Guía Nº 4. Electricidad (Electroestática y Electrodinámica).

UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NÚCLEO DE BOLÍVAR
UNIDAD DE CURSOS BÁSICOS.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
ÁREA DE FÍSICA.
FÍSICA MÉDICA (MED) / FÍSICA PARA CS. DE LA SALUD (BIO).
Prof. Arquímedes E. López M.
Guía Nº 4. Electricidad.
- (Electrostática).
Electrostática.
La electrostática es la rama de la física que estudia los fenómenos resultantes de la distribución de
cargas eléctricas en reposo, es decir, se encarga de estudiar las cargas eléctricas en estado de reposo;
esto es originado por el campo electrostático (la influencia que una o más cargas ejercen sobre el
espacio que las rodea).
La carga eléctrica y la materia.
La unidad más pequeña conocida de la materia (el átomo) está compuesta por tres clases de
partículas elementales como son: el protón, el neutrón y el electrón. Los átomos están constituidos por
un núcleo denso cargado positivamente (donde se encuentran los protones y neutrones), y por una
nube de electrones (los cuales están cargados negativamente) que se encuentra envolviendo a dicho
núcleo. De acuerdo a esto se puede decir que los protones poseen una carga positiva (+), y los
electrones poseen una carga negativa (-).
Se puede definir la carga eléctrica como una propiedad fundamental de un cuerpo u objeto, la cual
mide el exceso o defecto de electrones en dicho cuerpo u objeto. La carga considerada como
fundamental es la carga del electrón. En el sistema internacional de unidades la unidad de carga
eléctrica se denomina culombio o coulomb (símbolo C) y se define como la cantidad de carga que pasa
por una sección en 1 segundo cuando la corriente eléctrica es de 1 amperio. Se corresponde con la
carga de 6,24 × 1018 electrones aproximadamente.
La carga más pequeña que se encuentra en la naturaleza es la carga del electrón (que es igual en
magnitud a la del protón pero con signo opuesto): e = -1,602 × 10-19 C. El valor de la carga eléctrica de
un cuerpo, representada como q o Q, se mide según el número de electrones que posea en exceso o
en ausencia dicho cuerpo. Cuando un átomo gana o pierde un electrón, queda cargado eléctricamente.
A estos átomos cargados se les denomina iones.
Los electrones se mantienen en órbita alrededor del núcleo del átomo por atracción eléctrica, del
mismo modo que los planetas se mantienen en órbita alrededor del Sol por la atracción gravitatoria.
Dichos los electrones ejercen entre sí fuerzas eléctricas y la fuerza ejercida entre dos átomos próximos
es precisamente la fuerza eléctrica entre sus electrones y el núcleo. Los protones y neutrones del
núcleo se mantienen juntos por la fuerza nuclear. Esta fuerza es muy grande cuando las partículas
están muy próximas unas de otras, pero disminuye rápidamente con la distancia. La fuerza nuclear no
se extiende más allá de los electrones exteriores del átomo que están a 10-10 m del núcleo. De este
modo, aunque la fuerza nuclear es esencial para mantener unido el núcleo, no juega un papel directo
en la interacción de los átomos entre sí.
Formas de electrización de un cuerpo.
1) Por frotamiento; se obtiene cuando dos cuerpos de diferente material son frotados entre sí; por
ejemplo: cuando se frota una varilla de vidrio en un pedazo de seda. El vidrio adquiere una carga
eléctrica positiva al perder un determinado número de cargas negativas (electrones); estas cargas
negativas son atraídas por la seda, con lo cual se satura de cargas negativas.
2) Por Inducción; cuando un cuerpo cargado negativamente (con exceso de electrones) es “acercado”
a un cuerpo neutro, éste último adquiere una carga del mismo signo que el cuerpo cargado; esto es
debido al campo eléctrico del cuerpo cargado.
3) Por contacto; cuando un cuerpo neutro es “tocado” por un cuerpo cargado positivamente (con déficit
de electrones), el primero (el cuerpo neutro) queda cargado positivamente, ya que electrones presentes
en él son atraídos por el cuerpo con carencia de electrones (cargado positivamente), quedando ambos
cargados con la misma carga (+).
Propiedades de las cargas eléctricas.
1.- Conservación de la carga: en un sistema aislado, la carga total se conserva; es decir, la suma de las
cargas positivas y negativas no varía, sea cual fuese el proceso en estudio, lo que constituye el
principio de conservación de la carga eléctrica.
2.- Tipos de carga eléctrica: existen dos tipos de carga eléctrica, positiva (carga eléctrica del protón) y
negativa (carga eléctrica del electrón), ejerciendo fuerzas eléctricas de atracción o de repulsión, es
decir, las cargas iguales tienden a repelerse mientras que las cargas contrarias se atraen.
3.- Cuantificación de la carga: La carga se cuantifica (se mide) en proporción a la cantidad de carga
elemental que es la del electrón de un átomo.
Donde;
q = carga eléctrica.
e = 1,602 x 10-19 C.
n = número entero.
En el sistema Internacional un electrón posee q = 1,602 x 10-19 C. Todas las cargas libres que se han
observado son múltiplos enteros, positivos o negativos, de la carga del electrón, esto es lo que se
entiende por cuantificación de la carga eléctrica.
Fuerza Eléctrica (Ley de Coulomb).
La ley de Coulomb expresa que: “La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que
interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la
magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las
separa”. La ley de Coulomb es válida sólo en condiciones estacionarias, es decir, cuando no
hay movimiento de las cargas, o como aproximación, cuando el movimiento se realiza a
velocidades bajas y en trayectorias rectilíneas uniformes. Es por ello que es llamada fuerza
electrostática.
La Ley de Coulomb determina las propiedades de fuerza electrostática que surgen de una o varias
fuerzas eléctricas. Guarda una gran similitud con la Ley de Gravitación Universal. La Ley de Coulomb
fue enunciada por Charles Augustin de Coulomb en 1785, gracias a una balanza de torsión con la que
realizaba los experimentos (midiendo así la fuerza de atracción o de repulsión que sufrían dos cargas
eléctricas). La ecuación de la ley de Coulomb se puede expresar escalarmente de la siguiente manera:
Donde;
Fe = fuerza eléctrica.
q1 y q2 = cargas puntuales.
d = distancia entre las cargas.
K = constante de proporcionalidad.
εo = constante de permitividad.
La ecuación de la ley de Coulomb se puede expresar vectorialmente de la siguiente manera:
Donde
es el vector unitario en la dirección de la distancia que separa a las cargas q1 y q2.
La distancia d va a ser igual al modulo del vector
expresar vectorialmente de la siguiente manera:
; d=
, por lo que la ley de Coulomb se puede
En el caso de la presencia de varias cargas, la fuerza total resultante es la suma vectorial de las
fuerzas eléctricas debidas a cada una de las cargas.
Campo eléctrico.
Es aquella región de espacio que rodea a una carga eléctrica y que está conformada por la materia en
estado disperso. Este campo funciona como un transmisor mediante el cual una carga interacciona con
otra que está a su alrededor.
Carga de prueba (qo).
Es una carga ficticia que sirve para verificar si un punto está afectado por el campo eléctrico generado
por una carga puntual “Q”; si “qo” sufre repulsión o atracción, significa que dicho punto está afectado
por el campo eléctrico de la carga puntual. La carga qo va a ser una carga puntual positiva (+).
Intensidad del campo eléctrico. ( E ).
Es aquella magnitud vectorial que indica cual es la fuerza que ejerce el campo eléctrico en un
punto sobre la unidad de carga. Se le representa mediante un vector que tiene la misma dirección
y sentido que la fuerza electrostática cuando qo es positiva (+), y diferente dirección y sentido que
la fuerza electrostática cuando qo es negativa (-). La intensidad del campo eléctrico se expresa en
la unidad New/Coul (N/C).
La ecuación de la intensidad de campo eléctrico se puede expresar escalarmente de la siguiente
manera:
Donde;
= intensidad del campo eléctrico. (New/Coul).
= fuerza eléctrica. (New).
qo = carga puntal de prueba positiva (+).
La ecuación de la intensidad de campo eléctrico se puede expresar vectorialmente de la siguiente
manera:
De la ley de coulomb se tiene que:
Sustituyendo en la ecuación de intensidad del campo eléctrico se obtiene que:
Donde
representa el modulo del vector en la misma dirección de la distancia que existe entre la
carga puntual q y la carga puntual qo de prueba.
En el caso de la presencia de varias cargas, el campo eléctrico E total resultante en un punto P, va a
ser la suma vectorial de los campos eléctricos ejercidos por cada una de las cargas, q1, q2,… qn, sobre
la carga qo de prueba, ubicada en el punto P.
Líneas de fuerza.
Son líneas imaginarias utilizadas para representar un campo eléctrico. Sus características son las
siguientes:
a) Las líneas de fuerza comienzan en las cargas positivas y terminan en las negativas.
b) El número de líneas de fuerza que abandonan una carga puntual positiva o entran en una carga
negativa es proporcional a la carga.
c) Las líneas de fuerza se dibujan simétricamente saliendo o entrando a la carga puntual.
d) La densidad de líneas de fuerza es proporcional al valor del campo.
e) Las líneas de fuerza nunca se cortan.
f) La tangente a la línea de fuerza en cualquier punto es paralela a la dirección del campo eléctrico en
ese punto.
Ejercicios de electrostática.
Ejercicios de electrostática
1) Una carga puntual de +3,12 x 10-6 C está a una distancia de 12,3 cm de una segunda carga puntual
de -1,48 X 1O-6 C. Calcular la magnitud de la fuerza eléctrica para cada carga.
2) ¿Cuál debe ser la distancia entre la carga puntual q1 = 26,3 x 10-6 C y la carga puntual
q2 = -47,1 x 10-6 C con objeto de que la fuerza eléctrica de atracción entre ellas tenga una magnitud de
5,66 N?.
3) Dos cargas positivas de 4,18 x 10-6 C cada una, y una carga negativa, de -6,36 x 10-6 C, están fijas
en los vértices de un triángulo equilátero de 13,0 cm de lado. Calcular la magnitud y la dirección de la
fuerza eléctrica sobre la carga negativa.
4) Cada una de dos pequeñas esferas está cargada positivamente, siendo la carga total de
52,6 x 10-6 C. Cada esfera repele a la otra con una fuerza de 1,19 N cuando las esferas están
separadas 1,94 m. Calcular la carga sobre cada esfera.
5) La figura a muestra dos cargas, q1 y q2, separadas por una distancia fija d. (a) Encuentre el valor de
la fuerza eléctrica que actúa sobre q1. Suponga que q1 = q2 = 21,3 x 10-6 C y d = 1,52 m. (b) Una
tercera carga q3 = 21,3 x 10-6 C se introduce y se coloca como se muestra en la figura b. Calcular la
magnitud y la dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga q1 ahora.
6) En la figura determinar las componentes (a) horizontal y (b) vertical de la fuerza eléctrica resultante
sobre la carga de la esquina inferior izquierda del cuadrado. Suponer que q = 1,13 x10-6 C y
a = 15,2 cm. Las cargas están en reposo.
7) ¿Cuál es la magnitud de una carga puntual elegida de tal modo que el campo eléctrico alejado a una
distancia de 75,0 cm tenga una magnitud de 2,30 N/C?.
8) Hallar la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto P en el centro del cuadrado de la
figura. Suponer que q = 11,8 x 10-9 C y a = 5,20cm.
9) Dos cargas iguales y opuestas de 1,88 x 10-7 C de magnitud se mantienen separadas por 15,2 cm.
¿Cuáles son la magnitud y la dirección de E en el punto medio entre las cargas?.
10) Dos cargas puntuales de magnitudes q1 = 2,16 x 10-6 C y q2 = 85,3 x 10-9 C están separadas por
11,7 cm. Calcular la magnitud del campo eléctrico que cada una produce en el sitio donde está la otra.
UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NÚCLEO DE BOLÍVAR
UNIDAD DE CURSOS BÁSICOS.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
ÁREA DE FÍSICA.
FÍSICA MÉDICA (MED) / FÍSICA PARA CS. DE LA SALUD (BIO).
Prof. Arquímedes E. López M.
Guía Nº 5. Electricidad.
- (Electrodinámica).
Electrodinámica.
Es la rama de la física que estudia los fenómenos eléctricos producidos por cargas en movimiento.
Electricidad.
Es el efecto que producen los electrones al trasladarse de un punto a otro.
Corriente eléctrica.
Las cargas en los conductores disponen de partículas cargadas que pueden moverse con bastante
libertad bajo la acción de campos eléctricos. La corriente eléctrica constituye un movimiento continuo
de las cargas libres. La cantidad de carga que circula por un conductor en la unidad de tiempo es la
intensidad de corriente. Los responsables de mantener la corriente en un circuito eléctrico son los
generadores eléctricos, los cuales suministran al circuito la energía precisa para ello. La presencia de
un campo eléctrico permanente en el centro de un conductor es la causa del movimiento continuado
de las cargas libres.
Para que se mantenga una corriente eléctrica es necesario que exista una diferencia de potencial
(voltaje) constante entre los extremos del conductor. Si ésta disminuye por efecto de la circulación de
las cargas, el campo eléctrico llega a hacerse nulo y cesa el movimiento. Esta es la situación que
corresponde a esos desplazamientos de carga que se producen cuando un conductor aislado se carga
o descarga eléctricamente.
Convencionalmente se asigna el sentido de la corriente eléctrica al correspondiente al desplazamiento
que tendrían las cargas positivas, de mayor a menor potencial eléctrico. Cuando hay un paso de
corriente en un conductor, ocurre una transformación de energía en calor, es decir, hay un aumento en
la temperatura del conductor; esto es conocido como Efecto Joule.
Intensidad de la corriente eléctrica.
Junto a la idea de movimiento de partículas, la noción de la corriente eléctrica lleva asociada la de
transporte de cargas eléctricas de un punto a otro. La importancia de dicho transporte en términos de
cantidad se expresa mediante la magnitud intensidad de corriente eléctrica que se define como la
carga total que circula por el conductor en la unidad de tiempo. En forma de ecuación se puede escribir
de la siguiente manera:
La unidad de intensidad de corriente en el sistema internacional recibe el nombre de ampere (A) por el
científico André Marie Ampere y equivale a un transporte de carga que se produzca a razón de 1
coulomb (C) en cada segundo (s),1A = 1 C/s.
Resistencia eléctrica.
Es todo impedimento que encuentra la corriente a su paso por un circuito eléctrico cerrado,
disminuyendo o frenando el libre flujo de las cargas eléctricas o electrones. Cualquier dispositivo
conectado a un circuito eléctrico representa en sí una carga, resistencia u obstáculo para la circulación
de la corriente eléctrica. La resistencia eléctrica (R) va a ser igual al cociente entre la diferencia de
potencial y la corriente que pasa por un conductor. Se expresa de la siguiente manera:
Donde;
R = Resistencia. Unidad: Ohmio (Ω).
V = Diferencia de potencial (Voltaje). Unidad: Voltio (V).
I = Intensidad de corriente eléctrica. Unidad: Amperio (A).
Ω = voltio/amperio.
V = joule/coulomb.
A = coulomb/segundo.
Factores de los cuales depende la resistencia eléctrica.
La resistencia eléctrica va a depender principalmente de tres factores como son: el material, la longitud
y el diámetro o sección del conductor; esto se puede formular mediante la siguiente expresión:
Donde;
ρ = coeficiente de resistividad del material (Ω x mm2/m).
L = longitud del conductor. (m)
S = área o sección del conductor. (mm2).
1) La resistencia es directamente proporcional a la Longitud del conductor. Si se aplica el mismo
voltaje a varios conductores que sólo difieren en sus longitudes y se mide la corriente a través de ellos,
se obtendrá que I es inversamente proporcional a L. Al ser L inversamente proporcional a I, es
directamente proporcional a R.
2) La resistencia es inversamente proporcional al área de sección transversal S del conductor. Si se
aplica el mismo voltaje a varios conductores que sólo difieren en el área de la sección transversal y se
mide la corriente eléctrica a través de ellos, se obtendrá que I es directamente proporcional a S. Al ser
S directamente proporcional a I, es inversamente proporcional a R.
3) La resistencia depende del material del conductor. Si se tienen varios conductores que sólo difieren
en el material del cual están hechos, y se les aplica el mismo voltaje, las corrientes a través de ellos
son diferentes, debido a las características propias del material de cada conductor. Ésta característica
del material recibe el nombre de resistividad (ρ).
4) La resistividad varía con la temperatura, por lo tanto la resistencia también depende de ella. Los
conductores, principalmente los metales y sus aleaciones tienen los valores de ρ más bajos, mientras
que los valores de ρ de los aisladores exceden al de los metales en el orden de 1022.
De acuerdo a esto se puede decir que para tener poca resistencia el conductor debe tener un área
transversal grande, poca longitud, y debe estar constituido de un buen material.
Ley de Ohm.
Cuando hay un paso de corriente en un conductor hay un incremento en su temperatura debido al
efecto joule. Al aumentar la temperatura se ve afectada la resistividad y por ende la resistencia. Esto
indica que el cociente entre el voltaje y la corriente en un conductor no debe ser constante (R = V/I).
Sin embargo, para muchos conductores, especialmente metales, a una temperatura determinada sí se
cumple la proporcionalidad directa entre estas variables, en otras palabras, la resistencia y la
resistividad son constantes.
En estos casos, se dice que se cumple la Ley de Ohm; la cual se puede enunciar de la siguiente
manera: “Si la temperatura permanece constante, o se puede despreciar, los cambios en ella, el
voltaje aplicado y la corriente en un conductor, son directamente proporcionales”. Esto se cumple para
los conductores óhmicos, es decir, conductores que no sufren alteración en sus propiedades químicas
por efecto de la corriente.
Ley de Ohm.
La resistencia eléctrica de un conductor es directamente proporcional al voltaje e inversamente
proporcional a la intensidad. Si aumenta el voltaje, aumenta la resistencia, si aumenta la intensidad
disminuye la resistencia.
Potencia eléctrica.
Para mantener una corriente constante a través de un conductor, es necesario suministrar energía a
los portadores de carga. La energía eléctrica proporcionada (o trabajo realizado sobre las cargas), U, en
un tiempo t se define como la Potencia Eléctrica P (P = trabajo(W)/tiempo(t)).
Para un conductor óhmico la potencia eléctrica se puede expresar de la siguiente manera:
Se expresa en la unidad denominada vatios (watt) = joule/seg; y representa la potencia eléctrica
disipada en una resistencia (efecto joule).
Circuito.
Un circuito es una red eléctrica (interconexión de dos o más componentes, tales como resistencias,
fuentes de energía, interruptores, semiconductores, etc.) que contiene al menos una trayectoria
cerrada, donde la electricidad o flujo de electrones se va desplazar a través de un conductor, desde la
fuente de energía hasta su lugar de consumo.
Circuitos de corriente continua.
Son aquellos circuitos donde la corriente eléctrica mantiene su magnitud a lo largo del tiempo, es decir,
la corriente eléctrica es constante, no va variar su dirección con el tiempo.
Fuente de fuerza electromotriz.
Es un dispositivo eléctrico que suministra una diferencia de potencial (voltaje) entre sus extremos a un
circuito eléctrico. La fuerza electromotriz de la fuente es el trabajo por unidad de carga que realiza la
fuente para llevar las cargas en contra de la fuerza eléctrica que actúa sobre ellas dentro de la fuente;
se representa con la letra (ε) y su unidad en el S.I. es el voltio (V).
Toda fuente de fuerza electromotriz (fem) posee una resistencia intrínseca que no puede separarse
de la fuente y que recibe el nombre de resistencia interna; ésta se evidencia cuando por ejemplo, se
tiene conectada una fuente en un circuito eléctrico, y se observa un calentamiento en dicha fuente
cuando ha pasado corriente durante un tiempo a través de ella.
Resistencia equivalente.
Es la resistencia que sustituye un conjunto de resistencias, sin alterar las condiciones del circuito, lo
cual quiere decir que la corriente total y el voltaje total tienen que ser iguales en el circuito equivalente.
Circuitos con resistencias en serie.
Un circuito eléctrico con resistencias en serie es una configuración de conexión en la que las
resistencias se conectan secuencialmente. La terminal de salida de una resistencia se conecta a la
terminal de entrada de la resistencia siguiente. La corriente eléctrica que va a pasar por dichas
resistencias va a ser la misma. De acuerdo a esto se puede decir que:
Circuitos con resistencias en paralelo.
Un circuito eléctrico en paralelo es una configuración de conexión donde los terminales de entrada de
las resistencias se encuentran conectados de modo que coincidan entre sí, lo mismo que sus
terminales de salida. El voltaje o la diferencia de potencial en cada una de las resistencias conectadas
en paralelo, va a ser igual. De acuerdo a esto se puede decir que:
Circuitos de mallas múltiples.
Hasta el momento se ha hecho el análisis de circuitos donde los valores de las intensidades de la
corriente y de las diferencias de potencial (voltaje), eran calculados por medio de la Ley de Ohm.
Existen circuitos más complejos donde se encuentran diversos generadores o fuentes de poder y varias
ramificaciones. A estos circuitos se les conoce como circuitos ramificados o redes eléctricas.
Elementos de una red eléctrica.
a) Nodo: punto de ramificación donde convergen dos o más corrientes.
b) Ramas o conductores: porciones comprendidas entre dos nodos consecutivos o por donde circula
una misma corriente.
c) Malla: porción de un circuito cerrado que se inicia en un nodo y termina en el mismo nodo.
Resolución de una red eléctrica.
Resolver una red eléctrica es el proceso mediante el cual se determinan las intensidades de corriente
que circulan por cada rama, conocidas las características de todos los elementos ubicados en la red.
Normalmente para resolver una red eléctrica se utilizan las Reglas de Kirchhoff.
Reglas de Kirchhoff.
a) Primera Regla: “En un nodo, la suma algebraica de las intensidades de corriente que llegan y salen
es igual a cero”.
b) Segunda Regla: “En todo circuito cerrado, la suma algebraica de los productos I×R es igual a la
suma algebraica de las fuerzas electromotrices”.
Procedimiento para resolución de una red eléctrica.
1) Se escoge un nodo o punto donde concurran más de dos conductores.
2) Se asignan de manera arbitraria sentidos a las corrientes que entran o salen del nodo. (Se
recomienda asignar signo positivo a las corrientes que llegan al nodo y signo negativo a las corrientes
que se alejan o salen del nodo).
3) Se le aplica al nodo la primera regla de Kirchoff.
4) Se aplica la segunda regla de Kirchoff a las mallas. (Considere que cuando recorre una resistencia
en el mismo sentido de la corriente, hay una caída de potencial, por lo cual es un potencial negativo. Si
se recorre en sentido contrario, hay un aumento de potencial, es decir, es positivo). Se debe tomar
también en cuenta que cuando se recorre una fuente de poder, de la línea corta a la línea larga (de
menor a mayor potencial) hay un aumento en el potencial eléctrico, es decir es positivo. En caso
contrario el potencial es negativo.
De la aplicación de las reglas de Kirchoff se originan ecuaciones matemáticas, cuya resolución
permitirá obtener los valores de las corrientes. Si al resolver el sistema, una o varias de las corrientes
resultan negativas, quiere decir que su módulo es correcto, pero el sentido real de la corriente del
sistema es opuesto al sentido arbitrario que inicialmente se escogió.
Ejercicios de electrodinámica.
1) Cuatro resistores están conectados en paralelo y a una batería de 27 V. Calcular la corriente en la
batería.
2) En la figura se muestra un circuito que contiene 5 resistores conectados a una batería de 12 V.
Hallar la caída de potencial (voltaje) en el resistor de 5Ω.
3) En la siguiente figura: a) hallar la resistencia equivalente de la red mostrada; b) calcular la corriente
en cada resistor. Tener en cuenta que ε = 6,22V; R1 = 112Ω; R2 = 42Ω; R3 = 61,6 Ω; R4 = 75Ω.
4) En la figura determinar la diferencia de potencial entre los puntos c y d. Suponer que ε1 = 4,22V;
ε2 = 1,13V; R1 = 9,77Ω; R2 = 11,16Ω; R3 = 5,40Ω
5) En la figura se muestra un circuito cuyos elementos tienen los siguientes valores: ε1 = 2,1 V;
ε2 = 6,3 V; R1 = 1,7Ω; R2 = 3,5Ω. Determinar: a) las corrientes en las tres ramas del circuito; b) la
diferencia de potencial entre los puntos a y b del circuito.
6) En la figura calcular la corriente por cada fuente de fem. Hallar la diferencia de potencial entre los
puntos a y b. ε1 = 2 V; ε2 = 3,80 V; ε3 = 5 V; R1 = 1,20Ω; R2 = 2,30Ω.