Exámenes de matemáticas y geometría

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL AVELLANEDA
à LGEBRA Y GEOMETRà A ANALà TICA
Parcial II-B
Tema 1
Apellido y nombres del alumno: .......................................................................................................................
Especialidad: …………………………………………………………………………….................................
Apellido y nombres del docente: ……………………………………………………………………………..
La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mÃ−nimo tres ejercicios:
1
2
3
4
5
Calificación Final
IMPORTANTE: Usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para
justificar sus respuestas. NO USE LÃ PIZ
...............................................................................................................................................................................
1.- Aplicando una traslación adecuada de ejes, o completando cuadrados, obtener la ecuación canónica de
la siguiente cónica, hallar sus elementos constitutivos (centro, diámetros, vértices, focos, directrices,
asÃ−ntotas, etc. según corresponda) y representar gráficamente: 4x2 - 9y2 - 24x -18y - 9 = 0
2.- Deducir para qué valores reales del parámetro t, la ecuación x2 + y2 + tx + 2= 0 representa:
a.- Circunferencias b.- Un punto (obtenerlo) c.- Ningún lugar geométrico real
3.- Hallar la ecuación de la elipse cuyo centro coincide con el origen de coordenadas, el eje focal es el eje x y
que pasa por los puntos A (-3; 2â 3) y B (4; 4â 5 )
3
4.- a.- Obtener la intersección con los planos y ejes coordenados de la siguiente cuádrica:
12x2 - 4y2 + 12z2 = 48
b.- Indicar que curvas representan las intersecciones con los planos coordenados y señalar cuál es el eje
que contiene a los focos y cuál es el que se corresponde con el diámetro mayor o real, diámetro menor o
imaginario según corresponda.
c.- ¿Es la anterior una superficie de revolución? Justifique su respuesta
5.- Calcular la matriz D diagonal semejante a A .- Obtener la base en la cual opera esa matriz diagonal
semejante.
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1
à LGEBRA Y GEOMETRà A ANALà TICA
Parcial II-B
Tema 2
Apellido y nombres del alumno: .......................................................................................................................
Especialidad: …………………………………………………………………………….................................
Apellido y nombres del docente: ……………………………………………………………………………..
La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mÃ−nimo tres ejercicios:
1
2
3
4
5
Calificación Final
IMPORTANTE: Usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para
justificar sus respuestas. NO USE LÃ PIZ
...............................................................................................................................................................................
1.- Aplicando una traslación adecuada de ejes, o completando cuadrados, obtener la ecuación canónica de
la siguiente cónica, hallar sus elementos constitutivos (centro, diámetros, vértices, focos, directrices, etc.
según corresponda) y representar gráficamente: x2 - 4x + 8y + 8 = 0
2.- Calcular la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto O' (-1; -3) y que es tangente a la recta de
ecuación 3x + 4y - 10 = 0
3.- Hallar la ecuación de la elipse cuyo centro coincide con el origen de coordenadas, sus vértices se
corresponden con los puntos A (0; 10) y A' (0; -10), y cuya excentricidad es 4/5
4.- a.- Obtener la intersección con los planos y ejes coordenados de la siguiente cuádrica:
x2 - 4y2 - 12z2 = 24
b.- Indicar que curvas representan las intersecciones con los planos coordenados y señalar cuál es el eje
que contiene a los focos y cuál es el que se corresponde con el diámetro mayor o real, diámetro menor o
imaginario según corresponda.
c.- Representar gráficamente
5.- Calcular la matriz D diagonal semejante a A .- Obtener la base en la cual opera esa matriz diagonal
semejante.
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à LGEBRA Y GEOMETRà A ANALà TICA
Parcial II-B
Tema 3
Apellido y nombres del alumno: .......................................................................................................................
2
Especialidad: …………………………………………………………………………….................................
Apellido y nombres del docente: ……………………………………………………………………………..
La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mÃ−nimo tres ejercicios:
1
2
3
4
5
Calificación Final
IMPORTANTE: Usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para
justificar sus respuestas. NO USE LÃ PIZ
...............................................................................................................................................................................
1.- Aplicando una traslación adecuada de ejes, o completando cuadrados, obtener la ecuación canónica de
la siguiente cónica, hallar sus elementos constitutivos (centro, diámetros, vértices, focos, directrices, etc.
según corresponda) y representar gráficamente: 4x2 + y2 + 40x - 6y + 105 = 0
2.- Calcular la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto O' (-2; 3) y que es tangente a la recta
definida por su vector normal n (20; -21) y que contiene al punto A (0, -2)
3.- Hallar la ecuación de la parábola de eje de simetrÃ−a paralelo al eje x y que contiene a los puntos A (-2;
1), B (1,2) y C (-1,3)
4.- Sea la siguiente cuádrica:
Ax2 + 8y2 + Bz2 = 32
a.- Indicar para qué valores reales de A y de B dicha cuádrica representa:
* Un hiperboloide de una hoja cuya intersección con el plano z = 0 es una elipse de semidiámetro mayor
2â 2.
* Un elipsoide
* Una superficie esférica
b.- Para A= 16 y B = 32, obtener la intersección de la superficie resultante con los ejes coordenados e
identificarla.
5.- Sea T: R2 â
R2 / T (x; y) = (-6x - 3y; 7x + 4y)
Calcular la base P = {u, v} en la que dicha transformación lineal se materializa a través de una matriz
diagonal. Obtener dicha matriz diagonal.
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Parcial II-B
Tema 4
Apellido y nombres del alumno: .......................................................................................................................
3
Especialidad: …………………………………………………………………………….................................
Apellido y nombres del docente: ……………………………………………………………………………..
La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mÃ−nimo tres ejercicios:
1
2
3
4
5
Calificación Final
IMPORTANTE: Usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para
justificar sus respuestas. NO USE LÃ PIZ
...............................................................................................................................................................................
1.- Aplicando una traslación adecuada de ejes, o completando cuadrados, obtener la ecuación canónica de
la siguiente cónica, hallar sus elementos constitutivos (centro, diámetros, vértices, focos, directrices, etc.
según corresponda) y representar gráficamente: x2 + 4y2 + 4x - 16y + 4 = 0
2.- Obtener la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto F (6, -2) y cuya directriz es la recta
L: x - 2 = 0
3.- Calcular el ángulo que forman las asÃ−ntotas de la hipérbola: 7(x + 2)2 - 9(y + 4)2 = 63
4.- Sea la siguiente cuádrica:
Ax2 + 4y2 - Bz2 = 64
a.- Indicar para qué valores reales de A y de B dicha cuádrica representa:
* Un hiperboloide de una hoja cuya intersección con el plano z = 0 es una elipse de semidiámetro menor
2â 2.
* Un hiperboloide de dos hojas
* Una superficie cilÃ−ndrica recta de directriz elÃ−ptica
b.- Para A= 4 y B = 16, obtener la intersección de la superficie resultante con los ejes coordenados e
identificarla.
5.- Sea T: R2 â
R2 / T (x; y) = (x + 3y; 5x + 3y)
Calcular la base P = {u, v} en la que dicha transformación lineal se materializa a través de una matriz
diagonal. Obtener dicha matriz diagonal.
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à LGEBRA Y GEOMETRà A ANALà TICA
Parcial II-B
Tema 5
Apellido y nombres del alumno: .......................................................................................................................
4
Especialidad: …………………………………………………………………………….................................
Apellido y nombres del docente: ……………………………………………………………………………..
La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mÃ−nimo tres ejercicios:
1
2
3
4
5
Calificación Final
IMPORTANTE: Usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para
justificar sus respuestas. NO USE LÃ PIZ
...............................................................................................................................................................................
1.- Aplicando una traslación adecuada de ejes, o completando cuadrados, obtener la ecuación canónica de
la siguiente cónica, hallar sus elementos constitutivos (centro, diámetros, vértices, focos, directrices,
asÃ−ntotas, etc. según corresponda) y representar gráficamente: 9x2 - 4y2 - 18x + 8y - 31 = 0
2.- Obtener la ecuación de la elipse cuyo centro es el punto O' (1; 2), uno de los focos es el punto F (6, 2) y
que pasa por el punto M (4,6)
3.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (5,3); B (6,2) y C (3,-1)
4.- a.- Obtener la intersección con los planos y ejes coordenados de la siguiente cuádrica:
24x2 + 4y2 - 12z2 = 96
b.- Indicar que curvas representan las intersecciones con los planos coordenados y señalar cuál es el eje
que contiene a los focos y cuál es el que se corresponde con el diámetro mayor o real, diámetro menor o
imaginario según corresponda.
c.- ¿Es la anterior una superficie de revolución? Justifique su respuesta
5.- Calcular la matriz D diagonal semejante a A .- Obtener la base en la cual opera esa matriz diagonal
semejante.
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL AVELLANEDA
à LGEBRA Y GEOMETRà A ANALà TICA
Parcial II-B
Tema 6
Apellido y nombres del alumno: .......................................................................................................................
Especialidad: …………………………………………………………………………….................................
Apellido y nombres del docente: ……………………………………………………………………………..
La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mÃ−nimo tres ejercicios:
1
2
3
4
5
Calificación Final
5
IMPORTANTE: Usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para
justificar sus respuestas. NO USE LÃ PIZ
...............................................................................................................................................................................
1.- Aplicando una traslación adecuada de ejes, o completando cuadrados, obtener la ecuación canónica de
la siguiente cónica, hallar sus elementos constitutivos (centro, diámetros, vértices, focos, directrices, etc.
según corresponda) y representar gráficamente: y2 + 6x - 4y - 8 = 0
2.- Obtener la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento que une los puntos P (-3; 5) y
Q (7; -3)
3.- Sea la siguiente cuádrica:
8x2 + 4y2 - 12z2 = K
a.- Indicar para qué valores reales de K la misma representa:
* Una superficie cónica
* Un hiperboloide de dos hojas
* Un hiperboloide de una hoja
Justifique su respuesta
b.- Calcular la intersección de dicha superficie con los planos y ejes coordenados cuando K = 24
4.- Calcular la matriz D diagonal semejante a A .- Obtener la base en la cual opera esa matriz diagonal
semejante.
5.- Sea la transformación lineal T: R3 â
R3 / T(x,y,z) = (x; 3x + 3y - 4z; -2x + y - 2z)
Obtener los valores de λ ε R que verifique:
a.- T(0,1,1) = λ (0,1,1)
b.- T(0,4,1) = λ (0,4,1)
6