Guia 3 Reales

Área de TEXTO
SAN MATEO 2002
 CONJUNTO DE LOS
NUMEROS REALES.
JUSTIFICACIÓN :
La Matemática ofrece una serie de herramientas
que permitirá a ustedes solucionar desafíos en las
diversas ciencias que surgen de los incesantes
cambios tecnológicos y científicos.
Este aprendizaje enriquece la comprensión de la realidad,
responde y resuelve situaciones provenientes de diversos
ámbitos : ciencias naturales, ciencias sociales, etc. Por ello
utilizamos diversas formas de escribir magnitudes para que
sean utilizadas en la aplicación de fenómenos que ocurren en dichas ciencias.
Además se desarrolla la capacidad de abstracción utilizando el lenguaje algebraico para
modelar fenómenos de la realidad y del ámbito de las ciencias.
ACTIVIDAD :
En algún momento has pensado en
las dimensiones del universo que
muchas veces escapa a nuestro
concepción de distancias. Para
conocer alguna de ellas es necesario
que busques los siguientes datos :
DISTANCIA SOL- TIERRA
EXTENSIÓN DEL SISTEMA
SOLAR
EXTENSIÓN DE NUESTRA .
GALAXIA.
DIÁMETRO DE UN ÁTOMO.
EXPERIENCIA :
Haz un resumen de tus propios conocimientos sobre las
potencias :
a5  a3 =
x12 : x6 =
  a 4 3
2

3 a8 + 5 a3 =
4-1 + 2-1 =
Área de TEXTO
54.
SAN MATEO 2002
Completa :
(puedes usar tu calculadora )
a
64
125
144
1
16
a2
a
3
a
 CONTENIDO 9
CONJUNTO DE LOS
NÚMEROS REALES.
NOCION : Definición de número
real y su representación gráfica.
Tenemos un marco en forma de cuadrado cuyo lado mide
1 metro. Para que no se descuadre le colocaremos un alambre que
vaya de una esquina a otra opuesta. Queremos saber cuánto
debe medir el alambre.
Por lo tanto tenemos que encontrar el valor de la diagonal.
¿ Te acuerdas de Pitágoras ?
x2 = 12 + 12
x2 = 1 + 1
x2 = 2
x=
x
1m
2
1m
y para saber cuánto es la raíz de 2, consultamos a una calculadora, que nos da el valor de
1,4142135
pero este valor es aproximado porque si multiplicamos
( 1,4142135 )2 = 1,9999998
Este valor de la raíz no tiene una cantidad determinada de decimales, es decir , es infinito.
Una cuestión muy importante es que el valor
p
decimal de la forma
con p  q  Z.
q
0,3333... =
1
3
pueden ser transformados a un
0,58 =
2 no puede ser transformado a un
Es decir los decimales
58
100
0,35 
p
, por lo tanto son racionales.
q
35  3 32

90
90
Área de TEXTO
SAN MATEO 2002
p
, por lo tanto son irracionales.
q
Las raíces de 2, 3 , 5 no pueden ser transformadas a un
Los números racionales con los números irracionales forma el conjunto de los NÚMEROS
REALES
Calculemos la raíz de 5.
x2 = 22 + 12
x2 = 4 + 1
1
x2 = 5
!
!
1
2
!
!
3
4
x =
5
x = 2, 23
EJERCICIOS :
Sustituye las letras por números para hacer que las expresiones sean verdaderas.
55.
2 · x = 24
56.
x=
58.
-16 •
57.
n=
1
=q
2
59.
q=
61.
n2 · 4 = 24
8 •-x2 =
2
6
x 
3
15
y=
60. -15 • -
x=
1
2
x=
62.
2  4  k
k=
-3 • y = ( -6)2
3
= m2
5
m=
63.
2 3

 h2
5 4
h=
 CONTENIDO 10. NOTACIÓN CIENTÍFICA.
NOCION : Aplicación de las potencias de base 10.
Existen en nuestra vida, algunos fenómenos que debemos de
considerar como magnitudes tremendamente grandes o
infinitamente pequeñas.
Ejemplos :
1000 = 10  10  10 = 103
1000000 = 10  10  10  10  10  10 = 106
DISTANCIAS EN EL MACROMUNDO.
Para dimensiones grandes en el universo, tenemos unidades muchísimo mas grandes que el Km.
por ejemplo, el año luz ( es la distancia que la luz a una velocidad de 300.000
un año.)
Km
recorre en
seg
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- En un segundo,la luz recorre
300.000 Km
- en un minuto , recorrerá
300.000  60 Km
- en una hora, recorrerá
300000  60  60 Km
- en un día , la luz recorrerá
300000  60  60  24 Km
- en un año ,la luz recorrerá
300000  60  60  24  365 Km
que, en números es :
9.460.800.000.000 Kilómetros
para evitarnos escribir tal cantidad, lo haremos 9,461012 Km.
Normalmente, escribiremos la notación científica con un entero y dos decimales.
64. Tú averiguarás, que distancia existe entre el Sol y Plutón pero en años-luz
65. También la distancia entre la Tierra y la estrella más cercana ( Alfa Centauro )
66. Distancia entre la Tierra y el sol.
REFLEXIÓN :
Tú crees que con esas distancias
y la cantidad de cuerpos celestes
que existen en el universo, ¿
seremos en la Tierra los únicos
seres vivos del Universo ? Ante
esta evidencia ¿ no crees que es
tiempo de ensalzar a Dios por su
magnificencia ?
DISTANCIA EN EL MICRO MUNDO :
Un átomo de Hidrógeno tiene un tamaño aproximado de 0,0000001
milímetros que se escribe
10-6 mm = 10-9 metros = 10-12 Kilómetros
Cada átomo consta de protones, electrones y neutrones67. Un protón de Hidrógeno tiene el tamaño de 1,610-12 mm
exprésalo en kilómetros : _____________________
68. El diámetro del Sol es de 1392000 Km
El radio de la tierra es de 6.380 Km
Área de TEXTO
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Si el volumen de una esfera se calcula de la siguiente manera
Vesf =
4 3
 r , y consideramos
3
que el Sol y la Tierra son esferas ¿ Cuántas veces más grande es el Sol que la Tierra ? ( El
radio es la mitad del diámetro )
69.En un milímetro cúbico de sangre hay aproximadamente 5.500.000 glóbulos rojos.
¿ Cuántos glóbulos rojos aproximadamente tiene el ser humano en su torrente
 CONTENIDO 11
POTENCIAS.
NOCION : Potencias con base real y exponente
entero .
DEFINICIÓN DE POTENCIA.
Si bien la multiplicación es una suma resumida, la potenciación
es una multiplicación resumida. Así
Multiplicación :
3 + 3 + 3 + 3 = cuatro veces el sumando tres = 4  3 = 12
Potenciación :
3  3  3  3  3 = cinco veces el factor tres = 35 = 243
Es decir :
a3 = a  a  a
xn = x  x  x  ...  x
( n veces )
MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE.
m4 • m2 = m6
Ej.:
x5 • x3 • x4 = x12
es decir, para multiplicar potencias de la misma
base, se eleva la base a la suma de los exponentes
ACCIÓN
¡ Cómo me gustan las
potencias!...
EJERCICIOS :
73.
x2n+1 • x3n-2 =
74.
3 x2yz3 • 4 xy3z2 =
70.
x13 • x7 =
71.
a3b4 • a4b2 =
72.
5x2y • 8x3y6 =
sanguíneo ?
Área de TEXTO
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75.
-12a • 5b • -7ab3 =
76.
y2p-1 • yp+6 =
77.
a8 • a5 • a =
78.
3a2b5 • -5a4bc2
79.
15x3y2z • 4x2y5z2 •-3xyz =
Para dividir potencias de la misma base,
se eleva la base a la diferencia de los exponentes
Ej.
a7 : a4 = a7-4 = a3
80.
a13 : a5 =
81.
m-5 : m-2 :
82.
x2a-3b : xa-2b =
83.
ya - b : ya – 2b =
84.
Asómbrate con el siguiente ejercicio
Eugenia llama por teléfono a tres amigas para que al día siguiente, regalen un kilo de
alimentos al Hogar de Cristo y llamen a otras tres amigas para que ellas, a su vez, al día
siguiente regalen un kilo de alimentos al mismo Hogar de Cristo y llamen a otras tres
amigas y así continúen con esta cadena de solidaridad.
Si todas las amigas involucradas en la cadena cumplen el compromiso y tienen que
enviar el kilo de alimentos al día siguiente de recibido el llamado ¿ cuántos kilos de
alimento recibe el Hogar de Cristo al cabo de diez días ?
85. Un rectángulo de cartulina de 1 milímetro de espesor se dobla por la mitad, luego
nuevamente por la mitad, y así sucesivamente en un total de 20 dobleces;
hipotéticamente ¿ que altura tiene esa cartulina doblada después del vigésimo doblez?
 CONTENIDO 12
RAICES.
NOCION : Raíces con índice entero.
NOTACIÓN :
n
a
“a” se llama cantidad subradical
“n” es el índice ( si es raíz cuadrada, el dos no se escribe )
Área de TEXTO
25  5
3
52  25
porque
216  6
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63  216
porque
Usando tu calculadora, determina :
86.
89.
3
1000 
87.
25

81
90.
En un triángulo rectángulo
4
625 
88.
0,1296 
91.
32 
15 
c
a
b
a2 + b2 = c2
si a = 5 y b = 12
5
de acuerdo al teorema de Pitágoras :
52 + 122 = c2
25 + 144 = c2
169
= c2
¿ cuánto vale c ?
por lo tanto
169 = c
13
=c
Calcula en los siguientes triángulos rectángulos :
92.
Si a = 15 y b = 20
c=?
93
Si c = 50 y b = 40
a=?
94.
Si a = 8 y b = 10
c=?
95.
De acuerdo a los ejercicios planteados ¿ podrías dar una explicación sobre el
concepto de raíz cuadrada ?
96. ¿ y de raíz cúbica ?
97. ¿ Te atreverías a dar el concepto de raíz enésima ?
VALOR ABSOLUTO Y OPERACIONES ARBITRARIAS.
ME UBICO
EN EL
CONTEXTO
 CONTENIDO 13. VALOR ABSOLUTO
Juanito se pierde al ir a la
gran ciudad. Llama por
teléfono a su mamá y le
dice que está a 5 cuadras
de la plaza de Armas.
Ese dato ¿ es suficiente
para encontrarlo ?
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NOCIONES : - Definir el concepto de valor absoluto.
- Utilizar el concepto de valor absoluto en ejercicios combinados.
- Manejar los algoritmos de las operaciones básicas incluyendo
valor absoluto.
VALOR ABSOLUTO : es el valor positivo de una
expresión .
Ejemplo : +15 = 15
-22 = 22
Resuelve las siguientes operaciones con valor absoluto :
98.
99.
 -5+ 3  =
99.
 -6 - 2  +  -5 - 3 -  - 13 =
101.
3 2 - 1  -  5 =
103.
5 - 6 +  7 - 8 =
 -6 + 2  =
100. - 4 + 16  +  -3 - 11 + 6 =
102. 4 5 + 7 6 =


3
104.
4
1
105.
3
4

2
5
3

1
4

2
106.
6

5
2

4
1
3
5

4
5

3

3
4
 CONTENIDO 14. OPERACIONES ARBITRARIAS.
NOCIONES : - Definir el concepto de operación arbitraria.
- Realizar ejercicios con operaciones arbitrarias en Z.
La operación se define de una manera absolutamente al azar
a * b = 3a - 2b
2 * -5 = 3  2 - 2  -5 = 6 - -10 = 16
Si
a  b = 2a + b
y
a  b = a² + b²

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encuentra el valor de cada una de las siguientes operaciones =
107.
109.
111.
43
63
( 6  3 )  4 =
Si a  b =
3a
b
2
108. 2  5 =
110. 4  2 =
112. ( 3  0 )  (6  1 ) =
y
ab=
3
a

2
b
5
encuentra el valor de cada una de las siguientes operaciones
112.
114.
116.
4
1
=
4
2
3=
3
113.
-2  5 =
115.
-4  -2 =
( 6  -3 )  4 =
( -3  2
117.
Ahora dedicaré un momento a
reflexionar :
Si la adición y la multiplicación
en los enteros cumplen propiedades de
conmutatividad, asociatividad,
neutro,etc.
¿ Crees tú que sería posible demostrar
que otras operaciones inventadas
cumplan esas propiedades ?
El producto de tu reflexión lo
leerás ante tus compañeros.
ACCIÓN.
EJERCICIOS VARIOS.
119 Se define d* = d  5 , con d  0, entonces ( 2  3*)* =
 1 1
, =
 2 2
1
Se define a * b = (a  b)(a  b) entonces ( a * b ) 
a b
120. Si (a,b)*(c,d) = (ac-bd,ad+bc) entonces (2,2)* 
121.
122.
Si a  b = 2ab, encuentra
a) 3  2 =
b) -5  1 =
c) -3  -4 =
1
)  (-6  1 )
3
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d) 6  0 =
e) 4  -2 =
la operación anterior es conmutativa ¿ por qué ? ¿ y qué sucede con la asociatividad
f)
?
Si a  b = ab , entonces
123.
a) 3  2 =
b) 5  2 =
c) -3  4 =
Esta operación, ¿ es conmutativa ?
d) 4  3 =
124 . Si X gana menos que Y, pero más que Z, y éste gana más que T pero menos que W. ¿
puedes establecer el orden de menor a mayor ?
125. Se define
a)
c)
126.
a
3 -2
-2 4
3
b
c
d
7 -5
1
= ab2 + cd - (a - d) , entonces
=
b)
4
1 0
-2
=
=
La figura representa un mecanismo tal que al ingresar un número por P sufre algunas
transformaciones posteriores y bajo cierta condición llega a S y de ahí sale.
* en Q el número ingresado se multiplica por (-2) y sale hacia R.
* En R se resta 2 al resultado obtenido en Q. Sin embargo, cuando el resultado
obtenido en R es menor que 10 se devuelva a Q y sale hacia arriba.
P
Q
R
S
¿ Qué números llegan a S ?
A) 5
B) -6
C) -10
D) 0
E) 40
¡¡Guaaa....!! Estos ejercicios me
gustaron, quiero otros
¡¡máááss!!..... ¿ y tú ?
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