P(1+i) - Paginas Prodigy

II. DERIVACIÓN DE FORMULAS Y FACTORES DE INGENIERÍA ECONÓMICA.
2.1 El Valor del Dinero a Través del Tiempo.
Hay un fenómeno económico conocido como inflación, el cual consiste en la pérdida de
poder adquisitivo del dinero con el paso del tiempo. Ningún país en el mundo está
exento de inflación, ya sea que tenga un valor bajo, de 2 a 5 % anual en países
desarrollados, o por arriba del 1000 % anual, como en algunos países de América del
Sur. Nadie puede escapar de ella. De la misma forma, nadie sabe con certeza por qué
es necesaria la inflación o por qué se origina en cualquier economía. Lo único que se
aprecia claramente es que en países con economías fuertes y estables, la inflación es
muy baja, pero nunca de cero.
Lo único en que se hace énfasis, es que el valor del dinero cambia con el tiempo
debido principalmente a este fenómeno, de lo contrario, es decir, si no hubiera inflación,
el poder adquisitivo del dinero sería el mismo a través de los años y la evaluación
económica probablemente se limitaría a hacer sumas y restas simples de las ganancias
futuras (sin embargo, no debe olvidarse la capacidad todavía más importante del dinero
de generar ganancias o generar riqueza en el transcurso del tiempo).
Pero sucede lo opuesto. Es posible, mediante algunas técnicas, pronosticar cierto
ingreso en el futuro. Por ejemplo, hoy se adquiere un auto por $ 20 000 y se espera
poder venderlo dentro de cinco años en $ 60 000, en una economía de alta inflación. El
valor nominal del dinero, por la venta del auto, es mucho mayor que el valor actual,
pero dadas las tasas de inflación que se tendrán en los próximos cinco años el valor de
$ 60 000 traído o calculado a su equivalente al día de hoy, resulta mucho más bajo que
$ 20 000.
Este fenómeno de “ilusión monetaria” se presenta en mayor o menor proporción en
cualquier país que padezca la inflación. Es aquí donde interviene la ingeniería
económica, que intenta resolver el problema del cambio en el valor del dinero a través
del tiempo. La solución que aporta es calcular el valor equivalente del dinero en un solo
instante de tiempo. Si retomamos el ejemplo del auto, sería erróneo afirmar que éste se
podrá vender dentro de cinco años al triple de su valor. Aunque es cierto en términos
nominales, es decir, sólo por lo que se observa en las cifras, para hacer una adecuada
comparación se debe obtener el poder adquisitivo real, tanto de los $ 20 000 como de
los $ 60 000 en cierto punto en el tiempo, que puede ser el momento de adquirir el auto
o el momento de venderlo. Cuando se calcula el valor real del dinero en esta situación,
se puede percibir la “ilusión monetaria” de que se ha hablado.
Parece claro que en tanto se cuente con las técnicas analíticas adecuadas y se pueda
comparar el poder adquisitivo real del dinero en determinados instantes de tiempo, se
estará capacitado para tomar mejores decisiones económicas. Ésta es la ayuda que
puede prestar la ingeniería económica a los administradores de negocios.
El dinero, como cualquier otro bien, tiene un valor intrínseco. Un hombre puede tener
una casa o cambiarla por dinero en efectivo, o tener un auto o cambiarlo por dinero en
efectivo. Si este hombre no es dueño de una casa y necesita utilizar una, deberá
rentarla, es decir deberá pagar por ello; Si no posee un auto y necesita utilizar uno,
deberá pagar una renta, no importa si es por media hora, como en el caso de un taxi, o
por un día o un mes. Del mismo modo, si este hombre no tiene dinero y lo necesita,
deberá pagar cierta cantidad para tenerlo. A este pago se le conoce con el nombre de
INTERÉS.
En general se puede decir que el uso de bienes ajenos con valor intrínseco implica
necesariamente un pago por ese uso. Al contrario, si nadie utiliza esos bienes, su
propietario no obtendrá ganancia alguna, por su inactividad, lo que sería igual a tener
un taxi sin circular o guardar el dinero bajo el colchón.
2.2 El Concepto de Interés y Período de Capitalización.
Como anteriormente se mencionó interés es el pago que se hace al propietario del
capital por el uso del dinero. Cuando una persona deposita dinero en el banco, de
hecho le está prestando ese dinero para que éste lo use, por tanto, el banco debe
pagar cierto interés al propietario del dinero. En ingeniería económica al interés se le
designa con la letra i.
El pago de interés siempre está asociado a un periodo de tiempo. Cuando un banco
ofrece a sus ahorradores 20% de interés anual significa que el ahorrador deberá dejar
su dinero depositado por un periodo de un año exacto para percibir el interés ofrecido.
El periodo mínimo necesario para que se pueda cobrar un interés se llama período de
capitalización. Si una persona le presta a otra $ 1000 al 10% de interés pero con la
condición de liquidar tanto los $ 1000 como el interés de $ 100 al cabo de una semana;
el periodo de capitalización del que presta es de una semana. Se llama periodo de
capitalización porque a su término ya se tiene o ya se formó más capital. Así, quien
prestó $ 1000 al 10% de interés semanal tendrá $ 1 100 en una semana. De igual
forma, si otra persona deposita $ 1000 en un banco que paga 20% de interés anual,
pasado el periodo de capitalización de un año, su capital habrá aumentado de $ 1000 a
$ 1200.
El valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés utilizada conjuntamente generan el
concepto de equivalencia, esto significa que diferentes sumas de dinero en diferentes
tiempos pueden tener igual valor económico. Por ejemplo, si la tasa de interés es 12%
por año, $ 100 hoy pueden ser equivalentes a $ 112 un año después, en vista de que:
Cantidad acumulada = 100 + 100(0.12) = 100(1 + 0.12) = 100 (1.12)
Cantidad acumulada = $ 112
Así, si alguien ofrece darle $ 100 hoy o $ 112 un año después, no habría diferencia en
la oferta, ya que en ambos casos se tendrían los $ 112 dentro de un año. Las dos
sumas de dinero son entonces equivalentes cada una si la tasa de interés es de 12%
por año. En ambos casos una más alta o baja tasa de interés, hace que $ 100 hoy no
sean equivalentes a $ 112 dentro de un año. Adicionalmente al considerar
equivalencias futuras se pueden aplicar los mismos conceptos para determinar la
equivalencia en años previos. Así, $ 100 hoy pueden ser equivalentes a 100/1.12 = $
89.29 un año antes si la tasa de interés es del 12% anual. Según estos ejemplos, es
claro que $ 89.29 el último año, $ 100 hoy y $ 112 dentro de un año son equivalentes si
la tasa de interés es 12% anual. Los resultados de éstas sumas pueden obtenerse así:
112 = 1.12 ó 12% anual.
100
y
100 = 1.12 ó 12% anual.
89.29
Ejemplo. Una persona presta $ 3 500 con la condición de que le paguen $ 4 025 al
cabo de un año. ¿Cuál es la tasa de interés anual que cobra el prestamista?
Solución. Para encontrar una fórmula que permita hacer este cálculo, simplemente se
divide la cantidad de interés cobrado (F - P) = 4 025 - 3 500 = 525 sobre la cantidad
original, lo cual, si se multiplica por 100, determinará el porcentaje de ganancia sobre la
cantidad original, o sea, la tasa de interés correspondiente a ese período.
i
FP
F 
 100    1100
P
P 
 4025 
i
 1  100  15%
 3500 
Capital Inicial o Principal ( P ): Es la cantidad que se presta durante un tiempo
determinado para producir un interés.
Interés ( I ): Pago que se hace al propietario del capital por el uso del dinero.
Tasa de Interés ( i ): Es la razón del interés devengado respecto del capital inicial.
Período de capitalización: Período mínimo necesario para que se pueda cobrar un
interés. Recibe este nombre porque a su término ya se tiene o ya se formó más
capital.
2.3 Interés Simple e Interés Compuesto.
En la actualidad cualquier actividad económica, por sencilla que parezca, descansa en
el concepto de interés, entendiéndose esta como una cantidad que se paga por hacer
uso de dinero solicitado en préstamo, o bien la cantidad obtenida al invertir un capital.
De lo anterior se desprende que el valor del dinero en términos de poder adquisitivo,
depende de el tiempo en el sentido de que 100 unidades monetarias de hace 5 años,
valen más que 100 unidades del día de hoy, por lo que se hace necesario para
mantener su poder adquisitivo, cobrar un interés al que hace uso del dinero.
Por su naturaleza el interés puede ser dividido en dos grandes rubros: Interés Simple e
Interés Compuesto. El interés simple es aquel que se calcula sobre un capital inicial
que permanece invariable en el tiempo ya que los intereses se manejan por separado y
siempre son de la misma cuantía.
El interés compuesto por el contrario, a pesar de poderse calcular a una tasa constante
de interés durante el plazo de la operación origina que el capital inicial se incremente
periódicamente, ya que se integra automáticamente al capital invertido para formar un
nuevo capital.
Lo anterior significa, que cuando los intereses de una operación financiera se pagan
periódicamente, se trata de Interés Simple, y sólo en el caso de que el pago de
intereses no se efectúen a su vencimiento y que se integren al capital inicial para
acrecentamiento, se trata de Interés Compuesto.
Interés simple
Como ya se dijo anteriormente, se llama interés simple al que, por el uso del dinero a
través de varios períodos de capitalización, no se cobra interés sobre el interés que se
debe. El interés simple se calcula usando el capital solamente, ignorando cualquier
interés que pueda haberse acumulado en períodos precedentes.
En el caso del interés simple, los intereses que van a pagarse en el momento de
devolver el préstamo son proporcionales a la longitud del período de tiempo durante el
cual se ha tenido en préstamo la suma principal. El total del interés puede calcularse
usando la relación.
Interés = (Capital) (Número de períodos) (Tasa de interés) = Pni
Interés = Pni
Ejemplo: Si usted solicita un préstamo de $ 29'750,000 en 3 años al 30.5% anual de
interés simple ;Cuánto dinero deberá al cabo de 3 años?
Calculo de Interés Simple:
(1)
fin de
año
0
1
2
3
(2)
Cantidad
prestada
$ 29’750,000
(3)
Interés
(4) = (2) + (3)
Cantidad
adecuada
(5)
Cantidad
pagada
$ 9’073,750
9’073,750
9’073,750
$ 38’823,750
47’897,500
56’971,250
0
0
$ 56’971,250
Cantidad a pagar = P + Pni = 29’750,000 + 29’750,000 (3)(0.305) = $ 56’971,250
INTERÉS COMPUESTO
Cuando se calcula el interés compuesto, el interés de un período es calculado sobre el
principal más la cantidad acumulada de interés ganados en períodos anteriores. Así, el
cálculo de interés significa “interés sobre interés” (esto refleja el efecto de el valor del
dinero en el tiempo sobre el interés también).
Ejemplo: Si usted presta $29'750,000 al 30.5% anual de interés compuesto calcule la
cantidad adecuada después de 3 años.
Año
1
Saldo al Inicio
Interés generado
de año
al 30.5% anual
29'750,000
(29’750,000) (.305)
= 9’073,750.00
2
38’823,750
3
50'664,993.75
(38'823,750) (.305)
Saldo al fin
de año.
38’823,750
= 11’841,243.75
50'664,993.75
(50'664,993.75) (.305) = 15'452,823.09
66'117,816.84
Por lo tanto si usted presta $ 29’750,000 al 30.5% de interés compuesto anual, deberá recibir en
pago al término del plazo $ 66’117,816.84.
2.4 Interés Nominal, Efectivo y Continuo.
Las tasas de interés nominal y efectiva se usan cuando el período de capitalización (o
período de interés) es menor que el período en que la tasa está dada. Así, cuando una
tasa de interés se expresa sobre un período de tiempo menor que un año, tal como 1%
mensual, los términos tasa de interés nominal y efectiva deben considerarse, si se
desea conocer, de una manera más exacta, el interés que se deberá pagar por un año.
Interés Nominal.
Un diccionario define la palabra “nominal” como aparente o pretendido. Estos
sinónimos implican que una tasa de interés nominal no es correcta, real, genuina o tasa
efectiva; por lo que:
Tasa de interés nominal (r): Es aquella tasa de interés aparente o pretendida. que
ignora el valor del dinero en el tiempo; por lo que la tasa de interés nominal ( r) es:
r = tasa de interés por período x número de períodos
Una tasa de interés nominal puede encontrarse para un período más largo que el
originalmente establecido. Por ejemplo, una tasa de interés del 1.5% mensual puede
expresarse como el 4.5% nominal trimestral (esto es 1.5% mensual X 3 meses del
trimestre), o 9% semestral, 18% anual, o 36% por dos años, etc. El cálculo de la tasa
de interés nominal evidentemente ignora el valor del dinero en el tiempo.
Interés Efectivo
Tasa de interés efectiva (i): Es aquella renta que realmente se cobra o se paga al
finiquitar el contrato de crédito. Considera el cambio del valor del dinero en el tiempo
dado que se establece en base al interés generado por el interés sobre interés.
El año es uno de los períodos de capitalización más usual en que se puede cobrar un
interés. Sin embargo, hay períodos mucho más cortos, en los cuales es posible ganar
interés. Estos períodos pueden ser semestrales, trimestrales, mensuales, de acuerdo
con sus necesidades. Cuando se presentan situaciones de este tipo, puede manejarse
varios conceptos respecto de las tasas de interés. Tómese una tasa de interés de 12%
anual para desarrollar tales conceptos, en los siguientes ejercicios:
a) Un banco paga a sus depositarios 12% de interés anual capitalizado cada año. En
este caso al 12% se le llama tasa nominal anual y/o tasa efectiva anual, puesto que
solo después de transcurrido un año es posible cobrar ese interés.
b) Un banco paga a sus depositarios 12% de interés anual capitalizado cada tres
meses. En este caso, 12% sigue siendo la tasa nominal anual, pero debido a que se
capitaliza en períodos menores a un año, existe una tasa efectiva por período
(trimestral, en este caso), y una tasa efectiva anual.
i
por período
r
 
m
en este caso, i efectiva trimestral = 0.12 = 0.03 ó 3% trimestral.
4
La tasa efectiva anual se obtiene cuando se aplica la siguiente fórmula:
m


r
i  1    1  100
 m 

donde:
r
Tasa de interés nominal
m
Número de veces que entra el período de capitalización en el período en que
está dada la tasa de interés nominal.
iefectivaanual
 .12  4 
 1 
  1  100  12.55%
4 


Obsérvese que el hecho de capitalizar en períodos menores de un año hace que la
tasa efectiva anual sea ligeramente mayor que la tasa nominal anual. Esto se debe a
que cuando se gana el interés, por ejemplo, en un trimestre, ya se tiene una cantidad
extra acumulada sobre la cual se vuelve a ganar nuevamente el interés.
Interés continuo
Este interés es un caso de interés efectivo, solo que se maneja para períodos de
capitalización muy cortos (día, la hora, etc.) ejemplos de esto es la cotización en la
bolsa.
A medida que el período de capitalización disminuye, el valor de m, número de
períodos de capitalización por período de interés aumenta. Cuando el interés se
capitaliza en forma continua, m se acerca a infinito y la formula de tasa de interés
efectiva puede escribirse de una nueva forma. Primero recuerde la definición de la base
del logaritmo natural.
h
 1
lim1    e
h
 h
Ahora, para el caso de que en la formula de interés efectivo determinada anteriormente
el valor de m tendiera a infinito, lo que permite definir a la tasa de interés
capitalizable continuamente como:
i = (er – 1) x 100
2.5 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS FLUJOS DE EFECTIVO
En cualquier tipo de entidad, ya sea física o moral, siempre se presenta el movimiento de dinero.
Una persona física cobra o percibe dinero por algún concepto, llámese sueldo, pensión,
comisión..., y entrega a alguna otra entidad (tiendas de autoservicio, zapatería, gobierno en el
pago de impuestos...) parte de ese dinero para poder subsistir. En las personas morales, es decir,
cualquier tipo de negocio formado por sociedades, el movimiento del dinero es más evidente.
Aquí se percibe dinero por la venta de bienes o servicios producidos y se entrega dinero a los proveedores de insumos, especialmente mano de obra, materiales y servicios, que hacen posible
producir bienes o servicios para el consumo de la sociedad en general.
Dado que la ingeniería económica tiene como objetivo analizar esos movimientos de dinero,
llamados formalmente flujos de efectivo, necesita herramientas, tanto gráficas como algebraicas,
para representar de manera clara y sencilla tales flujos de efectivo; independientemente del tipo
de entidad en la que se produzca, es decir, ya sea física o moral, la representación de los
movimientos de dinero debe ser similar, para facilitar su estudio y comprensión en ambos casos.
Es obvio que las entradas y salidas de efectivo se realizan en forma continua dentro de
las empresas, pero es práctica común por parte de los contadores hacer balances de
dinero periódicamente para que el dinero entregado o recibido durante cierto lapso
aparezca como una cantidad única al final de ese periodo.
Cada persona o compañía tiene ingresos de dinero (rentas) y pagos de dinero (costos) que ocurren
particularmente cada lapso o tiempo dado. Estos ingresos y pagos están dados en ciertos
intervalos de tiempo y se denomina Flujos de Efectivo. Un flujo de efectivo positivo usualmente
representa un ingreso y un flujo de efectivo negativo representa un pago o desembolso. En
cualquier instante de tiempo, el flujo de efectivo podría representarse como:
Flujo Neto de Efectivo = entradas - desembolsos
Un flujo de efectivo normalmente toma lugar en diferentes intervalos de tiempo dentro de un
período de interés, un supuesto para simplificar es el de que todos los flujos de efectivo ocurren al
final de cada período de interés. Esto se conoce como convención fin de período. Así, cuando
varios ingresos y desembolsos ocurren en un período dado, el flujo neto de efectivo se asume que
ocurre al final de cada período de interés. Sin embargo, puede entenderse que aún cuando las
cantidades de dinero F o A son siempre consideradas que ocurren al fin de cada período de
interés, esto no significa que el fin de cada período es diciembre 31. Esto es, al final de cada
período significa un período de tiempo desde la fecha de la transacción (sin importar si es ingreso
o egreso) hasta su término.
Un diagrama de flujo de caja es simplemente una representación gráfica de un flujo de efectivo
en una escala de tiempo. El diagrama representa el planteamiento del problema y muestra que es
lo dado y lo que debe encontrarse. Es decir que, después de que el diagrama de flujo de caja es
dibujado, el observador está en capacidad de resolverlo mirando solamente el diagrama. Al
tiempo se le representa como una línea horizontal. El inicio del periodo siempre se ubica en el
extremo izquierdo y el final en el extremo derecho de la línea. La fecha “0” es considerada el
presente y la fecha “1” es el final del período 1.Los flujos de efectivo estarán representados por
flechas, con la punta hacia arriba o hacia abajo, según sea positivo o negativo el flujo con
respecto a la entidad analizada.
La escala de tiempo de la figura 2.1 está basada en 5 años. En vista de que se asume
que el flujo de efectivo ocurre solamente al final de cada año, solamente se deben
considerar las fechas marcadas como 0, 1, 2, ..... 5.
La dirección de las flechas en el diagrama de flujo de caja es importante para la solución del
problema. Por lo que una flecha hacia arriba indicará un flujo de efectivo positivo. Inversamente,
una flecha hacia abajo indica un flujo de efectivo negativo. El diagrama de la figura 2.2 ilustra un
ingreso (renta) al final del 1er. período 1 y un egreso al final del 2do. período 2.
Es importante entender el significado y la construcción del diagrama del flujo de caja, en vista de
que es una herramienta valiosa en la solución de problemas.
Año 1
0
Año 5
1
2
3
4
5
Figura 2.1 Escala de tiempo típica para flujos de efectivo.
+
Flujo de Efectivo $
1
-
2
3
Tiempo
Figura 2.2 Ejemplo de flujo de efectivo positivo y negativo.
Los símbolos y su significado:
Las relaciones matemáticas usadas en la ingeniería económica emplea los siguientes
símbolos:
P = Valor o suma de dinero en un tiempo denominado presente; dólares, pesos etc.
F = Valor o suma de dinero en algún tiempo futuro; dólares, pesos, etc.
A = Una serie consecutiva, igual de dinero al final de cada período; dólares por mes, pesos por año,
n =
i =
etc.
Número de períodos; meses, años, etc.
Tasa de interés por período, porcentaje por mes, porcentaje por año, etc.
Los símbolos P y F representan valores sencillos que ocurren una sola vez en el tiempo, A ocurre
en cada período por un número específico de períodos con el mismo valor. Puede entenderse que
una suma presente P representa una suma única de dinero a alguna fecha anterior a una suma
futura o una cantidad uniforme y por consiguiente no necesariamente localizada en t = 0 (tiempo
cero). Las series representadas por A, deben ser uniformes (los valores de dinero deben ser los
mismos en cada período) y deben extenderse a través de períodos consecutivos. Ambas
condiciones deben existir para que estos valores puedan ser representados por A. Puesto que n es
común mente expresado en años o meses, A es expresada usualmente en unidades monetarias por
año o unidades monetarias por mes, respectivamente. La tasa de interés compuesta i es expresada
en porcentajes por período, por ejemplo 5% por año. Excepto cuando se dice otra cosa, esta tasa
se aplica a lo largo de un período entero de un año.
Todos los problemas de ingeniería económica deben incluir por lo menos cuatro de los símbolos
arriba anotados y conocer por lo menos tres de ellos.
Ejemplo: Supóngase que una persona depositó $ 1 000 en el banco el 1º de enero del 2000 y
pudo retirar $1750 el 31 de diciembre de 2002. La representación de ese hecho, desde el punto de
vista de la persona que deposita, se ilustra en la Fig. 2.3.
$ 1 750
0
1
2
3
2000
2001
2002
Figura 2.3
$ 1 000
P
F
El momento en que la persona deposita o inicio del periodo de análisis, 1º de enero del
2000 en el ejemplo, se designa como el presente o, simplemente, P. El momento del
retiro del dinero o fin del periodo de análisis, 31 de diciembre del 2002, se designa
como futuro, o F. Obsérvese que son tres años completos los que permanece el dinero
depositado, los que aparecen numerados en la parte superior de la línea de tiempo. En
ingeniería económica no es usual representar al tiempo con los años calendario sino
simplemente como periodo de tiempo, por lo que al presente corresponde el periodo
cero.
En la pasada gráfica se ejemplifica el punto de vista del ahorrador en el momento del
depósito, y aparece una flecha hacia abajo o salida de dinero para él. Lo contrario sucede en el momento del retiro. Desde el punto de vista del banco que recibe el
$ 1 000
0
1
2
3
Figura 2.4
$ 1 750
depósito, la gráfica sería:
Por lo anterior, cabe mencionar que un problema puede ser representado desde
cualquier punto de vista, lo cual no influye en el resultado numérico pero sí en la
decisión que pueda tomarse.
EJERCICOS
1. Supongamos que usted a desarrollado el siguiente plan de inversión: Invertir $ 500
ahora y así sucesivamente hasta el año 10, retirar $ 300 anualmente comenzando
dentro de 5 años a partir de hoy y haciéndolo durante 8 años consecutivos. Dibuje
los flujos netos de efectivo.
2. Su tío ha acordado depositarle en una cuenta de ahorros $ 700 anuales durante los
próximos 5 años empezando ahora. A la vez, usted a acordado no retirar ningún
dinero sino hasta el final del año 9, cuando retirará $ 3,000 de la cuenta.
Adicionalmente usted planea retirar la cantidad restante en tres cuotas iguales de fin
de año, después del retiro inicial. Dibuje los flujos de efectivo de su tío y para usted.
3. ¿Cuánto dinero se acumulará en 6 años si una persona deposita 500 hoy e
incrementa este deposito en $ 50 anuales durante los próximos 6 años?. Asuma
que i es 16% anual y dibuje el diagrama de flujo de caja.
4. ¿Qué pago uniforme durante 8 años comenzando un año a partir de la fecha sería
equivalente a gastar hoy $ 4,500, $ 3,300 dentro de 3 años y $ 6,800 dentro de 5
años, si la tasa de interés es 8% anual?. Defina los símbolos económicos y dibuje el
diagrama de flujo de caja.
2.6
2.6.1
DERIVACIÓN DE FORMULAS Y FACTORES CONSIDERANDO CAPITALIZACIÓN DISCRETA.
Determinación de Flujos Únicos.
Si se invierte una cantidad P, ahora con la cantidad producida por una tasa de i por un año ¿cuál será el principal y el
interés que se han acumulado después de n años?. El diagrama de flujo para este acuerdo financiero aparece en la
figura 2.5:
F
1
2
3
4
n-1 n
P
Figura 2.5. Cantidad única presente y cantidad única futura
Desarrollo de un factor de pago único compuesto.
Año
1
2
3
:
n
Cantidad al comienzo
del año
P
P(1+i)
P(1+i)2
:
P(1+i)n-1
Interés devengado durante
el año
Pi
P(1+i) i
P(1+i)2 i
:
P(1+i)n-1 i
Cantidad compuesta
al final del año
P + Pi
= P(1+i)
P(1+i) + P(1+i) i
= P(1+i)(1+i)
P(1+i)2 + P(1+i)2 i = P(1+i)(1+i)(1+i)
:
P(1+i)n-1 + P(1+i)n-1 i = P(1+i)n = F
Por lo que el valor futuro y presente equivalente de una cantidad que cambia su valor a
una tasa i durante n años es:
F  P1  i 
n
y
P
1  i n
Respectivamente.
2.6.2
F
Serie de Flujos Uniformes y su relación con el Presente y el Futuro.
Para determinar la equivalencia en el futuro de una serie uniforme de flujos de efectivo, es necesario introducir una
nueva variable, la cual denotamos por A.
A = Representa el flujo neto al final del período, el cual ocurre durante n períodos.
F
0
1
A
2
A
3
A
4
n-3
A
A
n-2
A
n-1
A
n
P
=
n
0
A’s
A
(1) F = A + A(1+i)1 + A(1+i)2 + A(1+i)3 + .... + A(1+i)n-1
Multiplicando por (1+i)
(2) F(1+i) = A(1+i)1 + A(1+i)2 + A(1+i)3 + .... + A(1+i)n-1 + A(1+i)n
(3) F (1+i) = A[(1+i)1 + (1+i)2 + (1+i)3 + .... + (1+i)n-1 + (1+i)n]
Restando (3) – (1)
F(1+i) – F = - A + A(1+i)n
Desarrollando ambos lados:
F + Fi – F = A [-1 +(1+i)n]
F = A [-1 + (1+i)n]
i
Por lo que el valor futuro equivalente (F) de una serie de flujos uniformes, que se da
durante n períodos con un factor de cambio de valor del dinero a través del tiempo i, se
puede determinar mediante la formula:
 1  i n  1
F  A

i


Por despeje, encontramos la formula para obtener una anualidad a partir de un valor
futuro conocido, como:


i
A  F

n
 1  i   1
Para determinar la equivalencia en el presente de una serie uniforme de flujos de efectivo; dado que F = P(1+i)n ;
entonces:
 1  i n  1
n
P1  i   A

i


Despejando P
 1  i n  1  1 
P  A

n 
i

  1  i  
Por lo que el valor presente equivalente (P) de una serie de flujos uniformes, que se da
durante n períodos con un factor de cambio de valor del dinero a través del tiempo i, se
puede determinar mediante la formula:
 1  i n  1
P  A
n 
 i 1  i  
Por despeje, encontramos la formula para obtener una anualidad a partir de un valor
presente conocido, como:
 i 1  i n 
A  P

n
 1  i   1
Ejemplo:
1. Si en una cuenta de ahorros que paga el 30% anual se depositan $ 10’000,000
anuales durante 5 años. ¿qué cantidad acumulada al final del año 10 tendrá, si el
primer deposito se hizo al final del año 1?
F
1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10’000,000
Primer curso: Llevar los flujos al final del año 10.
 1  i n  1
F5  A

i


F10  P1  i 
n
 1  .35  1
 10'000,000
  $ 90'431,000
.3


 90'431,0001  .3  $ 335'763,972.8
5
Segundo curso: Traer todos los flujos al presente y posteriormente encontrar su valor
equivalente al final del año 10.
 1  i n  1
P  A
n 
 i1  i  
 1  .35  1
 10'000,000
 $ 24'355,697.52
5 
 i1  .3 
F10  24'355,697.521  .3  $ 335'763,972.8
10