Syllabus Investigacion de Operaciones

FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA
UNIDAD ACADEMICA SANTA CRUZ
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA
Ingeniería Ambiental
OCTAVO SEMESTRE
SYLLABUS DE LA ASIGNATURA
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Elaborado por: Ing. Erlan Alejo Lamas
Gestión Académica II/2007
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UDABOL
UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA
Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01
VISION DE LA UNIVERSIDAD
Ser la Universidad líder en calidad educativa.
MISION DE LA UNIVERSIDAD
Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y competitividad al servicio de
la sociedad.
Estimado (a) Estimado (a) estudiante:
El syllabus que ponemos en tus manos es el fruto del trabajo intelectual de tus docentes, quienes han
puesto sus mejores empeños en la planificación de los procesos de enseñanza para brindarte una
educación de la más alta calidad. Este documento te servirá de guía para que organices mejor tus
procesos de aprendizaje y los hagas muchos más productivos. Esperamos que sepas apreciarlo y
cuidarlo.
Aprobado por: Ing. Erlan Alejo Lamas
Fecha: Julio de 2007
SELLO Y FIRMA
JEFATURA DE CARRERA
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TEMA 2. Formulación del
Programación Lineal.
SYLLABUS
Asignatura:
Investigación de Operaciones
Código:
MAT-300
Requisito:
MAT-102, MAT-233, CMP-126
Carga Horaria:
80 horas Teórico Prácticas
Horas Teóricas:
40 horas
Horas Practicas:
40 horas
Créditos:
4
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
 Optimizar
modelos
matemáticos
representan problemas del mundo real.
Introducción.
Noción y Concepto de la Programación
Lineal (PL).
Formulación Matemática del Modelo de PL.
2.3.1.
Formulación General.
2.3.2.
Formulación Canónica.
2.3.3.
Formulación Estándar.
Formulación de Diversos Problemas de PL.
Problemas propuestos.
TEMA 3. El Método Gráfico.
que
3.1.
3.2.
3.3.
 Diferenciar los métodos de solución de los
modelos lineales de optimización.
Introducción.
Graficación.
Interpretación de Resultados.
 Aplicar la metodología de la investigación
científica en la optimización de procesos.
TEMA 4. El Método Simplex.
 Optimizar el uso de recursos en el área
económica, social, productiva, administrativa, de
ingeniería, etc.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
 Tomar decisiones a partir de los resultados de la
optimización.
ANALITICO
DE
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
TEMA 1. Introducción a la Investigación de
Operaciones.
5.5.
5.6.
5.7.
Origen de la IO.
Escuelas de Pensamiento y la IO.
Noción, Alcance y Concepto de la IO.
Sistemas e IO.
Modelos e IO.
1.5.1.
El concepto de Modelo.
1.5.2.
Clasificación de los Modelos
Matemáticos.
1.5.3.
Optimización de IO.
1.6.
Toma de decisiones de IO.
1.7.
Metodología de la IO y el
Método Científico.
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Identificación del Problema.
Planteamiento de la Tabla Simplex.
Algoritmo Simplex.
Interpretación de Resultados.
Otros Métodos.
Método de las M o Penalización.
TEMA 5. El Método Simplex Dual
LA
UNIDAD I: INVESTIGACION OPERATIVA Y
PROGRAMACION LINEAL.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
de
UNIDAD II: METODOS DE SOLUCION DEL
MODELO DE PL.
I. OBJETIVOS GENERALES DE LA
ASIGNATURA.
II.
PROGRAMA
ASIGNATURA.
Modelo
Estructuras Primal y Dual.
Equivalencias de la Forma Dual.
Usos de la Dualidad.
Identificación
y
Caracterización
Problema.
Planteamiento de la Tabla Simplex.
Algoritmo Dual Simplex.
Interpretación de Resultados.
del
TEMA 6. Soluciones Especiales.
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
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No Existe Solución Básica Factible.
Solución Óptima No Acotada (Infinita).
Solución Óptima Múltiple.
Soluciones Cicladas.
Solución por computadora. Problemas
Propuestos.
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UNIDAD III: REDES Y EL PROBLEMA DE
TRANSPORTE.
TEMA
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.
El Modelo
Asignación.
De
Transporte
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
y
8.5.
8.6.
Introducción.
El Modelo de Transporte.
Concepto.
Formulación Matemática del Modelo.
III.
Solución del Modelo.
El Modelo de Asignación. Problemas
Propuestos.
7. 6.1
Concepto.
7. 6.2
Formulación
Matemática
del
Modelo.
7. 6.3
Solución del Modelo.
Introducción.
Representación por el Diagrama de Flechas.
Cálculos de la Ruta Crítica.
Construcción del Diagrama de Tiempo y
Nivelación de Recursos.
Control del Proyecto.
Problemas Propuestos.
TEMA 8. Programación de Proyectos con
PERT – CPM.
III. ACTIVIDADES A REALIZAR DIRECTAMENTE EN LA COMUNIDAD
La asignatura será de apoyo al proyecto de elaboración de programas ambientales para los municipios
efectuado por el octavo semestre.
TRABAJO A REALIZAR POR
LOS ESTUDIANTES
Visita a
los municipios a
obtener información sobre la
evaluación ambiental de las
empresa que pertenecen al
municipio
Visita a empresa, diagnostico
de impactos ambientales de la
empresa en la comunidad,
aplicación
de
modelo
matemático para solución de
un problema.
LOCALIDAD, AULA O
LABORATORIO
Municipios de Santa
Cruz
INCIDENCIA SOCIAL
Pequeñas o Medianas
Empresas
Ayudar a las
empresas a dar
solución a sus
impactos ambientales
usando las
herramientas de la
materia
V. EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA.
●
Ayudar a los
municipios a tener
digitalizada la
información
FECHA
PREVISTA
Antes del primer
parcial
Antes del Examen
Final
Los estudiantes divididos en grupos de 3 personas
como máximo visitaran empresas.
PROCESUAL O FORMATIVA.
La empresa visitada recibirá un documento en
formato digital, en cual se detallara:
A lo largo del semestre se realizarán 2 tipos de
actividades. Las primeras serán de aula, que
consistirán en clases teóricas, exposiciones,
repasos cortos, trabajos grupales (resolución de
casos y Dif´s).
Las segundas serán las Brigadas que consistirán
en lo siguiente:
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

Descripción detallada del proceso.
Organigrama de la empresa, diagramas de
proceso, distribución en planta (formato digital
usando software)

Manual de funciones del área de producción.
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
Los dif´s, work papers y evaluaciones escritas de
cada etapa en promedio formaran el restante.
Planteamiento de un problema real con su
solución aplicando el Modelo matemático de la
materia.
V. BIBLIOGRAFIA.
El proyecto se dividirá en 2 partes a ser defendidas
de manera gradual entes de cada evaluación.
BASICA.
La primera y segunda parte tendrán un valor de 25
puntos de los 50 correspondientes a la evaluación
procesual.
 HILLIER, FREDERICK S. y otros. “Introducción
a la investigación de operaciones”. Cuarta
edición. Traducción de Marcia González Osuna.
McGraw Hill. México. 1989.
DE RESULTADOS DE LOS PROCESOS DE
APRENDIZAJE O SUMATIVA (examen parcial
o final
 TAHA, HAMDY A. “Investigación de
operaciones”. Séptima edición. Traducción
de Virgilio González. Pearson Education.
México. 2004
Se realizarán 2 evaluaciones parciales con
contenido práctico sobre 50 puntos cada uno.
El examen final consistirá en un examen escrito
(con un valor del 70% de la nota del final) y la
presentación de informe del proyecto realizado en
la empresa durante el semestre tendrá el restante
30% de la nota.
COMPLEMENTARIA
 PRAWDA J., “Métodos y Modelos de
Investigación de Operaciones”, Vol. 1 y 2,
Ed.
Limusa,
México,
1977.
VI. CONTROL DE EVALUACIONES.
1° evaluación parcial
Fecha
Nota
2° evaluación parcial
Fecha
Nota
Examen final
Fecha
Nota
APUNTES
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VII. PLAN CALENDARIO
SEMANA
ACTIVIDADES
OBSERVAC.
1
TEMA 1 (1.1 AL 1.7)
2
TEMA 2 (2,1 AL 2,5) TEMA 3 (3,1 AL 3,3)
3
TEMA 4 (4,1 AL 4,3)
4
TEMA 4 ( 4,5 )
5
TEMA 4 ( 4,6)
6
DEFENSA DE
PROYECTO 1
7
TEMA 5 (5,1 AL 5,7 )
8
TEMA 6 (6,1 AL 6,5)
9
TEMA 6 (6,1 AL 6,5)
10
TEMA 7 (7,1 AL 7,2 )
11
TEMA 7 (7,3 AL 7,5 )
12
DEFENSA DE
PROYECTO 2
13
TEMA 7 (7,3 AL 7,5 )
14
TEMA 7 (7,6 AL 7,6.3)
15
TEMA 7 (7,6 AL 7,6.3)
16
TEMA 8 (8,1 AL 8,3)
17
TEMA 8 (8,4 AL 8,6)
18
CLASE PRACTICA
19
EVALUACION FINAL
20
SEGUNDA INSTANCIA
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EVAL PARC I
Presentación de notas
EVAL PARC II
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Presentación de notas
DEFENSA DE
PROYECTO 3
Presentación de Actas
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 1
UNIDAD O TEMA: INVESTIGACIÓN OPERATIVA Y PROGRAMACIÓN LINEAL
TITULO: Introducción a la Investigación de Operaciones
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer Parcial
PERSPECTIVA HISTORICA
Definición de la meta o el objetivo del estudio.
Para definir el problema, debemos plantearnos
las preguntas necesarias.
Las raíces de la Investigación de operaciones se
remontan a muchas décadas, cuando se hicieron
los primeros intentos para emplear el método
científico en la administración de una empresa. Sin
embargo el inicio de esta actividad llamada
Investigación de Operaciones (IO) tiene su origen
en la 2da. Guerra Mundial, donde existían grupos
especiales (Matemáticos, Físicos, Psicólogos,
Ingenieros, etc.), cuya labor era asesorar a la
organización militar, en el plano ejecutivo en
relación a las operaciones bélicas (Análisis de
estrategias de bombardeo, defensa aérea y
programación de operaciones logísticas).

IDENTIFICACIÓN DE LAS ALTERNATIVAS DE
DECISIÓN DEL SISTEMA
Reconocimiento
de
las
limitaciones,
restricciones y requerimientos del sistema.

CONSTRUCCIÓN DEL MODELO
¿QUE ES LA IO?
El modelo se define como una función objetivo
y restricciones que se expresan en términos
de las variables (opciones) de decisión del
problema.
La IO está asociada, casi en exclusiva, con la
aplicación de técnicas matemáticas, para
representar por medio de un modelo problemas de
decisión.
La simplificación del sistema con el fin de
construir un modelo, debe concentrarse
fundamentalmente en la identificación de las
variables y restricciones dominantes.

La IO trata de relacionar tres áreas de una
empresa:



SOLUCION DEL MODELO
Una vez planteado el modelo matemático hay
que darle solución a través de un
procedimiento (por lo general basado en
computadoras).
Producción,
Finanzas y
Ventas.
FASES DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
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
En una computadora sólo se requiere de algunos
minutos para llegar al resultado, mientras que sin
ella se tardarían: horas, días, semanas meses y
más tiempo para dar con los resultados.
PRUEBA Y MEJORAMIENTO DEL MODELO
(VALIDEZ DEL MODELO)
El desarrollo de un modelo matemático es
análogo al desarrollo de un programa de
computadora, cuando se completa la primera
versión, es inevitable que contenga muchas
fallas. El programa debe de probarse de
manera exhaustiva para encontrar y corregir
tantos problemas como sea posible.

CUESTIONARIO WORK PAPER No. 1
1. ¿Cómo surgió la IO?
IMPLANTACIÓN DE LOS RESULTADOS
2. ¿Porque se debe visualizar la IO como una
ciencia y como un arte?
En esta etapa debe participar el equipo de IO,
es una etapa crítica y debe estar documentado
todo el trabajo.
3. Mencione las fases de la IO
4. ¿A que se refiere la fase de Implantación de
resultados cuando indica que se necesita la
participación de un equipo?
LAS COMPUTADORAS Y LA IO
5. ¿Es importante el uso de computadoras en la
IO?
La aparición de las computadoras está
íntimamente ligada al desarrollo de la IO, esto se
debe a que la mayoría de las técnicas empleadas
serían absolutamente inaplicables para cualquier
problema real, debido al tiempo de procesamiento
de la información.
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6. Defina IO.
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 2
UNIDAD O TEMA: INVESTIGACIÓN OPERATIVA Y PROGRAMACIÓN LINEAL
TITULO: Formulación del Modelo de Programación Lineal.
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer Parcial
PUNTOS DE INTERÉS DE LA PL
La modelación es sin duda una combinación de
arte y ciencia. No se puede precisar una
metodología para la construcción de un modelo,
por lo que necesariamente la modelación se
Son diferentes requisitos que debe cumplir
cualquier solución para que pueda llevarse a
cabo. En cierta manera son las limitantes en
los valores de los niveles de las diferentes
actividades (variables).
El adjetivo lineal significa que todas las funciones
matemáticas del modelo deber ser funciones
lineales. En este caso, la palabra programación es
un sinónimo de planeación.
La programación lineal utiliza un
matemático para describir el problema.
modelo
Así, la programación lineal trata la planeación de
las actividades para obtener un resultado óptimo,
esto es, el resultado que mejor alcance la meta
especificada (según el modelo matemático) entre
todas las alternativas de solución.
aprende con la práctica.
¿COMO
Son las incógnitas del
problema y básicamente
consisten en los niveles de
todas las actividades que
¿ QUE HACER Y EN
pueden llevarse a cabo en
QUE CANTIDAD?
PLANTEAR EL el problema a formular.
La PL es una técnica matemática ampliamente
utilizada,
diseñada
para
ayudar
a
los
administradores de producción y operaciones en
la planeación y toma de decisiones relativas a la
asignación y uso de recursos. (Extraído del libro
“Principios de Administración de Operaciones”,
Render-Heizer, página 160)
MODELO
PL?
DE
 DEFINIR LAS VARIABLES DE DECISIÓN:
Los términos clave en la PL son recursos y
actividades.
 ENCONTRAR LAS RESTRICCIONES:
MODELOS MATEMÁTICOS
 DETERMINAR LA FUNCIÓN OBJETIVO:
La modelación se define como el proceso de
abstracción del sistema real a un modelo
cuantitativo.
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CUESTIONARIO WORK PAPER No. 2
Con el objetivo se pretende medir la
efectividad de las diferentes soluciones
factibles que pueden obtenerse y
determinar la mejor solución.
1. Investigue los modelos matemáticos de
la IO.
2. Defina Programación Lineal.
Deberá definirse claramente las unidades
de medición del objetivo, como dinero,
tiempo, etc.
3. ¿Cuáles son los puntos de interés de la
programación lineal?
4. ¿Que entiende por recurso y que por
actividad?. Mencione ejemplos.
MODELO GENERAL DE PL
Optimizar (maximizar o minimizar):
c1x1 + c2x2 +....+ cnxn
5. Mencione
algunos
ejemplos
de
problemas donde la Programación
Lineal ha sido usada exitosamente.
=Z
6. ¿Cómo se formula un modelo de PL?
Sujeta a las siguientes restricciones:
a11x1 + a12x2 +....+ a1nxn
< b1
a21x1 + a22x2 +....+ a2nxn
< b2
.
.
.
.
.
.
am1x1 + am2x2 +....+ amnxn
< bm
7. ¿Cómo puedo identificar las variables
de decisión?
8. ¿Cuáles son los tipos de restricciones
mas comunes?. Mencione ejemplos de
cada una.
9. ¿Cómo puedo
Objetivo?
formar
Donde el valor de las variables es:
x1,
x2,
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 0
….. xn
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WORK PAPER # 3
UNIDAD O TEMA: METODOS DE SOLUCION DEL MODELO DE PL.
TITULO: El Método Grafico
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer Parcial
Graficar cada ecuación y sombrear el área que
corresponda, hacia arriba o abajo, a la
derecha o a la izquierda…de cada recta.
METODO GRAFICO
El método Gráfico permite resolver únicamente
problemas con 2 variables.
4. PASO:
Identificar el área o zona factible. Esta es el
área común a todas las inecuaciones.
EJEMPLO
Resuelva el siguiente problema:
Max z = 10X +
2X +
X +
12Y
3Y 
2Y 
Y 
5. PASO:
Identificar con letras mayúsculas, a través de
una inspección visual, los vértices del área
factible. En nuestro ejemplo estos son los
puntos resaltados con un círculo negro.
15
6
6
6. PASO:
Use el método gráfico para encontrar
Encontrar las coordenadas de los vértices
anteriores. En la mayoría de los casos se
tendrá que recurrir a solucionar un sistema de
ecuaciones y en otros se podrá encontrar
estos puntos por simple inspección visual.
la solución óptima y el punto óptimo.
1.
PASO:
Llevar a la forma de igualdad las restricciones:
2X +
X +
3Y =
2Y =
Y =
15
6
6



Por inspección visual, las coordenadas son:
A (0,0)
2. PASO:
B (0,3)
Despejar la variable Y, si es posible, de cada
ecuación:
D (6,0)
Y  5
C (3,3)
7. PASO:
2
X
3
Reemplazamos cada una de las coordenadas en la
función objetivo y elegimos el mayor resultado
porque estamos maximizando:
Y3
Y  6-X
Z =10X + 12Y
3. PASO:
A (0,0)…..Z = 10x0 + 12x0 = 0
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B (0,3)…..Z = 10x0 + 12x3 = 36
C (3,3)…..Z = 10x3 + 12x3 = 66
D (6,0)…..Z = 10x6 + 12x0 = 60
1x1 +
3x1 +

2x2
2x2
x1 , x2



6
12
0
A. Use el método gráfico para encontrar la
solución óptima y el punto óptimo.
B. ¿Cuántos puntos extremos tiene la región
factible?
2. Considere el siguiente programa lineal:
Min z = 4x1
4x1
6x1
8x1
+
+
+
+
5x2
4x2
3x2
5x2
x1 , x2




20
24
40
0
A. Use el método gráfico para encontrar la
solución óptima y el punto óptimo.
B. ¿Cuántos puntos extremos tiene la región
factible?
3. Considere el siguiente programa lineal:
La zona factible, se identifica fácilmente por ser la
zona más rayada o sombreada del gráfico.
Max z = 3x1
-2x1
2x1
6x1
CUESTIONARIO WORK PAPER No. 3
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x2
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4x2
4x2
4x2
3x2
x1 , x2




16
24
48
0
A. Use el método gráfico para encontrar la
solución óptima y el punto óptimo.
B. Encuentre los valores de holgura o
excedente de cada restricción.
1. Resuelva el siguiente programa lineal:
Max z = x1 +
+
+
+
+
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 4
UNIDAD O TEMA: METODOS DE SOLUCION DEL MODELO DE PL.
TITULO: El Método Simplex
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer Parcial
Es un procedimiento que permite resolver
problemas de programación lineal que incluyen
restricciones “=” y “=>”.
METODO SIMPLEX (CASO MAXIMIZACION)
La mayoría de los problemas de PL tienen más de
2 variables y son demasiado grandes para una
solución Grafica. Un procedimiento llamado Método
Simplex puede ser utilizado para encontrar la
solución óptima.
FORMA DE IGUALDAD (FORMA ESTANDAR)
El primer paso del Método Simplex requiere que se
convierta cada desigualdad de restricción en una
ecuación. Las restricciones  pueden ser
convertidas a ecuaciones al sumar una variable de
holgura, tal como se ilustra a continuación en el
ejemplo.
El Método Simplex es en realidad un algoritmo (o
un conjunto de instrucciones) con lo cual se
examinan los puntos en las esquinas de una
manera metódica hasta conseguir la mejor solución.
Existen softwares que permiten resolver problemas
de PL, pero es útil entender la mecánica del
algoritmo. A continuación definiremos algunos
términos importantes:


METODO SIMPLEX
EJEMPLO
Resuelva el siguiente problema de programación
lineal utilizando el Método Simplex:
VARIABLE DE HOLGURA
Es aquella variable que permite convertir una
desigualdad () en una igualdad (=)
Max z = 10X1 +
2X1 +
SOLUCIÓN BÁSICA
X1 +
Es una solución de un sistema de sistema de
ecuaciones lineales simultáneas.

12X2
3X2
2X2
X2
X1, X2




1. PASO:
SOLUCIÓN FACTIBLE
Si todas las variables, de una solución básica,
asumen valores no negativos, de lo contrario es
no factible.
Igualar la Función Objetivo (FO) a cero y llevar
a la forma de igualdad a las restricciones:
-10X1 -12X2


SOLUCION ÓPTIMA
Es la mejor solución factible.
EL MÉTODO DE LA M
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0
16
2X1
+3X2
X1
2X2
+X2
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=
=
+H3
+H4
+H5
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=
=
0
1
5
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2. PASO:
TABLA INICIAL
Llevar los coeficientes de estas variables a una
tabla, tal como se muestra abajo, donde la 1°
fila es la FO y las demás filas son las
igualdades del paso anterior:
X1
-10
2
0
1
X2
-12
3
2
1
H3
0
1
0
0
H4
0
0
1
0
H5
0
0
0
1
X1
-10
2
0/2
1
LD
0
15
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6
X1
-10
2
0
1
X2
-12
3
1
1
H5
0
0
0/2
1
LD
0
15
6/2
6
H3
0
1
0
0
H4
0
0
1/2
0
H5
0
0
0
1
LD
0
15
3
6
H3
0
1
0
0
H4
0
0
1
0
H5
0
0
0
1
Convertir todos los elementos de la COLUMNA
PIVOTE en cero, a través de operaciones en
fila. El resultado es:
X1
-10
2
0
1
LD
0
15
6
6
X2
0
0
1
0
7. PASO:
4. PASO:
H4
0
0
1/2
0
6. PASO:
Ubicar, en la FO el valor más negativo, en
nuestro caso este valor corresponde al 12,
observe:
X2
-12
3
2
1
H3
0
1
0/2
0
Entonces tendremos:
3. PASO:
X1
-10
2
0
1
X2
-12
3
2/2
1
ELEMENTO PIVOTE
LD
0
2
6
1
6
15
X1
-10
2
0
1
15  3 =
5
62=
3
61
=6

¿ES LA SOL. OPTIMA?
X2
0
0
1
0
H3
0
1
0
0
H4
6
-3/2
1/2
-1/2
TABLA INICIAL:
X1
X2
H3
0
10 12
3
2
1
2
0
0
Convertir el ELEMENTO PIVOTE en 1,
dividiendo toda la fila por el mismo (dividiremos
por 2 en este caso).
R S
LD
36
6
3
3
H5
0
0
0
1
LD
36
6
3
3
A continuación se resume todo lo que hemos
hecho, más el proceso completo:
5. PASO:
I V E
H5
0
0
0
1
Como verá, existe un valor negativo todavía (el 10)
y se deberán realizar todos los pasos, otra vez, a
partir del 4° (el cual consiste en determinar el nuevo
ELEMENTO PIVOTE)
Seleccionar la razón más pequeña, no negativa, y
ubicar el elemento que corresponda a la columna
seleccionada.
U N
H4
6
-3/2
1/2
-1/2
Para determinar esto, debemos observar la fila
de la FO, y preguntarnos si existen todavía
valores negativos. Observemos la tabla
anterior:
Marcar la columna del valor anterior y
determinar las razones para cada igualdad,
para esto dividir el lado derecho LD entre los
coeficientes de la columna marcada (columna
X2 en este caso) de la siguiente manera:
X2
-12
3
H3
0
1
0
0
I D A D
D E
17
A Q U
I N O
B
H4
0
0
1
O L
I V
H5
0
0
0
I A
LD
0
15
6
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA
1
1
0
0
1
X1 = 3
6
X2 = 3
RESULTADO DE LA PRIMERA
ITERACION:
X1
X2
H3
H4
H5
-10
0
0
6
0
2
0
1
-3/2
0
0
1
0
1/2
0
1
0
0
-1/2
1
RESULTADO DE LA SEGUNDA
ITERACION:
X1
X2
H3
H4
H5
0
0
5
-3/2
0
1
0
1/2
-3/4
0
1/2
0
1
0
0
1/4
0
0
-1/2
1
RESULTADO DE LA TERCERA
ITERACION:
X1
X2
H3
H4
H5
0
0
2
0
6
1
0
-1
0
3
0
1
1
0
-2
0
0
-2
1
4
H4 = 0
Los otros valores que queden serán cero siempre:
LD
36
6
3
3
H3 = 0
H5 = 0
El valor de la FO corresponde al valor de la esquina
superior derecha de la tabla anterior:
Z = 66
LD
66
3
3
0
CUESTIONARIO WORK PAPER #4
1. Resuelva los siguientes problemas a través del
método simplex. Verifique sus resultados a través
del software.
LD
66
3
3
0
a)Max
Sujeta
a:
Z=
3000X1
+
2000X2
X1
+
2X2
≤
6
2X1
-X1
+
+
X2
X2
≤
≤
8
1
X2
≤
2
0
8. PASO FINAL: INTERPRETACION
X1 , X2

b)
Para interpretar se ubican aquellas columnas en las
que hubiera 1 y 0 solamente, observe:
Minimizar
Z=
Sujeta a:
RESULTADO DE LA TERCERA
ITERACION:
X1
X2
H3
H4
H5
0
0
2
0
6
1
0
-1
0
3
0
1
1
0
-2
-2
0
0
1
4
LD
66
3
3
0
2X1
+
2X2
X1
X1
-X1
+
+
+
1X2
2X2
X2
Entonces:
U N
I V E
R S
I D A D
D E
18
A Q U
I N O
B
O L
I V
I A
=
≥
≤
10
8
2
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 5
UNIDAD O TEMA: FORMULACION DEL MODELO DE PL.
TITULO: Planteamientos
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer Parcial
1. DEFINIR LAS VARIABLES
ELABORACION DE MODELOS
X1 = Número de días que debe trabajar la
mina I [Días]
(PLANTEAMIENTOS)
X2 = Número de días que debe trabajar la
mina II [Días]
EJEMPLO 1
Una compañía carbonífera es propietaria de dos
minas, la primera produce diariamente como
máximo 1 Ton de carbón de alta calidad, 4 Ton de
mediana calidad y 6 Ton de carbón de baja
calidad; la segunda mina puede producir como
máximo 4 Ton de carbón de alta calidad, 4 de
mediana y 2 de baja calidad. Asimismo, a la
compañía le cuesta 100 $us/Día la operación de la
mina I y 150 $us/Día la mina II.
2. ENCONTRAR LAS RESTRICCIONES
DEMANDA CARBON DE
ALTA
DEMANDA CARBON DE
MEDIANA
DEMANDA CARBON DE
BAJA
La compañía tiene pedidos arriba de 80, 160 y 120
Ton de carbón de alta, mediana y baja calidad
respectivamente.
3.
80
4X1 +
4x2

160
6X1 +
2x2

120
X1,X2
El problema consiste en determinar cuántos días
debe trabajar cada mina para minimizar los costos
de operación.

1X1 + 4x2

0
DEFINIR LA FUNCION OBJETIVO
Minimizar Z = 100X1 + 150X2
EJEMPLO 2
0. ARMAR UNA TABLA CON LOS DATOS
Calidad
Producción
Mina I
[Ton/Día]
Producción
Mina II
[Ton/Día]
Alta
Mediana
Baja
Costo
1
4
6
100 [$US/Día]
4
4
2
150 [$US/Día]
U N
I V E
R S
Un agricultor posee cerdos que consumen 90 Kg.
de comida especial todos los días. El alimento se
prepara como una mezcla de maíz y harina de
soya con las siguientes composiciones.
Demanda
[Ton]
I D A D
80
160
120
D E
19
A Q U
I N O
B
O L
I V
I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA
Alimento
Maíz
Harina de
soya
Requisitos:
Los
son:
CUESTIONARIO WORK PAPER No. 5
Calcio
Proteínas
Fibra
[Kg
[Kg
[Kg
Costo
calcio/Kg proteina/Kg fibra/Kg
Bs/Kg
de
de
de
alimento] alimento] alimento]
0.001
0.09
0.02
0.20
0.002
0.60
0.06
0.06
Formule los siguientes problemas como un modelo
matemático de programación lineal:
1. Una fábrica de artículos del hogar manufactura
2 artefactos A y B. Ambos sufren 3 procesos en el
mismo orden, que son: maquinado, armado y
montaje. Las disponibilidades de minutos diarios
de cada proceso son: 480, 600 y 540
respectivamente. El artefacto A deja un beneficio
de 100 $/unidad, en tanto que el B proporciona
120 $/unidad.
En el proceso de maquinado se utilizan 4 minutos
por cada unidad de artefacto A y 8 minutos por
cada unidad de artefacto B. En el proceso de
armado se utilizan 5 y 6 minutos respectivamente.
Y finalmente, en el proceso de montaje se utilizan
12 y 8 minutos respectivamente.
0.1% x
5% x 90
30% x 90
90 Kg =
Kg = 4.5
Kg = 27 Kg
0.09 Kg
Kg
requisitos diarios de alimento de los cerdos
A. Cuando menos 0.1% de calcio, del total que
se consume.
B. Por lo menos 30% de proteínas, del total que
se consume.
C. Un máximo de 5% de fibra, del total que se
consume.
2. Una pequeña carpintería esta planeando la
producción el presente mes. Actualmente opera
con solo dos productos puertas y ventanas. La
mano de obra disponible para el presente mes es
de 400 h-hom Cada puerta requiere 4 h-hom y
tiene una contribución unitaria de 35 Bs., Una
ventana requiere de 3 h-hom y tiene una
contribución unitaria de 25 Bs. De acuerdo a sus
ventas pasadas se tiene previsto vender hasta 70
puertas y 120 ventanas.
Determine la mezcla de alimentos con el mínimo
costo por día.
1. DEFINIR LAS VARIABLES
X = Cantidad de maíz a mezclar diariamente
[Kg]
Y = Cantidad de Harina de soya a mezclar
diariamente [Kg]
3. INDUSTRIAS DEL CAMPO, tiene dos maquinas
distintas para procesar leche pura y producir leche
descremada, mantequilla o queso. La cantidad de
tiempo requerido en cada máquina para producir
cada unidad de producto y las ganancias netas se
proporcionan en la siguiente tabla:
2. ENCONTRAR LAS RESTRICCIONES
X +
+
0.001X
MEZCLA:
CANTIDAD DE
CALCIO:
CANTIDAD DE
PROTEINAS:
CANTIDAD DE
FIBRA:
0.09X
0.02X
+
+
Y =
90
0.002 
Y
0.09
0.60Y 
27
0.06Y 
4.5
X,Y 
0
MAQUINA
1
MAQUINA
2
LECHE
DESCREMADA
MANTEQUILLA
0.2 min / litro
0.5 min / Kg
0.3 min / litro
0.7 min / Kg
1Bs / litro
2 Bs / litro
UTILIDAD:
QUESO
1.5 min
/ Kg
1.2 min
/ Kg
2 Bs /
Kg
3. DEFINIR LA FUNCION OBJETIVO
Suponiendo que se dispone de 8 horas diarias
en cada maquina, como gerente del departamento
de producción, formule un modelo para determinar
un plan de producción diaria que maximice las
ganancias y produzca un mínimo de 300 litros de
leche descremada, 200 Kg. de mantequilla y 100
Kg. de queso
Minimizar Z = 0.20X + 0.06Y
U N
I V E
R S
I D A D
D E
20
A Q U
I N O
B
O L
I V
I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA
4.
Una pequeña fábrica produce pinturas
para interiores y exteriores de casas, para su
distribución al mayoreo. Se utilizan 2 materias
primas A y B para producir estas pinturas. Los
requisitos diarios de materia prima por tonelada de
pintura se resumen en la siguiente tabla:
Toneladas de materia prima por
tonelada de pintura
Pintura
Pintura
Disponibilidad
de
de
máxima por día
exterior
interior
Materia
prima A
Materia
prima B
1
2
6
2
1
8
Un estudio de mercado ha establecido que la
demanda diaria de pintura para interiores no
puede ser mayor que la pintura para exteriores en
más de una tonelada. El estudio también revela
que la demanda de pintura para interiores esta
limitada a menos de dos toneladas diarias.
El precio al mayoreo por tonelada es de 300$ y
200$ para pintura de exteriores e interiores,
respectivamente.
5. Una compañía, que opera 10 horas al día,
fabrica cada uno de 2 productos en tres maquinas
diferentes (En donde el proceso es secuencial). La
tabla siguiente resume los datos del problema:
Producto
Maquina
1
(Min/
unidad)
Maquina2
(Min/
unidad)
Maquina3
(Min/
unidad)
Utilidad
($/unidad)
1
10
6
8
2
2
5
20
10
3
I D A D
D E
U N
I V E
R S
21
A Q U
I N O
B
O L
I V
I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 6
UNIDAD O TEMA: METODOS DE SOLUCION DEL MODELO DE PL
TITULO: Método Simplex Dual
FECHA DE ENTREGA: Segundo Parcial
Considere el siguiente ejemplo:
METODO SIMPLEX DUAL
En Muebles Hurtado debido a que las ganancias
se han reducido, la gerencia decidió reorganizar
la línea de producción. A partir de hoy se van a
producir puertas y ventanas de mara. Después de
hacer algunas investigaciones el departamento de
IO determinó en un cuadro las capacidades y
requerimientos de los productos, así como las
utilidades unitarias:
TEORIA DE LA DUALIDAD
Otra forma descubierta de resolver los problemas
de PL es a través del dual, este procedimiento
también es usado para realizar un análisis que se
denomina Análisis de Sensibilidad.
PRECIOS SOMBRA
PRODUCTO
La tabla final del Método Simplex lleva al tema de
los precios sombra…..



¿Exactamente cuánto debe estar dispuesto a
pagar una compañía por hacer disponibles los
recursos adicionales?
¿Vale la pena obtener más tiempo de
maquina con un costo de 1 ,2 o 5 dólares?
¿vale la pena pagar a los trabajadores una
cuota de tiempo extra para aumentar la
producción?
MADERA
BARNIZ
HORA
MAQUIN
A
UTILIDAD
[$U$/
Unid]
…..el valor de los recursos adicionales es
información valiosa para la administración.
Afortunadamente,
esta
información
está
disponible en la Tabla final del Método Simplex.
Una importante propiedad del renglón Z, es que
los valores correspondientes a las variables de
holgura
I V E
R S
I D A D
D E
PUERT
A
2
m3/Unid
3
m3/Unid
2
litros/Un
id
-1 hora/
unidad
1 hora/
unidad
10
12
CAPACIDA
D
DISPONIB
LE
15 m3
6 litros
6 horas
Planteando el problema:
Max z = 10X1 +
(Hi) ofrecen en sus columnas lo que se llama
precios sombra. Un precio sombra es el valor de
una unidad adicional de un recurso en la forma de
una hora más de tiempo, un Kg. más de materia
prima u otro recurso escaso.
U N
VENTAN
A
22
A Q U
I N O
12X2
2X1 +
3X2 
X1 +
2X2 
X2 
X1, X2 ≥
B
O L
I V
I A
1
5
6
6
0
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA
Resolviendo el problema por el Método Simplex
obtenemos la siguiente tabla final:
X1
0
1
0
0
X2
0
0
1
0
H3
2
-1
1
-2
H4
0
0
0
1
H5
6
3
-2
4
También el precio sombra determina el valor
marginal o la tasa a la cual aumentará la función
objetivo si es que se incrementa el recurso:
Z'  Z  Yi  No de unidades
Por ejemplo:
LD
66
3
3
0
Si el recurso madera se aumenta en 1 unidad
(1m3), entonces la función objetivo aumentará en:
Z’ = Z + YiNo de unidades = 66 + 21= 68 $u$
Observe:
Los precios sombra en el renglón Z
corresponden a:
Y1 = 2
Y2 = 0
Y3 = 6
Si el recurso barniz se aumenta en 1 unidad (1
litro), entonces la función objetivo aumentará en:
Z’ = Z + YiNo de unidades = 66 + 01= 66 $u$
Si el recurso hora máquina se aumenta en 1
unidad (1 hora), entonces la función objetivo
aumenta en:
Z’ = Z + YiNo de unidades = 66 +61=72 $u$
ESTADO DE LOS RECURSOS


Si el valor de la variable de holgura, en la
solución final del Método Simplex, es igual a
cero (Hi=0), entonces el recurso que
corresponde a esta variable de holgura es un
recurso escaso.
CUESTIONARIO WORK PAPER No. 6
1. Transforme el siguiente problema en un
modelo dual:
Si el valor de la variable de holgura, en la
solución final del Método Simplex, es distinto
de cero (Hi0), entonces el recurso que
corresponde a esta variable de holgura es un
recurso abundante.
Max z = 1X1 +
1X1 +
1X1 +
De acuerdo al ejemplo anterior:
X1 = 3
X2 = 3
H3 = 0…
Y1 = 2
H4 = 0…
Y2 = 0
H5 = 0…
maquina)…
Z = 66
Recurso
Min z = 4X1 +
1X1 +
X1 -
(madera)…
Recurso escaso (barniz)…
escaso
2X2
1X2
X2
+
+
O L
I V
3X3
X3 ≥
≥
X1, X2 ≥
(horas
Ahora estamos en condición de darle una
aplicación a los precios sombra. Al ser todos los
recursos escasos en este caso (madera, barniz y
horas máquina), necesitamos saber ¿cuál es el
máximo precio que deberíamos pagar por obtener
una unidad adicional de este recurso?, la
respuesta a esta interrogante son los precios
sombra.
Y1 = 2 $u$ /m3 de madera
Y2 = 0 $u$ /litro de barniz
Y3 = 6 $u$ /hora de máquina
U N
I V E
R S
6
12
0
2. Transforme el siguiente problema en un
modelo dual:
escaso
Recurso
Y3 = 6
5X2
1X2 ≥
2X2 
X1, X2 ≥
I D A D
D E
23
A Q U
I N O
B
I A
30
10
0
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 7
UNIDAD O TEMA: METODOS DE SOLUCION DEL MODELO DE PL.
TITULO: Soluciones Especiales del Método Simplex
FECHA DE ENTREGA: Segundo Parcial
SOLUCIONES
SIMPLEX
ESPECIALES
DEL
MÉTODO
En este caso el Método Simplex se detiene y se
dice que la solución es no acotada ya que es
imposible lograr ganancias infinitas.
SIN SOLUCION FACTIBLE
X1
-3+M
-2
0
-1
X2
X3
H4
A5
0
0
1
0
0
-2
½
-1
0
1
0
0
M
0
0
1
SOLUCION ÓPTIMA MÚLTIPLE
12
6
10
5
Se dice que no hay solución factible, cuando
cualquier solución óptima obtenida, por el método
de la M, contiene al menos una variable artificial
distinta de cero.
NO HAY VARIABLE BASICA
(SOLUCION NO ACOTADA)
X1
X2
H3
H4
H5
-3
-2
0
-1
2
0
2
2
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
QUE
SALE
0
6
10
5
R S
H3
H4
H5
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
3/2
-3/2
0
0
1
0
1
0
-1/2
1/2
18
4
3
3
EMPATE PARA LA VARIABLE BASICA QUE
SALE = DEGENERACION
Al encontrar a la variable de salida, nos
encontramos con que todos los coeficientes de la
columna pivote son ceros
y/o negativos. Esto
significa que las restricciones no impiden el
crecimiento indefinido de la función objetivo.
I V E
X2
Existen varias soluciones óptimas múltiples cuando
al menos una variable no básica tiene coeficiente
cero en la ecuación cero final (FO). En este
ejercicio H3 tiene coef. cero.
Note que se tiene una variable básica de entrada
X1.
U N
X1
I D A D
D E
X1
X2
H3
H4
H5
-3
-2
0
0
0
0
2
0
1
0
0
4
0
2
0
1
0
12
9
2
0
0
1
18
Observe que X1 es la variable básica de entrada.
Al encontrar a la variable de salida, nos
encontramos con que existe un empate entre H4 y
H6 al encontrar la menor razón:
24
A Q U
I N O
B
O L
I V
I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA
Se recomienda romper el empate arbitrariamente.
La solución básica factible resultante se llama
degenerada, porque en la solución la variable
básica no escogida tendrá siempre valor cero.
CUESTIONARIO WORK PAPER No. 7
1. Clasifique las siguientes tablas indicando el tipo
de solución:
a)
X1 X2 H3 H4 H5
0
0
1
0
0
0
0
1
5
1
0
0
0
2
1
4
1
0
5
14
15
8
3
2
b)
X1
X2
H3
H4
H5
-3
2
0
-1
-5
0
-2
-1/2
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
9
10
5
c)
X1
X2
H3
H4
H5
-8
-9
0
0
0
0
2
0
1
0
0
9
0
2
0
1
0
12
5
3
0
0
1
18
U N
I V E
R S
I D A D
D E
25
A Q U
I N O
B
O L
I V
I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA
Práctica de Laboratorio:
Nº 1
Título: Método Grafico
Lugar de Ejecución:
Laboratorios de
Computación
Elaborado por: Ing. Gelen P. Tondelli Méndez
g. Elegir resolver especificando que
se desea en forma grafica o
algebraica.
Siguiendo los pasos descritos anteriormente,
Resuelva los siguientes problemas:
Ejercicio 1.
Nombre y Apellidos:
_________________________________________
_____________________
Max z = 10X +
2X +
X +
12Y
3Y 
2Y 
Y 
15
6
6
1. Objetivos.
Ejercicio 2.

Aprender a usar software educativo para poder
graficar las ecuaciones lineales del Modelo
Matemático de Programación Lineal.
Max z = 3x1
-2x1
2x1
6x1
2. Fundamentos teorícos.
+
+
+
+
4x2
4x2
4x2
3x2
x1 , x2
Min z = 2x1 +
4x2
x2
x2




16
24
48
0
x1 , x2

=


2
5
1
0
4x2
x2
x2
3x2
x1 , x2




4
2
3
0
10x2
x2
x2
x2
x1 , x2




20
8
4
0
Ejercicio 3.
El Método Grafico se usa para resolver problemas
de Programación Lineal que poseen dos variables.
x1 +
x1
El software a utilizar es el TORA para Windows.
3. Desarrollo de la Práctica
Ejercicio 4.
Max z = x1 +
x1 +
x1 -
Se seguirán los siguientes pasos:
a. Abrir el programa.
b. Seleccionar Linear Programming.
c. Seleccionar introducir un nuevo
problema y elegir si se quiere la
respuesta en notación decimal o
notación científica.
d. Seleccionar pantalla de entrada
(input screen).
e. Escribir el numero de variables, el
numero de restricciones y el titulo
del problema.
f. Presione la tecla TAB para ir a la
tabla de entrada de los datos
faltantes.
U N
I V E
R S
I D A D
D E
Ejercicio 5.
Min z = 20x1
2x1
2x1
- x1
26
A Q U
I N O
+
+
+
+
B
O L
I V
I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA
Práctica de Laboratorio: Nº 2
Título: Método Simplex
Lugar de Ejecución:
Lab. de Computación
Elaborado por: Ing. Gelen P. Tondelli Méndez
4. Conclusiones sobre los resultados obtenidos
El estudiante deberá elaborar un informe de la
practica de laboratorio que reuna las siguientes
características:
1. Los informes se deben entregar en hojas de
papel tipo carta. Los informes deben
presentarse hechos en computador.
El informe es una guía con la que pueden
trabajar personas que conozcan o no de la
asignatura a tratarse, o personas que hace
tiempo no revisan el tema.
2. El informe se debe presentar a la clase
siguiente a la realización de la práctica en
forma individual.
3. No es permitido que las personas que no hayan
asistido a una práctica presenten informe de la
misma.
Nombre y Apellidos:
_________________________________________
_____________________
2. Objetivos.

Aprender a usar software educativo para
resolver el Metodo simplex mediante Modelo
Matemático de Programación Lineal.
5. Bibliografía
2. Fundamentos teorícos.
 TAHA
H.
A.,
“Investigación
de
Operaciones. Una Introducción”, 6ta
edición. Servicio de Ingeniería, México,
1998.
El Método Simplex se usa para resolver problemas
de Programación Lineal que poseen dos variables o
más.
El software a utilizar es el TORA para Windows.
 HILLIER F. S., LIEBERMAN G. J.,
“Introducción a la Investigación Operativa”,
Ed. McGraw-Hill, Tercera Edición, México,
1991.
3. Desarrollo de la Práctica
Se seguirán los siguientes pasos:
1. Abrir el programa.
2. Seleccionar Linear Programming.
3. Seleccionar introducir un nuevo problema y elegir
si se quiere la respuesta en notación decimal o
notación científica.
4. Seleccionar pantalla de entrada (input screen).
5. Escribir el numero de variables, el numero de
restricciones y el titulo del problema.
U N
I V E
R S
I D A D
D E
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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA
6. Presione la tecla TAB para ir a la tabla de
entrada de los datos faltantes.
7. Elegir resolver especificando que se desea en
forma algebraica.
3. Conclusiones sobre los resultados obtenidos
8. Seleccionar el metodo simplex, eligiendo si se
desea ver la tabla final o cada iteración.
El estudiante deberá elaborar un informe de la
practica de laboratorio que reuna las siguientes
características:
4. Los informes se deben entregar en hojas de
papel tipo carta. Los informes deben
presentarse hechos en computador.
El informe es una guía con la que pueden
trabajar personas que conozcan o no de la
asignatura a tratarse, o personas que hace
tiempo no revisan el tema.
5. El informe se debe presentar a la clase
siguiente a la realización de la práctica en
forma individual.
6. No es permitido que las personas que no hayan
asistido a una práctica presenten informe de la
misma.
Siguiendo los pasos descritos anteriormente,
Resuelva los siguientes problemas:
Ejercicio 1.
Max z =
+
3X1
1X1
3X1 +
5X2
2X2


2X2

X1, X2

4
1
2
1
8
0
Ejercicio 2.
5. Bibliografía
Min z = 4X1 +
1X1 +
X1 -
2X2
1X2
X2
+
+
3X3
X3 ≥
≥
X1, X2 ≥
30
10
0
 TAHA
H.
A.,
“Investigación
de
Operaciones. Una Introducción”, 6ta
edición. Servicio de Ingeniería, México,
1998.
Ejercicio 3.
Min z = 2x1 +
4x2
x2
x2
x1 , x2

=


2X1
+
3X2
+
X3
X1
2X1
X1
+
+
X2
X2
2X2
+
+
X3
3X3
=
≥
≤
10
5
8
X1 , X2 , X3

0
x1 +
x1
4
5
1
0
Ejercicio 4.
Maximizar
Sujeta a:
Z=
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF´S # 1
UNIDAD OTEMA: REDES Y EL PROBLEMA DE TRANSPORTE
TITULO: El Modelo de Transporte
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: Segundo Parcial
El propósito del modelo de transporte es encontrar
los medios menos costosos para embarcar
abastos desde varios orígenes a varios destinos.
Los puntos de origen (o fuentes) pueden ser
fábricas, almacenes o cualquier otro de los puntos
desde donde se embarquen los bienes. Los
destinos son cualquiera de los puntos que reciben
bienes.
C. Método de Vogel.
Existen diferentes métodos de solución del modelo
de transporte, nosotros estudiaremos los
siguientes tres:
www.itson.mx/dii/elagarda/
apagina2001/PM/transporte.html
Conociendo esto realice lo siguiente:
 Algoritmo de cada método con un ejemplo de
cada uno.
Además de la bibliografía de la materia, puede
utilizar la siguiente:
www.monografias.com
A. Método de la Esquina Noroeste
B. Método de la Matriz Mínima.
CONCLUSIONES (deberán sintetizar la opinión del grupo):
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COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo):
GRUPO (máximo cinco integrantes):
AP. PATERNO AP. MATERNO
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NOMBRES
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF´S # 2
UNIDAD OTEMA: REDES Y EL PROBLEMA DE TRANSPORTE
TITULO: Técnicas de planeación.
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: Examen Final
En un momento u otro cualquier empresa tomará
un proyecto complejo. Una constructora debe
completar cientos de costosas actividades al
construir un edificio o una carretera, una empresa
petrolera requiere proyectos de mantenimiento de
vehículos y maquinarias, los ingenieros de
sistemas encaran los proyectos de redes, etc.
controlar un proyecto
con un ejemplo.
describiendo cada una y
Además de la bibliografía de la materia, puede
utilizar la siguiente:
http://www.gestiopolis.com/recursos/document
os/fulldocs/ger/diaggantaleja.htm

Investigue las técnicas que permiten a los
administradores de proyectos planear, programar y
www.monografias.com/trabajos2/
caminocritico/caminocritico.shtml
CONCLUSIONES (deberán sintetizar la opinión del grupo):
COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo):
GRUPO (máximo cinco integrantes):
AP. PATERNO AP. MATERNO
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NOMBRES
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