FUNCIONES 2

TALLER DE PREPARACIÓN EVALUACIÓN BIMESTRAL DE FUNCIONES
MATEMATICAS – GEOMETRIA
William López
NOMBRE _________________________________
Departamento de Matemática
CED Cafam santa lucia.
CURSO:_____________
TALLER DE PREPARACIÓN EVALUACIÓN BIMESTRAL DE FUNCIONES
La palabra función se usa en matemática con un significado técnico muy preciso y referido
a relaciones que se establecen entre fenómenos y situaciones que provienen del mundo real y
cotidiano es así que en nuestra vida diaria siempre nos enfrentamos a diversas situaciones
matemáticas, que en numerosas ocasiones no nos damos cuenta que la estamos utilizando, como
por ejemplo en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, tales como: la cantidad
de kilómetros recorridos por un vehículo con el gasto de combustible; la cantidad de lluvia caída
en un día determinado; la escala de Richter para medir la magnitud de los sismos; la ingesta de
alcohol y sus consecuencias; la cantidad de un determinado artículo y su precio, etc. Todas estas
situaciones son “funciones reales”, es decir que sin darte cuenta estás usando la matemática en tu
diario vivir.
Ahora vamos a tomar un ejemplo de la vida cotidiana:
“Un alumno necesita sacar 5 fotocopias para un trabajo de investigación, cada fotocopia
vale $ 18.¿Cuánto pagó por las fotocopias? 90 pesos
En el mesón de la librería tienen una hoja con los siguientes datos:
Fotocopias
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Precio
18
36
54
72
90
108
126
144
162
180
Fotocopias
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Precio
198
216
234
252
270
288
306
324
342
360
Si otra persona necesita sacar 50, 100, 120, etc., fotocopias.
- ¿De qué manera puedes obtener el precio?.
Multiplicando el numero por el valor de las fotocopias correspondientes.
- ¿Puedes encontrar una forma general para calcularlo?. Escríbela.
y=20x
- ¿Podrías representar estos datos en un gráfico?
CANTIDAD
VALOR DE FOTOCOPIAS
9
5
VALOR DE
FOTOCOPIAS
1
0
50
100
150
200
PRECIO
Lo que acabas de descubrir es una relación muy especial en el ámbito de la matemática, la
cual se denomina “FUNCION”. Si te encontraste con algunas dificultades ahora te presento
algunos esquemas que te van a ayudar.
Observa los siguientes diagramas sagitales (diagramas de Venn), descubre el por qué sólo
alguno de ellos representan una función. Justifica tu respuesta.
C
f
D
A
f
B
A
B
C
1
3
5
X
Y
Z
2
4
6
8
Si es función
Si es función
E
f
F
G
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f
A
B
C
D
H
1
2
3
4
5
No es función
No es función
Resp:_El 1° no es función porque hay elementos de E que no tienen imagen en F.
El 2° no es función porque hay elementos de G que tienen mas de una imagen en H.
Ya has descubierto y entendido “por qué” sólo algunos de los diagramas son funciones.
Te invito que conozcas una definición formal de las funciones.
Una Función es una ley que relaciona una variable x (llamada independiente) con
otra variable y (llamada dependiente) de forma unívoca, es decir, que a cada elemento de la
primera variable, le corresponde un y sólo un valor de la variable dependiente.
La variable independiente x corresponde al dominio de la función y la variable
dependiente al codominio de ella.
Las funciones pueden expresarse de diferentes maneras, mediante una gráfica, una tabla
de valores, una frase que exprese la relación entre ambas variables, una expresión matemática de la
forma y = f(x), donde y se llama imagen de x y x recibe el nombre de preimagen de y.
A continuación te presentamos algunos gráficos de los cuales sólo algunos de ellos son
funciones. Explica por qué crees tu que cumplen la condición.
y
x
Si es función
y
x
No es función
y
x
Si es función
Resp: La 1 a es funcion porque cada elemento de X tiene una sola imagen en Y.
La 2 a los elementos de X tienen mas de una imagen en Y.
En la 3 a ocurre lo mismo que en la 1 a .
Ahora te proponemos algunos ejercicios:
1.- En los siguientes diagramas indica cuáles son funciones, justifica tu respuesta.
f
A
1
2
3
g
B
C
D
1
2
3
7
8
9
10
11
Resp: El primero no es funcion porque hay un elemento de A que no tiene imagen en B.
EL 2° si es porque cada elemento de C tiene una unica imagen en D.
Las funciones también se pueden escribir en forma de conjunto. De aquel diagrama que sea
función completa los datos.
g = {( 1,10) (2,11) (3,7)}, la primera componente del par ordenado corresponde al dominio y la
segunda al recorrido, delante del signo igual debes llenar el espacio con la letra correspondiente.
2.a)
En los siguientes gráficos indica cuáles son funciones, justifica tu respuesta.
b)
c)
d)
Resp:
a) SI porque cada elemento de x tienen una imagen en Y.
b) No.
c) No, porque no se cumple ninguna ecuacion.
d) No, hay valores de X que no tienen ninguna imagen.
Para los gráficos que representan funciones indica cuál es su dominio y recorrido.
3.- ¿Cuáles de las siguientes frases corresponden a funciones? Justifica tu respuesta.
a) Ser padre de… No, porque un padre puede tener mas de un unico hijo, por lo tanto tendria
mas de una imagen.
b) El cuadrado de un número Si, porque un numero no puede tener mas de un cuadrado.
c) Los miembros de una familia que sean menores que un abuelo No, porque en la familia
pueden haber mas miembros menores que un abuelo.
d) El sucesor de un número Si, porque cualquier numero siempre va a tener un unico sucesor.
Las frases que enuncian funciones se pueden escribir como una “expresión matemática”
por ejemplo:
“El triple de un número”
El número es la variable independiente y lo designamos con la letra x, el triple del
número es la variable dependiente que se obtiene al multiplicar por 3 la variable independiente, es
decir, la expresión matemática que se ajusta a esta frase es: f(x) = 3x.
4.-
Traduce cada frase a una expresión matemática.
a) Un número aumentado en dos F(X) = X+2
b) x es menor que y F(X) = X<Y
c) El antecesor de un número F(X) = X - 1
5.- Como ya haz ejercitado y aprendido a representar funciones, te invitamos a crear situaciones
de la vida cotidiana y del ámbito de la matemática que representen funciones, usando para ello:
a) Tablas de valores
b) Gráficos
c) Frases
d) Expresiones matemáticas
N° pasajes
1
2
3
4
Valor $
$ 4000
$ 8000
$ 12000
$ 16000
Valor $
Ventas Pasajes Temuco
20000
15000
10000
5000
0
1
2
3
4
N° Pasajes
1.- La boca de una persona.
2.- El n° de un telefono.
3.- El enchufe de un electrodomestico.
1.-Y=2.4X
2.-Y=X+3
3.-Y=5X
FUNCIÓN LINEAL
Una forma poderosa de analizar procesos, situaciones o fenómenos, se logra mediante
la asociación de un modelo matemático a la situación analizada. El modelo básico es el
lineal, por medio del cual a través de una línea recta se puede agrupar un conjunto de
puntos que representan la situación a modelar.
Con frecuencia, se describe una cantidad en términos de otra. En el caso del modelo lineal
el crecimiento o decrecimiento de los valores (x, y), puede ser descrito por una línea recta.
En esta unidad nos referiremos al "modelo lineal", comencemos por enunciar algunas
situaciones que se pueden modelar haciendo uso de funciones lineales y otras que no.
Un modelo lineal ajustado a datos crecientes
Un modelo lineal ajustado a datos decrecientes
Un caso de datos dispersos, no procede un modelo lineal
Un caso en el que se puede usar un modelo no-lineal.
Aumento de la temperatura de la tierra
En 1896 el científico sueco Svante Arrhenius fue el primero en predecir el
efecto invernadero como resultado de las emisiones de dióxido de carbono
en el aire por parte de los países industrializados. La quema de
combustibles fósiles, la deforestación y las modificaciones en los usos de
1850 a 1986 introdujeron cerca de 312 mil millones de toneladas de
carbono a la atmósfera, la mayor parte en forma de dióxido de carbono. La
quema de combustibles fósiles continúa produciendo 5,4 mil millones de
toneladas de carbono al año, las cuales son absorbidas por la atmósfera y por los océanos. En 1990
el Grupo Internacional sobre el Cambio de Clima (GICC) pronóstico que, de continuar la tendencia
actual, aumentará la temperatura promedio global de la Tierra, la tabla muestra el aumento de la
temperatura global pronosticada en grados Celsius. (Matemática: Razonamiento y Aplicaciones,
Miller y otros, 1999, p. 400)
Año
1980
2000
2020
2040
2060
2080
2200
Temperatura
0.0
0.42
0.84
1.26
1.68
2.10
2.52
Al graficar los datos de la tabla uniendo los puntos se obtiene un modelo lineal.
¿Durante cada periodo de 20 años cuánto aumenta la temperatura?
0,5 GRADOS
¿Cuál es la temperatura estimada para el año 2.220?
35 GRADOS MÁS
El tabaco y la salud
En Chile, durante la última década, ha fallecido un promedio de mil
personas anualmente a causa del tabaco. Es una cantidad muy alta de
muertes por solo motivo. Es superior al total de los decesos debidos al
consumo de alcohol u otras drogas, a los homicidios, a los suicidios,
accidentes de avión, envenenamientos, incendios y ahogados.
Pero, no solo las personas que fuman se hacen daño. Quienes conviven con
ellas sufren diversos síntomas como: tos, infecciones, problemas pulmonares y susceptibles al
cáncer. A estas personas se les denomina fumadores involuntarios. (Matemática Aplicada, Riera,
1999, p. 258)
En la siguiente tabla, se aprecian algunos de los resultados de un estudio sobre la relación entre el
hábito de fumar y el cáncer del pulmón. La primera fila muestra el número promedio de cigarrillos
fumados por día y la segundo presenta la correspondiente tasa de mortalidad por cada 100.000
personas debida al cáncer pulmonar. (Matemática: Razonamiento y Aplicaciones, Miller y otros,
1999, p. 400)
Cigarrillos/ Muertes/100.
día
000
0
30
5
132
15
256
30
447
45
606
Si se trazan los puntos en el plano cartesiano, se advierte que los datos adoptan una forma lineal.
En la gráfica se muestran tanto los puntos de datos como la línea de "mejor ajuste".
Como la relación es lineal, cada cigarrillo adicional por día aumenta, en la misma cantidad, el
riesgo de morir de cáncer pulmonar.
Observe que la gráfica no pasa necesariamente por los puntos, es una aproximación, luego
podrían existir diferentes soluciones, las que serán más o menos adecuadas de acuerdo al punto
que se evalúe.
Variaciones de la pendiente
Mediante preguntas, se puede orientar el pensamiento hacia una generalización. Obtengan puntos
que satisfagan la ecuación: y = 2x, ¿qué figura parece? ¿Será el caso para números negativos?
¿Será el caso para los números mayores que los observados?
1) Es conveniente realizar varios ejemplos sobre el mismo gráfico: y = 0,5x, y = 1,5x, y = 2,5x,
y = 3x.
Utilizando el programa Graphmatic, graficar distintas situaciones para y = mx, con
Observando la gráfica podemos concluir lo siguiente:
1.1. Son rectas que pasan por el origen y sus puntos se encuentran en el 1er y 3er
cuadrante.
1.2. Cuando m se hace variar en forma creciente, nos damos cuenta que la recta
forma un ángulo agudo con el eje x, tendiendo a 90°.
1.3. Cuando m se hace variar en forma decreciente, la recta forma un ángulo
agudo con el eje X, tendiendo a cero hasta confundirse con éste.
1.4. El coeficiente m nos indica la variación de proporcionalidad entre la
variable dependiente y la variable independiente.
1.2.
2) Al igual que el ejemplo anterior es conveniente realizar varios ejemplos sobre el mismo gráfico:
y = -1x, y = -1,5x; y = -2,5x; y = -3x. Utilizando el programa excel, graficar distintas situaciones
para y = mx, con
.
Observando la gráfica podemos concluir lo siguiente:
2.1. Son rectas que pasan por el origen y sus puntos se encuentran en el 2do y 4to cuadrante.
2.2. Cuando m se hace variar en forma creciente, nos damos cuenta que la recta forma un
ángulo obtuso con el eje x, tendiendo a 180°.
2.3. Cuando m se hace variar en forma decreciente, la recta forma un ángulo obtuso con el
eje X, tendiendo a 90° hasta confundirse con el eje Y.
2.4. El coeficiente m nos indica la variación de proporcionalidad entre la variable
dependiente y la variable independiente.
Generalizando, si x e y son las coordenadas de un punto perteneciente a una recta L que pasa
por el origen, entonces existe m tal que y = f(x) = mx, denominada función lineal.
Propiedades de la función lineal
FUNCIÓN AFÍN
El modelo lineal de la forma y = mx representa situaciones en que la variable dependiente es
directamente proporcional a la variable independiente, y en su forma gráfica los puntos aparecen
siempre alineados y están sobre una recta que contiene al origen de coordenadas. En esta
oportunidad se estudiará la función afín, sus propiedades, grafica y aplicaciones a situaciones
concretas. Este tipo de función tiene la cualidad que el origen del sistema (0,0), no satisface las
representaciones de las distintas situaciones, y en forma gráfica posee un desplazamiento o
traslación en sentido vertical u horizontal al origen del sistema de coordenadas.
A continuación se muestran distintas situaciones que poseen un modelo de una función afín.
Situación 1: Las ventajas en la juguetería
En el comercio los dueños de las tiendas contratan a personal para que puedan ayudar en las ventas
que se realizan a diario. En este rubro las ganancias son el reflejo de las ventas que son realizadas
por las tiendas, por este motivo el personal que se contrata tiene un sueldo base mensual, que por
lo general bordea al mínimo permitido por la ley más un cierto porcentaje de las ventas que cada
vendedor realice. Un vendedor de la tienda infantil "El Monito Regalón" tiene un sueldo base de
$85.000 mensuales más el 10% de sus ventas realizadas durante el mes. ¿Cuánto es la que logra
ganar durante un año de trabajo?
Las ventas realizadas por el vendedor estarían representadas por:
Representando en forma gráfica las ventas realizadas por el vendedor de la tienda se obtiene.
Observación:
a. La recta que contiene los puntos obtenidos en la tabla de valores, intersecta al eje Y en el punto
(0, 85000).
b. La recta forma un ángulo agudo con respecto al eje X.
c. La recta no pasa por el origen, punto (0, 0).
El modelo algebraico de la situación del vendedor esta representado por:
y = 0,1x + 85.000
Donde,
x: monto de las ventas semanales.
y: sueldo semanal.
¿Cuál es el dominio de la situación? LAS VENTAS
¿Cuál es el recorrido de la situación? EL SUELDO
Situación 2: Cosas de taxis
Los taxis básicos, son los vehículos cuya función es atender viajes en los cuales su origen y destino
es determinado por los pasajeros que lo utilizan, pudiendo contar con paraderos y/o apoyo de
sistemas de radio-comunicación o telefónicos.
Para realizar los viajes, el vehículo utilizado como taxi básico debe contar con taxímetro. El
taxímetro deberá señalar el costo de la carrera en cualquier momento, de día y de noche, en forma
claramente observable por el pasajero. El vehículo debe indicar en el parabrisas el valor de los
primeros metros recorrido. Además indicar la tarifa por cada 200 metros y por cada 60 segundos
de espera.
Los vehículos que cuenten con taxímetros con boleto deben señalarlo mediante un letrero. Si su
valor es variable, la tarifa para cada tramo debe indicarse al interior del vehículo. En este tipo de
servicio no existen tarifas mínimas, salvo la señalada en el parabrisas como "caída de bandera".
Un taxi tiene una caída de bandera de $150 y $ 70 por cada 200 metros. Otro tiene una caída de
$200 y $60 por cada 200 metros. ¿Cuál de los taxis conviene para una carretera de 2 km?, ¿Cuál
para una de 7 km? En general, en qué caso y a partir de qué distancia, ¿un taxi es más conveniente
que el otro?
Como primer paso, confeccionar una tabla de valores que nos muestre el tarifado en cada empresa
de taxis.
Taxi A
Taxi B
Comparamos los valores obtenidos, en forma gráfica, mediante un plano cartesiano.
En la gráfica podemos ver que exactamente para 1 km, da igual cualquiera de los dos taxis.
Para una distancia inferior a 1 km conviene el taxi A, por tener un costo menor, pero después de 1
km el taxi B tiene un costo menor.
Podemos modelar la solución algebraica para el tarifado (y) en función de la distancia recorrida
(x).
Taxi A: y = 70x + 150
Taxi B: y = 60x + 200
x: cantidad de veces que se recorren 200 m.
y: tarifa a cancelar.
¿Cuál es el dominio de la situación? LA DISTANCIA
¿Cuál es el recorrido de la situación? EL DINERO
Propiedades de la función afín
El valor de m, que determina la orientación de la recta en la función lineal y afín, recibe el nombre
de pendiente de la recta. Algebraicamente se puede escribir
, en donde (x1, y1) y
(x2, y2) son dos puntos pertenecientes a la recta.
Con esto, si se conocen dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) que pertenecen a la recta que representa la
situación a modelar se puede obtener la ecuación de la función afín que representa dicha situación.
Algebraicamente se escribe como
.
Conclusión
Las situaciones planteadas en estos ejercicios se pueden modelar con una ecuación de la forma y =
mx + n, con m y n distintos de cero
, en la cual y esta en función de x que
denotamos y = f(x), además, de no ser rectas paralelas a uno de los ejes coordenados y que no pasa
por el origen, reciben el nombre de Función Afín.
FUNCION PARTE ENTERA
En nuestra vida diaria nos vemos enfrentados a diversas situaciones referidas a las
funciones, no tan sólo a la función lineal estudiada anteriormente, sino que también a otros
modelos que surge de aplicar la función afín, la cual nos ayuda a representar y estudiar situaciones
en las que los valores de la variable dependiente son “escalonados”.
Por ejemplo : Enviar una encomienda por correo postal u otro servicio similar tiene un
costo que depende del peso. Peso y costo están relacionados como se muestra en la tabla siguiente:
Intervalo
Costo en pesos
Peso (gramos)
$
[0, 200[
450
[200, 500[
750
[500, 700[
950
[700, 1000[
1250
[1000, 1200[
1450
Estos datos los podemos llevar a una gráfica con ejes convenientemente graduados, donde
la variable x corresponde al intervalo que representa el peso (en gramos) de una encomienda y la
variable y corresponde al valor del costo a cancelar.
Este gráfico se denomina “función escalón”
La función escalón es muy importante en matemática aplicada y también se conoce como
“función parte entera” que se asigna a cada real x el mayor entero que sea “menor o igual a” x.
Por ejemplo:
[41] = 41; [2,84] = 2;
[0.86] = 0;
[-1,87] = -2
Definición:
Para todo número real x, ser puede encontrar un número entero n, tal que cumple con las
siguientes propiedades:
- Que el número x esté entre n y n + 1
-
Si n  x < n + 1  [x] = n.
En otras palabras, la parte entera de un número es el entero más cercano al número.
A la función y(x) = [x], se le llama función parte entera.
Ejemplos:
Grafiquemos la función y = [x]
Para ello confeccionemos una tabla de doble entrada, y además deberás completar los datos
que falten:
x y = [x]
2,5
2
2
2
1,7
1
1,5
1
0,7
0
-0,2
-1
-0,9
-1
-1,3
-1,8
Su representación gráfica es la que ves al lado de la tabla, ten en cuenta que sólo
están ubicados los valores entregados en la tabla, por lo tanto tú deberás completarla.
El dominio de la función parte entera, es el conjunto de los números reales, y el
recorrido, es el conjunto de los números
.
Esta función también es posible graficarla utilizando el programa GRAPHMATICA, el
cual te enseñaremos a utilizar a continuación:
Lo primero que debes hacer es escribir el modelo algebraico asociado a la situación, pero,
ten en cuenta que el programa no reconoce la diferencia entre los diferentes tipos de paréntesis, por
lo tanto si quieres escribir una función parte entera debes reemplazar el paréntesis corchete [ ] por
la palabra int. Además en Ver puedes limpiar la pantalla, elegir el papel gráfico y los colores, las
otras opciones que tiene el graficador debes ir descubriéndolas a medida que vayas trabajando con
él.
Luego, para graficar debes escribir la función y = [x] como y = int(x), con esta gráfica
puedes verificar que lo que hiciste es correcto.
ACTIVIDAD.
A continuación te presentamos otra situación de la vida diaria en la cual debes ir
completando los datos que faltan.
A Pablito en su cumpleaños, le regalaron una mascota (un perrito). Los papás de Pablito
preocupados de la salud de su hijo decidieron llevar al perrito al veterinario quién le recetó un
antiparasitario interno llamado Invermic, cuya cantidad de medicamento a administrar es de 6
gotitas por cada kilo de peso del perro, el cual debe administrarse cada 15 ó 20 días.
Con este dato es posible crear una tabla de valores para los diferentes pesos de perros y la
cantidad de gotas a administrar.
Peso en Gotas por
gramos
Kilo.
1.000
6
1.500
6
2.000
12
2.300
12
3.000
18
3.400
18
4.000
24
4.250
24
Donde x: corresponde a la variable peso en gramos
y: corresponde a la variable de las gotas por kilo
Con esta tabla de datos construye el gráfico correspondiente
El modelo algebraico asociado a esta situación es:
y=
[x]
Utiliza el graficador Graphmatica para que verifiques si tú gráfica es correcta.
ACTIVIDADES
 6  12  18   24   30   36 
1.- Calcula la suma de                 
7  7   7   7   7   7 
104/4
2.- Dadas las siguientes situaciones construye una tabla de valores y su gráfica correspondiente.
a.- Una tienda de ropa para bebé tiene el siguiente detalle:
Tabla de tallas
0 recién nacido
1 hasta 3 meses
2 hasta 6 meses
3 hasta 12 meses
4 hasta 18 meses
5 2 años en adelante
TALLA
EDAD
0
RECIEN NACIDO
1
HASTA 3 MESES
2
HASTA 6 MESES
3
HASTA 12
MESES
4
HASTA 18
MESES
5
2 AÑOS EN
ADELANTE
b.- Una tienda de ropa ofrece una liquidación de jeans de colegio:
Talla 36 a la 40 a $ 14500; de la talla 42 a la 46 a $ 16200; de la talla 48 a la 50 a $16800
y
de la talla 52 en adelante $19600.
TALLA
PRECIO $
36 A 40
14500
42 A 46
16200
48 A 50
16800
52 en
19600
adelante
c.- Un “Cibercafé” ofrece para navegar en internet a $800 la hora o fracción de ella. Calcula el
valor
a pagar en 1 hora; 1:30 horas; 2 horas; 2:45 horas; 3:10 horas; 3:25 horas; y 3:50
horas,
además encuentra el modelo algebraico asociado a la función y utiliza el programa
Graphmatica
para verificar tu gráfica.
HORAS
1
1.30
2
2.45
3.10
3.25
3.50
TARIFA $
800
1600
1600
2400
3200
3200
3200
d.- Una empresa ofrece arriendo de diferentes tipos de maquinaria. Una persona necesita
arrendar
una máquina cortadora de pasto, la cual tiene las siguientes condiciones:
entre 0 y 2 días debe pagar $ 5000; entre 2 y 4 días debe pagar $ 10000; entre 4 y 6 días
debe
pagar $ 15000; entre 6 a 8 días debe pagar $ 20000, encuentra el modelo algebraico
asociado
y utiliza el programa Graphmatica para verificar tu gráfica.