Teoria de errores y medcion guia para el estudiante

Universidad de Oriente
Núcleo bolívar
Cursos básicos- departamento de ciencias
Cátedra de Física I
Proceso de medición
Definición 1. Una medición es un acto para determinar la magnitud de un objeto en cuanto a cantidad.
Aunque caben definiciones más complejas y descriptivas de como es el proceso como la siguiente definición sobre la medición de una
magnitud geométrica.
Definición 2. Una medición es comparar la cantidad desconocida que queremos determinar y una cantidad conocida de la
misma magnitud, que elegimos como unidad. Al resultado de medir se le denomina medida.
Los procesos de medición de magnitudes físicas que no son dimensiones geométricas entrañan algunas dificultades adicionales,
relacionadas con la precisión y el efecto provocado sobre el sistema. Así cuando se mide alguna magnitud física se requiere en
muchas ocasiones que el aparato de medida interfiera de alguna manera sobre el sistema físico en el que se debe medir algo o entre
en contacto con dicho sistema. En esas situaciones se debe poner mucho cuidado, en evitar alterar seriamente el sistema observado.
De acuerdo con la mecánica clásica no existe un límite teórico a la precisión o el grado de perturbación que dicha medida provocará
sobre el sistema (esto contrasta seriamente con la mecánica cuántica o con ciertos experimentos en ciencias sociales donde el propio
experimento de medición puede interferir en los sujetos participantes).
Por otro lado, no hemos de perder de vista que las medidas se realizan con algún tipo de error, debido a imperfecciones del
instrumental o a limitaciones del medidor, errores experimentales, por eso, se ha de realizar la medida de forma que la alteración
producida sea mucho menor que el error experimental que pueda cometerse. Por esa razón una magnitud medida se considera como
una variable aleatoria, y se acepta que un proceso de medición es adecuado si la media estadística de dichas medidas converge
hacia la media poblacional. En mecánica clásica las restricciones para el grado de precisión son siempre de carácter tecnológico o
práctico, sin embargo, en mecánica cuántica existen límites teóricos para el grado de precisión que puede alcanzarse.
Medición directa
La medida o medición diremos que es directa, cuando se obtiene con un instrumento de medida que compara la variable a
medir con un patrón. Así, si deseamos medir la longitud de un objeto, se puede usar un calibrador. Obsérvese que se compara la
longitud del objeto con la longitud del patrón marcado en el calibrador, haciéndose la comparación distancia-distancia. También, se da
el caso con la medición de la frecuencia de un ventilador con un estroboscopio, la medición es frecuencia del ventilador (nº de vueltas
por tiempo) frente a la frecuencia del estroboscopio (nº de destellos por tiempo).
Medidas reproducibles
Son aquellas que al efectuar una serie de comparaciones entre la misma variable y el aparato de medida empleado, se
obtiene siempre el mismo resultado. Ejemplo: Si se mide cualquier número de veces un lado de un escritorio, siempre se obtiene el
mismo resultado. Las medidas reproducibles son procedimientos no destructivos que además no producen una alteración importante
en el sistema físico sujeto a medición.
Medición estadística
Son aquellas que al efectuar una serie de comparaciones entre la misma variable y el aparato de medida empleado, se
obtienen distintos resultados cada vez. Ejemplo: Determinar el número de personas que leen este artículo diariamente.
Aunque se obtienen resultados diferentes cada día, se puede obtener un valor medio mensual o anual.
Medición indirecta
No siempre es posible realizar una medida directa, porque existen variables que no se pueden medir por comparación
directa, es por lo tanto con patrones de la misma naturaleza, o porque el valor a medir es muy grande o muy pequeño y depende de
obstáculos de otra naturaleza, etc. Medición indirecta es aquella en la que una magnitud buscada se estima midiendo una o más
magnitudes diferentes, y se calcula la magnitud buscada mediante cálculo a partir de la magnitud o magnitudes directamente medidas.
Ejemplo: Se desea medir la altura de un edificio demasiado alto, dadas las dificultades de realizar la medición directamente,
emplearemos un método indirecto. Colocaremos en las proximidades del edificio un objeto vertical, que sí podamos medir,
así como su sombra. Mediremos también la longitud de la sombra del edificio. Dada la distancia del Sol a la tierra los rayos
solares los podemos considerar paralelos, luego la relación de la sombra del objeto y su altura, es la misma que la relación
entre la sombra del edificio y la suya. Llamando:
 SOb: a la sombra del objeto.
 AOb: a la altura del objeto.
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

SEd: a la sombra del edificio.
AEd: a la altura del edificio.
, luego,
Esto permite calcular la altura del edificio a partir de las medidas directas tomadas.
Precisión se refiere a la dispersión del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto menor es la
dispersión mayor la precisión. Una medida común de la variabilidad es la desviación estándar de las mediciones y la precisión se
puede estimar como una función de ella.
Exactitud se refiere a cuán cerca del valor real se encuentra el valor medido. En términos estadísticos, la exactitud está relacionada
con el sesgo de una estimación. Cuanto menor es el sesgo más exacta es una estimación.
Cuando expresamos la exactitud de un resultado se expresa mediante el error absoluto que es la diferencia entre el valor experimental
y el valor verdadero.
También es la mínima variación de magnitud que puede apreciar un instrumento.
Como ejemplo de precisión y exactitud pongamos los disparos a una diana, la precisión y la exactitud en el disparo, tienen que ver con
la proximidad de los disparos entre sí: precisión, y con la concentración de los disparos alrededor del centro de la diana: exactitud.
Como puede verse estas propiedades son independientes y la alta o baja precisión no implica ni alta ni baja exactitud, una operación,
una información o una medición es de tanto mejor calidad cuando mayor es su precisión y exactitud.
Teoría de Errores
El objetivo de la Teoría de Errores es identificar las diversas fuentes que generan error en la medición, determinar el
verdadero valor de las magnitudes físicas medidas de forma directa (medir la altura de un cilindro con el calibrador Vernier) e indirecta
(medir el volumen de un cilindro, midiendo su altura y diámetro con el calibrador Vernier).
Además es muy importante en esta práctica que el alumno se familiarice y posea un adecuado manejo de los equipos de medición de
laboratorio.
Las magnitudes físicas son determinadas experimentalmente por medidas o combinación de medidas. Estas medidas
obtenidas por algún equipo de laboratorio generan una incertidumbre debido a muchos factores. Debido a esta inseguridad es que se
desarrolla la Teoría de Errores.
ERRORES
Error
Es la diferencia entre el valor obtenido de una medida y el valor verdadero de la magnitud de la misma.
Consideremos a continuación los diferentes tipos de errores que se deben tener en cuenta cuando se realiza una medición:
1. Errores sistemáticos
Son errores que sistemáticamente corren las medidas en una misma dirección del valor verdadero. Son causados por:
a. Defecto o inexactitud del aparato usado. Por ejemplo, si el cero del nonio de un vernier no coincide con el cero de la escala fija, en
la posición inicial, se introducirá una desviación que es igual para todas las medidas realizadas. Ello se puede remediar “calibrando” el
instrumento.
b. Por el observador, que puede introducir errores por efecto de paralaje. Este error se evita estando consciente de las causas que lo
origina.
c. Variación de las condiciones ambientales, sobre las cuales el observador no tiene control.
d. Por el método empleado y en este caso sólo se hacen evidentes si se cambia el método.
2. Errores aleatorios, probabilísticos, fortuitos o casuales
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Son aquellos cuya ocurrencia es de tipo probabilístico y es por ello que algunas mediciones den resultados diferentes. Esta
diferencia es consecuencia de las múltiples fluctuaciones incontrolables e independientes de los factores que intervienen en la
realización de una medición, debido en general a la imprecisión de las observaciones realizadas o variaciones momentáneas de los
instrumentos, es decir, son errores que en una medida pueden ocurrir y en otra no. Los errores aleatorios afectan a las medidas en
ambas direcciones (mayor o menor, exceso o defecto). Pueden ser causados por condiciones ambientales fluctuantes, oscilaciones
propias del instrumento de medida, el observador. Es lógico pensar entonces, que el repetir muchas veces la medición de una misma
magnitud disminuiría la influencia de dichos errores casuales.
Cálculo de errores
En esta sección nos referiremos sólo a los errores casuales, ya que son incontrolables, no a los sistemáticos. El cálculo de
los errores casuales o aleatorios, necesita del uso de la teoría estadística. Esta fue desarrollada por Gauss y da resultados óptimos en
el caso de un gran número de mediciones. Sin embargo se usa también en el caso de un pequeño número de medidas, suponiendo
que es válida allí. Se considera como un número grande de medidas cuando éstas son mayores o iguales a 20. Sin embargo, para
algunos autores, este número puede estar entre 10 y 30. Así, cuando se realiza una serie de medidas de una magnitud, lo más
probable es que ellas, sean diferentes. Entonces surge la pregunta: ¿cuál es el mejor valor? y una vez elegido el mejor, ¿cuál será el
error? Para contestar estas preguntas es necesario manejar algunas definiciones.
Cálculo de errores en un número pequeño de medidas
Valor medio aritmético: representa estadísticamente el valor más cercano al valor verdadero y corresponde al cociente de la suma
de los resultados de medir n veces una misma magnitud entre el número de medidas hechas.
𝑛
1
𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 … + 𝑋𝑛
𝑋̅ = ∑ ∆𝑋𝑖 =
𝑛
𝑛
𝑖=1
Error absoluto, desviación o residuo de una medida: es definido como el valor absoluto de la desviación de cada medición
respecto a la media aritmética.
∆𝑋𝑖 = |𝑋̅ − 𝑋𝑖 |
Error medio absoluto, desviación media o residuo medio de una medida: corresponde al valor medio de los errores absolutos.
𝑛
1
∆𝑋1 + ∆𝑋2 + ∆𝑋3 … + ∆𝑋𝑛
̅
∆𝑋 = ∑ ∆𝑋𝑖 =
𝑛
𝑛
𝑖=1
Error relativo o de una medida: es dado por el cociente entre el error absoluto asociado con la medida y la medida misma.
∆𝑋𝑖
𝜀𝑟 =
𝑋𝑖
Error relativo medio o desviación relativa media de una medida: es dado por el cociente entre el error absoluto medio Dx y la
media aritmética x.
∆𝑋̅𝑖
𝜀̅𝑟 =
𝑋̅𝑖
Error porcentual medio o desviación porcentual media: es el error relativo medio multiplicado por cien.
𝜀̅ % = 𝜀̅𝑟 × 100%
Propagación de errores
Ya hemos analizado lo correspondiente a errores sobre magnitudes medidas directamente, tales como la longitud de un
objeto, distancia recorrido entre dos puntos, tiempo transcurrido entre hechos, etc. Sin embargo, frecuentemente la magnitud de
interés resulta de cálculos hechos con varias magnitudes, medidas directamente, por lo que el error en dicha magnitud debe ser
obtenida a partir de los errores de cada una de las magnitudes medidas por separado. Por ejemplo, el volumen de una gaveta es Vg =
a.b.c, donde se miden a, b y c, para posteriormente calcular el volumen. El procedimiento que permite obtener este error es lo que se
conoce como propagación de errores. Veamos entonces algunos casos de propagación de errores.
1. Suma o diferencia de magnitudes
Cuando una magnitud m es el resultado de la suma o resta de dos o más magnitudes medidas directamente, un error en
dichas magnitudes traerá consigo un error en m, es decir, si:
m = x ± y, entonces,
m± Dm = (x ± Dx) ± (y ± Dy),
m± Dm = (x ± y) ± (Dx + Dy),
2. Producto o cociente de magnitudes
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Cuando una magnitud m es el resultado de la suma o resta de dos o más magnitudes medidas directamente, un error en
dichas magnitudes traerá consigo un error en m, es decir, si:
m = x ´ y , entonces,
m ± Dm = (x ± Dx) ´ (y ± Dy),
m ± Dm = (x ´ y) ± (xDy) ± (y Dx) + (Dx Dy)
Ya que las cantidades Dx y Dy son pequeñas, Dx ´ Dy puede despreciarse, resultando:
m ± Dm = (x ´ y) ± (xDy + y Dx)
Experiencia N° 1
Materiales e instrumentos
 Un cordel.
 Una regla (graduada).
 Diversas piezas circulares.
El número π (phi) es una constante, y que se obtiene dividiendo la longitud de una circunferencia cualquiera entre su diámetro.
Para obtener experimentalmente el valor de esta constante, haga lo siguiente:
 Con ayuda de un cordel mida la longitud de la circunferencia de cualquier objeto circular (por ejemplo, un disco, un CD, una
botella, una lata, etc.). Anote la medida sólo con sus cifras significativas.
 Mida el diámetro del objeto.
 Con base en sus mediciones calcule el valor de π (observe las cifras significativas), y compare su resultado con el valor
teórico que ya conoce en matemáticas.
 Repita el experimento utilizando objetos de diferente diámetro.
 Enumere una lista de los errores experimentales cometidos y calcule:
a. Error relativo.
b. Error porcentual.
c. Error sistemático.
d. El valor verdadero de las medidas.
Experiencia N° 2
Materiales e instrumentos
 Un calibrador Vernier.
 Un micrómetro.
 Una balanza.
 Una regla (graduada).
 Granos varios.
 Un cuentagotas.
 Un cuaderno.
Podemos medir fácilmente la longitud de una hoja de un libro o de un cuaderno, pero, por otra parte, tendríamos dificultades en
medir su espesor.
 Trate de obtener la medida, usando una regla de milímetros, del espesor de una hoja de un libro. ¿Lograría obtener alguna
cifra significativa en esta medición?
 Un truco sencillo permite resolver satisfactoriamente este problema: mida el espesor de una pila de hojas (un número grande,
digamos, de 100 hojas). Con base en el valor encontrado, calcule el espesor de una de ellas. ¿Cuántas cifras significativas
hay en su respuesta?
 Con un procedimiento semejante intente determinar la masa de un grano de maíz y el volumen de la gota de agua que sale
de un cuentagotas o gotero.
 Enumere una lista de los errores experimentales cometidos y calcule:
a. Error relativo.
b. Error porcentual.
c. Error sistemático.
d. El valor verdadero de las medidas.
Experiencia N° 3
Materiales e instrumentos
 Un recipiente graduado para medir volúmenes.
 Agua.
 Una regla (graduada).
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Objetos de forma irregular.
En la asignatura de matemáticas usted aprendió algunas fórmulas que permiten calcular el volumen de cuerpos con formas
geométricas sencillas (esfera, cilindro, cubo, etc.). Sin embargo, no es posible encontrar una fórmula que permita determinar el
volumen de un cuerpo de forma irregular, por ejemplo, una piedra. Eso, no obstante, puede hacerse con bastante facilidad, de la
siguiente manera:
 Tome un objeto cuyo volumen quiera determinar (una piedra u otro objeto sólido y macizo cualquiera). Procure obtener un
recipiente graduado (en unidades de volumen) y ponga cierto volumen de agua dentro de él. Anoté el valor del volumen.
 Introduzca el objeto en un recipiente. El objeto debe quedar totalmente sumergido en el agua. Haga la lectura del volumen
correspondiente al nuevo nivel del agua (volumen del agua + volumen del objeto).
 Con base en sus medidas, determine el volumen del objeto irregular (observe los algoritmos significativos).
 Enumere una lista de los errores experimentales cometidos y calcule:
a. Error relativo.
b. Error porcentual.
c. Error sistemático.
d. El valor verdadero de las medidas.

Experiencia N° 4
Materiales
 Un pitillo.
 Una arandela.
 Un transportador.
 30 cm de pabilo.
 Cinta adhesiva transparente.
Procedimiento para construirlo.
Amarra el pabilo al centro del transportador y en el otro extremo la arandela. Pega con cinta adhesiva el pitillo al borde
superior del transportador.
Procedimiento para utilizarlo.
Párate a una distancia del objeto, que deseas determinar su altura y mídela. Mira a través del pitillo hacia la parte superior del
objeto y pide a tu compañero que determine el ángulo del pabilo colgante. Para determinar el ángulo real utiliza la siguiente relación:
Angulo real = 90° - ángulo del pabilo colgante
Para determinar la altura del objeto utiliza funciones trigonométricas.
 Con el instrumento realizado determine la altura de diversas estructuras en la universidad o de cualquier otra estructura de la
cual sienta curiosidad por saber su altura.
 Enumere una lista de los errores experimentales cometidos y calcule:
e. Error relativo.
f. Error porcentual.
g. Error sistemático.
h. El valor verdadero de las medidas.
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