Hallar la función derivada de y = (1

DERIVADAS Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD
Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función
f(x) = x2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar xo
El teorema de Lagrange dice que:
f(3) - f(-1) = f ´(xo) [3- (-1)]
donde f´(x) = 2x + 4  f´(xo) = 2xo + 4
f (3) = 32 + 4·3 - 2 = 19
Como
f(-1) = 1 - 4 – 2 = - 5
Aplicando el teorema 19 – (-5) = 4(2 xo + 4)  24 = 4 · (2 xo + 4) ; 6 = 2 xo + 4 ;
2 xo = 2 ;  xo = 1 ε [-1,3]
Aplicar el teorema del valor medio a la función f(x) en el intervalo
indicado, calculando el valor e que predice el teorema. Interpretarlo
geométricamente.
A) f(x) = senx en [0, /2] B) f(x) = x4 - 3x2 en [0, 2]
C) f(x) = cosx en [-/2, /2] D) f(x) = x en [0,4]
a) f(x) = senx es continua en [0, /2] por ser función sinusoidal de un polinomio
f ‘(x) = cosx es continua en (0, /2)
f(x) es derivable en (0, /2)
Existe xo € (0, /2) //
f(/2) – f(0)
f ‘(xo) = ----------------- ;
/2 – 0
sen (/2) – sen0
1
cos xo = ------------------------------ = -------- = 2/  ; xo = arc cos (2/)
/2
/2
1
La m c = tg 2/ 
/2
En xo = arc cos (2/); f ‘(xo) = 2/
La tg en xo es paralela a la cuerda.
b) f(x) = x4 - 3x2 es continua en [0, 2] por ser función polinómica
f ‘(x) = 4x3 - 6x es continua en (0,2)
f(x) es derivable en (0,2)
Existe xo € (0,2) //
f(2) – f (0)
f ‘(xo) = --------------2–0
16 - 12
4xo3 – 6xo = ---------- = 2 ; 4xo3 – 6xo + 2 = 0 ; 2xo3 – 3xo + 1 = 0
2
1 0 -3 1
x = 1 € (0,2)
2x2 + 2x - 1 = 0
1
2 2 -1
-2 +- 4+8
-2 +- 23
-1 + 3 € (0,2)
2 2 -1 0
x = --------------- = ------------- = -1 +-3
2
2
-1 - 3 NO € (0,2)
La m c = 4/2 = 2
En xo = 1; f ‘(xo) = 2
En xo = -1 + 3; f‘(xo) = 2
Las tangentes en cada xo son paralelas a la curva.
c) f(x) = cosx es continua en [-/2, /2] por ser función sinusoidal de un polinomio
f ‘(x) = -senx es continua en (-/2, /2)
f(x) es derivable en (-/2, /2)
Existe xo € (-/2, /2) //
f(/2) - f(-/2)
cos(/2) - cos(-/2)
f ‘(xo) = --------------------; -sen xo= --------------------------= 0
/2 - (-/2)

sen xo = 0;
xo = arc sen 0
0 € (-/2, /2)
- NO € (-/2, /2)
 NO € (-/2, /2)
En xo = 0, la mt = 0
mc = 0 por ser la recta y = 0 la cuerda entre A y B
La tangente es paralela a la recta
d) f(x) = x es continua  x  0; es continua en [0, 4]
1
f ‘(x) = -------- es continua  x > 0
f(x) es derivable en (0,4)
2x
f(4) – f(0)
1
2-0
Existe xo € (0,4) // f ‘(xo) = --------------; -------- = -------4–0
2xo
4-0
1
------ = 1/2; 2 = 2xo; 1 = xo; xo= 1 € (0,4)
2xo
La m c = tg 
En xo= 1 mt = 1/2 = f ‘(1)
La tg en x = 1 es paralela a la cuerda AB
Aplicar Rolle, hallando el x0 , a la f(x) = x ⅔ en [-1 , 1]
f(x) es continua pues f(x) = ³√x²
y el radicando es siempre positivo
2
2
2
f´(x) = — x ⅔‾ ¹ = — x ‾ ⅓ = ——
3
3
3· ³√x
2
2
f´(0) = —— = — = ∞ no esta definida,
3·³√o
0
luego no es continua la f´(x) en x = 0 Є (-1,1) por lo que no verifica Rolle.
Calcula y expresa lo más simplificadamente posible la derivada de:
a) f (x) =
2 + tg² x ; b) f (x) =
1
2tgx . ---------cos² x
a) f ‘ (x) = -------------------- =
2
2 + tg² x
(℮²x ) ²x
sen x
-------------------------cos³ x ·
b) Ln y = 2x · Ln (℮²x) = 2x · 2x = 4x²
y’
----- = 8x ;
y
y ’ = 8x · (℮²x ) ²x
2 + tg² x
Calcular la derivada de la función ( para x > 0 )
_ _
f(x) = (1 + x). arc tg x - x + 4 expresando el resultado en la forma
mas simple posible.
_
_
- 1
f '(x) = (1 + x)' · arc tg x + (1 + x) · (arc tg x)' - ----2x
_
_
1 / 2x
1
f '(x) = arc tg x + (1 + x) · ----------- - ----1 + (x)2 2x
_
1
1
_
f '(x) = arc tg x + ----- - ----- ===> f '(x) = arc tg x
2x
2x
Calcular la derivada en el punto x = 0 de la función f(x) = x · arc tg(x2)
2x
2 x2
f ‘(x) = arc tg(x2)+ x · ------------ = arc tg x2 + ----------
f(x) = x · arc tg (x2) ;
1 + (x2)2
1 + x4
2 · 02
0
f ´(x) = arc tg 0 + ---------- = 0 + --- = 0
1 + 04
1
Calcular simplificando todo lo posible el resultado, la derivada de las
funciones :
a) f(x) = Ln
b) g(x) =
(x+
)
= Ln ( 1 + x ) – Ln (1 – x)
a) y = Ln
y´ =
b) y =
·(x+
y´= -2x·
=
·(-2
· (x +
)
)+
· (1 + 2x) =
· [-2x (x +
) + (1 + 2x) ] =
Calcular el siguiente limite, explicando los cambios establecidos.
lim sen x · Ln(sen x)
x-->0
lim sen x · Ln(sen x) = s en 0 · Ln(sen 0) = 0 ·Ln 0 = 0 · -  =
x--> 0
cos x
-------Ln sen x
-

sen x
= lim ------------- = ------ = -- = L'Hopital = lim ------------ =
x--> 0 1 / sen x
1/0 
x--> 0 - cos x
--------sen2 x
cos x · sen2 x
= lim - ------------------ = lim (- sen x) = - sen 0 = 0
x--> 0
cos x · sen x
x--> 0
Calcular el siguiente limite, explicando los cambios establecidos.
lim ( x2 )1/x
x->
lim ( x2 ) 1 /
x-> 
x
= (  )1 /  =  0 = e P
1
1
Ln x2

2
p = lim -- · Ln x = -- · Ln  = 0 ·  = lim ------- = -- =
x->  x

x->
x

2x
--x2
2
2
= L'Hopital = lim ---- = lim -- = --- = 0
x->  1
x-> x

Calcular lim
x->1
lim
x->1
1
3
------- - -------1 - x 1 - x3
1
3
1
3
1 3
------ - ------- = ------ - ------- = -- - -- =  -  =
1-x
1 - x3
1 - 1 1 - 13
0
0
1 - x3 – 3 · (1 - x)
1 - x3 – 3 + 3x
= lim ---------------------- = lim ------------------x->1
(1 - x) · (1 - x3)
x->1
1 – x - x3 + x4
1 - 13 – 3 + 3·1
= ------------------1 – 1 - 13 + 14
0
-3x2 + 3
-3 + 3
0
- 6x
= -- = lim ---------------- = ----------- = -- = lim -------------0
x->1 -1 -3x2 + 4x3
-1 -3 +4
0
x->1 - 6x + 12x2
-6
= ---------- = - 1
- 6 + 12
(2 - x). ex - x - 2
Calcular lim ------------------x->0
x2
(2 - x) · ex - x - 2
(2 - 0) · e0 - 0 - 2
0 L'H
lim ---------------------- = ---------------------- = -- =
x-> 0
x2
0
0
- ex + (2 - x) · ex - 1
- e0 + (2 - 0) · e0 - 1
= lim ----------------------- = -------------------------- =
x-> 0
2x
0
0 L'H
- ex - ex + (2 - x) · ex
-1-1+2
0
= -- = lim ------------------------ = ------------ = -- = 0
0
x->0
2
2
2
Calcular el siguiente limite, explicando los cambios establecidos.
e
1
lim ------- - -----x-> 1 ex - e
x-1
e
1
e
1
e 1
------- - ----- = ------- - ------- = -- - -- =  -  =
ex - e x - 1
e-e
1–1
0 0
lim
x->1
e · (x - 1) - (ex - e)
e · x - ex
= lim --------------------------- = lim -------------------------- =
x
x
x-> 1
x · ex - ex – e· x + e
x-> 1 x · e - e – e ·x + e
0
e - ex
0
= --- = L'Hopital = lim ---------------------- = -- = L'Hopital =
x
x
x
0
x-> 1 e + x ·e - e - e
0
- ex
-e
-e
1
= lim -------------------- = ---------------- = ----- = - -x->1
ex + ex + x·ex - ex e + e + e - e
2.e
2
Calcular el siguiente limite, explicando los cambios establecidos.
lim ( 51/x - 1 ) · x
x->
lim ( 51/x - 1 ) · x = ( 50 - 1 ) ·  = ( 1 - 1 ) ·  = 0 ·  =
x-> 
= lim
x-> 
51/x - 1
1-1 0
--------- = ------- = -- = L'Hopital =
1/x
1/ 0
-1
--- · 51/x · Ln 5
x2
= lim -------------------- = lim 51/x · Ln 5 = 50 · Ln 5 = Ln 5
x-> 
-1
x-> 
--x2
Calcular el siguiente limite, explicando los cambios establecidos.
2
lim 1 + -x-> 
x
2
lim 1 + --x-> 
x
2x
2x
= lim
x-> 
x+2
------x
2x
= 1 = eP
x+2
Ln ------x+2
x
0
P = lim 2x · Ln ------- =  · Ln 1 =  · 0 = lim ---------------- = -- = L´H =
x-> 
x
x-> 
1
0
---2.x
x - (x + 2) / x
-2
-------------------------(x + 2) / x
x.(x + 2)
4·x

4
= lim ------------------- = lim ------------- = lim ------- = --- = L'H = lim -- = 4
x-> 
2
x-> 
-2
x->  x + 2

x->  1
- ----------4· x2
4·x2
con lo que lim
x-> 
2
1 + -x
2x
= e4
Calcular el siguiente limite explicando los pasos utilizados para su calculo.
x2 - 1
lim --------x->1  x - 1
x2 - 1
1-1
0
2x
lim --------- = -------- = -- = L'Hopital = lim ------- = lim 4x · x = 4
x->1  x – 1
1-1
0
x->1
1
x->1
----2x
Calcular el siguiente limite, explicando los cambios establecidos.
lim
tg 2x · cotg (x + /4)
x->  /4
tg 2x · cotg (x + /4) = tg /2 · cotg /2 =  · 0 =
lim
x-> /4
tg 2x

--------------- = -- = L'Hopital = lim
tg (x + /4)

x-> /4
= lim
x-> /4
= lim
x-> /4
= lim
x-> /4
2
--------cos2 2x
------------------ =
1
---------------cos2(x + /4)
cos2(x + /4)
0
- 2.cos (x + /4). sen (x + /4)
---------------- = -- = L'H = lim ------------------------------------- =
cos2 2x
0
x-> /4
- 4.cos 2x . sen 2x
2· sen2(x + /4) – 2· cos2(x + /4)
2·sen2 /2 – 2·cos2 /2
2
1
------------------------------------------ = lim ----------------------------- = -- = -2
2
4·2· sen2 2x – 4·2 ·cos2 2x
x-> /4 8·sen /2 – 8·cos /2
8
4
Calcular el siguiente limite, eliminando las diferentes indeterminaciones que posea.
x
1
lim ----- - -----x-> 1 x - 1 Ln x
lim
x-> 1
x
1
x· Ln x - x + 1
1·0-1+1 0
------ - ------ = lim --------------------- = --------------- = --- = L´H =
x - 1 Ln x
x-> 1
x · Ln x - Ln x
1·0-0
0
Ln x + x · (1/x) - 1
Ln x
x · Ln x
0
lim ------------------------- = lim -------------------- = lim ------------------- = --- = L´H
x-> 1 Ln x + (x - 1) · 1/x
x-> 1 x · Ln x + x - 1
x-> 1 x · Ln x + x - 1
0
------------------x
Ln x + x . (1/x)
Ln x + 1
1
= lim ------------------------ = lim ----------- = -x-> 1 Ln x + x · (1/x) + 1
x-> 1 Ln x + 2
2
Calcular el siguiente limite, eliminando las diferentes indeterminaciones que posea.
lim xsen x
x->0
lim xsen x = 00 = eP ; p = lim sen x· Ln x = 0 ·  =
x->0
x->0
Ln x

1/x
= lim ----------- = --- = L'Hopital = lim ---------- =
x->0 1 / sen x

x->0 cos x
- -------sen2x
sen2x
0
2 · sen x · cos x
= lim - ---------- = -- = L'Hopital = lim - ---------------------- = 0
x->0
x · cos x 0
x->0
cos x – x · sen x
Luego lim xsen x = e0 = 1
x->0
Calcular el siguiente limite, explicando los diferentes cambios de
variable utilizados, para deshacer las posibles indeterminaciones.
lim (sen x)x
x->0
lim (sen x)x = (sen 0)0 = 00 = eP
x->0
Ln(sen x) 
p = lim x · Ln(sen x) = 0 ·  = lim ------------- = ---- = L'Hopital
x->0
x->0
1/x

cos x
------sen x
x2 · cos x
0
p = lim --------- = lim - ------------ = --- = L'Hopital =
x->0 - 1
x->0
sen x
0
--x2
2x · cos x - x2 · sen x
0-0
= lim --------------------------- = -------- = 0
x->0
cos x
1
Con lo que lim (sen x)x = e0 = 1
x->0
1 
 1
Calcular lim



x 1
 ln x
x 1
1 1
1  1
x  1  ln x 1  1  ln 1  0 
1
 1
lim 
= 
= [∞ - ∞] = lim
=




=
x 1
x

1
x  1ln x 1  1ln1  0 
 ln x x  1  ln 1 1  1 0 0
x 1
x 1
11
1
 0  L 'H
x
 lim
 lim
 lim

      lim

x 1
x 1
1 x1 x ln x  x  1 x1 x ln x  x  1 1ln 1  1  1  0 
1
ln x  x  1
ln x  x  1
x
x
x
1
1


ln 1  1  1 2
1
1
x
x
1
Calcular lim ------- - -----------x->1
ln x sen(x-1)
lim
x->1
x
1
1
1
------ - ------- = ------ - ------- = [ - ] =
ln x sen(x-1)
ln1
sen0
x sen (x -1) - lnx
1 · sen0 – ln1
---------------------- = ------------------x->1
lnx · sen (x -1)
ln1 · sen0
= lim
= lim
x->1
= lim
x->1
= lim
x->1
0
= ---- =
0
sen(x –1) + x ·cos(x –1) – 1/x
---------------------------------------- =
1/x · sen (x –1) + lnx · cos (x –1)
x · sen (x -1) + x2·cos(x –1) – 1
0+1-1
0
---------------------------------------- = ------------------- = ---- =
sen(x –1) + x· lnx · cos(x –1)
0+ 1·0·1
0
sen (x -1) + x · cos(x –1) + 2x · cos · (x –1) + x2 · [- sen (x – 1)]
-------------------------------------------------------------------------------------- =
cos(x –1) + lnx · cos(x –1) + x · 1/x · cos(x –1) + x · lnx ·[- sen (x – 1)]
1+2
3
= ---------- = ----1+1
2
x3
Calcular lim ----x
x->  e
x3

3x2

6x

lim ----- = ---- = lim ----- = ---- = lim ------ = ---- =
x->  ex

x->  ex
 x->  ex

6
6
= lim ------ = ------ = 0
x->  ex

Calcular lim
x->0
lim
x->0
x - senx
-------------x3
x – sen x
0–0
-------------- = ----------x3
0
0
1 – cosx
0
= ---- = lim ------------ = ---- =
0
x->0
3x2
0
sen x
0
cosx
1
------ = ---- = lim ------- = ---x->0
6x
0
x->0
6
6
= lim
x – sen x
Calcular: lim -----------x-->0
ln(cos x)
x – sen x
0–0
0
1 – cos x
lim -------------- = --------- = ---- = lim ------------------- =
x->0 ln (cos x)
ln 1
0
x->0 - sen x / cos x
(1 – cos x) · cos x
cos x – cos2 x
0
= lim ----------------------- = lim ------------------- = ---- =
x->0
- sen x
x->0
-sen x
0
- sen x – 2 · cos x · (- sen x)
0
= lim ----------------------------------- = ---- = 0
x->0
- cos x
-1
(2 - x) ex - (2 + x)
Calcular lim -----------------------x-->0
x2
(2 - x) · ex - (2 + x)
2 e0 – 2
0
lim -------------------------- = -------------- = ----- =
x-->0
x2
0
0
- ex + (2 - x) · ex –1
-1+2–1
0
= lim ------------------------- = --------------- = ----- =
x-->0
2x
0
0
- ex - ex + (2 - x) · ex
-1–1+2
0
= lim -------------------------- = --------------- = ----- = 0
x-->0
2
2
2
Calcular
lnx
lim ------------x1 x - √x
ln x
ln1
0
1/ x
1/1
1
lim ------------ = ----------- = ---- = lim --------------- = --------- = ---- = 2
x1 x - √x
1 - √1
0
x1 1 - ½ · √x
1– ½ ½
Calcular
senx - tgx
lim -----------------x0
x - senx
sen x - tg x
sen 0 – tg 0
0
cos x – 1 / cos² x
lim ------------------ = ---------------- = --- = lim ---------------------- =
x0
x - sen x
0 – tg 0
0
x0
1 – 1 / cos² x
cos³ x – 1
1–1
0
3 · cos² x · (-sen x)
3 · cos x
= lim -------------- = ------- = ---- = lim ------------------------- = lim ---------- =
x0 cos² x - 1
1–1
0
x0 2 · cosx · (-sen x)
x0
2
3 · cos0
3
= ----------- = ----2
2
2
Calcular: lim ( cos 2x) 1 / 3x
x0
2
lim ( cos 2x ) 1 / 3x = (cos 0) 1 / 0 = [ 1 ] = eP
x0
1
ln (cos2x)
ln (cos 0) ln1
0
p = lim ------ · ln (cos 2x) = lim -------------- = ------------- = ------ = ----- =
x0 3 x²
x0
3x²
0
0
0
-2 sen 2x / cos² x
- 2 ·sen 2x
0
-2 · 2 cosx
= lim --------------------- = lim -------------- = ---- = lim -------------------------------- =
x0
6x / 1
x0 6x· cos 2x
0
x0 6 cos 2x + 6x· (-2 sen 2x)
- 4 · cos 0
-4
2
= ----------------------------- = ------- = - --6· cos 0 – 12· 0· sen 0
6
3
2
lim ( cos2x) 1 / 3x = e -
2/3
x0
1
= --------³√ e²
Calcular: lim (cosec x) sen x
x0
lim (cosec x) sen x = (cosec 0) sen 0 = [  0 ] = eP
x0
ln (1 / senx) ln 

p = lim sen x · Ln (cosec x) = [0· ] = lim ---------------- = -------- = ------- =
x0
x0
1 / senx


( 1 / sen x)´ / (1 / sen x)
1
1
1
= lim ------------------------------ = lim ----------- = ------- = ----- = 0
x0
(1 / sen x)´ / 1
x0 1 / sen x
1/0

lim (cosec x) sen x = e 0 = 1
x0
(2 - x) ex – x – 2
Calcular lim -------------------x->0
x2
lim
x->0
(2 - x) · ex – x – 2
(2 - 0) · e0 – 0 – 2
2–2
0
---------------------- = ---------------------- = ---------- = ------ =
x2
02
0
0
-1· ex + (2 - x) · ex - 1
- e0 + (2 - 0) ·e0 -1
-1 + 2 – 1
0
lim ---------------------------- = ----------------------- = --------------- = ----- =
x->0
2x
2· 0
0
0
- ex + (-1) · ex + (2 - x) · ex
- e0 – e0 + 2e0
0
lim --------------------------------- = -------------------- = ----- = 0
x>0
2
2
2
Calcular lim x · lnx
x->0
ln x
ln0

1/x
lim x · lnx = 0 · ln0 = 0 · (-) = lim -------- = ------- = ------- = lim ---------- =
x->0
x->0 1/x
1/0

x->0 - 1 / x2
lim
(-x) = 0
x->0
1 – cos (x – 1)
Calcular lim ------------------x->1
(Ln x)2
1 – cos (x – 1)
1 – cos (1 - 1)
1 – cos 0
1-1
0
------------------- = ------------------ = ------------- = ------- = ----- =
x->1
(Ln x)2
(ln 1)2
02
0
0
lim
- (- sen (x - 1))
x · sen (x - 1)
1 · sen 0
0
lim --------------------- = lim ------------------ = ------------- = ---- =
x->1 2 · lnx · (1 / x)
x->1
2· lnx
2 · ln 1
0
1 · senx · (x - 1) + x · cos x · (x - 1)
sen 0 + 1· cos 0
1
lim ---------------------------------------------- = --------------------- = ---x->1
2·1/x
2·1/1
2
x2 + 22x+3
Calcular lim ------------x->
x2
x2 + 22x+3
 + 2

2x + 2 · 22x+3 · ln2
x + ln2 · 22x+3
lim ------------- = --------- = ---- = lim ------------------------ = lim ------------------ =
x->
x2


x->
2x
x->
x
+

1 + 2 · 22x+3 (ln2) 2
1 + 2 (ln2) 2 · 

---------- = ----- = lim ----------------------- = --------------------- = ----- = 


x->
1
1
1
ex – x -1
Calcular lim ----------x-> 0
x2
ex – x - 1
e0 - 0- 1
1-1
0
ex – 1
e0 - 1
1-1
0
lim ------------ = ------------- = ------- = --- = lim ------- = -------- = ------- = ---- =
x-> 0
x2
02
0
0 x-> 0 2x
0
0
0
ex
e0 1
lim ------ = --- = --x-> 0 2
2
2
Calcular lim tg x · Ln x
x->0
Ln x
∞
1/x
lim tg x · Lnx = tg 0 · Ln 0 = [0 · (-∞)] = lim -------- = ---- = lim ------------ =
x->0
x->0 cotg x
∞ x->0 -1 / sen2x
- sen2x
0
-2 ·sen x · cos x
0
lim --------- = ---- = lim --------------------- = --- = 0
x->0
x
0
x->0
1
1
1
Calcular lim --x->0 x2
lim
x->0
1
--x2
tg x
1
= ----0
tg x
tg 0
= 0 = e
p
Ln(1/x2)
Ln 

2
p = lim tg x · Ln ( 1/x ) = tg 0 · Ln  = [ 0·  ] => lim ----------- = --------- = ------ =
x->0
x->0
cotg x
cotg 0

-2/x3
----------1/x2
-2 / x
2 sen2x
0
2·2 senx · cosx
0
lim -------------- = lim ---------- = lim ---------- = ---- = lim -------------------- = ----x->0 - 1/sen2x
x->0 -1 / sen2 x x->0
x
0
x->0
1
1
=0
lim (1 /x2) tgx = e0 = 1
x->0
x - 3√ 6 + x
Calcular lim ----------------x->2
x2 - 4
1
1 - --------------x - 3√ 6 + x
2 - 3√8 2 - 2
0
1 - ⅓ ( 6+x)⅓ - 1
3 3√(6+x)2
lim ----------------- = -----------= ------ = --- = lim -------------------- = lim ----------------x->2
x2 - 4
4-4
0
0 x->2
2x
x->2
2x
1
1
1
1 - ----------1 - -------1 - -------3 3√64
3·4
12
11
= ------------------ = -------------- = --------------- = ----4
4
4
48
Calcular
x +2
1
----------- - ---------(x - 1) 2
x -1
lim
x->1
lim
x->1
lim
x->1
x +2
----------(x - 1) 2
-
1
---------x -1
x+2–(x-1)
-------------------- =
(x - 1) 2
=
3
------
1
- -----
0
lim
x->1
3
-------------(x - 1) 2
= [  - ]=
0
=
3
------ = 
02
Calcular
lim
x1
lim
x1
√ x+1 - √ 2
----------------------x -1
√ x+1 - √2
√2 - √2
0
------------------- = -------------- = ----- = lim
x-1
1–1
0
x-> 1
1
1
√2
lim -------------- = --------- = ------x1 2 √ x + 1
2 √2
4
1/2 ( x + 1) 1/ 2
---------------------------
1
=
Calcular lim
______
(√ (x4 + x) - x2 )
x+
lim
(√ (x4 + x) - x2 ) = √ - 2 = [  -  ] =
x+
lim
x+
(√ x4 + x - x2 ) (√ x4 + x + x2 )
x4 + x - x4
----------------------------------------- = lim
------------------- =
4
2
√x + x + x
x+ √x4 + x + x2
x

x / x2
1/x
lim ----------------- = ---- = lim ------------------------------- = lim -----------------x+ √x4 + x + x2
 x+ √ x4 / x4 + x / x4 + x2 / x2
x+ √1 + 1 /  + 1
1/
0
= ----------------- = ------- = 0
1+1
2
Calcular
x 3 + 4x2
lim
-----------------
x-4
x 2 + x - 12
lim
x -4
x 3 + 4x 2
(-4)3 + 4 (-4) 2
- 64 + 64
0
----------------- = ------------------------ = ------------------ = ----x 2 + x - 12
(-4)2 + (-4) -12
+16 – 4 -12
0
3x2 + 8x
lim
x -4
2 · (-4) 2 +8 · (-4)
48 - 32
-16
----------------- = --------------------------- = ------------------ = -----
2x +1
2 · (-4) + 1
7
7
=
1 /x
Calcular : lim e
2/x
x
+ e
x->o
1/x
lim
x
2/x
e

+ e
0

= (e +e
p
0
= [ ] = e
)
x->0
1/x
p = lim
x · ln ( e
2/x
+ e ) = 0 · ln  = [ 0 ·  ] =
x->0
2
1/x
2
2/x
-1/x· e
-2/x e
-----------------------------------1/x
2/x
ln (e + e
)

e 1/x + e 2/x
= lim -------------------- = ---- = lim ----------------------------------- =
x->0
1/x
 x->0
-1 / x 2
2
1/x
2/ x
1/x
2/x
-1 / x · ( e - 2 e ) / e + e
= lim ---------------------------------------------- =
x->0
1/x
x->0
2
-1/x
1/x
= lim
x->0
∞
e ( 1- 2e
)
1 - 2e

------------------------ = ---------------- = ----- =


1/x
1/x
∞
e
(1+ e
)
1 + e
2
1/x
- 2 (- 1 / x ) · e
= lim ------------------------- = - 2
x->0
2
-1 / x
1/x
· e
1/x
= lim
x->0
e
2/x
+ e
1/x
e
1/x
x
-2
= e
2/x
e - 2e
lim ------------------- =
2/x
+e
Calcular
2x + 3 x
----------2x - 1
lim
x->∞
x
lim
x->∞
2x +3
---------2x -1
x
4
1 + -------x->∞
2x – 1
= lim
4
p = lim x ·ln 1 + -------x->∞
2x - 1
∞
∞
p
= (1 + 0 ) = [ 1 ] = e
= ∞ · ln 1 = [ ∞ · o ] =
2
ln ( 1 + 4 / 2x – 1)
0
= lim ----------------------- = ---- = lim
x->∞
1/x
0
x->∞
- 8 / (2x -1)
-----------------1 + 4 / 2x -1
-------------------- =
2
-1/x
/ 2x + 3
-8 / (2x – 1) 2 / ---------/ 2x – 1
-8 / (2x– 1) (2x+3)
= lim _____________________ = lim _________________ =
x->∞
- 1 / x2
x->∞
- 1 / x2
8x2
= lim _____________
x->∞ 4x2 + 4x -3
2x + 3
lim ----------x->∞ 2x - 1
x
= 2
p
2
= e = e
Mas corto
2x+3
lim
______
x->∞ 2x-1
x
∞
= 1 ;
p = lim x
x->∞
2x+3
______
2x-1
2x + 3 – 2x +1
4x
= lim x · _____________ = lim ______ = 2
x->∞
2x – 1
x->∞ 2x-1
2x+3
lim
_____
x->∞ 2x-1
x
2
=
e
-1
=
Calcular : lim
x0
1
1
------- - -------x·tgx x2
1
1
1
1
lim --------- - --- = --- - --- = [  ] =
x0 x·tgx
x2
0
0
1
1 - ------x - tgx
0-0
0
cos2 x
= lim ---------- = ------- = --- = lim ------------------------------x0 x2· tgx
0
0
x0
senx
1
2x · ------ + x2 · ------cosx
cos2 x
(cos2x - 1) · cos2x
cos2 x - 1
1-1
0
= lim ------------------------------------- = lim -------------------- = ------------ = --x0 (2x · senx · cosx + x2 ) ·cos2x
x0 x · sen2x + x2
0·0+0
0
- 2 senx · cosx
- sen 2x
0
= lim ---------------------------- = lim ------------------------------- = ---- =
x0 sen2x + 2xcos2x + 2x
x0 sen 2x + 2x ·cos 2x + 2x
0
- 2 · cos 2x
-2·1
2
1
= lim ------------------------------------------------ = ----------------- = - --- = - ---x0 2 · cos 2x + 2 · cos2 x - 4x · sen 2x + 2
2+2–0+2
6
3
Calcular:
lim (-x + /2)· tg2 x
x /2
tg2 x
- x + /2
0
2
lim (- x + /2 ) · tg x = [ 0 · ] = lim ---------- = lim -------------- = --- =
x /2
x /2
1
x /2 cotg2x
0
---------- x + /2
-1
-1
1
1
--------------------- = -------------- = --------- = --- = 
x /2
1
- 2 cos /2
2·0
0
-2 cotgx · -----------------------sen2x
sen2/2
1
= lim
lim (x · e1/x )
Calcular :
x0
e1/x

-1 / x2 . e1/x
lim (x · e1/x ) = 0 · e = [ 0 ·  ] = lim ------- = [----] = lim ---------------- =
x0
x0 1 / x
x0 x2
lim e1/x = e1/x = e1/0 = e =
x0
Calcular :
lim (Ln x ) x
x0
lim (Ln x)x = [  0 ] = ep
x0
p = lim x · Ln (Lnx) = 0 · Ln(Ln0) = 0 · Ln(-) No existe
x0
No existe lim (Ln x ) x
x0
Calcular : lim (1 - 2x) 1 / tg x
x0
lim (1 - 2x) 1 / tg x = 1 = e p
x0
-2
-----------1
Ln (1 - 2x)
0
1 - 2x
P = lim ------ · Ln (1 - 2x) = lim -------------- = ---- = lim -------------------- =
x0 tgx
x0
tg x
0
x0


cos2 x
-2 · cos2 x
-2 · cos0
2
= lim ----------------- = ------------- = - --x0
x)
)

Lim (1 - 2x) 1 / tg x = e – 2 / 
x0
Contesta a las siguientes cuestiones:
1.-¿En qué punto de la curva de ecuación
tiene una tangente
horizontal?.
2.- ¿Es posible que dicha curva tenga una tangente paralela a la recta
en algún punto de la abscisa negativa?.
1.-
?.
=
=
→
tg horizontal
2.-
1 + sen x
Dada la función f(x) = Ln ------------1 - sen x
Hallar su derivada.
f(x) = Ln
1 + sen x
-----------1 - sen x
1/2
se pide:
1/2
= ½ [Ln(1 + sen x) - Ln(1 - sen x)]
1
cos x
- cos x
1
cos x
cos x
f '(x) = - ------------ - ----------- = -- ------------ + ----------2 1 + sen x 1 - sen x
2 1 + sen x
1 - sen x
1
= 2
cos x - cos x · sen x + cos x + cos x· sen x
--------------------------------------------------1 - sen2 x
1
f '(x) = --------- = sec x
cos x
1 2.cos x
= -- · --------2
cos2 x
Dada la funcion f (x) = ³ x , se pide : a ) Determinar si f (x) es
derivable en x =0, b) Hallar f´(x) , indicando su dominio. c) Estudiar si
f(x) verifica las hipótesis de Rolle en el intervalo [-1,1].
__
f (x) = √ x = x 1/3
3
a) Para que sea derivable ,la f (x) debe ser primero continua y lo es, por ser una raíz de
índice impar, definida y continua para todo R.
1
1
f ´ (x) = ----- x -2 / 3 = ---------- ; la f´(x) es continua para todo nº real excepto x = 0 que
3
³√ x 2
lo hace ∞.
 f (x) es derivable x R excepto x = 0  f (x) no es derivable en x = 0
1
b) El dominio de f´(x) = ---------- será x  (-∞, 0 ) U ( 0, ∞ )
³√ x 2
.
c) En el [-1,1] la f(x) no es derivable pues falla en x = 0. Ademas f (-1) = ³√ -1 = -1
__
f (1) = ³√ 1 = 1 con lo que falla la hipótesis de que f (-1) = f (1) pues son distintos.
mx2 + nx + 5
Dada la función f(x) =
x<1
Hallar m, n y b para
x ≥ 1 que se verifique Rolle
3x + 1
en el intervalo [-2, b]. Calcular Xo
1ª Hipótesis: f(x) continua en [-2, b]
f (1) = 3 · 1 + 1 = 4
Lim (3x + 1) = 4
m+n+5=4
x1+
Lim (mx2 + nx + 5) = m + n + 5 L1 = L2
m+n= -1
x1-
Además es continua en [-2, 1) y en (1, b] por ser funciones polinómicas de grado 2 y de
grado 1, continuas  x Є R
2ª Hipótesis: f(x) derivable en (-2, b)
2mx + n
x<1
3
x≥1
f’(x) =
f’ (1)= 3
Lim 3 = 3
2m + n = 3
f ’(x) continua
x1+
Lim (2mx + n) = 2m + n
L1 = L2
f(x) derivable
x1-
Además f ’(x) es continua en (-2. 1) y en (1, b) por ser funciones polinómicas de grados
1 y 0, continuas  x Є R => f(x) derivable en (-2, b)
m + n = -1
2m + n = 3
-m=-4;
4+n=-1;
3ª Hipótesis: f(-2) = f(b)
m=4
n=-5
4 (- 2)2 – 5 (- 2) + 5 = 3b + 1 => 16 + 10 + 5 = 3b +1
31 = 3b +1;
30 = 3b;
b = 10
Ǝ xo Є (-2, 10) / f’ (xo) = 0
(-2, 1)
2m xo + n = 0
2 · 4 · xo – 5 = 0;
(1, 10)
3≠0
Ǝ xo
xo = ⅝
Dada la función:
cos x – 1
F(x) =
+a
x<0
0≤ x<2
x≥2
a) Hallar los valores de a y b para que sea continua en [0,2]
b) Verifica el Teorema de Lagrange en (0, 2). Calcular el o los xo
correspondientes
+ a) = a
En x = 0
L1 = L2; a = 0
(x). Continua en x = 0
cos x – 1) = 1- 1= 0
=
=b
En x = 2
L1 = L2; b = 4 + a; b = 4
+ a) = 4 + a
¿Continua en [0,2]? y=
continua en [0,2]
Continua en x=2
 Como [0,2]  D  f(x) es
es f.polinómica ; D=
b)
f´(x)=
- sen x
2x
- 4 / (x – 1)2
x<0
0≤ x<2
x≥2
En (0,2)  f´(x) = 2x D:
por ser f. polinómica. Como (0,2)  D 
f(x) continua en (0,2)  f(x) derivable en (0,2)
c)
Busquemos Lagrange en (0,2)
= 2xo ; 2 = 2xo ;
xo /
xo = 1  (1,2)
= f´(xo)
Dada la parábola de ecuación y = x2 - 2x + 5, se considera la recta
r que une los puntos de esa parábola, de abscisas x1 = 1 y x2 = 3.
Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola que es paralela
a la recta r.
Calculemos las ordenadas de los puntos P y Q de la recta r
P(1, 1 - 2 + 5) = (1, 4)
Q(3, 9 - 6 + 5) = (3, 8)
Calculemos la ecuación de la recta r, donde su vector es PQ = (2, 4)
x-1
y-4
------ = ------ ==> 4 · (x - 1) = 2 · (y - 4)
2
4
2x - 2 = y - 4 ==> y = 2x + 2
su pendiente es m = 2
Por otro lado, la pendiente de la recta tangente a la curva, se calcula hallando la
derivada de la curva, particularizada para la abscisa del punto.
y' = 2x - 2 ==> m = y'(xo) = 2xo - 2
Igualando las dos pendientes 2xo - 2 = 2 ==> 2xo = 4
xo = 2 y la yo = 5 El punto de tangencia será T(2, 5)
La ecuación de la recta tangente será: y - 5 = 2 · (x - 2) ===> y = 2x + 1
Dadas las funciones f(x) = x² + л y g (x) = sen x + cos x , calcula
la derivada en x=0 de las funciones f [g(x)] y g[f(x)] .
h (x) = f [g(x)] = ( sen x + cos x) ² + π
h’ (x) = 2 . (sen x + cos x ) . (cos x – sen x) = 2 (cos² x - sen² x)
h’ (0) = 2 . (1 – 0) = 2
i (x) = g [f(x)] = sen ( x² + π) + cos (x² + π)
i’ (x) = 2x . cos (x² + π) – 2x sen . (x² + π)
i’(0) = 0 cos π – 0 sen π = 0
Demostrar que, cualquiera que sea el numero real a, la ecuación
x + 10x + a = 0, no tiene nunca dos soluciones reales.
5
Supongamos que la ecuación si tiene dos soluciones reales distintas x1, x2 y que
x1 < x2
La función f(x) = x5 + 10x + a = 0 es continua y derivable en todo R, por ser una
función polinomica.
En consecuencia la f(x) es continua en el cerrado [x1,x2] y derivable en el abierto
(x1,x2).
Como además, la f(x1) = f(x2) = 0 por ser soluciones de la ecuación, si aplicamos el
teorema de Rolle a mi f(x), debería existir un punto xo  (x1,x2) que verifique:
f '(xo) = 0 y como la f '(x) = 5.x4 + 10 = 0 no tiene soluciones reales, no existirá ningún
valor real xo que verifique Rolle.
En consecuencia final, la f(x) no puede tener dos soluciones reales, ya que no existe ni
máximo ni mínimo  la función será siempre creciente o decreciente.
Demostrar que la ecuación x3 + 6x2 + 15x - 23 = 0 no puede tener
mas de una raíz real.
Consideremos la función f(x) = x3 + 6x2 + 15x - 23 en la que el dominio de mi
función es toda la recta R.
Si calculamos f '(x) = 3x2 + 12x + 15 podemos calcular que dicha derivada es siempre
positiva, para ello podemos ver que la ecuación f '(x) = 0 no se verifica para ningún
valor de x ya que la ecuación 3x2 + 12x + 15 = 0 no tiene soluciones reales.
Esto nos indica que f '(x) mantiene siempre el signo constante y además será siempre
positiva ya que f '(0) = 15 > 0.
Al ser f '(x) > 0 nos dice que la f(x) es siempre creciente para todo valor de R y al
pasar de - a + la función se anulara en algún valor de x, pero solo en un punto, con
lo que la ecuación inicial tendrá solo una raíz real.
Demostrar que la ecuación x18 - 5x + 3 = 0 no puede tener mas de
dos raíces reales.
Si consideramos la función f(x) = x18 - 5x + 3 , las raíces de dicha ecuación serán los
números x para los que se cumple que f(x) = 0.
Si calculamos la derivada de f(x)
f '(x) = 18x17 - 5 ; Hagamos f '(x) = 0 ==> 18x17 - 5 = 0
5
x = --18
1 / 17
Al ser una raíz de índice impar, la derivada se anulara para un solo valor de x, con lo
que según el Teorema de Rolle, existirá un solo máximo o un solo mínimo y por tanto la
función f(x) solo podrá cortar al eje de abscisas en dos puntos, con lo que la ecuación no
puede tener mas de dos raíces reales.
Derivar las siguientes funciones
1) f(x) = e2x => y´ = 2· e2x
1
2) f(x) = ln (x + 2) => y´ = --------x+2
7
-7
3) f(x) = --------- => y´ = --------x–7
(x – 7) 2
4) f(x) = e x · (x + 1) => y´ = e x · (x + 1) + e x = e x · (x + 2)
x
x2 – 1 – x · 2x
x2 - 4
5) f(x) = --------- => y´ = -------------------- = --------x2 - 1
(x2 – 1 ) 2
x2
x2 + 4
2x · x – (x2 + 4)
x2 – 4
6) f(x) = --------- => y´ = ---------------------- = ---------x
x2
x2
1 – 1/ x2
x2 – 1
7) f(x) = tg (x + 1/x) => y´ = -------------------- = ---------------------cos2 (x + 1/x)
x2 cos2 (x + 1/x)
y´
-1
8) f(x) = (2 – x) x => ln y = x · ln (2 – x) ; ---- = ln (2 – x) + x · -------- ;
y
2–x
x
y`= [ ln (2 – x) – ------- ] · (2 – x) x
2–x
9) f(x) =
x lnx
y´
1
1
2 ln x
=> ln y = ln x · ln x ; ---- = ---- · ln x + ln x · ---- ; y´ = ----------- · x lnx
y
x
x
x
10) f(x) = (ln x) x => ln y = x · ln (ln x) ;
y´
1/x
---- = ln (ln x) + x · -------- ;
y
ln x
1
y´ = [ ln (ln x) + ------- ] · (ln x) x
ln x
Determinar un punto sobre la parábola y = x2 comprendido entre
los puntos A(1,1) , B(3,9) en el que la tangente a la parábola sea paralela a la recta AB.
Si aplicamos Lagrange a los extremos a = 1 y b = 3 en donde
la f(b) = 9 y la f(a) = 1
Como
9 - 1 = (3 - 1) · f '(xo)
Como la f '(x) = 2x
8 = 4 · xo ==> xo = 2
f(b) - f(a) = (b - a) · f '(xo)
y la yo = 4
El punto será (2, 4)
Discutir si la ecuación cos x = 2 – x posee alguna solución real positiva.
¿Puedo asegura que hay una sola solución?
Creamos una f(x) = cos x – 2 + x para comprobar la hipótesis de Bolzano en [0, b].
y= cos x : D xR por ser F sinusoidal de un polinomio
F(x) = cos x – 2 + x =
y = - 2 + x : D xR por ser Función polinómica
 f(x) es continua xR
Signo f(0) = cos 0 - 2 + 0 = 1 - 2 = - 1 0
Signo f(/2) = cos /2 – 2 + /2  0
Signo f() = cos  – 2 +  = - 3 +   0
en  0,   o mejor
en  /2,  
Signo f (/2)  Signo f()
Existe al menos un x0  (/2,  )  f(x0) = 0 
 Existe al menos una solución real positiva en (/2, )
Como falla la 3ª hipótesis de Rolle f(/2)  f()
No puedo asegurar la existencia de máximo o mínimo  f(x) es siempre creciente o
decreciente y eso implica que en (/2, ) hay un solo valor en el que f(x0) = 0
En la ecuación de la recta y = mx + b, explicar como se determinarían los números m y b para que sea tangente a la gráfica de la función
y - f(x) en el punto de esta de abscisa p.
Por ser m la pendiente de la recta ==> m = f '(p)
La ecuación de la recta que pasa por (p, f(p)) y tiene por pendiente f '(p) será:
y - f(p) = f '(p) · (x - p) y despejando la y queda:
y = f '(p) · x – f '(p) · p + f(p) Identificando con la ecuación de la recta podemos
sacar que b = - f '(p).p + f(p)
En el segmento de parábola comprendido entre los puntos A(1, 1) y
B(3, 0), hallar un punto cuya tangente sea paralela a la cuerda.
Aplicando la interpretación geométrica de Lagrange.
Si f(x) = ax² + bx + c
por pasar por A y B
1 = a·1² + b·1 + c
a+b+c=1
8a + 2b = -1 ; 2b = -1-8a ; b = - ½ - 4a ;
0 = a·3² + b·3 + c
9a + 3b + c = 0
c=1-b
Ademas f´(x0) = m
Si la recta AB es de la forma
y-0 = m · (x-3)
1- 0
1
m = —— = - —
1- 3
2
1
f´(x) = 2ax + b ; 2ax + b = - —
2
1
0 - 1 = f´(x) ·(3 - 1) ; f´(x) = - —
2
1
1
2a·x0 - — - 4a = - — ;
2
2
1
3
Si f(x) = x² - — x + —
2
2
2a · x0 – 4a = 0 ; 2x0 = 4 ; x0 = 2
1
3
3
9
f(x0) = 4 - — · 2 + — = 3 + — = —
2
2
2
2
9
P(2,—)
2
¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = │x – 1│ en el
intervalo [0,2]?
f(x) = |x – 1| =
-x+1
0
x-1
x<1
x=1
x>1
lim x – 1 = 0
x→1+
Veamos si es continua en x = 1
lim f(x) = 0 = f(1) , es continua
x →1
lim - x + 1 = 0
x→1-
1
x>1
lim f ´(x) = 1
x→ 1+
f ´(x) = 0
x=1
-1
x<1
lim f ´(x) = - 1
x→1-
No es derivable por no ser f ´(x) continua en x = 1
Estudiar si se cumplen las condiciones de Rolle para la función
1
f(x) = ------ en el intervalo [-
sen x

Para que f(x) sea continua es necesario que los limites laterales coincidan y que f(x) este
definida en [-


f() = ------ = ------ =  f(x) no esta definida en  luego falla la 1º hipótesis en 
sen 0
al menos un punto del cerrado.
Estudiar si se cumplen las hipótesis de Rolle para la función
f (x)= x³ - 9x en [-3,3] y si es cierto, comprobar la existencia de al
menos una raiz real de f´(x) = 0 en el intervalo considerado.
a) f (x) es continua por ser un polinomio de grado 3
b) f´ (x) = 3x² - 9. Por ser f´(x) un polinomio de grado 2, f´(x) escontinua  f(x) es
derivable en (-3,3)
c) f (-3) = (-3)³ - 9 (-3) = -27 + 27 = 0
f (-3) = f (3)
f (3) = 3³ - 9. 3 = 27 – 27 = 0
9
Verifica Rolle  existe xo f´(xo) = 0 ; 3xo² - 9 = 0 ; xo² = ----- = 3 ;
3
xo = ± 3 ε (-3,3) Son las raices de f´(x) = 0
Explicar en que consiste la regla de la cadena para derivar una
función compuesta. Como aplicación, derivar la función
f(x) = arc sen 2x · (1 - x2)1/2
La regla de la cadena se utiliza para hallar la derivada de funciones compuestas.
Si f(x) = g(h(x)) entonces f '(x) = g'( h(x) ) · h'(x)
En nuestro caso h(x) = 2x · (1 - x2)1/2 con lo que
1
2x2
h'(x) = 2 · (1 - x2) + 2x · -- · (1 - x2)-1/2 · (-2x) = 2 ·  (1 - x2) - -------------- =
2
( 1 - x2 )1/2
2 · (1 - x2) - 2x2
2 - 4x2
-------------------- = ----------(1 - x2 )1/2
(1 - x2)1/2
Además g(u) = arc sen u ==>
1
1
g'( h(x) ) = ------------------------------ = ------------------------[1 - (2x · (1 - x2)1/2)2 ]1/2
(1 - 4x2 · (1 - x2) )1/2
1
= --------------------( 1 - 4x2 + 4x4 )1/2
2 - 4x2
f '(x) = -----------------------------------[ (1 - x2) · (1 - 4x2 + 4x4) ]1/2
Hallar la derivadas de las funciones :
a) y = xsenx
y = xsenx ; Lny = Ln xsenx = senx · Lnx ; y’ / y = cos x · Ln x + sen x · 1/x ;
y’= (cos x · Lnx + sen x / x ) · xsenx
b) y = (senx)x
y =( senx)x ; Lny = Ln (senx)x = x · Lnsenx ; y’ / y = Ln(senx) + x · (cos x / sen x) ;
y’ = [ Ln(senx) + x · cotgx) ] (sen x ) x
c) y = 2senx
y = 2 senx ; y’ = cos x · 2 senx · log 2
d) y = sen3x
y = sen3x ; y’= 3 sen2x · (senx)’ = 3 sen2x · cos x
Hallar la derivada primera, segunda, tercera, cuarta ...
3
de la función y = ln -------- (simplificando los resultados).
3x + 1
Escribir la expresión simplificada de la derivada de orden 18 de esa
función.
x
y = Ln --------- = Ln x - Ln (3x + 1)
3x + 1
1
3
1
1
y' = -- - --------- = -- - 3 · -------x
3x + 1 x
3x + 1
1
3
1
1
y'' = - --- + 3 · ----------- = - --- + 32 · ----------x2
(3x + 1)2
x2
(3x + 1)2
1 · 2x
2 · (3x + 1) · 3
1·2
1·2
y''' = -------- - 32 · ------------------- = ------ - 33 . ----------x4
(3x + 1)4
x3
(3x + 1)3
1· 2 · 3x2
33 ·1·2·3 · (3x + 1)2 ·3
1·2·3
1·2·3
iv
4
y = - ------------ + ---------------------------- = - -------- + 3 . ----------x6
(3x + 1)6
x4
(3x + 1)4
17!
17!
18
y = - ----- + 3 · -----------x18
(3x + 1)18
18
Hallar la función derivada de y = (1 - cos x ) . cotg x
Si llamo u(x) = 1 - cos x y v(x) = cotg x
-1
u'(x) = - (- sen x) = sen x
v'(x) = ------sen2x
y' = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x)
1 - cos x
1 - cos x
y' = sen x · cotg x - ----------- = cos x - ----------- =
sen2x
1 - cos2x
1 - cos x
1
cos x + cos2 x - 1
= cos x - ----------------------------- = cos x - ----------- = ---------------------(1 - cos x) · (1 + cos x)
1 + cos x
1 + cos x
La ecuación ex = 1 + x tiene evidentemente la raíz x = 0. Probar
que no tiene mas raíces reales.
El que tenga la raíz x = 0 se comprueba ya que e0 = 1 + 0
Ahora bien, si estudiamos la función y = ex - x - 1 podemos calcular sus máximos
o mínimos.
y' = ex - 1 ==> y' = 0 ==> ex - 1 = 0 ==> ex = 1 ==>
Ln ex = Ln 1 ==> x = 0 es posible máximo o mínimo.
y'' = ex ==> y''(0) = e0 > 0 ==> Mínimo en (0,0)
Al no existir ningún otro máximo ni mínimo en mi función, esto quiere significar
que la función será siempre decreciente hasta llegar al x = 0, y que después del x = 0
será siempre creciente.
Por ello puedo asegurar que mi función no volverá a anularse para ningún otro valor
de x, o lo que es lo mismo, que la ecuación ex = 1 + x no se verificara para otro valor
que no sea el cero ya observado.
3
La función de f(x) = (x - 2)²
[ 0, 4] ?
¿ cumple las condiciones de Rolle en
Al estar el radicando elevado al cuadrado, este sera siempre > 0 y existe f(x) para todo x
perteneciente a R  f(x) sera continua en toda la R.
2
-1/3
2
f´(x) = ------ ( x-2 ) = ---------3
3 ³ x -2
Para x = 2 no existe f´(x) luego no es derivable en ( 0, -4) pues no es continua
en x = 2 

verifica Rolle : No podemos asegurar que exista x0 ε (0, 4) / f´(x0) = 0
|x|
Sea f(x)= ---------x2+1
Estudiar la continuidad y derivabilidad de x=0
a) Estudiar cuando se verifica que f `(x)=0. Puesto que f(1) = f(-1),
¿Existe contradicción en el teorema de Rolle en el intervalo [1,1]?
a)
-x
------- x < 0
x2 +1
|x|
f(x)= ------x2+1
=
0
x
------x2 +1
En x=0
0
2
-x + 1
---------(x2 + 1)2
x>0
0
x=0
x2 + 1 – x· 2x
-----------------(x2+1)2
l 1 = l2
x>0
existe lim f (x) = f (0) = 0
x->0
f(x) es continua en x = 0
- x2 + 1
1
lim ----------- = --- = 1
x->o+ (x2 + 1)2
1
x<0
x=0
x<0
 f´(x) =
x>0
x
lim
-------- = 0
x->o+ x2 + 1
-x
lim --------- = 0
x->o- x2 + 1
x2 + 1
---------(x2 + 1)2
Si f `(x) =
x =0
- ( x2 + 1) + x· 2x
--------------------(x2+1)2
en x = 0
x2 + 1
-1
lim ---------- = ----- = - 1
x->o- (x2 + 1)2
1
l1 ≠ l2 No existe lim f´(x) => f´(x) no es continua=> f(x) no es derivable en x = 0
b) No existe contradicion ya que al no ser derivable en x = 0 perteneciente (-1,1) no se
verifica Rolle a pesar de que f (-1) = f(1) = ½ ya que Rolle no niega que exista um x0
perteneciente (-1,1) / f´(x0)=0 sino que no lo puede asegurar aunque en este caso si que
existe x0 = 0 tal que f´(0) = 0
Sea una funcion f (x) tal que f (x) y f´(x) son continuas en todo R.
Demostrar si f(y ademas la unica raiz real de f´(x) es, esto
implica que la única raiz real de f(x)= 0 es 

Para demostrarlo supongamos que existe R / 

Si supongo que f( ) = 0  f´() = 0 esto nos indica que si existe un valor  que hace
su derivada 0.
Esto nos implica que exista una raiz real para f´(x), que seria  en contra del enunciado que nos dice que la unica raiz real de f´es 


Sea f: R R una función con funcion derivada f ’(x)= sen x².
Si f(0) = 0, ¿puede ser f(√π) = 0? Razonar la respuesta aplicando el
teorema de Rolle.
El teorema de Rolle dice que si f(x) es continua en [a,b] y derivable en (a,b), además de
que f(a) = f(b) ==>
x0 / f ‘(x) = 0.
Aquí me dicen que la f(x) tiene como derivada f ‘(x) = senx²; si ésta f ‘(x) es continua en
R lo será en el (0 ,√π)
Como la función sen x² es continua siempre que lo sea x² y ésta es una función
polinómica continua en R luego f ’(x) = sen x² es continua en (0 ,√π) y por tanto es
derivable en (0 ,√π).
Si f(x) es derivable, antes ha tenido que ser continua en [0 ,√π]. Rolle me dice que además
f(0) = f(√π) y como f(0) = 0
f(√π) = 0 para que se verifique el teorema.
Se considera la parabola y = 2x2. Determinar un punto de la misma
en el que la tangente a la parabola sea paralela a la recta que pasa por
los puntos de la parabola A(1,2) y B(2,8)
Se aplica la formula de Lagrange f(b) – f (a) = (b – a) · f ´(xo);  f ´(x) = 4x
8 – 2 = (2 - 1) · 4 xo
6 = 4 xo ;
 xo = 6/4 = 3/2;
yo = 2 · (3/2)2 = 2∙ 9/4 = 9/2
Luego P(3/2 , 9/2) es el punto pedido ya que f´(x0) es la tangente paralela a la recta.
Se considera la función
a) Determinar m y n para que se cumplan las hipótesis del teorema del
valor medio en el intervalo [-4,2].
b) Hallar los puntos del intervalo cuya existencia garantiza el teorema.
a) Para que se verifique Lagrange, la f(x) debe ser continua y derivable en [-4,2]
Obliguemos a que sea continua en [-4,-2), (-2,2] y en x=-2
En los intervalos será continua
Además
-
8 + m = 4 - 32 ; m = - 20
m,n por ser f. polinómicas.
debe ser continua en x=2
1
Se da la curva de ecuación y = -- . Comprobar que el segmento de
x
1
la tangente a dicha curva en el punto 3 , -- , comprendido entre los
3
ejes de coordenadas, esta dividido en dos partes iguales por el punto
de contacto.
Calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x=3 ,
y para ello, calcularemos la pendiente de la recta.
1
y'(x) = - -x2
1
y'(3) = - -9
1
1
La ecuación de la tangente será: y - -- = - -- · (x - 3)
3
9
9y - 3 = - x + 3 ==> x + 9y - 6 = 0
Calculemos los puntos de corte de la tangente con los ejes
x + 9y - 6 = 0

2
9y - 6 = 0 ==> 9y = 6 ==> y = -3

x - 6 = 0 ==> x = 6
x=0
x + 9y - 6 = 0
B(6,0)
y=0
El punto medio entra A y B será M ( 3, 1/3)
Lo que hay que comprobar es que d(A,M) = d(B,M)
1
82  82
d(A,M) =  9 + --- =  --- = -----9
9
3
1
82  82
d(B,M) =  9 + -- =  --- = ----9
9
3
A( 0, 2 / 3)
Si el termino independiente de un polinomio en x es igual a 3 y el
valor que toma ese polinomio para x=2 es 3, probar que su derivada se
anula para algún valor de x; razonar que ese valor pertenece a un
cierto intervalo que se especificara.
Llamemos P(x) = an ·xn + an-1 · xn-1 + ... + a1 ·x + 3
P(0) = an · 0 + an-1 · 0 + ... + a1 · 0 + 3 = 3
Además nos dicen que P(2) = 3, por tanto P(0) = P(2) = 3.
Como P(x) es función continua y derivable en toda la recta real podremos aplicar el
Teorema de Rolle, con lo que existe un valor x = a en el intervalo (0,2) tal que P'(a) = 0
Si f(x) = 2 + x3(x - 2)2 probar que la ecuación f´(x) = 0 posee al
menos una raiz en (0, 2) sin calcular su derivada.
Para que xo sea raiz es necesario que f´(x0) = 0
Se aplica Rolle, por ser f(x) continua en [0,2] y derivable en (0,2) y ademas
f(0) = 2 + 03· (0 – 2)2 = 2 ;
f(0) = f(2)
f(2) = 2 + 23·(2 – 2)2 = 2
al verificarlo Ǝ x0 Ɛ R / f´(x0) = 0
Por Lagrange f(2) - f(0) = f´(x0) [2 – 0]
2 – 2 = f´(x0) · 2 ;
0 = f´(x0) · 2;
f´(x0) = 0
Si la derivada de una función f es positiva para todos los valores de la
variable. ¿Puede haber dos números distintos a, b, tales que
f(a) = f(b)?. Razonarlo.
Si fuera f(a) = f(b) para dos números distintos a y b, puesto que f es derivable,
también es continua y podría aplicarse el teorema de Rolle.
Habría entonces un numero c entre a y b, tal que f '(c) = 0, lo cual es imposible ya que
f '(x) > 0 para todo numero x, según dice el enunciado. Luego no puede haber dos
números distintos a, b, tales que f(a) = f(b).
1
Si P es un punto cualquiera de la gráfica y = -- , probar que el
3
triángulo formado por la recta OP, la tangente a esa gráfica en el
punto P y el eje y = 0, es isósceles. (O es el origen de coordenadas)
1
Sea P( x1, -- )
x1
1
un punto de la hipérbola y = -x
La tangente a la curva en el punto P tendrá de pendiente
1
m = y'(x1) = - ---- por lo que la tangente será de la forma:
x12
1
1
y - --- = - ---- · (x - x1)
x1
x12
Para buscar el punto de corte de la tangente con el eje OX resolveremos el sistema:
1
1
1
y = --- + --- - ----. x
x1 x1 x12

1
2
2 · x12
---- · x = --- ==> x = ------x12
x1
x1
 x = 2 · x1
y=0
luego la tangente corta al eje en Q(2x, 0)
Para ver que los triángulos formados son isósceles solo será necesario demostrar
que:
d(OP) = d(PQ)
1
d(OP) =  x12 + ---x12
 d(OP) = d(PQ)
1
d(PQ) =  (2x1 - x1)2 + ( 0 - --- )
x1
2
1
=  x12 + --x12