FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA UNIDAD ACADEMICA SANTA CRUZ FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA Ingeniería Ambiental OCTAVO SEMESTRE SYLLABUS DE LA ASIGNATURA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Elaborado por: Ing. Erlan Alejo Lamas Gestión Académica II/2007 U N I V E R S I D A D D E 1 A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA UDABOL UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01 VISION DE LA UNIVERSIDAD Ser la Universidad líder en calidad educativa. MISION DE LA UNIVERSIDAD Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y competitividad al servicio de la sociedad. Estimado (a) Estimado (a) estudiante: El syllabus que ponemos en tus manos es el fruto del trabajo intelectual de tus docentes, quienes han puesto sus mejores empeños en la planificación de los procesos de enseñanza para brindarte una educación de la más alta calidad. Este documento te servirá de guía para que organices mejor tus procesos de aprendizaje y los hagas muchos más productivos. Esperamos que sepas apreciarlo y cuidarlo. Aprobado por: Ing. Erlan Alejo Lamas Fecha: Julio de 2007 SELLO Y FIRMA JEFATURA DE CARRERA U N I V E R S I D A D D E 2 A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA TEMA 2. Formulación del Programación Lineal. SYLLABUS Asignatura: Investigación de Operaciones Código: MAT-300 Requisito: MAT-102, MAT-233, CMP-126 Carga Horaria: 80 horas Teórico Prácticas Horas Teóricas: 40 horas Horas Practicas: 40 horas Créditos: 4 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. Optimizar modelos matemáticos representan problemas del mundo real. Introducción. Noción y Concepto de la Programación Lineal (PL). Formulación Matemática del Modelo de PL. 2.3.1. Formulación General. 2.3.2. Formulación Canónica. 2.3.3. Formulación Estándar. Formulación de Diversos Problemas de PL. Problemas propuestos. TEMA 3. El Método Gráfico. que 3.1. 3.2. 3.3. Diferenciar los métodos de solución de los modelos lineales de optimización. Introducción. Graficación. Interpretación de Resultados. Aplicar la metodología de la investigación científica en la optimización de procesos. TEMA 4. El Método Simplex. Optimizar el uso de recursos en el área económica, social, productiva, administrativa, de ingeniería, etc. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. Tomar decisiones a partir de los resultados de la optimización. ANALITICO DE 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. TEMA 1. Introducción a la Investigación de Operaciones. 5.5. 5.6. 5.7. Origen de la IO. Escuelas de Pensamiento y la IO. Noción, Alcance y Concepto de la IO. Sistemas e IO. Modelos e IO. 1.5.1. El concepto de Modelo. 1.5.2. Clasificación de los Modelos Matemáticos. 1.5.3. Optimización de IO. 1.6. Toma de decisiones de IO. 1.7. Metodología de la IO y el Método Científico. U N I V E R S I D A D D E Identificación del Problema. Planteamiento de la Tabla Simplex. Algoritmo Simplex. Interpretación de Resultados. Otros Métodos. Método de las M o Penalización. TEMA 5. El Método Simplex Dual LA UNIDAD I: INVESTIGACION OPERATIVA Y PROGRAMACION LINEAL. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. de UNIDAD II: METODOS DE SOLUCION DEL MODELO DE PL. I. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA. II. PROGRAMA ASIGNATURA. Modelo Estructuras Primal y Dual. Equivalencias de la Forma Dual. Usos de la Dualidad. Identificación y Caracterización Problema. Planteamiento de la Tabla Simplex. Algoritmo Dual Simplex. Interpretación de Resultados. del TEMA 6. Soluciones Especiales. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 3 A Q U No Existe Solución Básica Factible. Solución Óptima No Acotada (Infinita). Solución Óptima Múltiple. Soluciones Cicladas. Solución por computadora. Problemas Propuestos. I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA UNIDAD III: REDES Y EL PROBLEMA DE TRANSPORTE. TEMA 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7. El Modelo Asignación. De Transporte 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. y 8.5. 8.6. Introducción. El Modelo de Transporte. Concepto. Formulación Matemática del Modelo. III. Solución del Modelo. El Modelo de Asignación. Problemas Propuestos. 7. 6.1 Concepto. 7. 6.2 Formulación Matemática del Modelo. 7. 6.3 Solución del Modelo. Introducción. Representación por el Diagrama de Flechas. Cálculos de la Ruta Crítica. Construcción del Diagrama de Tiempo y Nivelación de Recursos. Control del Proyecto. Problemas Propuestos. TEMA 8. Programación de Proyectos con PERT – CPM. III. ACTIVIDADES A REALIZAR DIRECTAMENTE EN LA COMUNIDAD La asignatura será de apoyo al proyecto de elaboración de programas ambientales para los municipios efectuado por el octavo semestre. TRABAJO A REALIZAR POR LOS ESTUDIANTES Visita a los municipios a obtener información sobre la evaluación ambiental de las empresa que pertenecen al municipio Visita a empresa, diagnostico de impactos ambientales de la empresa en la comunidad, aplicación de modelo matemático para solución de un problema. LOCALIDAD, AULA O LABORATORIO Municipios de Santa Cruz INCIDENCIA SOCIAL Pequeñas o Medianas Empresas Ayudar a las empresas a dar solución a sus impactos ambientales usando las herramientas de la materia V. EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA. ● Ayudar a los municipios a tener digitalizada la información FECHA PREVISTA Antes del primer parcial Antes del Examen Final Los estudiantes divididos en grupos de 3 personas como máximo visitaran empresas. PROCESUAL O FORMATIVA. La empresa visitada recibirá un documento en formato digital, en cual se detallara: A lo largo del semestre se realizarán 2 tipos de actividades. Las primeras serán de aula, que consistirán en clases teóricas, exposiciones, repasos cortos, trabajos grupales (resolución de casos y Dif´s). Las segundas serán las Brigadas que consistirán en lo siguiente: U N I V E R S I D A D D E 4 Descripción detallada del proceso. Organigrama de la empresa, diagramas de proceso, distribución en planta (formato digital usando software) Manual de funciones del área de producción. A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA Los dif´s, work papers y evaluaciones escritas de cada etapa en promedio formaran el restante. Planteamiento de un problema real con su solución aplicando el Modelo matemático de la materia. V. BIBLIOGRAFIA. El proyecto se dividirá en 2 partes a ser defendidas de manera gradual entes de cada evaluación. BASICA. La primera y segunda parte tendrán un valor de 25 puntos de los 50 correspondientes a la evaluación procesual. HILLIER, FREDERICK S. y otros. “Introducción a la investigación de operaciones”. Cuarta edición. Traducción de Marcia González Osuna. McGraw Hill. México. 1989. DE RESULTADOS DE LOS PROCESOS DE APRENDIZAJE O SUMATIVA (examen parcial o final TAHA, HAMDY A. “Investigación de operaciones”. Séptima edición. Traducción de Virgilio González. Pearson Education. México. 2004 Se realizarán 2 evaluaciones parciales con contenido práctico sobre 50 puntos cada uno. El examen final consistirá en un examen escrito (con un valor del 70% de la nota del final) y la presentación de informe del proyecto realizado en la empresa durante el semestre tendrá el restante 30% de la nota. COMPLEMENTARIA PRAWDA J., “Métodos y Modelos de Investigación de Operaciones”, Vol. 1 y 2, Ed. Limusa, México, 1977. VI. CONTROL DE EVALUACIONES. 1° evaluación parcial Fecha Nota 2° evaluación parcial Fecha Nota Examen final Fecha Nota APUNTES U N I V E R S I D A D D E 5 A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA VII. PLAN CALENDARIO SEMANA ACTIVIDADES OBSERVAC. 1 TEMA 1 (1.1 AL 1.7) 2 TEMA 2 (2,1 AL 2,5) TEMA 3 (3,1 AL 3,3) 3 TEMA 4 (4,1 AL 4,3) 4 TEMA 4 ( 4,5 ) 5 TEMA 4 ( 4,6) 6 DEFENSA DE PROYECTO 1 7 TEMA 5 (5,1 AL 5,7 ) 8 TEMA 6 (6,1 AL 6,5) 9 TEMA 6 (6,1 AL 6,5) 10 TEMA 7 (7,1 AL 7,2 ) 11 TEMA 7 (7,3 AL 7,5 ) 12 DEFENSA DE PROYECTO 2 13 TEMA 7 (7,3 AL 7,5 ) 14 TEMA 7 (7,6 AL 7,6.3) 15 TEMA 7 (7,6 AL 7,6.3) 16 TEMA 8 (8,1 AL 8,3) 17 TEMA 8 (8,4 AL 8,6) 18 CLASE PRACTICA 19 EVALUACION FINAL 20 SEGUNDA INSTANCIA U N I V E R S I D A D EVAL PARC I Presentación de notas EVAL PARC II D E Presentación de notas DEFENSA DE PROYECTO 3 Presentación de Actas 6 A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 1 UNIDAD O TEMA: INVESTIGACIÓN OPERATIVA Y PROGRAMACIÓN LINEAL TITULO: Introducción a la Investigación de Operaciones FECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer Parcial PERSPECTIVA HISTORICA Definición de la meta o el objetivo del estudio. Para definir el problema, debemos plantearnos las preguntas necesarias. Las raíces de la Investigación de operaciones se remontan a muchas décadas, cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la administración de una empresa. Sin embargo el inicio de esta actividad llamada Investigación de Operaciones (IO) tiene su origen en la 2da. Guerra Mundial, donde existían grupos especiales (Matemáticos, Físicos, Psicólogos, Ingenieros, etc.), cuya labor era asesorar a la organización militar, en el plano ejecutivo en relación a las operaciones bélicas (Análisis de estrategias de bombardeo, defensa aérea y programación de operaciones logísticas). IDENTIFICACIÓN DE LAS ALTERNATIVAS DE DECISIÓN DEL SISTEMA Reconocimiento de las limitaciones, restricciones y requerimientos del sistema. CONSTRUCCIÓN DEL MODELO ¿QUE ES LA IO? El modelo se define como una función objetivo y restricciones que se expresan en términos de las variables (opciones) de decisión del problema. La IO está asociada, casi en exclusiva, con la aplicación de técnicas matemáticas, para representar por medio de un modelo problemas de decisión. La simplificación del sistema con el fin de construir un modelo, debe concentrarse fundamentalmente en la identificación de las variables y restricciones dominantes. La IO trata de relacionar tres áreas de una empresa: SOLUCION DEL MODELO Una vez planteado el modelo matemático hay que darle solución a través de un procedimiento (por lo general basado en computadoras). Producción, Finanzas y Ventas. FASES DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA DEFINICIÓN DEL PROBLEMA U N I V E R S I D A D D E 7 A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA En una computadora sólo se requiere de algunos minutos para llegar al resultado, mientras que sin ella se tardarían: horas, días, semanas meses y más tiempo para dar con los resultados. PRUEBA Y MEJORAMIENTO DEL MODELO (VALIDEZ DEL MODELO) El desarrollo de un modelo matemático es análogo al desarrollo de un programa de computadora, cuando se completa la primera versión, es inevitable que contenga muchas fallas. El programa debe de probarse de manera exhaustiva para encontrar y corregir tantos problemas como sea posible. CUESTIONARIO WORK PAPER No. 1 1. ¿Cómo surgió la IO? IMPLANTACIÓN DE LOS RESULTADOS 2. ¿Porque se debe visualizar la IO como una ciencia y como un arte? En esta etapa debe participar el equipo de IO, es una etapa crítica y debe estar documentado todo el trabajo. 3. Mencione las fases de la IO 4. ¿A que se refiere la fase de Implantación de resultados cuando indica que se necesita la participación de un equipo? LAS COMPUTADORAS Y LA IO 5. ¿Es importante el uso de computadoras en la IO? La aparición de las computadoras está íntimamente ligada al desarrollo de la IO, esto se debe a que la mayoría de las técnicas empleadas serían absolutamente inaplicables para cualquier problema real, debido al tiempo de procesamiento de la información. U N I V E R S I D A D D E 6. Defina IO. 8 A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 2 UNIDAD O TEMA: INVESTIGACIÓN OPERATIVA Y PROGRAMACIÓN LINEAL TITULO: Formulación del Modelo de Programación Lineal. FECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer Parcial PUNTOS DE INTERÉS DE LA PL La modelación es sin duda una combinación de arte y ciencia. No se puede precisar una metodología para la construcción de un modelo, por lo que necesariamente la modelación se Son diferentes requisitos que debe cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo. En cierta manera son las limitantes en los valores de los niveles de las diferentes actividades (variables). El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deber ser funciones lineales. En este caso, la palabra programación es un sinónimo de planeación. La programación lineal utiliza un matemático para describir el problema. modelo Así, la programación lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo matemático) entre todas las alternativas de solución. aprende con la práctica. ¿COMO Son las incógnitas del problema y básicamente consisten en los niveles de todas las actividades que ¿ QUE HACER Y EN pueden llevarse a cabo en QUE CANTIDAD? PLANTEAR EL el problema a formular. La PL es una técnica matemática ampliamente utilizada, diseñada para ayudar a los administradores de producción y operaciones en la planeación y toma de decisiones relativas a la asignación y uso de recursos. (Extraído del libro “Principios de Administración de Operaciones”, Render-Heizer, página 160) MODELO PL? DE DEFINIR LAS VARIABLES DE DECISIÓN: Los términos clave en la PL son recursos y actividades. ENCONTRAR LAS RESTRICCIONES: MODELOS MATEMÁTICOS DETERMINAR LA FUNCIÓN OBJETIVO: La modelación se define como el proceso de abstracción del sistema real a un modelo cuantitativo. U N I V E R S I D A D D E 9 A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA CUESTIONARIO WORK PAPER No. 2 Con el objetivo se pretende medir la efectividad de las diferentes soluciones factibles que pueden obtenerse y determinar la mejor solución. 1. Investigue los modelos matemáticos de la IO. 2. Defina Programación Lineal. Deberá definirse claramente las unidades de medición del objetivo, como dinero, tiempo, etc. 3. ¿Cuáles son los puntos de interés de la programación lineal? 4. ¿Que entiende por recurso y que por actividad?. Mencione ejemplos. MODELO GENERAL DE PL Optimizar (maximizar o minimizar): c1x1 + c2x2 +....+ cnxn 5. Mencione algunos ejemplos de problemas donde la Programación Lineal ha sido usada exitosamente. =Z 6. ¿Cómo se formula un modelo de PL? Sujeta a las siguientes restricciones: a11x1 + a12x2 +....+ a1nxn < b1 a21x1 + a22x2 +....+ a2nxn < b2 . . . . . . am1x1 + am2x2 +....+ amnxn < bm 7. ¿Cómo puedo identificar las variables de decisión? 8. ¿Cuáles son los tipos de restricciones mas comunes?. Mencione ejemplos de cada una. 9. ¿Cómo puedo Objetivo? formar Donde el valor de las variables es: x1, x2, U N 0 ….. xn I V E R S I D A D D E 10 A Q U I N O B O L I V I A la Función FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 3 UNIDAD O TEMA: METODOS DE SOLUCION DEL MODELO DE PL. TITULO: El Método Grafico FECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer Parcial Graficar cada ecuación y sombrear el área que corresponda, hacia arriba o abajo, a la derecha o a la izquierda…de cada recta. METODO GRAFICO El método Gráfico permite resolver únicamente problemas con 2 variables. 4. PASO: Identificar el área o zona factible. Esta es el área común a todas las inecuaciones. EJEMPLO Resuelva el siguiente problema: Max z = 10X + 2X + X + 12Y 3Y 2Y Y 5. PASO: Identificar con letras mayúsculas, a través de una inspección visual, los vértices del área factible. En nuestro ejemplo estos son los puntos resaltados con un círculo negro. 15 6 6 6. PASO: Use el método gráfico para encontrar Encontrar las coordenadas de los vértices anteriores. En la mayoría de los casos se tendrá que recurrir a solucionar un sistema de ecuaciones y en otros se podrá encontrar estos puntos por simple inspección visual. la solución óptima y el punto óptimo. 1. PASO: Llevar a la forma de igualdad las restricciones: 2X + X + 3Y = 2Y = Y = 15 6 6 Por inspección visual, las coordenadas son: A (0,0) 2. PASO: B (0,3) Despejar la variable Y, si es posible, de cada ecuación: D (6,0) Y 5 C (3,3) 7. PASO: 2 X 3 Reemplazamos cada una de las coordenadas en la función objetivo y elegimos el mayor resultado porque estamos maximizando: Y3 Y 6-X Z =10X + 12Y 3. PASO: A (0,0)…..Z = 10x0 + 12x0 = 0 U N I V E R S I D A D D E 13 A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA B (0,3)…..Z = 10x0 + 12x3 = 36 C (3,3)…..Z = 10x3 + 12x3 = 66 D (6,0)…..Z = 10x6 + 12x0 = 60 1x1 + 3x1 + 2x2 2x2 x1 , x2 6 12 0 A. Use el método gráfico para encontrar la solución óptima y el punto óptimo. B. ¿Cuántos puntos extremos tiene la región factible? 2. Considere el siguiente programa lineal: Min z = 4x1 4x1 6x1 8x1 + + + + 5x2 4x2 3x2 5x2 x1 , x2 20 24 40 0 A. Use el método gráfico para encontrar la solución óptima y el punto óptimo. B. ¿Cuántos puntos extremos tiene la región factible? 3. Considere el siguiente programa lineal: La zona factible, se identifica fácilmente por ser la zona más rayada o sombreada del gráfico. Max z = 3x1 -2x1 2x1 6x1 CUESTIONARIO WORK PAPER No. 3 U N I V E x2 R S I D A D 4x2 4x2 4x2 3x2 x1 , x2 16 24 48 0 A. Use el método gráfico para encontrar la solución óptima y el punto óptimo. B. Encuentre los valores de holgura o excedente de cada restricción. 1. Resuelva el siguiente programa lineal: Max z = x1 + + + + + D E 14 A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 4 UNIDAD O TEMA: METODOS DE SOLUCION DEL MODELO DE PL. TITULO: El Método Simplex FECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer Parcial Es un procedimiento que permite resolver problemas de programación lineal que incluyen restricciones “=” y “=>”. METODO SIMPLEX (CASO MAXIMIZACION) La mayoría de los problemas de PL tienen más de 2 variables y son demasiado grandes para una solución Grafica. Un procedimiento llamado Método Simplex puede ser utilizado para encontrar la solución óptima. FORMA DE IGUALDAD (FORMA ESTANDAR) El primer paso del Método Simplex requiere que se convierta cada desigualdad de restricción en una ecuación. Las restricciones pueden ser convertidas a ecuaciones al sumar una variable de holgura, tal como se ilustra a continuación en el ejemplo. El Método Simplex es en realidad un algoritmo (o un conjunto de instrucciones) con lo cual se examinan los puntos en las esquinas de una manera metódica hasta conseguir la mejor solución. Existen softwares que permiten resolver problemas de PL, pero es útil entender la mecánica del algoritmo. A continuación definiremos algunos términos importantes: METODO SIMPLEX EJEMPLO Resuelva el siguiente problema de programación lineal utilizando el Método Simplex: VARIABLE DE HOLGURA Es aquella variable que permite convertir una desigualdad () en una igualdad (=) Max z = 10X1 + 2X1 + SOLUCIÓN BÁSICA X1 + Es una solución de un sistema de sistema de ecuaciones lineales simultáneas. 12X2 3X2 2X2 X2 X1, X2 1. PASO: SOLUCIÓN FACTIBLE Si todas las variables, de una solución básica, asumen valores no negativos, de lo contrario es no factible. Igualar la Función Objetivo (FO) a cero y llevar a la forma de igualdad a las restricciones: -10X1 -12X2 SOLUCION ÓPTIMA Es la mejor solución factible. EL MÉTODO DE LA M U N I V E R S I D A D D E 15 6 6 0 16 2X1 +3X2 X1 2X2 +X2 A Q U I N O = = +H3 +H4 +H5 B O L I V I A = = 0 1 5 6 6 FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA 2. PASO: TABLA INICIAL Llevar los coeficientes de estas variables a una tabla, tal como se muestra abajo, donde la 1° fila es la FO y las demás filas son las igualdades del paso anterior: X1 -10 2 0 1 X2 -12 3 2 1 H3 0 1 0 0 H4 0 0 1 0 H5 0 0 0 1 X1 -10 2 0/2 1 LD 0 15 6 6 X1 -10 2 0 1 X2 -12 3 1 1 H5 0 0 0/2 1 LD 0 15 6/2 6 H3 0 1 0 0 H4 0 0 1/2 0 H5 0 0 0 1 LD 0 15 3 6 H3 0 1 0 0 H4 0 0 1 0 H5 0 0 0 1 Convertir todos los elementos de la COLUMNA PIVOTE en cero, a través de operaciones en fila. El resultado es: X1 -10 2 0 1 LD 0 15 6 6 X2 0 0 1 0 7. PASO: 4. PASO: H4 0 0 1/2 0 6. PASO: Ubicar, en la FO el valor más negativo, en nuestro caso este valor corresponde al 12, observe: X2 -12 3 2 1 H3 0 1 0/2 0 Entonces tendremos: 3. PASO: X1 -10 2 0 1 X2 -12 3 2/2 1 ELEMENTO PIVOTE LD 0 2 6 1 6 15 X1 -10 2 0 1 15 3 = 5 62= 3 61 =6 ¿ES LA SOL. OPTIMA? X2 0 0 1 0 H3 0 1 0 0 H4 6 -3/2 1/2 -1/2 TABLA INICIAL: X1 X2 H3 0 10 12 3 2 1 2 0 0 Convertir el ELEMENTO PIVOTE en 1, dividiendo toda la fila por el mismo (dividiremos por 2 en este caso). R S LD 36 6 3 3 H5 0 0 0 1 LD 36 6 3 3 A continuación se resume todo lo que hemos hecho, más el proceso completo: 5. PASO: I V E H5 0 0 0 1 Como verá, existe un valor negativo todavía (el 10) y se deberán realizar todos los pasos, otra vez, a partir del 4° (el cual consiste en determinar el nuevo ELEMENTO PIVOTE) Seleccionar la razón más pequeña, no negativa, y ubicar el elemento que corresponda a la columna seleccionada. U N H4 6 -3/2 1/2 -1/2 Para determinar esto, debemos observar la fila de la FO, y preguntarnos si existen todavía valores negativos. Observemos la tabla anterior: Marcar la columna del valor anterior y determinar las razones para cada igualdad, para esto dividir el lado derecho LD entre los coeficientes de la columna marcada (columna X2 en este caso) de la siguiente manera: X2 -12 3 H3 0 1 0 0 I D A D D E 17 A Q U I N O B H4 0 0 1 O L I V H5 0 0 0 I A LD 0 15 6 FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA 1 1 0 0 1 X1 = 3 6 X2 = 3 RESULTADO DE LA PRIMERA ITERACION: X1 X2 H3 H4 H5 -10 0 0 6 0 2 0 1 -3/2 0 0 1 0 1/2 0 1 0 0 -1/2 1 RESULTADO DE LA SEGUNDA ITERACION: X1 X2 H3 H4 H5 0 0 5 -3/2 0 1 0 1/2 -3/4 0 1/2 0 1 0 0 1/4 0 0 -1/2 1 RESULTADO DE LA TERCERA ITERACION: X1 X2 H3 H4 H5 0 0 2 0 6 1 0 -1 0 3 0 1 1 0 -2 0 0 -2 1 4 H4 = 0 Los otros valores que queden serán cero siempre: LD 36 6 3 3 H3 = 0 H5 = 0 El valor de la FO corresponde al valor de la esquina superior derecha de la tabla anterior: Z = 66 LD 66 3 3 0 CUESTIONARIO WORK PAPER #4 1. Resuelva los siguientes problemas a través del método simplex. Verifique sus resultados a través del software. LD 66 3 3 0 a)Max Sujeta a: Z= 3000X1 + 2000X2 X1 + 2X2 ≤ 6 2X1 -X1 + + X2 X2 ≤ ≤ 8 1 X2 ≤ 2 0 8. PASO FINAL: INTERPRETACION X1 , X2 b) Para interpretar se ubican aquellas columnas en las que hubiera 1 y 0 solamente, observe: Minimizar Z= Sujeta a: RESULTADO DE LA TERCERA ITERACION: X1 X2 H3 H4 H5 0 0 2 0 6 1 0 -1 0 3 0 1 1 0 -2 -2 0 0 1 4 LD 66 3 3 0 2X1 + 2X2 X1 X1 -X1 + + + 1X2 2X2 X2 Entonces: U N I V E R S I D A D D E 18 A Q U I N O B O L I V I A = ≥ ≤ 10 8 2 FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 5 UNIDAD O TEMA: FORMULACION DEL MODELO DE PL. TITULO: Planteamientos FECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer Parcial 1. DEFINIR LAS VARIABLES ELABORACION DE MODELOS X1 = Número de días que debe trabajar la mina I [Días] (PLANTEAMIENTOS) X2 = Número de días que debe trabajar la mina II [Días] EJEMPLO 1 Una compañía carbonífera es propietaria de dos minas, la primera produce diariamente como máximo 1 Ton de carbón de alta calidad, 4 Ton de mediana calidad y 6 Ton de carbón de baja calidad; la segunda mina puede producir como máximo 4 Ton de carbón de alta calidad, 4 de mediana y 2 de baja calidad. Asimismo, a la compañía le cuesta 100 $us/Día la operación de la mina I y 150 $us/Día la mina II. 2. ENCONTRAR LAS RESTRICCIONES DEMANDA CARBON DE ALTA DEMANDA CARBON DE MEDIANA DEMANDA CARBON DE BAJA La compañía tiene pedidos arriba de 80, 160 y 120 Ton de carbón de alta, mediana y baja calidad respectivamente. 3. 80 4X1 + 4x2 160 6X1 + 2x2 120 X1,X2 El problema consiste en determinar cuántos días debe trabajar cada mina para minimizar los costos de operación. 1X1 + 4x2 0 DEFINIR LA FUNCION OBJETIVO Minimizar Z = 100X1 + 150X2 EJEMPLO 2 0. ARMAR UNA TABLA CON LOS DATOS Calidad Producción Mina I [Ton/Día] Producción Mina II [Ton/Día] Alta Mediana Baja Costo 1 4 6 100 [$US/Día] 4 4 2 150 [$US/Día] U N I V E R S Un agricultor posee cerdos que consumen 90 Kg. de comida especial todos los días. El alimento se prepara como una mezcla de maíz y harina de soya con las siguientes composiciones. Demanda [Ton] I D A D 80 160 120 D E 19 A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA Alimento Maíz Harina de soya Requisitos: Los son: CUESTIONARIO WORK PAPER No. 5 Calcio Proteínas Fibra [Kg [Kg [Kg Costo calcio/Kg proteina/Kg fibra/Kg Bs/Kg de de de alimento] alimento] alimento] 0.001 0.09 0.02 0.20 0.002 0.60 0.06 0.06 Formule los siguientes problemas como un modelo matemático de programación lineal: 1. Una fábrica de artículos del hogar manufactura 2 artefactos A y B. Ambos sufren 3 procesos en el mismo orden, que son: maquinado, armado y montaje. Las disponibilidades de minutos diarios de cada proceso son: 480, 600 y 540 respectivamente. El artefacto A deja un beneficio de 100 $/unidad, en tanto que el B proporciona 120 $/unidad. En el proceso de maquinado se utilizan 4 minutos por cada unidad de artefacto A y 8 minutos por cada unidad de artefacto B. En el proceso de armado se utilizan 5 y 6 minutos respectivamente. Y finalmente, en el proceso de montaje se utilizan 12 y 8 minutos respectivamente. 0.1% x 5% x 90 30% x 90 90 Kg = Kg = 4.5 Kg = 27 Kg 0.09 Kg Kg requisitos diarios de alimento de los cerdos A. Cuando menos 0.1% de calcio, del total que se consume. B. Por lo menos 30% de proteínas, del total que se consume. C. Un máximo de 5% de fibra, del total que se consume. 2. Una pequeña carpintería esta planeando la producción el presente mes. Actualmente opera con solo dos productos puertas y ventanas. La mano de obra disponible para el presente mes es de 400 h-hom Cada puerta requiere 4 h-hom y tiene una contribución unitaria de 35 Bs., Una ventana requiere de 3 h-hom y tiene una contribución unitaria de 25 Bs. De acuerdo a sus ventas pasadas se tiene previsto vender hasta 70 puertas y 120 ventanas. Determine la mezcla de alimentos con el mínimo costo por día. 1. DEFINIR LAS VARIABLES X = Cantidad de maíz a mezclar diariamente [Kg] Y = Cantidad de Harina de soya a mezclar diariamente [Kg] 3. INDUSTRIAS DEL CAMPO, tiene dos maquinas distintas para procesar leche pura y producir leche descremada, mantequilla o queso. La cantidad de tiempo requerido en cada máquina para producir cada unidad de producto y las ganancias netas se proporcionan en la siguiente tabla: 2. ENCONTRAR LAS RESTRICCIONES X + + 0.001X MEZCLA: CANTIDAD DE CALCIO: CANTIDAD DE PROTEINAS: CANTIDAD DE FIBRA: 0.09X 0.02X + + Y = 90 0.002 Y 0.09 0.60Y 27 0.06Y 4.5 X,Y 0 MAQUINA 1 MAQUINA 2 LECHE DESCREMADA MANTEQUILLA 0.2 min / litro 0.5 min / Kg 0.3 min / litro 0.7 min / Kg 1Bs / litro 2 Bs / litro UTILIDAD: QUESO 1.5 min / Kg 1.2 min / Kg 2 Bs / Kg 3. DEFINIR LA FUNCION OBJETIVO Suponiendo que se dispone de 8 horas diarias en cada maquina, como gerente del departamento de producción, formule un modelo para determinar un plan de producción diaria que maximice las ganancias y produzca un mínimo de 300 litros de leche descremada, 200 Kg. de mantequilla y 100 Kg. de queso Minimizar Z = 0.20X + 0.06Y U N I V E R S I D A D D E 20 A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA 4. Una pequeña fábrica produce pinturas para interiores y exteriores de casas, para su distribución al mayoreo. Se utilizan 2 materias primas A y B para producir estas pinturas. Los requisitos diarios de materia prima por tonelada de pintura se resumen en la siguiente tabla: Toneladas de materia prima por tonelada de pintura Pintura Pintura Disponibilidad de de máxima por día exterior interior Materia prima A Materia prima B 1 2 6 2 1 8 Un estudio de mercado ha establecido que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que la pintura para exteriores en más de una tonelada. El estudio también revela que la demanda de pintura para interiores esta limitada a menos de dos toneladas diarias. El precio al mayoreo por tonelada es de 300$ y 200$ para pintura de exteriores e interiores, respectivamente. 5. Una compañía, que opera 10 horas al día, fabrica cada uno de 2 productos en tres maquinas diferentes (En donde el proceso es secuencial). La tabla siguiente resume los datos del problema: Producto Maquina 1 (Min/ unidad) Maquina2 (Min/ unidad) Maquina3 (Min/ unidad) Utilidad ($/unidad) 1 10 6 8 2 2 5 20 10 3 I D A D D E U N I V E R S 21 A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 6 UNIDAD O TEMA: METODOS DE SOLUCION DEL MODELO DE PL TITULO: Método Simplex Dual FECHA DE ENTREGA: Segundo Parcial Considere el siguiente ejemplo: METODO SIMPLEX DUAL En Muebles Hurtado debido a que las ganancias se han reducido, la gerencia decidió reorganizar la línea de producción. A partir de hoy se van a producir puertas y ventanas de mara. Después de hacer algunas investigaciones el departamento de IO determinó en un cuadro las capacidades y requerimientos de los productos, así como las utilidades unitarias: TEORIA DE LA DUALIDAD Otra forma descubierta de resolver los problemas de PL es a través del dual, este procedimiento también es usado para realizar un análisis que se denomina Análisis de Sensibilidad. PRECIOS SOMBRA PRODUCTO La tabla final del Método Simplex lleva al tema de los precios sombra….. ¿Exactamente cuánto debe estar dispuesto a pagar una compañía por hacer disponibles los recursos adicionales? ¿Vale la pena obtener más tiempo de maquina con un costo de 1 ,2 o 5 dólares? ¿vale la pena pagar a los trabajadores una cuota de tiempo extra para aumentar la producción? MADERA BARNIZ HORA MAQUIN A UTILIDAD [$U$/ Unid] …..el valor de los recursos adicionales es información valiosa para la administración. Afortunadamente, esta información está disponible en la Tabla final del Método Simplex. Una importante propiedad del renglón Z, es que los valores correspondientes a las variables de holgura I V E R S I D A D D E PUERT A 2 m3/Unid 3 m3/Unid 2 litros/Un id -1 hora/ unidad 1 hora/ unidad 10 12 CAPACIDA D DISPONIB LE 15 m3 6 litros 6 horas Planteando el problema: Max z = 10X1 + (Hi) ofrecen en sus columnas lo que se llama precios sombra. Un precio sombra es el valor de una unidad adicional de un recurso en la forma de una hora más de tiempo, un Kg. más de materia prima u otro recurso escaso. U N VENTAN A 22 A Q U I N O 12X2 2X1 + 3X2 X1 + 2X2 X2 X1, X2 ≥ B O L I V I A 1 5 6 6 0 FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA Resolviendo el problema por el Método Simplex obtenemos la siguiente tabla final: X1 0 1 0 0 X2 0 0 1 0 H3 2 -1 1 -2 H4 0 0 0 1 H5 6 3 -2 4 También el precio sombra determina el valor marginal o la tasa a la cual aumentará la función objetivo si es que se incrementa el recurso: Z' Z Yi No de unidades Por ejemplo: LD 66 3 3 0 Si el recurso madera se aumenta en 1 unidad (1m3), entonces la función objetivo aumentará en: Z’ = Z + YiNo de unidades = 66 + 21= 68 $u$ Observe: Los precios sombra en el renglón Z corresponden a: Y1 = 2 Y2 = 0 Y3 = 6 Si el recurso barniz se aumenta en 1 unidad (1 litro), entonces la función objetivo aumentará en: Z’ = Z + YiNo de unidades = 66 + 01= 66 $u$ Si el recurso hora máquina se aumenta en 1 unidad (1 hora), entonces la función objetivo aumenta en: Z’ = Z + YiNo de unidades = 66 +61=72 $u$ ESTADO DE LOS RECURSOS Si el valor de la variable de holgura, en la solución final del Método Simplex, es igual a cero (Hi=0), entonces el recurso que corresponde a esta variable de holgura es un recurso escaso. CUESTIONARIO WORK PAPER No. 6 1. Transforme el siguiente problema en un modelo dual: Si el valor de la variable de holgura, en la solución final del Método Simplex, es distinto de cero (Hi0), entonces el recurso que corresponde a esta variable de holgura es un recurso abundante. Max z = 1X1 + 1X1 + 1X1 + De acuerdo al ejemplo anterior: X1 = 3 X2 = 3 H3 = 0… Y1 = 2 H4 = 0… Y2 = 0 H5 = 0… maquina)… Z = 66 Recurso Min z = 4X1 + 1X1 + X1 - (madera)… Recurso escaso (barniz)… escaso 2X2 1X2 X2 + + O L I V 3X3 X3 ≥ ≥ X1, X2 ≥ (horas Ahora estamos en condición de darle una aplicación a los precios sombra. Al ser todos los recursos escasos en este caso (madera, barniz y horas máquina), necesitamos saber ¿cuál es el máximo precio que deberíamos pagar por obtener una unidad adicional de este recurso?, la respuesta a esta interrogante son los precios sombra. Y1 = 2 $u$ /m3 de madera Y2 = 0 $u$ /litro de barniz Y3 = 6 $u$ /hora de máquina U N I V E R S 6 12 0 2. Transforme el siguiente problema en un modelo dual: escaso Recurso Y3 = 6 5X2 1X2 ≥ 2X2 X1, X2 ≥ I D A D D E 23 A Q U I N O B I A 30 10 0 FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 7 UNIDAD O TEMA: METODOS DE SOLUCION DEL MODELO DE PL. TITULO: Soluciones Especiales del Método Simplex FECHA DE ENTREGA: Segundo Parcial SOLUCIONES SIMPLEX ESPECIALES DEL MÉTODO En este caso el Método Simplex se detiene y se dice que la solución es no acotada ya que es imposible lograr ganancias infinitas. SIN SOLUCION FACTIBLE X1 -3+M -2 0 -1 X2 X3 H4 A5 0 0 1 0 0 -2 ½ -1 0 1 0 0 M 0 0 1 SOLUCION ÓPTIMA MÚLTIPLE 12 6 10 5 Se dice que no hay solución factible, cuando cualquier solución óptima obtenida, por el método de la M, contiene al menos una variable artificial distinta de cero. NO HAY VARIABLE BASICA (SOLUCION NO ACOTADA) X1 X2 H3 H4 H5 -3 -2 0 -1 2 0 2 2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 QUE SALE 0 6 10 5 R S H3 H4 H5 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 3/2 -3/2 0 0 1 0 1 0 -1/2 1/2 18 4 3 3 EMPATE PARA LA VARIABLE BASICA QUE SALE = DEGENERACION Al encontrar a la variable de salida, nos encontramos con que todos los coeficientes de la columna pivote son ceros y/o negativos. Esto significa que las restricciones no impiden el crecimiento indefinido de la función objetivo. I V E X2 Existen varias soluciones óptimas múltiples cuando al menos una variable no básica tiene coeficiente cero en la ecuación cero final (FO). En este ejercicio H3 tiene coef. cero. Note que se tiene una variable básica de entrada X1. U N X1 I D A D D E X1 X2 H3 H4 H5 -3 -2 0 0 0 0 2 0 1 0 0 4 0 2 0 1 0 12 9 2 0 0 1 18 Observe que X1 es la variable básica de entrada. Al encontrar a la variable de salida, nos encontramos con que existe un empate entre H4 y H6 al encontrar la menor razón: 24 A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA Se recomienda romper el empate arbitrariamente. La solución básica factible resultante se llama degenerada, porque en la solución la variable básica no escogida tendrá siempre valor cero. CUESTIONARIO WORK PAPER No. 7 1. Clasifique las siguientes tablas indicando el tipo de solución: a) X1 X2 H3 H4 H5 0 0 1 0 0 0 0 1 5 1 0 0 0 2 1 4 1 0 5 14 15 8 3 2 b) X1 X2 H3 H4 H5 -3 2 0 -1 -5 0 -2 -1/2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 9 10 5 c) X1 X2 H3 H4 H5 -8 -9 0 0 0 0 2 0 1 0 0 9 0 2 0 1 0 12 5 3 0 0 1 18 U N I V E R S I D A D D E 25 A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA Práctica de Laboratorio: Nº 1 Título: Método Grafico Lugar de Ejecución: Laboratorios de Computación Elaborado por: Ing. Gelen P. Tondelli Méndez g. Elegir resolver especificando que se desea en forma grafica o algebraica. Siguiendo los pasos descritos anteriormente, Resuelva los siguientes problemas: Ejercicio 1. Nombre y Apellidos: _________________________________________ _____________________ Max z = 10X + 2X + X + 12Y 3Y 2Y Y 15 6 6 1. Objetivos. Ejercicio 2. Aprender a usar software educativo para poder graficar las ecuaciones lineales del Modelo Matemático de Programación Lineal. Max z = 3x1 -2x1 2x1 6x1 2. Fundamentos teorícos. + + + + 4x2 4x2 4x2 3x2 x1 , x2 Min z = 2x1 + 4x2 x2 x2 16 24 48 0 x1 , x2 = 2 5 1 0 4x2 x2 x2 3x2 x1 , x2 4 2 3 0 10x2 x2 x2 x2 x1 , x2 20 8 4 0 Ejercicio 3. El Método Grafico se usa para resolver problemas de Programación Lineal que poseen dos variables. x1 + x1 El software a utilizar es el TORA para Windows. 3. Desarrollo de la Práctica Ejercicio 4. Max z = x1 + x1 + x1 - Se seguirán los siguientes pasos: a. Abrir el programa. b. Seleccionar Linear Programming. c. Seleccionar introducir un nuevo problema y elegir si se quiere la respuesta en notación decimal o notación científica. d. Seleccionar pantalla de entrada (input screen). e. Escribir el numero de variables, el numero de restricciones y el titulo del problema. f. Presione la tecla TAB para ir a la tabla de entrada de los datos faltantes. U N I V E R S I D A D D E Ejercicio 5. Min z = 20x1 2x1 2x1 - x1 26 A Q U I N O + + + + B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA Práctica de Laboratorio: Nº 2 Título: Método Simplex Lugar de Ejecución: Lab. de Computación Elaborado por: Ing. Gelen P. Tondelli Méndez 4. Conclusiones sobre los resultados obtenidos El estudiante deberá elaborar un informe de la practica de laboratorio que reuna las siguientes características: 1. Los informes se deben entregar en hojas de papel tipo carta. Los informes deben presentarse hechos en computador. El informe es una guía con la que pueden trabajar personas que conozcan o no de la asignatura a tratarse, o personas que hace tiempo no revisan el tema. 2. El informe se debe presentar a la clase siguiente a la realización de la práctica en forma individual. 3. No es permitido que las personas que no hayan asistido a una práctica presenten informe de la misma. Nombre y Apellidos: _________________________________________ _____________________ 2. Objetivos. Aprender a usar software educativo para resolver el Metodo simplex mediante Modelo Matemático de Programación Lineal. 5. Bibliografía 2. Fundamentos teorícos. TAHA H. A., “Investigación de Operaciones. Una Introducción”, 6ta edición. Servicio de Ingeniería, México, 1998. El Método Simplex se usa para resolver problemas de Programación Lineal que poseen dos variables o más. El software a utilizar es el TORA para Windows. HILLIER F. S., LIEBERMAN G. J., “Introducción a la Investigación Operativa”, Ed. McGraw-Hill, Tercera Edición, México, 1991. 3. Desarrollo de la Práctica Se seguirán los siguientes pasos: 1. Abrir el programa. 2. Seleccionar Linear Programming. 3. Seleccionar introducir un nuevo problema y elegir si se quiere la respuesta en notación decimal o notación científica. 4. Seleccionar pantalla de entrada (input screen). 5. Escribir el numero de variables, el numero de restricciones y el titulo del problema. U N I V E R S I D A D D E 27 A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA 6. Presione la tecla TAB para ir a la tabla de entrada de los datos faltantes. 7. Elegir resolver especificando que se desea en forma algebraica. 3. Conclusiones sobre los resultados obtenidos 8. Seleccionar el metodo simplex, eligiendo si se desea ver la tabla final o cada iteración. El estudiante deberá elaborar un informe de la practica de laboratorio que reuna las siguientes características: 4. Los informes se deben entregar en hojas de papel tipo carta. Los informes deben presentarse hechos en computador. El informe es una guía con la que pueden trabajar personas que conozcan o no de la asignatura a tratarse, o personas que hace tiempo no revisan el tema. 5. El informe se debe presentar a la clase siguiente a la realización de la práctica en forma individual. 6. No es permitido que las personas que no hayan asistido a una práctica presenten informe de la misma. Siguiendo los pasos descritos anteriormente, Resuelva los siguientes problemas: Ejercicio 1. Max z = + 3X1 1X1 3X1 + 5X2 2X2 2X2 X1, X2 4 1 2 1 8 0 Ejercicio 2. 5. Bibliografía Min z = 4X1 + 1X1 + X1 - 2X2 1X2 X2 + + 3X3 X3 ≥ ≥ X1, X2 ≥ 30 10 0 TAHA H. A., “Investigación de Operaciones. Una Introducción”, 6ta edición. Servicio de Ingeniería, México, 1998. Ejercicio 3. Min z = 2x1 + 4x2 x2 x2 x1 , x2 = 2X1 + 3X2 + X3 X1 2X1 X1 + + X2 X2 2X2 + + X3 3X3 = ≥ ≤ 10 5 8 X1 , X2 , X3 0 x1 + x1 4 5 1 0 Ejercicio 4. Maximizar Sujeta a: Z= U N I V E R S I D A D D E 28 A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD DIF´S # 1 UNIDAD OTEMA: REDES Y EL PROBLEMA DE TRANSPORTE TITULO: El Modelo de Transporte FECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACION: Segundo Parcial El propósito del modelo de transporte es encontrar los medios menos costosos para embarcar abastos desde varios orígenes a varios destinos. Los puntos de origen (o fuentes) pueden ser fábricas, almacenes o cualquier otro de los puntos desde donde se embarquen los bienes. Los destinos son cualquiera de los puntos que reciben bienes. C. Método de Vogel. Existen diferentes métodos de solución del modelo de transporte, nosotros estudiaremos los siguientes tres: www.itson.mx/dii/elagarda/ apagina2001/PM/transporte.html Conociendo esto realice lo siguiente: Algoritmo de cada método con un ejemplo de cada uno. Además de la bibliografía de la materia, puede utilizar la siguiente: www.monografias.com A. Método de la Esquina Noroeste B. Método de la Matriz Mínima. CONCLUSIONES (deberán sintetizar la opinión del grupo): U N I V E R S I D A D D E 29 A Q U I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo): GRUPO (máximo cinco integrantes): AP. PATERNO AP. MATERNO U N I V E R S I D A D NOMBRES D E 30 A Q U FIRMA I N O B O L I V I A FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD DIF´S # 2 UNIDAD OTEMA: REDES Y EL PROBLEMA DE TRANSPORTE TITULO: Técnicas de planeación. FECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACION: Examen Final En un momento u otro cualquier empresa tomará un proyecto complejo. Una constructora debe completar cientos de costosas actividades al construir un edificio o una carretera, una empresa petrolera requiere proyectos de mantenimiento de vehículos y maquinarias, los ingenieros de sistemas encaran los proyectos de redes, etc. controlar un proyecto con un ejemplo. describiendo cada una y Además de la bibliografía de la materia, puede utilizar la siguiente: http://www.gestiopolis.com/recursos/document os/fulldocs/ger/diaggantaleja.htm Investigue las técnicas que permiten a los administradores de proyectos planear, programar y www.monografias.com/trabajos2/ caminocritico/caminocritico.shtml CONCLUSIONES (deberán sintetizar la opinión del grupo): COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo): GRUPO (máximo cinco integrantes): AP. PATERNO AP. MATERNO U N I V E R S I D A D NOMBRES D E 31 A Q U FIRMA I N O B O L I V I A