A  C)c
iv) A  B
v) (B - C)
22) Señalar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones :
a) A  B  A  ( A  B )
c) C - A = C  A
b) B  A  ( A  B )  A
d) A = B  A  B = A
23) De 400 alumnos que estudian en una escuela de idiomas, 120 estudian únicamente
francés; 200 estudian frabcés e inglés y 50 estudian otros idiomas diferentes. ¿ Cuántos
estudian solo inglés ?
24) De 100 estudiantes, 32 estudian matemáticas ; 20 estudian física ; 45 estudian biología ;
15 estudian matemáticas y biología ; 7 estudian matemáticas y física ; 10 estudian física y
biología y 30 no estudian ninguna de estas tres materias.
a) Encuentre el número de estudiantes que estudian las tres materias.
b) Encuentre el número de estudiantes que estudian exactamente una de las tres
materias.
25) Se sabe que en la Universidad el 60% de los profesores juega tenis, el 50% juega
fútbol ; el 70% corre ; el 20% juega tenis y fútbol ; el 30% juega tenis y corre y el 40% juega
fútbol y corre. Si alguien afirma que el 20 % de los profesores corre y juega fútbol y tenis,
¿ lo creería ?¿ porqué ?
26) Setenta y cinco niños fueron a un parque de diversiones donde subieron a la rueda de la
fortuna, la montaña rusa y al trencito. Se sabe que 20 de ellos subieron a los tres juegos y
que 55 subieron al menos a dos de los tres juegos. Cada juego cuesta $ 0,50 y el costo total
fue de $ 70. Determine el número de niños que no subió a ninguno de los juegos.
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
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FUNDAMENTOS DE LOGICA SIMBOLICA
1) Denotemos con p “el material es interesante” ; con q “los ejercicios son difíciles” y con r
“el curso es agradable”. Escribir las siguientes afirmaciones en forma simbólica :
a) el material es interesante y los ejercicios son difíciles
b) el material no es interesante, los ejercicios no son difíciles y el curso no es
agradable.
c) Si el material no es interesante y los ejercicios no son difíciles entonces el curso
no es agradable.
d) Que el material sea interesante significa que los ejercicios son difíciles y viceversa
e) O el material es interesante o los ejercicios no son difíciles pero no ambas cosas.
2) Escribir las siguientes afirmaciones en forma simbólica :
a) El sol brilla y la humedad no es alta
b) Si termino mi tarea antes de la cena y no llueve, entonces iré al partido de fútbol
c) Si no me ves mañana significa que habré ido a la playa
d) Si el costo de las utilidades crece o se niega la requisición de fondos los
adicionales, entonces compraremos una nueva computadora si y solo si podemos
mostrar que los recursos de cómputo son, en efecto, insuficientes.
3) a) Escribir una afirmación compuesta que sea verdadera cuando exactamente dos de
tres afirmaciones p ; q y r sean verdaderas.
b) Escribir una afirmación compuesta que sea verdadera cuando ninguna, o una, o dos
de las tres afirmaciones p ; q y r sean verdaderas.
4) Determinar en cada caso si la información que se da es suficiente para conocer el valor
de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. En caso afirmativo, justificarlo.
i) (p  q)  (p  r) ;
p es V y r es F
ii) p  (q  r) ;
(p  r)
es V
5) Simplificar los siguientes esquemas proposicionales :
i)  (p  q)
ii)  (p  q)  q
6) Determinar si las siguientes proposiciones son leyes lógicas
i) p  (p  q)
ii) p  (p  q)
7) Los valores de verdad de las proposiciones p ; q ; r y s son respectivamente : V ; F ; F y
V. Obtener los valores de verdad de :
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Trabajo Práctico Nº 1 - Fundamentos de Lógica Simbólica y Teoría de Conjuntos.
a) [ (p  q)  r]  s
b) (r  s)  (p  s)
c) (s  q)  p
8) Demuestre por tablas de verdad las siguientes leyes :
i) [ (p  q)  q ]  q
ii) (p  q)  p  q
iii) (p  q)  p  q
9) Antonio, Miguel y Juan perteneces al club Alpino. Cada miembro del club esquía, escala
o ambas cosas. A ningún escalador le gusta la lluvia y a todos los esquiadores les gusta
la nieve. A Miguel le disgusta lo que a Antonio le gusta, y le gusta lo que a Antonio le
disgusta. A Antonio le gusta la lluvia y la nieve. ¿ Hay algún miembro del club Alpino que
sea escalador pero no esquiador ?
10) Cierto país está habitado por personas que siempre dicen la verdad o que siempre
mienten, y que responderán preguntas solo con “si” o “no”. Un turista llega a una
bifurcación en el camino, una de cuyas ramas conduce a la Capital y la otra no. No hay
un letrero que diga qué camino seguir, pero hay un nativo, el señor z, parado en la
bifurcación. ¿ Qué única pregunta deberá hacerle el turista para determinar qué camino
seguir ?.
TEORIA DE CONJUNTOS
11) Describir por extensión los conjuntos :
A = {x / x  N, x  8}
D = {x / x  N, x  8  x  2}
B = {x / x2 - 3 x + 1 = 0}
E = x / x  Z,  x   3}
C = {x / x  N, x es par}
12) Dados los conjuntos:
A = {1, 3}
Hallar:
a) su diagrama de Venn
b) A  B  C  D
c) A  B  C
B = {a, b, c}
C = {b}
D = {1, 3, b, f}
d) (A  B)  D
e) ¿ Está A  B o C  (A  D) ?
13) Dados tres conjuntos A, B, C cualesquiera y un conjunto D disjunto con los anteriores,
dibujar su diagrama de Venn y rayar las siguientes zonas :
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a) A  B
d) (A - C)  B
b) A  B
e) (A  B  C)  D
c) (A - C)  B
14) Señalar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones :
a) A  B  A  (A  B)
b) B  A  (A  B)  A
c) A = B  A  B = A
15) El conjunto universal es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, b, f} y los conjuntos A = {1, 3, 4, 5}
B = {2, 3, 5, 6}
C = {4, 5, 6, 7}
D = {b, f}. Hallar :
d) [(A  C)  D]  B
e) (A  B)  (B  C)
f) ¿ Son disjuntos A y D ?
a) Su diagrama de Venn
b) A - (B  C)
c) (A  B) - C
16) Dados dos conjuntos M y N no disjuntos, representar en un diagrama de Venn las
siguientes zonas :
a) Mc b) M  N
c) M  Nc
d) Mc  Nc
e) M  Nc
17) En un club de esparcimiento de 500 socios se van a celebrar unos campeonatos de
ajedrez, cartas y dominó. Hay 90 personas que no van a participar, y se sabe que hay
un total de 180 apuntados en ajedrez, 200 a cartas y 220 a dominó. Hay 70 apuntados a
ajedrez y cartas, 90 a cartas y dominó y 80 a ajedrez y dominó. Se desea saber el
número de personas apuntadas a un solo campeonato, a solo dos cualesquiera de ellos
y a los tres.
18) Sean V = { d } ;
W = {c, d} ;
X = {a, b, c} ;
Y = {a, b} ;
Z = {a, b, d}
Determinar si las proposiciones son verdaderas o falsas :
i) Y  X
ii) W  Z
19) Sea U = {a, b, c, d, e} ;
iii) Z  V
iv) V  X
A = {a, b, d} ;
v) X = W
vi) W  Y
B = {b, d, e}. Hallar :
i) A  B
iii) Bc
v) Ac  B
vii) Ac  Bc
ix) (A  B)c
ii) B  A
iv) A  Bc
vi) A  Bc
viii) Bc / Ac
x) (A  B)c
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20) De 150 estudiantes de una clase, 26 obtuvieron A en el primer examen y 21 obtuvieron
A en el segundo examen. Si 17 estudiantes no obtuvieron A en ninguno de los dos
exámenes, ¿ Cuántos estudiantes obtuvieron A en ambos exámenes ?
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