GUÍA dIdÁctIcA dEL docEntE Olga Saiz Maregatti Profesora de Matemática Viktor Blumenthal Gottlieb Licenciado en Ciencias, mención Matemática INTRO GUIA MAT 3M (001-023).indd 1 2/11/11 16:50:29 © Matemática 3º Medio Autores Olga Saiz Maregatti Profesora de Matemática. Pontificia Universidad Católica de Chile. Viktor Blumenthal Gottlieb Licenciado en Ciencias, mención Matemática. Pontificia Universidad Católica de Chile. 2012 Ediciones Cal y Canto N˚ de Inscripción: 200.152 ISBN: 978-956-339-004-9 ® Director Editorial Gerente Editorial Editora a cargo Colaboración Corrector de pruebas y estilo Diseño Diagramación Digital Fotografías Jefe de Producción Asistente de Producción Jorge Muñoz Rau Alicia Manonellas Balladares Alicia Manonellas Balladares Myriam Baeza Reyes Alejandro Cisternas Ulloa Vladimir Ferro González María Jesús Moreno Guldman David Maldonado Cid Banco de Fotos de Ediciones Cal y Canto Cecilia Muñoz Rau Lorena Briceño González Impreso en RR Donnelley. El presente libro no puede ser reproducido ni en todo ni en parte, ni archivado, ni transmitido por ningún medio mecánico, electrónico, de grabación, CD-Rom, fotocopia, microfilmación u otra forma, sin la autorización escrita del editor. Se terminó de reimprimir XXXXXX ejemplares en el mes de XXXXX de 20XX. INTRO GUIA MAT 3M (001-023).indd 2 2/11/11 16:50:29 Presentación de la Guía Didáctica La presente Guía Didáctica pretende ser un elemento facilitador y un respaldo a su labor docente. En esta guía usted podrá conocer y entender la estructura y la propuesta didáctica por las que se optaron para organizar el conjunto de los OF/ CMO, y el tiempo previsto para el desarrollo de cada unidad. Además, le entregará apoyo didáctico para que pueda desarrollar diversas técnicas, estrategias y procedimientos que le permitan fomentar el trabajo autónomo de sus estudiantes. Presenta información teórica para apoyar el desarrollo de contenidos curriculares nuevos o de mayor complejidad; vincula, a través de una tabla, los contenidos y las actividades propuestas en el Texto del Estudiante, en relación con los aprendizajes que se espera logren los estudiantes; entrega sugerencias metodológicas que permiten enriquecer los aprendizajes de sus estudiantes y que dan respuesta a la diversidad y a distintos ritmos de aprendizaje. También podrá encontrar en ella instrumentos que le ayudarán a reflexionar acerca de su labor docente. En el inicio de cada unidad se presentan los objetivos fundamentales, verticales y transversales que orientan el tratamiento de los contenidos. Luego, en el desarrollo encontrará: •Los aprendizajes esperados que lo orientan y los contenidos que se trabajan. •Sugerencia del tiempo que se le puede asignar. •Las conexiones con los contenidos de otros niveles. •La secuencia que se utilizó para el tratamiento de los contenidos en el Texto del Estudiante y una propuesta de secuencia alternativa con indicaciones generales. •Mapas conceptuales para visualizar los conceptos fundamentales y sus relaciones. •Comentarios respecto de los contenidos y actividades. •Actividades propuestas para el tratamiento de los OFT. •Los errores en que suelen incurrir los estudiantes, indicando el posible déficit y proponiendo estrategias que permitan evitar o subsanar dichos errores. •Actividades de refuerzo y descripción de lo que se pretende reforzar con cada una. También se presentan actividades de profundización, ambas con sus respectivas soluciones. Su propósito es dar respuesta a los distintos ritmos de aprendizaje de los estudiantes, ya que han sido diseñadas para ser trabajadas en forma individual. •Referencias a diferentes páginas web, algunas para que amplíe y actualice sus conocimientos en relación con diferentes contenidos, y otras con ejercicios que pueden ser utilizados para evaluar el aprendizaje de los estudiantes en los temas que se indican. •Bibliografía sugerida para el tratamiento de la unidad con diversas páginas web como complemento al estudio y a la ejercitación, indicando los contenidos correspondientes. Además de algunos textos que serán de utilidad para los contenidos de la unidad. Al final de esta guía encontrará, también, las respuestas a los ejercicios, problemas, actividades y evaluaciones planteadas en la misma. Estimado docente, hemos diseñado esta Guía Didáctica intentando dar respuesta a todos sus requerimientos y necesidades dentro del aula, con el objetivo de que las orientaciones que en ella se entregan le permitan abordar y utilizar adecuada y creativamente el Texto del Estudiante como un recurso efectivo e indispensable en su labor diaria. Los editores. 3 INTRO GUIA MAT 3M (001-023).indd 3 2/11/11 16:50:29 Índice •Presentación de la Guía Didáctica................................................................................3 •Índice.......................................................................................................................................4 •Introducción.........................................................................................................................6 •Estructura del texto............................................................................................................8 •Resolución de problemas, eje transversal del subsector................................... 10 •Objetivos Fundamentales Transversales................................................................. 11 •Sugerencias para atender la diversidad y distintos ritmos de aprendizaje.................................................................................. 12 •La informática educativa en el sector curricular de Matemática.................... 16 •Aplicación práctica de la informática educativa al sector matemático....... 18 Unidad 1: Raíces y función raíz cuadrada Presentación de la Unidad.............................................................................................. 24 Planificación de la Unidad............................................................................................... 26 Desarrollo de la Unidad................................................................................................... 27 Errores frecuentes.............................................................................................................. 39 Síntesis de la Unidad......................................................................................................... 40 • Actividades de refuerzo (Material fotocopiable)................................................ 41 • Ficha de refuerzo (Material fotocopiable)............................................................ 43 • Actividades de profundización (Material fotocopiable).................................. 44 Instrumentos de evaluación........................................................................................... 45 Evaluaciones........................................................................................................................ 49 Solucionario de la Unidad............................................................................................... 54 Bibliografía y detalle de links de la Unidad............................................................... 56 Bibliografía temática......................................................................................................... 57 Sitios web sugeridos......................................................................................................... 57 Unidad 2: Ecuaciones cuadráticas y función cuadrática Presentación de la Unidad.............................................................................................. 58 Planificación de la Unidad............................................................................................... 60 Desarrollo de la Unidad................................................................................................... 62 Errores frecuentes.............................................................................................................. 85 Síntesis de la Unidad......................................................................................................... 86 • Actividades de refuerzo (Material fotocopiable)................................................ 87 • Ficha de refuerzo (Material fotocopiable)............................................................ 90 • Actividades de profundización (Material fotocopiable).................................. 91 Instrumentos de evaluación........................................................................................... 92 Evaluaciones........................................................................................................................ 95 Solucionario de la Unidad.............................................................................................101 Bibliografía y detalle de links de la Unidad.............................................................104 Bibliografía temática.......................................................................................................104 Sitios web sugeridos.......................................................................................................105 4 INTRO GUIA MAT 3M (001-023).indd 4 2/11/11 16:50:29 Int rod u cc i ón Unidad 3: Desigualdades e inecuaciones Presentación de la Unidad............................................................................................106 Planificación de la Unidad.............................................................................................109 Desarrollo de la Unidad.................................................................................................110 Síntesis de la Unidad.......................................................................................................124 • Actividades de refuerzo (Material fotocopiable)..............................................125 • Ficha de refuerzo (Material fotocopiable)..........................................................130 • Actividades de profundización (Material fotocopiable)................................131 Instrumentos de evaluación.........................................................................................132 Evaluaciones......................................................................................................................135 Solucionario de la Unidad.............................................................................................144 Bibliografía y detalle de links de la Unidad.............................................................148 Bibliografía temática.......................................................................................................149 Sitios web sugeridos.......................................................................................................149 Unidad 4: Algo más sobre triángulos rectángulos Presentación de la Unidad............................................................................................150 Planificación de la Unidad.............................................................................................152 Desarrollo de la Unidad.................................................................................................153 Errores frecuentes............................................................................................................164 Síntesis de la Unidad.......................................................................................................165 • Actividades de refuerzo (Material fotocopiable)..............................................166 • Ficha de refuerzo (Material fotocopiable)..........................................................171 • Actividades de profundización (Material fotocopiable)................................172 Instrumentos de evaluación.........................................................................................173 Evaluaciones......................................................................................................................176 Solucionario de la Unidad.............................................................................................188 Bibliografía y detalle de links de la Unidad.............................................................192 Bibliografía temática.......................................................................................................193 Sitios web sugeridos.......................................................................................................193 Unidad 5: Probabilidades... un paso más Presentación de la Unidad............................................................................................194 Planificación de la Unidad.............................................................................................196 Desarrollo de la Unidad.................................................................................................197 Errores frecuentes............................................................................................................215 Síntesis de la Unidad.......................................................................................................216 • Actividades de refuerzo (Material fotocopiable)..............................................217 • Ficha de refuerzo (Material fotocopiable)..........................................................226 • Actividades de profundización (Material fotocopiable)................................227 Instrumentos de evaluación.........................................................................................228 Evaluaciones......................................................................................................................231 Solucionario de la Unidad.............................................................................................247 Bibliografía y detalle de links de la Unidad.............................................................251 Bibliografía temática.......................................................................................................253 Sitios web sugeridos.......................................................................................................253 Bibliografía temática...............................................................................254 5 INTRO GUIA MAT 3M (001-023).indd 5 2/11/11 16:50:30 Introducción Para todos a quienes nos ha tocado la misión de educar, se hace imprescindible durante el ejercicio de nuestra profesión cuestionarse cuál es la mejor manera de conducir a nuestros estudiantes para que logren aprender lo que les queremos enseñar. Entonces, y como escucháramos tantas veces en las aulas de las universidades que nos formaron, vuelven a surgir aquellas preguntas fundamentales: ¿para qué enseñamos?, ¿qué enseñamos?, ¿cuál es la mejor forma de entregar aquello que sabemos y que queremos que otros aprendan?, ¿quiénes son aquellos que tenemos frente a nosotros en la sala de clases?, etc. Sin duda, cada una de las respuestas a estas preguntas tendrán similitudes y diferencias dependiendo del profesor que las conteste, del área que se enseñe, del tipo colegio en el que se trabaje y, sin duda, de cada estudiante que se nos haya encargado conducir, sabiendo que cada uno de ellos es una persona única e irrepetible que se nos ha encomendado. Desde este punto de vista, pretender escribir un libro que reúna las respuestas de todos los profesores de Matemática de Chile sería una idea ambiciosa e imposible. Por tanto, pretendemos ser sólo una ayuda para su trabajo en el aula, una guía de trabajo donde se oriente a los estudiantes en el desarrollo de ciertos temas y su aplicación a la vida diaria, una propuesta que comparte la experiencia educativa de años de trabajo en el aula. Bajo esta perspectiva, debemos destacar algunas directrices que han guiado nuestro trabajo y que son el fundamento que lo ha iluminado: •El acto educativo debe tratar a cada uno según sus aptitudes. No hay aprendizaje efectivo que no parta de alguna necesidad o interés del alumno. (Paradigma “La escuela nueva”, Odisea. (Revista electrónica de pedagogía. Artículo: “Corrientes pedagógicas contemporáneas”Autor: MC. Héctor Cerezo Huerta). Desde esta arista, el libro pretende situar a los estudiantes en problemas cotidianos que puedan ser de su interés para generar la necesidad de los nuevos conocimientos. Cada sección del libro está introducida por un problema al que se da solución más adelante, cuando ya se han adquirido los conocimientos necesarios. Las actividades están desarrolladas de manera de respetar el ritmo de aprendizaje de los estudiantes; existen actividades de refuerzo; de trabajo; de profundización. Actividades individuales y grupales. El trabajo grupal da la posibilidad de contribuir al aprendizaje de los pares, de recrear en una escala menor el escenario en que se encontrarán a futuro. Es importante que experimenten que las habilidades y aptitudes de cada uno aportan a que el trabajo grupal sea eficiente y eficaz. •Lo que se genera en la cognición humana es producto de una combinación de sentimientos, prejuicios y juicios, procesos inductivos y deductivos, esquemas y asociaciones, representaciones mentales, que juntos nos dan elementos para resolver nuestros problemas. (Enfoque constructivista, Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad Juárez, Chihuahua. México, Universidad Pedagógica Nacional - Unidad 082). 6 INTRO GUIA MAT 3M (001-023).indd 6 2/11/11 16:50:30 •El conocimiento sobre la propia cognición implica ser capaz de tomar conciencia del funcionamiento de nuestra manera de aprender y comprender los factores que explican el porqué los resultados de una actividad puedan ser positivos o negativos (Aprender a aprender, Carles Dorado P., Universidad Autónoma de Barcelona). Int rod u cc i ón El desarrollo de cada contenido en el Texto del Estudiante y en la Guía Didáctica del Docente está trabajado en forma deductiva, tratando de dar las herramientas para que exista desarrollo del pensamiento lógico, que hagan las asociaciones necesarias y logren resolver los problemas que allí se plantean. Los estudiantes son constructores de su futuro y lo harán en la medida en que puedan resolver problemas de manera libre, analizando todos los factores posibles y ponderando las consecuencias de sus decisiones. El desarrollo de este texto ha privilegiado un espacio donde cada estudiante pueda reflexionar acerca de su propio aprendizaje. Al final de cada sección, el estudiante tiene la posibilidad de contestar algunas preguntas donde revisa su aprendizaje y el proceso que ha realizado para adquirirlo. También es importante que cada vez que haya tenido dudas, vuelva a revisar, repasar y preguntar lo que no ha aprendido bien. •Las TIC pueden usarse como herramienta de trabajo intelectual por parte del estudiante; le sirven para expresarse, para explorar y para comunicarse. (Ferrán Ruiz Tarragó, “Necesidades docentes en el uso de TIC en el aula”, Mayo 2008, Fundación Chile). "Ningún sistema educacional escapa de las influencias y nuevas tendencias digitales y de las comunicaciones" (Mario Leyton, Premio Nacional de Educación 2009). Teniendo en cuenta los avances tecnológicos, se hace necesario que se incorporen las nuevas tecnologías en los laboratorios de computación y se trabaje con herramientas como programas computacionales, planillas electrónicas, calculadoras, sitios de Internet, etc. Nuestro proyecto propone el uso de estas TIC para el trabajo de las unidades; es bueno que cada estudiante tenga acceso a varias fuentes de información. •La matemática es el alfabeto con el que Dios ha escrito el universo. (Galileo Galilei). La matemática no solo es una ciencia exacta que desarrolla el pensamiento lógico de los estudiantes. No solo es el “estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas”. El prisma con el que se quiere mirar el estudio de esta área, en este libro, es aquel que hace que la matemática explique el mundo que rodea a nuestros estudiantes y dé también la posibilidad de que cada uno de ellos se interese por estudiarla y verla como una ciencia. La matemática es una disciplina que puede ser alcanzada por todos. La educación es un acto de amor hacia los estudiantes, donde ambos actores aprenden no sólo la disciplina que se estudia. Invitamos a cada uno de los profesores y profesoras a trabajar con este libro, a creer y crear en y con sus estudiantes, a reflexionar, pensar, jugar y aprender. 7 INTRO GUIA MAT 3M (001-023).indd 7 2/11/11 16:50:30 8 INTRO GUIA MAT 3M (001-023).indd 8 2/11/11 16:50:31 Int rod u cc i ón 9 INTRO GUIA MAT 3M (001-023).indd 9 2/11/11 16:50:31 Resolución de problemas, eje transversal del subsector Matemáticas que sí pueden ser entretenidas Dentro del “Proyecto de mejoramiento de la enseñanza de Matemática con asistencia técnica de Japón”(CPEIP), Chile recibió a tres académicos nipones, quienes han mostrado sus métodos de enseñanza a profesores de nuestro país. Testimonio pedagógico Profesores japoneses ofrecen didáctica clase de matemáticas en U. Católica de Valparaíso Alumnos de séptimo básico de la Escuela Gaspar Cabrales de Valparaíso participaron de la clase que ofreció el investigador en didáctica de la Universidad de Tsukuba, Takao Seiyama. H 10/10/2008 abía que romper la barrera del idioma y crear un ambiente de confianza. Para eso, el profesor Seiyama inició la clase con un juego: un entretenido desafío matemático donde el maestro y los alumnos competirían por quién se quedaba con el último de los trece “dulces”dibujados en la pizarra. Imposible para la audiencia, más de 30 alumnos y 200 profesores básicos, mantenerse ajena a la lúdica lección con que el experto en didáctica inauguraba la jornada en la Pontificia Universidad Católica de Valparaíso. Fue la clase demostrativa impartida por el profesor Takao Seiyama, investigador de la universidad japonesa de Tsukuba, quien se reunió con un grupo de estudiantes de séptimo básico de la Escuela Gaspar Cabrales de Valparaíso, y presentó ante docentes de la región las estrategias aplicadas en el aula para un mejor aprendizaje de las matemáticas. Dispuestos en grupos de cuatro, los niños resolvieron junto al académico una serie de problemas matemáticos, específicamente fracciones. En el transcurso del taller, los escolares y el educador descubrieron diferencias en las formas de resolver los planteamientos y buscaron formas comunes para llegar a la solución. La sesión fue presenciada por más de doscientos profesores y estudiantes de pedagogía de distintos puntos del país, quienes se reunieron el 9 de octubre en el Aula Media de la Facultad de Ingeniería de la Católica de Valparaíso. Sieyama afirmó que, aunque no ha podido asistir a una clase de matemáticas en Chile, sabe que es un sistema tradicional en el que el educador explica los contenidos a los niños y casi no existe interacción con ellos. “Para mejorar la enseñanza es necesario construir las lecciones junto con los alumnos, para que ellos participen, y más importante aún es que los estudiantes puedan explicarse entre ellos, utilizando su propio lenguaje”, dijo el docente. Métodos para imitar “Fue entretenida y dinámica. Aprendí hartas cosas que en el colegio me costaban”. Así describió su experiencia Camila March, alumna de la Escuela Gaspar Cabrales, quien asistió a la clase demostrativa de matemáticas que dictó el profesor Seiyama. “La capacidad de aprender y el entusiasmo es el mismo en todo el mundo”, manifestó el investigador japonés al término de la clase y afirmó que el único obstáculo para enseñar a niños chilenos es la diferencia de idioma. Consultas entre los compañeros, el profesor desplazándose por la sala de clases, un ayudante apoyando el trabajo del maestro, humor, ensayo y error, contacto visual. Eso es parte de lo que se vio en la clase demostrativa. La concentración y el entusiasmo se extendieron hasta después de finalizada la clase, porque los estudiantes continuaron consultando a los profesores japoneses nuevos ejercicios. No hubo espacio para la timidez. http://www.latercera.cl/contenido/28_61332_9.shtml Reconocemos esta propuesta como la tendencia pedagógica que nos convoca y desde la cual queremos invitar a los docentes y a la comunidad escolar en general a descubrirla y aplicarla. Tanto la metodología propuesta en el Texto del Estudiante, como el tratamiento didáctico de esta Guía para el Docente, apuntan en esta dirección y será un buen complemento en pos de la consecución de esta nueva mirada que hoy permite a los estudiantes ser actores reales de sus aprendizajes. 10 INTRO GUIA MAT 3M (001-023).indd 10 2/11/11 16:50:31 Los Objetivos Fundamentales Transversales (OFT) definen finalidades generales de la educación referidas al desarrollo personal y a la formación ética e intelectual de los estudiantes. Cada sector o subsector de aprendizaje, en su propósito de contribuir a la formación para la vida, conjuga en un todo integrado e indisoluble el desarrollo intelectual con la formación ético-social de los estudiantes. De esta forma se busca superar la separación que en ocasiones se establece entre la dimensión formativa y la instructiva. Los programas están construidos sobre la base de contenidos programáticos significativos que tienen una carga formativa muy importante, ya que en el proceso de adquisición de estos conocimientos y habilidades, los estudiantes establecen jerarquías valóricas, formulan juicios morales, asumen posturas éticas y desarrollan compromisos sociales. Los Objetivos Fundamentales Transversales definidos en el marco curricular nacional (Decreto Nº 220) corresponden a una explicitación ordenada de los propósitos formativos de la Educación Media en cuatro ámbitos: •Crecimiento y Autoafirmación Personal. •Desarrollo del Pensamiento. •Formación Ética. •Persona y Entorno. Int rod u cc i ón Objetivos Fundamentales Transversales •Los OFT del ámbito Crecimiento y Autoafirmación Personal referidos al interés y capacidad de conocer la realidad y utilizar el conocimiento y la información. •Los OFT del ámbito Desarrollo del Pensamiento, en especial los relativos a habilidades de investigación y de modelamiento matemático de situaciones y fenómenos, a través de las actividades que suponen selección y organización de información y datos; las de resolución de problemas y de pensamiento lógico, a través del conjunto de contenidos y actividades orientados al aprendizaje de algoritmos o procedimientos rutinarios, así como a la aplicación de leyes y principios, por un lado, y de generalización a partir de relaciones observadas, por otro. El desarrollo del pensamiento probabilístico contribuye a tomar decisiones fundamentadas en situaciones sociales. •Los OFT del ámbito Persona y su Entorno referidos al trabajo, y que plantean el desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia, así como de flexibilidad, originalidad y asunción del riesgo, y las capacidades de recibir y aceptar consejos y críticas. •A través de los problemas por resolver matemáticamente, es posible ampliar el trabajo de los OFT con los estudiantes para el desarrollo de su capacidad de juicio, y la aplicación de criterios morales a problemas del medio ambiente, económicos y sociales. Junto a lo señalado, el programa invita al desarrollo de actividades pedagógicas que ponen en práctica los valores y orientaciones éticas de los OFT, así como sus definiciones sobre habilidades intelectuales y comunicativas. Además, el programa se hace cargo de los OFT de Informática, incorporando en diversas actividades y tareas la búsqueda de información a través de redes de comunicación, empleo de softwares y la selección de sitios en Internet. Fuente: Extraído del Programa de Estudio, Tercer Año Medio, Formación General Educación Media, Unidad de Curriculum y Evaluación. 11 INTRO GUIA MAT 3M (001-023).indd 11 2/11/11 16:50:31 Sugerencias para atender la diversidad y distintos ritmos de aprendizaje Como bien sabemos, los estudiantes son diferentes en sus ritmos de trabajo, estilo de aprendizaje, conocimientos previos, experiencias, etc., lo que condiciona todo proceso de enseñanza-aprendizaje. Esto lo sitúa, como docente, en la necesidad de educar en y para la diversidad. La respuesta a la diversidad de los estudiantes debe garantizarse desde el mismo proceso de planificación educativa, ya que es el profesor o la profesora, en cada caso particular, quien debe plasmarla en estrategias concretas, vista la realidad de los estudiantes que tiene en cada grupo-curso. En este sentido, se han de diseñar actividades de enseñanza/aprendizaje de diferente grado de dificultad, de manera que pueda existir una cierta adaptación a las diferencias individuales respecto del aprendizaje. El Marco Curricular nos presenta los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios, que corresponden a cada nivel de enseñanza; los Programas de Estudio nos presentan las orientaciones para la enseñanza de cada sector de aprendizaje, pero nos dan la flexibilidad de adaptar o modificar algunos elementos, siempre que se logre alcanzar las metas propuestas. A continuación se proponen algunas medidas relacionadas con la planificación que sirven para atender las diferencias que pueden presentar los estudiantes por diversas circunstancias. La adaptación curricular consiste en la modificación de algunos o de todos los elementos del currículo. Los estudiantes alcanzarán las capacidades previstas para su etapa educativa aunque se modifique el resto de los elementos curriculares: contenidos, metodología, recursos didácticos o evaluación. Se cambian los caminos, pero se alcanza la meta propuesta. Objetivos y contenidos Según los objetivos que se pretenden, se seleccionan y jerarquizan los contenidos más apropiados. A través de objetivos y de contenidos, se podrá favorecer el desarrollo individual de cada estudiante en función de sus características personales, y ofrecerles la atención educativa más conveniente. Por esto es importante considerar, respecto de los objetivos: •Que posibiliten el desarrollo de todo tipo de capacidades (cognitivas, motrices, de equilibrio personal, de relación interpersonal y de actuación e inserción social...) en similar medida y se valore equilibradamente el desarrollo de todas ellas. •Que posibiliten diferentes niveles de logro de los aprendizajes y que sean adecuados para todos los estudiantes del aula. •Que se definan con claridad y precisión los objetivos mínimos de cada una de las Unidades Didácticas y los criterios de evaluación. Respecto de los contenidos seleccionados: •Que sirvan a todos los estudiantes del grupo para alcanzar los objetivos propuestos. •Que sean significativos y que conciernan a su realidad. •Que se definan con claridad y precisión los contenidos mínimos para cada una de las Unidades Didácticas. Estrategias metodológicas La metodología ha de ser coherente con los objetivos que se pretenden y con los contenidos que se trabajen. Esta debe ser variada, combinar la exposición del docente (cuando se estime necesaria) con la actividad individual del estudiante y con las tareas en equipo, además debe utilizar distintos recursos 12 INTRO GUIA MAT 3M (001-023).indd 12 2/11/11 16:50:32 Respecto de la metodología, se debe procurar: •Planificar actividades para determinar cuáles son los conocimientos previos de todos los estudiantes antes de iniciar un nuevo proceso de enseñanza- aprendizaje. •Tener en cuenta los intereses de los estudiantes en la planificación y desarrollo de la propuesta de enseñanza-aprendizaje y la funcionalidad de los aprendizajes. •Ir cambiando las situaciones y actividades o, en una misma situación, plantear diferentes tipos de actividades para hacer lo posible por adaptarse a los distintos estilos y motivaciones de los estudiantes. •Propiciar la actividad externa (manipulación, juego, experimentación, verbalización, etc.) y la actividad interna de reflexión sobre lo realizado (confrontación de los conceptos previos con lo que sucede en la realidad conocida, elaboración de conclusiones, recopilación de lo aprendido, análisis del avance producido desde las ideas previas, etc.). •Plantear aprendizajes interactivos que permitan establecer relaciones de comunicación eficaces en el seno del grupo y entre estudiantes y docente. •Crear un clima de respeto, tolerancia y valoración entre los estudiantes, donde la cooperación destaque sobre la competitividad. •Llevar a cabo en un mismo tiempo actividades distintas dentro de un aula y planificar y desarrollar actividades para realizar en gran grupo, grupo pequeño, por parejas, individualmente, etc. •Cuidar que todos y cada uno de los estudiantes avance y experimente éxitos. •Utilizar en el aula refuerzos diversos y adecuados para los estudiantes. Int rod u cc i ón que contemplen y que tengan en cuenta los diferentes estilos de aprendizaje. Difícilmente los estudiantes pueden trabajar a distinto ritmo y con diferente estilo cognitivo si deben hacer todos las mismas cosas, en el mismo tiempo y de la misma manera. Hay que favorecer la realización de un mayor número, de más fáciles o más complejas actividades por parte del estudiantado de acuerdo con las diferencias que presente. Respecto de los recursos: •Seleccionar materiales considerando las posibilidades de adaptación y tratamiento de la diversidad que ofrecen. •Usar materiales atractivos y motivadores, que fomenten el aprendizaje activo, la investigación y la autonomía en todos los estudiantes. •Utilizar materiales que posibiliten ser trabajados en distintos tipos de agrupamientos. Hay que mencionar la importancia que tienen, desde el punto de vista metodológico y didáctico, aspectos como la utilización del tiempo, del espacio y del agrupamiento flexible de estudiantes, entre otros. •En la utilización del tiempo, el docente debe tratar de distribuirlo entre los distintos tipos de tareas que los estudiantes van a realizar con intervenciones del docente, diálogos abiertos, trabajo individual, trabajo en grupo, exposiciones de estudiantes, debates, etc. •El espacio físico es un elemento muy importante en los procesos de enseñanza-aprendizaje. Hay que tener en cuenta, por ejemplo, la distribución de las mesas según sea el tipo de trabajo que se vaya a realizar (individual, en grupo, exposición, etc.); como también tener a mano los recursos materiales que sean necesarios en cada momento de la Unidad Didáctica, etc. •El agrupamiento de los estudiantes debe ser flexible, es decir, tener respuesta puntual en función de sus diferencias en niveles de conocimiento, ritmos de aprendizaje, interés y motivación, etc. También se diferencian los agrupamientos 13 INTRO GUIA MAT 3M (001-023).indd 13 2/11/11 16:50:32 en la realización de trabajos en pequeños grupos, refuerzos para estudiantes con un ritmo de aprendizaje más lento, ampliación para los que presenten un ritmo más rápido, realización de talleres, utilización de diversos recursos materiales (computador, libros de consulta, etc.) y, en general, en función de la naturaleza de las diferentes actividades que se realicen. Evaluación La evaluación constituye uno de los factores condicionantes de todas las prácticas educativas. Un modelo de evaluación continua y formativa presupone evaluar procesos y no solo resultados; por lo tanto, debe incorporarse desde el comienzo del trabajo y servir para ofrecer datos permanentes acerca del desarrollo del aprendizaje. Hace posible graduar el ritmo de enseñanza, ajustándolo con el ritmo y el estilo de aprendizaje de cada niño o joven. Sería interesante que pudiera complementarse cada calificación con una evaluación descriptiva que exprese con palabras los logros que va alcanzando el estudiante y las dificultades que presenta. Hay que ser más explícitos para el estudiante y las dificultades que presenta. Hay que ser más explícitos para favorecer la autoevaluación del alumnado y su evaluación formativa. En la evaluación es importante: •Proponer actividades de evaluación intercaladas en las actividades de enseñanza aprendizaje que sirvan para reorientar y ajustar el aprendizaje de los estudiantes y la práctica docente. •Plantear diferentes actividades y en distintas situaciones para evaluar un mismo contenido. •Tomar conciencia de las implicaciones positivas de las actividades coevaluadoras y autoevaluadoras, y practicarlas cuando la situación lo permita. •Proponer diversos procedimientos, técnicas e instrumentos en las actividades de evaluación. •Plantear actividades de evaluación acordes con los criterios establecidos. Para detectar qué modificaciones podría hacer en su planificación, le presentamos algunas interrogantes que le servirán como orientación. 1. ¿Qué es exactamente lo que el estudiante no consigue hacer y usted quisiera que lograra?, esto es, ¿cómo detectar qué objetivo debería trabajar el estudiante? 2. ¿Cuáles son los contenidos (conceptos, procedimientos y actitudes) que, siendo necesarios para alcanzar ese objetivo, ya posee el estudiante?, esto es, ¿cuál es el punto de partida para la ayuda? 3. ¿Cuál es el primer paso en la secuencia de los aprendizajes que conducen hacia la consecución del objetivo? 4. ¿Cuáles son las decisiones metodológicas más adecuadas al estudiante para ayudarle a dar ese paso? 5. La ayuda que se le ha dado ¿ha permitido al estudiante dar ese paso hacia el objetivo? La primera interrogante apunta, pues, al “qué enseñar”, a un objetivo concreto de aprendizaje y a los contenidos que con él se relacionan. La segunda tiene que ver con la evaluación inicial y trata de saber cuál es la base de conocimientos del estudiante en relación con los objetivos y contenidos programados antes de planificar las acciones oportunas. La tercera dice relación con la secuencia de tareas más apropiada para acortar la distancia que separa ambos puntos, el de partida y el de llegada. Exige, por tanto, una cuidadosa labor de planificación de estas tareas en orden a conseguir el progreso adecuado. 14 INTRO GUIA MAT 3M (001-023).indd 14 2/11/11 16:50:32 El refuerzo educativo Una medida más específica que apunta directamente a ayudar a superar las dificultades de aprendizaje es el refuerzo educativo. Este supone el menor grado de modificación curricular y organizativa para que un estudiante supere una dificultad de aprendizaje. Se pretende que si este, por motivos circunstanciales, presenta un problema puntual relativo a determinado contenido, debe recibir el apoyo específico del docente para superarlo y continuar el aprendizaje con su ritmo habitual. Int rod u cc i ón La cuarta interrogante se refiere a las estrategias metodológicas acordes con su peculiar estilo de aprendizaje y sus expectativas ante el aprendizaje. Apunta, por consiguiente, no ya a la secuencia de actividades, sino a la naturaleza de las mismas, así como a los recursos didácticos y a las condiciones de espacio y tiempo más oportunas. La quinta intenta conocer si se ha modificado el punto de partida de los estudiantes, y puede ahora hacer, por sí mismo, lo que inicialmente no podía sin la ayuda del docente. Algunas características del refuerzo educativo son las siguientes: •Se produce cuando se detecta una dificultad en el aprendizaje que impide una evolución favorable del proceso educativo de un estudiante o de un grupo. •Trata de consolidar los contenidos básicos de un área o áreas determinadas que son claves para aprendizajes posteriores. •Parte de la consideración del punto en que se encuentra el estudiante para determinar qué es lo básico que necesita adquirir para conseguir una evolución favorable. •Pretende que los estudiantes adquieran los conocimientos considerados básicos o claves para seguir el programa del grupo. •No sólo se puede plantear al comenzar el año escolar, sino que puede surgir a lo largo del curso. En resumen, podemos decir que para atender la diversidad de sus estudiantes dentro de su clase, respetando las diferencias individuales, considerando los conocimientos previos que ellos presentan y respetando los distintos estilos cognitivos y ritmos de aprendizaje, puede: •Adecuar los objetivos generales de la etapa y de las áreas secuenciándolos y temporalizándolos. •Seleccionar los contenidos de acuerdo con los objetivos, secuenciándolos, jerarquizándolos y temporalizándolos. •Aceptar opciones metodológicas para las distintas etapas y para las diferentes áreas curriculares. •Decidir el o los modelos de evaluación que se llevarán a cabo, tanto en los procesos de enseñanza-aprendizaje como en la evaluación institucional del propio establecimiento. Fuentes: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/publicaciones/55331/libeso09.pdf http://www.isei-ivei.net/datos/DIVERSIDAD.pdf http://centros6.pntic.mec.es/ies.carlos.haya/departamento.html http://www.campus-oei.org/revista/rie31a04.htm http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-01/secciones/metodologia.html 15 INTRO GUIA MAT 3M (001-023).indd 15 2/11/11 16:50:32 La informática educativa en el sector curricular de Matemática En términos generales, la enseñanza apoyada con los medios tecnológicos actuales ofrece grandes posibilidades al mundo de la educación. Estos pueden facilitar el aprendizaje de conceptos y materias, ayudar a resolver problemas y contribuir a desarrollar las habilidades cognitivas. En el sector de Matemática, en todos sus niveles, es factible hacer uso de las herramientas que proporciona la tecnología, en particular la tecnología informática, con el objetivo de lograr un mejoramiento integral de la docencia en Matemática y, como resultado de esto, en la calidad de los aprendizajes de los estudiantes. Hay que entender desde el comienzo que la informática no es solo un instrumento técnico para resolver problemas, sino también un modelo de razonamiento. En ello, la informática encuentra su verdadera identidad, tanto por las cuestiones a las que trata de dar respuesta como por el método que aplica para resolver problemas. Luego, la relación matemática e informática es natural y está dada desde el inicio de la computación, y su uso favorece la comprensión de los conceptos insertos en ella. La tecnología informática y de comunicaciones provee de diferentes recursos agrupados básicamente en tres líneas: paquete integrado, software educativo e Internet. Estos recursos constituyen valiosas herramientas para apoyar el proceso de enseñanza aprendizaje de los estudiantes, produciendo cambios significativos en las prácticas pedagógicas, metodologías de enseñanza y la forma en que los estudiantes acceden a los conocimientos e interactúan con los conceptos matemáticos presentes en ellos. Además de los recursos existentes y mencionados anteriormente, se pueden agregar otras herramientas ampliamente utilizadas en experiencias nacionales e internacionales de la inserción de la tecnología informática al vitae en el área matemática, como lo son los lenguajes de programación (Basic, Pascal, etc.), los micromundos (LOGO, etc.), los procesadores simbólicos (Maple, Matcad, etc.) y los procesadores geométricos (Cabri-Géomètre, El Geómetra). Las computadoras producen imágenes fantásticas, estáticas o animadas. En la circunstancia apropiada “vale más una imagen que mil palabras”. En Matemática, el factor imagen cobra un valor muy importante, pues permite acercar al estudiante los conceptos, los saca de un plano abstracto para llevarlos a un plano natural, donde los objetos se mueven, transforman, etc. de acuerdo con las variaciones de valores o aplicación de reglas específicas. Por otra parte, la informática, apoyada en las comunicaciones, proporciona entornos de trabajo nuevos. Los entornos tienden a ser cooperativos, de forma que el trabajo ya no tiene que ser exclusivamente individual, sino que está integrado por la cooperación de muchos agentes. Como se puede observar, la tecnología ofrece a los profesores(as) de Matemática, y al mundo educativo en general, buenas posibilidades de producir cambios valiosos y significativos en la forma en que los profesores(as) enseñan 16 INTRO GUIA MAT 3M (001-023).indd 16 2/11/11 16:50:32 y los estudiantes aprenden. Luego, es nuestra responsabilidad como formadores de los jóvenes del futuro aprovechar la tecnología para crear situaciones de aprendizaje y enseñanza nuevas. Int rod u cc i ón El material trató de ampliar al máximo las posibilidades en términos de recursos y contenidos. Sin embargo, quizás algunas actividades no podrán realizarlas por la falta del software. En la sección Montegrande de la página web del Centro Zonal usted podrá encontrar otras actividades que hacen uso de estos mismos u otros recursos, así como respaldo de los softwares que se han bajado de Internet; la dirección es www.comenius.usach.cl Mapa de la Informática Educativa en el Sector de Matemática La siguiente tabla especifica los recursos posibles de utilizar frente a contenidos matemáticos mínimos de enseñanza media. Se han considerado, como base, todos aquellos contenidos mínimos que hacen mención explícita al uso del recurso informático, y se ha ampliado a otros contenidos del sector en las tres áreas temáticas que lo componen, a saber, Álgebra y funciones, Geometría y Estadísticas y probabilidades. Contenidos Álgebra y funciones: Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica y gráfica. Geometría: Uso de algún programa computacional geométrico que permita medir ángulos y ampliar y reducir figuras. Recursos Procesador simbólico Planilla de cálculo Software “El Graficador” Procesador geométrico (Cabri Geométrico) El Geómetra Planilla de cálculo Estadística y probabilidades: Variable aleatoria: estudio y experimentación en casos concretos. Gráfico de frecuencia de una variable aleatoria a partir de un experimento estadístico. Los procesadores simbólicos son grandes herramientas para manipular elementos algebraicos, definir funciones que posteriormente pueden evaluarse y graficarse, entre otras. Una alternativa más sencilla son las planillas de cálculo y el programa “El Graficador”. En efecto, la primera puede realizar todo lo relacionado con los cálculos y tablas de valores y “El Graficador”puede graficar esas funciones. Los procesadores geométricos permiten trabajar y manipular elementos de geometría. Cuentan con las herramientas adecuadas para trazar, transformar, rotar y, en general, modificar figuras geométricas. La planilla de cálculo provee de funciones estadísticas que hacen posible realizar experimentos estadísticos, tabular información y graficarla. 17 INTRO GUIA MAT 3M (001-023).indd 17 2/11/11 16:50:32 Aplicación práctica de la informática educativa al sector matemático Como se observó en la tabla anterior, las posibilidades de la informática educativa en el nuevo currículum de enseñanza media, al menos teóricamente, son muchas. Como una forma de “probar” las posibilidades reales se ha optado por ofrecer a continuación un conjunto de actividades prácticas muy realistas, donde se introducen explícita y detalladamente los recursos educativos informáticos en el sector de Matemática. Al momento de revisar las actividades, es probable que se le presenten muy tecnológicamente centradas, y en cierta medida así es. Pero no ha sido por desear transmitir la idea de que todos los contenidos deben ser cubiertos con recursos educativos informáticos, de ningún modo; sólo son ejemplos concretos lo más contextualizados posible a la realidad educativa de la enseñanza media. Es muy importante tener en mente que estas actividades están inmersas en un contexto de enseñanza de larga duración y, por lo tanto, el esfuerzo más valioso será insertarlas en la práctica diaria. Si por algún motivo se observa que son lejanas, perfectamente pueden ser adaptadas a la propia realidad. Función lineal y otras funciones Objetivo: Analizar situaciones y/o fenómenos que se pueden modelar utilizando la función lineal. Establecer la dependencia entre las variables y expresarla gráfica y algebraicamente. Identificar e interpretar parámetros de pendiente e intersección con el eje de las coordenadas en la forma y = mx + n de la ecuación de la recta. Reconocer estos parámetros en las respectivas gráficas. Contenido: Función lineal, ecuación de la recta. Interpretación de la pendiente y de la intersección con el eje de las ordenadas. Condición de paralelismo y de perpendicularidad. Uso de la planilla de cálculo Excel para la manipulación algebraica y gráfica. Actividad propuesta: Por medio de dos herramientas de software (“El Graficador” y el programa Excel de Office), se proponen dos alternativas para abordar la actividad siguiente: estudiar y graficar diversas expresiones de la forma “y = mx + n”. La actividad considerará estudiar distintos valores para m (enteros, fraccionarios y decimales, mayores y menores que cero) y analizar casos con n = 0 y con n = / 0. Se espera a través de esta experiencia práctica de usar software para el estudio de la recta, que los estudiantes junto a su profesor(a) puedan descubrir y expresar las relaciones específicas de paralelismo, perpendicularidad, rectas paralelas a los ejes, recta que pasa por el origen y puntos de intersección de rectas con los ejes. Recursos: Software “El Graficador” o Software Microsoft Excel. Acciones: Usando el software “El Graficador” En esta versión de la actividad se propone usar el software “El Graficador”, contenido en el CD-Recursos Educativos 1999, como herramienta de cálculo y análisis. Las acciones propuestas para los estudiantes, y que se desarrollan a continuación, son más útiles cuando se convierten en una guía de aprendizaje que acompaña al estudiante. Esta guía puede ser desarrollada por el estudiante en varias sesiones, acompañado del profesor(a) o en forma autónoma. 18 INTRO GUIA MAT 3M (001-023).indd 18 2/11/11 16:50:32 Llena los recuadros correspondientes a los coeficientes (Figura 2). Luego selecciona un color de tiza con un clic (Figura 3). ¡Muy bien!, ya debes tener en pantalla la gráfica de la función, ¿no es cierto? Tal como se muestra en la figura siguiente (Figura 4). Primera parte Gráfica de rectas de pendientes opuestas Ahora, grafica en el mismo sistema de coordenadas las funciones que se indican; para ello, basta que sigas el mismo procedimiento anterior para cada función, pero usa distinto color para cada una. Figura 1 Figura 2 Figura 3 Int rod u cc i ón Guía de aprendizaje sobre rectas Apresto Ingresa al software “El Graficador”y grafica la función de primer grado y = 2x realizando los siguientes pasos: Haz clic en el botón “Funciones de 1er grado”(Figura 1). a. y = x + 4 b. y = –x + 4 Verifica que la gráfica de a. tiene pendiente 1 y constante 4. Verifica que b. tiene pendiente –1 y constante 4. Figura 4 Grafica también las siguientes funciones: a. y = 2x + 4 b. y = –2x + 4 Los resultados de los gráficos debiesen ser los que se muestran en la Figura 5. ¿Qué podrías concluir con relación al gráfico de funciones ax + b, –ax + b, es decir, de pendientes opuestas y constantes? R: Las rectas de pendientes opuestas e igual valor constante son simétricas. Figura 5 Comprueba con otros ejemplos creados por ti. Segunda parte Gráfica de funciones constantes Grafica en un mismo sistema de coordenadas las funciones que se indican. Estas rectas tienen la forma y = mx + n, con m = 0 (Ver Figura 6). a. y = –3,5 b. y = 1 c. y = –5,5 Figura 6 Si se observa la Figura 6, se concluye que para cualquier punto de x el valor de y en cualquiera de las funciones es el mismo. Luego se puede deducir que cuando m = 0, es decir, la pendiente es 0, la función es CONSTANTE. 19 INTRO GUIA MAT 3M (001-023).indd 19 2/11/11 16:50:33 Tercera parte Gráfica de funciones paralelas Grafica en un mismo sistema de coordenadas las funciones que se indican. Ver Figura 7. c. x + 2y = 6 a. y = –x/2 b. 2x + 4y = 5 d. x + 2y = 2 Figura 7 ¿Qué podrías concluir en relación con el gráfico de funciones de igual pendiente? ¿Cómo son, paralelas o perpendiculares? R: Para las funciones que tienen pendientes similares sus gráficas corresponden a rectas paralelas. Crea otras funciones y grafícalas para comprobarlo. Cuarta parte Gráfica de funciones perpendiculares Grafica en un mismo sistema de coordenadas las funciones que se indican. a. y = –3x + 2 b. y = x/3 – 5 Figura 8 Cambia de color y grafica las funciones siguientes. Ver Figura 8. c. 3x + y = 0 d. x – 3y = 4 Observa que las dos primeras funciones que graficaste tienen pendientes –3 y 1/3, respectivamente. Observa además que el producto de ambas es –1. En las segundas funciones ocurre también lo mismo. ¿Qué podrías concluir en relación con el gráfico de funciones cuyo producto de la pendientes es –1? R: Para las funciones cuyo producto de pendientes es –1 sus gráficas corresponden a rectas perpendiculares. Crea otras funciones que cumplan estas condiciones y grafícalas para comprobarlo. Anexos Anexo: Usando el software Microsoft Excel En esta versión de la actividad se propone usar la planilla de cálculo Excel, contenida en el paquete Office, como una herramienta de cálculo y análisis. Acciones: Guía de aprendizaje sobre rectas Apresto Dadas las siguientes funciones, y = x + 4, y = 2x + 4, y = –x + 4, y = –2x + 4 escríbelas como expresiones de la forma y = mx + n. Así te será más fácil establecer algunas relaciones específicas. Figura 9 •Abre una nueva hoja de trabajo en Excel y crea allí una tabla de valores como la que se muestra a continuación (ver Figura 9), que permita más tarde graficar dichas expresiones. Toma valores para x entre –8 y 8 y sigue el procedimiento que se indica. 20 INTRO GUIA MAT 3M (001-023).indd 20 2/11/11 16:50:33 Observa el gráfico que obtuviste y confirma las siguientes aseveraciones: •Las rectas y1 e y2 tienen pendiente positiva, y las rectas y3 e y4 tienen pendiente negativa. •Las rectas y1 e y3 son perpendiculares porque tienen igual inclinación, pero sus pendientes son opuestas. Lo mismo ocurre con y2 e y4. •Las cuatro rectas intersectan al eje y en el 4, que es el valor de n en las cuatro expresiones. Relación entre las gráficas de 4 rectas dadas 8 y 6 4 x -8 2 -6 -4 -2 0 -2 -4 -6 -8 y1 = x + 4 y2 = 2x + 4 y3 = -x + 4 y4 = -2x + 4 Figura 10 2 4 6 8 Int rod u cc i ón •Ingresa las expresiones señaladas en las celdas A1..E1 •Para ingresar las fórmulas, simplemente digita la expresión. Por ejemplo, en B2, escribe x + 4, luego copia esta fórmula al resto del rango B3..B18. •Repite el proceso anterior en el resto de las expresiones. •Este mecanismo permite definir fórmulas dependientes de variables; entre ellas, funciones lineales, funciones cuadráticas, funciones trigonométricas, etc. •Diseña el gráfico de las expresiones (Figura 10). Para crear el gráfico, selecciona el rango que contiene la tabla (A1: E14) y luego utiliza el “Asistente para gráficos”. Utiliza un gráfico tipo XY (Dispersión) con puntos de datos conectados por líneas sin marcadores de datos. Anexo: “Tablas y gráficos en Excel” Para graficar datos en Excel es necesario crear antes una tabla para los datos donde estos se ingresarán. Luego seleccionar el rango para obtener el gráfico requerido. 1.Crear la tabla de valores •Ingresa los encabezados en la primera fila. •En las filas siguientes, ingresa los valores o funciones por graficar. •Ejemplo: se desea ingresar valores consecutivos para una variable, por ejemplo, valores para x entre –3 y 3: •Ingresa –3 en la celda A2. Figura 11 •De la barra de menú, selecciona “Edición”, “Rellenar”, “Series”. Aparecerá la ventana (de la Figura 11). •Elige en “Series en”la alternativa columnas, para que los valores aparezcan hacia abajo. •El “Incremento”se refiere a la diferencia entre los valores que desea obtener, por ejemplo 1. •En Límite ingresa 3. Presiona Aceptar. Figura 12 Para copiar el contenido de una celda en otras celdas consecutivas: •Selecciona la celda que deseas copiar. •Sitúa el cursor del mouse en la esquina inferior derecha de dicha celda. •Cuando el cursor cambie de forma a una cruz, haz clic y sin soltar el botón del mouse, arrástralo, marcando las celdas en las que deseas copiar el contenido. Para definir una variable que se usará posteriormente en una fórmula: •Selecciona las celdas que contienen el nombre de la variable y el valor que se asignará. •De la barra de menú selecciona “Insertar”, “Nombre”, “Crear”. Aparecerá la ventana de la Figura 12. •Selecciona la opción que corresponda y luego presiona Aceptar. 21 INTRO GUIA MAT 3M (001-023).indd 21 2/11/11 16:50:33 Figura 13 2. Graficar los datos de una tabla •Selecciona el rango de celdas donde se encuentran los datos que deseas graficar. •Presiona el botón Asistente para gráficos de la barra de herramientas (Figura 13). •Sigue los pasos indicados en la ventana de diálogo que aparecerá en pantalla y cuando el gráfico esté listo, presiona Terminar. Para graficar una nueva serie de datos en un gráfico ya creado: •Selecciona el rango de celdas que contiene los datos de la nueva serie que deseas graficar. •Presiona el botón copiar de la barra de herramientas. •Activa el gráfico que tiene creado. •De la barra de menú elige “Edición”, “Pegado especial”. Aparecerá la ventana de diálogo de la Figura 14. Marca las opciones como se muestra en la figura y luego presiona “Aceptar”. Figura 14 Figura 15 Figura 16 Figura 17 Figura 18 Anexo: “El Graficador” Descripción Para poder utilizar este programa debes seleccionar una de las alternativas que se presentan en la parte superior del pizarrón: Funciones de 1er grado, Funciones de 2do grado o Funciones Seno-Coseno. En la parte inferior de la zona de gráficos se encuentra la expresión algebraica de la función que se haya seleccionado. En ella se deben completar los recuadros que corresponden a los valores para los coeficientes. Cómo graficar Para graficar la función, selecciona una tiza de color con un clic en la parte inferior del pizarrón. Para limpiar la zona de gráficos, selecciona el borrador ubicado en la parte inferior del pizarrón y arrástralo sobre la zona de gráficos. Para acercar o alejar los gráficos, cambia la cifra en el recuadro titulado “Escala”, ubicado en la parte superior derecha. Para salir, se debe hacer un clic en la campana ubicada en la parte inferior derecha. Instrucciones para el trabajo con Funciones de 1er grado Haz un clic en el botón “Funciones de 1er grado”(Figura 15). Llena los recuadros correspondientes a los coeficientes (Figura 16). Ejemplo 1: Grafica la función f (x) = 2x. Ingresa el valor 2 en el sector anterior a x. Ingresa 0 en el recuadro perteneciente al término libre n (Ver Figura 17). Luego, selecciona un color de tiza (Figura 18) con un clic y obtendrás la gráfica. Ejemplo 2: Compara funciones lineales. f (x) = –2x, f (x) = 2x + 8, f (x) = 2x – 8, f (x) = –2x + 8, f (x) = –2x – 8. Sigue las mismas instrucciones anteriores, pero cambia cada vez de color de tiza para poder apreciarlas mejor. 22 INTRO GUIA MAT 3M (001-023).indd 22 2/11/11 16:50:34 Fuente: http://www.eduteka.org/pdfdir/ChileCurriculoMatematicasTics.pdf Int rod u cc i ón Ejemplo 3: Graficar funciones lineales con coeficientes fraccionarios f (x) = 1/2x + 1/4. Transforma la expresión a notación decimal. Grafica f (x) = 0,5x – 0,25. Si deseas utilizar como recursos procesador simbólico MapleV, Release 5 para resolver problemas de la vida diaria que involucren sistemas de ecuaciones lineales, te recomendamos que ingreses a: http://www.eduteka.org/pdfdir/ ChileCurriculoMatematicasTics.pdf, donde encontrarás además actividades del Subsector Curricular de Matemática para los cuatro niveles de Enseñanza Media, ideas de proyectos de aula, proyectos colaborativos intersectores. Notas 23 INTRO GUIA MAT 3M (001-023).indd 23 2/11/11 16:50:34 Raíces y función raíz cuadrada Unidad 1 Presentación de la Unidad El concepto de raíz (cuadrada, cúbica e incluso de índices mayores) es de suma importancia en el desarrollo algebraico de la matemática, tanto en la ampliación del ámbito numérico (de a R +), ∪ como de a ,Q b∈ b ≠la0resolución , n≥2 {0} ,en ecuaciones y también en el estudio de las funciones. En educación media, se espera que los estudiantes puedan tener claridad en los conceptos básicos de raíces y sus propiedades, de la función raíz cuadrada y de su utilidad en la resolución de problemas cotidianos. En la primera parte de la unidad se hace referencia a una breve historia (Página 11 del libro) sobre el uso de la raíz cuadrada, cómo se fue estudiando el tema de los números irracionales a través del desarrollo de la matemática y cómo se entrelazan estos conceptos con los de función. El principal objetivo de las reseñas históricas es que los estudiantes comprendan que la matemática se ha ido construyendo en forma progresiva y que muchos de los contenidos definidos formalmente habían sido intuidos y usados ya con anterioridad. Sin embargo, cabe hacer notar la importancia de la formalización en un lenguaje matemático estricto. Algunos links de apoyo son: http://www.sectormatematica.cl/historia/historiaencomic.swf http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/Historiamatindex.asp En esta unidad existe una sección de conocimientos previos (Página 12 del libro). Estos apuntan a la revisión del concepto de potencia de base racional y exponente entero y sus propiedades. El repaso de estos conocimientos facilitará a los alumnos y alumnas la comprensión de la definición de raíz como potencia de exponente racional y el uso de ésta en la demostración de algunas de sus propiedades. Es bueno mostrar a los estudiantes que en el tema de potencias hay varios caminos por los que llegar a la solución correcta. Esta es una de las principales dificultades que se presentan en el desarrollo de ejercicios. Los estudiantes no saben por dónde comenzar ni hasta dónde llegar en el desarrollo. Por ejemplo, si tomamos el ejercicio 3d, propuesto como actividad, podemos escribir algunos desarrollos como los siguientes: Desarrollo 1: ( ) 4 4 3 d 2 ⋅ ( 4 c )3 d 2 ⋅ 43 ⋅ c 3 4 d 2 ⋅ 22 ⋅ c 3 = 23 c −2d −3 = = 8 ⋅ ( cd )5 8c 5d 5 23 c 5d 5 Desarrollo 2: 4 ( ) 4 = 212 c −8d −12 ( ) ( ) 12 d 2 ⋅ ( 4 c )3 d 8 ⋅ ( 4c )12 d 8 ⋅ 22 ⋅ c 12 224 c 12d 8 = = 12 20 20 = 212 c −8d −12 = 5 4 20 4 3 20 20 8 ⋅ ( cd ) 8 ⋅ ( cd ) 2 c d 2 ⋅c d 24 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 24 2/11/11 16:53:20 Ahora bien, algún estudiante podría proceder a partir del penúltimo paso de la siguiente manera: 224 c 12d 8 212 = 212 c 20d 20 c 8d 12 Se trabajan en esta sección habilidades como reconocer, calcular, aplicar, relacionar. Es importante que se realice la evaluación en cada una de las secciones en las que están propuestas, ya que con ellas el alumno podrá evaluar su avance y establecer remediales, en conjunto con su profesor, para aquellos contenidos no logrados. Un esquema que resume los contenidos por tratar en esta unidad es el siguiente: UNID AD 1 Lo que estaría bien, y depende sólo de cómo se quiera dar el resultado, ya que no hay ninguna condición al respecto. RAÍCES Y FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA Concepto de raíz Cálculo de raíces cuadradas y cúbicas Propiedades de las raíces Ecuaciones irracionales Función raíz cuadrada Aplicaciones de las raíces a la vida diaria Objetivos y planificación Antes de comenzar el desarrollo de los temas de la unidad, se deben tener claros los objetivos y la planificación. Presentamos aquí los objetivos que deben alcanzar los estudiantes a través de la unidad y una propuesta de planificación para ella. Objetivos Fundamentales de la Unidad •Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de raíces y función raíz cuadrada. •Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de problemas y el análisis de situaciones concretas. •Modelar situaciones o fenómenos cuyos modelos resultantes sean funciones raíz cuadrada. •Resolver desafíos con grado de dificultad creciente, valorando las propias capacidades. •Percibir la matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos. •Razonar lógica y deductivamente para ir en búsqueda de nuevos métodos de solución a los problemas que se plantean. 25 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 25 2/11/11 16:53:20 Planificación de la Unidad Unidad 1 “Raíces y función raíz cuadrada” CMO Tiempo de duración 18 horas pedagógicas. Aprendizajes esperados Indicadores de evaluación Raíces cuadrada y cúbica. Identificar las raíces cuadradas y cúbicas como números reales. Encontrar el valor de raíces cuadradas y cúbicas. Clasifica una raíz cuadrada o cúbica como un número racional o irracional. Calcula el valor de una raíz cuadrada o cúbica. Propiedades de las raíces (raíz de un producto, producto de las raíces, raíz de un cociente, cociente de raíces, raíz de una raíz, composición y descomposición de raíces). Definir las propiedades de las raíces. Utilizar las propiedades de las raíces en la resolución de problemas. Utiliza las propiedades de las raíces en la resolución de ejercicios. Utiliza las propiedades de las raíces en la resolución de problemas. Racionalización estimación y comparación de fracciones que tengan raíces en el denominador. Identifica expresiones algebraicas que deben racionalizarse y las racionaliza. Ecuaciones irracionales. Racionalizar expresiones fraccionarias con denominadores como , + y3 . Resolver ecuaciones irracionales que contengan raíces cuadradas o cúbicas. Aplicar las ecuaciones irracionales a la resolución de problemas. Resuelve ecuaciones irracionales. Verifica que las soluciones obtenidas satisfagan la igualdad. Plantea y resuelve problemas de planteo que involucren ecuaciones irracionales. Función raíz cuadrada (gráfico de y = x , y = x 2 e identificación de x 2 = x , dominio de una función raíz cuadrada). Analizar la función raíz cuadrada en el marco de la modelación de algunos fenómenos sencillos. Determinar dominio y recorrido de una función raíz cuadrada a partir de su gráfico y/o ecuación. Describe la función raíz cuadrada según sus características: fórmula que la define, dominio, recorrido, gráfico. Calcula imagen y preimagen. Aplica los contenidos anteriores a la resolución de problemas. Resolución de desafíos y problemas de planteo. Conocer y utilizar procedimientos de cálculo algebraico con expresiones en las que intervienen raíces cuadradas y cúbicas. Resuelve ejercicios que involucren uso de propiedades y racionalización, ecuaciones irracionales y cálculo de raíces. Generalización a raíces de otros índices. Generalizar las propiedades estudiadas para las raíces cuadradas y cúbicas a raíces de otros índices. Resuelve ejercicios de raíces de índice distinto a 2 y 3 aplicando las propiedades. Uso de herramientas tecnológicas apropiadas para los contenidos de la unidad. Utilizar algunas herramientas tecnológicas como ayuda en la resolución de problemas. Utiliza la calculadora para resolver los ejercicios. Utiliza software sugerido para graficar función raíz cuadrada. El tiempo asignado a cada unidad está en base a la distribución horaria ministerial de 3 horas semanales para el nivel de III medio. Cada profesor puede reasignar este tiempo según si el establecimiento educacional ha asignado horas de libre disposición al sector de matemática. 26 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 26 2/11/11 16:53:20 Desarrollo de la Unidad Para introducir esta y otras unidades es bueno contextualizar los problemas que pueden ser resueltos con los contenidos que aprenderán los estudiantes. Se debe crear la necesidad de los contenidos planteando varios problemas desde distintos ámbitos. Se deben tomar algunos minutos de la clase en la que se comenzará la unidad para esto. Algunos posibles ejemplos son: •Un agricultor tiene un terreno de límites irregulares. Él necesita cercar parte de su sitio para sembradío, de modo que este terreno sea cuadrado y que su área sea igual a 552,25 metros cuadrados. ¿Cómo podría saber el agricultor cuánto debe medir el lado del cuadrado? UNID AD 1 a)Introduciendo la unidad Si hacemos un bosquejo de la situación y escribimos los datos dados, tendremos que: 552,25 m2 x x2 = 552,25 x Entonces, se puede razonar de la siguiente manera: ¿qué número elevado a dos da por resultado 552,25? Puede ser que encontrar este número no sea fácil. Pero el énfasis en esta parte debe ser otro: si existe una operación que se llama elevar al cuadrado, la operación inversa estará definida de alguna forma especial. A esta operación la llamamos “extraer raíz cuadrada”. Ahora bien, la pregunta que sigue es: ¿qué es, entonces, una raíz cuadrada? •Repasemos algunos conceptos estudiados en años anteriores... Pensemos en los números que usamos diariamente. Generalmente, estos son naturales (si decimos, por ejemplo, que el kilo de pan cuesta $900); enteros (si decimos, por ejemplo, que estamos en el tercer subterráneo de un edificio) o decimales (si queremos comprar, por ejemplo, un octavo de jamón). Es más, aún podemos decir que podríamos escribir un decimal donde las cifras decimales se repitieran y estaríamos hablando de un número que se podría escribir como una fracción (note que los alumnos ya han estudiado los números racionales). Pero ¿podría escribir un número decimal donde sus cifras no tuvieran un patrón de repetición y escribir infinitas cifras decimales?, ¿qué clase de número sería este?... no uno racional... sería irracional.... ¿cuál es, entonces, otra forma de escribir este número?.... ¿qué operatoria permitiría calcular dichos números?... ¿serán lo que llamamos raíces una de estas formas?... Y si es así, como las sumaríamos o multiplicaríamos... •Si volvemos a recordar algunos contenidos vistos anteriormente y aceptamos que el hecho de encontrar el valor de x en la igualdad x 2 = 16 equivale a la operación que podemos llamar “extraer raíz cuadrada”, pensemos en lo siguiente: ¿habrá un número que 27 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 27 2/11/11 16:53:20 multiplicado tres veces por sí mismo dé 343?... Sí, lo hay, pero entonces y en forma análoga, ¿es esta operación equivalente a extraer algún tipo de raíz? Ya no es raíz cuadrada, no es al cuadrado al que elevo el número buscado, sino al cubo. Entonces, ¿hay distintos tipos de raíces?, ¿cuántos tipos habrá?, ¿se podrán operar estos distintos tipos?, ¿representarán todas ellas el mismo tipo de números? b)Preparando cada tema A continuación se entregan algunas sugerencias metodológicas para tratar cada uno de los conceptos y ejercicios abordados en el Texto del Estudiante. También se hacen notar algunas consideraciones y sutilezas conceptuales para que el docente tenga presente. Por último, al iniciar la preparación de cada tema se presenta un cuadro con los OFT tratados y las capacidades trabajadas según los mapas de progreso. Raíces, ¿qué son? (Página 14 del Texto del Estudiante) OFT Mapas de Progreso Se trabajan los siguientes: • Interés por conocer la realidad a través de la matemática. • Resolución de problemas desarrollando el pensamiento lógico. • Discernimiento de resultados en situaciones cotidianas. • Uso de herramientas tecnológicas (calculadora). • Trabajo grupal y servicio a la comunidad. Las capacidades trabajadas referente al eje números son (en niveles 5, 6 y 7): • Argumentar sus estrategias o procedimientos y utilizar ejemplos y contraejemplos para verificar la validez o falsedad de conjeturas; reconocer números irracionales. • Utilizar raíces para la resolución de problemas y un lenguaje matemático en demostraciones y resolución de problemas. • Utilizar lenguaje matemático para representar y resolver problemas cotidianos. En esta sección se formalizará el concepto de raíz cuadrada y raíz cúbica al que intuitivamente nos acercamos a través de las preguntas de la introducción de la unidad. Note la importancia de formalizar los conceptos usando lenguaje matemático. Además, se trabajará en cálculo de raíces, sean estas números racionales o irracionales. Por otra parte, se enfatizará que podemos ver que todo número real siempre se puede expresar como una raíz cuadrada. Cabe destacar la definición formal de raíces, que es la propuesta por el Mineduc en su libro de planes y programas para III medio. Esta es: , si y solo si Es decir, la ecuación . Para todo número tendrá dos resultados . y . Esto es equivalente a escribir que, Observa que en toda raíz se tiene, Índice de la raíz n a Cantidad subradical 28 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 28 2/11/11 16:53:21 Haga notar a sus estudiantes que ya no se define la raíz cuadrada de un número como tradicionalmente se hacía, esto es, decir que, por ejemplo, 4 = ±2. En este caso, cuando se da solución a x2 = 4, habrá dos soluciones, que serán 4 = 2 y − 4 = −2 , si y solo si La ecuación que es . Para todo tiene una solución en los números reales, Haga énfasis que, en este caso, sólo un valor real satisfará la igualdad. Reflexione con sus estudiantes, además, acerca de que la raíz cuadrada sólo se define para los números reales positivos y el cero, ya que al definir a = x , si y solo si x 2 = a, x 2 ≥ 0 (por propiedad de los números reales), por lo tanto a ≥ 0 . La raíz cúbica, en cambio, está definida para todos los números reales. UNID AD 1 Con respecto a la definición de la raíz cúbica, tenemos que: Pensemos en lo siguiente. Al calcular raíces cuadradas y cúbicas distinguiremos dos casos: que su valor sea un número racional, con lo cual el valor queda definido exactamente, o que sea irracional. Es importante hacer notar, en este último caso, por ejemplo, el valor exacto de 5 es 5, pero en algunas ocasiones se trabajará aproximando su valor. Esto es, sólo se usa una aproximación racional del verdadero valor de la raíz o del número irracional, pero no es en verdad su verdadero valor, por lo que cada vez que nos queramos referir al valor exacto de una raíz, que es irracional, deberemos escribirla como raíz y no como decimal. Se puede hacer notar aquí que, aunque solo se han definido raíces cuadradas y cúbicas, existen raíces de otros índices. Así, se puede ampliar el concepto de raíz de índices distintos de 2 y 3 según la 4 4 1616 = 2, = 2,porque porque242=4 16 = 16 , porque definición. Por ejemplo, En esta sección se propone trabajar el cálculo de raíces cuadradas y cúbicas, con y sin calculadora. De esta forma, se puede proponer calcular raíces cuadradas y cúbicas cuyo valor sea un número racional y también un número irracional. Es importante hacer notar que se ha propuesto el cálculo de raíces por aproximación por ser el más rápido y sencillo. Sin embargo, se pueden trabajar también otros métodos señalados en el libro en las secciones adjuntas. 29 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 29 2/11/11 16:53:21 Propiedades de las raíces (Página 23 del Texto del Estudiante) OFT Mapas de Progreso Se trabajan los siguientes: • Interés por conocer la realidad a través de la matemática. • Análisis de procesos y establecimiento de relaciones lógicas. • Resolución de problemas y construcción de argumentos lógicos. • Discernimiento de resultados en situaciones cotidianas. • Uso de herramientas tecnológicas (calculadora). • Desarrollo del trabajo grupal. Las capacidades trabajadas referentes al eje números son(en niveles 5, 6 y 7): • Realizar las cuatro operaciones con números reales en forma algebraica utilizando propiedades. • Identificar el conjunto numérico al que pertenecen los resultados de un determinado ejercicio o problema. • Utilizar las potencias de base racional y exponente racional, y sus propiedades, para simplificar cálculos, y establecer la relación entre potencias y raíces. • Resolver problemas utilizando estrategias que implican descomponer un problema o situaciones propuestas en partes o subproblemas. • Realizar conjeturas que suponen generalizaciones o predicciones y argumentar la validez de los procedimientos o conjeturas. • Utilizar lenguaje matemático para representar y resolver problemas cotidianos. • Comprender que, en cada conjunto numérico, se puede operar sobre la base de reglas o propiedades que pueden ser usadas para justificar o demostrar relaciones. Las propiedades de las raíces se abordan desde la contextualización de problemas, de manera que los alumnos y alumnas puedan deducir dichas propiedades. Luego, hay actividades propuestas para cada propiedad, de modo que los estudiantes puedan ejercitar. Al final de cada propiedad hay un sector destacado con la formalización conceptual correspondiente. Recuerde que siempre es necesario formalizar y sintetizar los conceptos clave con sus estudiantes. Para demostrar estas propiedades puede también hacerlo desde una mirada a las raíces como potencias. Proponemos las siguientes. Multiplicación de raíces La operación está definida siempre y cuando los índices sean iguales. Se sugiere hacer énfasis en las condiciones para que las raíces estén bien definidas. Demostración (usando la definición de raíces como potencias): n 30 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 30 m p ( am ⋅ n b p = ( a ) n ( b ) n = am ⋅ b p ) 1 n = n am ⋅ bp con a , b ∈ R + ∪ {0} , n ≥ 2 En algunos ejercicios se plantea la necesidad de efectuar la multiplicación indicada, con el fin de mostrar que la raíz producto es racional, siendo los factores no necesariamente racionales, como se ilustra, en el ejemplo, j (Pág. 24) se tiene que: 3 4 ⋅ 3 2 = 3 8 = 2. 2/11/11 16:53:22 Se hace hincapié en que usted realice, en clases, ejercicios similares a los propuestos a fin de conducir exitosamente la actividad de la pág. 25. Recuerde que mientras más práctica de resolución haya, más seguridad adquieren sus alumnos y alumnas. División de raíces La división de raíces, al igual que la multiplicación, está definida cuando los índices son iguales. Se sugiere, nuevamente, enfatizar en las condiciones para que las raíces estén bien definidas. Demostración (usando la definición de raíces como potencias): n m p ( am : n a p = ( a ) n : ( a ) n = am : b p con a , b ∈ R + ∪ {0} , b ≠ 0, n≥2 ) 1 n =n UNID AD 1 En los ejercicios resueltos se muestra cómo la multiplicación por una raíz es distributiva con respecto a la suma; y que también se aplica en suma por diferencia, cuadrado de binomio, etc. am , bp Se debe recordar también la idea de que la división es la multiplicación del inverso multiplicativo del divisor. Note que, hasta este punto, no se ha hablado de racionalización, por lo 1 se dejarán expresados de esta manera. que resultados como 10 También se recomienda realizar otros ejemplos en el desarrollo de la clase. Descomposición de raíces Se trata esta propiedad como una aplicación de la multiplicación de raíces, de la manera contraria a lo habitual, es decir, se mira el resultado de una multiplicación de raíces para buscar sus factores. Más aún, la idea es que uno de los factores sea un cuadrado, un cubo perfecto, según sea el índice en que se esté trabajando. Así, la descomposición puede expresarse como producto de racionales por irracionales. Note que se generaliza que: Descomponer una raíz cuadrada es escribirla de la forma , de modo que se cumpla que En general, podemos descomponer y escribirla de la forma si se cumple que Hay que tener en cuenta que la descomposición de raíces se utiliza para escribir en forma más sintética una raíz, pero principalmente será usada en ejercicios de sumas y restas de raíces. Si bien se dieron ejemplos anotados paso a paso, como 3 16 a4 = 3 8 ⋅ 2 ⋅ a3 ⋅ a = 2 a 3 2 a , la idea es que los alumnos y alumnas puedan omitir algunos de estos en la medida que ellos se sientan seguros. 31 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 31 2/11/11 16:53:23 Suma y resta de raíces En esta parte se debe hacer énfasis que, en principio, no se pueden sumar o restar raíces si estas no tienen igual cantidad subradical e igual índice. Sólo se podrá sumar si se consigue, a través de la descomposición o de otra forma, tener raíces de igual índice e igual cantidad subradical. Esto se reduce a ver el ejercicio como la reducción de términos semejantes. También se deben mostrar casos en que los resultados ya no se puedan reducir; por ejemplo: 2 + 3 es la expresión más reducida que se podrá tener. Acá se sugiere hacer énfasis en ejercicios del tipo (propuesto) 200 + 2 18 = 10 2 + 6 2 = 16 2 , donde existe descomposición. Recuerde que se debe ejercitar hasta que usted como profesor o profesora tenga la certeza de que sus estudiantes han aprendido los conceptos y la forma en que se enfrentan y resuelven los ejercicios y problemas. Tenga especial cuidado con las falsas generalizaciones de las propiedades que pueden hacer los estudiantes. Un caso típico es aquel de anotar que a ± b = a ± b Raíz de raíz Para definir esta propiedad se utilizan propiedades de las potencias y la definición de raíz como potencia de exponente racional, ya que, de esta forma, es más fácil abordar la demostración. Note que la idea es reunir todo en una sola raíz, según lo escrito, pero, estrictamente, extraer una raíz de un número que a la vez es raíz es ir extrayendo raíces sucesivamente. Note las siguientes comparaciones en algunos ejemplos; es conveniente hacerlas notar a los estudiantes: Efectuar: 3 64 Es verdad que 64 = 8 con lo que tendremos que, 3 8 = 2. Efectuar: 3 64 . Si el alumno reúne las raíces según lo indicado, tendrá que: 6 64 = 2 . Con lo que obtendrá, de la misma manera, el resultado anterior. Si decimos reducir a una sola raíz o expresar en una sola raíz es claro que: 3 64 = 6 64 . Al contrario, si decimos extraiga raíz de una raíz, el alumno será libre de elegir cualquiera de los caminos mencionados. De manera inversa ¿Qué pasa si se solicita encontrar 6 64 ? El mérito que tiene la fórmula es que se puede descomponer en 3 64 o bien bien 3 3 64 oo bien 64 y para así poder calcular en forma más sencilla el 3 64 resultado pedido. Note que mostrar estas alternativas a los estudiantes hace que ellos manejen más herramientas y con ello ayuda a formar un pensamiento lógico analítico. 32 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 32 2/11/11 16:53:23 Racionalización OFT Se trabajan los siguientes: • Interés por conocer la realidad e investigar sobre nuevas situaciones. • Análisis de los procesos matemáticos involucrados en la construcción de los contenidos. • Resolución de problemas y desarrollo del pensamiento lógico. • Discernimiento de resultados en situaciones cotidianas. • Uso de herramientas tecnológicas (calculadora). • Trabajo grupal. Mapas de Progreso Las capacidades trabajadas referentes al eje números son (en niveles 5, 6 y 7): • Argumentar sus estrategias o procedimientos y utilizar ejemplos y contraejemplos para verificar la validez o falsedad de conjeturas, reconocer números irracionales. • Identificar el conjunto numérico al que pertenecen los resultados de un determinado ejercicio o problema. • Resolver problemas utilizando estrategias que implican descomponer un problema o situaciones propuestas en partes o subproblemas. • Utilizar lenguaje matemático para representar y resolver problemas cotidianos. Las capacidades trabajadas referentes al eje álgebra son (nivel 7): • Mostrar autonomía y flexibilidad en la transformación de expresiones simbólicas, escribiendo, reconociendo y eligiendo formas equivalentes de distintas representaciones algebraicas. UNID AD 1 (Página 40 del Texto del Estudiante) Al abordar este tema hay que hacer varias consideraciones. La primera de ellas es referirse a expresiones fraccionarias y no a fracciones cuando se habla que existen raíces en el denominador, ya que sería un abuso de lenguaje si nos apegamos al concepto de fracción a entendido como aquella expresión de la forma , con a y b números b enteros y b distinto de 0. Salvado esto, diremos que racionalizar es necesario debido a que se hace imposible dividir por un número irracional (que contiene infinitos decimales y, por lo tanto, imposible de ser amplificado o transformado a fracción). Así, se busca una expresión fraccionaria equivalente, donde el divisor sea un número entero. Se han abordado los casos en los que hay una raíz cuadrada o una suma o resta de raíces cuadradas o una raíz cúbica en el denominador. Note que es importante justificar la forma de racionalizar cada caso y hacer énfasis en que, al hacerlo, se mantiene una expresión equivalente (una posible forma de abordar esto es que los estudiantes lo verifiquen con sus calculadoras; otra forma es la sugerida en el recuadro “Toma nota” (pág. 43)): Al final de la sección existe una evaluación de proceso (“Revisemos lo aprendido”). Se sugiere que los alumnos y las alumnas puedan verbalizar las dificultades de la unidad e indicarles alguna fuente de apoyo o bien repasar con el curso nuevamente los contenidos de mayor dificultad antes de seguir adelante. 33 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 33 2/11/11 16:53:24 Ecuaciones irracionales (Página 48 del Texto del Estudiante) OFT Mapas de Progreso Se trabajan los siguientes: • Interés por conocer la realidad e investigar sobre nuevas situaciones. • Análisis de los procesos matemáticos involucrados en la construcción de los contenidos. • Resolución de problemas, desarrollando el pensamiento lógico y manejo algebraico. • Discernimiento de resultados en situaciones cotidianas. • Uso de herramientas tecnológicas (calculadora). • Desarrollo de habilidades para el trabajo grupal. Las capacidades trabajadas referentes al eje números son (en niveles 5, 6 y 7): • Identificar el conjunto numérico al que pertenecen los resultados de un determinado ejercicio o problema. • Utilizar lenguaje matemático para representar y resolver problemas cotidianos. Las capacidades trabajadas referentes al eje álgebra son (en 6): • Elaborar estrategias de resolución de problemas y ejercicios, desarrollarlas y justificarlas usando lenguaje algebraico. Una ecuación irracional puede ser considerada como aquella ecuación donde al menos una de las incógnitas involucradas está en la cantidad subradical de una raíz. Pero también puede ser considerada como una igualdad a la que se le ha extraído raíz (siempre que esté bien definida) por ejemplo, si al extraer raíz a ambos lados se tendrá que x + 3 = 6 , estaremos en presencia de una ecuación irracional. Mirado de esta forma, tiene sentido elevar al cuadrado para volver a la ecuación original. En esta parte, se sugiere definir claramente lo que es una ecuación irracional, como también explicitar, en forma ordenada, los pasos por seguir para resolverla. Se debe recordar que los resultados obtenidos por los pasos mencionados anteriormente son sólo candidatos a solución. De aquí que sea absolutamente necesario comprobar que dichos resultados satisfacen la ecuación propuesta. Indique a sus estudiantes que siempre tengan en cuenta que una vez aislada una raíz, hay ocasiones en que en el otro miembro quedan sumas y/o restas que al elevarse al cuadrado o al cubo deben ser desarrolladas como cuadrados o cubos de binomios o polinomios. Ahora bien, en los ejercicios propuestos que contienen suma o diferencia de dos raíces se debe aislar una de las raíces antes de elevar al cuadrado. Esto facilita el desarrollo. Desarrollo 1: ( 2 x + 10 − 2 x + 3 = 1 2 x + 10 = 1 + 2 x + 3 2 x + 10 ) = (1 + 2 2 x +3 / + 2 x +3 /( ) 2 2 x + 10 = 1 + 2 2 x + 3 + 2 x + 3 6 = 2 2x + 3 3 = 2x + 3 34 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 34 / :2 /( 9 =2 x +3 / −3 6=2x / :2 3= x ) 2 ) 2 / −2 x − 1 − 3 2/11/11 16:53:29 Haciendo la comprobación se obtiene que, 2x + 10 − 2x + 3 = 1 16 − 9 = 1 4 −3 = 1 1 = 1, por lo tanto x = 3 es solución. Por otro lado, note que cada vez que se plantea una ecuación irracional, donde una raíz cuadrada sea igual a un número negativo, esta no tiene solución, pues contradice la definición de raíz cuadrada. Por ejemplo: x + 2 = −3 Se trabajan en esta sección habilidades como conocer, calcular, aplicar, analizar, sintetizar, reflexionar, relacionar, resolver problemas. Esta sección termina con la evaluación de proceso (“Revisemos lo aprendido”). Se sugiere motivar a sus alumnos y alumnas para que respondan responsablemente esta evaluación y busquen, guiados por usted, remediales para los contenidos por lograr. UNID AD 1 6 + 10 − 6 + 3 = 1 Función raíz cuadrada (Página 55 del Texto del Estudiante) OFT Mapas de Progreso Se trabajan los siguientes: • Interés por conocer la realidad, conocerla y entenderla a través de modelos matemáticos. • Análisis de los procesos matemáticos involucrados en la construcción de los contenidos. • Resolución de problemas, desarrollando el pensamiento lógico y manejo algebraico. • Discernimiento de resultados en situaciones cotidianas. • Uso de herramientas tecnológicas (programas computacionales). • Desarrollo de habilidades para el trabajo grupal. Las capacidades trabajadas referente al eje álgebra son (en niveles 5, 6 y 7): • Reconocer el tipo de situaciones que modelan las funciones raíz cuadrada y representarlas a través de tablas, gráficos y algebraicamente. • Justificar la pertinencia del modelo aplicado y de las soluciones obtenidas. • Elaborar estrategias de resolución de problemas y ejercicios, desarrollarlas y justificarlas usando lenguaje algebraico. • Modelar situaciones o fenómenos provenientes de diversos contextos. En primer lugar, considere que la función raíz cuadrada carecerá de sentido para los alumnos y alumnas de este nivel si no está presente en el modelamiento de algunas situaciones cotidianas. En segundo lugar, muestre el tipo de gráfico que representa una función raíz cuadrada. Aquí se sugiere que, a través de los gráficos, se hagan análisis en relación con su crecimiento, desplazamiento, forma, etc. Para graficar, se sugieren los siguientes softwares: Graph, que se puede bajar gratuitamente desde: http://gratis.portalprogramas.com/graph.html Graphmatica, también gratuitamente desde: http://graphmatica.programas-gratis.net/ Use los cuadros donde se muestra cómo graficar con los programas; lleve a sus estudiantes a la sala de enlace y, si es posible pues tiene los medios de utilizar data show, proyecte los pasos que usted hace para graficar. 35 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 35 2/11/11 16:53:29 Acá debes colocar la función. Recuerda que x elevado a 0,5 (un medio) es igual a la raíz cuadrada de x. Luego haces enter y aparecerá la función graficada. También puede utilizarse un mismo gráfico para comparar algunas funciones raíz cuadrada dependiendo de la ecuación que las define; por ejemplo: f ( x ) = x ∧ 0, 5 f ( x ) = 2 x ∧ 0, 5 f ( x ) = x ∧ 0, 5 + 1 f ( x ) = ( x + 6 ) 0, 5 ∧ 8 6 4 2 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –2 –4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –8 36 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 36 2/11/11 16:53:31 Para determinar más fácilmente el dominio y el recorrido, utilice los gráficos de la funciones raíz cuadrada. Por último, se menciona que la función y = x 2 es gráficamente la misma que y = x . Deje que sus alumnos y alumnas grafiquen ambas funciones, extraigan sus propias conclusiones y luego generalice. Dé ejemplos que se comporten de manera similar, como y = 5 x 2 , y = 2 x2 o y = x2 + 6 UNID AD 1 En tercer lugar, se deben abordar con claridad los conceptos de dominio y recorrido de la función raíz cuadrada. De esta manera se hace énfasis en que el dominio depende de la expresión subradical de la raíz. Haga notar a sus estudiantes que en el caso de la función raíz cuadrada el dominio está restringido naturalmente por la definición de la expresión subradical de ella. El recorrido dependerá de la constante que sume o reste fuera de la raíz. Sin embargo, puede ocurrir que alguno de sus estudiantes pregunte por funciones del tipo y = x 2 + 5 . Es conveniente analizar estos casos con la ayuda de los gráficos. Por ejemplo, si graficamos la función dada, tendremos que: ( f ( x ) = sqrt x ∧ 2 + 5 8 6 ) 4 2 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –4 –8 Note que esta ya no es una función de gráfico conocida, como sucede con las anteriormente analizadas. Esto se debe a que el sumando está en la cantidad subradical. En el ejercicio 2 de la actividad de la página 60, se pide determinar la ecuación de la función que está representada por el gráfico. Note que en este problema se deben elegir dos puntos (de fácil lectura) del gráfico y formar un sistema de ecuaciones para determinar los parámetros a y b, mencionados en el enunciado del problema. Por ejemplo, los puntos pueden ser ( −5, 0) y ( 0, 2). Así se tendrá que como son puntos de la función, cumplen con la igualdad y = ax + b Para ( −5, 0) ⇒ 0 = −5 a + b ⇒ 0 = −5 a + b Para ( 0, 2) ⇒ 2 = 0 ⋅ a + b ⇒ 4 = b 37 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 37 2/11/11 16:53:34 Como b = 4, reemplacemos este valor en la primera ecuación y tendremos 4 que 0 = −5 a + 4 ⇒ 5 a = 4 ⇒ a = ; por lo tanto, la función es: 5 y= 4 x +4 5 Adicionalmente a lo señalado, se debe destacar que al analizar la función raíz cuadrada a través de sus gráficos, es importante hacer notar que: ( ) •la función raíz cuadrada f ( x ) = k x , k > 0 es estrictamente creciente, esto es que: ∀a , b ∈ Dom f ( x ) , si a > b ⇒ f ( a ) > f ( b ). Resulta más sencillo mirarlo en el gráfico y mostrarles a los alumnos que, a medida que x crece, entonces f ( x ) o y , también lo hace. Además si k < 0 , será estrictamente decreciente. •el gráfico de la función raíz cuadrada podrá tener su origen (o punto mínimo o máximo) en cualquier punto del plano, dependiendo de los coeficientes de k, a, b y c en la función de la forma y = k ax + b + c . Esto hace que pueda asumirse un desplazamiento de los gráficos con respecto al gráfico de la función y = x •se puede determinar, directamente a partir del gráfico, el dominio y el recorrido de la función. Aunque para hacerlo algebraicamente se debe condicionar que la cantidad subradical sea mayor o igual a 0 (en el caso del dominio). Para el caso del recorrido, este depende de c. Como el valor más bajo que puede tomar la raíz es cero, entonces el recorrido siempre será mayor o igual a c. Se trabajan es esta sección habilidades como conocer, calcular, aplicar, analizar, sintetizar, reflexionar, relacionar, resolver problemas. Nuevamente se invita a los estudiantes a revisar su aprendizaje en la evaluación de esta sección (mapa conceptual y preguntas posteriores). Se sugiere revisar el mapa conceptual con el curso y rescatar dos o tres soluciones distintas entre las dadas por los jóvenes. c) Profundizando algunos conceptos (Taller de profundización, página 64 del Texto del Estudiante) En este taller se amplían las propiedades vistas para raíces cuadradas y cúbicas a raíces de índice superior. Se trabajan algunos ejercicios a modo de ejemplo y se proponen otros para que alumnas y alumnos los resuelvan en grupo. Es importante que los alumnos y alumnas puedan responder la evaluación final del taller de profundización como evaluación de proceso esto les entregará información sobre cómo ha sido su trabajo y lo que deben repasar. 38 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 38 2/11/11 16:53:36 Errores frecuentes Contenido Posible déficit Sugerencia Descomposición de raíces. Descomposición factorial de números naturales. (Los estudiantes no descomponen de manera factorial). Propiedades de las raíces. Propiedades de las potencias. (Los estudiantes no manejan propiedades de las potencias). Revisar y ejercitar propiedades de las potencias: multiplicación y división de potencias y potencia de una potencia. Suma o resta de raíces. Reducción de términos semejantes. (Los estudiantes no reducen adecuadamente términos semejantes). Desarrollar ejercicios que involucren reducción de términos semejantes. Por ejemplo: 2 y + 3 y = 5 y Multiplicación de raíces y ecuaciones irracionales. Cuadrado de binomio como producto notable. Los estudiantes desarrollan incorrectamente el cuadrado de binomio 2 como: ( a + b ) = a2 + b2 . Operatoria con raíces cuadradas en productos notables. Racionalización. (Los estudiantes no han aprendido correctamente las propiedades de las raíces). Ejercitar descomposición factorial, haciendo énfasis en expresar algunos de los factores como cuadrados o cubos perfectos. Por ejemplo: 28 = 2 ⋅ 2 ⋅ 7 = 22 ⋅ 7, a7 b5 = a2a2a2ab2b2b . UNID AD 1 Se nombran en esta sección algunos de los errores frecuentes cometidos por los estudiantes. Es importante tenerlos en cuenta durante el desarrollo de la unidad para corregirlos. Ejercitar con ejemplos del mismo tipo propuestos en la revisión de contenidos previos. 4 ◊ −2◊ +7 ◊ = 9 ◊ Ejercitar desarrollo de cuadrados de binomios. Por ejemplo: ( 2 x − 4 ) = 4 x 2 − 16 x + 16 2 Haga énfasis en que el resultado de un cuadrado de binomio tiene 3 términos. Ejercitar la operatoria de raíces que involucren productos notables. Sobre todo suma por diferencia. Por ejemplo: ( )( x + 3) = ( x ) − ( 3) x− 3 2 2 = x −3 39 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 39 2/11/11 16:53:40 Síntesis de la Unidad Síntesis conceptual de la unidad El objetivo de esta síntesis es que los estudiantes puedan revisar los conceptos fundamentales de la unidad. Se presenta primero, un mapa conceptual como ejemplo de síntesis de los conceptos de la unidad. Se sugiere revisarlo en clases junto a sus estudiantes haciendo énfasis en los conceptos. Ejercicios propuestos en esta Guía i. Actividades de refuerzo Estas actividades se presentan como un apoyo para el profesor y los estudiantes, de manera de reforzar lo aprendido. Encontrará aquí una batería de ejercicios que puede trabajar en clases, en forma adicional a los ya propuestos en el texto. ii. Ficha de refuerzo Estos ejercicios están destinados a aquellos estudiantes que aún no han logrado los objetivos mínimos propuestos y necesiten trabajar sobre los conceptos fundamentales de la unidad. iii. Actividades de profundización Este material tiene por objetivo ampliar los conocimientos de los estudiantes que evidencien mayores habilidades matemáticas en esta unidad. Se proponen ejercicios y una actividad con los que usted puede trabajar. Tipos de ejercicios Se pueden identificar en ejercicios donde se repasan todos los contenidos en diferentes ítems, que pueden ser trabajados grupal o individualmente. En otros casos, especialmente en la Ficha de refuerzo, se hace siempre énfasis en colocar todo el desarrollo en la resolución de los ejercicios. Finalmente, también ofrecemos evaluaciones basadas en alternativas tipo PSU y donde hay una sugerencia para que el alumno revise y obtenga su porcentaje de logro, que se aconseja sea trabajado individualmente. 40 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 40 2/11/11 16:53:40 Actividades de refuerzo 62500 , ¿se obtiene 50 un resultado menor a 0,8? 3. ____ 6 5 = 4 3 5 10. 5. ____ 9 + 3 −27 = 36 6. ____ 3 11 − 7 = 3 11 − 3 7 8. ____Para racionalizar multiplicar por 17 17 17 17 4. 9. ____No se puede dividir −81 por −3 , porque las cantidades subradicales son negativas en ambas raíces. ( 10. ____ 2 15 ) 2 3 3 = 30 II. Usando las propiedades de las potencias, desarrolla los siguientes ejercicios. Recuerda simplificar cada expresión de ser posible: 1. 1 2 + −1 + 22 −3 10 10 2. 1 + 13 36 3. Expresa con aproximación a la centésima. 4. 5. 7 2 −2 7 ⋅ 7 2 +2 7 1 31 2 + 4 7− 4 16 4+1 1 3 3 1 ⋅ 3 − 16 8 8 24 6. 12 150 x 6 b5 : 10 6 x 2b3 7. Escriba como producto de potencias x 2 y3 z 4 1,75 − 2 2,5 2x+ ( 5. 3 −2=5 4 ) 2 x2 − x + 2 + 1 2. 3. se debe 1 III.Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales; no olvides comprobarlas. 1. 7. ____El recorrido de la función f ( x ) = 2 x + 5 es el conjunto de todos los reales mayores o iguales a cinco. 3 3 2 =x 3⋅ 3 x +1 =3 x + 2 = x +6 x −5 x −3 = x −7 x −6 IV.Resuelve los siguientes problemas relacionados con raíces y función raíz cuadrada. Escribe todo el desarrollo en tu cuaderno. 1. La mamá de Francisco necesita colocar en su patio un cordel para colgar la ropa. Para que pueda colgar más ropa decide colocarlo desde una esquina a otra del patio (en diagonal). Francisco mide su patio y registra: de largo, 5 metros, y de ancho, 4 metros. ¿Cuál es la cantidad mínima de cordel que debe comprar la mamá de Francisco? 2. Una escuela hace un estudio sobre el número de estudiantes matriculados por año. La matrícula del colegio se comporta según la función m ( a ) = 200 a + 9, donde m representa el número de estudiantes en decenas y a representa los años de existencia del colegio, partiendo desde el año 0 como el año de fundación. ¿Cuántos estudiantes tendrá el colegio a los 10 años de vida si se sigue comportando de esta manera? UNID AD 1 9. Material Fotocopiable 8,3 − 3 3 + 1 2. ____Las raíces cúbicas a veces son números reales 4. ____La solución de la ecuación 3x − 5 = 2 es x = 3 625 − 4 Material Fotocopiable 1. ____El valor de raíz cuadrada de trece es irracional 4 Material Fotocopiable 8. Al resolver Material Fotocopiable I. Coloca V (verdadero) o F (falso) en cada una de las siguientes afirmaciones según corresponda. 41 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 41 2/11/11 16:53:43 Material Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable 3. Mónica estaba viendo un reportaje sobre su artista favorito y allí contaban que él dormía en una cama redonda. Muy entusiasmada decidió plantearle a su papá que quería implementar aquella idea en su cuarto. El papá lo pensó un rato y le dijo que para poner una cama de esas características podía ocupar sólo 2 m2 del área de su pieza. En este caso y sabiendo que Mónica mide 1,67 metros, ¿podrá caber π = 3, 14. estirada en la cama? considere p 4. Sofía se acostó cansada de haber estudiado para su prueba de raíces. Apenas puso la cabeza en la almohada se quedó dormida y comenzó a soñar, una bruja amenazaba con destruir su casa a no ser que pudiera adivinar este acertijo: “si al número de pasos que debes dar para huir de mí, decía la bruja, le agregas 3 y extraes su raíz cuadrada, será lo mismo que caminar 10 medios pasos”. ¿Cuántos pasos debía dar Sofía, en sus sueños, para huir de la bruja? V. Marca la alternativa correcta: 1. 3 375 es equivalente a: c. 5 3 2 a. 15 d. 3 3 5 b. 5 3 3 −1 a. 11 b. 44 c. 4 44 b. 12 7 b3 b3 ) 2 3 5 + 1 − 3 5 − 1 es: d. 6 5 − 4 11 e. 2 − 4 11 c. b 7 b3 d. 6 e. b5 4 b 6. Si a = –3, b = 2 y c = –4, entonces acerca del número 2 ab2c podemos decir que: a. b. c. d. e. es un número entero. es un número racional. es un número irracional. no es un número real. Ninguna de las anteriores. 7. Si p – 3 = 7 , entonces, ¿cuál de las siguientes expresiones representa un número entero? a. p d. p 6 7 b. p c. p 6 7 resultado: e. 25 30 6 5 − 3. ¿Cuál es el valor de : ? 6 2 5 c. 2 6 a. − e. 54 27 3 d. b. −2 3 54 ( a. 8. Al resolver 2. Para que la función y = 5 x − 3 esté bien definida se debe tener que: 3 5 5 a. x > c. x > e. x ≥ − 5 3 3 3 5 b. x ≥ d. x ≥ 5 3 4. El valor de 5. La expresión b b 3 b es equivalente a: e. Ninguna de las anteriores 3 − 2+ 5 a. 8 5 + 2 2 3 b. 8 5 − 2 2 3 c. 2 2 − 8 5 3 5 2− 5 se obtiene por d. 8 5 + 2 2 7 e. 8 5 − 2 2 7 9. ¿Cuál es el valor de x que satisface la ecuación x + 4 − 1 − x − 3 = 0? a. 0 b. 1 c. – 2 d. – 10 e. 12 10.¿Cuál(es) de los siguientes números reales pertenece al dominio de la función y = 2 7 − 3 x + 1? I. 8 a. Solo I b. Solo II II. – 2 III.0 d. Solo I y III e. Solo II y III c. Solo III 42 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 42 2/11/11 16:53:46 Ficha de refuerzo 441 − 3 1331 c. 2. Usando las propiedades de las raíces, resuelve: a. 5 ⋅ 125 b. 3. Racionaliza: a. 2 7 b. 3 2 16 7 500 c. 7 c. 3− 2 3 26 3 13 4. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales. No olvides comprobar tus resultados: a. x + 17 = 23 b. 28 − 3 x + 3 = 5 c. 3 1 x + 31 = 3 2 5. Dada la función f ( x ) = 3 x − 6, grafícala (puedes ayudarte con el programa Graphmatica) y luego responde: ¿Cuál es el valor mínimo de la función? ¿Para qué valor de x se obtiene dicho valor? ¿Qué valor toma la función cuando x = 5? ¿Qué valor debe tomar x para que la función sea igual a 15 ? buscó en un libro y encontró que la fórmula a2 era A = 3, donde a es la medida del lado 4 del triángulo ¿Puedes calcular tú el área del triángulo? b. Ignacio aprendió en su clase de Física que el tiempo que se demora un objeto en caer desde una altura h, en caída libre, está dado 2h por t = , donde g = 9,8 m/s2. ¿Cuánto g se demora la pelota de Ignacio en llegar al suelo si la deja caer desde 4,9 m? Material Fotocopiable a. b. c. d. un triángulo equilátero de lado 5?" Ella UNID AD 1 PSU donde preguntaban: "¿Cuál es el área de Material Fotocopiable a. 2 25 1 b. 3 729 3 a. Martina leyó un ejercicio de un ensayo de Material Fotocopiable 1. Calcula el valor de las siguientes raíces: 6. Resuelve los siguientes problemas: Material Fotocopiable Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno. No olvides colocar todo el desarrollo e incluye todos los pasos. 43 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 43 2/11/11 16:53:48 Material Material Fotocopiable 1. ( x −4 y 4 )( x+ y )( 3 2 x+4 y 4 ) Material Fotocopiable 2 2 2. 64 3 + 27 3 − 91 3. 6 5 ax + 25 ax 4. ax + ax + 5 b− x + 5 b− x 2 3 3 ( a) x 5 0 ,2 Material Fotocopiable 5. ¿Cuál es el valor de y en 6 0, 5 y + 60 = 1? 2 2 2 7 5 − +1 1 −6 3 5 6. + 2 5 4 2 2 − ⋅ +1 3 3 15 3 6− 7. Material Fotocopiable 5 Material Fotocopiable ) − ( −1 − 11.Dicen algunos que el 21 es el número de la buena suerte. Más aún que para que un proyecto tenga éxito debe estar un periodo de 21 días de incubación, como el del nacimiento de un pollo. Te invitamos a que simplemente remplaces x por 6 16 en x 6 + x 3 + 1, reduzcas usando propiedades e indiques si obtienes el número de la suerte para algunos... ¿Tienes algún número para la buena suerte?... I. Ejercicios: n 9. ( 10. ) 2 −27 + II. Desafío: x2 − 4 x + 4 x2 + 6 x + 9 8. 3 mx n m5 x ⋅ 6 m x −1 ⋅ n 2 3 6 2− 3− 5 15 −2 + 100 256 ) − ( −1 − 5 12.El orientador del colegio está enseñando algunas técnicas de estudios y explicó que en algunas oportunidades los problemas por resolver parecen ser más difíciles de lo que son y que la clave está en aplicar estratégicamente lo que sabemos. “Estratégicamente” es la palabra que a Delia le quedó dando vueltas en su mente durante todo el día... la aplicó en varios ejercicios con éxito. ¿Cómo resuelves 6 x ⋅ 4 x 3 y cuál es el resultado expresado como una raíz? Herón de Alejandría, ingeniero griego que vivió entre los años 10 – 70 d. C., planteó que el área de un triángulo se podía calcular sólo con la medida de sus tres lados mediante la siguiente fórmula: 3 −27 ) 2 + 256 Sean a, b y c los lados de un triángulo cualquiera y s su semiperímetro (la mitad del valor del perímetro). Entonces se tiene que: A = s ( s − a) ( s − b) ( s − c ) ¿Cómo puedes saber que esta fórmula se cumple? ¿Será siempre así? ¿Cómo se podrá demostrar? Material Fotocopiable 2 + 100 Actividades de profundización 44 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 44 2/11/11 16:53:51 La evaluación debe ser vista como un proceso continuo que se da a través de todo el proceso enseñanza–aprendizaje. Resulta indispensable que cada estudiante sea partícipe de su evaluación, de manera de ir recibiendo la información necesaria que le permita revisar, corregir y estar seguro de la calidad de su aprendizaje. De este modo, se deben emplear, tanto por el profesor como por los estudiantes, diversos instrumentos de evaluación a lo largo de la unidad. Algunos sugeridos son: a. b. c. d. e. Escalas de apreciación Listas de cotejo Trabajos grupales formativos Actividades individuales o grupales de estudio Evaluaciones sumativas UNID AD 1 Instrumentos de evaluación Escalas de apreciación Sirven para recolectar información sobre el trabajo puntual realizado por los alumnos y alumnas en una clase o en una actividad determinada. Un ejemplo de estas, que podría ser usada, por ejemplo, al final del estudio de cada una de las propiedades de las raíces, es: Nombre del estudiante: Curso: Fecha: Actividad: Promedio obtenido: Porcentaje de logro: Según tu apreciación personal del trabajo realizado, coloca una nota de 1 a 7 en cada una de las siguientes preguntas: 1. ¿He entendido los conceptos de la sección? 2. ¿He entendido los ejercicios resueltos o de ejemplos? 3. ¿He sido capaz de desarrollar los ejercicios propuestos? 4. ¿He aportado al desarrollo de la clase? 5. ¿Me he preocupado de preguntar lo que no me quedó claro? 6. ¿He realizado un buen trabajo en equipo junto a mis compañeros? (en caso de trabajo en grupo) 7. ¿He demostrado interés en aprender? 8. ¿He puesto todas mis capacidades al servicio de mi aprendizaje? 45 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 45 2/11/11 16:53:51 Listas de cotejo Sirven para recolectar información sobre el nivel de logro de aspectos trabajados en las secciones de la unidad. Pueden ser dirigidas al estudiante o trabajadas por el profesor. Un ejemplo de estas es: Curso: Realiza las tareas dadas Alumno Aporta al trabajo de su grupo NL: Trabaja bien en clases Realiza los ejercicios propuestos PL: Explica los conceptos fundamentales Logrado Por lograr No logrado Pregunta cuando tiene dudas Escala: L: Abarca Juan Baeza Lorena También se puede aplicar al trabajo grupal. Por ejemplo, en los ejercicios de síntesis y evaluación de la unidad. Trabajos grupales formativos Son guías pequeñas o actividades cortas (en el Texto del Estudiante están indicadas como trabajos grupales), que los estudiantes deben realizar en grupo (recuerde que un buen método de estudio es apoyarse con sus pares). Se sugiere que el profesor corrija la actividad con el curso y pueda entregarles retroalimentación acerca de los posibles errores cometidos. Actividades grupales o individuales de estudio Siempre, antes de una evaluación calificada, es recomendable que los alumnos y alumnas conozcan el instrumento de evaluación que se aplicará, por lo que se sugiere desarrollar una breve actividad en clase donde cada estudiante pueda revisar los conceptos fundamentales tratados en la sección. Esta actividad podría contener confección de mapas conceptuales, ítems de verdadero y falso, de completación, ejercicios de resumen y aplicación. En esta guía didáctica se entregan actividades y ejercicios complementarios que pueden servir de gran ayuda. 46 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 46 2/11/11 16:53:51 Evaluaciones sumativas También se puede evaluar bajo la idea de Coevaluación, entendida como aquella evaluación entre pares de una actividad o trabajo realizado. Este tipo de evaluación puede darse en diversas circunstancias: Durante la puesta en marcha de una serie de actividades o al finalizar una unidad didáctica, estudiantes y profesores pueden evaluar ciertos aspectos que resulten interesantes destacar. Al finalizar un trabajo en equipo, cada integrante valora lo que le ha parecido más interesante de los otros. UNID AD 1 Entenderemos que estas son, en gran parte, calificadas y resumen todos los contenidos de la unidad. No obstante, también pueden aplicarse como evaluaciones formativas. En esta guía se entregan dos instrumentos de evaluación. Luego de una ponencia, se valora conjuntamente el contenido de los trabajos, las competencias alcanzadas, los recursos empleados, etc. Se sugiere al docente visitar el siguiente enlace para optimizar este recurso evaluativo: http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a0286a13e6329d3f&ID=137573 COEVALUACIÓN TEMA: FECHA: : INDICADORES Niveles de logro INTEGRANTES DEL GRUPO 1 2 1 3 4 5 4 = SÍ 8 = NO 2 3 4 Total 1. Aporta ideas al grupo. 2. Es responsable. 3. Coopera con el trabajo de su grupo. 4. Es prolijo en el trabajo. 5. Mantiene buenas relaciones en el grupo. Note que el ítem de alternativas propuesto en el libro tiene una evaluación porcentual de logro que los estudiantes deben calcular. Esta se puede traducir a nota según las siguientes tablas (al 50% o al 60%). 47 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 47 2/11/11 16:53:52 Escala al 50 % % nota % nota % nota % nota % nota 0 1,0 21 2,3 42 3,5 63 4,8 84 6,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1,1 1,1 1,2 1,2 1,3 1,4 1,4 1,5 1,5 1,6 1,7 1,7 1,8 1,8 1,9 2,0 2,0 2,1 2,1 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 2,4 2,5 2,6 2,6 2,7 2,7 2,8 2,9 2,9 3,0 3,0 3,1 3,2 3,2 3,3 3,3 3,4 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 3,6 3,6 3,7 3,8 3,8 3,9 3,9 4,0 4,1 4,1 4,2 4,2 4,3 4,4 4,4 4,5 4,5 4,6 4,7 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 4,8 4,9 5,0 5,0 5,1 5,1 5,2 5,3 5,3 5,4 5,4 5,5 5,6 5,6 5,7 5,7 5,8 5,9 5,9 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 6,1 6,2 6,2 6,3 6,3 6,4 6,5 6,5 6,6 6,6 6,7 6,8 6,8 6,9 6,9 7,0 2,2 41 3,5 62 4,7 83 6,0 % nota % nota % nota % nota % nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 48 24 25 2,3 2,4 20 Escala al 60 % 48 22 23 20 1,0 1,1 1,1 1,2 1,2 1,3 1,3 1,4 1,4 1,5 1,5 1,6 1,6 1,7 1,7 1,8 1,8 1,9 1,9 2,0 2,0 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 2,1 2,1 2,2 2,2 2,3 2,3 2,4 2,4 2,5 2,5 2,6 2,6 2,7 2,7 2,8 2,8 2,9 2,9 3,0 3,0 3,1 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 3,1 3,2 3,2 3,3 3,3 3,4 3,4 3,5 3,5 3,6 3,6 3,7 3,7 3,8 3,8 3,9 3,9 4,0 4,0 4,1 4,2 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 4,2 4,3 4,4 4,5 4,5 4,6 4,7 4,8 4,8 4,9 5,0 5,1 5,1 5,2 5,3 5,4 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 5,8 5,9 6,0 6,0 6,1 6,2 6,3 6,3 6,4 6,5 6,6 6,6 6,7 6,8 6,9 6,9 5,4 100 7,0 5,7 5,5 5,6 5,7 2/11/11 16:53:52 Evaluaciones I. Coloca V (verdadero) o F (falso) en cada una de las siguientes afirmaciones según corresponda. No olvides revisar tus respuestas al final del libro, cuando hayas terminado. 1. ____Raíz cuadrada de 19 es irracional; por tanto, al calcularla solo se obtiene una aproximación racional de ella. 2. ____La raíz cúbica de un número negativo representa un número real negativo 3. ____ 256 se puede descomponer como −16 ⋅ −16 4. ____4 se puede escribir como 3 64 − 64 . 5. ____ x 2 − y2 = x − y 6. ____Racionalizar consiste en transformar una expresión fraccionaria con raíces en el denominador en otra equivalente con raíces solo en el numerador 7. ____ 3 3 11 = 6 33 . x − 5 = −3 9. ____ –0,75 es un valor del dominio de f (x) = 4 x +3 ) ( ) 2 2 25 − ( 2) 25 − 2 = 2 II. Usando las propiedades de las potencias, desarrolla los siguientes ejercicios. Recuerda simplificar cada expresión, de ser posible. 25 36 2. Aproximar a dos decimales el valor de 1. 3. 4+ 3 110,06 196 3 500 4 − + 0,0256 16 256 ( 5. ( 4 4. 4 2 − 3 5 ) 2 5 + 22 + 1 )( 22 + 11 − 2 5 6. 4 9 x 5 y 8 : 5 4 x 3 y 2 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 49 9. z3 x y4 2 6+2 5 ⋅ 6−2 5 5 5+ 5 1 5 3 5 + 11 10. 3 5 − 11 III. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales; no olvides comprobarlas. 2 x +1 =3 7 x x +5 − =5 x +5 1. 2. 3. 3 x + 1 = 2 x + 1 − 2 4. 5. 3 x + 11 + 5 = 1 4 − 2+ x +5 = 0 IV. Resuelve los siguientes problemas de planteo: 8. ____La solución de la ecuación es x = 14 ( 7−4 3 ⋅ 7+4 3 8. Evaluación 1 10. ___ 7. Escribe como producto de potencias UNID AD 1 De manera complementaria al Texto del Estudiante, a continuación se presentan dos evaluaciones con diferentes ítems para servir de apoyo al docente. ) 1. La empresa donde trabaja Heriberto lo ha enviado a un instituto a estudiar la carrera de Técnico Superior en Electricidad. La condición para que la empresa pague sus estudios es que apruebe todas las asignaturas del primer semestre. Desafortunadamente, la de Matemática básica le ha sido difícil. No recuerda mucho lo estudiado en enseñanza media. El profesor fijó la próxima prueba y el tema es raíces. Al desarrollar la guía preparatoria quedó detenido en los ejercicios de división de raíces. ¿Cuál será el resultado de 50 : 3 6 ? 72 + 512 − 722 2. Beatriz, Sandro y Paloma están asistiendo a un Taller de Astronomía, en representación de su liceo. Allí aprendieron que una Unidad Astronómica (U.A.) corresponde a la distancia de la tierra al sol. Estudiaron además las leyes de Kepler, la tercera de ellas dice que:“Si R 49 2/11/11 16:53:54 representa la distancia de un planeta al sol, y si se llama t al tiempo que tarda en dar una vuelta completa alrededor de él, entonces, dividiendo el cubo de R por el cuadrado de t, siempre se obtiene un mismo número llamado K”. R3 Esto se expresa 2 = K t Los participantes en el taller trabajaron en grupos desarrollando ejercicios en los que se aplicaban las leyes de Kepler. El último problema decía: “Teniendo en cuenta que la distancia Venus-Sol es de 0,723 U.A., ¿a cuántos años terrestres equivale un año de Venus?” 3. La fábrica de tapas “Herméticas” recibe un pedido de presupuesto para 5 000 tapas de dos tipos: Añil y Beage, a nombre del Sr. A. Buscapleitos. Se solicita que la razón entre el área basal (s) de una tapa Añil con respecto al área basal (S) de una tapa Beage sea de 8 es a 50. El encargado de los presupuestos de fabricación, el señor P. Sinengaños, debe determinar la razón entre los radios de las tapas para poder calcular su presupuesto. ¿Cuál es esta razón? 4. Manuel es deportista de alto rendimiento y se está preparando para una competencia. Cada día debe entrenar un número de horas determinado por la siguiente función: d h ( d ) = 1, 5 + 2, donde h son las horas que 2 debe entrenar y d es el día de entrenamiento (1 es el 1er día, 2 el 2º día, etc.). ¿En qué día entrenará 6 horas diarias? V. Marca la alternativa correcta. 1. El valor de 4 4 ⋅ 36 es: a. 6 b. 12 c. 36 d. 2 3 e. 4 12 2. Al efectuar la división a b : b a , se obtiene: ab e. c. b a. ab b ab d. b. a a 3. Al reducir la expresión 3 + 12 − 27 − 243 3 a. un número entero , se obtiene: b. un número racional positivo c. un número que no es real d. un número irracional e. No se puede determinar 1 −1 4. Si a = 92 y b = 27 2 , entonces el valor de b : a es: 3 27 3 b. 9 a. c. 3 3 d. 9 3 e. 3 b. 2 5 1 1 80 + 180 ? 2 18 7 c. e. 5 5 3 d. 4 5 b. 18 d. 34 b. 4 13 cm d. 4 cm I. q2 II. q q 5. ¿Cuál es el valor de a. 5 6. El resultado de la ecuación 3 2 + x + 2 = 2 es: c. 24 e. 38 a. 14 7. La diagonal de un rectángulo de ancho a y largo l está dada por la ecuación d = a2 + l 2 . Si la diagonal de un rectángulo de largo 12 cm mide 14 cm, entonces el ancho del rectángulo mide: c. 2 13 cm e. 2 cm a. 52 cm 8. Si q es un número irracional, entonces ¿cuál(es) de los siguientes números no necesariamente es (son) racional(es)? III.q + q a. Solo I c. Solo II y III e. I, II y III b. Solo II d. Solo I y II 50 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 50 2/11/11 16:53:56 7 5 2 7 5 b. − 2 a. 7+3 5 2 −7 + 5 d. 2 c. − e. −7 − 5 2 10.Con respecto a la imagen de 2 bajo la función y = 4 x 2 , siempre se puede afirmar que es igual a: I. la imagen de –2 bajo la misma función II. la imagen de 2 bajo la función y = 4x III.la imagen de –2 bajo la función y = 4x a. Solo I d. I, II y III b. Solo I y II c. Solo II y III e. Ninguna de las anteriores 10.El dominio de la función f ( x ) = x + 23 contiene a todos los reales mayores o iguales a.......... II. Usando las propiedades de las potencias, desarrolla los siguientes ejercicios. Recuerda simplificar cada expresión, de ser posible. I. Complete cada oración según corresponda. 1. No se pueden calcular raíces cuadradas de números.......... 2. Al extraer la raíz cúbica de la raíz cuadrada de 729 se obtiene.......... 3. Si el área de un cuadrado es 32 a2, entonces su lado vale.......... 4. El valor obtenido al multiplicar cuatro veces por sí misma 4 2,4 es.......... 5. ..........es la expresión como potencia de 3 (−2) 5 5 6. Al multiplicar 2 por 4 y expresar la respuesta en una única raíz, se obtiene.......... 7. Si x ⋅ 3 3 = 3 24 , entonces el valor de x es igual a .......... 29 8. Al racionalizar 29 , la expresión equivalente que se obtiene es igual a.......... 9. El valor de x que satisface la ecuación x + 6 = 4, es.......... 4+ 4 17 16 1 3. 2 − 2 4. 2 2 ⋅ 24,5 3 5 5. Evaluación 2 −512 125 1. 3 2. UNID AD 1 3+ 5 9. Al racionalizar la siguiente expresión 5 −3 se obtiene: 11 − 4 81 8 ⋅ 5 0, 125 + 8 ⋅ 18 ( 4 2 5 2 − 3 0, 5 ) 6. 2 49 x 5 y 6 : 7 4 x 3 y 4 7. Escribe como producto de potencias. 3 10 − 4 5 8. 6+2 5 ⋅ 2 3 −4 9. 10. 75 a2b5 z3 10 + 4 5 6−2 5 7 +2 5 7− 5 III. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales; no olvides comprobarlas. 1. 2. 3. 4. 5. 33 x + 4 = 6 x 2 + 13 + 3 = x 1 x +7 2 2 = 3 6 x +6 ⋅ x +1 x +3 13 3 x +5 =1 2 = x +3 51 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 51 2/11/11 16:53:59 IV. Resuelve los siguientes problemas de planteo: 1. Juan Carlos, amante del surf, decide construir un estante para guardar sus tablas: la más larga mide 2,5 metros. Las medidas con las que lo construyó fueron: 1,5 x 1 x 1 metro. ¡Pobre Juan Carlos, esto no va a funcionar! ¿Puedes decir por qué? Escribe algunas de las medidas con las que podría construir su estante. 2. Cuando Fernando decidió estudiar ingeniería hizo un plan para preparar la PSU. Investigando sobre raíces, encontró en un libro una propiedad que decía que: n⋅ p n m p q a ⋅ b = amp bnq . Él lo demostró usando la definición de las raíces como potencias de exponente racional. ¿Lo puedes hacer tú? ¡Seguro que sí! 3. El curso de María Paz fue de visita a una fábrica de arte en vidrio. Allá encontraron a Don Severino, quien estaba haciendo muchas figuras. Entre las lindas figuras había una esfera muy grande llena de agua. Don Severino le explicó a María Paz que en ella cabían 45 litros. ¿Qué diámetro tenía la π = 3, 14 . esfera? considere p 4. Rigoberto y su curso asistieron a un museo tecnológico. En la sala de la relatividad vieron muchas fórmulas que aparecían y desaparecían, continuamente, en una pantalla. Todos reconocieron, de inmediato, una muy famosa: E = mc2, y al lado, una foto animada de Albert Einstein. El guía detuvo la pantalla y señaló una fórmula que era un poco complicada de escribir: m0 m= 2 v 1− c Esta fórmula serviría para calcular la masa de un objeto en relación a la velocidad que lleve. Por ejemplo, les contó: “si una persona de 90 kg viajara a una velocidad muy cercana a la velocidad de la luz, ¡imagínense, a 270000 km por segundo!, su masa sería aproximadamente de 206 kg. Es decir, aumentaría”. “¿Pero cómo lo sabe?, se preguntaron unos a otros”. Él les explicó que m0 es la masa de la persona, v es la velocidad en que viaja, c = 300 000 km s es la velocidad de la luz y m la masa que adquiría la persona. Para corrobar lo que el guía les dijo, haz los cálculos respectivos. V. Marca la alternativa correcta. 1. ¿Cuál(es) de las siguientes propiedades se cumple(n) siempre para las raíces? I. a ⋅ b = ab II. a + b = a+b III. n ⋅ a = na a. Solo I c. Solo I y III b. Solo I y II d. Solo II y III e. I, II y III 2. Si x = 4, entonces el valor de 16 ⋅ x es: a. 8 b. 16 3. Al racionalizar a. 3 3 5 b. 5 3 5 c. 32 d. 64 3 5 25 , se obtiene: 3 5 5 33 5 d. 5 c. e. 128 e. 53 5 5 4. Si la diagonal de un cubo mide 4 3 cm, ¿cuánto mide, en cm2, el área total del cubo? a. 24 b. 64 c. 72 d. 96 e. 288 5. Al calcular el producto de 5 ⋅ 13 − 8 por 5 ⋅ 13 + 8 el resultado es: a. 0 b. 1 c. 8 d. 10 e. 24 6. La ecuación 2 x − 2 + 1 = 0 tiene por solución: 3 2 b. 1 a. c. – 1 d. − 3 2 e. No tiene solución 7. La preimagen de 9 bajo la función y = x + 7 es: a. 88 b. 74 c. 11 d. 4 e. 2 52 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 52 2/11/11 16:54:02 a. 2 b. 5 5 5 es igual a: c. 4 2 4 d. 5 e. 4 10 2 1 9. El resultado de 7 + es: 7 a. un número natural b. un número entero c. un número racional d. un número irracional e. un número que no es real b. 2 6 c. 2 37 d. 74 Puntaje obtenido Indicador 10.Con la medida de la diagonal de un rectángulo de lados 5 y 7 cm se construye un cuadrado cuyo lado mide lo mismo que dicha diagonal. ¿Cuál es la medida de la diagonal del cuadrado? a. 2 3 Pauta de evaluación sugerida para evaluación 1 y 2: Esta pauta puede aplicarse para obtener el porcentaje de logro, transformarlo a calificación y también para evaluar cada ítem pedido. Puede parcelar la evaluación como trabajo individual en varias clases y luego promediar la calificación o los porcentajes de logros obtenidos. Complete la tabla adjunta: e. 4 74 Puntaje total Número de respuestas correctas del ítem I (verdadero y falso). Asigne 1 punto por cada respuesta correcta. 10 Número de ejercicios desarrollados correctamente en el ítem II (uso de propiedades). Asigne 2 puntos a cada ejercicio. 20 Número de ecuaciones irracionales resueltas correctamente del ítem III. Asigne 2 puntos a cada ejercicio. 10 Número de problemas de planteo resueltos correctamente del ítem IV. Asigne 2 puntos a cada ejercicio. Número de alternativas contestadas correctamente del ítem V. Asigne 1 punto a cada respuesta correcta. Total UNID AD 1 8. El valor de 8 10 58 Para traducir a porcentaje de logro el puntaje obtenido, use la siguiente fórmula: Porcentaje = Puntaje obtenido ⋅ 100 58 Para traducir a nota el porcentaje obtenido puede usar las tablas anteriores. 53 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 53 2/11/11 16:54:02 Solucionario de la Unidad Actividades de refuerzo Ficha de refuerzo I. 1. V 3. V 5. F 7. V 9. F 2. F 4. V 6. F 8. V 10.F II. 1. 32 2. 1 1 3 7. xy 2 z 1 6 − 1 2 3 −4 9. 3 2 7 + 10 10. 18 4. 3 5. 2,25 6. 6 x 2b 193 8 2. 2,5 3. 8 III. 1. b. 3 c. 10 2 7 7 4. a. 512 b. 3 + 2 c. 2 3 169 2. a. 25 3. a. 8. 0,7. Sí 3. 8,36 1. a. 10 5. a. 0 6. a. 5 3 4 b. 2 b. 8 b. x = 2 c. 3 c. 50 c. – 8 b. 1 segundo. d. 7 Actividades de profundización 4. 2 5. 9 I. 1. x – y IV. 1. 6,5 metros 2. 514 estudiantes aprox. 3. No, ya que el diámetro de la cama tendría que ser 1,60 m. 4. 22 pasos V. 1. b 3. c 5. d 7. c 9. e 2. b 4. d 6. c 8. a 10.e 2. 34 3. 4 5 a x b x 4. 3 x a 5. 8 6. – 4 7. n m7 x −1 x −2 x +3 1 9. − 2 3 − 3 2 + 30 2 8. ( ) 10. 0 11. 21, sí. 12.12 x 11 54 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 54 2/11/11 16:54:03 Evaluación 2 I. 1. V 3. F 5. V 7. F 9. V 2. V 4. F 6. V 8. F 10.F I. 1. Negativos 6. 5 2. 3 7. 2 3. 4 2 a 1 6 2. 4,79 II. 1. 2 4. 2,4 5. ( −2) 3. 2,65 9. 10 5 3 10.–23 II. 1. –1,6 4. 77 − 24 10 2 5 2 6−4 3 9. 15 17 + 3 35 10. 2 8. 3. 0,5 3 4. 3,5 7. x −1 y −2 z 2 13 28 6. xy 8. 0,25 26 9. 5 10. 28 + 3 55 17 III. 1. 31 5. III. 1. 1 724 4. –75 2. – 4 3. No tiene solución 4. 3 5. 1 2. no tiene solución 5. 191 5 7. a 3 b 3 z −1 2. 1,5 5. 2 110 + 12 22 + 42 5 − 7 6. 1,2 xy3 8. 29 UNID AD 1 Evaluación 1 3. –2 IV. 1. Porque la diagonal de este paralelepípedo mide aprox. 2,06 metros 5 6 IV. 1. 54 2. aprox. 0,61 años terrestres p 2. Por demostrar que n am ⋅ bq = q m mp n⋅ p amp bnq nq 1 ⇒ n am ⋅ p bq = a n ⋅ b p = a np ⋅ b np = (amp bnq )np = np amp bnq 3. 0, 40 4. al 15° día V. 1. d 3. a 5. c 7. c 9. c 2. e 4. a 6. d 8. e 10.d (a mp nq b ) 1 np np = amp bnq 3. El diámetro mide aprox. 44,14 cm 4. m = 90 270 000 1− 300 000 mª206 kg 2 V. 1. a 3. e 5. b 7. b 9. c 2. d 4. d 6. e 8. d 10.c 55 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 55 2/11/11 16:54:07 Bibliografía y detalle de links de la Unidad Referencia histórica Algunos links de apoyo son: http://www.sectormatematica.cl/historia/ historiaencomic.swf Explica, a través de un cómic a color, la historia de las matemáticas. Incluye algunas animaciones con y sin sonido. Permite de una manera grata, descubrir y contextualizar la matemática, e invita al final a que el estudiante se una al desarrollo del mundo de las matemáticas. http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/ Historiamatindex.asp Es un centro virtual para la divulgación de las matemáticas. Es un sitio español con colaboradores universitarios. A través de varios links de historia de las matemáticas, publicaciones, links de recursos en internet, etc. Con colaboraciones universitarias, presenta algunos documentos en formato pdf descargables e imprimibles. Otros solo versión imprimible. Función raíz cuadrada •Graphmatica, también gratuitamente desde: http://graphmatica.programas-gratis.net/ Sitios de descargas. Además de Graphmatica, ofrece programas similares, algunos gratuitos y otros de evaluación. Algunos de computación. Al final de la página aparece link hacia aviso legal y condiciones de uso contenidas en el mismo sitio. Instrumentos de evaluación Se sugiere al docente visitar el siguiente enlace para optimizar este recurso evaluativo: http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/ VerContenido.aspx?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a0286a13e6329d3f&ID=137573 Es un portal de la educación, donde usted puede conseguir varias indicaciones prácticas destinadas a la coevaluación y autoevaluación citando la fuente de procedencia. El material está además en pdf descargable e imprimible. Tiene además links de interés para docentes, estudiantes y familia, no solo en matemáticas, sino también para las otras asignaturas o áreas del quehacer educativo. Para graficar, se sugieren los siguientes softwares: •Graph, que se puede bajar gratuitamente desde: http://gratis.portalprogramas.com/graph.html Sitio de descargas. Además de Graph, ofrece programas similares, algunos gratuitos, de evaluación y otros de computación. Al final de la página aparece link hacia información legal contenida en el mismo sitio. 56 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 56 2/11/11 16:54:07 •Elbridge, V. (1965). Álgebra y Trigonometría Modernas. Massachusetts-Palo Alto -London: Addison Wesley PubIishing Company, Inc. 2ª ed. •Swokowsky, E. y Cole, J. (2008). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. México DF.: Thomson Editores. 11ª ed. •Masjuán, G.; Arenas, F. y Villanueva, F. (2008). Álgebra clásica. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 1ª ed. •Tapia, O.; Ormazábal, M.; Olivares, J. y López, D. (2009). Manual de preparación para PSU matemática. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 9ª ed. •Sobel, M.y Lerner, N. (2006). Precálculo. México D.F.: Pearson Educación Prentice Hall. 6ª ed. •Spiegel, M. (2007). Álgebra superior (Serie Schaum). México D.F.: Editorial Mac Graw Hill. 3ª ed. •Tapia, O. y Ormazábal, M. (2008). Cuaderno de ejercicios PSU matemática. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 5ª ed. UNID AD 1 Bibliografía temática Sitios web sugeridos Propuesta de actualización de conocimientos para el docente: http://www.elprisma.com/apuntes/apuntes. asp?categoria=704 http://www.sectormatematica.cl/articulos.htm En el buscador que presenta la página usted puede buscar la materia que desee actualizar. El sitio web es un portal para investigadores y profesionales. Es una biblioteca virtual de varias áreas del saber: Ingeniería, Medicina, Matemática, etc. Contiene apuntes y cursos para la comunidad universitaria. Sin embargo, se pueden encontrar suficientes apuntes en formato Word y pdf, la mayoría descargables y reproducibles, como los que están en este link. Contiene links a diversos artículos para conocer el pensamiento y trabajo de matemáticos, y educadoras y educadores del mundo. Los artículos están en formato Word , pdf, descargables y reproducibles. También hay otros links internos y externos, como poesía, revistas, etc. 57 U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 57 2/11/11 16:54:07 Unidad 2 Ecuaciones cuadráticas y función cuadrática Presentación de la Unidad El estudio de las ecuaciones ha sido una parte fundamental en el desarrollo de la matemática y de todas las disciplinas que dependan de ella. El encontrar una fórmula general que resolviera ecuaciones de grado superior a uno se convirtió en un objetivo clave para muchos matemáticos en la historia. Entre todas las ecuaciones, las cuadráticas juegan un papel importantísimo en la resolución de muchos problemas de la vida diaria y, unida a ellas, la función cuadrática nos ayuda a modelar situaciones cotidianas en variados campos. A través de esta unidad los estudiantes aprenderán la importancia de estos temas y su utilidad. En esta guía didáctica, al igual que para la unidad anterior, se continuará con el apoyo al docente en su trabajo. La unidad se inicia con una referencia, breve pero significativa, de la historia de la matemática (Pág. 77 del libro Texto del Estudiante) con respecto a las razones de la aparición de la ecuación de segundo grado, la manera en que se fue abordando su resolución a través del desarrollo del tiempo, su uso, y cómo se relacionan estos conceptos con el de función. De esta manera, se ayuda a los estudiantes a entender que los descubrimientos matemáticos se suceden en la historia humana concatenadamente con ella. Algunos links de apoyo son: http://personal.globered.com/monis-en-asesoria-y correccion/categoria.asp?idcat=21 http://www.google.cl/archivesearch?q=historia+de+la+matematica&scoring=t&lr=lang_ es&hl=es&um=1&sa=N&sugg=d&as_ldate=0AD&as_hdate=199AD&lnav=hist2 La sección de conocimientos previos (Páginas 78 del Texto del Estudiante) está dirigida a la revisión del concepto de factorización y algunos casos de factorización (factor común, trinomio cuadrado perfecto y trinomio de la formaax 2 + bx + c ), que son aquellos que usaremos en el desarrollo de esta unidad. No obstante, si usted lo considera necesario, se podrían revisar los otros casos de factorización. Se recomienda hacer algunos ejemplos adicionales de cada caso. Los ejercicios propuestos son sencillos y directos (estos son el tipo de factorización al que el alumno se verá enfrentado), por lo que no revisten mayor dificultad. Algunos links desde donde se pueden extraer ejercicios de este tema son: http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/gemafacto.htm http://es.scribd.com/doc/3055044/Ejercicios-de-factorizacion Al final de esta sección se plantea una autoevaluación para los estudiantes. Dé tiempo para que la realicen a conciencia y responsablemente. Si hay contenidos que sus estudiantes aún no manejan, es bueno dar una clase más a ejercitación. 58 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 58 2/11/11 16:56:44 Se trabajan en esta sección habilidades como reconocer, calcular, aplicar, relacionar. Un esquema que resume los contenidos por tratar en esta unidad es el siguiente: ECUACIONES CUADRÁTICAS Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Concepto de ecuación cuadrática Concepto de función cuadrática Tipos de ecuaciones cuadráticas y métodos de resolución Análisis de la función cuadrática UNID AD 2 Es importante que se realice la evaluación en cada una de las secciones en las que están propuestas, ya que con ellas, el alumno podrá evaluar su avance y establecer remediales en conjunto con su profesor, para aquellos contenidos no logrados. Problemas de aplicación a la vida diaria Objetivos y planificación Antes de comenzar el desarrollo de los temas se deben tener claros los objetivos y la planificación de la unidad. Presentamos aquí los objetivos que deben alcanzar los estudiantes a través de la unidad y una propuesta de planificación de ella. Objetivos Fundamentales de la Unidad •Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de ecuaciones cuadráticas y función cuadrática. •Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de problemas y el análisis de situaciones concretas. •Modelar situaciones o fenómenos a través de funciones cuadráticas. •Resolver desafíos con grado de dificultad creciente, valorando las propias capacidades. •Percibir la matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos. •Razonar lógica y deductivamente para ir en búsqueda de nuevos métodos de solución a los problemas que se plantean. 59 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 59 2/11/11 16:56:44 Planificación de la Unidad Unidad 2 “Ecuaciones cuadráticas y función cuadrática” CMO Tiempo de duración Aprendizajes esperados 30 horas pedagógicas. Indicadores de evaluación Concepto de ecuación cuadrática. Distinguir ecuaciones cuadráticas. Reconoce una ecuación cuadrática y la diferencia con una ecuación lineal. Ecuaciones cuadráticas incompletas. Reconocer ecuaciones cuadráticas incompletas. Reconoce una ecuación cuadrática incompleta. Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas, decidiendo el método adecuado. Resuelve ecuaciones cuadráticas incompletas usando el método adecuado. Reconocer ecuaciones cuadráticas completas factorizables. Reconoce ecuaciones cuadráticas que puedan factorizarse y las resuelve usando este método. Ecuaciones cuadráticas completas factorizables. Resolver ecuaciones cuadráticas factorizables. Resolución de ecuaciones cuadráticas por completación de cuadrados. Utilizar el método de completación de cuadrados para resolver ecuaciones cuadráticas. Resuelve ecuaciones cuadráticas mediante el método de completación de cuadrados. Ecuaciones cuadráticas completas y fórmula general. Conocer la fórmula general para la resolución de ecuaciones cuadráticas. Reconoce la fórmula de resolución de ecuaciones cuadráticas como fórmula general para resolver cualquier tipo de ecuaciones cuadráticas. Resolver ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula general. Resuelve ecuaciones cuadráticas usando la fórmula general. Aplicación de ecuaciones cuadráticas a problemas. Plantear y resolver problemas que involucran ecuaciones de segundo grado. Explicitar sus procedimientos de solución. Resuelve problemas de planteo que involucren ecuaciones cuadráticas. Analiza la pertinencia de las soluciones obtenidas. Analizar la existencia y pertinencia de las soluciones obtenidas. Concepto de función cuadrática. Reconocer una función cuadrática. Análisis de la función cuadrática según Analizar la función cuadrática en el sus principales características. marco de la modelación de algunos fenómenos sencillos, estableciendo concavidad, puntos de corte con los ejes coordenados, vértice, eje de simetría. Reconoce una función cuadrática según su forma algebraica. Analiza la función cuadrática determinando sus principales características: concavidad, vértice, puntos de corte con los ejes coordenados, eje de simetría y gráfico. Intersección de la parábola con el eje x. Determinar los puntos de corte de una Determina los puntos de corte con el parábola con el eje x estableciendo eje x. condiciones para ellos. Establece las condiciones necesarias para que una parábola corte al eje x en uno, dos o ningún punto. 60 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 60 2/11/11 16:56:44 Aprendizajes esperados Indicadores de evaluación Gráfico de la función cuadrática y análisis de funciones del tipo: y = ax 2 ; y = x 2 ± a , a > 0; 2 y = ( x ± a ) a > 0;; y = ax 2 + bx + c . Conocer la parábola como un lugar geométrico, reconocer su gráfica e identificar aquellas que corresponden a una función cuadrática. Analizar las funciones del tipo: y = ax 2 ; y = x 2 ± a , a > 0; 2 y = ( x ± a ) a > 0;; y = ax 2 + bx + c . Asocia la parábola con el gráfico de una función cuadrática. Analiza los gráficos de las funciones de la forma: y = ax 2 ; y = x 2 ± a , a > 0; 2 y = ( x ± a ) a > 0;; y = ax 2 + bx + c . Aplicación de función cuadrática a problemas. Aplicar la función cuadrática en diversos ámbitos de la tecnología y situaciones que se puedan modelar a través de ella. Resuelve problemas cotidianos que se modelan a través de funciones cuadráticas. Uso de herramientas tecnológicas apropiadas para los contenidos de la unidad. Utilizar algún programa computacional (graficador) para graficar y analizar las funciones cuadráticas. Utiliza el programa Graphmatica u otros similares para graficar y analizar funciones cuadráticas y también como ayuda para resolver problemas que involucren funciones cuadráticas. UNID AD 2 CMO 61 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 61 2/11/11 16:56:45 Desarrollo de la Unidad a) Introduciendo la Unidad A manera de introducción a la unidad, siempre conviene contextualizar los problemas que pueden ser resueltos con los contenidos que aprenderán los estudiantes. Una forma de crear la necesidad de los contenidos es planteando varios problemas desde distintos ámbitos. Se deben tomar algunos momentos de la clase en la que se comenzará la unidad para esto. Note que en algunos, la solución se puede obtener con los conocimientos que los estudiantes ya poseen y estos ejercicios se podrán resolver inmediatamente. En otros casos es conveniente plantearlos para crear la necesidad de abordar los contenidos de la unidad y retomarlos en el transcurso de ella. Algunos posibles ejemplos son: •Unagricultortieneunterrenodelímitesirregulares.Élnecesitacercar parte de su sitio para sembradío, de modo que este terreno sea cuadrado y que su área sea igual a 552,25 metros cuadrados. ¿Cómo podría saber el agricultor cuánto debe medir el lado del cuadrado? Si hacemos un bosquejo de la situación y escribimos los datos dados, tendremos que: 552,25 m2 x x El planteamiento conduce a x 2 = 552,25. ¿Qué tipo de ecuación es ésta? En la Unidad 1, dimos respuesta a la resolución de esta ecuación: 23,5 m. •“Cuandoeraniñomipapámeaseguróquehabíamásdeunnúmero que cumplía con la siguiente condición: “el quíntuplo de su cuadrado disminuido en su séxtuplo es cero”. Al plantear dicha ecuación, me encontré con lo siguiente: 5x 2 − 6 x = 0. En este caso ya no es posible extraer raíz cuadrada para resolverla como en el primer ejemplo. Entonces caben preguntas como: con lo que sabemos, ¿será posible resolverla?, ¿habrá algún método para hacerlo?, ¿tendrá siempre solución?, y si así ocurriere ¿será siempre única dicha solución?”, etc. b) Preparando cada tema Al igual que la unidad anterior de esta guía didáctica, se entregan algunas sugerencias metodológicas para tratar cada uno de los conceptos y ejercicios abordados en el Libro del Estudiante. También se resaltan algunas consideraciones y sutilezas conceptuales para que el docente las tenga presente. Al iniciar la preparación de cada tema se muestra un cuadro con los OFT tratados y las capacidades trabajadas según los MapasdeProgreso. 62 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 62 2/11/11 16:56:46 Ecuaciones cuadráticas: ¿qué son, cómo se resuelven y para qué sirven? OFT Se trabajan los siguientes: • Interés por conocer y explicar la realidad a través de la matemática. • Resolución de problemas desarrollando el pensamiento lógico. • Discernimiento de resultados en situaciones cotidianas para ver la pertinencia de ellos. • Uso de herramientas tecnológicas (calculadora). • Trabajo grupal. Mapas de Progreso Las capacidades trabajadas referentes al eje álgebra son(en niveles 6 y 7): • Resuelve ecuaciones de segundo grado identificando el conjunto al cual pertenecen sus soluciones. • Elabora estrategias de resolución, las desarrolla y justifica usando lenguaje algebraico. UNID AD 2 (Página 80 del Texto del Estudiante) • Interpreta y usa convenciones del álgebra para representar generalizaciones. • Muestra autonomía y flexibilidad en la transformación de expresiones simbólicas escribiendo, reconociendo y eligiendo formas equivalentes de distintas representaciones algebraicas. En esta sección se formalizará el concepto de ecuación cuadrática, haciendo énfasis en que una ecuación cuadrática o reductible a una ecuación cuadrática será toda aquella de la forma ax 2 + bx + c = 0, con, a ≠ 0 y a, b, c números reales. Después, el desarrollo plantea desde el análisis del tipo más sencillo de la ecuación cuadrática hasta el más complejo, utilizando como criterio para esta separación las herramientas que los estudiantes poseen para resolver una ecuación cuadrática. Lo que se pretende es solo utilizar la fórmula general cuando sea estrictamente necesario y que, a su vez, los estudiantes desarrollen la capacidad de análisis y apliquen todo lo aprendido anteriormente para dar respuesta a este tipo de ecuaciones. En la página 80, el problema de presentación de la ecuación de segundo grado está referido a una situación de los costos que tendrá una fiesta de graduación. La formulación matemática respectiva conduce a la necesidad de resolver el sistema: x ⋅ y = 1197 000 ( x + 12) ⋅ ( y − 1 000) = 1197 000 donde x representa la cantidad de personas que van e y el costo de la cena por persona. El desarrollo matemático concluye en la necesidad de la resolución de: −1 000x 2 + 14 364 000 − 12000x = 0, para luego obtener el valor de y. ¿Qué hubiera pasado si el desarrollo presentado en lugar de haber sustituido y se hubiera hecho con x? ¿Se habría obtenido una ecuación similar, en su estructura, a la anterior pero en la variable y? Si xy = 1197 000 ⇒ x = U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 63 1197 000 . Reemplazando en: y 63 2/11/11 16:56:47 ( x + 12) ⋅ ( y − 1 000) = 1197 000 1197 000 + 12 ⋅ ( y − 1 000) = 1197 000 y 1197 1197 000 000 000 000 1197 1197 000 000 − − + 12 + 12 y −y12000 − 12000 = 1197 = 1197 000 000 / −/1197 −1197 000 000 y y 1197 000 000 − + 12 y − 12000 = 0 /⋅y y −1197 000 000 + 12 y 2 − 12000 y = 0 De esta manera, también obtenemos una ecuación de segundo grado, y que es: −1197 000 000 + 12 y 2 − 12000 y = 0, con el requerimiento de aprender a resolverla. Definiremos ecuación cuadrática como aquella ecuación en la que al menos una de las incógnitas involucradas está elevada al cuadrado, siendo la mayor potencia de ella. 2 Así, una ecuación cuadrática será toda ecuación de la forma ax + bx + c = 0, con a ≠ 0 y a, b, c números reales. Es necesario mencionar algunos comentarios respecto de la definición. 1. Una ecuación cuadrática en la variable x puede tener más de una variable. Por ejemplo: 5x 2 y − 2xz 3 = 4; − x 2w 2 − 7 + 2xw 5 = 0. 2. La forma estándar es ax + bx + c = 0, con a ≠ 0 y a, b, c números reales, es decir, la forma homogénea, que nace de aquel trinomio ordenado de manera descendente en la variable x igualado a 0. No es siempre necesaria esta igualación a cero para distinguir cuándo una ecuación pueda ser considerada o no una ecuación de segundo grado. 2 3. En la forma estándar, téngase presente la relación de que el exponente de la variable en el primer término es el doble del exponente de la variable en el segundo término. Esta estructura permite considerar ecuaciones con otros grados o exponentes, pero que guardan una relación con lo dicho. Veamos los siguientes ejemplos: 2 y 4 + 3 y 2 + 1 = 0, la cual es de cuarto grado en la variable y. Al sustituir y2 por x, se transforma en 2x 2 + 3x + 1 = 0, que es una ecuación de segundo grado en la variable x. −6z 6 + 0, 5z 3 + 21 = 0, que es de sexto grado en la variable z. Cambiando z3 por u, se convierte en −6u2 + 0, 5u + 21 = 0, ecuación de segundo grado la variable u. 1 −w + 9 w − 2 = 0, cuyos exponentes son 1 y , puede adoptar una 2 estructura de una ecuación de segundo grado reemplazando w , por x. El hecho de que una ecuación que no sea de segundo grado pueda adoptar una estructura de una ecuación de segundo grado, puede favorecer su resolución. 64 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 64 2/11/11 16:56:53 Ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma ax 2 + c = 0, con aπ0, a y c en los reales. Ecuaciones cuadráticas de la forma ax 2 + bx = 0, con aπ0, a y b en los reales. Ecuaciones cuadráticas de la forma ax 2 + bx + c = 0, con aπ0, a, b y c en los reales, donde el trinomio es factorizable directamente o de fácil factorización. UNID AD 2 Ahora bien, el análisis de los distintos tipos de ecuaciones cuadráticas y su manera de resolverlas se inicia con los casos más sencillos, donde se pueden resolver con las herramientas que se tienen hasta el momento, para llegar a los de mayor complejidad, donde es necesario deducir una fórmula para ellas. El esquema es el siguiente: Ecuaciones cuadráticas de la forma ax 2 + bx + c = 0, con aπ0, a, b y c en los reales, donde el trinomio no es fácilmente factorizable: • Método de completación de cuadrados. • Fórmula general. Ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma , con y , en los reales En cierta medida, este tipo de ecuaciones ya fueron abordadas en la unidad anterior al resolver ecuaciones x 2 = k , con k real mayor o igual a cero, donde las soluciones son x = k ; x = − k Aquí, téngase presente: -Debido a que b = 0 en la ecuación general, una propuesta directa de resolución es despejar la incógnita y extraer raíz, obteniendo así dos soluciones posibles a lo más. c -La naturaleza de las soluciones depende del signo de − . a Si es positivo, las dos soluciones (inversa aditiva una de la otra) son reales. Si es negativo, las dos soluciones no son reales, sino imaginarias Explicítelo a sus estudiantes. Destaque además que cuando una ecuación “no tenga solución” debe indicarse que es “con respecto a R”. Esto da pie a pensar que puede haber otro tipo de números que sí cumplen con ser solución. -El número de soluciones depende del valor c (explicítelo a sus estudiantes): si c = 0, hay solo una solución: x = 0. si c ≠ 0, hay dos soluciones. 65 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 65 2/11/11 16:56:55 Una forma alternativa de resolver este tipo de ecuación en algunos casos es mediante lo siguiente: Ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma ax 2 + c = 0, con a ≠ 0. Justificación Teórica para el docente (note que para presentarlo a sus estudiantes, debe considerar los casos en que a > 0 y c < 0). ax 2 + c = 0 ax − ( −c ) = 0 2 ax 2 + c = 0 a2 x 2 + ac = 0 ( a ) x − ( −c ) = 0 ( ax ) − ( −c ) = 0 ( ax + −c ) ( ax − −c ) = 0 2 2 2 2 x=− − ( ax ) − ( −ac ) = 0 2 ( ax ) 2 2 ax + −c = 0 ∨ / ⋅a (ax + − ( −ac ) 2 )( =0 ) −ac ax − −ac = 0 ax + −ac = 0 ∨ ax − −ac = 0 ax − −c = 0 ax = − −ac ∨ ax = −ac c c ∨ x=+ − a a x=− −ac −ac ∨ x= a a x=− − c c ∨ x=+ − a a Dos ejemplos sencillos para trabajarlos con los estudiantes. 25x 2 − 4 = 0 ( 5x + 2 ) ( 5x − 2 ) = 0 5x 2 − 1, 8 = 0 5x 2 − 1, 8 = 0 fi5x + 2 = 0 ∨ 5x − 2 = 0 25x 2 − 9 = 0 / ⋅5 ( 5x + 3 ) ( 5x − 3 ) = 0 x = −0, 4 ∨ x = 0, 4 fi5x + 3 = 0 ∨ 5x − 3 = 0 Dos soluciones reales, Una inversa aditiva una de la otra. x = −0, 6 ∨ x = 0, 6 Dos soluciones reales. Una inversa aditiva de la otra. En la página 83, el ejercicio Nº 7 es un problema donde el planteamiento de la ecuaciónporresolver,admitemásdeunaforma.Recordemoselenunciado: Arnoldoestápreparandosuprimertrabajoparaeltallerdediseño.Lehan pedido que haga un collage sobre una madera de área 900 cm2 con cuadraditos de colores de 2 x 2 cm. La madera es un rectángulo, donde el largo y el ancho difieren en 80 cm. ¿Cómo podrá Arnoldo saber cuántos cuadraditos colocará a lo largo y a lo ancho? Después de un momento de nerviosismo, decidió, ingeniosamente, calcular los lados del rectángulo, entonces, hizo el siguiente bosquejo: ( x + 40) ( x − 40) 66 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 66 2/11/11 16:57:09 Ahora bien, otra manera de resolver el problema, y que requiere el desarrollo de otro tipo de ecuación, es considerar que el ancho es x y el largo x + 80. x x + 80 x ( x + 80) = 900 x 2 + 80x = 900 / ⋅900 2 x + 80x − 900 = 0 ( x − 10) ( x + 90) = 0 x − 10 = 0 ∨ x + 90 = 0 x = 10 ∨ x = −90 UNID AD 2 La palabra ingeniosamente encierra la actitud de elegir un valor central x, que es intermedio entre el largo y el ancho, de quienes solo se dice que difieren en 80 cm. Así se elige x, como aquel valor que dista igual cantidad de unidades entre el largo y el ancho. Es decir, 40 cm menos que el largo y 40 cm más que el ancho. Esto conduce ( x + 40) ( x − 40) = 900, estandarizada a x 2 − 2500 = 0. Sin embargo, en esta sección aún no se han abordado ecuaciones completas y, por lo tanto, no será de fácil solución. Haga notar entonces a sus estudiantes que es conveniente detenerse a pensar cuál es la manera más adecuada de plantear un problema. Esta no es necesariamente la primera que se nos ocurre y, en determinados casos, el plantear correctamente o ingeniosamente un problema hace que su resolución sea sencilla. Con respecto a las soluciones del problema, analice con sus estudiantes el hecho de contextualizarlas. En este caso, x = −50 no es solución porque una medida de longitud no puede ser negativa; por lo tanto, la solución es x = 50. Haga énfasis en que el hecho de que uno de los valores no sea solución no significa necesariamente que el otro tampoco lo sea. Se deben verificar ambos resultados en el contexto del problema. Por último, se debe responder claramente la pregunta del problema, que en la mayoría de los casos no es necesariamente el valor obtenido para la incógnita; en este caso, se debe decir claramente que las medidas son 90 cm y 10 cm, respectivamente. Se proponen ejercicios y problemas, al final de esta sección, que integran tanto contenidos vistos en la sección como otros que se han abordado en unidadesdeañosanteriores. Ecuaciones cuadráticas de la forma , con En esta sección se trabajarán las ecuaciones de este tipo basadas en las siguientes consideraciones: - Debido a que c = 0 en la ecuación general, una propuesta directa de resolución es factorizar por x, obteniéndose así el producto de dos factores lineales distintos igual a cero. - Sabiendo que en los números reales se cumple: ab = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0 con a , b ∈R φ, complemento: R. con a , b ∈ IR Cada factor lineal anterior es igual a cero, obteniéndose así dos ecuaciones lineales de fácil resolución. 67 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 67 2/11/11 16:57:16 -Las soluciones son siempre dos: reales y distintas. Provienen de la resolución de las dos ecuaciones lineales distintas. Una de ellas es siempre 0. Explicítelo a sus estudiantes. Una forma alternativa de resolver este tipo de ecuación es la siguiente: Ecuaciones cuadráticas de la forma ax 2 + bx = 0, con aπ0 Sabiendo que 0 es un elemento idempotente, es decir, 02 = 0 y mediante una inspección directa tenemos que 0 es una solución de ax2 bx = 0, porque a ⋅ 02 + b ⋅ 0 = 0, entonces x 0. Ahora bien, la otra posible solución no puede ser 0. De aquí podemos decir que cualquiera que sea el real posible, podemos efectuar lo siguiente: 2 2 + bx = 0/ (ya quex ≠x 0) ≠ 0) axax + bx = 0/ : x: x(ya yaque que axax + b+=b0= 0 bb x =x −= − aa 2 2 b b2 b b Comprobando, a − + b − = 0, esto es, + − = 0. Es decir, 0 = 0, más a a a a precisamente 0 ≡ 0 b Entonces las soluciones son 0 y − a Una particularidad ocurre cuando b es el inverso aditivo de a. De aquí nos valemos que 1 es idempotente, es decir, 12 = 1, y la propuesta es que 1 es solución de este tipo de ecuación ya que: ax 2 + bx = 0 a ( 1 ) + ( −a ) ⋅ 1 = 0 2 a + ( −a ) = 0 0∫ 0 Entonces, las soluciones son 0 y 1 siempre en este caso. Como inquietud le proponemos que analice con sus estudiantes los casos a = b; b es el inverso multiplicativo de a, etc. Ejemplos 5x 2 − 6 x = 0 x = 0 es una solución la segunda solución es distinta de 0 5x 2 − 6 x = 0 /:x 5x − 6 = 0 5x = 6 −7 x 2 + 7 x = 0 como 7 es el inverso aditivo de 7, por lo anteriormente demostrado x = 0; x = 1 x = 1,2 Finalmente, las soluciones son: x = 0; x = 1,2 Observe que, en algunas de las ecuaciones irracionales planteadas se debe elevar dos veces al cuadrado, resolver cuadrados de binomio y comprobar de manera obligatoria. Haga énfasis en estos pasos y recuérdelos cada vez que desarrolle un ejercicio, por ejemplo: 68 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 68 2/11/11 16:57:19 /( x +9 = 4+ 1− x x +9 ) = (4 + 2 ) 2 1− x x + 9 = 16 + 8 1 − x + 1 − x x + 9 = 17 + 8 1 − x − x 2x − 8 = 8 1 − x ( 2x − 8 ) 2 ( = 8 1− x 1 − x Aislar una raíz / /( ) 2 ) 2 ) 2 / Se ha formado un cuadrado de binomio / −17 + x / Nuevamente cuadrado de binomio y además potencia de una multiplicación 2 4 x − 32x + 64 = 64 (1 − x ) 4 x 2 − 32x + 64 = 64 − 64 x 4 x + 32x = 0 2 x ( 4 x + 32) = 0 x = 0 o 4 x + 32 = 0 4 x = −32 x = −8 UNID AD 2 ( x +9 − 1− x = 4 / −64 + 64 x / Factorizando / −32 /:4 Comprobando (siempre se deben comprobar las ecuaciones irracionales): 00 + 9= − 4 1−0 = 4 Si x = 0fi 0x+ =9 0−fi1 − 3 − 1π 4 ; por lo tanto, x 0 no es solución. 3 − 1π 4 ===+−−−8 fi 888+ Si x = −8fi x−xx8 988fi −fi 1−−−− −++8999=−−−4 111−−−−−−888===444 8 no es solución 1 − 3π 4 111−−−333πππ444 ; por lo tanto. x Entonces, la ecuación no tiene solución. En la actividad de la página 86, en el ejercicio 2, letra i: ( 1 − 0, 4x 1 + 0, 4x = 5 1, 4x + 0, 2 ) Recuerde que debe transformar a fracción los decimales periódicos, entonces, podemos elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación y escribir que, 4 4 4 2 1 − 9 x 1 + 9 x = 5 1 9 x + 10 1− 16 2 65 x = x +1 81 9 81 − 16 x 2 = 585x + 81 −16 x 2 − 585x = 0 x (16 x + 585) = 0 − x = 0 ∨ 16 x + 585 = 0 x =0∨ x = −585 16 Comprobando en 69 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 69 2/11/11 16:57:28 ( Si x 0, tenemos que: 1 − 0,4 ⋅ 0 1 + 0,4 ⋅ 0 = 5 1,4 ⋅ 0 + 0,2 ) 1 1 = 5 ⋅ 0,2 ⇒ 1 = 1 Si x = −585 4 −585 4 −585 13 −585 2 , entonces, 1 − ⋅ 1+ ⋅ = 5 ⋅ + 16 9 16 9 16 10 9 16 69 −61 13 −585 2 ,pero la raíz cuadrada de una cantidad = 5 ⋅ + 4 4 10 9 16 subradical negativa no existe en R; por lo tanto, esta no es solución. φ, complemento: El resto de la actividad presenta ecuaciones de este tipo para que los estudiantes puedan reconocerlas y a resolverlas de la manera aprendida. Analicemos algunos de los problemas planteados en la página 87. El problema (d) es más que un aparente acertijo, es un problema desafiante y vale la pena reordenar las ideas para su desarrollo. Dice así: “A Octavio le gusta coleccionar monedas de $500. Él guarda siempre la misma cantidad de dinero en cada una de las bolsas que tiene destinadas para ello. Un día su mejor amigo le pregunta cuántas bolsas tiene y Octavio le responde: tú crees que tengo el mismo número de bolsas que de monedas en cada bolsa, pero no es así. Partiendo de tu supuesto, te diría que debes disminuir en 50 las bolsas y en 30 las monedas de cada bolsa para obtener $750 000. Ahora dime, ¿cuántas bolsas y cuántas monedas tiene Octavio?” Una forma de reflexionar puede ser la siguiente: Haciendo preguntas a sus estudiantes, algunas de ellas pueden ser: ¿Cuál es el supuesto del amigo? Que Octavio tiene “el mismo número de bolsas que de monedas en cada bolsa”. Llamémoslo x. ¿Cuál es la condición que, con respecto al número de bolsas y de monedas, hace Octavio tras decirle a su amigo “pero no es así”? Partiendo de tu supuesto (x), te diría que debes disminuir en 50 las bolsas ( x − 50), y en 30 las monedas de cada bolsa ( x − 30) para obtener $750000. ¿Cuál es el planteamiento que sugiere la pregunta anterior? Número de monedas en total · $500 = $750000 ( x − 50) ( x − 10) ⋅ $500 = $750 000 . De aquí en adelante, la resolución no debiera presentar dificultades. Obtenida las respuestas solicitadas, puede hacer preguntas para ver la coherencia numérica. Por ejemplo, ¿en qué lugar del enunciado el número de bolsas obtenidas debe ser mayor a 50? Lo mismo se puede hacer en relación con el número de monedas. Ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0, donde el trinomio es factorizable directamente o de fácil factorización La forma de abordar este tipo de ecuaciones responde a las siguientes consideraciones: 70 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 70 2/11/11 16:57:30 a , ba∈R , cada factor lineal es -Como ya lo demostramos, ab = 0 ⇒ a =φ0,∨complemento: b = 0 concon , bR∈R igual a cero, obteniéndose así dos ecuaciones lineales de fácil resolución. -Las soluciones son reales y distintas si los factores lineales son distintos. De lo contrario, la solución es única. Explicítelo a sus estudiantes. -Por lo anterior, el número de soluciones es dos, que provienen de la resolución de las dos ecuaciones lineales distintas, o bien solo una. Explicítelo a sus estudiantes. Revisemos en la actividad de la página 90, ejercicio 3, letras g. y h.. ( g. x − 3x )( x + UNID AD 2 -Debido a que el trinomio es factorizable directamente o de fácil factorización, una propuesta de resolución es factorizar en dos binomios con término común o como cuadrado de binomio y así transformar la ecuación cuadrática en el producto de dos factores lineales. Cuando señalamos de fácil factorización significa que casi a primera vista el trío ordenado sugiere dicha descomposición. ) 3x = 18. De antemano, los valores de x deben ser mayores o iguales a 0 para obtener solución real. El desarrollo es x 2 − 3x = 18. De aquí, x 2 − 3x − 18 = 0. Las ecuaciones lineales homogéneas son: x − 6 = 0 y x + 3 = 0. Entonces solo persiste x 6. Para que tenga sentido en los números reales. 4 h. x + =5 x Una inspección directa dice que 1 es una solución. ¿Habrá otra?, ¿será real y mayor? Como x es el único término que contiene a x, se hacer la sustitución x = y. 4 De esta manera tenemos y + = 5. Un buen desarrollo nos conduce a y y2 − 5 y + 4 = 0 De aquí tenemos que y = 1 ∨ y = 4 . Pero x = y , luego x = 1 ∨ x = 16. Ambos resultados válidos como solución. Método de completación de cuadrado Antes de introducir la fórmula general se muestra el método de resolución por completación de cuadrado. Este método no es de fácil comprensión para la mayoría de los estudiantes, ya que exige hacer “aparecer 0” agregando y quitando el mismo término para completar un cuadrado de binomio. Esta cantidad o expresión en juego no es siempre fácil de conseguir, más aún si no se domina la fórmula para el cuadrado de binomio. A pesar de que este método aparece “artificial o rebuscado o exigente de un truco”, es conveniente mostrarlo para ayudar a los estudiantes a comprender que este fue el camino natural y lógico que siguieron los matemáticos antes de encontrar una fórmula general para todas las ecuaciones cuadráticas; en especial, para tratar aquellas que tuvieran trinomios no factorizables. En la página 93, se proponen algunos ejercicios y un par de problemas. Haga énfasis con sus estudiantes en el cuidado de fijarse en las unidades de medidas dadas. Recuérdeles que para resolver ejercicios, las unidades de medidas deben ser las mismas. Por ejemplo: “Josefina debe construir una maceta de base rectangular para su invernadero, de modo que el largo de la base tenga 30 cm más que su ancho y su altura sea de 20 cm. Además, la maceta debe tener la capacidad para contener 360 dm3 de tierra. ¿Cuáles deben ser las medidas de la maceta?” U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 71 71 2/11/11 16:57:36 La ecuación por resolver es x ( x + 30) ⋅ 20 = 360 000 cm3, donde x es la medida del ancho, en cm. Se solicita que desarrolle por el método de completación de cuadrados. Pero si consideramos la estrategia aplicada en la página 83, Nº 7, de igual manera, para las expresiones de las medidas del largo y ancho, x + 15 y x −15, la ecuación por resolver es: ( x − 15) ( x + 15) ⋅ 20 = 360 000 cm3, la cual se reduce a x 2 − 225 = 18 000. 18.225 Entonces, x = 18 225, de donde x = 18 225 ; x = 135, etc. Haciendo las conversiones de cm a dm, tenemos que las medidas son 12 dm, 15 dm y 0,2 dm. Esta forma constituye una forma alternativa de plantear y resolver este problema. 2 Ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0, donde el trinomio no es fácilmente factorizable (Fórmula general) Se utiliza en esta sección la completación de cuadrados para llegar a la fórmula general. Note que se sugiere deducir con los estudiantes la fórmula general, de manera que ellos puedan seguir un razonamiento lógico. Luego se muestra cómo se utiliza en distintas ecuaciones. A modo de ilustración previa a la deducción formal de la fórmula, usted puede recurrir a una ilustración del proceso mediante la resolución de una ecuación. Aquí le presentamos dos formas alternativas a la del libro, presentadas en paralelo, para solucionar 21x 2 − 8 x − 5 = 0 Forma uno : 21 21x − 8 x − 5 = 0 / /:21 8 5 x2 − x − =0 21 21 Forma dos 2 x2 − 2⋅ 4 5 4 / + x= 21 21 21 2 2 4 5 4 4 x2 − 2⋅ x + = + 21 21 21 21 2 2 4 5 16 x − 21 = 21 + 441 2 4 105 + 16 x − 21 = 441 2 72 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 72 : 21 21x − 8 x − 5 = 0 / /:21 8 5 = 0 / +0 x2 − x − 21 21 8 5 0 − =0 x2 − x + 21 21 2 2 4 4 2 4 121 x − 21 = 441 / 121 11 =− − 4 441 21 x− = 21 121 11 + 441 = + 21 4 11 4 11 ; x− =+ x− =− 21 21 21 21 4 11 4 11 x= − ; x= + 21 21 21 21 7 15 x=− ; x= 21 21 1 5 x=− ; x= 3 7 + − 21 21 2 2 4 5 4 4 =0 x + − − 21 21 21 21 2 2 4 4 121 =0 x − 2⋅ x + − 21 21 441 x2 − 2⋅ 2 4 121 x − 21 − 441 = 0 4 11 4 11 x − 21 + 21 x − 21 − 21 = 0 15 7 x + 21 x − 21 = 0 7 15 x+ =0 ; x − =0 21 21 7 15 x=− ; x= 21 21 1 5 x=− ; x= 3 7 2/11/11 16:57:40 Ahora bien, junto con sus estudiantes, usted puede enumerar los pasos que se dieron para resolverla. Elija cualquiera de las mostraciones escritas en cada columna de la tabla anterior y proceda, •En la ecuación estándar, dividir la ecuación por el coeficiente de x2. De esta manera se obtiene una ecuación equivalente. •Se dejan los términos con x en uno de los miembros de la ecuación, y el otro como término libre. •Se efectúa la completación de cuadrado respectiva •Escribiendo claramente el cuadrado del binomio respectivo, se procede a extraer raíz en ambos miembros de la ecuación resultante. UNID AD 2 Por ejemplo, siguiendo el desarrollo expuesto en la forma uno, los pasos seguidos son: •Se despeja x para obtener los valores respectivos de ella. Función cuadrática: ¿qué es y en qué se utiliza? (Página 106 del Texto del Estudiante) OFT Se trabajan los siguientes: • Interés por conocer y explicar la realidad a través de la matemática. • Resolución de problemas desarrollando el pensamiento lógico. • Discernimiento de resultados en situaciones cotidianas para ver la pertinencia de ellos. • Uso de herramientas tecnológicas (calculadora). • Trabajo grupal. Mapas de Progreso Las capacidades trabajadas referentes al eje álgebra son(en niveles 6 y 7): • Elabora estrategias de resolución, las desarrolla y justifica usando lenguaje algebraico. • Interpreta y usa convenciones del álgebra para representar generalizaciones. • Muestra autonomía y flexibilidad en la transformación de expresiones simbólicas escribiendo, reconociendo y eligiendo formas equivalentes de distintas representaciones algebraicas. Esta sección tiene por objetivo estudiar la función cuadrática, asociándola a la resolución de una ecuación cuadrática en la medida que se buscan los puntos de corte de la función con el eje x. Una función cuadrática modela variadas situaciones cotidianas en los ámbitos de la física, la construcción, las telecomunicaciones, etc. Se sugiere dar a los estudiantes algunos ejemplos de la utilización de parábolas en la vida diaria. Pueden ser: Comparta con sus estudiantes: ¿Qué forma común se puede apreciar en todas estas imágenes? Así como la función raíz cuadrada está representada por una curva, estas curvas ¿serán la representación de alguna función? 73 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 73 2/11/11 16:57:40 Es importante definir claramente los conceptos. Sea estricto en la notación matemática, de modo que los estudiantes vayan acostumbrándose a un lenguaje formal. Podemos decir que función cuadrática es toda función del tipo , donde a, b y c son números reales y . Al gráfico de esta función se le llama parábola. Aunque es bueno que los estudiantes aprendan a graficar manualmente y se muestra cómo se haría, es importante que para un análisis de la función cuadrática se utilice un graficador, ya que esto simplifica y agiliza el análisis. Se utilizarán los programas Graphmatica o Graph para realizar las gráficas de las distintas parábolas. Recuerde que es preciso que los estudiantes vean cómo se grafica una función cuadrática y la analicen comparando distintos casos. Para esto, utilice el laboratorio de computación o la sala de enlaces de su establecimiento. Si tiene la posibilidad de acceder a data show, es bueno proyectar algunas gráficas en la sala para dirigir el trabajo de los estudiantes. Recuerde que ambos programas se pueden descargar gratuitamente de los sitios: http://gratis.portalprogramas.com/graph.html http://graphmatica.programas-gratis.net/ Con el programa Graph se pueden graficar varias funciones a la vez y dejar las funciones escritas en un costado de la pantalla, ¿Cómo determinar si un punto del plano pertenece o no a una parábola? Si A ( x A , y A ) es un punto del plano y P una parábola del mismo plano, cuya ecuación es y = ax 2 + bx + c , entonces A pertenece a la parábola si y solo si 2 se cumple la igualdad y A = a ( x A ) + bx A + c . Recuérdese que si A pertenece a la parábola, entonces el valor de y A es la imagen de x A bajo la acción de f, donde f ( x ) = ax 2 + bx + c . De igual manera, x A es la preimagen de y A bajo la acción de f. Ahora bien, supongamos que usted sabe que 2 es una solución para 7 x 2 + 14 x = 56. ¿Qué información podría proporcionarle si usted la vincula con la pertenencia o no de un punto a una parábola determinada? Podemos decir que (2,56 ) es un punto de la parábola y = 7 x 2 + 14 x . Reflexione con sus estudiantes esta situación. En la página 109 se invita a estudiar en profundidad las parábolas y su función asociada. Se inserta la siguiente figura, que muestra que las parábolas tienen características comunes y puntos muy importantes para analizarlos con detención. 74 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 74 2/11/11 16:57:43 Eje de simetría y Punto de corte con eje y x Vértice (mínimo) Cóncava hacia arriba y Eje de simetría UNID AD 2 Punto de corte con eje x Vértice (máximo) x Cóncava hacia abajo Punto de corte con eje x Punto de corte con eje y ¿Cómo trabajar al máximo la parábola? ¿Cómo aprovechar al máximo sus resultados? Ante estas dudas, se sugiere analizar con sus estudiantes, durante la unidad, las siguientes preguntas: •Si la ecuación de una parábola está dada por y = ax + bx + c , ¿cuál es la ecuación de la parábola que es el reflejo de esta con respecto al eje x? 2 •Si la ecuación de una parábola está dada por y = ax + bx + c , ¿cuál es la ecuación de la parábola contraria y que tiene el mismo vértice? 2 ¿De qué depende que la parábola se abra hacia arriba o hacia abajo? Mediante la graficación de varias parábolas y mirando comparativamente las relaciones de sus coeficientes, se concluye que del coeficiente a depende la apertura de las ramas de la parábola. Mientras mayor sea el valor absoluto de a, la apertura de las ramas será menor, y mientras menor sea el valor absoluto de a, la apertura de las ramas será mayor. A continuación, presentamos otra manera de determinar la concavidad de una parábola. Es más exigente en sus requerimientos, pues requiere la comparación de la longitud de dos segmentos paralelos al eje x que intersectan a la parábola por sus extremos. Sin embargo, permite de manera natural concluir cuándo la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo. Formalicemos lo expuesto anteriormente. Sean A ( x a , k ) y B ( x b , k ); C ( x c , k ') y D ( x d , k ') puntos de una parábola, Además, las medidas de los trazos AB = x a − x b = x b − x a ; CD = x c − x d = x d − xc ; entonces: •Si k > k ' ⇒ AB > CD , luego la parábola es cóncava hacia arriba •Sikk ><kk' ⇒ AB < CD, entonces la parábola es cóncava hacia abajo U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 75 75 2/11/11 16:57:45 Nota: La distancia entre dos puntos de igual ordenada corresponde al módulo de la diferencia de sus abscisas y proporciona la longitud de cada segmento paralelo al eje x. Veamos dos ejemplos. Ejemplo uno: ¿Cuál es la concavidad de y = 2x 2 − x + 3? Tomemos dos valores para x y encontremos sus imágenes. De esta manera hallaremos k y k’. Por ejemplo, para x = 1 y x = 2, tenemos que y = 4 e y = 9.Respectivamente, k‘ = 4, k = 9. Resolvamosseparadamente 4 = 2x 2 − x + 3 y 9 = 2x 2 − x + 3, 2x 2 –− xx ++ 33==44 2x 2 –− xx ++ 33==99 x= 2x 2 –− xx −−66 ==00 x= CD = −0,5 − 1 = −1,5 AB == 22−−((−−11,5 , 5))== 33,5 ,5 2x 2 –− x − 1 = 0 1± 1+8 4 x = −0,5 ; x = 1 1 ± 1 + 48 4 x = −1,5 ; x = 2 CD = 1,5 AB = 3,5 Como 9 > 4 implica que AB > CD, entonces la parábola es cóncava hacia arriba y = 2x 2 − x + 3 y A AB = 3, 5 CD = 1, 5 10 B 8 6 C4 2 –8 –6 –4 –2 0 –2 –4 D 2 4 6 x Ejemplo dos: ¿Cuál es el tipo de concavidad de y = −3x 2 + 11x + 4? Elijamos k = 4 y k’ = 10.Resolvamosseparadamente: 4 = −3x 2 + 11x + 4 y 10 = −3x 2 + 11x + 4 76 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 76 2/11/11 16:57:52 −3x 2 + 11x + 4 = 4 −3x 2 + 11x + 4 = 10 −3x 2 + 11x = 0 −3x 2 + 11x − 6 = 0 x (−3x + 11 ))==00 −11 ± 121 − 72 −6 2 x = ∨ x =3 3 7 AB = 3 x = 0 ∨ − 3x + 11 = 0 11 x =0 ∨ x = 3 11 CD = 3 Como 10 es mayor que 4, implicó que AB es menor que CD , entonces la parábola es cóncava hacia abajo y 15 10 A 5 –5 UNID AD 2 x= y = −3x 2 + 11x + 4 B C D 0 5 AB = CD = 7 3 11 3 10 x Usted puede enriquecer más estos análisis haciendo preguntas tales como: ¿Cuándo una de ellas abre su ramas más rápidamente? ¿Cuando una parábola es más abierta que otra? ¿Se puede establecer una relación entre las dos formas mencionadas para determinar la concavidad de una parábola? Haga notar que si el recorrido de una función cuadrática tiende a +∞ , entonces la parábola que la representa es cóncava hacia arriba. De igual manera, si el recorrido de una función cuadrática tiende a −∞ , entonces la parábola que representa es cóncava hacia abajo. ¿Cómo determinar los puntos de corte o intersección de la parábola con los ejes coordenados? Los puntos de corte o intersección de la parábola con el eje x Siguiendo con la parábola anterior, podemos preguntarnos ¿qué representa gráficamente, y en particular, el sistema de ecuaciones formado por y = x 2 + 2x − 3 e y = 0? Cómo y = 0, estamos en presencia del eje x. En otras palabras, la intersección de la parábola con el eje x. Esto involucra resolver la ecuación x 2 + 2x − 3 = 0, que proviene del método de igualación aplicado al sistema. Como el discriminante es 16, es decir, mayor que cero, se obtienen dos valores diferentes para x. Esto conduce a obtener dos puntos ( −3, 0) y (1, 0). Usted puede verificar esto gráficamente. Si la ecuación de la parábola y = f ( x ) está caracterizada por un cuadrado perfecto en la variable x, entonces la intersección con el eje x es solo un punto. Veamos el siguiente ejemplo: 77 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 77 2/11/11 16:57:57 y = 9x 2 − 6 x + 1 y =0 2 Por un lado, 9x 2 − 6 x + 1 = (3x − 1) ; por el otro, 9x − 6 x + 1 = 0. De aquí que 2 si 9x 2 − 6 x + 1 = (3x − 1) = 0, esto significa que 3x − 1 = 0 . De aquí tenemos un solo valor para x (note además que el discriminante es nulo). Esto 1 conduce a obtener un punto de intersección ,0 . Usted puede verificar 3 esto a través de un gráfico. 2 Finalmente, observemos el siguiente ejemplo: y = − x 2 + 3x + 4 y =0 Siguiendo el procedimiento análogo a los casos ya descritos, la ecuación − x 2 + 3x + 4 = 0 tiene discriminante igual a 7, es decir, menor que cero. Por tanto, la ecuación no tiene solución real. Esto es, que la parábola no intersecta al eje x en ningún punto. El de la página 119 resume los tres casos anteriores. El punto de corte o intersección de la parábola con el eje y y = ax 2 + bx + c ¿Qué ocurre al interpretar gráficamente con a ≠ 0? x =0 La recta x 0 es el eje y. Por tanto, representa la intersección de la parábola con dicho eje. Entonces, haciendo x 0 en la ecuación que representa la parábola, tenemos que y c. De aquí que una parábola siempre intersecta al eje y, más aún, en un solo punto, cuyas coordenadas son ( 0,c ). ¿Cómo determinar el vértice de una parábola? La forma de obtener la abscisa del vértice asume que la parábola es simétrica con respecto a cierto eje vertical llamado eje de simetría. Además, basta elegir dos puntos de ella que tengan la misma ordenada para iniciar la búsqueda de las coordenadas del vértice. En particular, y por comodidad, se eligen las abscisas de las intersecciones de la parábola con el eje x siempre y cuando estas existan. Dicho sea de paso, la abscisa del vértice corresponde al promedio de las abscisas de los puntos de intersección de la parábola con el eje x, siempre y cuando existan estos puntos. De acuerdo al libro, los puntos de intersección x + xB . son A y B, y x v = A 2 b El desarrollo de la página siguiente indica que x v = − . De la igualdad de 2a b estas dos expresiones para x v tenemos x A + x B = − , que es una propiedad a 2 muy conocida que cumplen las raíces de la ecuación ax + bx + c = 0 Pero si no existen puntos de intersección entre la parábola con el eje x, ¿cómo se determinan las coordenadas de su vértice? 78 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 78 Tomemos de la página 118 el ejemplo 1a. y 1b. y obtengamos de manera alternativa las coordenadas de los vértices involucrados. 2/11/11 16:58:01 Determina el vértice de las siguientes parábolas; indica si son puntos máximos o mínimos. a. y = 2x 2 − 4 x + 5 y 10 8 7 UNID AD 2 9 f ( x ) = 2x 2 − 4 x + 5 6 5 4 3 2 1 –1 0 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 x La gráfica sugiere que hay dos puntos cuya ordenada es 5. Uno de ellos corresponde a la intersección de dicha parábola con el eje y. Para obtener la abscisa de cada uno de ellos se hace y = 5 en y = 2x 2 − 4 x + 5, y se resuelve la ecuación resultante. 2x 2 − 4 x + 5 = 5 2x 2 − 4 x = 0 Factorizando factorizando por por xx yy por por 22 2x (x − 2) = 0 2x = 0 ∨ xx−−22==00 x =0 ∨ x =2 Podemos decir que las coordenadas de los puntos que hemos destacado en azul en nuestra gráfica son ( 0, 5) y ( 2, 5). Ahora bien, la abscisa del vértice coincide con la abscisa del punto medio que está situado entre los 0+2 , es decir, xV = 1 dos puntos anteriores. Esto es, xV = 2 Haciendo el reemplazo de xV = 1 en la ecuación de la parábola, tenemos yv = 2 ⋅ 12 − 4 ⋅ 1 + 5, esto es: yV = 3. Así, las coordenadas del vértice son: V = (1,3) y representan un mínimo. b. y = −3x 2 − 12x − 7. Con el mismo proceder del ejemplo anterior, tenemos: −3x 2 − 12x − 7 = −7 factorizando por x y por − 3 −3x 2 − 12x = 0 Factorizando −3x ( x + 4 ) = 0 −3x = 0 ∨ xx++44==00 x =0 ∨ x = −4 Pues bien, podemos decir que las coordenadas de los puntos con ordenada 7 son ( −4, −7 ) y ( 0, −7 ). La abscisa del vértice coincide con la abscisa del punto medio que está situado entre estos dos puntos. Esto es, 79 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 79 2/11/11 16:58:09 xV = 0 + ( −4 ) , es decir, xV = −2. 2 Haciendo el remplazo de xV = −2 en la ecuación en la parábola, se tiene 2 y = −3 ⋅ ( −2) − 12 ⋅ ( −2) − 7. Esto es: yv = 5. Así las coordenadas del vértice son: V ( −2, 5) y representa un máximo. ¿Cómo determinar el eje de simetría? El eje de simetría es una recta paralela al eje y, y que pasa por el vértice. b Como es vertical, su ecuación está dada por x = − . Por ejemplo, la 2a ecuación del eje de simetría de la parábola y = x 2 + 2x − 3 es x = −1. ¿Cómo determinar la ecuación del eje de simetría de una manera alternativa? Consideremos dos puntos que tengan la misma ordenada k; esto es, A ( x1 , k ) y B ( x2 , k ). Basta con promediar los valores de las abscisas de ellos y recordar que de manera perpendicular a AB , el eje de simetría pasa por ese x + x2 . punto. Su ecuación es x = 1 2 Observación: Nótese que el eje de simetría pasa por el vértice y representa necesariamente el único punto de intersección que tiene con la parábola. Sin embargo, para determinar su ecuación no se requiere conocer la abscisa del vértice. Analice junto sus estudiantes esta afirmación. Ejemplo Hallar la ecuación del eje de simetría de y = 2x 2 − 4 x + 5. En primer lugar, encontramos las abscisas de los puntos que tengan una misma ordenada por ejemplo, que esta última sea 11. Enseguida, resolvemos 11 = 2x 2 − 4 x + 5, y obtendremos que los valores de las abscisas son 3 y 1. El promedio de estos valores es 1. Pensando, que el eje de simetría, pasa por el punto medio del trazo formado por ( −1, 11) y , 11 ( −(3−,311 ), )es decir, por (1, 11), tenemos que la ecuación del eje de simetría es x 1. Otras consideraciones 1. Traslación vertical de una parábola En la página 123, se ha explicado este tipo de traslación, mediante un ejemplo sencillo y auxiliándose de una gráfica. Está orientado específicamente para parábolas del tipo y = ax 2 + c , tomando como referencia la misma parábola pero centrada en el origen, es decir, y = ax 2. Así se puede decir que del valor c depende de que la parábola se traslade verticalmente. Si c > 0, la parábola se traslada hacia arriba con respecto a su posición de origen descrita por y = ax 2. Si c < 0, la parábola se traslada hacia abajo con respecto a su posición de origen descrita por y = ax 2. 80 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 80 Un segundo caso es para y = ax 2 + bx tomada como referencia. En la gráfica que a continuación presentamos, tomemos como referencia de comparación a y = 2x 2 − 4 x . 2/11/11 16:58:14 y 9 f ( x ) = 2x 2 − 4 x 8 g ( x ) = 2x 2 − 4 x − 1 7 j ( x ) = 2x 2 − 4 x + 5 5 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x UNID AD 2 h ( x ) = 2x 2 − 4 x + 2 6 –3 –4 De esta manera, por ejemplo, podemos decir que la parábola de ecuación y = 2x 2 − 4 x − 1 está desplazada verticalmente una unidad más abajo, hecho que se refleja en el coeficiente libre de su ecuación, 1. Por el contrario, las parábolas de las ecuaciones y = 2x 2 − 4 x + 2 e y = 2x 2 − 4 x + 5 están desplazadas verticalmente 2 y 5 unidades por arriba de la parábola de referencia. Nótese que nuevamente del valor c depende que la parábola se traslade verticalmente. Ahora bien, aprovechando esta misma gráfica, tomemos en esta oportunidad como parábola de referencia a y = 2x 2 − 4 x + 2. De esta forma, la parábola de ecuación y = 2x 2 − 4 x − 1 aparece desplazada verticalmente tres unidades más abajo. Esto se traduce en restar tres unidades a cada ordenada a la parábola de referencia. Es decir, la nueva ordenada será “y 3”. Esto es 2x 2 − 4 x + 2 − 3, es decir, 2x 2 − 4 x − 1. La fórmula de la parábola resultante será y = 2x 2 − 4 x − 1. (Note el abuso de lenguaje a llamar y nuevamente a la ordenada de la nueva parábola). Análogamente, si a cada ordenada de la parábola de referencia le sumamos +3, la ordenada resultante será 2x 2 − 4 x + 2 + 3, así obtendremos la parábola desplazada tres unidades por encima de ella, y su ecuación es y = 2x 2 − 4 x + 5. ( ) ( ) Lo escrito en el párrafo anterior nos puede llevar a concluir que: Si y = ax 2 + bx + c , con a ≠ 0, entonces para trasladar esta parábola k unidades verticalmente hacia arriba se deben sumar k unidades a cada ordenada de ella. La ecuación de la parábola resultante es y = ax 2 + bx + ( c + k ). De igual manera, pero desplazándola k unidades verticalmente hacia abajo, se debe restar k unidades a cada ordenada. La ecuación de la parábola resultante es y = ax 2 + bx + ( c − k ). 2. Traslación horizontal de una parábola En la misma página 123 se explica este tipo de traslación mediante un ejemplo sencillo y auxiliándose de una gráfica. Está tratado para parábolas 2 del tipo y = ( x ± m ) , tomando como referencia la misma parábola pero centrada en el origen, es decir, y = x 2. Así podemos decir que del valor de m depende que la parábola se traslade horizontalmente. 81 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 81 2/11/11 16:58:23 • Si m > 0, la parábola se traslada hacia la izquierda con respecto a su posición de origen descrita por y = x 2. La ecuación de la parábola 2 resultante es y = ( x + m ) . Las abscisas de la parábola y = x 2 están representadas por − x = y y x = y . Para el traslado hacia la izquierda, a cada abscisa de la parábola de referencia se le deben restar m unidades. Esto quiere decir que las nuevas abscisas serán − x − m y x − m, esto es y − m para ambos casos. Llamando x nuevamente a la abscisa de un punto cualquiera de la parábola trasladada se tiene que x = y − m, que equivale a x + m = y . Elevando al cuadrado cada miembro de esta última ecuación, se obtiene 2 y = ( x + m ) , lo que describe los puntos de la parábola trasladada. • La parábola se traslada hacia la derecha con respecto a su posición de origen descrita por y = x 2. La ecuación de la parábola resultante es 2 y = ( x − m) . Aplicaciones de las ecuaciones y las funciones de segundo grado Es muy importante que usted siempre insista en las razones por las cuales se está estudiando esta unidad, destacando las múltiples aplicaciones que tiene no solo para las matemáticas, sino que para la física, la química, la economía, la agronomía, la medicina, etc. Además de los problemas cotidianos en que se presentan. Podemos preguntarnos: ¿Para qué se ocupan las ecuaciones de segundo grado? y ¿dónde se usan y qué resuelven las funciones de segundo grado y sus representaciones? A medida que se respondan estas dos preguntas fundamentales, sugerimos que usted destaque los contextos en que han sido presentados muchos problemas, tanto desarrollados como propuestos, su área de aplicación, la necesidad dentro de esa área para resolverlo, lo que implica una vez resuelto, etc. Veamos algunas de sus aplicaciones. En física, no solo se aplica en algunas ecuaciones de movimiento presentes en la cinemática (estudio del movimiento). Sino también en la dinámica, con el estudio de fuerzas que varían con el tiempo; en la fórmula de la energía cinética, de la energía potencial del movimiento armónico simple; en la formulación de la tercera ley de Kepler, en fenómenos de dilatación de área, en la dependencia de la masa y su velocidad que se estudia en relatividad, así como también permite explicar por qué las gotas de aguas toman una forma esférica como las burbujas de jabón, etc. También se utiliza en la arquitectura y construcción de puentes en forma de arco parabólico. La geometría, que también auxilia a estas disciplinas, proporciona fórmulas que necesariamente llevan alguna variable al cuadrado. Por ejemplo, para el cálculo de la superficie de una esfera, el volumen de un prisma, etc. En las áreas biológicas, tenemos cómo una función cuadrática puede modelar el crecimiento de bacterias, hasta el índice de masa corporal para los seres humanos. En química, por ejemplo, el uso de la constante de equilibrio del ácido sulfúrico puede permitirnos calcular las concentraciones de protones y de iones sulfato cuando se disuelve un mol de esta sustancia. 82 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 82 2/11/11 16:58:25 En fin, reiteramos que en la medida que sus estudiantes avancen en el estudio de la presente unidad, usted insista en las aplicaciones que ella tiene, sus consecuencias no solo en el área en que están propuestas, sino también en la calidad de vida de las personas. Recuerde que es importante trabajar con sus estudiantes los cuadros “sintetizando” y “revisando lo aprendido”, de manera que ellos puedan hacer una revisión más profunda de cada tema y preguntar si tienen dudas. UNID AD 2 En el área de la economía y negocios tenemos que la función cuadrática y su representación permite el estudio de los crecimientos económicos. La optimización de recursos y la máxima producción se ven expresadas, en ocaciones, en fórmulas cuadráticas. Información complementaria para el docente a. Usando sustitución para las ecuaciones cuadráticas: Hay algunas ecuaciones cuadráticas que pueden resolverse con los métodos comunes, pero si se utiliza una sustitución resultan mucho más sencillas. Ambos desarrollos se pueden mostrar a los estudiantes. Miremos un ejemplo: 2 2x + 1 2x + 1 x − 1 = 5 x − 1 − 4 Desarrollo 1 Al resolverla desarrollando sin usar sustitución tenemos: 2 2x + 1 2x + 1 x − 1 = 5 x − 1 − 4 +x1+ ) −1)4 / m.c.m. x − 1 2 2 4 x 24+x 24+x 4+x1+ 15 ( 25x( 2 = = / m.c.m −4 ( . ( x −) 1) 2 2 x −x1− 1 ( x −( x1−) 1) (( )) 2 44xx22 ++44xx++11==((10 10xx++55))((xx−−11))−−44 xx 2 −−22xx++11 4 x + 4 x + 1 = 10x − 5x − 5 − 4 x + 8 x − 4 4 x 2 + 4 x + 1 = 6 x 2 + 3x − 9 2x 2 − 1x − 10 = 0 ( 2x − 5 ) ( x + 2 ) = 0 2 2 2 2x − 5 = 0 ∨ x + 2 = 0 5 x = ∨ x = −2 2 83 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 83 2/11/11 16:58:28 Desarrollo 2: 2x + 1 , reemplazando u en la ecuación original x −1 2 2x + 1 2x + 1 x − 1 = 5 x − 1 − 4 obtenemos, Sea u = u2 = 5u − 4 u2 − 5u + 4 = 0 (u − 4 ) (u − 1) = 0 u = 4∨u =1 Reemplazando nuevamente el valor que se obtuvo en u en la sustitución del principio obtenemos que: 2x + 1 2x + 1 2x + 1 = 4 ∨2x + 1 = 1 x − 1 = 4 ∨ x − 1= 1 x −1 x −1 2 2xx + 1= 4xx − 4 ∨∨2x2+x 1+=1 x= −x1− 1 +1 =4 −4 −2x = −5 ∨∨ x =x −=2−2 5 x= ∨ x = −2 2 b. Vértice de una parábola: Definimos anteriormente el vértice de una parábola como el punto máximo o mínimo de la función. ¿Será realmente así? ¿Esto se puede demostrar? Para demostrar que el vértice es realmente el punto máximo o mínimo (lo que significa que la función cambia el sentido del crecimiento en ese punto) se necesitan elementos de cálculo para demostrar que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es cero. Sin embargo, podemos acercar a los estudiantes a este concepto gráficamente. Miremos lo siguiente: y 8 6 4 2 –3 –2 –1 0 –2 –4 1 2 3 4 5 6 7 8 x –6 –8 Se puede explicar en forma intuitiva que mientras la función decrece, las tangentes tienen pendiente negativa y que al comenzar a crecer, las tangentes comienzan a tener pendiente positiva. ¿Cuál es el punto límite en que la función deja de decrecer y comienza a crecer? El vértice, justo donde la tangente a la curva tiene pendiente cero, es decir, es paralela al eje x. 84 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 84 2/11/11 16:58:32 Errores frecuentes Contenido Desarrollo de ecuaciones cuadráticas. Posible déficit Sugerencia Trabajar el desarrollo de este producto notable primero como 2 ( a + b ) = ( a + b ) ( a + b ) y aplicar distributividad. Hacer énfasis que su Desarrollo de cuadrados de desarrollo tiene 3 términos. binomio (decir que Por ejemplo: 2 2 ( a + b ) = a2 + b2 ( x + 5) = ( x + 5) ( x + 5) = x 2 + 5x + 5x + 25 UNID AD 2 Se nombran en esta sección algunos de los errores frecuentes cometidos por los estudiantes. Es importante tenerlos en cuenta durante el desarrollo de la unidad para corregirlos. = x 2 + 10x + 25 Desarrollo de ecuaciones cuadráticas utilizando fórmula general. Potencias de base negativa. Trabajar evaluaciones de expresiones algebraicas, como: 2 Multiplicación de números Si x 3, entonces, evaluar la expresión x − 3x + 2 enteros. ( −3) Ecuaciones irracionales reductibles a ecuaciones cuadráticas. No recordar que se deben comprobar. Ser explícito en los ejercicios que se resuelvan en clases en la comprobación escrita de las ecuaciones de este tipo. 2 − 3 ⋅ −3 + 2 = 9 + 9 + 2 = 20 Construcción de Trabajar evaluaciones de expresiones algebraicas, como: gráficos de función la expresión cuadrática en forma Evaluar mal las funciones de Si x 2 , entonces evaluar 2 2 2 − x + 2 x − 6 = − − 2 + 2 ⋅ − 2−6 ( ) manual (sin uso de la forma y = − x + bx + c . programa = −4 − 4 − 6 = −14 computacional). Cálculo de elementos característicos de una parábola (vértice, puntos de corte con ejes, etc.). Reforzar operatoria con fracciones, por ejemplo: Operatoria con fracciones. 9 4 = 9 ⋅ 2 = 18 = 3 3 4 3 12 2 2 85 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 85 2/11/11 16:58:36 Síntesis de la Unidad Síntesis conceptual de la unidad Ejercicios propuestos en esta Guía El objetivo de esta síntesis es que los estudiantes puedan revisar los conceptos fundamentales de la unidad. Se presenta primero, un mapa conceptual como ejemplo de síntesis de los conceptos de la unidad. Se sugiere revisarlo en clases junto a sus estudiantes haciendo énfasis en los conceptos. i. Actividades de refuerzo Estas actividades se presentan como un apoyo para el profesor y los estudiantes, de manera de reforzar lo aprendido. Encontrará aquí una batería de ejercicios que puede trabajar en clases, en forma adicional a los ya propuestos en el texto. Evaluación de síntesis 1 (Unidades 1 y 2) ii. Ficha de refuerzo Estos ejercicios están destinados a aquellos estudiantes que aún no han logrado los objetivos mínimos propuestos y necesiten trabajar sobre los conceptos fundamentales de la unidad. Se inicia al final de la unidad 2 y contiene ejercicios propios y/o combinados que incluyen materias de ambas unidades. Síntesis conceptual de ambas unidades El objetivo de esta síntesis es que los estudiantes puedan revisar los conceptos fundamentales de ambas unidades. En el ítem I los dos primeros problemas están reservados a recordar reglas de la primera unidad. Los tres restantes son referentes al análisis de propiedades de las ecuaciones de segundo grado y parábolas. Ejercicios de resumen de ambas unidades El ítem II está constituido por ejercicios; en cambio el ítem III, por el planteamiento y desarrollo de problemas y algunos de ellos integrando más íntimamente ambas unidades. Por ejemplo, el problema Nº3 El ítem IV está formado por 10 preguntas de alternativas que los estudiantes pueden trabajar como evaluación sumativa. Se propone que cada alumna o alumno calcule su porcentaje de logro. iii. Actividades de profundización Este material tiene por objetivo ampliar los conocimientos de los estudiantes que evidencien mayores habilidades matemáticas en esta unidad. Se proponen ejercicios y una actividad con los que usted puede trabajar. Tipos de ejercicios Se pueden identificar en ejercicios donde se repasan todos los contenidos en diferentes ítems, que pueden ser trabajados grupal o individualmente. En otros casos, especialmente en la Ficha de refuerzo, se hace siempre énfasis en colocar todo el desarrollo en la resolución de los ejercicios. Finalmente, también ofrecemos evaluaciones basadas en alternativas tipo PSU y donde hay una sugerencia para que el alumno revise y obtenga su porcentaje de logro, que se aconseja sea trabajado individualmente. 86 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 86 2/11/11 16:58:36 Actividades de refuerzo ) 2 2 1. ____ 0 es una de las soluciones x = 0x. − 11 = 5 ( x + 3, 8 ) 2 ( x − 2) +de − x +− 811 ( 2 2 3. ____La curva y = −2x 2 + x + 11 2 no contiene 2 2 al punto (1, 10) (11 + x ) ( x − 1 ) − ( x + 4 ) (5 − x ) = 7 x + 19 x − 32 + 2x − 5 4. ____ y = −2x 2 + x + 11 es una parábola cóncava hacia abajo 5. ____Si f ( x ) = x 2 − 9, luego para encontrar la imagen de 0 bajo f, se hace f ( x ) = x 2 − 9 = 0 y se despeja x. 6. ____Una parábola cualquiera siempre intersecta al eje y en un solo punto, y al eje x en uno o dos puntos como máximo. 7. ____Los ceros de g ( x ) = 2x − x son 0 y 0,5. 2 2 8. ____La parábola descrita por y = x + x − 12 intersecta al eje x en (3, 0) y ( −4, 0) 9. ____El vértice de la parábola escrita en 8. representa un máximo de la función cuadrática f ( x ) = x 2 + x − 12 10. ____La parábola y = ( x − 2) está desplazada dos unidades a la derecha de la parábola y = x 2 2 II. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas. No olvides que debes comprobar aquellas que tienen incógnita en el denominador y aquellas que son irracionales. 3 1 1. x − x − = 0 4 4 2 2. 81x 2 + 25 = 90x ( 3. 2x 2 + 2 ) 0 ,5 = 20 1 5 4. 1 + x 2 + x = 3 3 ( ) ) 6. (11 + x ) ( x − 1 ) − ( x + 4 ) (5 − x ) = 7 x 2 + 19 x − 32 + 2x − 5 ( 7. 8. 9. ) x − 2 4 ( x + 3) + 3 ( x + 2) = x +3 x −2 1 2 1 = 2 + x + 3x + 2 x − 1 1 + x 2 4 5x − 5x = 2 10. 5x + 7 + 6 + 11x − x 2 = 5 III.Resuelve los siguientes ejercicios de función cuadrática. 1. Usando Graphmatica u otro programa computacional, grafica las siguientes funciones. A partir del gráfico determina el recorrido de cada una de ellas: a. f ( x ) = 3x 2 − 5x − 2 b. y = − x 2 + 6 x − 5 2. Encuentra los puntos de corte del gráfico de cada función con el eje x (o ceros de la función), si es que existen. a. f ( x ) = 13 − x 2 b. f ( x ) = −19x + 2x 2 c. f ( x ) = ( − x + 67 ) 2 d. f ( x ) = 9x 2 − 9x − 28 Material Fotocopiable 2. ____Dada f ( x ) = x − 9, entonces las preimágenes de 16 son 5 y 5, bajo f 2 ) 11 = 5 ( x + 3, 8 ) UNID AD 2 )( x − Material Fotocopiable )( 2 Material Fotocopiable ( ( 5. 2 ( x − 2) + − x + 11 Material Fotocopiable I. Coloca V (verdadero) o F (falso) en cada una de las siguientes afirmaciones según corresponda. 87 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 87 2/11/11 16:58:48 Material Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable a. y − 6 x 2 − 3x = 0 b. y = −1 + 3x − 2x 4. El itinerario de una partícula está dado en la siguiente tabla: Tiempo en seg Posición en cm 0 2,3 2 1 IV.Resuelve los siguientes problemas de planteo. 1. “Recuerda que siempre debes leer cuidadosa y comprensivamente los enunciados de cada problema antes de responderlos”, comentaban en voz alta Glenia y Jack, mientras resolvían el siguiente problema: “Si a cada término de dos tercios se le suma cierto número y a la fracción obtenida se le suma el mismo número, no pasa nada. ¿De qué número se trata?” Responde el problema; si no lo logras, repite con ellos y hazlo. 2. En su último viaje al extranjero, Mac compró varios CD de computación para venderlos acá, en el país, porque éstos se habían agotado. Gastó el equivalente a $120000. Desafortunadamente, tres de ellos venían con fallas, por tanto, perdió $15000, al vender el resto en $3000 más de lo que le había costado cada uno. ¿Cuántos compró y a qué precio? 3. Mi vecino nunca estudió y solo copió durante el año. Como nada aprendió, no le fue bien en el examen escrito y se vio obligado a responder una pregunta que la comisión le hizo de manera oral. Salió mal, diciendo que él había llegado al resultado, que era –11 y 10, y que era injusto. Me llamaron a mí, y me hicieron la misma pregunta: “La diferencia de los cubos de dos enteros consecutivos es 331. Calcule la diferencia de sus cuadrados”. Hice todos los pasos correctamente y logré el resultado solicitado... aprobé matemáticas, que tanto me costaban... Te desafío a que resuelvas el problema. Material Fotocopiable Material Fotocopiable 3. Halla las intersecciones con los ejes coordenados, vértice y concavidad de las parábolas dadas por las ecuaciones. 8,1 2 17,1 5 46,8 3 27,2 4 37,5 6 53,9 7 56,7 a. Haz la gráfica correspondiente. ¿A qué figura corresponde? b. Escribe la ecuación de la posición (s) en función del tiempo (t) (Nota: toma tres puntos y reemplaza sus coordenadas en la ecuación y = ax 2 + bx + c ). V. Marca la alternativa correcta: 1. Dada la función f ( x ) = − x 2 − 3x − 2, es verdadero que: I. La función representa una recta II. f ( −1) = 0 III.El gráfico de la función corta en dos puntos al eje X a. b. c. d. e. Solo I Solo II Solo III II y III Ninguna es verdadera 2. El producto de dos números pares consecutivos positivos es 728. ¿Cuál es la suma de éstos? a. 24 b. 26 c. 28 d. 50 e. 54 88 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 88 2/11/11 16:58:50 a. b. c. d. e. no tiene solución real tiene solo una solución real tiene una solución positiva y una negativa tiene dos soluciones positivas y distintas tiene dos soluciones negativas y distintas a. y = 3x 2 + 6 x d. 2 b. 4 e. No tiene solución real c. – 4 6. El gráfico corresponde a la función definida por: a. y = x 2 − 6 x + 5 d. y = x 2 + 6 x b. y = x 2 + 6 x + 5 e. y = x 2 − 6 x c. y = x 2 + 5 30 25 20 15 10 5 –5 0 –5 c. y = 2x 2 − 3x 2 a. y = 3x + 6 x b. y = −5x 2 − 2x c. y = x2 +7 3 3x 2 + 9x 5 −x2 e. y = + 4x − 2 2 d. y = 10.La ecuación del eje de simetría de la parábola y = x 2 − 6 x − 16 es: a. x 8 b. x 2 c. x 3 d. x e. x 6 16 Material Fotocopiable y 35 b. y = 3x 2 − 3x + 2 e. y = x 2 − 2x + 3 9. De la siguientes parábolas, la de mayor abertura entre sus ramas es: 5. La(s) solución(es) de la ecuación x 2 + 15 = −1 es (son): a. 4 y – 4 d. y = x 2 + 2x − 3 UNID AD 2 4. Con respecto a la ecuación x + 1 + 2x − 1 = 2, se puede decir que: 8. ¿Cuál de las siguientes parábolas intersecta al eje Y en el punto ( 0, −3)? Material Fotocopiable tiene dos soluciones iguales. tienen soluciones complejas. una de las soluciones es 0. nunca tienen solución. no se puede afirmar nada con certeza. 5 10 15 20 25 x Material Fotocopiable a. b. c. d. e. 7. Para qué valor(es) de x la parábola y = 2x 2 − 5x + 3 intersecta al eje X: 3 e. a. 3 y 1 c. 1 2 3 b. y 1 d. 3 2 Material Fotocopiable 3. Sobre las ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 bx, con a y b distintos de cero, se puede siempre afirmar que: 89 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 89 2/11/11 16:58:58 Material Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable 1. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas: a. 2x 2 = 722 b. 5x 2 = 2x NOTAS c. x 2 − 20x + 100 = 0 2. Resuelve los siguientes problemas (aplicación de ecuaciones cuadráticas) a. Paulo te dice: “encuentra dos números que multiplicados den 105 y sumados, 22”. b. El área de un rectángulo es 32 cm2. Si el ancho y largo están representados por los números x 2 y x 2, ¿cuál es la medida, en cm, de sus lados? 3. Dada la parábola y = 2x 2 + 7 x − 4 , determina: a. Concavidad b. Intersección con los ejes coordenados c. Vértice 4. Resuelve el siguiente problema (aplicación de función cuadrática): Pamela lanzó una pelotita verticalmente, desde el suelo, que se mueve según la ecuación h = 15t − 5t 2, donde h es la altura que alcanza la pelota (en metros) en el tiempo t (medido en segundos). Responde: a. ¿A qué altura está después de 1 segundo de haber sido lanzada? b. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza? Material Fotocopiable Material Fotocopiable Ficha de refuerzo 90 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 90 2/11/11 16:59:01 Actividades de profundización 2 2. Dada f ( x ) = 9x 2 − 9x − 28, hallar a. Las imágenes de 0 y − 4 3 b. Las preimágenes de 0 y − 4 3 3. Determinar el coeficiente indicado: a. Hallar m en f ( x ) = mx 2 + x − 8 de tal modo que la imagen de –1 sea 0 b. ¿Cuál es el valor de t en g ( x ) = tx 2 + x − ( t − 1) tal que la preimagen de –4 sea 4? 4. ¿Cuál es la ecuación de la parábola que pasa por (0, −17 ), ( −1, −20) y (1, −16 )? 5. ¿Cuál es el valor máximo que toma la función f ( x ) = −42x 2 + 13x + c si se sabe que su gráfica intersecta al eje y en ( 0, −1)? 6. De una parábola se sabe que pasa por el punto de origen, y su eje de simetría tiene por ecuación x 2 a. ¿Cuáles son las intersecciones con los ejes coordenados? b. Con esta información, ¿es posible hallar la ecuación de la parábola? c. Si su vértice estuviera dos unidades arriba del eje x, escribe la función cuadrática que representa. UNID AD 2 d. f ( x ) = ( x + 6 ) − 81 Material Fotocopiable c. h ( x ) = 1, 8 − 5x 2 Material Fotocopiable b. g ( x ) = 0, 6 x 2 − 0, 9 Material Fotocopiable a. f ( x ) = −4, 7 x 2 NOTAS Material Fotocopiable 1. Indicar los dominios y recorridos de las siguientes funciones: 91 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 91 2/11/11 16:59:06 Instrumentos de evaluación En la misma línea en la que se ha trabajado la evaluación hasta ahora, volvemos a recordar que la evaluación debe ser un proceso continuo que entregue información sobre el proceso de enseñanza – aprendizaje tanto a cada alumno o alumna como al profesor o profesora. Ya se han mencionado diversos instrumentos de evaluación en la unidad anterior. Algunos sugeridos fueron: a. b. c. d. e. f. Escalas de apreciación Listas de cotejo Trabajos grupales formativos Actividades individuales o grupales de estudio Coevaluación Evaluaciones sumativas a.Escalas de apreciación Sirven para recolectar información sobre el trabajo puntual realizado por los estudiantes en una clase o en una actividad determinada. Pueden complementar las evaluaciones de proceso que están en la unidad. Por ejemplo, al final del estudio de las ecuaciones cuadráticas podría ser: Nombre del estudiante: Curso: Fecha: Actividad: / 24 Puntaje obtenido: Porcentaje de logro: Según tu apreciación personal del trabajo realizado, marca con una cruz el casillero correspondiente para cada una de las siguientes preguntas, de acuerdo con esta escala: L: logrado (3 puntos) ML: medianamente logrado (2 puntos) PL: Por lograr (1 punto) Indicador L ML PL ¿He entendido los conceptos de la sección? ¿He entendido los ejercicios resueltos o los ejemplos? ¿He sido capaz de desarrollar los ejercicios propuestos? ¿He aportado al desarrollo de la clase? ¿Me he preocupado de preguntar lo que no me quedó claro? ¿He realizado un buen trabajo en equipo, junto a mis compañeros? (en caso de trabajo en grupo) ¿He demostrado interés en aprender? ¿He puesto todas mis capacidades al servicio de mi aprendizaje? 92 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 92 2/11/11 16:59:06 b.Listas de cotejo Como ya se ha dicho, recolectan información sobre el nivel de logro de aspectos trabajados en las secciones de la unidad. Pueden ser dirigidas al estudiante o trabajadas por el profesor. Un ejemplo de estas es: UNID AD 2 Realiza las tareas dadas Aporta al trabajo de su grupo Realiza los ejercicios propuestos Alumno Muy bueno (7,0 - 6,0) Bueno (5,9 - 5,0) Suficiente (4,9 - 4,0) Insuficiente (3,9 - 1,0) Pregunta cuando tiene dudas MB: B: S: I: Explica los conceptos fundamentales Escala: Trabaja bien en clases Curso: Abarca Juan Baeza Lorena También se puede aplicar al trabajo individual. Por ejemplo, en los ejercicios de síntesis y evaluación de la unidad. c. Trabajos grupales formativos Recuerde que el trabajo en grupo ayuda a la explicación entre pares y que, en muchas ocasiones, resulta una buena estrategia de aprendizaje. En el Texto del Estudiante están indicados como trabajos grupales que los estudiantes deben realizar (en verde). Puede formar los grupos de manera que en uno de ellos no queden todos los estudiantes con mayores habilidades para la asignatura. Se sugiere que el profesor corrija la actividad con el curso y pueda entregarles retroalimentación acerca de los posibles errores cometidos. d.Actividades grupales o individuales de estudio Se sugiere trabajar una guía de ejercicios de preparación para la prueba de unidad. Para ello es bueno trabajar con el tipo de ejercicios que se evaluarán. Recuerde que usted debe evaluar lo que enseñó y no si el alumno es capaz de resolver un problema nuevo con algún tipo de estrategia nueva. Los ejercicios que apuntan a desarrollar habilidades superiores como aplicar, analizar y relacionar diversos conceptos deben ser trabajados en clases. No trate de “pillar” a sus estudiantes, solo constate que aprendieron lo que usted les enseñó. 93 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 93 2/11/11 16:59:06 e. Coevaluación Entendida como aquella evaluación de una actividad o trabajo realizada entre pares. Recuerde que la dinámica de las relaciones del curso debe ser la brújula que le indique si este tipo de instrumento se puede aplicar y cómo se aplica. Recuerde que usted puede visitar el siguiente enlace para optimizar este recurso evaluativo: http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a0286a13e6329d3f&ID=137573 Un posible instrumento es: COEVALUACIÓN TEMA: FECHA: : INDICADORES Niveles de logro INTEGRANTES DEL GRUPO 1 2 1 3 4 5 4 = SÍ 8 = NO 2 3 4 Total 1. Ayuda a los integrantes del grupo. 2. Cumple con lo que el grupo le encarga. 3. Mantiene un buen trato con sus compañeros. 4. Es tolerante ante las opiniones y propuestas de los compañeros. f. Evaluaciones sumativas Resumen lo trabajado en la unidad. Se pueden utilizar, como ya se ha dicho, de manera formativa o evaluada. Los ítems de alternativas propuestos en el libro tienen una evaluación porcentual de logro que los estudiantes deben calcular, esta se puede traducir a nota (al 50% o al 60%). Recuerde que en la unidad 1 de esta misma guía se han entregado dos escalas para transformar porcentajes de logro en notas. De manera complementaria al Texto del Estudiante, a continuación se presentan dos evaluaciones con diferentes ítems para servir de apoyo al docente. 94 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 94 2/11/11 16:59:06 Evaluaciones Evaluación 1 I. Dada la parábola y = x 2 − 6 x + 16 , completa en la línea de puntos lo solicitado: 1. Representaalafuncióngráficamente:.......... 2. Los valores de los coeficientes a = .......... b = .......... c = .......... 3. La parábola es cóncava hacia .......... porque el valor de .......... es .......... que cero. 4. Intersecta al eje y en el punto de coordenadas (.........., ..........) 7. La ecuación del eje de simetría es .......... 8. Las coordenadas del vértice son .......... 9. ¿Cuál es el valor menor de y que toma la función representada por esta parábola? 10. La ecuación de la parábola que es el reflejo de la dada con respecto al vértice es .......... II. Resuelvelassiguientesecuacionescuadráticas −1 3. ( x − 3) ( x − 4 ) ( x − 5) = 4 x 2 − 3x − 27 + x 2 ( x − 3) ( x − 3) ( x − 4 ) ( x − 5) = 4x 2 − 3x − 27 + x 2 ( x − 3) 4. x ( 2x − 1 ) = 5. 6. 7. ( 3 x 2 − 11 5 2 ( 3x + 2 ) x −1 3x 2 − x − 2 5 ) = 36 + 2( x = 3x + 4 x +2 y2 − 2 y = 4 3 2 − 60 ) 7 ( 8. 6z + 7 + 6 + 21z − z 2 = 0, 3 2, 6 + 20z U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 95 2x 2 − x + 5 (5 + x ) = 2x 2 − 25 10. 5+ x III.Resuelvelossiguientesejercicios: 1. Considera todos los rectángulos de perímetro de 10 cm. ¿Es una parábola la gráfica de la función que expresa el área de ellos? Justifica tu respuesta. 2. Hallar los valores de x para los que la función g ( x ) = x 2 − 6 x + 8 es positiva o negativa. 3. Escribir la fórmula del área de un círculo en función del radio. Considerándola una función cuadrática, encuentra las preimágenes de 6. La imagen de –1 bajo la parábola es .......... 2. ( 2x − 3) = ( 2x + 3) 1 1 = 2− 2 x ¿Para qué valor(es) de x, g ( x ) se anula? 5. Intersecta al eje x en .......... porque el discriminante es .......... que cero. 1. 5x 2 − 3x + 1 = 0 9. x − UNID AD 2 De manera complementaria al Texto del Estudiante, a continuación se presentan dos evaluaciones con diferentes ítems para servir de apoyo al docente. a. 48 b. –48 Nota. En este ejercicio, considera a igual a tres. 4. ¿Cuál es la ecuación de cada parábola? Une la parábola con cada una de las ecuaciones dadas: y = − x 2 − 2x − 3 1 y = x2 + x − 2 3 y = x 2 − 2x + 2 y 8 6 4 2 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –2 –4 1 2 3 4 5 x –6 5. Determina el dominio y recorrido de las funciones representadas en el ejercicio anterior. Usa los gráficos. 6. Hallar la ecuación de una parábola que pasa por (1, −1) y su vértice es el punto ( −2, 3). ) 95 2/11/11 16:59:13 7. Encuentra los puntos de corte con los ejes coordenados, el vértice y determina la concavidad de cada parábola: a. y = − x 2 + 2x b. y = −2x 2 − 4 x + 30 c. y = x 2 + 14 x + 49 8. Determina las ecuaciones de las parábolas según la información dada por la gráfica. y –2 0 x –2 –3 IV.Resuelve los siguientes problemas: 1. Virgilio aprendió tan rápido el teorema de Pitágoras, que quería resolver todos los ejercicios de triángulos usando el famoso teorema. La dificultad es que para un triángulo de 10, por 17 y 18 unidades no funciona. Hizo varios intentos y finalmente pensó que si le quitara la misma cantidad a cada lado, posiblemente lo lograría. De hecho probó y lo consiguió. ¿De qué medidas quedó el nuevo triángulo? 2. En el cuento el niño preguntó al elefante su edad. No le respondió. Sin embargo, el sabio búho matemático, le propuso cierto acertijo: “Si construyeras un cuadrado cuyo lado valiera su edad, su área sería igual a seis veces su edad... Así sabrás el porqué no te puede responder ya que es muy pequeño todavía”. ¿Cuál es la edad del elefante?... ¿es muy pequeño con esa edad?... 96 3. Si se lanza una piedra verticalmente hacia arriba, ella sube hasta cierta altura, y luego empieza a caer. La altura alcanzada (h) en función del tiempo está dada por h = −5t 2 + 5t + 15 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 96 a. ¿En qué instante alcanzará el punto más alto? b. ¿Cuál es esta altura máxima? 4. Rafaela quiere construir cajas de base cuadrada y de altura 10 cm para hacer los regalos de Navidad. Vio que los objetos que iba a incluir en cada una eran de distintos tamaños, por tanto propone cambiar la medida de la base; tomó un lápiz y un papel y logró establecer una relacion entre el volumen de la caja y el lado de la base. ¿Cuál es esta relación?¿de qué tipo es? 5. Para montar un stand en la feria regional científica, al Liceo de Tamara se le ha asignado un terreno triangular isósceles de 60 metros cuadrados. Requieren cercarlo con cuerdas. Si los lados iguales miden 13 m, ¿cuántos metros de cuerda requieren por lo menos? V. Marque la alternativa correcta: 1. El conjunto solución de la ecuación x − 3 = 5 x − 1 es: a. ∅ b. {10, 1} c. {−10, −1} d. {10} e. {−1} 3 2. Si ax 2 + bx + c = 2 x − ( x + 5) para todo x 2 R, entonces b y c son respectivamente: a. 7 y – 15 b. – 7 y 15 −3 y5 2 3 d. y – 5 2 c. e. 7 −15 y 2 2 3. Si 1 es una raíz de la ecuación ax 2 + bx + c = 0, entonces el valor de c es: a. a + b b. – a – b c. a – b e. ab d. b – a 4. Los números reales que satisfacen la ecuación 2 2 ( x − 3) + ( x − 4 ) = 2x son: a. 3 y – 4 b. 5 y – 5 c. – 3 y 4 d. – 3, 4 y 5 e. 8 ± 14 2 5. Si 3 y – 3 son soluciones de una ecuación cuadrática, entonces esta es: a. x 2 − 6 x + 9 = 0 b. x 2 + 6 x + 9 = 0 c. x 2 − 9 = 0 d. x 2 + 3x = 0 e. x 2 − 3x = 0 2/11/11 16:59:20 a. ( 4, −1) b. ( −1, 4 ) c. ( −4, 1) d. ( −4, −1) e. (1, −4 ) 7. La parábola cuyo máximo es el punto (2, 3) y que intersecta al eje Y en el punto (0,0) es: −3 2 9 −3 2 x + x d. y = x + 3x a. y = 4 4 4 e. y = −3x 2 + 9x b. y = 3x 2 + 2x c. y = 4 x 2 − 3x + 6 8. Sea y = 3x 2 + x − 2 una parábola. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? −1 −25 , I. Su vértice es el punto 6 12 III.Ella intersecta al eje Y en el punto ( 0, −2) c. II y III b. I y III d. Todas e. Ninguna 9. El gráfico que mejor representa a la función f ( x ) = − x 2 + 10x − 24 es: a. d. y y x x b. e. y c. y x a. b. c. d. e. (2)el valor de q es 2. (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) o (2) Se requiere información adicional Evaluación 2 I. Coloca V (verdadero) o F (falso) en cada una de las siguientes afirmaciones, según corresponda. 2. ____La función f ( x ) = x 2 + 9x + 32 no tiene ceros. 3. ____En la función anterior, 32 tiene dos preimágenes. 4. ____Para saber si una parábola cóncava hacia abajo siempre corta al eje x en dos puntos distintos, basta saber que el discriminante respectivo es distinto a cero, porque de lo contrario el vértice estaría en el eje x. 5. ____Si g ( x ) = − x 2 − 7, el valor de g ( −2) es – 5. 6. ____Si de una parábola solo se conoce su vértice y una de sus dos intersecciones con el eje x, entonces se puede encontrar la ecuación de esta parábola. y x x (1)el valor de p es el triple de q. 1. ____ –11 no es una de las soluciones de x 2 − 121 = 0. −1 −25 , II. Su máximo es el punto 6 12 a. Solo I 10.Se puede determinar la suma de las raíces de la ecuación x2 px q 0 si: 7. ____La ecuación del eje de simetría de 1 g ( x ) = −2x 2 + 4 es x = . 4 8. ____Si los puntos (3,0) y (4,0) están en una parábola, entonces la función que representa, evaluada en –1, es 3, y es 4 cuando es evaluada en cero. 9. ____Para saber si una función es cuadrática en la variable x, basta que tenga un término x2 en su fórmula. 10. ___El valor mínimo de la función f ( x ) = 3x 2 − 4 x + 23 es dos tercios. U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 97 UNID AD 2 6. El vértice de la parábola y = x 2 − 8 x + 15 es: 97 2/11/11 16:59:29 II. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas: 1. 1 + 4 x − 21x 2 = 0 1 7 ( x − 11) 2x − 3 = 0 7 3. (3x − 0, 5) (3x − 0, 5) − 1 = 2x ( 4 x − 2) 2. 3 x −1 x −1 4. 3x 2 − ( 23xx −25−) +( 2x − 5) + 3 3 x −1 x −2 3x 2 − (2x + 5)+ =0 + 4 x 2 + 12x + 3 5 5. ( x + 2) 5 2 −1 ( x + 3) − 2 x 1 6. = 1− x 1+ x 3 2 7. ( −2z ) = 1 − 2z 4 x x +6 x +3 8. − = x −6 6− x 6 2 = ( x + 3) ( x − 3) 4 1. El profesor de Silvestre subió a Internet el desarrollo de la prueba de función cuadrática. Tuvo mala toda esta pregunta: “En los problemas de la física, las funciones cuadráticas involucran variables que no son necesariamente x e y. Usando las claves: C para función cuadrática (o forma equivalente) y N en caso de que no sea, clasifica cada expresión llenando el (___) correspondiente. b. ( ) A = πr 2 ; ( πª3, 14 ) c. ( d. ( e. 1 2 πr h; ( h = 0, 3) 3 1 ) V = πr 2h; r = 3 3 a ) s = v0T + T 2 ( v0 = 4 y a = 10) 2 ( )V = ( y 4 3 2 1 –4 –3 –2 –10 –1 –2 –3 –4 a. y 4 3 2 1 –4 –3 –2 –10 –1 –2 –3 –4 1 2 3 4 x b. y 4 3 2 1 –4 –3 –2 –10 –1 –2 –3 –4 ) ( ) E = mc 2 ( m y c constantes ) y 4 3 2 1 –4 –3 –2 –10 –1 –2 –3 –4 d. y 4 3 2 1 –4 –3 –2 –10 –1 –2 –3 –4 1 2 3 4 x e. 1 2 3 4 x y 4 3 2 1 –4 –3 –2 –10 –1 –2 –3 –4 1 2 3 4 x f. c. III.Resuelve los siguientes problemas: a. 2. Para cada parábola, escribe la fórmula de la función correspondiente. 1 2 3 4 x 1 2 3 4 x 3. Considera las siguientes parábolas: Parábola 1: tiene su vértice en (-3,0) e intersecta al eje y en (0,3). Parábola 2: se sabe que su vértice está a tres unidades bajo el eje horizontal, y lo intersecta en el origen como en (3,0). Solamente con esta información responde justificadamente: a. ¿Cuál de ellas es más abierta? b. ¿En cuál de ellas el discriminante de su ecuación debiera ser mayor? c. ¿En cuál de ellas el valor de c (término libre) de su fórmula ecuación debiera ser menor? 4. Verifica si las parábolas y = −0, 5x 2 + 1, 5x − 1; y = − x 2 + 3x − 2 y y = −2x 2 + 6 x − 4 intersectan al eje x en (1, 0) y ( 2, 0). ¿Coincidirán sus vértices? 5. Encuentra los ceros que tiene la función f ( x ) = − 25x 2 − 60x + 36 . ( ) 98 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 98 2/11/11 16:59:38 7. ¿Será verdad que los vértices de f ( x ) = −8 x + x 2 y g ( x ) = 8 x − x 2 se encuentran verticalmente en una misma línea recta? Explícalo. 8. ¿Cuál es el valor máximo de g ( x ) = 8 x − x 2 ? IV.Marque la alternativa correcta: 1. Si f ( x ) = 2x 2 + kx − 5 y f ( −1) = 7 entonces el valor de k es igual a: a. – 10 b. – 5 c. 5 d. 10 e. No se puede determinar 2. Para una ecuación de segundo grado cuyo discriminante es igual a – 5, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones con respecto a las raíces o soluciones de esta ecuación es (son) siempre verdadera(s)? I. Son números racionales. II. No pertenecen a los números reales. III.Son números reales y distintos. a. Solo I c. Solo III b. Solo II d. Solo I y III e. I, II y III 3. ¿Cuál es el valor de p en la ecuación 6 x 2 − 15x + 2xp − 5p = 0 si una de 5 sus soluciones es ? 4 −15 15 e. c. 4 a. 4 2 7 −7 d. b. 2 2 4. El producto de un número natural por su antecesor es 272. ¿Cuál es el doble del número menor? a. 16 b. 24 c. 32 d. 48 e. 56 5. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? 2 I. La ecuación x = 9 es equivalente con x 3. II. La ecuación 4 x 2 − 5 = 0 es equivalente con la ecuación 3x 2 + 7 = 12 − x 2 . UNID AD 2 6. ¿A cuánta distancia del eje y se halla el eje de simetría de y = 14 x 2 + 37 x + 24 ? III.La ecuación 3x 2 − 5x = 0 es equivalente 3x − 5 = 0. con la ecuación x a. Solo I c. Solo III e. Todas b. Solo II d. I y III 6. ¿Para qué valor de x la función 2 f ( x ) = 5 + ( x − 3) alcanza su mínimo valor? a. – 6 b. – 3 c. 3 d. 6 e. 7 7. Para que una función de la forma R+, sea f ( x ) = −ax 2 + φ bx, complemento: + c , con a , b, c ∈R cóncava hacia abajo debe cumplirse que: a. el discriminante de la ecuación cuadrática asociada a la función sea menor que cero. b. a < 0 c. b > 0 y c < 0 d. nunca será cóncava hacia abajo e. siempre será cóncava hacia abajo 99 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 99 2/11/11 16:59:44 8. Para determinar una función cuadrática se deben conocer: I. Tres puntos por los que pasa su gráfico. II. El vértice y un punto de corte con el eje x de la parábola que la representa. III.Los ceros de la función. a. Solo I c. Solo II y III b. Solo I y II d. Solo I y III e. I, II y III a. tiene siempre un punto máximo o mínimo. φ, complemento: b. su dominio es siempre el conjunto R. c. su gráfico puede cortar en dos, uno o ningún punto al eje x. d. siempre existe un punto de corte con el eje y. e. su recorrido es siempre el conjunto R. 10.De la parábola f ( x ) = ( x − 5) , se puede decir que: 2 I. está desplazada horizontalmente a la derecha con respecto a la parábola de ecuación g ( x ) = x 2. II. tiene un solo punto de corte con el eje x. III.es cóncava hacia arriba. c. Solo I y III b. Solo III d. Solo II y III Puntaje obtenido Indicador 9. Con respecto a la función de la forma f ( x ) = ax 2 +φbx + c , con a , b, c ∈R , complemento: R,+es falso que: a. Solo I Pauta de evaluación sugerida para evaluación 1 y 2: Esta pauta puede aplicarse para obtener el porcentaje de logro, transformarlo a calificación y también para evaluar cada ítem pedido. Puede parcelar la evaluación como trabajo individual en varias clases y luego promediar la calificación o los porcentajes de logros obtenidos. Complete la tabla adjunta. e. I, II y III Puntaje total Número de respuestas correctas del ítem I (completación). Asigne 1 punto por cada respuesta correcta. Número de ejercicios desarrollados correctamente en el ítem II (ecuaciones cuadráticas). Asigne 2 puntos a cada ejercicio. Número de ejercicios de funciones cuadráticas desarrollados correctamente e el ítem III. Asigne 2 puntos a cada ejercicio. 10 20 16 Número de problemas de planteo resueltos correctamente, ítem IV. Asigne 2 puntos a cada ejercicio. 10 Total 66 Número de alternativas contestadas correctamente, ítem V. Asigne 1 punto a cada respuesta correcta. 10 Para traducir a porcentaje de logro el puntaje obtenido, use la siguiente fórmula: Porcentaje = Puntaje obtenido ⋅ 100 66 Para traducir a nota el porcentaje obtenido puede usar las tablas anteriores. 100 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 100 2/11/11 16:59:46 Solucionario de la Unidad I. 1. V 3. F 5. F 7. V 9. F 2. V 4. V 6. F 8. V 10. V 6. No tiene solución en R II. 1. –0,25 y 1 −14 −1 y 2 3 8. –3 5 9 3. –1 y 0,5 7. 2. 5. 0 y 13 10 3 2. Compró 10 CD a $12000 cada uno 3. 21 10. –0,5 4. a. A una rama de parábola; cóncava hacia arriba −49 f ( x ) = y ∈R / y ≥ φ,Rec complemento: III. 1. a. 12 y 8 f ( x ) = 3x 2 − 5x − 2 6 4 2 –5 –4 –3 –2 –1 0 –2 1 –4 2 3 4 5 x 6 4 –5 –4 –3 –2 –1 0 –2 –4 ( 1 –8 )( 13 , 0 , − 13 , 0 19 ,0 b. ( 0, 0), 2 c. ( 67, 0) 7 −4 ,0 d. ,0 , 3 3 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 101 Posición versus Tiempo Serie 1 Tiempo (seg) V. 1. d 3. c 5. e 7. b 9. c 2. e 4. b 6. a 8. d 10. c Ficha de refuerzo 2 3 4 5 6 7 x 1. a. 19y–19 2. a. 7 y 15 b. 0 y 0,4 b. 8 y 4 cm c. 10 3. a. cóncava hacia arriba –6 2. a. Posición (cm) b. s ( t ) = 1, 6t 2 + 4, 2t + 2, 3 y 8 2 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 b. Re Recc = {y ∈ R / y ≤ 4} f ( x ) = − x 2 + 6x − 5 b. Cóncava hacia abajo, 1 3 1 (0, −1) ; , 0 ; (1, 0) ; , 2 4 8 IV. 1. 0 y − 9. 0,8 4. –1 y 3. a. Cóncava hacia arriba, −1 −3 −1 (0, 0) ; , 0 ; , 2 4 8 UNID AD 2 Actividades de refuerzo ) 1 b. ( 0, −4 ) , , 0 , ( −4, 0) 2 −7 −81 , c. 4 8 4. a. 10 m b. 11,25 m 101 2/11/11 16:59:52 Actividades de profundización 10. y = − x 2 + 6 x − 16 1. a Dom φ, complemento: φ,=complemento: R Rec = {y ∈ R / y ≤ 0} II. 1. No tiene solución real 10 10 2. y − 2 2 11 3. 3 y 13 4. No tiene solución real φ, complemento: b. Dom R Rec = {y ∈ R / y ≥ −0,9} φ,=complemento: 17 φ, complemento: R Rec = y ∈ R / y ≤ c. Domφ,=complemento: 9 d. Dom φ, complemento: φ,=complemento: R Rec = {y ∈ R / y ≥ −81} 5. 9 y 9 −4 2. a. f (0 ) = −28, 28, f = 0 3 6. 7 4 b. Pre imágenes de 0: x = y x = − 3 3 9 ± 104 4 Pre imágenes de : − x = 18 3 −3 3. a. m 9 b. t = 5 2 4. y = − x + 2x − 17 −1 5. 168 2 + 2+ 4 3 2 − 2+ 4 3 y 2 2 8. No tiene solución en R 7. 1 2 10. 5 2 y − 5 2 9. 2 y 6. a. eje x: ( 0, 0)y ( −4, 0), eje y: ( 0, 0) b. No, falta un tercer punto por el que pase 1 c. f ( x ) = − x 2 − 2x 2 Evaluación 1 y 15 2 3. A = π⋅ r donde A es el área de un círculo y r, su radio. 10 5 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 102 4. 5 a = 1 b = -6 c = 16 arriba; a; mayor. (0, 16 ) ningún punto, menor 23 x=3 (3, 7 ) 7 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 102 III. 1. Si x e y son los lados, entonces el área de ellos A = x ⋅ y. Como todos los rectángulos tienen perímetro de 10 cm, se puede deducir que x + y = 5. Despejando y y remplazando en A = x ⋅ y tenemos A = x ⋅ (5 − x ); reduciendo se obtiene A = 5x − x 2, que es la parábola de la función área. 2. La función es positiva para los valores de x menores de 2 y también para los mayores de 4. Para x = 2 y x = 4, g ( x ) se anula. La función es negativa para los valores de x comprendidos entre 2 y 4, sin incluirlos. I. 1. 0 4y 1 10 a. 4 x b. no tiene y 8 6 4 2 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –2 y = − x 2 − 2x − 3 y = x 2 − 2x + 2 1 y = x2 + x − 2 3 –4 1 2 3 4 5 x –6 2/11/11 16:59:58 II. 1. − f ( x ) = { y ∈ R / y £ − 2} φ, Rec complemento: 1 2 x + xφ−, 2complemento: Dom f ( x ) = R 3 11 φ,Rec complemento: f ( x ) = y ∈R / y ≥ − 4 2. 11 y y= 1 1 y 7 3 3. 1 4. f ( x ) = { y ∈ R / y ≥ 1} φ, Rec complemento: 4 16 11 + 6. y = − x 2 − 9 9 9 6. −1 ± 2 3 2 7 1 −3 y 2 2 1 y 2 5 III.1. a. C b. C y = x 2 − 2xφ+, 2complemento: Dom f ( x ) = R 5. 3 y 1 c. N 2 2. a. f ( x ) = x 7. a. y = − x + 2x ( 0, 0) y ( 2, 0) ( 0, 0) (1, 1) Cóncava hacia abajo 2 1 3 7. −1 y 8. 3 y 18 d. C e. N d. f ( x ) = − x 2 b. f ( x ) = x 2 + 2 UNID AD 2 , complemento: 3 Dom f ( x ) = R 5. y = − x 2 − 2xφ− e. f ( x ) = x 2 + 2 c. f ( x ) = x 2 − 3 f. f ( x ) = − x 2 − 1 3. a. la parábola uno es más abierta. b. y = −2x 2 − 4 x + 30 ( −5, 0) y (3, 0) ( 0, 30) ( −1, 32) b. el discriminante mayor es el de la x + 30 ( −5, 0) y (3, 0) ( 0, 30) ( −1, 32) Cóncava hacia abajo parábola dos. c. y = x 2 − 14 x + 49 (7, 0) y ( 0, 49) (7, 0 ) c. el valor de c (término libre) de su fórmula Cóncava hacia arriba ecuación debiera ser menor en la parábola 3 2 dos, pues intersecta al eje y en (0,0), ya que la 8. y = x + 3x e y = −2x 2 + 6 x − 2 segunda componente es cero y corresponde 4 a c. En cambio, para la otra parábola, se tiene que intersecta al eje y en (0,3), por tanto c = 3 IV. 1. 5,12 y 13 unidades 4. Para cada caso se puede verificar que (1, 0) 2. 6 años. La edad promedio de un elefante en la y ( 2, 0) satisfacen las tres ecuaciones de selva es de 56 años. Sin embargo, en cautiverio parábolas. ¿Coincidirán sus vértices? No, llega solo a 15 años. Como es un cuento, el no coinciden. elefante es muy pequeño en edad todavía. 2 y = −0, 5x + 1, 5x − 1 3. a. 2 unidades de tiempo Coordenada x del vértice es 1,5 y = − x 2 + 3x − 2 b. 35 unidades de longitud 2 Coordenada x del vértice es 1,5. Lo mismo 4. V = x ⋅ h, donde V es el volumen de la caja, x sucede con y = −2x 2 + 6 x − 4 es la longitud de base cuadrada y h medida de altura. Nótese que al fijar la altura tenemos que V es una función cuadrática. 5. 36 m V. 1. d 3. d 5. c 7. a 9. b 2. a 4. e 6. a 8. b 10.c Evaluación 2 I. 1. F 3. V 5. F 7. V 9. F 2. V 4. F 6. V 8. F 10. F En consecuencia, las tres tienen el mismo vértice e intersectan al eje x en los mismos puntos. 5. Solo tiene un cero, ya que el respectivo discriminante es 0. El cero de esta función es 1,2. 37 6. A unidades a la izquierda. 28 7. El vértice de cualquier parábola es un punto del eje de simetría. El eje de simetría de y = −8 x − x 2 y y = 8 x − x 2 es x = 4. Por tanto, ambos vértices se encuentran en esta misma recta. 8. El valor máximo de g ( x ) = 8 x − x 2 es 16 IV.1. a 3. e 5. b 7. e 9. e 2. b 4. c 6. c 8. b 10.e 103 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 103 2/11/11 17:00:08 Bibliografía y detalle de links de la Unidad Referencia histórica •Graph, que se puede bajar gratuitamente desde: Algunos links de apoyo son: http://gratis.portalprogramas.com/graph.html http://personal.globered.com/monis-en-asesoria-ycorreccion/categoria.asp?idcat=21 Sitio de descargas. Además de Graph, ofrece programas similares, algunos gratuitos, de evaluación y otros de computación. Al final de la página aparece link hacia información legal contenida en el mismo sitio. Aquí se sintetizan las ecuaciones cuadráticas y su historia. Se hace un recorrido breve por la Teoría de ecuaciones, los comienzos y la búsqueda de las soluciones generales. Esta página es de MONIS EN ASESORÍA Y CORRECCIÓN, que es ayuda matemática y en sistemas de estudiantes bachilleres. http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Historia/ MateOspetsuak/Ruffini2.asp En esta página se propone la resolución de ecuaciones de grado inferior a cinco: perspectiva histórica. Es interesante porque traduce a lenguaje actual las formas de resolución de varias culturas, como la babilónica, por ejemplo, a lenguaje algebraico actual. Este documento es imprimible. En esta página también hay varios links a otros recursos de gran utilidad docente, además de Textos online en formato pdf, descargables e imprimibles. El sitio web de esta página es DivulgaMAT: Centro Virtual de Divulgación de las Matemáticas de la Real Sociedad Matemática Española. La parábola Para graficar, se sugieren los siguientes softwares: •Graphmatica, también gratuitamente desde: http://graphmatica.programas-gratis.net/ Sitios de descargas. Además de Graphmatica, ofrece programas similares, algunos gratuitos y/ o de evaluación, y otros de computación. Al final de la página aparece link hacia aviso legal y condiciones de uso contenida en el mismo sitio. Instrumentos de evaluación Coevaluación: Se sugiere al docente visitar el siguiente enlace para optimizar este recurso evaluativo: http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/ VerContenido.aspx?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a0286a13e6329d3f&ID=137573 Es un portal de la educación donde usted puede conseguir varias indicaciones prácticas destinadas a la Coevaluación y autoevaluación, citando la fuente de procedencia. El material está además en pdf descargable e imprimible. Tiene también links de interés para docentes, estudiantes y familia, no solo en matemáticas sino también para las otras asignaturas o áreas del quehacer educativo. Bibliografía temática •Elbridge, V. (1965). Álgebra y Trigonometría Modernas. Massachusetts-Palo Alto -London: Addison Wesley PubIishing Company, Inc. 2ª ed. •Masjuán, G.; Arenas, F. y Villanueva, F. (2008). Álgebra clásica. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 1ª ed. •Spiegel, M. (2007). Álgebra superior (Serie Schaum). México D.F.: Editorial Mac Graw Hill. 3ª ed. •Swokowsky, E. y Cole, J. (2008). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. México DF.: Thomson Editores. 11ª ed. •Mercado, C. (1981). Test Matemática: problemas para PAA y Prueba de conocimientos específicos. Santiago: Editorial Universitaria. 16ª edición. •Tapia, O.; Ormazábal, M.; Olivares, J. y López, D. (2009). Manual de preparación para PSU matemática. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 9ª ed. •Riera, G. (1998). Matemática aplicada, texto para profesores 2º medio Mineduc. Santiago: Editorial Zig –Zag. • Tapia, O. y Ormazábal, M. (2008). Cuaderno de ejercicios PSU matemática. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 5ª ed. •Sobel, M. y Lerner, N. (1998). Precálculo. México DF.: Editorial Pearson Educación. 5ª ed. 104 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 104 2/11/11 17:00:08 Sitios web sugeridos ¿Qué matemáticas hay en Internet? En el siguiente link encontrará algunos consejos y enlaces interesantes. También hallará aplicaciones del programa Cabri para Internet. http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/#Páginas%20 interesantes Está dedicada al profesor, estudiante, o al público general. Contiene links tanto internos como externos para actividades docentes, ensayos sobre temas matemáticos y geométricos. También presenta juegos matemáticos, historia, etc. Hay links para sitios de descargas de software de matemática con descripciones y cometarios, por ejemplo Cabri, Derive, etc. Además, tiene variado tipo de material, algunos reproducibles. Está a cargo de Antonio Pérez Sanz. Matemático. I.E.S. Instituto Salvador Dalí, Madrid, España Definición de la parábola como lugar geométrico. http://descartes.cnice.mec.es/descartes2/previas_web/ materiales_didacticos/Funciones_cuadraticas/Raul_ Hidalgo_UD6.html Es una página interactiva, con instrucciones simples, que permite visualizar coordenadas de puntos, el foco, la directriz, la parábola correspondiente, etc. Requiere tener Java Instalado. Esta página pertenece a Descartes. Proyecto Educativo de Matemáticas Interactivas. Ministerio de Educación, Política Social y Deporte. España Para aprovechar mejor el recurso interactivo anterior, con respecto a la presente unidad, se puede dirigir a http://descartes.cnice.mec.es/descartes2/previas_web/ materiales_didacticos/Funciones_cuadraticas/Funciones_ cuadraticas.htm Propuesta de actualización de conocimientos para el docente En el siguiente link encontrará un repaso acabado de Funciones algebraicas y gráficas. http://matesup.utalca.cl/modelos/2clase/2_1_ Funciones.pdf Este pdf es descargable e imprimible. Es del curso “Modelos matemáticos y funciones”. Profesores: Juanita Contreras S. y Claudio del Pino O. Instituto de Matemática y Física. Universidad de Talca. Un recorrido por la Ecuación cuadrática. http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ecuacionescuadraticas.html UNID AD 2 Apoyo tecnológico Esta página contiene lo esencial que se debe tener presente respecto de la Ecuación cuadrática. Tiene un link interno para un solucionador de ecuaciones cuadráticas. Hay links para otros temas de números, álgebra, geometría, etc. y para un diccionario ilustrado de Matemática. Hay un buscador. El sitio donde está contenida esta página es la traducción del inglés a partir de www.MathsIsFun.com, que ha sido realizada por David Sevilla, matemático de profesión investigador en Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics (RICAM), en Linz, Austria. Sitios de interés para los docentes: Le proponemos el siguiente link para profundizar en el tema de ecuaciones. http://www.uach.cl/abacom/documentos/ABACOM_N004A1-2001-Nov.pdf Este documento pdf, descargable e imprimible, contiene, entre otros temas matemáticos, un desarrollo teórico para la resolución de una ecuación de cuarto grado, acompañada con un ejemplo. Después se hace una reseña histórica breve a la imposibilidad de la obtención de una fórmula general válida para la resolución de ecuaciones de grado 5 y superiores, usando solamente suma, resta, multiplicación, división, exponenciación y radicación de los coeficientes. Este documento pertenece a ABACOM , boletín matemático, publicación mensual destinada a estudiantes y profesores de Enseñanza Media. Proyecto auspiciado por la Dirección de Extensión de la Universidad Austral de Chile 105 U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 105 2/11/11 17:00:08 Unidad 3 Desigualdades e inecuaciones Presentación de la Unidad Presentación de la unidad A través de la presentación se ha querido traspasar el ámbito netamente matemático. Hay un sentido social en el concepto de igualdad versus desigualdad que es conveniente analizar con sus estudiantes. Más allá de lo expuesto en la introducción, puede usted trabajar otra introducción desde el punto de vista matemático. Una sugerencia es la siguiente: “Como se ha estudiado anteriormente, los conjuntos numéricos vistos hasta el momento, N, Z, Q, Q’ y R, son ordenados. Esta característica hace que se pueda establecer una relación de orden para determinar cuándo un número es mayor o menor que otro. Así, se pueden establecer relaciones usadas en la vida diaria que sirven para decidir, por ejemplo, cuál es el lugar donde conviene comprar un determinado artículo dependiendo de dónde será este más barato. Las propiedades de las desigualdades nos permiten también predecir qué pasará con alguna desigualdad determinada, por ejemplo, si el sueldo de dos grupos de personas difiere en cierta cantidad (debido a que uno es mayor que el otro), entonces, si se doblan los sueldos de esos grupos, la diferencia será mayor, la desigualdad se mantendrá, pero se hará mayor aún. También les puede mencionar a sus estudiantes que las inecuaciones determinan ciertas restricciones en contextos de determinados problemas de maximización o minimización, debiendo recurrir a un desarrollo matemático para poder resolver dichos problemas (ámbito referido a programación lineal). Por ejemplo, decir que una empresa de alimentos desea crear un determinado producto que contenga al menos 3 g de proteínas y a lo más 4 g de carbohidratos, determinará una inecuación. Otros contextos donde podemos intuir el uso de inecuaciones o desigualdades es para determinar el dominio de funciones como las estudiadas en las unidades 1 y 2: función raíz cuadrada y funciones cuadráticas. Por último, conviene señalar que las inecuaciones, que finalmente representan intervalos, no deben necesariamente tener una connotación negativa en la vida real; muchas de ellas, por el contrario representan o dan sentido de normalidad. Por ejemplo, pensemos en el ámbito de la salud. Los rangos de normalidad de la glicemia en una persona adulta fluctúan entre 60 a 100 mg/100 ml, esto se representará en el intervalo [60, 100]. Como en todas las unidades, se trabajarán antes de la unidad propiamente tal algunos conceptos que deben ser recordados. En esta unidad la sección de conocimientos previos hace alusión al tema de los conjuntos. Como este contenido no está formalmente abordado a través de los programas ministeriales en los cursos anteriores, es de suma importancia que los trabaje con detención con sus estudiantes, de manera de revisar los conceptos más importantes, y que se utilizarán en la sección de intervalos, como son la idea de conjunto, de pertenencia, de subconjunto y la operatoria básica de ellos (unión, intersección, diferencia y complemento). 106 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 106 2/11/11 17:10:35 •En las representaciones de los conjuntos se debe hacer énfasis en los distintos tipos, sus ventajas y desventajas. Por ejemplo, si bien es cierto que escribir un conjunto por extensión ayuda a visualizar claramente cuáles son sus elementos, esta representación no es posible en conjuntos infinitos, por lo que se necesitará la notación por comprensión. Ayude a sus estudiantes a comprender la forma de escribir este tipo de presentación de un conjunto, destacando los beneficios de esta cuando los conjuntos son infinitos (más adelante será necesario para presentar las soluciones de una inecuación) •La pertenencia de un elemento a un conjunto es una idea intuitiva. La pertenencia a un conjunto tiene que ver con alguna propiedad que lo caracteriza. A veces es más fácil mirar cuando un elemento no pertenece a un conjunto determinado. Al abordar este tema conviene ligarlo con pensamientos y acciones de la vida cotidiana; por ejemplo, ¿cuándo una persona pertenece o no a una familia determinada? ¿Qué edad debe tener una persona para pertenecer al grupo del adulto mayor?, etc. UNID AD 3 Algunas consideraciones relacionadas con estos conocimientos previos son: •El concepto de subconjunto es una conexión relacional y se puede trabajar a través de la habilidad de comparación. Este concepto se expresa con respecto al conjunto que lo contiene y puede representar una restricción de este. Este concepto tiene una relevancia, pues veremos, más adelante, que el conjunto solución de las inecuaciones son subconjuntos de los números reales. •Con respecto al conjunto universo, es importante distinguir cuál es el conjunto de referencia en un contexto determinado. Este es el que generalmente representa el universo. Note que en este sentido no hay un solo conjunto universo para una determinada situación. En nuestro caso, el conjunto universo continuará siendo el de los números reales, a menos que se indique lo contrario. La existencia de un conjunto universo da una solidez a la descripción y existencia de un intervalo. •Por otro lado, y no necesariamente con una connotación de opuesto al universo, como lo piensan los estudiantes, está el conjunto vacío. No siempre es claro llamarlo “conjunto” (si la idea intuitiva es que los conjuntos son una agrupación de elementos), y menos aseverar que es “subconjunto de todo conjunto”. Conviene mencionarlo a través de la idea intuitiva de ausencia de elementos. Su relevancia se presenta cuando se trabaja con la operatoria de conjuntos. Por ejemplo, la idea de que dos intervalos nada tengan en común, es decir, que no existan números que cumplan una propiedad común, se expresa mediante el conjunto vacío. •Referente a la operatoria de conjuntos, esta nos permitirá asociarla a las soluciones de inecuaciones: •La unión permite la reunión en un solo conjunto de los elementos de otros conjuntos. Su definición está en función del “o” lógico. En algunas ocasiones, la unión se asocia con la palabra “sumar” en el sentido de “añadir a algo”. En particular, en la construcción de un intervalo solución para una inecuación dada. •La intersección está sustentada en el “y” lógico. Se asocia con la palabra simultaneidad. Especialmente se usa cuando se desea encontrar el conjunto solución para dos o más inecuaciones simultáneas. Es decir, se buscan aquellos números que cumplan con dos o más condiciones a la vez. 107 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 107 2/11/11 17:10:35 •La diferencia se conecta con la palabra “restar”, en el sentido de “quitar algo”. La diferencia expresa la idea de exclusivo. Lo que se incluye en un conjunto y lo que no se incluye en el otro. Note que esta no es conmutativa. El mapa conceptual para el trabajo de esta unidad es el siguiente: DESIGUALDADES E INECUACIONES Concepto de desigualdad Propiedades Intervalos Concepto de inecuación Sistemas de inecuaciones lineales Resolución de inecuaciones Resolución de sistemas de inecuaciones lineales Problemas de aplicación a la vida diaria Objetivos y planificación Antes de comenzar el desarrollo de los temas de la unidad se deben tener claros los objetivos y la planificación de la unidad. Presentamos aquí los objetivos por alcanzar por los estudiantes a través de la unidad y una propuesta de planificación para la unidad. Objetivos fundamentales y transversales •Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de los sistemas de inecuaciones, mejorando en rigor y precisión la capacidad de análisis, de formulación, verificación o refutación de conjeturas. •Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de problemas y el análisis de situaciones concretas. •Resolver desafíos con grado de dificultad creciente, valorando sus propias capacidades. •Percibir la matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos. •Razonar lógica y deductivamente para ir en búsqueda de nuevos métodos de solución a los problemas que se plantean. 108 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 108 2/11/11 17:10:35 Planificación de la Unidad Tiempo de duración “Desigualdades e inecuaciones” CMO Concepto de desigualdad. Aprendizajes esperados Reconocer una desigualdad. Traducir a desigualdades frases en lenguaje verbal de la vida diaria. Propiedades de las desigualdades. Intervalos. 21 horas pedagógicas. Indicadores de evaluación Reconoce una desigualdad y la diferencia de una igualdad. Traduce lenguaje verbal con situaciones cotidianas a lenguaje matemático que emplee desigualdades. Establecer las propiedades principales de las desigualdades. Enuncia propiedades de las desigualdades. Aplicar las propiedades de las desigualdades a la demostración de otras. Emplea las propiedades de las desigualdades en demostraciones sencillas. Utilizar los intervalos como la forma correcta de representar un subconjunto de R. Reconoce los intervalos como subconjuntos de R. Operar intervalos. Utilizar los intervalos para presentar información. Opera intervalos . Representa información utilizando intervalos. Aplicación de las desigualdades a la interpretación de información. Utilizar las desigualdades para establecer relaciones entre información que se maneja en la vida diaria. Utiliza desigualdades para representar información cotidiana en variados contextos. Inecuaciones lineales con coeficientes enteros y fraccionarios. Identificar una inecuación. Reconoce una inecuación. Relación entre las ecuaciones y las inecuaciones lineales. Distinguir una desigualdad de una ecuación. Distingue una inecuación de una ecuación. Inecuaciones lineales con valor absoluto. Resolver inecuaciones con valor absoluto. Resuelve inecuaciones con valor absoluto. Inecuaciones cuadráticas y fraccionarias. Resolver inecuaciones cuadráticas y fraccionarias. Resuelve inecuaciones cuadráticas y fraccionarias. Sistemas de inecuaciones lineales sencillas con una incógnita. Identificar sistemas de inecuaciones lineales . Reconoce un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita. Resolver sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita. Resuelve sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita. Resolver problemas de planteo que involucren inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales. Resuelve problemas de planteo que involucren inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Verificar sus soluciones en cuanto a su pertinencia en el contexto de un problema. Analiza las soluciones para establecer la pertinencia de estas en el contexto del problema. Planteo y resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita, análisis de la existencia y pertinencia de las soluciones. UNID AD 3 Unidad 3 Resolver inecuaciones con coeficientes Resuelve inecuaciones con enteros y fraccionarios. coeficientes enteros y fraccionarios. 109 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 109 2/11/11 17:10:35 Desarrollo de la Unidad a)Introduciendo la unidad Como ya se ha mencionado, es bueno contextualizar la unidad antes de comenzar a trabajar formalmente en ella. Algunos problemas que pueden ayudar a esto son: •Ernesto ha calculado que las compras del mes en el supermercado no superarán los $145000, y que lo que gastará en la farmacia para sus remedios no será más que $55000, ¿cuánto gastará como mínimo Ernesto este mes por concepto de supermercado y farmacia? Podemos anotar 5que: y2 f £355000, por lo tanto, ambos x − s2£3145000 5x− gastos no deberían superar los $200000, esto es: f £3200 000 5 sx +− 2 •Si después de haber agregado 12 litros de bencina a mi auto, que tenía un cuarto de estanque lleno, el estanque no alcanza a llegar a los tres cuartos, ¿podría determinar la capacidad del estanque? Si x es la capacidad del estanque, entonces podemos escribir que: x 3 + 12 < x . Resolver esta inecuación nos llevará a conseguir una idea 4 4 de la capacidad del estanque; esto es, que la capacidad es mayor que 24; por lo tanto, el estanque puede contener más de 24 litros de bencina. Sin embargo, no nos da la capacidad exacta. Haga énfasis en esto a sus estudiantes. b)Preparando cada tema A continuación se entregan algunas sugerencias metodológicas para tratar cada uno de los conceptos y ejercicios abordados en el Texto del Estudiante. También se hacen notar algunas consideraciones y sutilezas conceptuales para que el docente tenga presente. Por último, al iniciar la preparación de cada tema se presenta un cuadro con los OFT tratados y las capacidades trabajadas según los Mapas de Progreso. 110 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 110 2/11/11 17:10:36 (Página 152 del Texto del Estudiante) OFT Mapas de Progreso Se trabajan los siguientes: • Interés por conocer y explicar la realidad a través de la matemática. • Resolución de problemas desarrollando el pensamiento lógico. • Discernimiento de resultados en situaciones cotidianas para ver la pertinencia de ellos. • Uso de herramientas tecnológicas (calculadora). • Trabajo grupal. Las capacidades trabajadas, referentes al eje números son(en niveles 5, 6 y7): • Argumenta sus estrategias o procedimientos y utiliza ejemplos y contraejemplos para verificar la validez o falsedad de conjeturas. • Resuelve problemas utilizando un amplio repertorio de estrategias, combinando o modificando estrategias ya utilizadas. Realiza conjeturas que suponen generalizaciones o predicciones y argumenta la validez de los procedimientos o conjeturas. • Muestra autonomía y flexibilidad para resolver un amplio repertorio de problemas, tanto rutinarios como no rutinarios, utilizando diversas estrategias para formular conjeturas acerca de objetos matemáticos. Utiliza lenguaje matemático para presentar argumentos en la demostración de situaciones matemáticas. • Interpreta y usa convenciones del álgebra para representar generalizaciones y relaciones entre números u otros objetos matemáticos, estableciendo nuevas representaciones algebraicas de un nivel de abstracción mayor. UNID AD 3 Desigualdades, ¿parecidas a la igualdad? Una desigualdad es la manera matemática que tenemos para decir que algo NO es igual. Esto no es detenerse a escribir solamente ≠. Sino que la riqueza de las desigualdades va más allá. Si dos cantidades no son iguales es porque una debe ser mayor que la otra, necesariamente. En la página 153, se presentan los signos de desigualdad. Conviene explicar cada uno de ellos, especialmente los que agregan el signo de igualdad. Esto tomará más relevancia al desarrollar inecuaciones con ≤ y ≥, pues se estará resolviendo un sistema simultáneo formado por una desigualdad en sentido estricto y una ecuación, ambas en la misma variable. Una desigualdad es una expresión matemática que indica que dos cantidades no son iguales. Los símbolos utilizados son: ≠ : distinto >: mayor <: menor También se ocupan (y permiten la igualdad) los símbolos: ≥: mayor o igual ≤: menor o igual Además, conviene incluir una tabla que permita una traducción de frases y expresiones del lenguaje natural al lenguaje matemático y viceversa. 111 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 111 2/11/11 17:10:36 Por ejemplo, aclarar términos para la traducción como “desde”,“a partir de...” “a lo menos”,“a lo máximo’, “nunca menor”,“siempre mayor”,“estrictamente menor”, etc., como otros términos de la vida diaria. Todo esto puede ayudar, en ocasiones actuales o a futuro de los estudiantes, cuando se encuentren sometidos a escribir este tipo de traducción para la resolución de los temas de esta unidad y lo que se requiera en los venideros. Traduzca enunciados verbales a desigualdades. Los ejercicios que se proponen podrán ayudar a sus estudiantes a ejercitar. Es bueno explicitar a los estudiantes la ley de la tricotomía (cuadro recordar y archivar). Aquí, conviene explicar lo que ocurre cuando una de las consecuencias es negada. Aparecen necesariamente las otras dos como alternativas verdaderas. Esto es, si un número no es menor que otro, es porque debe, necesariamente, ser mayor o igual. Trabaje con sus estudiantes también el hecho de que toda desigualdad involucra una diferencia. Puntualice que la definición de a menor que b, se asocia a que b – a es positivo. También conviene que los estudiantes escriban algunas reglas vistas en otras unidades o en años anteriores usando desigualdades, como, en el cuadro toma nota de la página 97 de la Unidad 2, donde la existencia y tipo de solución de una ecuación de segundo grado depende la desigualdad que cumple su discriminante. ¿Tendrán propiedades las desigualdades? (Página 154 del Texto del Estudiante) Conviene puntualizar a qué tipo de propiedades nos estamos refiriendo. Podríamos decir, al efectuar alguna operación en alguna desigualdad, ¿qué ocurre?, ¿sigue siendo una desigualdad?, ¿cambia o no su sentido? Previamente, recordemos que hay por lo menos dos formas de comparar cantidades. Una, mediante la diferencia de ellas y la otra, mediante una razón. Las desigualdades son una forma de trabajar con diferencias. Según lo expresado anteriormente, debiéramos tener esto siempre en cuenta al momento de estudiar las propiedades de la desigualdad. Analicemos lo siguiente: a. Al sumar o restar una cierta cantidad no cambia el sentido de la desigualdad (no se interviene el sentido de ella); por lo tanto, es independiente del número que se sume. Si a, b y c son números reales con a < b, entonces a + c < b + c. La justificación está dada por a < b, y esto equivale a decir que b – a > 0. Ahora bien, esta última desigualdad se puede escribir como b – a + 0 > 0. Eligiendo 0 = c + ( −c ) y luego reordenando, obtenemos b + c − a − c > 0 . Rescribiendo esta última desigualdad, ( b + c ) − ( a + c ) > 0. Por tanto, a + c < b + c. La demostración para una sustracción es similar. Ahora bien, si pensamos en una comparación por diferencia y a cada cantidad se le suma c, se tendrá que: b − a = ( b + c ) − ( a + c ); sin embargo, si la comparación es a través de cuociente, la razón entre ellas no se mantiene. a a+c π b b+c 112 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 112 2/11/11 17:10:38 Es decir, si comparamos dos cantidades mediante diferencia, no se altera esta si a los números se le agrega o quita un mismo número a ambos lados de una desigualdad. Pero no ocurre lo mismo si se compara mediante una razón. Sea a < b y al sumarle o restarle 0 se tiene que no altera en absoluto; por lo tanto, la inecuación igual. Sin embargo, no está permitido multiplicar por 0. Si esto fuera posible, para a < b se tiene que b – a > 0. Al amplificar por 0 ( b − a ) obtenemos 0, pues el producto de un positivo, por la propiedad absorbente de este elemento, se anula. Por otro lado, sabemos que 0 ⋅ ( b − a ) = 0 ⋅ b − 0 ⋅ a, pero esta diferencia es 0 – 0, lo cual no permite establecer ninguna desigualdad posible. Por tanto, no es posible amplificar por 0 una desigualdad. UNID AD 3 ¿Qué ocurre con una desigualdad al ser amplificada por 0? b. Al multiplicar una desigualdad por un número real positivo, la desigualdad se mantiene. Si se multiplica por un número real negativo, la desigualdad cambia de sentido. Si a < b, luego del producto por k se obtiene ka < kb o ka > kb según sea el valor de k. Ahora bien: i. Si k es positivo, ka < kb; entonces, kb – ka es positivo. Si aumenta el valor de k, aumenta esta diferencia fija b – a. De la misma manera ocurre si este valor de k es cada vez menor, pues se hace cada vez más pequeña. Ejemplo –2 < 1. La diferencia es 3. Ahora bien, al amplificar por 20, tenemos –40 < 20. La diferencia aumenta a 60. Sin embargo, si esta misma desigualdad la amplificamos por 0,03, queda –0,06 < 0,03. La diferencia es 0,09. ii. Si k es negativo, ka > kb, entonces ka – kb, es negativo. Si disminuye el valor de k, aumenta esta diferencia fija b – a. De la misma manera ocurre si este valor de k es cada vez menor Ejemplo: –2 < 1. La diferencia es 3. Ahora bien, al amplificar por –10, tenemos 20 > –10. La diferencia aumenta a 30. Sin embargo, si esta misma desigualdad la amplificamos por –0,03. Queda 0,06 < –0,03. La diferencia es 0,09. Ahora bien, la multiplicación por -1 es de la siguiente manera: Si a < b, entonces b – a es positivo. Si amplificamos b – a, por –1, el cual es menor que cero, tenemos que −1 ( b − a ) < 0. Esto es, −b + a < 0, . Ahora bien, sumando –a, a cada miembro y reduciendo tenemos finalmente –b < –a. Con esto podemos generalizar para cualquier k > 0 el producto por –k usando el resultado anterior. Esto es, dada a < b, entonces a < b /–k se transforma a multiplicar a<b / ( −1) ⋅ k . Esto equivale a / ⋅ ( −1), para a<b / ( −1) ⋅ k . Primeramente efectuamos a < b obtener –b < –a, y luego amplificamos por k. Así queda –kb < –ka 113 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 113 2/11/11 17:10:40 c. Si a, b y n son números reales positivos y a < b, entonces y . Es decir, al elevar a un número positivo o extraer raíz (de cualquier índice) a una desigualdad formada por términos positivos, la desigualdad se mantiene. Esta propiedad se trabajó mediante tanteo, es decir, en el problema desarrollado el alumno se dio varios valores e intuyó las reglas. Como el contexto del problema planteado es geométrico, resulta fácil intuir la veracidad de la información para números positivos, pero ¿qué sucede si uno de los números es negativo? Analicemos lo siguiente: Supongamos que a es negativo y b es positivo. Entonces –a < b, es decir, b+a>0 Distingamos los siguientes casos: a. Si b – a > 0, entonces amplificamos b + a > 0 por b – a > 0 y así obtenemos b2 – a2 > 0. Por tanto, b2 > a2 b. Si b – a < 0, entonces amplificamos b + a > 0 por b – a < 0 y tenemos que b2 – a2 < 0, o bien b2 < a2 Luego podemos concluir lo siguiente: a. Si –a < –b < b < a, entonces podemos establecer que b2 < a2 b. Si –b < –a < a < b, luego a2 < b2 ¿Qué pasa si ambos son negativos? Supongamos que −a < −b, entonces tenemos la siguiente secuencia: −a < −b < b < a, con lo que se demuestra, en forma análoga a lo hecho anteriormente, que b2 < a2. d. Revisemos la ley de transitividad Tenemos que demostrar que: a ≤ b ∧ b ≤ c ⇒ a ≤ c a ≤ b⇒ b−a ≥0 b≤c ⇒c −b≥0 b−a ≥0 + c −b≥0 c −a ≥0 c −a ≥0⇒ c ≥ a Y por esto último tenemos a ≤ c ¿Para qué se usan las propiedades de las desigualdades? (Página 157 del Texto del Estudiante) Antes de comenzar, es bueno que aclaremos dos conceptos que suelen confundirse: no es lo mismo mostrar que algo sucede, que demostrar que aquello sucede. Cuando mostramos que algo sucede damos un ejemplo, que puede ser numérico, de que determinada regla se cumple ¿De qué manera se relaciona “mostrar” con “verificar”,“chequear”? La idea es buscar ejemplos que muestren que determinada regla se cumple. Esto exige que los ejemplos deban ser claros y durante la muestra no equivocar ningún paso algebraico ni geométrico. En algunas oportunidades conviene mostrar contraejemplos. 114 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 114 2/11/11 17:10:40 Cuando demostramos que algo sucede, debemos hacerlo de forma general, de modo que, usando una serie de pasos lógicamente ordenados (y correctos), ya sean algebraicos o geométricos, se pueda concluir que la afirmación señalada es verdadera. Se debe explicar qué son “serie de pasos lógicamente ordenados” y “correctos”. Esto implica que, lógicamente de premisas verdaderas, se obtendrá una conclusión que es verdadera. A veces conviene mediante un contraejemplo demostrar cierta propiedad, regla, etc. a. El primer ejemplo (página 157) es una muestra geométrica de la fórmula 2 ( a − b ) , y de paso una muestra de que a2 + b2 ≥ 2ab. Esta última exige la formación de dos nuevas figuras, una partir de una parte de la original. UNID AD 3 Estos pueden conducir a una contradicción y luego a una verificación de cierta propiedad. Conviene mostrar mediante ejemplos las formas que se usan para “mostrar” una determinada regla. Nótese que se podría pensar que una representación geométrica permite demostrar fácilmente algunas desigualdades. Sin embargo, analicemos lo 2 siguiente. Tomando en cuenta el dibujo, podríamos pensar que ( a − b ) > b2. a b a–b b (a − b) b b2 b a a–b b (a − b) (a − b) 2 a–b a–b b Ahora, observe lo siguiente: a b b (a − b) a b b2 (a − b) 2 b En este caso, la desigualdad ya no se cumple. Por lo tanto, se debe tener extremo cuidado con las restricciones que cada una de las relaciones establecidas pueda tener. Por otro lado, el ejemplo mostrado en el libro se refiere al caso en que a y b son positivos. Una forma de demostrar a2 + b2 ≥ 2ab, pero de manera más general, es la siguiente: Supongamos que a ≥ b, entonces tenemos que a − b ≥ 0. Volvamos a considerar a ≥ b. Si multiplicamos ambos miembros por a − b, la desigualdad se mantiene. Veamos a ( a − b ) ≥ b ( a − b ). Desarrollando 115 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 115 2/11/11 17:10:42 tenemos a2 − ab ≥ ba − b2. De aquí obtenemos a2 + b2 ≥ ba + ab. Finalmente logramos que a2 + b2 ≥ 2ab. b. El segundo ejemplo muestra que a través de una tabla, se conjetura para establecer una posible desigualdad. La idea es encontrar alguna regularidad entre las expresiones del encabezamiento de las columnas y los valores que en ellas se muestran. Una vez propuesta dicha posible desigualdad, se presenta un algoritmo para demostrar una proposición cuya firmeza radica en que, de premisas verdaderas, mediante operaciones válidas, debemos hallar conclusiones verdaderas. Así se aplican los pasos a 1 2 partir de a + ≥ 2, para obtener (a − 1) ≥ 0, que es una conclusión a verdadera. ¿Pero qué sucede si nos devolvemos a través de los pasos dados de este algoritmo? Veamos ( a − 1) ≥ 0. Desarrollando el cuadrado de 2 2 binomio se tiene a2 − 2a + 1 ≥ 0. De aquí a + 1 ≥ 2a. Como a es positiva, se pueden dividir ambos miembros de la desigualdad por a, manteniendo el a2 + 1 2a sentido de ella: ≥ . De aquí, se a a a2 1 tiene + ≥ 2. Completando con las simplificaciones, a a 1 conseguimos que a + ≥ 2. a De esta manera hemos logrado una forma alternativa para la demostración solicitada, aplicando los pasos del algoritmo para llegar a una desigualdad que es claramente cierta. De aquí, como punto de partida para la demostración solicitada, nos devolvemos los pasos dados en la aplicación del algoritmo mencionado y lograr lo pedido. Observe que los ejemplos presentan una forma de distinguir y llevar a cabo una muestra y una demostración. El primero de ellos lo hace a través de construcciones geométricas, y el segundo, a través del uso de una tabla. Además, el último ejemplo tienen un mérito: el profesor muestra una actitud muy abierta, orientadora, y que presenta desafíos a sus estudiantes, sin dejar de apoyarlos en sus exploraciones para iniciar alguna de las demostraciones. Números reales: ¿qué número es el que está justo antes que otro? (Pág.162 del Texto del Estudiante) Uno de los conceptos más relevantes de esta subsección es el de densidad de los números reales. Note que se hace énfasis en el hecho de no poder “determinar qué número es el que viene exactamente antes o después de un número real dado”. Esto debido a que entre un número real y otro siempre hay infinitos números reales. Haga notar a los estudiantes que esta propiedad se cumple en los números racionales, los irracionales y reales. En los naturales y enteros, no se cumple. Un modo fácil de mostrar esto es tomar dos números reales cualesquiera, a y b, y a+b buscar el número que está justo al medio de ellos, este es . Como los reales 2 tienen la propiedad de clausura, entonces este último será también real. 116 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 116 2/11/11 17:10:43 a+b . Si se procede 2 sucesivamente de la misma manera, se tendrá siempre un número entre dos que Así se puede repetir este proceso ahora con los números a y se tomen, por cerca que ellos estén. Por lo tanto, para denotar un subconjunto de R se hace necesaria una notación especial que permita nombrar ordenadamente algún real a que esté inmediatamente antes que otro b, estamos determinando un intervalo real a partir de a, hasta b, sin incluirlo. Hablemos ahora de puntos límites y puntos fronteras. Note que se ha definido lo siguiente: Existen cuatro tipos de intervalos, estos son: UNID AD 3 todos sus elementos. Es decir, cada vez que pretendamos pensar siquiera en [a, b] cerrado: ambos números límites, a y b, pertenecen al intervalo. a , b ) por la derecha (o cerrado por la izquierda) [a, b[oabierto [a, b[ o a, b ): el límite de la izquierda (límite inferior) pertenece al intervalo, pero el límite de la derecha (límite superior) no. ]a, b] o ( a, b]: el límite de ]a, b]oabierto ( a, b] por la izquierda(o cerrado por la derecha) la izquierda (límite inferior) no pertenece al intervalo, pero el límite de la derecha (límite superior) sí. ( a],ab,)b[ o ( a, b ): ninguno de sus límites, ni a ni b, pertenecen al intervalo. ]a, b[oabierto Haga notar a sus estudiantes que los intervalos que comienzan en −∞ o terminen en ∞ deben ser abiertos en ese extremo, ya que se extienden más allá de cualquier número límite. Es fundamental que se definan los intervalos como subconjuntos, ya que se deben operar como conjuntos. Se trabajará entonces una primera parte de esta sección en definir intervalos y una segunda en operar con ellos. Es importante tener muy claro la notación de intervalo, y su expresión en notación conjuntista. ¿Para qué sirven los intervalos? (Página 167 del Texto del Estudiante) En esta parte de la unidad se muestra una aplicación de los intervalos en la presentación de la información. Se propone trabajar con temas nacionales e internacionales que puedan motivar a sus estudiantes a investigar. Se han dado ejemplos sobre temas como el calentamiento global, algunas tareas del servicio médico legal en Chile, la contaminación ambiental, etc. Se propone trabajar más allá que solo con los datos duros. En este sentido sería bueno hacer algunas preguntas sobre cómo se pueden proyectar estos resultados y qué sugieren al respecto. Se aconseja utilizar fuentes como el Instituto Nacional de Estadísticas (INE), Demre, estadísticas del Ministerio de Salud, etc. Algunos de estos sitios son: http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/home.php http://www.demre.cl/estadisticas.htm http://deis.minsal.cl/index.asp 117 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 117 2/11/11 17:10:45 Inecuaciones ¿qué son? (Página 175 del Texto del Estudiante) OFT Mapas de Progreso Las capacidades trabajadas referentes al eje álgebra, son (en niveles 6 y 7): Se trabajan los siguientes: • Interés por conocer y explicar la • Resuelve inecuaciones de primer grado realidad a través de la matemática. identificando el conjunto al cual pertenecen sus soluciones. • Resolución de problemas, desarrollando el pensamiento lógico. • Representa e interpreta de diversas • Discernimiento de resultados en formas las soluciones de inecuaciones y sistemas de inecuaciones. situaciones cotidianas para ver la pertinencia de ellos. • Elabora estrategias de resolución, las • Uso de herramientas tecnológicas desarrolla y justifica usando lenguaje algebraico. (calculadora). • Trabajo grupal. • Muestra autonomía y flexibilidad en la transformación de expresiones simbólicas escribiendo, reconociendo y eligiendo formas equivalentes de distintas representaciones algebraicas. En esta sección se trabajarán inecuaciones lineales con coeficientes enteros y fraccionarios, con valor absoluto, fraccionarias y cuadráticas. Para resolverlas se debe recordar a los estudiantes que una desigualdad tiene, en general, propiedades similares a las de las igualdades. Por lo tanto, se trabajarán en forma análoga a las ecuaciones. Sin embargo, se debe cuidar que cada vez que se multiplica o divide una desigualdad por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte. Note que las soluciones se darán de tres formas distintas, por ejemplo: 5 Si x ≥ , entonces se puede escribir que: 7 5 5 7 , ∞ ó x ∈ R / x ≥ 7 ó 0 5 7 ¿Cómo se puede comprobar la respuesta de una inecuación? Se elige un número representante del conjunto solución y se comprueba que la desigualdad se cumpla. Inecuaciones fraccionarias y cuadráticas (Página 181 del Texto del Estudiante) a. Inecuaciones fraccionarias La primera consideración que se debe tener al resolver las inecuaciones fraccionarias es que no se puede amplificar la inecuación por una expresión que contenga a la variable o incógnita, pues no sabemos si dicha expresión será negativa o positiva, con lo que no se puede determinar el sentido de la desigualdad final. 118 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 118 2/11/11 17:10:46 Es importante aclarar que para resolver inecuaciones fraccionarias y cuadráticas se puede proceder de varias maneras. Se han querido mostrar dos formas de resolución. La primera es separar por casos, como en el siguiente ejemplo: podemos escribir como: a. x > 0 y x – 3 < 0 ⇒x>0∩x<3 0 b. x < 0 y x – 3 > 0 x<0∩x>3 o ∪ 0 3 ∪ S a = ]0, 3[ 3 UNID AD 3 x x es negativo y para que esto suceda se debe < 0, significa que x −3 x −3 tener que el numerador o el denominador deben ser negativos. Esto lo Sb = ∆ ∴ S f = ]0, 3[ La segunda se trata en el taller de profundización y es a través de un análisis de signos. Veamos el ejemplo dado: x +5 >0 2x − 3 entonces, se podrían analizar los signos del numerador y denominador por separado. Si es así, que algo sea mayor o menor que cero tiene un límite que es ser igual a cero. A estos límites, donde numerador y denominador se hacen cero, los llamaremos puntos críticos. Calculemos estos valores: a. Cálculo de puntos críticos: • x + 5 = 0 ⇒ x = – 5 3 2 b. Confeccionar tabla de valores con los puntos críticos: • 2x − 3 = 0fix = Numerador x+5 -5 — 0 + + + — — — 0 + H + Denominador 2x – 3 División de ambos ·· + Tomamos un número menor que –5 y evaluamos cada una de las partes de ese número colocando en el casillero correspondiente sólo el signo U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 119 0 Recta numérica 3 2 — Lo mismo con un número entre –5 y 1,5 Lo mismo con un número mayor que 1,5 Esta fila es el resultado de los signos de la división de ambas filas 119 2/11/11 17:10:48 ⇒ la solución es: ]−•, −5[ ∪ 3 , ∞ 2 La ventaja de este método sobre el de análisis de casos es que cuando se aprende bien (y se entiende completamente lo que se está haciendo) resulta más rápido y menos engorroso. Aun cuando está tratado como taller de profundización, sería bueno presentarlo a los estudiantes en paralelo con el método anterior. Recuerde que siempre es bueno presentar más de una forma de solución y luego dejar libertad a los estudiantes para que ellos utilicen la que les sea más conveniente. Volviendo a nuestro primer ejemplo, ¿existe alguna manera de comprobar si el conjunto solución es efectivamente ]0, 3[? Lo más usual es elegir un número que pertenezca a este intervalo y verificar directamente en la inecuación respectiva. Por ejemplo, revisemos con 1. 1 1 x Entonces con x =1, < 0 ⇒ − < 0; por lo tanto, < 0, ⇒ 1−3 2 x −3 se cumple. Sin embargo, la formalidad requiere que elijamos un representante general a de ]0, 3[. Es decir, 0 < a < 3. Como a < 3, podemos restar 3 en ambos lados de esta a desigualdad. Esto es a − 3 < 0. Luego, es el cociente entre un real a −3 positivo y real negativo. Por tanto, el valor obtenido es negativo, es decir, menor que 0. ¿Qué ocurre con aquellos reales que están fuera de ]0, 3[? A modo de ejemplo, tomemos los valores –1, 0, 3 y 4. Haciendo reemplazos correspondientes, tenemos 3 3 0 −1 −1 = , el cual está indefinido y = 0; = = 0,25 > 0; 3 − 3 0 0 − 3 −1 − 3 −4 4 4 = = 4 > 0. 4 −3 1 Podemos proponer que ]−• , 0] ∪ ]3, •[ debiera ser el conjunto x solución para ≥ 0. Podríamos enunciar el contexto inicial de este x −3 problema como: “Una cierta cantidad se divide por un número tres unidades menor, quedando mayor o igual a 0 ¿Para qué números se cumple este enunciado?” De aquí podemos interpretar que, para inecuaciones que no tengan puntos de indefinición, el complemento del conjunto solución de un problema responde a ser el conjunto solución de los mismos miembros de la inecuación dada, pero con el signo de la desigualdad opuesta. En el caso de inecuaciones con puntos de indefinición, éstos deben excluirse. 120 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 120 2/11/11 17:10:50 Inecuaciones con valor absoluto (Página 185 del Texto del Estudiante) Se generaliza que: Se generaliza que: x ≤ a ⇒ x ≤ a ∩ x ≥ −a x ≥ a ⇒ x ≥ a ∪ x ≤ −a x < a ⇒ x < a ∩ x > −a x > a ⇒ x > a ∪ x < −a Se sugiere ejemplificar tanto como sea necesario hasta que todos sus estudiantes entiendan el significado de estas reglas. Recuerde que se deben buscar los aprendizajes significativos. UNID AD 3 Con respecto a las inecuaciones con valor absoluto, note que se ha comenzado el estudio de estas con el análisis de la definición de valor absoluto. Es importante que quede claramente definido y entendido que: Lo fundamental que tiene la técnica usual de resolución de inecuaciones con valor absoluto es su capacidad de reducirlas a la resolución de inecuaciones que los estudiantes ya han visto anteriormente. Veamos algunos ejemplos que se presentan en el libro, y que los desarrollaremos mediante otros caminos. a. x + 8 ≤ 7. Se requiere encontrar un conjunto de reales tal que agregado a 8, modularmente, no exceda a 7. Lo aconsejable es solucionar primeramente x + 8 = 7. Esto es x = −1. Este valor nos sirve como un límite para continuar el análisis ¿Qué pasa con números mayores que –1? Podemos evaluar gradualmente con 0, 1 y de aquí en adelante, y notaremos que dicha suma modularmente supera cada vez más a 7. Por otro lado, valores inferiores a –1, como son –2, –3, –4, ...–9,.. –12, etc., satisfacen la desigualdad en estudio, pues va resulta el módulo de 6, 5, 4,...–1,...–4, y respectivamente Nótese que la suma anterior pasa operacionalmente a ser una diferencia entre el 8 y x, que va aumentando modularmente a medida que los valores de x van disminuyendo. Pero hay que tener cuidado hasta qué valor de x considerar para que la diferencia no supere a –7, para que modularmente no pase a 7 ¿Cuál es el valor de x mínimo que debemos considerar? –15, pues –15 + 8 = –7, y modularmente es 7. Por lo ya expuesto, el conjunto solución es [−15, −1] b. 3x − 5 > x − 2 Vale la pena, recordar la definición de módulo de u, u un número real. u ; u>0 u = 0 ; u=0 −u ; u < 0 Ahora bien si aplicamos esta definición tenemos que 5 3xx −−55 ; 33xx −−55>> 00 ⇔ x > 3 5 33xx −−55 = 0 ; 33xx −−55==00 ⇔ x = 3 5 − ((3x −-55)) ; 3x −−55<<00 ⇔ x < 3 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 121 121 2/11/11 17:10:54 Se pueden presentar cualquiera de estos, recordando que33x3xx--5–5 - 5>>>xx–x--22 - ,2 se pueden presentar cualquiera de estos casos: 3 a. 3x − 5 > x − 2 y de aquí obtenemos 2x > 3; luego, x > . En notación de 2 3 intervalo es , ∞ 2 b. 0 > x -2 –2, entonces x >2 4 − (3x − 5) > x − 2; luego, 5x − 3 > x − 2. Así tenemos que x < ; en 7 4 intervalo es −∞ , 7 7 7 5-3x > x –2 -2 , entonces x < ; en intervalo es −∞ , c. 5–3 4 4 Por lo tanto, el conjunto solución es la unión de todos los intervalos parciales. Note que el intervalo en (b) está contenido en el intervalo de (c). Por lo tanto, la solución final es R. Sistemas de inecuaciones: ¿qué son?, ¿cómo se resuelven? (Página 192 del Texto del Estudiante) Se abordan en esta sección los sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita. Se debe hacer notar a los estudiantes que las posibles soluciones del sistema son números que deben satisfacer ambas inecuaciones a la vez y, por esto, aquellos números serán los que se encuentren en la intersección de la solución de cada una de las inecuaciones del sistema. Recuerde a sus estudiantes que al dar la solución del sistema se deben establecer correctamente los extremos de el(los) intervalo(s). Haga notar a sus estudiantes que un sistema puede no tener solución en R o puede tener a todo R como su solución. Tal vez el mayor error de los estudiantes es querer hacer los ejercicios de manera rápida y sin escribir todos los pasos necesarios, muchas veces porque no están acostumbrados a ser rigurosos con el lenguaje. Se sugiere que se plantee este tema a los estudiantes, de modo que ellos puedan ver que en este tipo de ejercicios, donde los desarrollos son largos y, en ese sentido, más complejos, es necesario escribir todos los pasos, de manera de minimizar los posibles errores, confusiones y equivocaciones. Se presentan en esta parte de la unidad sistemas que involucran todos los tipos de inecuaciones trabajados en la unidad. Verbalice el tipo de inecuación correspondiente de manera que sus estudiantes puedan ir recordando y estableciendo las relaciones necesarias para la comprensión del desarrollo de los ejercicios. Se proponen dos actividades. La primera, individual, que tiene por objetivo chequear que los estudiantes hayan aprendido a resolver sistemas de inecuaciones; la segunda, grupal, donde se espera que los estudiantes compartan sus conocimientos para resolver problemas de planteo que involucren sistemas de inecuaciones lineales. Una buena estrategia es formar grupos donde un alumno o una alumna con mayores habilidades matemáticas guíe el trabajo de su grupo. 122 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 122 2/11/11 17:10:56 Ya nos hemos referido antes al taller de profundización. Si usted ha optado por entregar ambos métodos como método de resolución, se sugiere en esta sección realizar otros ejercicios como profundización (pueden ser utilizados los de la sección de profundización de esta guía). Si optó por uno de los dos métodos, se sugiere aquí complementar el conocimiento de sus estudiantes presentándoles el otro método, de manera que ellos puedan elegir, finalmente, el que les sea más cómodo. Luego del taller existe también una evaluación formativa de proceso. Realícela con sus estudiantes y permita un tiempo para que ellos comenten cuál es el mejor método y por qué. Recuerde que en este proceso no hay respuestas erradas; solo respete el proceso de pensamiento lógico matemático de sus estudiantes. UNID AD 3 c) Profundizando algunos conceptos: (Taller de profundización, Página 199 del Texto del Estudiante) Errores frecuentes Se nombran en esta sección algunos de los errores frecuentes cometidos por los estudiantes. Es importante tenerlos en cuenta durante el desarrollo de la unidad para corregirlos. Contenido Posible déficit Desigualdades e inecuaciones. Traducción de enunciados verbales a desigualdades e inecuaciones. Inecuaciones. Cambio de sentido de la desigualdad al multiplicar o dividir por un número negativo. Inecuaciones fraccionarias y cuadráticas. Determinar la condición necesaria para que un producto fracción sea positivo o negativo. Sistemas de inecuaciones. Reconocer el(los) tipo(s) de inecuación(es) involucradas. Sugerencia 2 Trabajar traducciones previas como “a lo más” 2ab(£),a“como + b2 £casi 2abel doble “por lo menos” PV (≥),Petc. + 3000 de −π x” (<),−3 C Ejemplificar en la sección de desigualdades en diversos contextos. Dar ejemplos numéricos de estos casos al comenzar la sección. −3 Por ejemplo: 4 ⋅ −5 es negativo, es positivo, etc. −5 Verbalizar las características de cada tipo de inecuación (lineal, con valor absoluto, cuadrática, fraccionaria) cuando se resuelve cada una de ellas. 123 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 123 2/11/11 17:10:58 Síntesis de la Unidad Síntesis conceptual de la unidad Ejercicios propuestos en esta Guía El objetivo de esta síntesis es que los estudiantes puedan revisar los conceptos fundamentales de la unidad. Se presenta primero, un mapa conceptual como ejemplo de síntesis de los conceptos de la unidad. Se sugiere revisarlo en clases junto a sus estudiantes haciendo énfasis en los conceptos. i. Actividades de refuerzo Estas actividades se presentan como un apoyo para el profesor y los estudiantes, de manera de reforzar lo aprendido. Encontrará aquí una batería de ejercicios que puede trabajar en clases, en forma adicional a los ya propuestos en el texto. Ejercicios de resumen de la unidad ii. Ficha de refuerzo Estos ejercicios están destinados a aquellos estudiantes que aún no han logrado los objetivos mínimos propuestos y necesiten trabajar sobre los conceptos fundamentales de la unidad. Al igual que en las unidades anteriores, se presenta aquí una guía de ejercicios que resume todos los contenidos trabajados en la unidad. Los primeros seis ítems se pueden trabajar en forma individual o grupal, pero se sugiere que el ítem VII sea trabajado en forma individual, de manera que sirva como evaluación sumativa, ya sea evaluada o no, para que cada estudiante tenga una retroalimentación de su aprendizaje que pueda cuantificar. En esta guía didáctica se entregaron, en la unidad 1, dos tablas de conversión de porcentaje a nota para escalas al 60% y al 50% de logro. Por último, se sugiere también una evaluación formativa de la unidad completa. Recuérdeles a sus estudiantes lo importante que es ser honestos con ellos mismos en su proceso de aprendizaje. iii. Actividades de profundización Este material tiene por objetivo ampliar los conocimientos de los estudiantes que evidencien mayores habilidades matemáticas en esta unidad. Se proponen ejercicios y una actividad con los que usted puede trabajar. Tipos de ejercicios Se pueden identificar en ejercicios donde se repasan todos los contenidos en diferentes ítems, que pueden ser trabajados grupal o individualmente. En otros casos, especialmente en la Ficha de refuerzo, se hace siempre énfasis en colocar todo el desarrollo en la resolución de los ejercicios. Finalmente, también ofrecemos evaluaciones basadas en alternativas tipo PSU y donde hay una sugerencia para que el alumno revise y obtenga su porcentaje de logro, que se aconseja sea trabajado individualmente. 124 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 124 2/11/11 17:10:58 Actividades de refuerzo 0 0 con 8 2 5. ____Al restar la incógnita de una inecuación en ambos miembros de ella, se debe cambiar el sentido de la desigualdad. 6. ____Si a < b, ambos positivos, usando las propiedades de las desigualdades, se 1 1 puede demostrar que > b a 7. ____{x ∈ R /3 ≤ x ≤ 5} está representado por ]3, 5] 8. ____Para obtener el conjunto solución de x > 31, se debe resolver por –31 > x > 31 9. ____Si –2 ≤ x ≤ 6 se divide por 4, se obtiene x −0,5 ≤ ≤ 1,5 4 10. ____Para encontrar los números x, cuyo doble disminuido en seis es menor que x 0 y, a la vez, cumplen con ≥ −2 se 4 debe resolver 2x − 6 < 0 x ≥ −2 4 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 125 c. “Solo los números negativos cuyo menor valor es − 31“ d. Las 100 montañas más altas del mundo están en Asia. Superan los siete mil doscientos metros, siendo el monte Everest, de los Himalaya, el primero, con 8 848 m. 2. Usando las propiedades de las desigualdades, responde a. Si a, b y c son positivos, y sabiendo que b b a < , < c y c < b, establece por lo 2 3 menos tres posibles órdenes, indicando la(s) propiedad(es) de las desigualdades que has usado. b. ¿Es cierto que −π < −3? Indica todos los valores tal que al dividir dicha desigualdad por cualquiera de ellos, invierta su sentido. 2 2 c. Demostrar que a + b ≥ − 2ab 3. Resuelve los siguientes ejercicios. Puedes recurrir a las demostraciones que hemos estudiado. a. Ruibarbo escribe “si a y b fueran positivos, 2ab £ a2 + b2 £ 2ab”, lo cual es incorrecto. Escribe las desigualdades correctas. b. Si a > b, demuestra que 2a − 5 > 2b − 6 c. Demostrar que a2 + b2 > –2ab d. Demuestre que si a > b y b > c, luego a > c III.Resuelve los siguientes problemas: 1. Las investigaciones teóricas de un químico le llevan a concluir que para no sobrepasar el litro de solución alcalina, se debe agregar tan solo dos volúmenes y medio de álcalis a los 200 ml de agua destilada ¿Cuáles son los posibles valores de un volumen de álcalis? UNID AD 3 b. “En aquel enero, las máximas siempre fueron de treinta y tantos grados” Material Fotocopiable 4. ____Para que la unión de los intervalos de la figura sea ]−2,•[ entonces el primer intervalo es abierto es –2. a. “No más de cuatro estudiantes para la actividad grupal” Material Fotocopiable 2. ____Si el precio de venta de un producto, PV , supera , a lo menos, en tres mil pesos al precio de compra, PC , esto se expresa como PV ≥ PC + 3000 3x 3. ____El intervalo de solución de <0 x −1 debiera incluir al cero. 1. Escribe en tu cuaderno cada oración y luego tradúcela en lenguaje matemático usando <, ≤,> y ≥ Material Fotocopiable 1. ____Una desigualdad es una expresión matemática que indica que dos cantidades son distintas. II. Resuelve los siguientes ejercicios: Material Fotocopiable I. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda en cada afirmación. 125 2/11/11 17:11:01 Material Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable 2. Si lograra doblar mi dinero y agregarlos a $2500 lo que tengo de reserva y los usara en la próxima apuesta, a lo menos podría triplicarlo ¿Con cuánto dinero, más o menos, puedo iniciar este proceso, sin contar lo que tomara de la reserva? 3. El curso de folclore, donde asisten Nedda, Renata, Lilo y sus dos hermanos, son 26 estudiantes en total ¿Cuántas alumnas pueden haber aparte de Nedda y Renata? 4. Pedro tiene que estar en su trabajo a las 8:30 de la mañana. Se levantó a las 7:15 y se bañó en quince minutos. Tomó tranquilamente su desayuno en diez minutos y se vistió en cinco. Luego tomó inmediatamente el bus de su empresa, que lo llevó a su trabajo. Su jefe le reprochó siete minutos de atraso; sin embargo, Pedro dijo que había llegado dos minutos antes de hora ¿Cuánto pudo haber tardado en llegar de su casa al trabajo? 5. “Juan y Juanita aprenden aritmética” fue un libro que usaron mis abuelos. Él me contaba, mientras dormitaba, que era un libro de 33 cm de alto por 22 cm. El grosor era exactamente de 1,5 cm. Y que lo forraba con unos pliegos de papel grueso, dejando uno pliegues internos simétricos de más o menos 2 cm. Cuando le pregunté qué quiere decir con “más o menos”, me explicó que unos 2 mm sobre o bajo los 2 cm, respectivamente... ¿Me puedes estimar las dimensiones del papel que usaba para forrarlo? Te lo agradeceremos. IV.Resuelve los siguientes ejercicios: 1. Escribe tres intervalos semiabiertos que se pueden apreciar en la figura siguiente. -4 0 3 5 9 2. Dibuja el intervalo [ −2, 5], marca su centro y destaca el intervalo de todos los números que están a menos de una unidad de este. 3. De un intervalo cerrado por la izquierda y de extremo –7, se desconoce su extremo derecho. Se sabe además que su unión con [ −12, −7] coincide con [ −12, −1]. ¿Cuál es su extremo derecho y por qué? 4. ¿Cuáles son los intervalos más grandes que no intersectan a [ −4, 3]? 5. ¿Cuál es el complemento de la unión de ]−5, 2] con [ −2, 5]? 6. Realiza R − ( −• , 12) ∪ ( −7, • ) 7. Considera los números a partir del 3 y que no alcanzan a 11. Posteriormente, los números que superan a seis, pero no a 12. Efectúa la diferencia de los primeros con los segundos, y después viceversa. Anota los resultados y únelos. ¿Qué obtienes? 8. Si A = {x ∈ R / −2 < x ≤ 1}, B = [ −0, 5; 1, 5[ y C abierto en –1,5 y cerrado en 0,5, ¿cuál es el C intervalo resultante de C − ( B ∩ A ) ? 9. A continuación se exponen las cifras de glicemia correspondientes a personas no diabéticas. HORA Antes del desayuno Antes de la comida y de la cena 1 hora después de las comidas 2 horas después de las comidas Madrugada (entre las 3–5 horas) NIVEL DE GLUCOSA NORMAL (mg/dl) De 70 hasta 105 A partir 70 hasta 110 Menor de 160 Menor de 120 Más de 70 Fuente: carolareznor.iespana.es/3.html Escribe la información usando desigualdades e intervalos cuando proceda. 10.Observa muy bien el siguiente gráfico que fue tomado el 9 de noviembre de 2009 del portal http://sitios.cl/ en la sección “Gráficos” Valor dólar en pesos chileno 9 / Noviembre / 2009 700 650 600 550 500 Enero ’09 Marzo ’09 Mayo ’09 Julio ’09 Septiembre ’09 http://finance.yahoo.com 126 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 126 2/11/11 17:11:04 V. Responde colocando todo el desarrollo y anotando tu respuesta en notación de intervalo. Además, grafica las soluciones para los ejercicios 2, 7 y 10. 3 9 x 1. − x + ≥ 7 8 5 ( 2 2. − x ( x − 10 ) − 19 > 2 10 − x ) Nota 1 (20 %) 5,3 Nota 2 (15 %) 3,5 Nota 3 (15 %) 6,5 Nota 4 (20 %) 4,5 ¿Cuál debiera ser nota 5 para que ella, por lo menos aumente su promedio del primer semestre? Nota 5 (30%) X 2 6. x − 3x + 2 £ 0 x 2 − 3x 2. “Son las 23:16 hrs y veo una esfera blanca de unos 10 m de diámetro que se ha depositado sobre el pasto. Solo es parpadeante... ¡pero esperen, ha empezado a rotar dando destellos naranjas y aumentando su tamaño casi al doble!... ¡Estoy confuso y no sé qué hacer, pues se dirige hacia mí emprendiendo vuelo!...El perito, a quien le consultaron por esta grabación, hizo el cálculo del cambio de diámetro del objeto descrito, miró una tabla y añadió...”tiene que haber visto un...” ¿Entre qué valores pudo haber cambiado el diámetro? 2 8. 5x + 1 £≤ x + 10 3 x −2x + 11 ≥ 11 3. No sé qué hacer con mi rendimiento en Matemática. En las pruebas, leo correctamente las 30 preguntas de la prueba: “Si contesto todo pausadamente, siempre tengo a lo más cinco malas y si trabajo apurado, mis malas se duplican”. Tomando en cuenta ambas situaciones, ¿entre qué valores fluctúan mis respuestas correctas? 13 3. 1 − 2x £ 3 2 − 3x 4. < −1 3x − 1 5. 7. 1 1 x +1 + > x x +2 x 9x − 1 ≥ 0, 5 x −4 −1 −x −5 x 1 − <2 3 5 x ≥0 9. − x > UNID AD 3 1. En Química, Roberta ha obtenido un 5,5 como promedio del primer semestre. Las notas del segundo semestre están tabuladas en Material Fotocopiable c. ¿Cuál es el periodo más largo de tiempo del 2009, en que el dólar no haya alcanzado los $650? VI.Desarrolla cada uno de los cinco problemas haciendo uso de inecuaciones y sistemas, según sea el caso. Material Fotocopiable b. Estima el periodo de tiempo en que el dólar haya fluctuado la primera vez, aproximadamente, entre los $570 y los $650. x +1 <0 x −5 x 2 − 3x + 2 ≥0 xx2−−44 Material Fotocopiable a. En el punto medio del intervalo de Marzo 09 a Mayo 09, ¿en qué intervalo de valores se ubica el dólar? 10. Material Fotocopiable Responde haciendo uso de la información de preferencia con fechas y valores indicados. 127 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 127 2/11/11 17:11:08 Material Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable 4. ...entonces la comisión enojada, me gritó: “Michael, por haber mirado esta ecuación x y secreta + = 1, te condenamos a que −1 −2 escribas todos los valores de x que den y 2. Si a + c < b, con a, b, c, d R y d < 0, entonces es(son) verdadera(s): recuerdo clarita, comencé a sudar y veía que I. a + c – d < b – d a+c II. < bd d III. ad > bd – cd a. Solo I d. Solo I y III pasaba el tiempo sin hacer nada. ¡Nada se me b. Solo I y II ocurría... nada!, empecé a correr tratando de c. Solo II y III positivo. De lo contrario tu final se acerca”... la escapar, hasta que salté al pozo... ¡y desperté!... ¡Todo fue una pesadilla!... ¿y si esto me pasará? Te invitamos a que escribas todos los valores que aparecen en la pesadilla de Michael... no vaya a ocurrirte a ti. 5. “Se han extraviado algunos DVD de Tania. Seguramente se va a enojar” agrega su madre. Y continúa: “Lo que sí recuerdo es que los DVD de Tania, más los de Toña, que eran trece, no cabían en el bolso, ya que es solo para cincuenta”. “Pero mamá”, replica Telma, “¿se acuerda que los DVD de Tania, más los de Memo, que son nueve, no alcanzaban ni a llenarlo?”... “No sé qué va hacer Tania cuando lo sepa” termina diciendo la mamá... ¿Cuántos podrían ser los DVD extraviados?... Ayuda a despejar esta duda, pues sabes plantear y desarrollar desigualdades. VII.Marca la alternativa correcta: 1. El enunciado: “el doble de las monedas (m) que tiene Marcia no supera los $600”, se escribe como: a. 2 m + 600 < 0 b. 2 m > 600 c. 2 m < 600 d. 2 m £ 600 e. 2 m ≥ 600 e. I, II y III 3. La solución de ]−3, 7] ∩ [ 4, 8[ es: a. [ 4, 7] b. ]4, 7[ c. ]−3, 8[ d. [ −3, 8] e. [ 4, 8[ 4. La temperatura de una cuidad es a lo más 37 ºC y su variación diaria no es mayor que 15 ºC; por lo tanto, el intervalo en el que se encuentran los valores diarios de la temperatura es: a. [22, 37] b. ]22, 37] c. [22, 37[ d. ]22, 37[ e. No se puede determinar 5. La solución de la inecuación 2x − 3 ≥ 6 x − 7 es: a. x ≤ 1 b. x ≥ 1 c. x ≥ –1 1 d. x ≤ 2 1 e. x ≥ 2 128 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 128 2/11/11 17:11:14 e. a. b. c. d. e. 120000 1200000 225000 7. La solución de la inecuación 1 a. −3, 2 1 b. −3, 2 x +3 £0 es: 2x − 1 1 c. −3, 2 1 d. −3, 2 1 e. ]−• , −3] ∪ , • 2 8. El resultado de la inecuación 10 > 3x + 1 es: −11 a. −• , ∪ ]3, •[ 3 −11 b. −• , ∪ [3, •[ 3 11 c. − ,3 3 11 d. − ,3 3 11 e. R − − ,3 3 III.0 Solo I Solo II y III Solo I y III I, II y III Ninguno de los números 10.Jaime ha querido inscribirse en un curso de inglés. El dinero que él ha juntado más $60000 es al menos $150000. Por otro lado, si su padre le diera $50000, lo que él tendría no superaría los $250000 ¿Entre qué montos se encuentra el dinero de Jaime? a. ]90 000, 200 000[ b. [90 000, 200 000] c. [200 000, 240 000] d. ]200 000, 240 000[ e. No se puede determinar UNID AD 3 d. 400000 II. –4 Material Fotocopiable c. I. 4 Material Fotocopiable b. 400000 1 3x + < 4 4 11 xx ++ ((xx −−33))≥≥ − 12 22 Material Fotocopiable a. 9. ¿Cuál(es) de los siguientes números pertenece(n) al conjunto solución del sistema Material Fotocopiable 6. Pablo ha recibido tres cuartos de su sueldo. Si a esa cantidad se le suman $200000, entonces el total supera los $500000. La solución de este problema se puede graficar como: 129 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 129 2/11/11 17:11:19 Material Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable I. Completa las siguientes afirmaciones según corresponda: 1. Mario (M) tiene más dinero que Juan (J), esto se expresa usando desigualdades como 2. Los números que son mayores o iguales a –7 y menores que 9 se escriben como el intervalo 3. La inecuación 2x > 6 tiene por solución el intervalo 4. Al resolver la inecuación 2 ( x − 3) £ 3x + 1 se obtiene por solución el conjunto III.Resuelve los siguientes problemas de planteo. Lee detenidamente, plantea la(s) inecuación(es) y luego resuelve: 1. Gilberto, ¿cuánto dinero tienes en esa alcancía? Si tomas nueve veces lo que tengo y le sumas $500, tendré menos que $6 000. Además, lo que tengo es más o lo mismo que $400 ¿Entre qué cantidades se encuentra el dinero de Gilberto? 2. En el supermercado del barrio de Andrea ella puede comprar 5 alcachofas por menos de $670. En cambio, en la feria puede comprar 6 alcachofas por a lo menos $770 y además le dan vuelto de $100 ¿Entre qué precios se venden las alcachofas en el barrio de Andrea? 5. La solución del sistema de inecuaciones x +3> 9 es 2x − 5 £ ≤ 10 II. Resuelve las siguientes inecuaciones y sistemas de inecuaciones, coloca todo el desarrollo: 1. x ( x + 2) ≥ ( x + 3) 2 2. x + 4 < 2 3. x >0 x +2 ≥ 2x − 5 4. x + 3 > x +3< x +3 2 Material Fotocopiable Material Fotocopiable Ficha de refuerzo 130 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 130 2/11/11 17:11:21 Actividades de profundización 1. ¿Qué significa, gráficamente, que la inecuación cuadrática x 2 − x + 4 ≤ 0 no tenga solución en el conjunto de los n úmeros reales? 2. ¿Cómo se puede resolver gráficamente una inecuación con valor absoluto? UNID AD 3 I. Responde de la forma más completa posible. Puedes utilizar los programas Graphmatica o Graph cuando sea necesario: 5. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: a. 16 < 3x + 5 £ 12x + 8 4 x x −42x x − 2 + £+3x + 1 £ ≤3 7x + −1 2 ≤ 7x − 2 35 3 b. 5 6. Resuelve las siguientes inecuaciones: 3 2 a. x − 3x + 2x < 0 ( x + 4 ) ( 2x − 5 ) ( x + 8 ) ≥ 0 ( 3x + 1 ) ( x − 5 ) Material Fotocopiable b. Material Fotocopiable x +2 >0 x −3 12 b. <0 2x 2 + 3 a. Material Fotocopiable 4. Resuelve gráficamente las siguientes inecuaciones , usa uno de los programas para graficar (graph o graphmatica): Material Fotocopiable 3. ¿Pueden considerarse las inecuaciones con valor absoluto como sistemas de inecuaciones? 131 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 131 2/11/11 17:11:24 Instrumentos de evaluación Como ya se ha dicho en las unidades anteriores, la evaluación debe ser un proceso continuo que entregue información sobre el proceso de enseñanza – aprendizaje tanto a cada alumno o alumna como al profesor o profesora. Se han trabajado diversos instrumentos de evaluación en la unidad anterior. Algunos sugeridos fueron: •escalas de apreciación •listas de cotejo •trabajos grupales formativos •actividades individuales o grupales de estudio •evaluaciones sumativas a. Escalas de apreciación Sirven para recolectar información sobre el trabajo puntual realizado por los alumnos y alumnas en una clase o en una actividad determinada. Pueden complementar las evaluaciones de proceso que están en la unidad. Por ejemplo, al final del estudio de cada una de las secciones de la unidad, es: Nombre del estudiante: Curso: Fecha: Actividad: Según tu apreciación personal del trabajo realizado, marca con una cruz el casillero correspondiente para cada una de las siguientes preguntas de esta escala (Recuerda que hay actitudes como la participación en clases, el trabajo en grupo, etc., que también se aprenden): A: Lo logré completamente B: Lo logré medianamente C: No lo he logrado aún Indicador A B C ¿He aprendido los conceptos de la sección? ¿Podría resolver solo los ejercicios resueltos o los ejemplos dados? ¿He sido capaz de desarrollar los ejercicios propuestos? ¿Respondí correctamente durante la clase cuando se me preguntó? ¿Me he preocupado de preguntar lo que no me quedó claro? ¿He realizado un buen trabajo en equipo junto a mis compañeros? (en caso de trabajo en grupo). ¿He demostrado interés en aprender? ¿He puesto todas mis capacidades al servicio de mi aprendizaje? 132 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 132 2/11/11 17:11:24 b. Listas de cotejo Recolectan información sobre el nivel de logro de aspectos trabajados en las secciones de la unidad. Pueden ser dirigidas al estudiante o trabajadas por el profesor. Un ejemplo de estas es: UNID AD 3 Realiza las tareas dadas. Aporta al trabajo de su grupo. Realiza los ejercicios propuestos. Alumno Muy bueno (7,0 – 6,0) Bueno (5,9 – 5,0) Suficiente (4,9 – 4,0) Insuficiente (3,9 – 1,0) Pregunta cuando tiene dudas. MB: B: S: I: Es capaz de verbalizar los conceptos fundamentales. Escala: Trabaja bien en clases. Curso: Abarca Juan Baeza Lorena También se puede aplicar al trabajo grupal. Por ejemplo, en los ejercicios de síntesis y evaluación de la unidad. c. Trabajos grupales formativos Se vuelve a insistir en la importancia del trabajo grupal; muchas veces los estudiantes logran explicarse mejor entre ellos. Puede formar grupos en forma aleatoria o intencionada. En esta sección se ha privilegiado el trabajo grupal en la resolución de problemas de planteo, pero es usted como maestro quien debe decidir cuáles son las actividades que designará como trabajos grupales y cómo serán evaluadas. d. Actividades grupales o individuales de estudio Se sugiere trabajar alguna de las guías complementarias propuestas como preparación para la prueba de unidad. Recuerde que es bueno trabajar con el tipo de ejercicios que se evaluarán. Usted debe evaluar lo que enseñó y no si el alumno es capaz de resolver un problema nuevo con algún tipo de estrategia nueva. Los ejercicios que apuntan a desarrollar habilidades superiores, como aplicar, analizar y relacionar diversos conceptos, deben ser trabajados en clases. No trate de sorprender a sus estudiantes, solo constate que aprendieron lo que usted les enseñó. 133 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 133 2/11/11 17:11:24 e. Coevaluación Entendida como aquella evaluación efectuada entre pares sobre una actividad o trabajo realizado. Recuerde que la dinámica de las relaciones del curso debe ser la brújula que le indique si este tipo de instrumento se puede aplicar y cómo se aplica. Recuerde que usted puede visitar el siguiente enlace para optimizar este recurso evaluativo: http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a0286a13e6329d3f&ID=137573 Un posible instrumento es: COEVALUACIÓN TEMA: FECHA: : INDICADORES Niveles de logro INTEGRANTES DEL GRUPO 1 2 1 3 4 5 4 = SÍ 8 = NO 2 3 4 Total 1. Ayuda a los integrantes del grupo. 2. Cumple con lo que el grupo le encarga. 3. Mantiene un buen trato con sus compañeros. 4. Es tolerante ante las opiniones y propuestas de los compañeros. f. Evaluaciones sumativas Resumen lo trabajado en la unidad. Se pueden utilizar, como ya se ha dicho, de manera formativa o evaluada. Los ítems de alternativas propuestos en el libro tiene una evaluación porcentual de logro que los estudiantes deben calcular. Esta se puede traducir a nota según las tablas de la Unidad 1 al 50% o al 60%. De manera complementaria al Texto del Estudiante, a continuación se presentan dos evaluaciones con diferentes ítemes, para que sirvan de apoyo al docente. 134 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 134 2/11/11 17:11:24 Evaluaciones I. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda en cada afirmación: 1. ____Los signos que comúnmente son utilizados para expresar desigualdades son: <, >, ≤ y ≥. 2. ____Al sumar o restar la incógnita de una inecuación en ambos miembros de ella, se debe cambiar el sentido de la desigualdad. 3. ____Con b no negativo, para x < b, se tiene −b < x < b 4. ____[2, 8[ es la intersección de –1 0 con 0 8 2 5. ____Si a < b, ambos positivos, entonces usando las propiedades de las desigualdades se 1 1 puede demostrar que 2 > 2 b a 6. ____Si −2 £ 3x + 1 £ 4,entonces se obtiene −1 ≤ x ≤ 1 7. ____{x ∈ R /3 ≤ x} está representado por ]3,• ] 3 3 3 8. ____Decir que x > , no equivale a − > x > 5 5 5 3x 9. ____El intervalo de solución de > 0 no x −1 debiera incluir al cero. 10. ___La torre Eiffel se inauguró hace más de 120 años, It , y el Mercado Central de Santiago, Im , por lo menos 18 años antes. Esto se expresa como It > 120 ∧ Im ≥ It + 18 II. Resuelve los siguientes ejercicios: 1. Escribe en tu cuaderno cada oración y luego tradúcela en lenguaje matemático, usando <, ≤,> y ≥ b. “En aquella época la estatura masculina promedio no sobrepasaba el metro setenta, aunque hacía rato que superaba el metro sesenta y seis ” c. “Únicamente los números negativos comprendidos entre –5 y –0,5, excluyendo a este último “ d. Las principales fosas oceánicas superan los diez mil metros, pero alcanzan un poco menos de once mil treinta seis metros de profundidad. UNID AD 3 Evaluación 1 2. Usando las propiedades de las desigualdades, responde a. Si a, b y c son positivos, y sabiendo que a < b < c, establece el orden de sus inversos e indica la(s) propiedad(es) de las desigualdades que has usado. b. Como π > − π , indica todos los valores, tal que al dividir dicha desigualdad por cualquiera de ellos, no invierta su sentido. c. Curioso es que si π > − π se multiplica por –1, no se altera... ¿Por qué? 3. Para los siguientes ejercicios, puedes recurrir a las demostraciones que hemos estudiado. a. Si a, b y c son reales y a < b < c , demuestra a+b b+c . que < 2 2 2 b. A partir de ( a − 2b ) , se te pide demostrar que a2 + 4b2 ≥ 4ab. c. Roldán era el perro de un viejo matemático. Este, fanático por las fórmulas, escribió en un parte del techo de la casa de su perro, lo siguiente: ”Si n es positivo, se tiene que 1 n − ≤ 2“ A Roldán no le afectó esta n verdad... ¿pero será verdad? III.Resuelva los siguientes problemas: 1. La suma de los lados iguales de un triángulo isósceles es 10,5 cm. Del tercer lado solo se sabe que mide más de un cm ¿Cuáles son los posibles valores que debe agregarse para saber la medida de su base? a. “Leverkusen está a no más de 15 minutos de Colonia” 135 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 135 2/11/11 17:11:27 2. La cábala que sugería la página del diario para tener éxito en los juegos de azar decía que se debía triplicar la edad actual del participante, disminuirla en tres y ver que no superara a 63. Si uno sobrepasaba este número, se le solicitaría a una persona que cumpliera con esta condición que eligiera los números ganadores. Timoteo falla a esta condición y recurre a Clodoveo si la cumple. a. Estima las edades de ambos b. ¿Quiénes tienen que recurrir a otras personas para que jueguen por ellas? 3. En la primera parte del test de inglés, María Marta obtuvo 339 puntos de los 720 en total. ¿Cuántos debiera obtener en la segunda parte y final para alcanzar, por lo menos, el nivel de aceptable que son los dos tercios del puntaje total? 4. Brasil y Argentina son los países de mayor superficie, con 8514877 y 2791 446 km2 , respectivamente. Al respecto, la superficie de Uruguay cabe a lo más 48 veces en la de Brasil y a lo menos 15 veces en la de Argentina. Encuentra el rango de superficie de Uruguay. 5. Y te cuento que simplemente se avergonzó y se retiró triste cuando no pudo calcular el número de caballos que se podían comprar con un poco menos de $14100 000. Solo lo abracé y le dije: “hijo mío, ya habrá otra oportunidad”. Me siento humillado por la vida, ante este acontecimiento y te pido lector que me ayudes a hacer los cálculos para él... me dieron el dato que cada caballo vale unos$230000. Muchas gracias. Te pedimos que acojas esta solicitud. IV.Resuelve los siguientes ejercicios: 1. El papá de Gigliola es músico. Mientras ella estudia intervalos en Matemática, su padre la escucha y le dice que en la teoría musical los intervalos se miden contando la nota de la cual se parte y a la cual se llega. Por ejemplo, un intervalo de quinta es do-sol ya que se consta de cinco notas: do, re, mi, fa y sol. Gigliola haciendo uso de la notación de intervalos te propone los siguientes intervalos para que: a. los escribas por extensión [do, fa] [mi , si ]. 2. Escribe dos intervalos disjuntos (cuya intersección sea vacía) que aparezcan en la figura achurada. −8 5 –10 0 3. Usando el gráfico anterior, traslada la figura en 7,5 unidades hacia la derecha. ¿Cuáles son los puntos que dejaron de pertenecer a la figura original? 4. De [ −3, 5], escribe el intervalo subconjunto del dado y que contenga los valores que están a más de una unidad y media de los extremos. 5. Si A consiste en todos los números mayores que seis y menores que nueve, y B, los comprendidos entre cinco y diez, efectúa B – A. 6. Imagínate un intervalo incluido completamente dentro de otro. Luego te piden la diferencia del primero con el segundo. ¿Cuál es tu respuesta?...Justifícala. 7. Encuentra el complemento de la unión de los intervalos achurados –4 –1 0 3 5 8. Si A = {x ∈ R / −2 < x < 2}, B = [ −1, 5 ; 6, 5[ y C: intervalo cerrado en –1,5 y cerrado en 0,5. ¿Cuál es el intervalo resultante de C ( B ∪ A ) − C ? 9. El médico del consultorio donde asiste Don Bencho le explicó que el colesterol lo tenía muy alto. Le dijo que para el colesterol total, según riesgo de coronariopatías, el nivel deseable era menor de 200 (mg/dl), pero era de límite alto si superaba este valor y pudiera alcanzar hasta los 239. Peor aún, se considera alto de 240 en adelante. Por tanto, le recomendó vigilar la dieta y abstenerse de fumar. Tabula la información mencionada acerca del colesterol total. (http://www.geosalud.com/Nutricion/colesterol.htm) b. desarrolles el intervalo decimotercero iniciado en do. 136 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 136 2/11/11 17:11:30 Consumo de electricidad, familia Quijada (2009) KWH 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Meses del año a. Escribe el intervalo de consumo total. b. ¿En cuál de los trimestres el consumo fue mayor? Escribe el intervalo de consumo correspondiente. c. Escribe el tramo del año en que el consumo a lo menos es de 25 kWh y alcanza sus máximos. V. Resuelve las siguientes inecuaciones y sistemas de inecuaciones: ( 1. 2 ( x − 6 ) £ ( x + 3) ( x − 3) − x 2 − 3 ( x + 4) x −4 +1< 4 8 x + 1 ( ) + 0, 5x 3. x − 2 > 7 9 < 12 4. 8 x + 2x 3 12 5. x 1 − 1 + ≤ 0 x x ) 2. 9. a. > c. ≥ b. < d. ≤ e. = d. x + 0,4 > 6,5 2 3x 2 − 4 x + 7 < 3 (x − 1) 2 (x + 6 )( ) ( x − 1)< 0 (x − 3)( ) ( x − 6 )( ) ( x − 3) > 0 VI.Desarrolla cada uno de los cinco problemas, haciendo uso de inecuaciones y sistemas, según sea el caso: 1. Esta vez sí que no me equivocaré en encontrar los números cuyo tercio U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 137 1. El signo que debe escribirse en el espacio en blanco para comparar en forma verdadera las siguientes expresiones 2 ( a + b + c ) a2 + b2 + c 2 , ∀ a, b, c ∈ R + es: c. x + 0,4 ≥ 6,5 −−xx ++55xx −−44≥≥ xx((11−−xx)) 10. VII.Marca la alternativa correcta: b. x + 0,4 < 6,5 8. x − x − 6 x ≥ 0 22 3. Lulú está contando la cantidad de caramelos que debe llevar al colegio para repartirlos entre sus compañeros. Es el pago de una apuesta que perdió. Conversando con Memo, le dice:“¿Me puedes regalar tres caramelos más para alcanzar a lo más a 45? Memo le responde que no puede, a menos que ella le diera primero los tres solicitados. Lulú exclama: si esto ocurriera me quedaría con un poco más de 35 ¿Cuántos caramelos tiene Lulú? a. x + 0,4 ≤ 6,5 x −1 ≥2 x −2 3 2. Si llegamos bajar dos kilos, lograremos que Ovidio, de 1,80 y de contextura grande, recupere su peso, que debe ser menor de 83 y más de 73 ¿Cuánto pesa en la actualidad? 2. El promedio de notas de Madeleine está al menos 4 décimas bajo un 6,5. Si x representa el promedio de Madeleine, ¿cuál de las siguientes alternativas representa este enunciado? 2 6. 2x − x < x 2 2 7. disminuido en un medio no los superen. Se los prometo... Te invitamos a que cumplas con esta promesa y obtenlos. UNID AD 3 10. El gráfico muestra el consumo de luz, en kWh, de la familia Quijada durante 2009. e. x + 0,4 = 6,5 1 3. Al resolver la inecuación 2x < x + 6, el 3 conjunto solución es: 18 a. x ∈R / x < 5 18 b. x ∈ R / x ≤ 5 {x ∈ R / x ≤ 6} d. {x ∈ R / x < 6} c. 18 e. x ∈ R / x < 7 137 2/11/11 17:11:36 4. La profesora de Bárbara debe corregir las pruebas de su curso y cuenta como máximo con 2 horas y media. Si son 40 pruebas, ¿cuál de las siguientes alternativas representa el tiempo (t), en minutos, que ella tiene para cada prueba? c. t ≤ 3,75 e. t ≤ 0,375 a. t < 3,75 b. t > 3,75 d. t = 3,75 a. ]8, 22] c. [8, 22] e. {8, 22} a. [ −4,•[ c. ]−3,•[ e. [ −4, 8] 5. En el informe del tiempo se ha dicho que la temperatura máxima y mínima variará entre los 8 ºC y los 22 ºC. Esto puede representarse como el intervalo: b. ]8, 22[ d. [8, 22[ 6. El intervalo solución de [−4,8]∩ [−3, ∞[ es: b. [ −3,•[ d. ]−3, 8] 7. Para qué valores de x, en los números reales, se cumple que x 2 + 5x + 6 £ 0 : a. x ∈[ −3, −2] b. x ∈ ]−3, −2[ ( c. x ∈ ]−• , −3] ∪ [ −2, •[ ) d. x ∈R e. x ∈{ } 8. La solución de la inecuación 3x − 5 + 3 < 0 es: a. b. c. d. 2 8 −∞ , 3 ∪ 3 , ∞ 2 8 −∞ , 3 ∩ 3 , ∞ 2 8 3 , 3 ∆ e. R 9. ¿Cuál(es) de los siguientes sistemas tiene(n) por solución el intervalo [2, 3]? I. II. III. x ≥2 x ≤3 2 (x + 1) ≤ x + 5 33xx ++10 6) 10 ≥≥ 22(( x + 6) a. Solo I c. Solo I y II b. Solo II d. Solo I y III e. I, II y III 10. José Tomás trabaja en un ciber café. Hoy comenzó su turno y su compañero le dijo antes de irse que el doble de lo que había en la caja más $2 000 superaba los $5 000. En ese instante comenzaron a llegar algunos clientes y no pudo contar su dinero. Al final de su turno el dueño contó el dinero y le dijo a José Tomás que había menos de $9 000. ¿Entre qué monto de dinero se encuentra el dinero de la caja? a. Entre $1 500 y $9 000 b. Más de $1 500, pero menos de $9 000 c. Más de $1 500 d. Menos de $1 000 e. No se puede determinar Evaluación 2 I. Completa cada oración según corresponda: 1. En matemática, una desigualdad se define como 2. Al dividir una desigualdad por un número positivo su sentido 3. De acuerdo a la definición de intervalo, ]−11, 13] es un subconjunto de 4. El intervalo , representa a aquellos números que superan claramente a n real. 5. Si R es el conjunto universo, entonces C [ −6, 5;16, 5[ representa a todos los reales 6. Una desigualdad que se verifica para un subconjunto de R corresponde a una 7. Para encontrar el conjunto solución de 12 13 se deben resolver las x − 3,7 > 5 17 siguiente inecuaciones luego y las soluciones encontradas en cada una de ellas. ≤ 2x − 1 4x £ 3 ( x + 4 ) ≥ 2x + 9 138 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 138 2/11/11 17:11:44 0 8 sea la representación gráfica de la solución de x − 2 < 6 , el número que falta en el extremo izquierdo es......... 9. Si en la resolución de un sistema de inecuaciones la intersección de las soluciones es vacía, entonces se dice que el sistema 10.Para encontrar los números x superiores a 42, y cuyas mitades, disminuidas en un cuarto son negativas, se debe resolver el siguiente sistema II. Resuelve los siguientes problemas: 1. Escribe en tu cuaderno cada oración y luego tradúcela en lenguaje matemático, usando <, ≤,> y ≥ a. Servando renovará su aparato celular, más aún, lo podrá adquirir al contado. De su trabajo durante el periodo prenavideño, ganó más de $135 990,... y le alcanza de más... b. Las fuerzas fundamentales son aquellas fuerzas del Universo que no se pueden explicar en función de otras más básicas, como el peso, las fuerzas intermoleculares, etc. Son cuatro: la más fuerte es la nuclear fuerte, seguida por la electromagnética, en tercer lugar la nuclear débil , y la más débil es la gravitacional c. Un corte de luz dejó sin energía a casi 23 de los 26 estados de Brasil y a todo Paraguay d. Hacía varios meses que el IPC no tenía índices bajo 0, pero en noviembre del 2008 fue la sorpresa: –0,10, aunque el valor más bajo fue en el mes siguiente, con –1,20. Ahora bien, hasta octubre del año siguiente se produjeron seis valores negativos, pero el máximo se produjo en Septiembre con 1,00. 2. Usando las propiedades de las desigualdades, responde: a. −2 4 − ≤6 x 5 −2 4 − ≤6 x 5 −10 − 4 x £6 ≤ 5x −10 − 4 x £ ≤ 30x −4 x − 30x £ ≤ 10 −34 −34 x £ ≤ 10 10 34 5 x≥− 17 x≥− UNID AD 3 8. Para que Observa atentamente el desarrollo en la resolución e indica qué restricción para x debe, obligadamente, hacerse. b. Si 0 < p < 1 y 1 < q , ¿qué relación debe tener q con respecto a p, para que 1 < pq? c. Demuestra que si 1 < a < b , luego 1 < ab d. Sabiendo que ( 2n − 1) ( n + 1) es no negativo, demuestra que 2n2 + n ≥ 1. Para los siguientes ejercicios puedes recurrir a las demostraciones que hemos estudiado, cuando proceda 1 e. Demuestra que 9x 2 + 2 ≥ 2 9x f. A través de una tabla de valores, muestra 1 que 2 + > 2. ¿Qué sucede a medida x que crece el valor de x? III.Resuelve los siguientes ejercicios: 1. “Chavo que no chavo, chilindrina que no adivina y Kiko que te hace añico, pero con más marullos, no lograrás cuadrar las trece galletas que te saqué de la bolsa que llevaste, y ni te diste cuenta que te dejé menos de la mitad. Ja!... No tienes idea ni cuántas galletas tenías... Así que a otro perro con ese hueso... no sabes...” No le hagas caso, naturalmente que tú sabes. Y a propósito... ¿cuántas tenías?.... Haz el cálculo correspondiente. 2. Fíjese que llegamos a tener más que el triple del ganado del año anterior. Si en el año 64, con los trescientos vacunos que compramos ese mismo año, más los que ya teníamos, superamos el triple del ganado del año anterior, murmuraba Don Alamiro mientras se 139 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 139 2/11/11 17:11:48 dormitaba a la brisa de la tarde. Yo mojaba mis pies en el agua del estero, pensando ¿no será un poco fantasioso? ¿Tanta bonanza para él?...Te invito a que me ayudes a estimar cuánto ganado vacuno tuvo en los años mencionados. 3. Para pintar todo el liceo de Nataniel, un grupo de 10 apoderados se ofrecieron para hacerlo y demorarse unos 12 días. Pero este trabajo debe sacarse en ocho días como máximo. Escriba la inecuación que permite calcular el número de apoderados extra que deben trabajar para lograr lo pedido. Resuélvala y de la respuesta. 4. Estas riñas callejeras no debieran nunca producirse después de un partido amistoso de fútbol afirmaba la periodista de TV, quien informaba desde el mismo lugar de los hechos. En su entrevista, uno de los testigos dijo que eran un poco más de veinte jóvenes. La señora que vio la escena desde su departamento en el tercer piso afirmó que eran un poco más de veintitantos. Don Filiberto, conserje del mismo edificio, le rebatió diciendo que eran mucho menos de veinticinco, y, finalmente uno de los jóvenes que fue agredido, dijo que andaba con diez amigos y que el otro grupo eran un poco menos de quince ... Estima cuántos jóvenes del otro grupo participaron en este lamentable incidente. 5. “Hola, Elsita, te llamo rapidito por celular, porque tienes razón: la profesora de pintura formó doce tonalidades distintas de verde. Yo alcancé a anotar la técnica de nueve. Pero ahora, viendo el libro de Cleo, aparecen las que no anoté. Más aún, encontré varias tonalidades más, déjame ver: uno, dos, tres,...... uf... hay más de veinte... a ver nunca tanto, un poco menos de treinta. Lo curioso es que no aparecen todas las que nos enseñó la profe. Te llamaré más rato por más novedades. Chao”. a. ¿Cuántas tonalidades posibles de verde aparecen en el libro de Cleo? b. Estima el número posible de tonalidades que no aparecen en el libro, pero que la profesora enseñó. IV.Resuelve los siguientes problemas: 1. Un intervalo abierto por la izquierda incluye a 7 por la derecha. El valor que excluye está a más de 3,7 unidades del extremo derecho y a más de dos unidades del 0,5 ¿Cuáles son los posibles valores para el extremo excluido? 2. Las preguntas fueron directas: “¿Puede haber intervalos cerrados con complemento cerrado?; ¿puede haber complementos cerrados para intervalos abiertos?” Mi compañero contestó: No; Sí. El examinador me pidió un ejemplo para la segunda pregunta y me equivoqué. Tú, contesta, ahora por mí, ¿ya? 3. Mira, Felicio, te has llevado toda la vida puro reclamando, viejo: desde que tenías 20 años. A los 30, recién casados, decías que más de la mitad de tu vida lo pasaste estudiando, trabajando y criando, ... a los cuarenta y cinco ..., en fin, a los sesenta, que te quedaban cinco años para jubilar. Ahora que tienes más de 70, me dices que te falta poco para morirte ¿Cómo entenderte si llevamos casi cincuenta años de casados? Es hora que pares tus quejas ¿No?... Entre qué edades está la de Felicio. 4. Servio llegó con su hermana a mi casa, ambos llorando y asustados por las discusiones, gritos y portazos que pasan a diario en su casa. Ese día se les hizo insostenible. Decidí ayudarlos a estudiar, pero no recuerdo muy bien cómo se representa gráficamente [ −3, 7[ ∪ ]−5, 3] ∩ [0, 4]“¿Puedes hacerlo tú? ( ) 5. Pero Polo, basta que piense un poquito para responder esta pregunta: ¿Qué ocurre siempre cuando se une un intervalo con su complemento?... Bien... ¿Cuál fue la respuesta de Polo? 6. ¿En qué consiste la diferencia entre el intervalo (0,3) y el intervalo de los números irracionales que quedan en su interior? ( ) 7. Efectúa [ −4, 4[ ∩ ]3, 5;5] ∪ [ −3, 8] sabiendo que el universo se inicia en –4 y termina con 8. 140 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 140 2/11/11 17:11:49 9. El apoderado de Elmo acudió preocupado por las notas bajas que estaba sacando en Matemática. Aunque no era la hora de atención, el profesor que acudía a hacer clases al 4º medio, recordó que Elmo había obtenido entre un 4,5 y un 4,9 en la última nota. El apoderado calculó rápidamente el promedio, sabiendo que las notas anteriores eran 3,6 y 3,4. Se quedó muy preocupado ¿Entre qué notas fluctúa el promedio de Elmo? 10. En una entrevista a uno de los encargados de la ONEMI, respecto del tema “Chile, país sísmico“, explica claramente la Escala de Richter, diciendo que “por lo general, no se siente por la gente cuando la magnitud del 3,5 movimiento es menos de 5 , 5° y solo lo registran los sismógrafos. Ahora bien, de este 5,4 valor hasta 5 , 5°, frecuentemente se siente, pero los daños que provoca son menores. Entre los 5, 5° y los 6°, los edificios sufren daños ligeros. Pero puede haber daños severos en zonas muy pobladas, cuando 6,1 estamos en un sismo de grado 5 , 5° hasta llegar a 5 6,9 , 5°. La cosa se complica para grados mayores. Así, hay graves daños ante un terremoto mayor, como los que se producen hasta menos de 5, 8 5°. Ya claramente hay un gran terremoto, con destrucción total en comunidades cercanas, para 5, 8 5° en adelante. “ a. Hay un gráfico en una tabla cuyas columnas contenga “Magnitud en Escala Richter” (dada en intervalos) y “Efectos del terremoto”. b. ¿Qué actitud es adecuada debemos tener antes, durante y después de un sismo, cualquiera sea su magnitud? V. Resuelve colocando todo el desarrollo. Anota tu respuesta en notación de intervalo. 1. 2x ( x + 7 ) < 2 ( x + 3) ( x − 3) − ( x + 7 ) 3x − 4 x + 12 2. +1≥ 11 22 x − 13 3. x − 3 £ + 0, 1 x 5 256 4. 5x + < − 32 y x > 0 5x 2 3 5. 1 − 1 + > 0 x x 2 2 6. 2x − x > x UNID AD 3 8. Macario, compañero de tu curso, astutamente copió el resultado del ejercicio anterior y trató de sorprender a sus compañeros más avanzados haciéndolos encontrar el complemento de este. Para confundirlos, les decía “quítales los extremos”. Algunos lograron equivocarse... pero tú que eres más sagaz que Macario, no hiciste caso a esa ambigüedad, y le sorprendiste a él” ¿Cuál es tu respuesta? x + 0,3 ≥2 x − 0,2 7. 3 2 8. x − 10x + 21x ≥ 0 − x 2 + 5 (x − 2) ≥ x (1 − x ) 9. 22 4 x 2 − 4 x + 7 < 4 (x − 2) 10. (x − 9)( ) ( x + 1) > 0 (x + 3)( ) ( x + 7 )( ) ( x − 3) < 0 VI.Resuelve los siguientes problemas: 1. Tía Edelmira cuenta que Leila tenía más de once años cuando apareció “Plaza Sésamo” en la TV chilena. ¡Lo que son las cosas! comenta tía Helga. Si tan solo ayer la dejé jovencita a Leilita y ahora está hecha una abuela de un poco menos de cincuenta y dos. Escribe una inecuación que permita estimar el año en que apareció el famoso programa en la TV chilena. Resuélvela y da la respuesta. 2. “No somos grandes artistas, pero tampoco pretendemos serlo, tan solo te pedimos una moneda solidaria para estos pobre, payasos callejeros” El público les pasó algunas. El “flaco” como le decían a uno de ellos, recolectó 7 monedas de $50, 3 monedas de $100 y menos de veinte monedas de $10. El otro payaso obtuvo 10 monedas de $50, 1 moneda de $100 y menos de 15 monedas de $10. a. ¿Cuánto obtuvo cada payaso? b. ¿Cuánto pudieron haber reunido en total? 141 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 141 2/11/11 17:11:55 VII.Marca la alternativa correcta: 1 kilo de 2 1 relleno para una torta (t) y kilo del mismo 4 relleno para una tartaleta (T). La pastelería 1. En una pastelería se requiere no produce más de 12 kilos de relleno semanales. Entonces el número de tortas y tartaletas producidas semanalmente cumple con la desigualdad: 1 1 a. t + T ≤ 12 4 2 1 1 b. T + t ≤ 12 4 2 1 1 c. T + t ≥ 12 4 2 d. 4T + 2t £ 12 e. x + 6 = 2x + 1 9 II. ]−• , 9] ∩ [5, •[ III. R − [5, 9] a. Solo I d. Solo I y II b. Solo II e. Solo I y III c. Solo III II. 0 III.-2 d. Solo II y III e. Solo I y II c. Solo III 2x+1 d. x + 6 ≥ 2x + 1 I. [5, 6[ ∪ [6, 9[ b. Solo II x+6 c. x + 6 > 2x + 1 5 I. 6 a. Solo I 2. La situación descrita en la imagen adjunta se puede escribir algebraicamente como: b. x + 6 £ 2x + 1 4. ¿Cuál de los siguientes números pertenecen al intervalo [ −2, 8] ∩ ]−9, 6[ : e. 4t + 2T £ 12 a. x + 6 < 2x + 1 3. El siguiente intervalo representa el resultado de las operaciones: 5. El conjunto solución de la inecuación 3x − 7 > 4 x − 9 ( x + 6 ) es: 47 61 a. x < − d. x < − 8 8 47 47 e. x < − b. x > − 8 2 61 c. x > − 8 6. Jacinta es a lo más 4 cm más alta que su hermano Cristian. Si este mide 165 cm, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera con respecto a la estatura de Jacinta? a. Jacinta mide como mínimo 169 cm b. Jacinta mide 169 cm c. Jacinta mide como máximo 169 cm d. Jacinta mide entre 165 y 169 cm e. Jacinta mide menos de 165 cm 142 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 142 2/11/11 17:12:01 a. ]−•, −1] b. [ −1,•[ d. R e. ∆ −11 ≥ 0 es: x2 + 1 c. [ −1, 1] 8. El intervalo [ −7, 3] es solución de la(s) siguiente(s) inecuación(es): I. x + 2 ≤ 5 a. Solo I d. Solo I y III b. Solo II e. Solo II y III c. Solo III 4 2x − 3 > 5 tiene por 9. El sistema solución: (x − 3)( ) ( x + 6)< 0 a. ]−6,•[ 19 b. −6, 10 19 c. ,3 10 d. ]3,•[ e. ∆ 10. Andrés es un buen atleta, entrena todos los días y siempre lleva una estadística de los kilómetros que corre. Si a lo que corrió ayer le suma 2 km, entonces no alcanza los 20 km. Por otro lado, si al doble de lo que corrió ayer le resta 1 km, entonces al menos corrió 15 km ¿Cuántos kilómetros corrió? a. Más de 18 b. Menos de 8 c. Entre 8 y 18 d. Menos de 18, pero 8 o más e. Menos de 16 Esta pauta puede aplicarse para obtener el porcentaje de logro, transformarlo a calificación y también para evaluar cada ítem pedido. Puede parcelar la evaluación como trabajo individual en varias clases y luego promediar la calificación o los porcentajes de logros obtenidos. Complete la tabla adjunta: Puntaje obtenido Indicador II. x − 2 ≤ −5 2 III. 21 − x − 4 x ≥ 0 Pauta de evaluación sugerida para evaluación 1 y 2 Puntaje total Número de respuestas correctas obtenidas en el ítem I (verdadero y falso o completación). Asigne 1 punto a cada una. Número de ejercicios correctamente desarrollados en ítem II (desigualdades. Asigne 2 puntos a cada una). Número de ejercicios correctamente desarrollados en ítem III (inecuaciones simples. Asigne 3 puntos a cada uno). Número de ejercicios desarrollados correctamente en el ítem IV (intervalos. Asigne 2 puntos a cada uno). Número de ejercicios correctamente desarrollados en el ítem V (inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Asigne 2 puntos a cada uno). 10 10 20 20 20 Número de problemas correctamente desarrollados (Asigne 2 o 3 puntos a cada uno, dependiendo de la evaluación). 6 Número de alternativas correctas en ítem VII (asigne 1 punto a cada una). 10 Total UNID AD 3 7. La solución de la inecuación 96 Para traducir a porcentaje de logro el puntaje obtenido, use la siguiente fórmula: Porcentaje = Puntaje obtenido ⋅ 100 96 Para traducir el porcentaje obtenido a nota, puede usar las tablas de esta guía didáctica. 143 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 143 2/11/11 17:12:04 Solucionario de la Unidad la unión coincide con [ −12, −1], es decir, [ −12, x ] = [ −12, −1]. Por igualdad de conjuntos se tiene que x es –1. Actividades de refuerzo I. 1. V 3. F 5. F 7. F 9. V 2. V 4. V 6. F 8. F 10.V II. 1. a. n ≤ 4 b. 30 °C < TM < 40 °C 5. ]−• , −5] ∪ ]5, •[ c. − 31 ≤ n < 0 d. 7 200 m < M100 £8 848 m b b b b < < c < b; a < < c < < b; 3 2 3 2 b b a < < = c < b. La ley de la tricotomía y 3 2 la propiedad de la transitividad. 2. a. a < b. Sí. R − 3. a. −2 ab £ 2 ab £ a + b b. a > b / ⋅2 2 2 2a > 2b como − 5 > − 6, sumando se tiene que 2a −5 > 2 b −6 c. ( a + b ) ≥ 0 2 a2 + 2 ab + b2 ≥ 0 d. 2 a>b + b>c a+b>b+c a>c / −b ml < v ≤ 320 ml III.1. 00 ml ml 2. A lo más, con $2500 3. De dos a veintitrés 4. A lo más 21 0 ml 0<ml v ≤<320 ml 0ml 0<ml v ≤<320 ml ml 5. 36,6 av ≤ 320 37,4 yml 49,1 1v ≤ 320 49,9 IV.1. [ −4, 3[ ; ]3, 5] ; ]3, 9] [ −12, −2.7] 0,5 ; 2,5 [ −12, −7] 144 3. La intersección contiene solo a –7. Esto garantiza que el extremo derecho desconocido (x) no pertenezca a. [ −12, −7] Por tanto, la unión es [ −12, x ] o [ −12, x [. Además, por la información en el enunciado, U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 144 6. [ −12, −7] 7. [3, 6] y [11, 12] , la unión de dos intervalos cerrados y disjuntos. , −7] –2,5 ; –0,5 [ −12, −7] [ −128. 9. HORA (t: Tiempo) NIVEL DE GLUCOSA NORMAL (x) (mg/dl) Antes del desayuno. Antes de la comida y de la cena. 1 hora después de las comidas. 2 horas después de las comidas. Madrugada 3,5]. ] [70,105 [70,105 10. a. $550 ≤ d ≤ $600 [70,105] [70,110] x < 160 x < 120 x > 70 b. [Enero 09 − Marzo 09] c. [Enero 09 − Septiembre 09] a + b ≥ − 2 ab 2 4. ( −•, −4 ) y (3,• ) 315 V. 1. −∞ , 176 2. ]−• , −13[ ∪ ]3, •[ 5 8 3. , 3 3 1 4. −∞ , 3 5. ]−2, −1[ 6. ]0, 1] ∪ [2, 3[ 2 6 7. C s = , 4 ∪ −• , − ∪ ]4, •[ 17 19 27 8. −•, 13 9. [0 ; 6, 6[ 10. [1, 2] ∪ ]4, 5[ 2/11/11 17:12:15 y 35 VI.1.Nota 6,8 Nota55>>5,13 5,13 2. 10 m £ d £ 10 3 2 m 30 3. [20, 30] 25 5. 38 u ≤ Nº DVD dvd extraviados ≤ 40 u 15 VII.1. d 3. a 5. a 7. a 9. b 2. d 4. a 6. b 8. d 10.b Ficha de refuerzo 10 5 –35 –30–25–20–15–10 –5 0 –5 –10 –15 I. 1. M > J –20 2. [ −7, 9[ 3. ]3,•[ 4. [ −7, 8] –25 b. No tiene solución 15 5. 6, 2 9 II. 1. −∞ , − 4 2. ]−6, −2[ 3. ]−• , −2[ ∪ ]0, •[ 4. ]−•, −3[ III.1. [ 400, 611[ 2. [112, 134[ Actividades de profundización 1. Que la parábola asociada a la función cuadrática no corta al eje x; por lo tanto, no hay valores de imágenes negativas. 2. Se grafica la función valor absoluto asociada y se determinan los valores de las imágenes que cumplan con la desigualdad planteada. Es análogo a lo hecho con las inecuaciones cuadráticas. 3. Sí, pero solo las de la forma ax + b ≤ c o ax + b < c 4. a. ]−• , −2[ ∪ ]3, •[ 5 10 15 20 25 x UNID AD 3 20 4. ]−•, −1[ y 4 3 2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –10 –1 –2 –3 1 2 3 4 5 6 7 8 x 11 5. a. , ∞ 3 3 b. , ∞ 4 6. a. ]−•, 0[ ∪ ]1, 2[ 1 5 b. [ −8, −4] ∪ − , ∪ ]5,•[ 3 2 Evaluación 1 I. 1. V 3. V 5. F 7. F 9. V 2. F 4. V 6. V 8. V 10.V II. 1. a. t LC ≤ 15 b. 1,66 < h < 1,70 c. −5 ≤ x < −0,5 d. 10 000 ≤ p < 11 036 1 1 1 > > y −a > −b > −c a b c + b. ∀a ∈R 2. a. c. Porque se está comparando un número con su inverso. 145 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 145 2/11/11 17:12:20 3. a. a < b < c /+b a+b<2b< b+c a+b b+c <b< 2 2 a+b b+c < 2 2 1 6. , ∞ 4 7. 5 , 2 ∪ ]2, 3] 3 / :2 8. [ −2, 0] ∪ [3,•[ 9. ∆ 10. ∆ b. ( a − 2b ) ≥ 0 2 a2 − 4ab + 4b2 ≥0 / −4ab a2 + 4b2 ≥4ab c. No, solo es cierto si n £ 1 + 2 ( III.1. [0 ; 9, 5[ ) 2. a. Timoteo tiene más de 22 años, Clodoveo tiene a lo más 22 años b. Los que tienen a lo más 22 años 3. Al menos 141 puntos 4. Entre 177393 y 186096 km2 5. Hasta 61 caballos IV.1. a. [do,fa ]: do, re, mi, fa [ mi,si]: mi, fa, sol, la, si b. do, re, mi, fa, sol, la, si do, re, mi, fa sol, la −8 2. por ejemplo: −10, y [0,•[ 5 3. ]−10 ; −2, 5[ 4. ]−1, 5 ;3, 5[ 5. ]5, 6] ∪ [9, 10[ 6. ∆, pues todos los elementos del 1º intervalo están contenidos en el 2º. 7. ]−• , −4[ ∪ ]−1, −3[ ∪ ]5, •[ 8. ]−• , −2] ∪ [ −1, 5 ; 0, 5] ∪ [6, 5 ; •[ 9. Nivel Colesterol Deseable Límite alto Alto 10. a. [17, 40] b. [ mayo, agosto] 200 ≤ c ≤ 239 c. [abril, diciembre] V. 1. x ≤ 3 2. x < 4 3. x > 6 146 4. ]−•,0[ 5. ]−•, −3] ∪ ]0, 12] U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 146 c < 200 c ≥ 240 3 4 2. Más de 75 y menos de 85 3. Entre 39 y 42 VI.1. x ≥ − VII.1. c 3. a 5. c 7. a 9. b 2. a 4. c 6. b 8. d 10.b Evaluación 2 I. 1. Una expresión matemática que indica que dos cantidades son distintas. 2. Conserva 3. Es un subconjunto de números reales. 4. ( n,• ) 5. Menores que –6,5, unidos a aquellos mayores o iguales a 16,5 6. Inecuación 12 13 12 13 7. x − 3,7 < − ; x − 3,7 > . Unir 5 17 5 17 8. –4 9. No tiene solución. 10. x > 42 x 1 − <0 2 4 II. 1. a. Precio del celular< $135990. b. F nuclear fuerte > F elecromagnética > F nuclear débil > F gravitacional c. Nº estados de Brasil sin luz < 23 d. –1,20 < IPC < 1,00. 2. a. y − a > − b > − c b. Si 0 < p < 1 y 1 < q , entonces, p < q 1 1 <q o ≥q p p ⇒ 1 < pq o 1 ≥ pq Según el enunciado se debe cumplir la primera afirmación, 1 Por lo tanto, < q p De aquí, 2/11/11 17:12:28 IV. 1. En ( 2, 5 ;3, 3) o (1, 5 ;3, 3) 2. Si el universo es [ −2, 3] y como intervalo abierto a ]−1, 1[ , entonces su complemento es cerrado. 3. Como mínimo 71 años y máximo 79. / ⋅b b < ab < b como, 1 < b y b < ab entonces, 1 < ab 2 4. [0, 4] 5. Se obtiene el universo 6. El intervalo (0,3), pero formado solo por racionales. 7. [ −3, 5 ; 8] 8. [ −4; −3, 5[ 9. Con las aproximaciones correspondientes, 3, 8 ≤ promedio ≤ 4, 0 d. ( 2 n − 1) ( n + 1) ≥ 0 2 n2 + 2 n − n − 1 ≥ 0 2 n2 + n − 1 ≥ 0 2 n2 + n ≥ 1 2 1 e. 3x − ≥ 0 3x 1 1 9 x 2 − 2 ⋅ 3x ⋅ + 2 ≥ 0 3x 9 x 1 9x 2 − 2 + 2 ≥ 0 9x 1 9x 2 + 2 ≥ 2 9x 10. Magnitud en Efectos del terremoto Escala Richter ]0 ;3,5[ [3,5 ;5,4] [5,5 ;6,0 ] f. Es demostración x 1 2+ 1 x 3 4 5 10 16 25 100 900 10000 1000000 10000000 A medida que crece x, el valor de 2 + tiende a 2. III. 1. Menos de 26 2. 3. 4. 5. [6,1 ;6,9] >2 2 10000000000 UNID AD 3 c. 1 < a < b 3,00000 2,70711 2,57735 2,50000 2,44721 2,31623 2,25000 2,20000 2,10000 2,03333 2,01000 2,00100 2,00032 2,00001 1 x En 1963, menos de 150; En 1964, más de 450. 10 + x ≥ 15. Al menos 5 apoderados más. Más de 9 pero menos de 14. a. Más de veinte, pero menos de treinta. b. De uno a nueve posibles. [7,0 ;7,9] [8,0 ;10] Generalmente, la gente no lo siente, pero queda registrado. A menudo se siente, pero solo causa daños menores. Ocasiona daños ligeros a edificios. Puede ocasionar daños severos en áreas muy pobladas. Terremoto mayor. Causa de graves daños. Gran terremoto. Destrucción total en comunidades cercanas. 5 V. 1. −•, − 3 2 2. − ,• 5 4 3. −•, 7 4. ∆ 5. ( −• , −3) ∪ ( 2, • ) 1 6. ]−• , 0[ ∪ 0, ∪ ]1, •[ 3 1 2 2 7 7. , ∪ , 27 9 9 9 8. [0, 3] ∪ [7, •[ 9. [2, 5;•[ 10. ( −•, −7 ) ∪ ( −3, −1 ) VI. 1. x + 41 > 2012 . En 1972. 2. a. Flaco: menos de $850, el otro: menos de $750 b. Como máximo, $1 590 VII.1. b 2. a 3. a 4. d 5. b 6. c 7. e 8. d 9. c 10.d 147 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 147 2/11/11 17:12:36 Bibliografía y detalle de links de la unidad Conocimientos previos Puede consultar los siguientes links de profundización referidos a este tema: http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/conjuntos.htm. Aquí hay un desarrollo de Teoría de Conjuntos, ejercicios con respuestas y un test de alternativas a modo de autoevaluación. La página es un aula virtual de Matemática de INITEC- UNI. El Instituto Nacional de Investigación y Capacitación de Telecomunicaciones de Universidad Nacional de Ingeniería. Perú http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/ conjuntos.html Muestra, la teoría, desarrollo de conceptos y Ejercicios. Página de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Antioquia, Colombia. ¿Tendrán propiedades las desigualdades? Si usted quiere profundizar en este tema, lo puede hacer en el siguiente sitio Web: http://www.dim.uchile.cl/~docencia/calculo/material/ presentacion_semana/Semana02_print.pdf Página que pertenece al departamento de Ingeniería Matemática de la Universidad de Chile. Presenta fichas, además, de parte de la presente unidad, en un documento pdf, descargable e imprimible. ¿Para qué se usan las propiedades de las desigualdades? Cauchy-Schwarz). Pertenece a la Asociación Venezolana de Competencias Matemáticas. Se propone además: http://valle.fciencias.unam. mx/~rocio/desigualdades1/desig4.html en lugar de alguna de las anteriores, por ser más sencilla ¿Para qué sirven los intervalos? Se sugiere utilizar fuentes como el Instituto Nacional de Estadísticas (INE), Demre, estadísticas del Ministerio de Salud, etc. Algunos de estos sitios son: http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/home.php. Este portal presenta vasta información de la realidad nacional en diversos aspectos; por ejemplos demográficos, económicos, etc. Proporciona datos y representaciones gráficas confiables, con desarrollo interpretativo, en formato pdf, descargables e imprimibles. Además hay links: internos, sugeridos y externos. http://www.demre.cl/estadisticas.htm Aquí hay datos tabulados sobre resultados de PSU en varios aspectos. Por ejemplo, tipo de establecimiento, sexo, año de promoción, etc. En algunos casos se acompaña con explicaciones. Presenta documentos Excel, pdf, descargables e imprimibles, etc. DEMRE. Universidad de Chile. http:// deis.minsal.cl/index.asp. Portal que presenta acceso a datos tabulados y gráficos de Estadística e Información de Salud a nivel nacional. Departamento de Estadísticas e Información de Salud. Ministerio de Salud. En Actividades de refuerzo Otras demostraciones en las que se aplican las propiedades de las desigualdades en demostraciones de proposiciones matemáticas las puede encontrar en: En ejercicio 9 se cita como fuente http://carolareznor. iespana.es/3.html, página dedicada a la descripción, http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/web-topologia/ desigualdades.htm En ejercicio 10 se cita como fuente http://sitios.cl/. Finance. Portal de variados links como Bancos, Organismos Gubernamentales, Indicadores, Información Económica, etc. En esta dirección puede encontrar algunas demostraciones como la desigualdad triangular. Universidad de los Andes, Venezuela. En http://www.acm.org.ve/desigual.pdf se proporciona un documento en formato pdf descargable e imprimible, donde se demuestran algunas desigualdades conocidas. Por ejemplo: la establecida entre media aritmética y la media geométrica, como otras de mayor complejidad. (Desigualdad de tipos, cuidado de la diabetes con links a sitios de interés como: Fundación de Diabetes Juvenil de Chile, etc. En Información Complementaria para el docente Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita. http://www.sectormatematica.cl/contenidos/sisinec1.htm 148 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 148 2/11/11 17:12:36 Usted puede visitar el siguiente enlace para optimizar este recurso evaluativo: Evaluación 1 http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/ VerContenido.aspx?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a0286a13e6329d3f&ID=137573 Ejercicio 9: El médico del consultorio donde.......... Tabula la información mencionada acerca del colesterol total. http://www.geosalud.com/Nutricion/colesterol.htm Dedicado a la salud de Centroamérica y los países del Caribe de habla hispana. Presenta algunas tablas de interés con y para el uso de desigualdades. UNID AD 3 Que es un portal de la educación donde Ud puede conseguir varias indicaciones prácticas destinadas a la Coevaluación y autoevaluación citando la fuente de procedencia. El material está además en pdf descargable e imprimible. Tiene además links de interés para docentes, estudiantes y familia, no solo en matemática, sino también para las otras asignaturas o áreas del quehacer educativo. IV.Resuelve los siguientes ejercicios Bibliografía temática • Elbridge, V. (1965). Álgebra y Trigonometría Modernas. Massachusetts-Palo Alto -London: Addison Wesley PubIishing Company, Inc. 2ª ed. • Masjuán, G.; Arenas, F. y Villanueva, F. (2008). Álgebra clásica. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 1ª ed. • Sobel, M.y Lerner, N. (2006). Precálculo. México D.F.: Pearson Educación Prentice Hall. 6ª ed. • Swokowsky, E. y Cole, J. (2008). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. México DF.: Thomson Editores. 11ª ed. • Mercado, C. (1981). Test Matemática: problemas para PAA y Prueba de conocimientos específicos. Santiago: Editorial Universitaria. 16ª edición. • Tapia, O.; Ormazábal, M.; Olivares, J. y López, D. (2009). Manual de preparación para PSU matemática. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 9ª ed. • Riera, G. (1998). Matemática aplicada, texto para profesores 2º medio Mineduc. Santiago: Editorial Zig –Zag. • Tapia, O. y Ormazábal, M. (2008). Cuaderno de ejercicios PSU matemática. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 5ª ed. Sitios Web sugeridos Otros sitios que puedes visitar en relación con esta unidad. •Vuelva a repasar y ejercitar ecuaciones e inecuaciones en el siguiente enlace: http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec2/ cap2.html. Se recuerdan conceptos e incluye ejercicios resueltos. El material es de la Universidad Interamericana de Puerto Rico. •Este link lo llevará a una página de Educarchile que contiene una selección de links a sitios web que abordan el tema de esta unidad. La mayoría incluye ejercicios resueltos y/o propuestos. http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/ VerContenido.aspx?&ID=136020&q=inecuaciones&site =educarchile •Para repasar los temas de Intervalos e inecuaciones lineales, le recomendamos el siguiente sitio web, que contiene una ficha temática: http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/ VerContenido.aspx?GUID=123.456.789.000&ID=133249 149 U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 149 2/11/11 17:12:36 Unidad 4 Algo más sobre triángulos rectángulos Presentación de la Unidad El desarrollo de la geometría ha sido parte fundamental del progreso del hombre y de la humanidad. No es posible entender lo que nos rodea sin mirar a través del prisma de la geometría. Sin duda, así también lo entendieron los grandes matemáticos en la Antigüedad. La geometría ha estado asociada a la perfección, la belleza, las artes, etc. En esta unidad se abordarán dos temas de singular importancia: el teorema de Euclides y el teorema de Fermat, ellos en relación al triángulo rectángulo, y el teorema de Pitágoras y los tríos pitagóricos. El estudio de esta unidad se realizará desde el desarrollo formal de los conceptos geométricos y la aplicación a la vida cotidiana de los alumnos y alumnas. Es fundamental mostrar a los estudiantes la importancia del trabajo geométrico de los matemáticos a través de la historia. La introducción pretende dar una idea de este hecho y poder situar a los alumnos y alumnas en el contexto en el que fueron trabajados los conceptos que estudiará. Recuerde que contextualizar los contenidos en el momento en el que se trabajaron ayuda a sus estudiantes a comprender mejor los procesos lógicos empleados. Puede revisar las siguientes páginas web para más información: http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Loponte/ProyFinalLoponte/proyectofinal/historia.htm http://www-ma1.upc.es/recerca/reportsre/0304/rep030402massa.pdf http://www.publicatuslibros.com/fileadmin/Biblioteca/Libros/Tecnicos/Francisco_Luis_Flores_Gil_-_ Historia_y_Didactica_de__la_Trigonometria.pdf La revisión de conocimientos previos es fundamental al momento de abordar la unidad. Debido a los temas tratados en ella, se abordará como conocimiento previo el concepto de razón. Si bien, este término se ha trabajado en años anteriores, no se vuelve a retomar desde I medio. Es importante que los alumnos y alumnas tengan claridad en algunos aspectos de las razones como: - El valor de una razón no necesariamente representa las cantidades reales involucradas en una situación particular. - Una razón no depende de las unidades en las que las cantidades involucradas son medidas. Esto es de suma importancia para establecer el valor de las razones trigonométricas. Se sugiere también que, según el manejo que sus estudiantes tengan en este tema, se aborde también el concepto de proporción. 150 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 150 2/11/11 17:20:38 El mapa conceptual de los conceptos abordados en esta unidad es el siguiente: TEOREMAS: • Teorema de Pitágoras • Teorema de Euclides TRIGONOMETRÍA: • Relación entre ángulos y lados en un triángulo rectángulo APLICACIONES: • Resolución de problemas de la vida diaria • Tríos pitagóricos, teorema de Fermat y otros UNID AD 4 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Objetivos y planificación Antes de comenzar el desarrollo de los temas de la unidad se deben tener claros los objetivos y la planificación de ella. Presentamos aquí los objetivos que deba alcanzar los alumnos a través de la unidad y una propuesta para su planificación. Objetivos fundamentales de la unidad •Conocer y utilizar conceptos matemáticos de nociones de trigonometría en el triángulo rectángulo, mejorando en rigor y precisión la capacidad de análisis, de formulación, de verificación o refutación de conjeturas. •Aplicar los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas y en el análisis de situaciones concretas. •Resolver desafíos con grado de dificultad creciente, valorando sus propias capacidades. •Percibir la matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos. 151 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 151 2/11/11 17:20:39 Planificación de la Unidad Unidad 4 “Algo más sobre triángulos rectángulos” CMO Tiempo de duración Aprendizajes esperados 24 horas pedagógicas. Indicadores de evaluación Teorema de Euclides. Reconocer el teorema de Euclides como relaciones que se establecen en un triángulo rectángulo a partir de las semejanzas de triángulos existentes. Reconoce cuándo se debe ocupar el teorema de Euclides. Aplica correctamente el teorema de Euclides en la resolución de ejercicios y problemas. Teorema de Pitágoras. Demostrar el teorema de Pitágoras a partir del teorema de Euclides Utilizar correctamente el teorema de Pitágoras en la resolución de ejercicios. Demuestra el teorema de Pitágoras, utilizando el teorema de Euclides. Usa correctamente el teorema de Pitágoras en la resolución de ejercicios y problemas. Tríos pitagóricos. Distinguir tríos de números que cumplan la condición de ser tríos pitagóricos. Generar tríos pitagóricos utilizando fórmulas. Identifica tríos de números pitagóricos. Genera tríos de números pitagóricos utilizando las fórmulas dadas. Teorema de Fermat. Reconocer el teorema de Fermat y mostrar su validez. Reconoce el teorema de Fermat. Muestra el teorema de Fermat y lo relaciona con los tríos pitagóricos. Razones trigonométricas seno, coseno y tangente en el triángulo rectángulo. Definir razones trigonométricas. Calcular las razones trigonométricas de ángulos de 30º, 45º y 60º. Definen las razones trigonométricas seno, coseno, tangente para ángulos de 30º, 45º y 60º. Aplicación de las razones trigonométricas a problemas de medición de la vida diaria. Aplicar las razones trigonométricas a la resolución de ejercicios de cálculo de medidas y problemas de planteo. Aplican correctamente las razones trigonométricas en el cálculo de distancias y problemas. Razones trigonométricas cosecante, secante y cotangente. Definir las razones trigonométricas secante, cosecante y cotangente a partir de las definidas anteriormente. Definen las razones trigonométricas cosecante, secante y cotangente. Calculan valores para secante, cosecante y cotangente de ángulos notables. Identidades trigonométricas. Definir el concepto de identidades trigonométricas. Demostrar identidades trigonométricas. Establecen relaciones trigonométricas fundamentales. Demuestran razones trigonométricas simples. Funciones trigonométricas. Establecer las relaciones de seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente de un ángulo como una función. Determinar, gráficamente, dominio y recorrido de ellas. Extienden el concepto de razón trigonométrica al concepto de función trigonométrica. Determinan, utilizando los gráficos correspondientes, el dominio y recorrido de las funciones trigonométricas. 152 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 152 2/11/11 17:20:39 Desarrollo de la Unidad Como ya se ha abordado con anterioridad, se debe contextualizar la unidad, generando la necesidad de abordar los temas que se tratarán. Algunas sugerencias de estos contextos son las siguientes: •Se está construyendo un edificio. En la entrada se necesita hacer una rampa para la entrada de personas discapacitadas, para la cual se cuenta con solo 1 metro de vereda. ¿Qué inclinación tendrá la rampa?, ¿de qué depende esta inclinación?, ¿será de fácil acceso?, ¿existe alguna normativa sobre las rampas de acceso para discapacitados? Note que es conveniente recalcar que debe establecerse aquí una relación entre lados y ángulos en un triángulo, la que nunca se ha establecido antes. Las relaciones vistas para triángulos en años anteriores hacen alusión solo a ángulos o solo a lados. •Al mirar el teorema de Pitágoras de manera algebraica, es decir, como la relación que se puede establecer entre un trío de números, aparece la pregunta: ¿Se podrá establecer una relación similar para otros exponentes distintos de 2? De esta manera surge el teorema de Fermat. Es bueno hacer énfasis en que, independiente de si la demostración es sencilla o muy compleja, el hecho de cuestionarse y ser inquieto intelectualmente sobre lo que nos rodea ha permitido los avances no solo en el terreno de la matemática, sino en todas las áreas de la humanidad. Invite a sus alumnos y alumnas a preguntarse, a reflexionar, a no conformarse con lo que se vislumbra obvio a primera vista, a plantear teorías y mostrarlas o demostrarlas. UNID AD 4 a)Introduciendo la unidad b)Preparando cada tema A continuación se entregan algunas sugerencias metodológicas para tratar cada uno de los conceptos y ejercicios abordados en el Libro del Estudiante. También se hacen notar algunas consideraciones y sutilezas conceptuales para que el docente tenga presente. Por último, al iniciar la preparación de cada tema se presenta un cuadro con los OFT tratados y las capacidades trabajadas según los mapas de progreso. Euclides, Pitágoras y sus teoremas (Página 222 del Texto del Estudiante) OFT Mapas de Progreso Se trabajan los siguientes: Las capacidades trabajadas referentes al eje geometría son (en niveles 6 y 7): • Interés por conocer la • Relaciona la representación gráfica de rectas en el plano cartesiano y los sistemas de realidad a través de la matemática. • Análisis de procesos y establecimiento de relaciones lógicas. • Resolución de problemas que desarrollen el pensamiento lógico – deductivo. • Discernimiento de resultados en situaciones cotidianas. • Uso de herramientas tecnológicas (calculadora). • Trabajo grupal. ecuaciones a que dan origen. • Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de ecuaciones lineales, utilizando métodos analíticos y gráficos. • Resuelve problemas geométricos estableciendo relaciones entre conceptos, técnicas y procedimientos de distintas áreas de la matemática. • Selecciona entre varios procedimientos para resolver problemas en diferentes contextos geométricos, acorde a las características del problema. Las capacidades trabajadas referentes al eje álgebra son (en nivel 6 y 7): • Resuelve problemas que pueden ser modelados por medio de las funciones potencia y cuadrática. • Elabora estrategias de resolución, las desarrolla y justifica usando lenguaje algebraico. • Muestra autonomía y flexibilidad en la transformación de expresiones simbólicas escribiendo, reconociendo y eligiendo formas equivalentes de distintas representaciones algebraicas. 153 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 153 2/11/11 17:20:39 Se propone a través del desarrollo de esta sección abordar el teorema de Euclides como consecuencia lógica de relaciones de semejanza de triángulos en un triángulo rectángulo en el que se ha trazado la altura correspondiente a la hipotenusa. Note que se deduce directamente con solo establecer las proporciones correspondientes. Otra demostración del Teorema de Euclides que usa conocimientos de geometría analítica que los alumnos ya manejan es: En la figura se han dibujado las rectas perpendiculares en azul determinando el triángulo ABC con el eje x. El trazo rojo es una altura. y=− 1 x +n m F mx y =m C E x A D B Nuestra tarea es demostrar que: 2 2 2 a. CD = AD ⋅ DB b. AC = AB ⋅ AD c.BC = AB ⋅ DB Previo, se determinarán las coordenadas de los vértices de los triángulos Las coordenadas de A son ( 0, 0) Determinación de las coordenadas de B. 1 x +n m haciendo y = 0 tenemos 1 Por lo tanto: B ( mn,0 ) x =n m x = mn y=− Determinación de las coordenadas de C. Para ellos se determina el punto de intersección de ambas rectas. y = mx 1 x +n m y = mx 1 y = − x +n m y=− 1 x +n m m2 x = − x + mn mx = − x + m2 x = mn (1 + m ) x = mn 2 x= 154 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 154 mn 1 + m2 / ⋅m y = mx 2 mn Por lo tanto: C mn , m n 2 2 1 + m2 1+m 1+m m2n y= 1 + m2 y = m⋅ 2/11/11 17:20:44 Ahora bien, iniciamos la demostración: 2 a. CD = AD ⋅ DB La medida de CD es de DB es m3n 1 + m2 m2n mn ; la medida de AD es y la medida 2 1+m 1 + m2 2 UNID AD 4 m2n mn m3n Esto es : = ⋅ 2 2 2 1+m 1+m 1+m mn m3n ⋅ 1 + m2 1 + m2 m4n2 = 2 1 + m2 ( = ) ( m n) 2 2 (1 + m ) 2 2 2 m2n = 2 1+m Es importante que los estudiantes sean capaces de verbalizar lo que el teorema dice en forma matemática. Un buen ejercicios es que algunos alumnos y alumnas redacten con sus propias palabras el enunciado de este y otros teoremas. Haga notar que a través del teorema de Euclides se pueden demostrar otros teoremas o relaciones para un triángulo rectángulo. Uno de los abordados en esta sección es: Si ABC, rectángulo en C y la altura trazada con respecto a la base, como muestra la figura, entonces siempre se cumple que: C b q A a h p D c B Por otro lado, queremos referirnos aquí a algunos tipos de ejercicios que requieren un mayor nivel de desarrollo algebraico para considerarlo en las clases: 1. Dado el ABC de la figura, calcule el valor de x. C x A 3 D 12 B 155 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 155 2/11/11 17:20:48 Para resolver este ejercicio debemos utilizar uno de los segmentos que no están especificados en el dibujo y plantear lo siguiente: DB = pfi122 = p (3 + p ) fi144 = 3 p + p2 / −144 p2 + 3 p − 144 = 0 p= p= −3 ± 9 + 576 2 −3 ± 3 65 2 Esto implica dos resultados de p (que se pueden encontrar haciendo uso de la calculadora) fipª10, 59 o pª − 13, 59, pero el valor negativo no es solución en este problema, pues p representa una trazo y su medida no puede ser negativa (recuerde poner énfasis en estas consideraciones con los estudiantes, para que luego ellos también las puedan hacer) Por otro lado, también por Euclides, se tiene que x2 = 3 p x2 = 3 10,59 x2 = 3 31,77 / x ≈ 5,63 Así, x mide, aproximadamente, 5,63. 2. En el triángulo ABC, calcular a en función de b y h. C a b h A D B Por Pitágoras, se tiene que 2 AB = a2 + b2 AB = a2 + b2 / Por Euclides, tenemos que si llamamos AD = x ∧ DB = y : b2 = a2 + b2 ⋅ x ∧ h2 = x ⋅ y Despejando x de la primera ecuación y reemplazándola en la segunda, se tiene que: b2 h2 = ⋅y a2 + b2 fiy = 156 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 156 h2 ⋅ a2 + b2 b2 2/11/11 17:20:51 Por último, usando el teorema de Pitágoras nuevamente, en el triángulo DBC tenemos que: h + 2 ( h4 a2 + b2 b 4 ) =a 2 h2b4 + h4a2 + h4 b2 = a2b4 / ⋅b4 h2b4 + h4 b2 = a2b4 − h4a2 ( ) ( ( ) =a h2b2 b2 + h2 = a2 b4 − h4 h2b2 b2 + h2 (b 4 ) −h 4 hb b2 + h2 b4 − h4 a= hb (b 2 2 =a )( UNID AD 4 h2 + y 2 = a2 ) / / racionalizando + h2 b4 − h4 b4 − h4 ) = hb b2 − h2 b2 − h2 Teorema de Pitágoras y teorema de Fermat (Página 236 del Texto del Estudiante) OFT Mapas de Progreso Se trabajan los siguientes: • Interés por conocer la realidad a través de la matemática. • Interés por demostrar regularidades conocidas. Valoración de las demostraciones lógicas. • Análisis de procesos y establecimiento de relaciones lógicas. • Resolución de problemas que desarrollen el pensamiento lógico – deductivo. • Uso de herramientas tecnológicas (calculadora, Excel). • Trabajo grupal. Las capacidades trabajadas referentes al eje geometría son (en niveles 6 y 7): • Relaciona la representación gráfica de rectas en el plano cartesiano y los sistemas de ecuaciones a que dan origen. • Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de ecuaciones lineales, utilizando métodos analíticos y gráficos. • Resuelve problemas geométricos estableciendo relaciones entre conceptos, técnicas y procedimientos de distintas áreas de la matemática. • Selecciona entre varios procedimientos para resolver problemas en diferentes contextos geométricos, acorde a las características del problema. Las capacidades trabajadas referentes al eje álgebra son (en nivel 6 y 7): • Resuelve problemas que pueden ser modelados por medio de las funciones potencia y cuadrática. • Elabora estrategias de resolución, las desarrolla y justifica usando lenguaje algebraico. • Muestra autonomía y flexibilidad en la transformación de expresiones simbólicas escribiendo, reconociendo y eligiendo formas equivalentes de distintas representaciones algebraicas. En esta sección se presenta, en primer lugar, la demostración del teorema de Pitágoras, utilizando el teorema de Euclides. El objetivo es señalar a los estudiantes la necesidad de demostrar algunos teoremas o regularidades matemáticas conocidos. Es importante que los alumnos y alumnas se acerquen a una matemática formal. Esta es una demostración sencilla y puede ayudar a los estudiantes a aproximarse de manera paulatina a las demostraciones formales. Otras demostraciones interesantes del teorema de Pitágoras son las dadas a continuación: 157 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 157 2/11/11 17:20:51 a. Demostración dada por Euclides en su libro Los Elementos: F E G A D B J C I K H •Los triángulos DCB y ABI son iguales, ya que AB = BD, BI = BC y el ángulo B del triángulo DCB es igual al ángulo B del triángulo ABI. •El área del cuadrado ABDE es el doble del área del triángulo DCB, ya que tienen la misma base y están situados entre las mismas paralelas. •El área del rectángulo BIKJ es el doble del área del triángulo ABI, ya que tienen la misma base y están situados entre las mismas paralelas. Combinando los tres resultados anteriores, resulta que el área del rectángulo BIKJ es igual al área del cuadrado ABDE. Razonando de forma análoga se demuestra que el área del rectángulo CHKJ es igual al área del cuadrado ACGF. Luego, ya que el área del cuadrado BIHC es igual a la suma de las áreas de los rectángulos BIKJ y CHKJ, el área del cuadrado cuyo lado subtiende el ángulo recto BIHC es igual a la suma de las áreas de los cuadrados ABDE y ACGF, cuyos lados comprenden el ángulo recto. Puede encontrar esta demostración y otras explicaciones en los siguientes sitios: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~14700626/spip/spip.php?article20 http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/AsiLoHicieron/Euclides2/Euclides1.asp b. Demostración intuitiva del teorema de Pitágoras: 1 Se comienza construyendo un triángulo rectángulo R cuya área es ab. 2 A continuación se traza un cuadrado como se muestra en el dibujo adjunto. 2 El lado del cuadrado así obtenido es ( a + b ) y su área ( a + b ) . Dicho cuadrado consta de cuatro triángulos rectángulos cuya área es 1 4 ab = 2 ab 2 b c c a a+b . Puede consultar estas y otras demostraciones en el sitio: http://www.arrakis.es/~mcj/teorema.htm a+b y un cuadrado interior de lado c y área c2. Igualando ambas áreas 2 tendremos: ( a + b ) = c 2 + 2 ab, de donde a2 + b2 = c2 158 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 158 2/11/11 17:20:53 Unido al teorema de Pitágoras surgen los tríos pitagóricos: trío de números que pueden ser los catetos e hipotenusa de un triángulo rectángulo y que, por lo tanto, cumplen con el teorema de Pitágoras. Se muestran aquí dos fórmulas para generar los tríos pitagóricos. Estas son: b. a = 2 n + 1, b = 2 n ( n + 1) y c = 2 n ( n + 1) + 1, donde n es un número natural Es importante dejar claro que todos los múltiplos de un trío también formarán un trío pitagórico. Se realiza también la demostración de estas fórmulas, partiendo del hecho de que si satisfacen el teorema de Pitágoras se llegará a una igualdad. Se presentan también dos hojas Excel donde puede insertar estas fórmulas y generar tríos pitagóricos. Además, en el siguiente sitio web puede encontrar generadores automáticos de tríos pitagóricos: http://www.sectormatematica.cl/excel/Teorema%20de%20Pitagoras.xls UNID AD 4 a. a = x 2 − y 2 , b = 2 xy , c = x 2 + y 2, con n: número natural El teorema de Fermat se inserta en esta sección asociado a los tríos pitagóricos. Al señalar: “No existe un trío de números enteros a, b y c (con a, b y c distintos de 0) que cumplan la igualdad an + bn = cn, si n > 2”, se está diciendo que solo se pueden hallar los llamados tríos pitagóricos. Es importante contextualizar la aparición del teorema de Fermat y lo difícil que fue su demostración y hacer notar que lo que se presenta en esta guía es solo una manera de mostrar que esto se cumple, pero en ningún caso una demostración. Haga énfasis en el proceso intuitivo que hay detrás de la comprobación del teorema de Fermat en casos particulares. El desarrollo de la aritmética y las proposiciones con respecto a regularidades numéricas ha marcado una etapa importante en la historia de la matemática que es conveniente destacar. Algunos sitios donde puede encontrar información son: http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/ http://soko.com.ar/historia/Historia_matem.htm Trigonometría: ¿qué es y para qué se usa? (Página 244 del Texto del Estudiante) OFT Mapas de Progreso Las capacidades trabajadas referentes al eje geometría son (en niveles 6 y 7): • Relaciona la representación gráfica de rectas en el plano cartesiano y los sistemas de realidad a través de ecuaciones a que dan origen. la matemática. • Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de ecuaciones lineales, utilizando • Análisis de procesos y métodos analíticos y gráficos. establecimiento de • Resuelve problemas geométricos estableciendo relaciones entre conceptos, técnicas y relaciones lógicas. procedimientos de distintas áreas de la matemática. • Resolución de problemas • Selecciona entre varios procedimientos para resolver problemas en diferentes contextos cotidianos que geométricos, acorde a las características del problema. desarrollen el Las capacidades trabajadas referentes al eje álgebra son (en nivel 6 y 7): pensamiento lógico – • Resuelve problemas que pueden ser modelados por medio de las funciones potencia deductivo. y cuadrática. • Uso de herramientas • Elabora estrategias de resolución, las desarrolla y justifica usando lenguaje algebraico. tecnológicas (calculadora). • Muestra autonomía y flexibilidad en la transformación de expresiones simbólicas escribiendo, • Trabajo grupal. reconociendo y eligiendo formas equivalentes de distintas representaciones algebraicas. Se trabajan los siguientes: • Interés por conocer la 159 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 159 2/11/11 17:20:55 Se definen en esta sección las razones trigonométricas seno y coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo. Note que bastan estas dos razones trigonométricas para generar las restantes, en esta primera sen α parte, definiendo tg α = . cos α 3 Haga notar a sus alumnos que al escribir, por ejemplo, sen α= no se 5 está diciendo que uno de los catetos y la hipotenusa midan, necesariamente, 3 y 5, sino que uno de los catetos mide 3 k y la hipotenusa 5 k . Esto es importante sobre todo cuando se pide calcular la longitud de los catetos o de la hipotenusa. Enfátice esta relación. 3 Por ejemplo: Si en un triángulo rectángulo, el sen α= y el perímetro 5 del triángulo es 144 cm, ¿cuál es la medida de los lados del triángulo? B 3k 5k C A fi AC = 4 kfi3 k + 4 k + 5 k = 144fi12 k = 144 fik = 12 ∴ AC = 48 cm, BC = 36 cm y AB = 60 cm Se presenta en esta sección el cálculo de los valores de razones trigonométricas de ángulos conocidos de manera deductiva. Es importante que usted, como profesor, realice este proceso con sus alumnos y/o alumnas, de modo que ellos y ellas puedan entender de dónde provienen estos valores y cómo es que solo depende del valor del ángulo y no de las medidas de los catetos e hipotenusa. En esta unidad se trabaja con elementos secundarios de triángulos: alturas, bisectrices, transversales de gravedad, simetrales y medianas. Se deberá chequear que los alumnos manejen los conceptos de estos elementos y sus propiedades, donde en triángulos equiláteros todos ellos coinciden y en triángulos isósceles coinciden todas aquellas trazadas respecto a la base. Una buena manera de mostrar esto es utilizar el programa Geogebra (se puede descargar gratuitamente desde el sitio http://www.geomundos.com/descargas/geogebra-2710_p163.html), que permite dibujar triángulos con sus elementos secundarios e ir modificando los triángulos moviendo un vértice y ver cómo se mueven los elementos secundarios. En relación con los problemas de aplicación, note que algunos son de resolución directa y otros deben relacionarse con sistemas de ecuaciones lineales. Es importante también aclarar los conceptos de ángulo de elevación y depresión. 160 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 160 a. Construir, con regla y transportador, un triángulo rectángulo con uno de sus ángulos interiores de 33º y medir sus lados: 2/11/11 17:20:57 Otros temas de trigonometría (su relación con las funciones y otras aplicaciones) (Página 262 del Texto del Estudiante) OFT Mapas de Progreso Se trabajan los siguientes: Las capacidades trabajadas referentes al eje geometría son (en niveles 6 y 7): • Interés por conocer la realidad • Relaciona la representación gráfica de rectas en el plano cartesiano y los sistemas de a través de la matemática. UNID AD 4 Además de los ejercicios presentados en el Libro del Estudiante, se muestran aquí una batería de ejercicios graduados en dificultad, una ficha de repaso para los alumnos y alumnas que presentan problemas en la adquisición de los contenidos y además algunos ejercicios de profundización para aquellos estudiantes con más facilidad en la asignatura. ecuaciones a que dan origen. • Análisis de procesos • Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de ecuaciones lineales, utilizando deductivos y establecimiento de relaciones lógicas. • Resolución de problemas cotidianos que desarrollen el pensamiento lógico – deductivo. • Uso de herramientas tecnológicas (calculadora, programa computacional para graficar). • Trabajo grupal. métodos analíticos y gráficos. • Resuelve problemas geométricos estableciendo relaciones entre conceptos, técnicas y procedimientos de distintas áreas de la matemática. • Selecciona entre varios procedimientos para resolver problemas en diferentes contextos geométricos, acorde a las características del problema. Las capacidades trabajadas referentes al eje álgebra son (en nivel 6 y 7): • Resuelve problemas que pueden ser modelados por medio de las funciones potencia y cuadrática. • Elabora estrategias de resolución, las desarrolla y justifica usando lenguaje algebraico. • Muestra autonomía y flexibilidad en la transformación de expresiones simbólicas escribiendo, reconociendo y eligiendo formas equivalentes de distintas representaciones algebraicas. En la primera parte de esta sección se trabaja definiendo las funciones 1 1 secante, cosecante y cotangente. Así, sec α = , cosec α = cos α sen α 1 . A partir de estas igualdades se trabajan seis identidades y cotg α = tg α fundamentales. La última de ellas queda propuesta para que el estudiante la realice; le presentamos aquí una posible demostración. Demuestre que cosec2 α = cotg 2 α + 1. Partiendo del lado derecho de la igualdad se tiene que: 2 cos α cotg α + 1 = +1 sen α 2 = = = cos2 α +1 sen2 α cos2 α + sen2 α sen2 α 1 = cosec2 α sen2 α El objetivo de la demostración de las identidades es adquirir manejo de las razones trigonométricas y sus relaciones, de manera que estas sean aprendidas fácilmente y, a la vez, los alumnos y alumnas valoren el trabajo de una forma más estricta en el sentido matemático. 161 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 161 2/11/11 17:20:58 No olvide que la elección de las identidades a trabajar, deben graduarse en dificultad según las características de su grupo de curso. En la segunda parte de la sección se vinculan las razones trigonométricas de distintos ángulos a las funciones. Se establecen como funciones reales, teniendo en cuenta que: -los ángulos pueden estar medidos en grados o radianes (ver cuadro adjunto en la unidad de transformación de grados a radianes α ⋅ 2π fix = rad). 360 -el dominio y el recorrido no son siempre todos los reales; dependerá de cada función (recuerde hacer este análisis mirando los gráficos respectivos). -se hace mención al círculo goniométrico para realzar la idea de que un ángulo puede medir infinitos grados y de esta manera independizarse del triángulo rectángulo y poder ampliar el concepto de seno, coseno y tangente. Un buen método para determinar el dominio y recorrido de una función es hacerlo a partir de su gráfico. Recuerde a sus alumnos y alumnas que el dominio está representado por el eje x y el recorrido por el eje y. Tenga especial cuidado con los puntos donde las funciones trigonométricas se indefinen; vaya de los puntos particulares donde esto sucede hasta la generalización. Una buena actividad es que los alumnos y alumnas grafiquen las funciones cotangente, cosecante y secante (de las que no se presentan gráficos en el texto) en papel milimetrado y luego comparen sus gráficos con los que puede entregar un programa computacional. Aplicaciones de la trigonometría a otras figuras Es conveniente mostrar a los alumnos y alumnas algunas aplicaciones de trigonometría al cálculo de elementos de geometría clásica, como el apotema de un polígono regular, el radio de la circunferencia circunscrita a este, ángulos interiores de un polígono regular, elementos en cuerpos geométricos, etc. Mire los siguientes bosquejos: G A h F I B E J C D 162 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 162 2/11/11 17:20:59 En este caso se pueden calcular algunos elementos sabiendo el radio de la circunferencia y la medida del lado del polígono, utilizando trigonometría en el triángulo rectángulo CBI. Esto se puede extender también al cálculo de áreas de poliedros como el icoságono, dodecaedro, etc. Algunos sitios web donde puede buscar mayor información son: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/poliedros/ poliedros.htm http://www.cs.mcgill.ca/~sqrt/unfold/unfolding.html http://perso.wanadoo.es/jpm/poliedros%20regulares/areayvol.html http://www.luventicus.org/articulos/03Tr001/index.html UNID AD 4 A partir de estos cálculos se pueden calcular áreas de polígonos regulares y también extender esto a volúmenes de prismas rectos con bases en estos polígonos. En la última parte de esta sección se presenta la relación entre la pendiente de una recta y el ángulo que esta forma con el eje x. Se define, entonces, que la pendiente de la recta es la tangente del ángulo que la recta forma con el eje x. Es conveniente que coloque los casos de pendientes negativas, positivas y cero para asociarlas a ángulos obtusos, agudos y extendidos o cero. Por ejemplo: Si la recta tiene ecuación y = −2 x + 3, entonces se tiene que: tg x = −2fix = tg −1 ( −2) fix = −63, 43 fiα = 180 − 63, 43 = 116, 57 Note que el ángulo que se quiere calcular es α 63,43° x = –63,43° Para finalizar la sección se proponen actividades individuales y grupales para los alumnos y alumnas. Invite a sus estudiantes a realizarlas, respetando la clasificación propuesta (individual y grupal), señáleles lo importante que es el intentar realizar los ejercicios más simples o directos de manera individual y ofrézcales su guía en caso de dudas. Deje un tiempo para la evaluación de proceso antes de seguir con el resto de la unidad. Una buena forma de evaluar lo aprendido es hacer una puesta en común de las dudas más frecuentes y repasar en ese instante incluso ayudado por los mismos estudiantes con más habilidades matemáticas. 163 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 163 2/11/11 17:21:00 Errores frecuentes Se nombran en esta sección algunos de los errores frecuentes cometidos por los alumnos y alumnas. Es importante tenerlos en cuenta durante el desarrollo de la unidad para corregirlos. Contenido Teorema de Euclides. Teorema de Pitágoras. Posible déficit Sugerencia Aplicar el teorema de Euclides a triángulos que no son rectángulos. Enfatizar, cada vez que se aplica el teorema de Euclides, que se puede utilizar, ya que se está en presencia de un triángulo rectángulo. Escribir que el teorema de Pitágoras es: a + b = c. Una buena forma para que los estudiantes no olviden que el teorema habla de los cuadrados de los catetos e hipotenusa es presentar un dibujo que relacione el área de los cuadrados construidos sobre los catetos y la hipotenusa, como Pitágoras realmente planteó el teorema: a2 + b2 = c2. Concepto y notación de las razones trigonométricas que llevan a hacer simplificaciones Razones como las siguientes: trigonométricas. sen 30 30 . = sen 60 60 Suma de razones de ángulos Razones conocidos. Por ejemplo: trigonométricas. sen 30 + sen 60 = sen 90 Confundir el ángulo de depresión a con b c = = α Reconocimiento el complemento sen α sen β sen γ de ángulos en de este, como problemas de muestra la figura: planteo. a b c de depresión es α y = El ángulo = sen α sen no β . sen γ Rectas y su ángulo de inclinación. Forma usual de medir ángulos. Los alumnos y alumnas confunden el ángulo de inclinación y, además, no relacionan las medidas de ángulos negativos con el sentido horario y antihorario. c2 a2 a c b b2 Ponga énfasis en que la expresión sen representa un número y no indica la multiplicación de dos expresiones o números y, por lo tanto, es imposible simplificar. Recuerde que solo se pueden simplificar expresiones que se están multiplicando. Por ejemplo: x ⋅ (x + y) 2⋅ x ⋅ ( x + y ) Nuevamente este error tiene que ver con el concepto de la razón y la notación de esta. Ejemplifique, calculando expresiones de este tipo para que los estudiantes noten la diferencia. Por ejemplo: 1 3 + π1 2 2 1+ 3 π1 2 Definir explícitamente los conceptos de ángulos de elevación y depresión. Hacer alguna actividad en terreno donde se midan, con transportador, ángulos de depresión y elevación (utilizando la misma altura del alumno). Antes de comenzar la sección de trigonometría, recuerde a sus alumnos que los ángulos se miden en sentido antihorario, es decir, el ángulo de inclinación de una recta será como muestra el dibujo: y Además, un ángulo negativo se representará gráficamente de la siguiente manera: y x α x α 164 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 164 2/11/11 17:21:03 Síntesis conceptual de la unidad Ejercicios propuestos en esta Guía El objetivo de esta síntesis es que los estudiantes puedan revisar los conceptos fundamentales de la unidad. Se presenta primero, un mapa conceptual como ejemplo de síntesis de los conceptos de la unidad. Se sugiere revisarlo en clases junto a sus estudiantes haciendo énfasis en los conceptos. i. Actividades de refuerzo Estas actividades se presentan como un apoyo para el profesor y los estudiantes, de manera de reforzar lo aprendido. Encontrará aquí una batería de ejercicios que puede trabajar en clases, en forma adicional a los ya propuestos en el texto. Ejercicios de resumen ii. Ficha de refuerzo Estos ejercicios están destinados a aquellos estudiantes que aún no han logrado los objetivos mínimos propuestos y necesiten trabajar sobre los conceptos fundamentales de la unidad. Se puede separar en dos partes: la primera corresponde a los ítems I y II, donde se repasan todos los contenidos en diferentes tipos de ejercicios, que pueden ser trabajados grupal o individualmente. Note que se hace siempre énfasis en colocar todo el desarrollo en la resolución de los ejercicios. La segunda parte es el ítem III, que es una evaluación basada en alternativas tipo PSU y donde hay una sugerencia para que el alumno o alumna revise y obtenga su porcentaje de logro, que se aconseja sea trabajado individualmente. Por último, al final de la unidad se propone una evaluación sumativa de las unidades 1 a la 4. UNID AD 4 Síntesis de la Unidad iii. Actividades de profundización Este material tiene por objetivo ampliar los conocimientos de los estudiantes que evidencien mayores habilidades matemáticas en esta unidad. Se proponen ejercicios y una actividad con los que usted puede trabajar. Tipos de ejercicios Se pueden identificar en ejercicios donde se repasan todos los contenidos en diferentes ítems, que pueden ser trabajados grupal o individualmente. En otros casos, especialmente en la Ficha de refuerzo, se hace siempre énfasis en colocar todo el desarrollo en la resolución de los ejercicios. Finalmente, también ofrecemos evaluaciones basadas en alternativas tipo PSU y donde hay una sugerencia para que el alumno revise y obtenga su porcentaje de logro, que se aconseja sea trabajado individualmente. 165 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 165 2/11/11 17:21:03 MATERIAL MATERIAL FOTOCOPIAbLE MATERIAL FOTOCOPIAbLE MATERIAL FOTOCOPIAbLE MATERIAL FOTOCOPIAbLE MATERIAL FOTOCOPIAbLE MATERIAL FOTOCOPIAbLE 166 Actividades de refuerzo I. Complete cada afirmación según corresponda: 1. En un triángulo rectángulo, la raíz cuadrada del producto de la hipotenusa por la proyección de un cateto sobre ella proporciona el valor de 2. Si la altura con respecto a la hipotenusa en un triángulo rectángulo mide 6 cm y una de las proyecciones de un cateto mide 12 cm, entonces la otra proyección mide 2. De la figura, se sabe que el área del rectángulo es igual al área del cuadrado. Usando los teoremas de Euclides, ¿es rectángulo el triángulo mayor? Justifica tu respuesta. ¿Cuál es el valor d? d 3. Si uno de los números de un trío pitagórico es 8, entonces los otros dos son 16 u 4. El cociente entre cosecante y secante de un ángulo corresponde a la 5. El valor de 1 − cotg 60 + 2 cos 90 es sen 30 6. Si cosec α = 3, entonces el ángulo aproximadamente mide 7. La expresión 1 + tg 2 α es equivalente a 2 8. Si sen α = , entonces el valor del cos α es 5 9. Una recta tiene ecuación 12x − 5 y + 3 = 0, entonces, el ángulo de inclinación, medido en grados, es 10. El intervalo [ −1, 1] corresponde a los recorridos de las funciones trigonométricas. II. Resuelve los siguientes ejercicios y coloca todo el desarrollo en tu cuaderno: 1. En un triángulo rectángulo se traza aquella altura h que es perpendicular a la hipotenusa, de 18 cm, determinando las proyecciones de p−q 2 los catetos p y q. Si = hallar h y el área p+q 9 A del mencionando triángulo. U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 166 9u 3. Basándote en la figura, demuestra que p2q + pq2 = c donde c es la hipotenusa h2 b a h q p 4. El lado menor de un triángulo mide 13 mm y los otros miden 6 x + 8 y 6 x + 9 mm. Si su perímetro es 182 mm. ¿Es este un triángulo rectángulo? ¿Por qué? 5. Al efectuar 25 + 35, ¿qué indica el teorema de Fermat con respecto al resultado de esta suma? 6. Al trazar una cuerda de 21,99 cm en una circunferencia, esta subtiende un arco correspondiente de 70°. ¿Cuál es el radio dicha circunferencia? 7. Para calcular el cos 44° se ha empleado el cateto adyacente al ángulo, 6 x − 1, obteniéndose un valor 0,719 para él, según el siguiente triángulo. 2/11/11 17:21:09 C 8,3x + 4 W 8. Dibuja un triángulo rectángulo, cuyos ángulos agudos sean x e y. Además, tg y = 1,75. Encuentra los valores de sen x , cos y, cosec y, cotg x . 9. Encuentra el valor de la siguiente expresión sen 25 ⋅ sec 65 + tg 45 tg 40 ⋅ cotg 220 10. Con la información dada en el triángulo de la figura adjunta, y utilizando trigonometría, halla los valores de los lados a y b. Expresa tu respuesta usando con aproximación a la centésima. x a 10 u b 0,25x 11. Dada la siguiente figura, determina el perímetro del triángulo obtusángulo. Usa en tu desarrollo aproximación a la centésima. 5u h x 60° 30° 13. Demuestra que sen x ⋅ sec x ⋅ cotg x = 1 14. Observa atentamente la figura y responde: ¿Cuál es la ecuación de la recta L? UNID AD 4 b. Encuentra x, número entero, de tal manera que obtengas el valor de seno de 44º a partir de esta figura. Halla los valores respectivos. 7u y L 69° 2u x 15. Grafica, utilizando algún programa computacional o a mano alzada, la función cotangente de x y determina la ecuación de, al menos, dos de sus asíntotas. III. Resuelve los siguientes problemas de planteo. Hazlo con tu grupo y coloca todo el desarrollo en tu cuaderno: 1. A determinada hora del día, la altura del sol sobre el horizonte es de 50°, momento en que la sombra de un árbol mide 25 m en el suelo. Con el transcurrir de las horas, ¿en cuánto metros se habrá alargado la sombra, cuando la altura del sol sobre el horizonte baja a 25°? 2. “Martín está enfrente de mí, hacia el norte. De allí, 19 m hacia el oeste, está Bernardo. Si al recorrer mi vista desde este último hacia el primero se describe un ángulo de 30°, ¿cuántos metros me separan de cada uno?” 3. Se reúnen doce triángulos isósceles de lados iguales; cada lado mide 9 cm y el ángulo comprendido entre ellos es de 30°, para inscribirlos en una circunferencia. ¿Cuántos cm más supera la longitud de la circunferencia al perímetro de la unión de estos doce triángulos? (Considere π = 3, 14). 4. “Sí, Matías, me metí a la página de los estudiantes de ingeniería en Internet, y encontré varias reglas para aprenderse los teoremas de Euclides, el de Pitágoras, los de trigonometría, poemas, chistes para matemáticos, etc. Te mando esta adivinanza... MATERIAL FOTOCOPIAbLE a. Ubica correctamente el ángulo de 44º en la figura. 5u MATERIAL FOTOCOPIAbLE B 13 u MATERIAL FOTOCOPIAbLE 6x – 1 MATERIAL FOTOCOPIAbLE A 12. Con los datos de la siguiente figura, determina el valor del ángulo en W. 167 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 167 2/11/11 17:21:14 Material Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable 168 Primer acto: Aparece un triángulo rectángulo. Segundo acto: Aparece el mismo triángulo rectángulo, con su altura encerrada y protegida por el triángulo. Tercer acto: Aparece el mismo triángulo rectángulo, con su altura encerrada y protegida, más las proyecciones de los catetos: p y q”. Pregunta: ¿Qué es pq ? Matías lo leyó, pero dudó al responder. ¿Cuál es tu respuesta? 5. –Sí jefe, escucho perfectamente a través del audífono oculto que llevo en mi pelo. Estoy en la mesa indicada de la sala rectangular de los grandes caballeros, y ya ordené mi cena... Cuénteme. –Escucha, Max, enfrente tuyo debiera estar sentada Marjorie, en un rincón que hace de esquina, una joven de vestido azul piedra, cabello rubio y colgante... ¿es así? –Así es... muy bella. –Sonríele si es necesario. Ahora bien, gira tu cabeza disimuladamente hasta llegar a la altura de tu hombro derecho. Ten cuidado, allí está sentada la más peligrosa. Ella es de pelo negro y su nombre es Nelda. ¿Es así?... –Sí, la veo; además, es muy atractiva y está sentada también en una esquina como a cuatro metros de donde estoy... ¡Oh, qué hermosa es! –Si continúas girando ahora tu cabeza en 180°... –¿Pero cómo lo hago jefe, si no soy una lechuza? –¡Déjate de bromas!... hacia el lado contrario, por encima de tu hombro izquierdo, está la bella Ariana. Seguramente de traje blanco y liso. Mírala pero con distinción... ¿Es así?... –La veo, es de pelo rojizo... debe estar a tres metros de donde me hallo... pero ¡Ay!... Max cae herido al suelo, víctima de un disparo, pero no muere inmediatamente. Algunos testigos sospechan que el disparo provino de la mujer que estaba más lejos de él. Conforme a lo que se sospecha, ¿quién le disparó a Max? 6. Nicolás está improvisando una escuadra usando un trozo de varilla que ha seccionado en tres partes. Lleva unido dos de los lados, uno de 40 cm y otro que mide 1 cm más que el anterior. –“¡Bien hasta el momento!” –exclama. Apresurándose para terminar, grita: –¡Oh no! ¡Qué alguien me ayude para saber qué hacer con los 39 cm de este último trozo; así se ve U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 168 absolutamente desproporcionada! Piensa un rato, corta este último trozo y usa la medida exacta para terminarla. En efecto, consiguió el objetivo. ¿De cuántos centímetros debió cortar el último trozo para garantizar que fuera una escuadra la que se formaría? 7. María del Rosario es la profesora reemplazante de Matemática. Ella propuso a sus alumnos y alumnas la siguiente actividad: sumen dos números naturales cualesquiera n y m y el resultado elévenlo al cuadrado. Luego quiten, a este, dos veces su producto y anoten su respuesta. ¿Es este un cuadrado perfecto? Lo más probable es que no lo sea... ¿En qué caso sí lo es? 8. “A ver, creo no entenderte bien. Tú me dices que escriba dos cubos perfectos distintos de 0, que provengan de números naturales, que sean pares y que los sume. Está bien, puedo imaginarlo con 8 + 216, y que con esta información escriba el resultado como cubo perfecto... y, más aún, que invente por lo menos tres ejemplos parecidos. Mira, de antemano te digo que eso no será jamás posible. No me gustan tus bromas matemáticas”. ¿Cuál es la supuesta “broma matemática”? Justifica tu respuesta. 9. –“Oigan, parece que hemos detectado algunos restos del naufragio”. La tripulación del barco de salvamento enviado por la Armada se movió rápidamente. –“¿Con que ángulo aparecen? –grita el capitán. –“Con depresión de 12°” –responde el encargado... –“Rápido, que manden al buzo Olsen, hay 40 metros hasta el fondo del mar”... –¡A la orden, Señor! –responde otro de los encargados. Todos siguen atentos el trayecto. –“¡Vamos, Olsen, avanza pronto para terminar luego esta agonía de una semana de búsqueda!“ Pocos se preguntaron cuánto tuvo que desplazarse por el bravo fondo marino este gran buzo. Pero tú, sí lo podrás calcular. ¿Cuánto metros se desplazó el buzo por el fondo para encontrar los restos del naufragio? Ángulo de depresión 40 m 12º 12º 10.–¡Ya, hasta aquí llegamos por hoy! ¡Vamos a tener que acampar! –gritó Moisés, nuestro instructor. Mojé mis pies, sentado en la ribera del río y miré la copa de un árbol situado en la otra orilla. 2/11/11 17:21:14 40° 8m IV.Marque la alternativa correcta: 1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones no se cumple(n) para ningún trío de números a, b y c, pertenecientes a los números naturales? I. a4 + b4 = c4 12.“La calle Esperanza, en ese trayecto, iba cerro en bajada. En ese lugar, nos despedimos y parecía que aún lo podía abrazar, mirando cómo se alejaba en su bicicleta, mientras, con mano alzada, me mostraba un hasta mañana. Lo seguí observando desde ese borde, donde un letrero decía: 100 m sobre el nivel del mar”. Conforme al relato, y siempre que fuera posible: ¿Cuál(es) dato(s) necesitarías conocer para saber la pendiente de inclinación (desde el plano) de ese trayecto de la calle Esperanza? Propón otras formas de resolver matemáticamente este requerimiento. 13.“Me dirigiré a conversar con mi profesor de Matemática y le diré: “Lo que pasó es que me puse muy nervioso durante la prueba, y por eso II. a2 + b2 = c2 ( ) + (b ) = (c ) 3 III. a 2 3 2 3 2 a. Solo I d. Solo I y III b. Solo III e. I, II y III c. Solo I y II 2. Si en un triángulo rectángulo, la hipotenusa 2 2 mide x + y , x > y > 0 y uno de sus catetos, 2 xy, ¿cuál es la medida del otro cateto? a. x2 – y2 b. ( x − y ) c. 2 xy d. –2 xy 2 UNID AD 4 Material Fotocopiable 15.“La dejé de abrazar, y la miré fijamente a sus ojos... ¿Cómo vencer la distancia, el dolor y aquellos veinte centímetros que eran familiares entre nuestras miradas? Levanté mis ojos... di media vuelta, marché... pensé en aquellos 15 centímetros que separaban nuestros cuerpos antes de esa media vuelta final y en que un segundo podría haber revertido todo”. Este problema involucra sentimientos, pero también matemática. Solo te pediremos que encuentres el ángulo de depresión correspondiente. Material Fotocopiable Puente quebrada Los Berros 14.Don José es el encargado de la mantención del parque municipal con el paisajista han logrado enderezar a tiempo el ciprés central de 22 m. Para ello, uno de los trabajadores instaló desde un metro y veinte cm debajo de la cúspide de este árbol de hojas perennes, un alambre que ató y luego fijó con una estaca en el suelo. Ocuparon unos 24 m de firme alambre. Hubo una discusión por él ángulo en que debía estar inclinado el alambre al suelo. ¿Cuál es el ángulo que en quedó finalmente? Material Fotocopiable 11.“Estamos transmitiendo directamente desde el móvil de la radio local, su radio “El portal”, la grata noticia de la construcción de un puente sobre la quebrada de Los Berros, para así conectar más rápidamente la parte norte con la Sur de nuestra ciudad. Estamos con el Sr. alcalde, quien ya nos ha contado que tendrá 18 m de largo. En cuanto a la profundidad, aquí parados, justo en la mitad de este puente simétrico, como lo ha llamado un técnico, no podemos precisar ese dato por ahora”. Según tus cálculos, ¿cuál es la profundidad de la quebrada? (Mira el bosquejo). contesté mal esa pregunta. No sabía, señor, cómo averiguar la hipotenusa, si conocía el valor del cateto adyacente a 40°, y más aún usando mi calculadora”. Explica los pasos que debiera seguir esta persona para resolver el ejercicio aludido. Material Fotocopiable Cansado, lo observé, con un ángulo de 60°, como nos había enseñado a estimar nuestro instructor. Vladimir, más atrás, a unos 10 m de la orilla, también miraba ese árbol, pero con un ángulo de 45°, según lo que me gritó... me acerqué y le susurré “te echo una competencia mañana: ¿quién atraviesa a nado el río y llega más rápido a tocar la punta del árbol? “ ... Moisés escuchó y me retó diciendo: “No tienes ni idea del ancho del río, ni lo profundo que pueda ser. Y menos la altura de la punta de ese árbol” . No se los permitiré... ¿Qué ancho tiene el mencionado río y la altura del árbol? e. Depende del valor de x e y 169 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 169 2/11/11 17:21:16 Material Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable 3. En el triángulo rectángulo de la figura, el valor de a es: a. Solo I d. Solo I y II b. Solo I y III e. I, II y III c. Solo II y III 6. El valor de la expresión 2 1 4 sen 90–- cos 90 + tg 45 es: 3 3 13 2 3 c. a. e. 3 3 3 2 4 d. b. 3 3 a 5 10 a. 5 7 d. 5 3 b. 5 6 e. 5 2 c. 5 5 4. La figura adjunta es un bosquejo de una carpa de camping, formada por un triángulo equilátero y un rombo de lado 4 metros. Entonces, la medida del cierre (m) colocado en la entrada de la carpa es: 4 sen α = 7. Si en un triángulo rectángulo, es uno de los 5 4 ángulos agudos que cumple que sen α = , 5 entonces ¿cuál es el perímetro de triángulo? a. 11 b. 12 c. 13 8. La expresión a. sen x l b. cos x m a. 2 e. c. 4 d. 3 b. 3 5 5. ¿En cuál(es) de los siguientes triángulos se cumple que h2 = p q? I. q q p h III. p a. 5,17 m c. 6,17 m p h q e. Faltan datos cos x + tg x es equivalente a: 1 + sen x d. cotg x e. sec x 9. Nataniel está tendido boca abajo en la arena. Desde allí mira la punta del mástil de un velero con un ángulo de inclinación de 15°. Si él se encuentra a 20 metros del velero, ¿cuánto mide el mástil,(considere tg 15 = 0, 268)? b. 5,36 m h II. c. cosec x d. 14 d. 7,28 m e. 19,31 m 10.Un observador A mira el extremo superior de una antena con un ángulo de elevación de 60°. Un observador B, ubicado en la misma línea de observación de A y a 4 metros de él, observa el mismo punto bajo un ángulo de 30°. ¿A qué distancia se encuentra A de la base de la antena? a. 2 m b. 3 m c. 4 m d. 5 m e. 6 m 170 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 170 2/11/11 17:21:22 Ficha de refuerzo 3. Escribe un trío pitagórico donde uno de sus números sea 56. 4. Según el triángulo rectángulo de la figura, ¿cuál es el valor de h? Aproxima tus cálculos a la décima. 20 2. Al mirar aquel juego desde lejos, Irma se imaginó el triángulo rectángulo de la clase de Matemática. Hizo un bosquejo y decidió calcular la altura de la torre, con los datos que consiguió, mientras sus hermanos se subían a él. Después de todo, ella tenía demasiado susto de subirse. ¿Cuál es la medida de esta altura? 7m 5m 3. Dime, buen adivinador... ¿cuál es el ángulo de inclinación de la recta que tiene a 8 x − 3 y + 9 = 0 por ecuación? h UNID AD 4 Material Fotocopiable 21 Material Fotocopiable 2. El cable que afirma un poste de luz, de 12 metros, al suelo mide 20 metros. ¿Cuál será el ángulo que formará el cable con el suelo? Aproxima tu resultado al entero. 1. A Montserrat, su profesora de Matemática le dejó la siguiente tarea:“Elige un trío pitagórico (distinto a 3, 4, y 5 o 5, 12 y 13 o cualquiera de sus múltiplos) y construye un triángulo con esas medidas. Encuentra los valores de los ángulos interiores”. Montserrat no sabe cómo hacerlo. Ayúdala y hazlo tú por ella. Revisa tu respuesta con tu profesor o profesora. Material Fotocopiable 1. Si en el triángulo rectángulo de la figura se 5 cumple que tg α = , determina el valor de 12 las otras razones trigonométricas. II. Resuelve los siguientes problemas: Material Fotocopiable I. Resuelve los siguientes ejercicios: 171 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 171 2/11/11 17:21:23 MATERIAL MATERIAL FOTOCOPIAbLE MATERIAL FOTOCOPIAbLE MATERIAL FOTOCOPIAbLE MATERIAL FOTOCOPIAbLE MATERIAL FOTOCOPIAbLE MATERIAL FOTOCOPIAbLE Actividades de profundización I. Resuelve los siguientes ejercicios. Coloca todo el desarrollo en el cuaderno, ya que eso te ayudará. 1. Si en un triángulo rectángulo uno de sus catetos está dado por la expresión x – 1 y la hipotenusa por 2x 2 + x − 3, ¿cuál es la expresión que define el otro cateto y las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa? 2. Un octógono regular está inscrito en una circunferencia de radio r, como muestra la figura. Determina el valor del lado en función del radio. 2. ¿Sabes?, Abel me dijo que había encontrado, en un libro de trigonometría, un teorema llamado “El teorema del seno” y que funciona en cualquier tipo de triángulo, no necesariamente en uno que sea rectángulo. Este teorema dice así: “En el triángulo ABC de la figura (triángulo cualquiera) se cumple que a b c = = sen α sen β sen γ ” a b c C = = sen α sen β sen γ b A r l 3. Demuestra la siguiente identidad trigonométrica (recuerda factorizar): sen2 x − cos2 x 1 − sen x ⋅ cos x = sen x ⋅ ( s ec x − cosec x ) cos x sen3 x + cos3 x 4. Una función se dice par si cumple que f ( x ) = f ( − x ) , para todo valor de x en el dominio de la función. ¿Cuáles de las funciones trigonométricas son pares? (Puedes utilizar los gráficos o tu calculadora para responder) II. Resuelve los siguientes problemas: 1. Desde un punto P, situado más alto que la base de una torre, se observa esta con un ángulo de elevación de 48º, como muestra la figura. El observador mira la base de la torre con un ángulo de depresión de 20°, desde el mismo punto P. Si al desplazarse hasta P’ 50 metros el ángulo de elevación a la cúspide de la torre cambia a 30°, ¿cuál es la altura de la torre? Q R 48° 20° P 30° 50 m α a a b c = = sen α sen β sen γ c B ¿Puedes comprobarlo? Dibuja un triángulo cualquiera, mide sus lados y ángulos y comprueba que las proporciones mencionadas se cumplen. ¿Podrías demostrarlo? Es muy fácil, solo traza la altura respecto al lado c, y ya puedes hacerlo... 3. Jaime y Patricio están practicando un juego de inteligencia militar. Han planificado el campo de batalla colocando dos estaciones de radar, separadas por 20 km. Ellas detectan un objeto en el aire, en el mismo plano de la recta que las une, con ángulos de elevación de 38° y 72°. ¿Cuál es la distancia del objeto a cada una de las estaciones? 4. En el campo de los abuelos de Trinidad hay una parte del sitio cercado en forma triangular donde dos de los cercos laterales miden 35 y 38 metros, como muestra el siguiente dibujo. ¿Cuánto mide el tercer cerco? 35 u 38 u 42° P' 172 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 172 2/11/11 17:21:25 A través de esta guía didáctica, específicamente en las unidades anteriores, hemos puesto énfasis en la evaluación, tanto de proceso como sumativa. Es esencial que cada alumno o alumna pueda ser parte de su proceso de aprendizaje, y eso solo se logra cuando también forma parte de la evaluación de su proceso. Por esta razón se han propuesto distintas formas de evaluación y, sin duda, habrá muchas más. Las que hemos abordado en esta guía como propuesta son: •Escalas de apreciación •Listas de cotejo •Trabajos grupales formativos •Actividades individuales o grupales de estudio •Coevaluación •Evaluaciones sumativas UNID AD 4 Instrumentos de evaluación a. Escalas de apreciación Sirven para recolectar información sobre el trabajo puntual realizado por los alumnos y alumnas en una clase o en una actividad determinada. Pueden complementar las evaluaciones de proceso que están en la unidad. Por ejemplo, al final del estudio de cada una de las secciones, es: Nombre del estudiante: Curso: Fecha: Actividad: / 24 Puntaje obtenido: Porcentaje de logro: Según tu apreciación personal del trabajo realizado, marca con una cruz el casillero correspondiente para cada una de las siguientes preguntas, según esta escala. (Recuerda que hay actitudes como la participación en clases, el trabajo en grupo, etc., que también se aprenden) A: Completamente logrado B: Medianamente logrado C: Por lograr Indicador A B C ¿He aprendido los conceptos de la sección? ¿Podría resolver solo los ejercicios resueltos o los ejemplos dados? ¿He sido capaz de desarrollar los ejercicios propuestos? ¿Respondí correctamente durante la clase cuando se me preguntó? ¿Me he preocupado de preguntar lo que no me quedó claro? ¿He realizado un buen trabajo en equipo, junto a mis compañeros? (en caso de trabajo en grupo) ¿He demostrado interés en aprender? ¿He puesto todas mis capacidades al servicio de mi aprendizaje? 173 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 173 2/11/11 17:21:25 b. Listas de cotejo Recolectan información sobre el nivel de logro de aspectos trabajados en las secciones de la unidad. Pueden ser dirigidas al estudiante o trabajadas por el profesor. Un ejemplo de estas es: Curso: Escala: MB: Alumno Insuficiente (3,9 - 1,0) Realiza las tareas dadas I: Aporta al trabajo de su grupo Suficiente (4,9 - 4,0) Trabaja bien en clases S: Realiza los ejercicios propuestos Bueno (5,9 - 5,0) Pregunta cuando tiene dudas B: Es capaz de verbalizar los conceptos fundamentales Muy bueno (7,0 - 6,0) Abarca Juan Baeza Lorena También se puede aplicar al trabajo grupal. Por ejemplo, en los ejercicios de síntesis y evaluación de la unidad. c. Trabajos grupales formativos Se vuelve a insistir en la importancia del trabajo grupal, ya que muchas veces los alumnos y alumnas logran explicarse mejor entre ellos. Puede formar grupos en forma aleatoria o intencionada. En esta sección se ha privilegiado el trabajo grupal en la resolución de problemas de planteo, pero es usted como maestro quien debe decidir cuáles son las actividades que designará como trabajos grupales y cómo serán evaluadas. d. Actividades individuales o grupales, de estudio Se sugiere trabajar alguna de las guías complementarias propuestas como preparación para la prueba de la unidad. Recuerde que es bueno trabajar con el tipo de ejercicios que se evaluarán. Usted debe evaluar lo que enseñó y no si el estudiante es capaz de resolver un problema nuevo con algún tipo de estrategia no enseñada en clases. Los ejercicios que apuntan a desarrollar habilidades superiores como aplicar, analizar y relacionar diversos conceptos deben ser trabajados en clases. No trate de sorprender a sus alumnos o alumnas; solo constate que aprendieron lo que usted les enseñó. 174 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 174 2/11/11 17:21:25 e. Coevaluación: Entendida como aquella evaluación realizada entre pares, de una actividad o trabajo realizado. Recuerde que la dinámica de las relaciones del curso debe ser la brújula que le indique si este tipo de instrumento se puede aplicar y cómo se hace. Recuerde que usted puede visitar el siguiente enlace para optimizar este recurso evaluativo: UNID AD 4 http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a0286a13e6329d3f&ID=137573 Un posible instrumento es: COEVALUACIÓN TEMA: FECHA: : INDICADORES Niveles de logro INTEGRANTES DEL GRUPO 1 2 1 3 4 5 4 = SÍ 8 = NO 2 3 4 Total 1. Ayuda a los integrantes del grupo 2. Cumple con lo que el grupo le encarga 3. Mantiene un buen trato con sus compañeros 4. Es tolerante ante las opiniones y propuestas de los compañeros f. Evaluaciones sumativas Resumen lo trabajado en la unidad. Se pueden utilizar, como ya se ha dicho, de manera formativa o evaluada. Los ítems de alternativas propuestos en el libro tienen una evaluación porcentual de logro que los alumnos y alumnas deben calcular, la que se puede traducir a nota según las siguientes tablas (al 50% o al 60%). Recuerde que en la unidad 1 de esta misma guía se han entregado dos escalas para transformar porcentajes de logro en notas. De manera complementaria al Texto del Estudiante, a continuación se presentan dos evaluaciones con diferentes ítems, para servir de apoyo al docente. 175 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 175 2/11/11 17:21:26 Evaluaciones Evaluación 1 L Resuelve en tu cuaderno; recuerda que colocar el desarrollo en forma ordenada te ayudará a pensar y razonar mejor. Revisa tus respuestas junto a tu profesor. y 3 M I. Coloca verdadero (V) o falso (F) en cada una de las siguientes afirmaciones según corresponda: 1. ____En todo triángulo rectángulo se cumple que el producto de la hipotenusa por la proyección de uno de los catetos sobre esta es igual al cuadrado del cateto. 2. ____El trío 11, 60 y 61 es un trío pitagórico. 3. ____Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 10 y 24, entonces la altura trazada con respecto a la hipotenusa mide 5 . 6 4. ____Según el teorema de Fermat, solo es posible establecer que existen números naturales tales que an + bn = cn, cuando n = 2. 5. ____El dominio de la función seno es R. 6. ____El recorrido de la función secante es R. 7. ____Se puede calcular la altura de un árbol si se sabe cuál es el ángulo de elevación con el cual alguien lo mira y a qué distancia del árbol está el observador. 8. ____No todas las identidades trigonométricas pueden ser demostradas. 9. ____La pendiente de una recta se calcula como la cotangente del ángulo de inclinación. 10. ___sen −1 x = 1 sen x II. Resuelve los siguientes ejercicios: 1. Si la figura está formada por un triángulo rectángulo y un paralelogramo, entonces ¿cuál es el perímetro y el área de la figura achurada? x x 0 4 x a. ¿De cuál de las intersecciones de la recta L está más cerca M? Justifica tu respuesta. b. A qué distancia se encuentra M del origen. c. Determina las coordenadas de M. d. Encuentra el ángulo de inclinación de la recta perpendicular a L y que pasa por M. 3. Uno de los catetos de un triángulo mide x unidades, y el otro, dos unidades más que este. La suma de ellos es 32 unidades. ¿Cuál es el valor de sus proyecciones? 4. De un triángulo rectángulo, se sabe que la altura perpendicular a la hipotenusa es de 32 unidades de longitud y que la proyección menor vale la mitad de ella.¿Cuáles son los valores de los catetos? 5. Se han juntado dos rectángulos de anchos x e y, para formar un cuadrado de 256 cm2. Se solicita que tú construyas un triángulo rectángulo, donde x e y sean las proyecciones de sus catetos sobre la hipotenusa x + y. Indica las medidas de los catetos. x y 144 cm2 8u 4u 2. Considera la figura que a continuación te presentamos, y conforme a lo que has aprendido en esta unidad, responde: 6. Dispones de un papel de regalo listado rectangular que se ha pegado a una rampa, tal como se muestra en la figura. ¿Cuál es la superficie de este papel de regalo listado? 176 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 176 2/11/11 17:21:26 12. Demuestra la siguiente identidad 37 mm 13. Se desea dibujar una recta, cuyo ángulo de inclinación sea de 70° y contenga a (1,2) y (2,5). ¿Es posible esta situación? Justifica tu respuesta. 684 mm 410 mm 7. Si ∆ ABC es rectángulo y a : b : c = 13 : 12 : 5, entonces: a. ¿Cuánto vale el cociente entre la suma del coseno del ángulo en B más el seno del ángulo en C, y la tangente del ángulo en C? b. ¿Qué relación se puede establecer entre el resultado anterior con el seno del ángulo en B? 8. Si en un triángulo rectángulo, donde uno de sus ángulos agudos mide 23°, se tiene que cotg 23 = 2, 36, entonces ¿cuál es el valor del producto entre la secante de 67° y la cosecante de este mismo ángulo? Usa dos decimales en tu desarrollo y para tu respuesta. 9. Evalúa, usando calculadora, las expresiones 5 sen 13 5 cotg 13 . Compara ambos y 2 sec 13 cosec 13 ( ) resultados. ¿Qué concluyes? 10. Encuentra la hipotenusa y el área del triángulo mayor, siendo h una de sus alturas. 100 mm 80° L‘ –2 110° 0 15. La figura presenta una circunferencia de centro O. A dista 11 cm del punto T. Usando aproximación a dos decimales en tus cálculos (considere π = 3, 14), responde: a. Verifica que la distancia de A al centro O es 11,39 cm. h 11. En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son 4 y 9, y h la alturaa respectiva. Encuentra los valores b c = = α y b de los ángulos y β, haciendo solamente uso sen α sen sen γ de trigonometría. h L b. ¿Cuál es el perímetro del sector circular coloreado? 70° a b c = = sen α sen α β sen γ 14. En la gráfica, L’ intersecta al eje x nueve unidades a la derecha de lo que hace L. ¿Cuál es el valor de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa si se traza la altura del triángulo con respecto al eje x? ¿Y las medidas de los catetos? UNID AD 4 cos2 x + sen2 x = sec x ⋅ cosec x sen x ⋅ cos x 0 T 15° A III. Resuelve los siguientes problemas: 1. Bicicletas “Velocicleta” ha arrendado un terreno rectangular, para mostrar la próxima línea de bicicletas desmontables aptas para toda la familia y naturalmente para aficionados y profesionales del circuito. Para la exhibición han ideado el trayecto trazado en línea continua y será autorizado siempre y cuando 177 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 177 2/11/11 17:21:30 no supere los 700 m de longitud; de lo contrario, por un tema de seguridad, deberán arrendar otro terreno. ¿Es factible ocupar este terreno con este circuito? 90 m 160 m Final 120 m Partida 9,08 m 5m 7,50 m según Juan José; por tanto, no hay fallas de ensamblaje 2. Juan José, encargado de la producción del evento “Alta costura primavera-verano 2012 de la colección de Coutto Disegnattore”, tuvo serios problemas, ya que se produjo un accidente que desencadenó en la caída de varios modelos. Según los modelos, la razón del accidente fueron los errores en la medición de las tarimas del escenario, debido a esto hubo un mal ensamblaje. Juan José defiende su trabajo y les muestra sus bocetos y cálculos: 2,5 m 2m 13,70 m según Juan José; por tanto, no hay fallas de ensamblaje 7m 2,5 m ¿Quién tiene la razón? ¿Juan José realizó bien los cálculos? Justifica tu respuesta haciendo los cálculos nuevamente. 3. Adela y Adelaida están preparando su próxima prueba de Matemática y para ello responden las preguntas dadas por su profesor. De esta manera, una de ellas pregunta y la otra responde. –Lee en voz alta –dice Adelaida–, para que lo sepan incluso los que leen este texto. –Bien. ¿Están todos atentos?... “En una circunferencia se inscribe un triángulo rectángulo cuyo lado mayor mide 26 cm y el menor; 10 cm ¿Cuál es su área? 4. Ivo e Ivonne están en la clase de laboratorio de Química General, y han hecho una serie de medidas de volúmenes con agua destilada. Entre tantas mediciones iban llenando diferentes cubos con uno que tenía Ivo y otro cubo que tenía Ivonne, en todos ellos la medida de las aristas eran números naturales. Sin botar líquido fuera de ellos, nunca lograron llenar exactamente alguno: o les faltaba o les sobraba agua. Ivo e Ivonne olvidaron que matemáticamente esto es imposible. ¿Por qué? 5. “¡Hay que tener una buena disposición para que todo te resulte bien, Clarita! Tú quieres que te construya aproximadamente un ángulo de 47° en tu hoja blanca, sin transportador, solo con escuadra graduada y calculadora. ¡Es fácil! Todo se resuelve formando un “triángulo estratégico”. Dibujas un trazo de medida conocida. Elige cualquier extremo de este, para que sea el vértice de ángulo. En el otro extremo, levanta una perpendicular. Pero ¿qué medida debiera tener esta? Bien, usa ahora tus conocimientos de trigonometría y tu calculadora... Clarita cambió su rostro de desagrado, completó el triángulo e indicó correctamente el ángulo de 47°”. Ahora te toca a ti... Sigue todos los pasos sugeridos y construye, de esta manera, un ángulo de 47°. 6. “Cuando uno está estudiando una carrera profesional, no puede equivocarse de esta manera, “futuros científicos”. ¿A quién se le ocurrió que el inverso de la razón coseno es la razón seno? Y peor aún, ¿que se podían calcular las razones trigonométricas de un ángulo de 70º en un triángulo cuando dos de sus ángulos interiores miden 70º y 30º ?” Tú que sabes trigonometría, ¿qué errores imperdonables cometieron estos alumnos y alumnas? 7. –“No joven, ya no usamos esa ruta que usted me dice”– le dijo el chofer del taxi colectivo local, al último pasajero que transportaba al pueblo vecino. ¿Se acuerda que tomando el camino “El Alba” se recorrían, 19 km y medio de pura tierra y después había que doblar en una punta bien peligrosa para tomar el camino “Los Almendros”, de 25 km pedregosos, y así llegar a la entrada principal del pueblo? Pues bien, ahora han construido este camino de asfalto y mucho más corto. –Ah... ya lo veo –dijo el joven–, este camino es perpendicular a “El Alba” y forma un triángulo con “Los Almendros, ¿se fija? Con estos datos, responde: a. ¿Cuál es el valor aproximado del ángulo formado por los caminos “El Alba” y “Los Almendros”? b. ¿Cuántos km de camino se ahorra por el camino asfaltado? 8. Las parejas de cueca del grupo “Aires de nuestra tierra” están bailando en la Plaza de Armas, como 178 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 178 2/11/11 17:21:31 9. –¡Ah, qué alivio, haber encontrado la fórmula la fórmula que convierte los grados Fahrenheit (TF ) en grados Celcius (TC )...” Además en las fórmulas las t deben ser mayúsculas. Yo sabía que la tenía guardada en mi cuaderno de Física del año pasado. La voy a volver a escribir: (T − 32) Tc = F 100 180 Dicen que esta ecuación representa una recta y que debo graficarla y determinar su ángulo de inclinación. ¿Cuánto medirá dicho ángulo? 10. –Oye, ¿nos estamos comunicando? –Sí, creo... dímelo de nuevo para tratar de visualizar el triángulo ABC del que me hablas. La suma de dos de sus ángulos, los que están en los vértices B y C es 150º... Además, el ángulo en A tiene por uno de sus lados, el lado mayor del triángulo. Desde el vértice C se ha trazado una altura respecto al lado AB, que mide 20 cm. En C está el ángulo mayor y el lado AB, opuesto al vértice C, mide 45 cm. –¿Qué?, ¿necesitas saber la medida exacta de los otros ángulos interiores para desaparecer?, ¿que nuestros lectores te pueden ayudar a calcularlos?... Te faltan milenios de experiencia... ya aprenderás a desaparecer sin usar los triángulos, amigo fantasma. Ayuda al fantasma y calcula los ángulos pedidos. 11. En la feria de diversión está un tradicional juego tiro al blanco: una cinta móvil de patos fijos y que se mueven hacia adelante. Flavio, de quince años, tiene muy buenos aciertos. Aconseja a uno de sus amigos que lo acompaña que primero mire el rifle, que luego se coloque frente al mesón recto, casi en la mitad de este. Que se fije en un pato cuando aparezca, que siga su trayectoria recta hasta llegar justo enfrente y ahí puede disparar e impactarlo. Su amigo hizo algunos cálculos estimativos y bosquejó la siguiente figura. ¿Cuántos metros se desplaza el pato desde que aparece hasta el momento del impacto? UNID AD 4 parte de la feria de muestra de folclor. Rodeada de asistentes que están de pie y son más altos que ella, Magdalena, ni empinándose logra ver los pañuelos alzados. ¿Cómo vencer los 30 cm que se lo impiden? Decide alejarse un metro y medio hacia atrás y empieza a verlos. ¿Cuál es el valor del ángulo de elevación con el que empieza a ver los pañuelos alzados? 6m 28 12. Una pareja de turistas, Max y Susy, están observando los edificios de la Plaza de Armas de una ciudad portuaria. Se detienen frente al renombrado y añoso restaurante “El Castillo”. “Susy, querida, acá, en el catálogo turístico que nos dieron, dice que en el terremoto de 1985 parte de la cúspide se cayó y disminuyó en 4 m por los trabajos de reparación. Con este ángulo en que estoy mirando podré hacer una buena filmación. Max observa el borde superior del edificio con sus binoculares y exclama: ¡Una cornisa por desprenderse! ¡No puede ser! Con este ángulo lo veo nítidamente. Decide avanzar 6 m para cerciorarse. –¡La cornisa está por caerse! Susy, llama urgente a un carabinero o a alguien que nos ayude”. Los turistas no saben de trigonometría... pero tú los puedes ayudar... Si estaba inicialmente a 25 m de la base del restaurante, antes de avanzar, y miró con 40° de elevación: a. ¿Con qué ángulo miró la segunda vez? b. Estima la distancia del borde superior del restaurante con respecto del lugar donde Max lo observó la segunda vez: c. ¿Cuál era probablemente la altura de “El Castillo”, antes del terremoto de 1985? 13. “Mira, Rómulo, tú como buen abogado eres muy diestro en leyes y te voy a mostrar aquí mismo, en el terreno, que yo lo soy haciendo cálculos. Como estamos a campo abierto y discutiendo sobre un terreno triangular, puedes mirar hacia adelante y ¿ves aquel árbol?, ¿ese nogal? Pues bien, de aquí hasta allá hay 500 metros. Ahora bien, vamos a girar a la izquierda, mira la cantidad de grados con que lo hago. Toma nota, por favor. Ahora, usando mi 179 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 179 2/11/11 17:21:33 distanciómetro nuevamente, vamos a elegir el poste de luz que vez allá para determinar la distancia. Observa, 634 m... ”. Suponiendo que el triángulo es rectángulo, pero no donde están ubicadas las personas. a. ¿Encuentra el ángulo de giro que se mencionó en el relato? b. En el vértice de 90° de este terreno triangular ¿se encuentra el nogal o el poste de luz? c. ¿Cuál es la medida entre el poste y el árbol? Justifica trigonométricamente tu respuesta. 14. La guía de Física dice que tenemos que inclinar este riel de 31 cm a cierta altura para que la pelotita al ser lanzada desde abajo corra por él y salga disparada. Será mejor nuestro experimento mientras más rápido salga la pelotita de la rampa. “Mira, tenemos dos soportes similares, uno de ellos da una altura de 21 cm, al ponerlo perpendicular al piso. Probemos, coloquemos un extremo del riel en el suelo y el otro apoyado en la rampa... veamos qué pasa...”. Después de unos instantes, concluyen que con ambos soportes funcionan bien, pero que con el que no mide 21 cm es mejor. Responde: a. ¿Cuál es el valor de la pendiente y el valor del ángulo de apoyo del riel con el suelo al usar el soporte de 21 cm? b. ¿Cómo debiera ser el valor del ángulo de apoyo del riel, sobre el soporte, con respecto a lo mismo, pero usando el otro soporte en lugar del de 21 cm? 15. Señor, en este momento tenemos un helicóptero de seguridad que se mantiene suspendido por sobre los dos edificios de 200 m de altura cada uno, cuyos residentes ya han sido evacuados. Adelante, le escucho. –Los movimientos sísmicos continúan... Detálleme lo que está haciendo, capitán Galdámez. –Señor, tenemos iluminado el espacio entre estas construcciones. Así podemos entrar por la calle que queda en medio, que estimo es lo suficientemente ancha para que se lleve a cabo el operativo. –¿A qué altura está el helicóptero? –A 250 metros. Cuando me comuniqué con ellos, uno de los encargados de seguridad, Tolosa, me dijo que estaban observando los bordes de cada edificio con ángulos de depresión de 65° y 55°. Correcto, haga los cálculos necesarios para estimar si se puede realizar el operativo y comuníqueme de inmediato si es factible. Recuerde que la distancia entre los edificios no debe superar los 60 metros. ¿Será posible realizar el operativo? Justifica usando trigonometría. IV. Marca la alternativa correcta: 1 1 mm; CD = mm;; la altura 3 7 del triángulo ABC es: 1. En la figura, AD = B a. 1 mm 21 d. b. 21 mm c. 21 21 mm 2. En la figura p : q = 1 : 2. ¿Cuánto mide el área del triángulo? 4 cm p q 2 b. 16 2 cm c. 18 2 cm U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 180 21 mm 21 e. Otro valor a. 12 2 cm2 180 C D A d. 32 2 cm2 e. Falta información 2 3. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 12 cm y la proyección de uno de los catetos es tres centímetros menos que ella. 2/11/11 17:21:37 a. 6 3 − 1 b. c. 6 3 −1 ( 3 −1 d. 6 3 − 3 e. 6 3 − 6 ) 4. ¿Cuál de las siguientes alternativas es incorrecta respecto a un triángulo rectángulo? a. Una de las alturas se obtiene como la raíz cuadrada de la multiplicación de las proyecciones de los catetos. b. No se puede aplicar el teorema de Euclides referido a la altura a aquellas alturas que son catetos. c. El producto de la hipotenusa por la suma de las proyecciones de los catetos sobre ella equivale a sumar los cuadrados de cada cateto. d. La medida de un cateto es la raíz cuadrada del producto de la hipotenusa por su proyección sobre ella. e. La medida de un cateto se obtiene multiplicando la hipotenusa por la proyección del otro cateto sobre la ella. 5. En la figura PQ = 13 u, las coordenadas del punto P son: y P Q -7 a. ( −7, 10) b. ( −7 ;10, 5) c. ( −7, 12) -2 D 13 u A B a. 5 13 b. 5 12 12 13 d. 13 12 c. e. 12 5 8. Al mirar la siguiente figura, se puede determinar el valor de tg α : D C A B (1) ABCD es un cuadrado a b c = = (2) ∆ ABC es isósceles α yy βb son sen α y sen sen γ complementarios (1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) o (2). Se requiere información adicional. 9. ¿Cuánto mide aproximadamente el ángulo x de la siguiente figura? x P d. ( −7;12, 5) e. ( −7 ;13, 5) 4, –3, 5 –9, 12, 15 15, 9, 17 8, 6, 14 Ninguno de los anteriores es un trío pitagórico e rd so n te le 18 b Ca Suelo 6. ¿Cuál de los siguientes tríos es pitagórico? a. b. c. d. e. C 10 u a. b. c. d. e. 1,5 0 7. En el trapecio ABCD ,aAD = 10 b u y cBC = 13 u . = = Si sen α = 0, 5 , entonces sen α cos sen βbes: sen γ UNID AD 4 ¿En cuántos centímetros supera el cateto mayor al menor? a. 31° b. 34° m O S T E x 15 m c. 41° d. 47° e. 56° 181 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 181 2/11/11 17:21:46 sen y = 1, 11, entonces el valor cos y aproximado de y es: d. 51° a. Menor de 45° 10. Si b. 48° c. 49° e. Mayor de 51° Evaluación 2 I. Completa cada afirmación con el concepto o definición según corresponda. 1. En un triángulo rectángulo, la razón cateto adyacente de un ángulo cateto opuesto determinado representa a 2. La función trigonométrica que tiene por recorrido el intervalo [ −1, 1] y pasa por el punto ( 0, 0) es 3. En un triángulo se cumple que la altura es igual a la raíz cuadrada del producto de las proyecciones de dos de sus lados sobre el tercero, si y solo si el triángulo es un 4. Si 2n2 + 2n y 2n2 + 2n + 1 son dos de los números de un trío pitagórico, entonces el tercer número es cotg α + 1 se 5. Al reducir la expresión sen α + cos α obtiene la razón trigonométrica llamada 6. Si ángulo de inclinación de una recta es 55º, entonces su pendiente es, aproximadamente, 7. Si cos 67° ≈ 0,39, entonces los valores de otros dos ángulos cuyo coseno sea este valor son 8. Uno de los ángulos en que la tangente y la cotangente de dicho ángulo tienen el mismo valor es 9. Si se quiere calcular la sombra de un edificio y se tiene la altura de este, el otro dato necesario es 10. Las asíntotas de las funciones trigonométricas se producen porque II. Resuelve los siguientes ejercicios: 1. En un triángulo ∆ ABC rectángulo en A, la altura duplica la proyección del cateto menor. Si la diferencia entre las proyecciones es quince metros, ¿cuánto miden la altura y él área de dicho triángulo? 2. 18 cm mide la hipotenusa de un MNP rectángulo en N. Uno de los catetos mide cuatro centímetros más que su proyección. Calcula las medidas de: a. Los catetos b. Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa 3. En un triángulo rectángulo, la altura mide 12 mm, determinando las proyecciones p y q sobre la hipotenusa. Si q satisface la ecuación q2 + 7 q − 144 = 0 , ¿cuáles son los valores de p y q? 4. a2 + b2 = c2, cuando a, b y c son tríos pitagóricos. Muestra, con algunos ejemplos, que si multiplicas toda la ecuación a2 + b2 = c2 por un cuadrado perfecto, la ecuación sigue siendo correcta, y obtendrás los cuadrados de nuevos tríos pitagóricos. ¿Ocurrirá esto mismo si multiplicas por un número cualquiera? Justifica tu respuesta. 5. Dado el triángulo de la figura, escribe la siguiente expresión en función de m y n ( cos 90 − Z ) sen Z + cos Z m z n 6. Demuestra que: sec x ⋅ tg x ⋅ cos x ⋅ cotg x = sen2 x + cos2 x 7. Desde lo alto de un acantilado de 100 m sobre el nivel del agua, el ángulo de depresión con que se observa un barco es de 24°. Al cabo de un tiempo, se lo vuelve a mirar, pero con un ángulo de depresión de 10°. ¿Cuántos metros se ha desplazado? ¿Se ha acercado o alejado del observador? 8. ¿Cuál es la intersección de la recta con el eje y si pasa por ( −1, 3) y el ángulo de inclinación es de 72°? (Aproxima la pendiente al entero). 9. Se desea inscribir esta figura regular en una circunferencia. ¿Cuál es el radio de esta? 182 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 182 2/11/11 17:21:50 5u 14. En la figura, CD ⊥ AB . Determinar los valores de CD y DB . C A 10. En la figura, L y L’ son paralelas. La primera de ellas tiene por ecuación y = –0,9 x. 25º 13 u 50º B D 15. ¿Cuánto valen los ángulos interiores no señalados del cuadrilátero inscrito? UNID AD 4 Resuelve este problema haciendo uso de trigonometría: a. Hallar la distancia que las separa. b. Escribe la ecuación de L’. 8m L’ 12 m L 6u 0 11. Para que en un triángulo rectángulo el cateto opuesto a un ángulo sea la octava parte de la hipotenusa, ¿cuánto debe medir el ángulo adyacente a dicho ángulo? 12. Dado el rectángulo ABCD, calcula las medidas de: ABD y DCE : D 15 m III. Resuelve los siguientes problemas: 1. –Mira atentamente mi dibujo –dijo Nora–. He bosquejado la situación de la carpa que hemos instalado al medio día. Necesito saber cuánto miden las sombras que se generan con los lados, para terminar de planificar mi negocio. ¿Puedes calcular las medidas necesarias para mí? Rayos de luz perpendiculares al suelo C 4 cm E 9 cm A Vara de 1,5 m B 13. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 61 m y la razón entre los ángulos agudos es 7 : 2. ¿Cuáles son las medidas de los catetos? Vara de 2 m Suelo 2. –Mira, Daniel, no olvides que la idea es que hagamos los ensambles y las soldaduras fijándonos en que quede lo mejor posible para que el día de la presentación nuestras aguas danzarinas vayan a la par con la música y sin olvidarse de las reglas del concurso. No olvidemos que esta maqueta demo tiene que ganar. 183 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 183 2/11/11 17:21:52 Para ello, hice un bosquejo de lo que tenemos: Te explico la figura, la cual forma la parte superior de la que será la pileta con su salida de agua: La parte continua es la cañería visible por donde el agua provendría de los extremos de este trazo y ascendería por el tubo vertical. Arriba iría el rociador giratorio. El agua sale esparcida y debe alcanzar la zona marcada con doble línea al caer. Pero tengo mi duda. Si la cañería alimentadora del dibujo es de 2 m y justo en la mitad instalamos la cañería vertical, no sé qué largo debiera tener esta cañería para que formara una punta recta (90°), donde va el rociador, en el triángulo que terminé de formar con la línea punteada. Entonces, Daniel, resuelve el problema para que yo siga revisando el proyecto. ¿Cuál es el valor correcto al que Daniel debiera llegar? 3. Hola, yo soy Nora y vengo a recordarte un poco uno de los teoremas de Euclides. Pon atención al problema: “Estoy en la cima de una colina de altura de 30 m y tú estás parado en uno de los extremos de las faldas de la colina. Imagina que bajo de manera perpendicular al suelo por medio de la colina. Luego camino en línea recta 55 m. Las laderas por las que subiríamos a la cima forman un ángulo recto. Haz un bosquejo de la situación y responde a. ¿Cuántos metros tienes que caminar para alcanzar la cima por la ladera? b. ¿Tienes que caminar más que yo si subiera por ladera opuesta a la tuya? ¿Por qué? 184 4. –Srta. Julia, le prometo que no le copié a Joaquín el ejercicio de encontrar tríos pitagóricas, como él dice. Claro, yo dije en voz alta que uno de los naturales que iba a elegir para reemplazarlo en la fórmula era 4 y que así, haciendo 2 xy, obtenía 104... pero no, U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 184 nunca copié, fue solo coincidencia. La Srta. Julia lo mando a hacer todo el desarrollo en la pizarra. Hazlo tú en tu cuaderno y encuentra el trío pitagórico mencionado. 5. En el casino, Yasna y Jessenia observan de lejos a la señora Madama. –¡La Madama debe tener sus secretos en los juegos! –dijo Jessenia. –Sí, claro... ¿Porque de dónde se explica tanta fortuna en los juegos del casino? Me contaron que consulta a un hombre que sabe mucho de cálculos. –Yasna, ¿te cuento un secreto? Este papel se le cayó a la Madama cuando fue al baño. Pero no lo entiendo. –¡No, no me digas! Busquemos un lugar más recatado y veámoslo... El papel decía así... resuelve tú este acertijo... “Para lunes, miércoles y viernes usar X impar y x2 − 1 mayor que 1, seguir con y terminar 2 x2 + 1 con 2 Para los otros días X par mayor que 2, 2 2 continuar con x − 1 y finalizar x + 1 2 2 Siempre formar tríos de especial belleza y suerte. Domingos no se juega”. Elige las fórmulas entregadas, y conforme a ellas forma tus propios tríos. ¿Qué relación puedes establecer entre los números de cada trío? Verifícalas con tus tríos. 6. –¿Recuerdas, Antonio?... donde cayó el supuesto meteorito, la erosión ha transformado el forado casi en un perfecto cilindro recto de 12 metros de diámetro. Cuando Elías bajó por una de las paredes del forado y sin las protecciones adecuadas, rodó hasta el centro. Al momento de sentir sus gritos, acudimos todos. Pasado el susto, desde el centro, Elías clavó la estaca para amarrar un cable hasta uno de los extremos superiores del pozo. El cable se tensó ocupando 13 metros. Ahora, me puedes ayudar y decirme ¿cuál es el valor del ángulo que formaba el cable y la pared del pozo? 7. –“Estábamos sentados en el pasto, Silvia y yo, tomados de la mano y mirando las estrellas”. De repente, sale de entre nosotros una luz resplandeciente que parecía una persona, 2/11/11 17:21:54 8. Jacinto y Emelino están en un desacuerdo respecto a la información entregada sobre la torre Entel. Me enviaron una foto de la torre de telecomunicaciones, donde me indican que el ángulo de elevación de una medición a 70 m de la base es 57, 37°. Además, sabemos que la altura de la Torre Entel es de 127,35 m desde su base. –Jacinto, mira, si hago los cálculos obtengo que, a esa distancia, el ángulo de elevación debería medir 61, 20° y no el que indican. ¿Se deberá a que la base de la torre está considerada varios metros bajo tierra? –Así es, Emelino. ¿Puedes determinar cuántos metros más bajo está dicha base? 9. El guardia de la instalación de la fábrica de aceite que queda cerca de mi casa es muy amigo de los animales. En su lugar de trabajo hay una perra guardiana cuyo nombre es Laika y acompaña a los guardias en sus rondas. Él la recogió de cachorra, la ha alimentado y la ha entrenado para dar saltos, ocupando parte de su tiempo libre para esto último. Con el tiempo, la proclama la mejor y más fiel perra guardiana. Un día me mostró la siguiente armazón de madera para el trayecto de entrenamiento de Laika. Le ayudé con mis conocimientos escolares e hice el siguiente bosquejo: La trayectoria para el entrenamiento de Laika altura (cm) 110 70 50 20 0 2535 75 90 120 130 160 desplazamiento (cm) Pero me olvidé de escribir el valor de los ángulos señalados, importantes para los impulsos de subida y bajada de Laica. Te pido que tú, amigo lector, lo escribas correctamente 10. –Flor, te dejo este problema para que lo resuelvas, y escribas el desarrollo completo de la respuesta. No te alcanzo a esperar más, porque voy ahora al examen de resistencia física. He aprobado todo hasta el momento, pero mañana viene el test de Matemática y tengo susto. El triángulo ABC es rectángulo en C. CM es una transversal de gravedad. ¿Cuánto vale el ángulo formado por la altura y la transversal de gravedad? UNID AD 4 caminó cerca de diez metros alejándose de nosotros en línea recta, desde allí nos miró y se elevó en forma perpendicular al suelo. A una altura de veinte metros desapareció”. El público que estaba escuchando atento este relato se conmovió. El entrevistador del programa “Episodios sin explicación” preguntó, entonces, a los panelistas invitados, ¿qué ángulo permitiría ver desaparecer a esas extrañas y supuestas personas? Calcula tú dicho ángulo. C 8u 6u A D M B Gracias de antemano, Florcita. Lo voy a pasar a buscar a la casa de tu mamá a las 19:00 hr... tengo que quedar admitida en la institución. Chao, Dorys. Como tú sabes trigonometría, te pedimos que ayudes a estas amigas con la respuesta. 11. Dos estaciones de rescate, que están en paralelo, comparten información sobre una señal de auxilio emitida por un barco y que ambas han recibido simultáneamente. –Recibido, estación B, 27° Noroeste es la medición de ustedes; la nuestra es 45° Noreste. –Comprendido estación A. Ya enviamos helicóptero de rescate. –Confirmamos 180 km horizontal de distancia entre nosotros. Adelante, estación B. –Correcto. El helicóptero dice que hay neblina solo alrededor del barco y ahora de noche se ve iluminado. ¿Cómo es eso? –Más aún, nos informan que están acercándose y escuchan una maravillosa música de fiesta... Eh, desaparecieron barco y helicóptero de nuestro radar... –Pero en estos mares del Sur de Chile no es común que eso ocurra... Esperen, acá pasa lo mismo... desaparecieron... Oigan, no creo que sea... –¡El Caleuche! 185 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 185 2/11/11 17:21:54 Puedes buscar más información acerca del “El Caleuche”, pero ahora te pedimos que nos digas ¿a qué distancia está, de ambas estaciones, el barco aludido? Ayúdate con la figura adjunta. Barco N 45º O Estación A S x x N 27º 180-x Estación B 15. –¿Viste la nueva rampa de patinetas del barrio? –Sí, Carlos, pero estoy seguro de que la hizo alguien que no entiende mucho o que quiere deportes extremos. En vez de construir una que se parezca a una parábola, esta se parece a un trapecio rectángulo como el del bosquejo siguiente: 2m E 5m S 12. –Esto de andar en parapente es muy entretenido, pero me da mucho miedo. Yo no sé cómo puedes pensar allá arriba... ¿qué me decías? –Te decía que estábamos a 250 metros de altura y que el ángulo con que mirábamos aquella casa era de aproximadamente 22 . Ahora dime ¿a cuántos metros de nuestra posición se encontraba la casa? 13. Manuela es seleccionada de gimnasia artística en su colegio y hoy ha tenido una clase práctica sobre las barras asimétricas. El dibujo que les entregó su entrenadora fue el siguiente: 13 m ¿Me podrías ayudar a calcular el ángulo con el que se desciende la rampa y el trayecto que debo recorrer para descenderla? IV. Marca la alternativa correcta: 1. ¿Cuál(es) de los siguientes triángulos es (son) rectángulo(s), según los datos de la figura? Au 6u II. 1,9 m 1,4 m 1m Ella les pidió calcular el ángulo α de la figura y la medida de la distancia que une ambas barras en diagonal, para luego comenzar con su rutina. ¿Cuáles son las medidas a las que debe llegar Manuela? 14. –Orlando, ¿me puedes ayudar acá? –Sí, Paulina, ¿qué necesitas? –Necesito afirmar muy bien esta escalera de manera de poder subir por ella sin problemas. Fíjate, la escalera mide 5,4 metros de largo y si coloco uno de los extremos en el borde de la torre a la que quiero llegar, esta forma un ángulo de 40° con el suelo. –¿Cuál es el problema? –Es que cuando comienzo a subir, ella se dobla en el medio y me da mucho susto, se va a romper. –Bueno, necesitamos un soporte paralelo a la torre justo en el medio de la escalera... ¿Cuánto deberá medir?... Calcúlalo tú. 6u A C C I. 72 u 72 1 u 6 u2 u 7 12 1u2 u C 4u 6u 9u a. Solo I III. 4u b. Solo II A Bu 2u 2u 2u B B c. Solo III e. Solo II y III d. Solo I y II 2. En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide 14 cm y la hipotenusa, 50 cm. Entonces, la altura trazada con respecto a la hipotenusa mide: a. 1,34 cm b. 1,52 cm c. 15,20 cm d. 13,44 cm e. 16,44 cm 3. En la figura adjunta, ABCD es rombo, entonces la altura h mide: D 8 C 12 h A B 186 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 186 2/11/11 17:21:56 8 3 e. Ninguna de las anteriores d. 4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera con respecto a las funciones seno y coseno? a. El dominio de seno es R − y el dominio de coseno es solo R+ b. El recorrido de ambas es el intervalo ]−1, 1[ c. Para todo ángulo se cumple que sen α = cos 90 − α ( ) d. El valor de la función seno es igual al de la función coseno para el ángulo de 30º e. La función coseno tiene asíntotas mientras que la función seno no las tiene 5. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es siempre cierta? 1 I. sen 30 + cos 30 = 1 + 3 2 ( ) II. cotg 45 − 3 tg 60 = 3 3 + 1 2 III. cosec 45 − sec 30 = 2 − 3 3 a. Solo I y II d. I, II y III b. Solo II y III e. Ninguna es verdadera c. Solo I y III 6. El triángulo de la figura es rectángulo y 3 . Entonces, la hipotenusa mide: tg α = 3 7. A una distancia de 45 m de la base de un edificio se observa su techo con un ángulo de 60°. Entonces, la altura de este edificio es: d. 15 3 m a. 45 m b. 45 3 m c. 2 cm m 8. El ángulo de inclinación de la recta 6 x − 6 y + 1 = 0 es: a. 1° c. 30° b. 15° e. 60° d. 45° 9. Según la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? a b c = = sen α sen β sen γ I. sen α = cos b a b c = = sen α α =sen tg βb sen γ II. cotg a b c = = sen sen βb sen γ III.sen α =αcosec 3 cm a b c = = sen α sen β sen γ a. Solo I c. Solo I y II b. Solo II d. Solo II y III e. I, II y III 10. El siguiente gráfico corresponde a la función: a. seno d. cosecante b. coseno e. cotangente c. tangente y 15 10 –3p –5p/2 b. 3 cm 3 c. 45 m 3 3 cm a. 2 3 cm 15 e. UNID AD 4 a. 8 2 3 b. 8 2 c. 4 3 d. 6 cm e. 3 cm 2 –2p –3p/2 –p –p/2 5 –5 x p/2 p 3p/2 2p 5p/2 3p –10 –15 187 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 187 2/11/11 17:22:05 Solucionario de la Unidad Actividades de refuerzo I. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 19, 47 7. sec2 α Dicho cateto 3 cm 6 y 10 cotangente del ángulo 21 5 9. 67, 38 10.seno y coseno II. 1. h = 77 cm; A = 9 77 cm 3. p2q + pq2 pq ( p + q ) = h2 h2 pq ( p + q ) Como h2 = pq pq = p+q =c 4. Sí, los lados son 13 mm, 84 mm y 85 mm. Además, se cumple que 132 + 842 = 852 5. Que dicho resultado no se puede expresar como una potencia quinta de algún número natural. 6. 19, 17 cm 7. a. 44º es el valor del ángulo del vértice C. b. x = 120; como el otro lado vale 695, se tiene que sen 44 = 0, 695 . 4 65 4 65 ; cos y = ; 65 65 65 cosec y = ; cotg x = 1, 75 7 8. sen x = 9. 2 10.a = 32, 36 y b = 30, 78 11.37, 32 u 12. 121,84º 1 cosx ⋅ cosx sen x 1 cosx = sen x ⋅ ⋅ cosx sen x 13.sen x ⋅ sec x ⋅ cotg x = sen x ⋅ 188 14. y = –2,6 x + 5,2 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 188 10 =1 –2p –3p/2 –p –p/2 5 x p/2 p –5 3p/2 2p 5p/2 3p –10 2 2. Sí, porque cumple que el cuadrado de la altura es igual al producto de las proyecciones; d = 4 y 15 8. 6− 3 3 = 15. x = 0 y x = π III.1. en 38,89 m 2. De Bernardo: 38 m; de Martín: 32,9 m 3. 0,615 cm 4. La altura 5. Nelda ya que estaba a 4 m de él. 6. de 9 cm 7. Solo si son las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo. 8. Que la suma de dos cubos de números naturales sea un cubo perfecto de otro natural. 9. 188,19 m 10. 23,66 m 11. 6,71 m 12.El largo del trayecto mencionado y la razón seno, por ejemplo. 13.Escriba cateto adyacente hipotenusa cateto adyacente ⇒ hipotenusa = cos 40 cos 40 = 14.Aproximadamente 41º 15.Aproximadamente 40º IV.1. d 3. b 5. c 7. e 9. b 2. a 4. d 6. a 8. e 10.a Ficha de refuerzo 5 12 12 , cos α = , cotg α = 13 13 5 13 13 sec α = , cosec α = 12 5 I. 1. sen α = 2. 37º 2/11/11 17:22:12 3. 56, 90, 106 C g II. 1. Para los lados, 7, 24 y 25, los ángulos son: 16, 26; 73, 74 y 90 b 2. 5,91 m 3. 69,44° ( 2. l = 2 r sen 22, 5 3. 1 − sen x ⋅ cos x sen2 x − cos2 x ⋅ (sec x − cosec x ) cos x sen3 x + cos3 x Por lo tanto (sen x + cos x ) (sen x − cos x ) 1 − sen x ⋅ cos x ⋅ (sec x − cosec x ) cos x (sen x + cos x ) seen2 x − sen x ⋅ cos x + cos2 x ( (sen x + cos x ) (sen x − cos x ) (1 − sen x ⋅ cos x ) (sen x − cos x ) ⋅ (sec x − cosec x ) cos x (1 − sen x ⋅ cos x ) (sen x − cos x ) = = cos x 1 − sen x / sen x / sen x (sen x − cos x ) sen x (sen x − cos x ) = sen x 4. coseno y secante II. 1. 79,82 m ) 2 x + cos2 x − sen x ⋅ cos x (sen x + co x ) sen 1 = = b 2. Sea ABC un triángulo cualquiera como el de la figura: B h h' sen α = fih = b sen α senβ = ⇒ h ' = csenβ b a c b c = = h h' β sen sen b = sen fihα= a sen b senγ = ⇒ h ' = bsenγ a b fia sen b = b sen α ⇒ bsenγ = csenβ a b c b c = fi ⇒ = = sen α sen βb sen γ senβ senγ ) cateto = 2 x 4 + x 3 − 3 x 2 − x + 2 cos x 1 − sen x (sen x − cos x ) h’ c A 4 x3 + 2 x2 − x − 2 x −1 I. 1. q = ,p= , 2 x +3 2 x +3 (1 − sen x ⋅ cos x ) ⋅ = (sec x − cosec x ) cos x a a Actividades de profundización = h UNID AD 4 4. 14, 5 a b c = = sen α sen β sen γ 3. 13,10 y 20,24 km 4. 52,29 m Evaluación 1 I. 1. V 3. F 5. V 7. V 9. F 2. V 4. V 6. F 8. F 10. F II. 1. P = 24 5 u y A = 32 5 u2 2. a. Más cerca de la intersección con el eje y a 1,8 unidades versus las 3,2 unidades que lo separan del otro extremo. b. 2,4 unidades. c. 3. (1, 44 ;1, 92) d. 53º, aproximadamente. 225 unidades y 514 4. 16 5 y 32 5 5. 4 7 cm y 12 cm 4 7 cm x 289 514 unidades 12 cm y 144 cm2 189 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 189 2/11/11 17:22:18 6. 280 850 mm2 7. a. 24 13 b. Es el doble del valor del seno del ángulo en B. 6. El inverso de la razón coseno es secante. El triángulo mencionado no es rectángulo. 9. Son iguales 10. 8. 0,17 10. La hipotenusa mide 104,8 mm y el área solicitada es 911,8 mm2 a = b = c 7. a. 39° 8. 11° 9. 29° C sen α, 69sen sen, 31 γ . 11. αª33 ybβ ª56 os2 x + sen2 x 1 1 1 = = ⋅ = sec x ⋅ cosec x sen x ⋅ cos x cos x ⋅ sen x cos x sen x 13. No es posible, porque para poder contener dichos puntos, el ángulo de inclinación debiera ser de 71,56°. 14. Proyecciones: 7,95 y 1,05 y los catetos: 8,46 y 3,07 r fir ª2, 95 cm 15. a. tg 15 = 11 2 fi AO = 2, 952 + 112 fi AO = 11, 39 cm b. 9,76 cm2 (nota: el radio mide 2,95 cm) III.1. Sí, porque mide 694 m 2. Juan José ha cometido errores en las mediciones. Las medidas son 7,58 m y 13,77 m. Por tanto, las modelos y los modelos del evento que sufrieron accidentes tienen razón. 4. Las sumas de los cubos de Ivo e Ivonne no resultan cúbicas. Esta imposibilidad está garantizada por el teorema de Fermat. 5. Si el trazo mide 3 cm, la perpendicular medirá 3,22 cm 20 cm 30º 11. 3,19 m 12. a. 47,82° 22,52 cm 62,62º 45 cm B b. 28,30 m c. 24,97 m 13. a. 38° aprox. b. El nogal c. 389,81 m 14. a.El valor de la pendiente es 0,92 y el valor del ángulo de apoyo mencionado es 42,64º. b. El ángulo de apoyo del riel sobre el soporte de 21cm es 47, 36. Por tanto, el valor del ángulo de apoyo del riel sobre el otro soporte es mayor que 47, 36. 15. 58,32 m, se puede realizar el operativo. IV.1. D 3. E 5. E 7. C 9. B 2. A 4. E 6. E 8. D 10.B Evaluación 2 I. 1. cotangente del ángulo 3. triángulo rectángulo 4. 2 n + 1 α ª33, 69 5. cosec a 6. 1,4 7. 247° y 427° 8. 45° 9. El ángulo de elevación al extremo superior del edificio. 10. Para los ángulos donde se producen las asíntotas, las funciones trigonométricas no están definidas. 3,22 cm 3 cm U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 190 A 40 cm 2. seno 3. 120 cm2 190 87,38º 2 2 1 1 1 12. cos x + sen x = = ⋅ = sec x ⋅ cosec x sen x ⋅ cos x cos x ⋅ sen x cos x sen x b. 28,86 km 47° II. 1. 10 m; 125 m2 2. a. 12 cm y 6 5 cm o 6 cm y 12 2 cm . b. 8 cm y 10 cm o 2 cm y 16 cm. 2/11/11 17:22:23 4. No, solo sucede con cuadrados perfectos 2 porque n2a2 = ( na ) 5. m m+n 6. sec x ⋅ tg x ⋅ cos x ⋅ cotg x 1 sen x cos x ⋅ ⋅ cos x ⋅ cos x cos x sen x =1 = Pauta de evaluación sugerida para evaluaciones 1 y 2 Esta pauta puede aplicarse para obtener el porcentaje de logro, transformarlo a calificación y también para evaluar cada ítem pedido. Puede parcelar la evaluación como trabajo individual en varias clases y luego promediar la calificación o los porcentajes de logros obtenidos. Complete la tabla adjunta: = sen2 x + cos2 x Puntaje obtenido Indicador 7. Se ha alejado 342,5 m, aproximadamente Número de respuestas correctas obtenidas en el ítem I (verdadero y falso o completación). 10. a. 5,4 aprox. Número de ejercicios correctamente desarrollados en ítem II (asigne 2 puntos a cada uno) 8. (0,6) 9. 4,25 u aprox. b. y = –0,9 x + 7,2 11. 172,82° 12. 56,31° y 33,69° 13. 57,32 m y 20,86 m 15. 107,02° y 72,98° 2. 1 m 3. a. 46,86 m Total 10 30 30 10 80 Para traducir a porcentaje de logro el puntaje obtenido, use la siguiente fórmula: b. 39,05 m 4. 153, 104 y 185 Número de problemas correctamente desarrollados en ítem III (asigne 2 puntos a cada uno) Número de alternativas correctas en ítem IV (asigne 1 punto a cada una) 14. 9,95 y 4,64 III.1. 0,9 y 1,6 m Puntaje total UNID AD 4 3. 9 y 16 mm. Porcentaje = Puntaje obtenido ⋅ 100 80 Para traducir el porcentaje obtenido a nota, puede usar las tablas que se encuentran en la Unidad 1 de esta guía didáctica. 5. Forman tríos pitagóricos 6. 27,5° aprox. 7. 63,43° 8. 18 m 9. 108,43º; 104,04º y 104,04º. 10. 16,26º 11. 168, 63 km de Estación A y 133,83 km de Estación B. 12. 667,36 m 13. α ≈ 63, 43° y d ≈ 1, 12m 14. 1, 73 m aprox. 15. α = 155, 56 ;12, 08 m IV.1. E 3. A 5. D 7. B 9. C 2. D 4. C 6. A 8. D 10.C 191 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 191 2/11/11 17:22:26 Bibliografía y detalle de links de la Unidad http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Loponte/ ProyFinalLoponte/proyectofinal/historia.htm Esta página contiene un breve recorrido de la trigonometría desde hace más de 3 000 años, transitando en las grandes culturas de la Antigüedad, los aportes en Medievo y concluyendo en las contribuciones de Napier y Newton (s XVII) y Euler (s XVIII). Presenta un link a la página principal “Trigonometría” y de allí algunos para el estudio interactivo de seno, coseno y tangente. Esta página está en el sitio web DAV – Departamento de Aprendizaje Visual, cuyo objetivo es vincular los recursos de la Facultad Regional Buenos Aires de la Universidad Tecnológica Nacional, y las necesidades de soluciones en nuevas tecnologías aplicadas a la educación de toda la comunidad educativa. http://www-ma1.upc.es/recerca/reportsre/0304/ rep030402massa.pdf Este documento, descargable e imprimible, se titula “La Historia de las Matemáticas en la Enseñanza de la Trigonometría: El Teorema de Pitágoras”. Involucra también un interesante desarrollo geométrico en la subsección: Los “Elementos” de Euclides. Ideas trigonométricas. Finalmente, el documento concluye que el uso de casos históricos es uno de los recursos que se puede utilizar para mejorar la motivación, transmisión y adquisición de los contenidos matemáticos en general. Las autoras son “miembras del Grupo de Historia de las Matemáticas”. Una de ellas es la coordinadora, quien pertenece al Dpto. Matemàtica Aplicada I. Universitat Politècnica de Catalunya. http://www.publicatuslibros.com/fileadmin/Biblioteca/Libros/ Tecnicos/Francisco_Luis_Flores_Gil_-_Historia_y_Didactica_ de__la_Trigonometria.pdf Bajo el título de “Historia y Didáctica de la Trigonometría”, este documento pdf descargable e imprimible incluye una breve historia de la trigonometría y se dedica a tratar los objetivos, metodología, actividades, etc., es decir, los aspectos didácticos para tener en cuenta en la enseñanza de la Trigonometría. El autor es Francisco Luis Flores Gil. Licenciado en Matemáticas. Universidad de Sevilla. (2001). Al final del documento se encuentra su experiencia docente y otras de tipo profesional. El sitio web que alberga este pdf es: www.publicatuslibros.com. Pertenece a Íttakus, sociedad para la información, S.L. España. http://www.sectormatematica.cl/excel/Teorema%20de%20 Pitagoras.xls También, esta hoja Excel es descargable y se llama ”Teorema de Pitágoras”. Usando precisamente este teorema, permite calcular la hipotenusa o bien alguno de los catetos. El sitio donde se encuentra este material pertenece al sector Matemática, que es un portal chileno educativo esencialmente matemático. http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/ Aquí Ud. tiene un acercamiento temático a través de los links de Historia y Biografías. Esta página presenta a través de link Ayuda, Bibliografía y Enlaces Exteriores a otras direcciones web, referentes a Historia de las matemáticas. Esta página es del sitio web a cargo de ITE: Instituto de Tecnologías Educativas. Ministerio de Educación. Gobierno de España. http://soko.com.ar/historia/Historia_matem.htm Esta página completa le presenta una Historia de las matemáticas. Ud. puede revisar aquí, especialmente contexto, en “Las Matemáticas en Europa”. Está página se ubica en www. soko. com.ar , que es un sitio dedicado a difundir educación. Este sitio proporciona links para matemática, física, química y videos educativos, entre otros recursos. http://www.geomundos.com/descargas/geogebra-2710_ p163.html), que permite dibujar triángulos con sus elementos secundarios e ir modificando los triángulos moviendo un vértice y ver cómo se mueven los elementos secundarios. http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/ matematicas/materiales/4eso/geometria/poliedros/poliedros.htm Es una página completa dedicada al estudio de los poliedros a través de actividades que incluyen figuras coloreadas, y algunos poliedros para construir. De fácil y comprensible lectura, al final presenta un link de ACTIVIDADES FINALES, consistentes en preguntas y problemas del tema. Esta página está a cargo de A. Molina, J.Ma. Fernández y J.M. Barragán. Integrantes del departamento didáctico de Matemática del I.E.S. Arroyo de la Miel. Benalmádena (Málaga). España. http://www.cs.mcgill.ca/~sqrt/unfold/unfolding.html La particularidad de esta página es que presenta una animación interactiva que permite plegar, desplegar y rotar distintos objetos, entre ellos, algunos poliedros. También hay links para interactuar de similar manera con otros tipos de cuerpos, como poliedros ortogonales etc. Dentro de una categoría, la figura debe seleccionarse previamente en un despliegue que se efectúa al lado del botón de Pausa. Este ultimo permite detenerla, luego cliquear y arrastrarla para hacerla rotar. La página está en inglés, pero para operar con la animación no debiera presentar alguna dificultad idiomática. Es un trabajo de investigación de François Labelle bajo la dirección de la profesora Sue Whitesides. School of Computer Science, McGill University. 192 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 192 2/11/11 17:22:26 Aquí, usted podrá encontrar la manera de obtener el área y el volumen de algunos poliedros regulares. Se incluye una tabla con las fórmulas respectivas. http://www.luventicus.org/articulos/03Tr001/index.html Este lugar, con el título de “Los sólidos platónicos”, se inicia con poliedros regulares y una tabla que resume la propiedades de algunos de ellos. Sobre la figura que encabeza cada columna, se puede interactuar para hacer rotar el poliedro respectivo, a diversas velocidades y distintas direcciones. Así se le puede apreciar mejor. Posteriormente se continúa con los poliedros regulares y los griegos antiguos; los poliedros regulares con Johannes Kepler, etc. Luego hay una animación interactiva, con instrucciones para operar con poliedros inscriptos. Finaliza con los poliedros regulares y con Maurits Cornelis Escher. El trabajo de esta página está a cargo del Grupo de Historia de la Filosofía de la Academia de Ciencias Luventicus. Rosario. Argentina. http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx ?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a028-6a13e6329d3f&ID=137573 Este es un portal de la educación, donde usted puede conseguir varias indicaciones prácticas destinadas a la coevaluación y autoevaluación citando la fuente de procedencia. El material está en pdf descargable e imprimible. Tiene además links de interés para docentes, estudiantes y familia, no solo en matemáticas, sino también para las otras asignaturas o áreas del quehacer educativo. UNID AD 4 http://perso.wanadoo.es/jpm/poliedros%20regulares/areayvol.html Bibliografía temática •Elbridge, V. (1965). Álgebra y Trigonometría Modernas. Massachusetts-Palo Alto -London: Addison Wesley PubIishing Company, Inc. 2ª ed. •Masjuán, G.; Arenas, F. y Villanueva, F. (2006). Trigonometría y Geometría analítica. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 2ª ed. •Mercado, C. (1984). Geometría. Curso de Matemática Elemental, Tomos III y IV. Santiago: Editorial Universitaria. 5ª ed. • (1984). Curso de Matemáticas Elementales, Tomo II. Santiago: Editorial Universitaria. 9ª ed. • (1981). Test Matemática: problemas para PAA y Prueba de conocimientos específicos. Santiago: Editorial Universitaria. 16ª ed. •Swokowsky, E. y Cole, J. (2001). Trigonometría. México DF.: International Thomson Editores. 9ª ed. (2008). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. México DF.: Thomson Editores. 11ª ed. • Sullivan, M. (2006). Álgebra y Trigonometría. México DF.: Pearson. Educación Prentice Hall. 7ª ed. • Tapia, O.; Ormazábal, M.; Olivares, J. y López, D. (2009). Manual de preparación para PSU matemática. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 9ª ed. • Tapia, O. y Ormazábal, M. (2008). Cuaderno de ejercicios PSU matemática. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 5ª ed. Sitios web sugeridos Otros sitios que puede visitar en relación con esta unidad. http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido. aspx?&ID=136020&q=teorema de Euclides&site=educarchile http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido. aspx?&ID=136020&q=Trios pitagoricos&site=educarchile http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido. aspx?&ID=136020&q=teorema de Fermat&site=educarchile http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx? &ID=136020&q=trigonometría&site=educarchile •Cada uno de estos links lo llevará a una página de Educarchile, que es un portal de la educación, y que contiene, a la vez, una selección de links a sitios web que abordan el tema de esta unidad. Algunos de éstos incluyen ejercicios resueltos y/o propuestos. Propuesta de actualización de conocimientos para el docente http://www.sectormatematica.cl/articulos.htm Contiene links a diversos artículos para conocer el pensamiento y trabajo de matemáticos y matemáticas, y educadoras y educadores del mundo. Los artículos están en formato Word, pdf, descargables y reproducibles. También hay otros links internos y externos, como poesía, revistas, etc. http://www.elprisma.com/apuntes/apuntes.asp?categoria=704 En el buscador que presenta la página, usted puede ir por la materia que desee actualizar. El sitio web que la alberga, es un portal para investigadores y profesionales. Es una biblioteca virtual de varias áreas del saber: Ingeniería, Medicina, Matemática, etc. Contiene apuntes y cursos para la comunidad universitaria. Además, se pueden encontrar suficientes apuntes en formato Word y pdf, la mayoría descargables y reproducibles, como los que se encuentran en este link. 193 U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 193 2/11/11 17:22:26 Unidad 5 Probabilidades... un paso más Presentación de la Unidad Las probabilidades han jugado un papel importante en la vida de las personas desde hace muchos años. Es usual usar términos relacionados con este ámbito de la matemática a diario, es más probable esto que lo otro, tengo pocas o muchas posibilidades de realizar algo, etc. En esta unidad se quiere abordar el tema de las probabilidades haciendo énfasis en la diferencia entre la probabilidad experimental y la probabilidad que teóricamente se puede calcular. Por otro lado, en la vida cotidiana, que un evento suceda depende de varios factores, es decir, aquella probabilidad estará condicionada por otros acontecimientos. Desde este punto de vista se abordará en esta unidad también el tema de las probabilidades condicionadas. Se ha querido en esta unidad presentar, a los alumnos y alumnas, la probabilidad a través de los conocimientos que ellos ya tienen de esta, mediante un cómic. Así, se dirá que algo probable es algo que puede suceder, pero que no es seguro. También se ha hecho énfasis en la relación entre probabilidades y estadística a través de la campana de Gauss del cómic. Es conveniente ubicar históricamente a los jóvenes, por lo que aquí se presentan algunos links con los que puede complementar la introducción a la unidad. http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/historia/Historia%20de%20la%20probabilidad.pdf http://www.estadisticaparatodos.es/historia/histo_proba.html http://www.cirst.uqam.ca/Portals/0/docs/divers/resumen%20LMayer.pdf El cómic al inicio de la unidad acentúa la idea de que “Lo probable no es lo que necesariamente ocurrirá”. Puede ser nuevamente usado durante el transcurso de la unidad. Puede utilizarse buscando respuestas a preguntas como, ¿Qué puede pasar? ¿Qué debiera pasar? En segundo medio se abordan las probabilidades teóricamente a través de la regla de Laplace. Para retomar el tema de probabilidades es necesario volver sobre estos conceptos y recordarlos, de manera que ellos sean naturales para los alumnos y alumnas y se puedan abordar nuevos contenidos relacionados a este. Es por esto que se ha querido tratar este tema en los conocimientos previos. Aquí se presenta la idea de probabilidad: ¿Qué se entiende por probabilidad? Según el diccionario de la Real Academia Española, probabilidad es: “Cualidad de probable, que puede suceder”; por lo tanto, diremos que la probabilidad de que ocurra algo es la posibilidad de que esto suceda. Obsérvese que se destacan palabras y expresiones como: “cualidad”,“cualidad de probable”, y que se emparentan con la expresión “posibilidad”,“posibilidad de que algo suceda”. Lo interesante del cálculo de probabilidades es que “cuantifica esta cualidad de probable”. Además, se incluye en esta revisión de conocimientos previos un resumen de los contenidos relacionados con probabilidad y regla de Laplace y algunos ejercicios resueltos. Finalmente, se 194 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 194 2/11/11 17:25:59 propone una actividad para realizar en grupo diferentes ejercicios. Recuerde que también se presenta una evaluación de proceso de manera que cada alumno y alumna pueda revisar si los conceptos se han aprendido bien y aplicado de manera correcta en la resolución de ejercicios y problemas. El mapa conceptual de la unidad es el siguiente: Probabilidad Probabilidad experimental Ley de los grandes números Variable aleatoria Frecuencia de una variable aleatoria UNID AD 5 Es fundamental revisar esta evaluación de proceso de modo que ningún estudiante comience la unidad sin los conocimientos necesarios. Cálculo de probabilidades y aplicación a problemas cotidianos Objetivos y planificación Antes de comenzar el desarrollo de los temas de la unidad se deben tener claros los objetivos y la planificación de la unidad. Presentamos aquí los objetivos que deben alcanzar los estudiantes a través de la unidad y una propuesta de planificación para la unidad. Objetivos Fundamentales de la Unidad •Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de variable aleatoria, mejorando en rigor y precisión la capacidad de análisis, de formulación, verificación o refutación de conjeturas. •Analizar información cuantitativa presente en los medios de comunicación y establecer relaciones entre estadística y probabilidades. •Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de problemas y el análisis de situaciones concretas. •Resolver desafíos con grado de dificultad creciente, valorando sus propias capacidades. •Percibir la Matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos. 195 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 195 2/11/11 17:25:59 Planificación de la Unidad Unidad 5 “Probabilidades... un paso más” CMO Variable aleatoria. Tiempo de duración Aprendizajes esperados 21 horas pedagógicas. Indicadores de evaluación Reconocer variables aleatorias. Reconoce una variable aleatoria. Interpretarlas de acuerdo a los contextos en que se presentan. Interpreta los resultados de una variable aleatoria dependiendo del contexto de la situación definida. Simula experimentos e interpreta sus resultados. Relación entre frecuencia de una variable aleatoria y probabilidad. Relacionar la frecuencia relativa con la probabilidad de un suceso. Relaciona la frecuencia relativa de una variable aleatoria con la probabilidad de ocurrencia de esta. Interpreta correctamente gráficos y tablas en relación con la información entregada sobre variables aleatorias. Reconoce la probabilidad establecida a partir de la frecuencia relativa como una probabilidad experimental. Simula experimentos e interpreta sus resultados. Ley de los grandes números. Conocer empíricamente la ley de los grandes números. Reconoce la ley de los grandes números como una aproximación de la probabilidad experimental a la teórica. Simula experimentos e interpreta sus resultados. Sucesos equiprobables y no equiprobables. Distinguir entre sucesos equiprobables Distingue sucesos equiprobables de y no equiprobables. aquellos que no lo son. Cálculo de probabilidades en forma teórica. Calcular probabilidades teóricas usando fórmula de Laplace, utilizando datos de gráficos y tablas u otros. Calcula probabilidades teóricas utilizando regla de Laplace a partir de tablas y gráficos. Cálculo de probabilidades mediante principio multiplicativo para sucesos independientes. Calcular probabilidades usando principio multiplicativo para sucesos independientes. Calcula probabilidades usando principio multiplicativo para sucesos independientes. Probabilidad condicionada. Resolver problemas que involucran el cálculo de probabilidad condicionada en situaciones sencillas. Reconoce sucesos dependientes. Calcula probabilidades condicionadas (con sucesos dependientes). 196 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 196 2/11/11 17:25:59 Desarrollo de la Unidad a)Introduciendo la unidad •Marta tiene prueba de filosofía, ella ha estudiado, pero no está segura de sus conocimientos. Ha conversado con un compañero y saben que la profesora hará su prueba de alternativas. Marta ha decidido que en las preguntas que no sabe o en las que no esté segura de la respuesta, va a contestar al azar. Su compañero le ha dicho que ese es un pésimo plan pues la profesora hace descuentos por las preguntas mal contestadas, como en la PSU.¿Podría anticipar Marta cuál será la probabilidad de obtener una nota sobre 4? UNID AD 5 Algunas de las situaciones que usted puede presentar como introducción a la unidad son las siguientes: •Mauricio fue con sus papás al casino como regalo de su cumpleaños número 18. Ellos comieron en un restaurante que tenía una excelente promoción y luego jugaron en el tragamonedas los $5 000 que le habían regalado. Como Mauricio estaba interesado en conocer los otros juegos fueron a la mesa donde se jugaba ruleta. Allí observó por un buen tiempo que de cada 4 tiradas, en 3 de ellas salía un número par. Le dijo a su papá que en las próximas cuatro tiradas el apostaría a par, si pudiera, y le aseguró de ganaría. Para jugar un rato, el papá le dijo que no apostarían, pero que él le regalaría $10000 si eso era verdad. Pasaron las cuatro tiradas y en 3 de ellas salió impar, ¿en qué falló y por qué falló el razonamiento de Mauricio? b)Preparando cada tema A continuación se entregan algunas sugerencias metodológicas para tratar cada uno de los conceptos y ejercicios abordados en el Texto del Estudiante. También se hacen notar algunas consideraciones y sutilezas conceptuales para que el docente tenga presente. Por último, al iniciar la preparación de cada tema se presenta un cuadro con los OFT tratados y las capacidades trabajadas según los Mapas de Progreso. Variable aleatoria... ¿qué es? (Página 296 del Texto del Estudiante) OFT Se trabajan los siguientes: • Interés por conocer la realidad a través de la matemática. • Análisis de procesos y establecimiento de relaciones lógicas. • Resolución de problemas que desarrollen el pensamiento lógico – deductivo. • Discernimiento de resultados en Mapas de Progreso Las capacidades trabajadas referentes al eje datos y azar son (en niveles 4 y 5): • Resuelve problemas simples de probabilidades, conjetura y verifica resultados usando el modelo de Laplace y también las frecuencias relativas. • Realiza inferencias a partir de una muestra aleatoria, considerando el error asociado al tamaño de ella. situaciones cotidianas. • Uso de herramientas tecnológicas (calculadora y simuladores computacionales). • Trabajo grupal. 197 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 197 2/11/11 17:25:59 En esta sección se presenta el concepto de variable aleatoria. Una variable aleatoria es una magnitud susceptible de variar azarosamente. Es decir, es una variable cuyo valor está determinado por el resultado de un experimento aleatorio. Es necesario dar varios ejemplos de la vida cotidiana y no tan comunes, distinguiendo claramente experimento aleatorio, el espacio muestral, el suceso. Por ejemplo: •“Lanzar un dado y anotar el número que aparece” Experimento: lanzar un dado. Variable aleatoria: número que aparece. Espacio muestral formado por 1, 2, 3, 4, 5 y 6. •“Lanzar tres monedas, y ver número de caras que aparecen” Experimento: lanzar tres monedas. Variable aleatoria: número de caras que aparecen. Espacio muestral formado por 0,1, 2, 3. Otros ejemplos que pueden considerarse son: •El número de minutos que tienes que esperar el bus en el paradero más próximo a tu casa para ir a tu colegio un día de semana. •El número de llamadas que recibe el 133 durante un día cualquiera del año •El número de veces que debes lanzar un dado para obtener un número 3. Es posible que un experimento aleatorio pueda tener asociadas varias variables aleatorias. Por ejemplo, lanzar tres veces un dado puede tener como variables aleatorias a: el número que aparece al sumar las pintas; el número de pares que aparece en los tres lanzamientos, la distancia entre las monedas que están alejadas, etc. Para puntualizar mejor estos conceptos, se sugieren las siguientes actividades. •Buscar siete ejemplos de variables aleatorias de la vida cotidiana. •Proponer cinco posibles juegos con tres dados, definiendo las variables aleatorias involucradas. •Lanzar diez veces tres monedas y medir la distancia entre las que aparecen más cercanas. En el lanzamiento de dados y/o monedas varias veces, se supone que cada lanzamiento está dado en las mismas condiciones, y que son independientes entre sí. Esto debiera asegurar mínimamente la validez del lanzamiento. Es por esto, y más allá del número de veces en que sea necesario repetir un lanzamiento, se usa el simulador de lanzamientos. Algunos sitios donde puede encontrar simuladores de dados, monedas y ruletas son: http://www.ematematicas.net/simulaciondado.php http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/activities/Prob/Index.html http://www.emathematics.net/es/simulacionmoneda.php También se pueden generar números aleatorios usando la función ALEATORIO de Microsoft Excel, o bien la misma de OpenOffice.org Calc. Este último es un recurso gratuito que se puede descargar de http://es.openoffice.org/programa/index.html 198 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 198 2/11/11 17:25:59 Veamos cómo se puede utilizar Excel para generar números aleatorios: UNID AD 5 Abrir una hoja de de Microsoft Excel Digitar en la barra: =ALEATORIO(1;10) y luego presionar ENTER, aparecerá un número. Se ha elegido (1;10), pensando en que trabajaremos con los 10 primeros números naturales. Usted puede elegir el rango que más le convenga. Hacer un barrido de celdas, de manera horizontal o vertical, según sea su preferencia. 199 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 199 2/11/11 17:26:00 De esta manera usted obtendrá un conjunto aleatorio de números comprendido entre 1 y 10 Otros conceptos que en esta sección se abordan son los de frecuencia relativa, sucesos equiprobables y la idea de probabilidad experimental. Con respecto a la frecuencia relativa, podemos decir que cumple varias funciones. Por ejemplo, por su carácter relacional, mide la presencia de un dato dentro del “todo” formado por los datos, a través de una razón; además, el peso gravitatorio de esta presencia en comparación con los otros. Esto se cuantifica mejor al referirnos a la frecuencia relativa porcentual. También, y de manera implícita, explica la existencia de ese dato. Lo anteriormente expuesto se verá reflejado en la relación que se establecerá entre los conceptos de la frecuencia relativa, la posibilidad y la probabilidad, diciendo: “La frecuencia relativa de un suceso determina la probabilidad experimental de este” En la página 299, dice: “Llamamos sucesos equiprobables a los que tienen igual posibilidad de ocurrir. Por lo tanto, serán no equiprobables los que, por alguna razón, no tienen la misma posibilidad de ocurrir”. Es relevante reflexionar sobre la importancia que tienen los sucesos equiprobables, pues nos dan una característica de regularidad o no de los sucesos al espacio muestral. Por ejemplo, si al lanzar al azar un dado, la probabilidad de que un número sea igual que cualquiera otro nos está dando una regularidad de la manera como debemos sospechar un resultado. No así cuando el dado está la trucado o cargado. Cuando todos los sucesos de un espacio muestral son equiprobables, permite usar la regla de Laplace más holgadamente. De esta manera, aceptamos como sucesos equiprobables la aparición de cualquier número en el lanzamiento de un dado. En un segundo momento, podemos decir que la probabilidad de que aparezca un número par será igual a la probabilidad que aparezca un número impar en el lanzamiento de un dado normal. Pero no es necesariamente así cuando los sucesos no son equiprobables y menos aún si no se conocen, por lo menos, las relaciones numéricas entre sus probabilidades. Esto es, por ejemplo, cuando la probabilidad de que aparezca un número impar es un 70 % de la probabilidad que aparezca un par. 200 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 200 2/11/11 17:26:00 Ahora bien, cuando realizamos experimentos, como lanzar un dado o una moneda, la probabilidad que obtenemos se llama probabilidad experimental. Y más operacionalmente, la frecuencia relativa de un suceso determina la probabilidad experimental de este. Con respecto al número de lanzamientos que se deben efectuar: ¿Cuál es el número suficiente o cuál es el número mínimo, si es que existe, de lanzamientos que se deben efectuar para que la probabilidad experimental sea muy próxima a la probabilidad teórica? La respuesta no es tan clara. La probabilidad teórica nace de una reflexión intelectual, la abstracción de una realidad. Por ejemplo, el lanzamiento de una moneda no trucada, nada impide pensar que la aparición de una cara esté privilegiada con respecto a la aparición de un sello. Y por esto, las posibilidades son las mismas, lo que se traducirá en que estos sucesos serán el equiprobable. Sin embargo, la probabilidad experimental está determinada por el carácter aleatorio del experimento. UNID AD 5 En este sentido y en contraste con lo estudiado anteriormente, debemos establecer algunas observaciones: Por ejemplo, en el lanzamiento de una moneda, tras la repetición de un cierto número de veces, puede aparecer que “salir cara” tiene mayor frecuencia que “salir sello”. La probabilidad experimental de la primera, es mayor que la segunda, y puede tomarse como referencia para decir, simplemente, que la aparición de una cara, y la aparición de un sello, no constituyen sucesos equiprobables. Aunque la probabilidad teórica diga lo contrario. Note que se abordan los contenidos a partir de experimentos que los alumnos pueden realizar. Es importante que realicen algunos experimentos para que se acerquen a la idea de probabilidad experimental. Primero lo harán sin simuladores y luego los usarán. Queremos destacar que a través del relato los alumnos van intuyendo los conceptos, mediante sus observaciones en los lanzamientos de monedas y de dados, aún con un dado cargado, y van intuyendo también sin darse cuenta, la ley de los grandes números, que se desarrolla en la siguiente subsección de la unidad. Note, por último, que las definiciones anteriores están formuladas en sentido de la posibilidad y no de la probabilidad de ocurrencia del suceso aludido. 201 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 201 2/11/11 17:26:00 Probabilidad experimental y teórica... ¿se relacionan? (Página 306 del Texto del Estudiante) OFT Se trabajan los siguientes: • Interés por conocer la realidad a través de la matemática. • Interés por demostrar regularidades conocidas. Valoración de las demostraciones lógicas. • Análisis de procesos y establecimiento de relaciones lógicas. • Resolución de problemas que desarrollen el pensamiento lógico – deductivo. Mapas de Progreso Las capacidades trabajadas referentes al eje datos y azar son (en nivel 6): • Verifica, haciendo uso de recursos digitales, la proximidad entre la distribución teórica de una variable aleatoria y la correspondiente gráfica de frecuencias en experimentos aleatorios discretos. • Realiza inferencias a partir de una muestra aleatoria, considerando el error asociado al tamaño de ella. • Uso de herramientas tecnológicas (calculadora, simuladores computacionales). • Trabajo grupal. En esta sección se relaciona la probabilidad experimental con la probabilidad teórica, mediante la ley de los grandes números. Esta dice que el valor de la probabilidad experimental (que se obtiene de realizar un determinado experimento una cierta cantidad de veces) tiende al valor de la probabilidad teórica de dicho evento, mientras más veces se repita este. Detengámonos en algunas consideraciones acerca de este tema: •Todas las repeticiones pueden y deben efectuarse en iguales condiciones. Esto es, por ejemplo, que el lanzamiento sucesivo de un dado no debe sentirse afectado por algún daño físico, forma de lanzamiento, u otro factor que altere la calidad del lanzamiento. •El resultado de una repetición no debe influir en los resultados de las siguientes, ni tampoco haber sido influida por las anteriores. •Siempre debe haber un resultado. •Ninguno de los resultados posibles debe producirse fuera del espacio muestral. Ahora bien, la ley de los grandes números hace fe de algunos supuestos convenientes de puntualizar. •El experimento puede ser repetible una innumerable cantidad de veces, siempre en la mismas condiciones. •Supone la existencia de un cierto valor fijo y que proviene de la probabilidad teórica. Entonces cabe la pregunta si siempre es posible conocer esta información proveniente de esta probabilidad. Más aún, ¿qué ocurre cuando no se puede conocer de antemano la probabilidad teórica? ¿O cuando el espacio muestral no se puede determinar con claridad o es infinito? En estos casos se debe trabajar con funciones de probabilidad, como aquellas que se usan en variables continuas, lo que supone un manejo matemático más avanzado. Afortunadamente trabajamos aquí con espacios muestrales de fácil manejo. 202 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 202 2/11/11 17:26:00 •La probabilidad experimental tiende al valor de la probabilidad teórica a medida que aumenta el número de repeticiones del experimento. Ahora bien, a través de las repeticiones de un experimento se va encontrando una regularidad en la distribución de los resultados, y esto sugiere, que lo aleatorio, va perdiendo su carácter de “caótico” en sus resultados. En esta sección también se establecerá la relación entre frecuencia UNID AD 5 relativa y probabilidad debido a que la probabilidad se calcularía casos favorables como P = . casos totales Así, podemos notar que esto no es más que la razón que representa la frecuencia relativa de una variable. Se sugiere que sean sus alumnos y alumnas los que lleguen a estas conclusiones. Con una buena guía ellos podrán relacionar los conceptos deseados. Se presentan ejercicios propuestos para ser trabajados en forma individual y grupal y, como siempre, una evaluación de proceso al final de la sección. Recuerde que debe motivar a sus alumnos y alumnas para que esta sea contestada responsablemente. Se ha trabajado en esta sección utilizando tablas de datos reales extraídos de páginas como las de la ONU, INE, etc. Es importante que los alumnos tengan acceso a datos reales e información sobre temas de actualidad. Se sugiere, entonces, el uso de tablas y gráficos para el cálculo de probabilidades. Un ejemplo de uso de gráficos podría ser el siguiente: (extraído del INE, http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/estadisticas_economicas/ turismo/cifras/cifras2009.php) 7 580 Magallanes y Antártica 403 Aisén 8 890 Los Lagos Los Ríos La Araucanía Biobío 603 3 098 2 720 3 011 Maule 574 O ’Higgins 9 683 Valparaíso Coquimbo 1100 1672 Atacama 8962 Antofagasta Tarapacá 2966 3297 Metropolitana de Santiago 66 023 Arica y Parinacota Nº de personas Turistas extranjeros por región en Octubre 2009 Región Se podría calcular, entonces, la probabilidad de que si un extranjero ingresa a nuestro país, se dirija a la región del Maule: nº extranjeros en regiÛn región del Maule n∞ n∞total de extranjeross nº 603 ⇒ P ( Maule ) = ≈ 0, 005 ⇒ P ( Maule ) ≈ 0, 5 % 120582 ⇒ P ( Maule ) = 203 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 203 2/11/11 17:26:02 Se presentan, al final de la sección, como es habitual, ejercicios y problemas de planteo para ser trabajados individual y grupalmente. Así como una evaluación de proceso para que los alumnos y alumnas puedan chequear su aprendizaje hasta esta parte de la unidad. Recuerde que, tanto en esta sección como en la anterior, se privilegia el cálculo de probabilidad en forma experimental por sobre la teórica. Haga énfasis en esto con sus estudiantes. No se está emitiendo juicio de valor alguno sobre una u otra, solo se quiere mostrar ambas y establecer su uso en situaciones cotidianas. Frecuentemente la probabilidad es un tema que, si bien a los alumnos y alumnas les interesa, no es de fácil acceso para ellos en cuanto a la obtención de resultados. A la falta de elementos de conteo se suma la dificultad de comprensión lectora, además la sensación de incertidumbre que acompaña al tema de las probabilidades y la sensación de los estudiantes de que los problemas no se parecen entre sí. Para ayudarlos en este sentido se requiere de mucha ejercitación y acompañar a los alumnos en la lectura y análisis de cada situación. Le presentamos algunos links con ejercicios de probabilidades que usted puede usar como material complementario: http://www-ma4.upc.edu/~fiol/pipe/100TestVAv2.pdf http://www.conevyt.org.mx/actividades/probabilidad/evaluacion.html Algunas consideraciones de sucesos y probabilidades (Página 314 del Texto del Estudiante) OFT Se trabajan los siguientes: • Interés por conocer la realidad a través de la matemática. • Análisis de procesos y establecimiento de relaciones lógicas. • Resolución de problemas cotidianos que desarrollen el pensamiento lógico – deductivo. • Uso de herramientas tecnológicas (calculadora). Mapas de Progreso Las capacidades trabajadas referentes al eje datos y azar son(en niveles 5, 6 y 7): • Resuelve problemas acerca del cálculo de probabilidades, usando diagramas de árbol, técnicas combinatorias y aplicando propiedades de la suma y producto de las probabilidades. • Comprende las propiedades de probabilidad y las aplica en la resolución de problemas en una amplia gama de situaciones. • Trabajo grupal. Se trabaja en esta sección definiendo algunos conceptos fundamentales y su relación con la probabilidad. Algunos de ellos ya se han abordado en 2º medio, pero es importante que se manejen y se recuerden antes de avanzar a la próxima sección de la unidad. Ellos son: suceso imposible, suceso seguro, sucesos independientes, probabilidad del complemento de un suceso. Entonces, podemos decir que, •Si P es la probabilidad de que un evento o suceso ocurra, entonces tendremos que, 0 ≤ P ≤ 1, o bien 0 % ≤ P ≤ 100%. •Al suceso de probabilidad cero lo llamaremos suceso imposible y al suceso de probabilidad 1 lo llamaremos suceso seguro. Nótese como las palabras “nunca” y “siempre” toman una participación cuantificada en calcular probabilidades. 204 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 204 2/11/11 17:26:02 •Dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no incide en la ocurrencia del otro. Dos sucesos son dependientes si la ocurrencia de uno de ellos depende de lo que haya ocurrido con el otro. En relación con esto, que un suceso dependa de otro, en el contexto de lo contemplado en un experimento, indica que su intimidad de ocurrencia no es tan libre o azarosa, sino que está supeditada a la existencia y ocurrencia del otro suceso. Por el contrario, los sucesos son independientes cuando sus existencias y ocurrencias libres y azarosamente se mantienen sin influencia del uno por el otro. •Los sucesos dependientes o independientes no siempre lo son, al igual que un suceso seguro y el otro nulo, no siempre lo son, sino que dependen del experimento, pero también del espacio muestral asociado a este experimento. Se sugiere dar ejemplos, destacando que simplemente aplicar fórmulas es inútil si no se relaciona con una reflexión ad hoc. UNID AD 5 •Si p es la probabilidad de que ocurra un suceso, entonces 1 – p es la probabilidad de que no ocurra. Se abordan estos conceptos a través de ejemplos. Ejemplifique con su curso tanto como sea necesario. En este sentido, se proponen los ejercicios del final de la sección, que tienen por objetivo consolidar estos conceptos. En esta sección se trabajan habilidades como: conocer, calcular, aplicar, analizar, relacionar, resolver problemas. Sucesos independientes... ¿cómo trabajar con ellos? (Página 320 del Texto del Estudiante) OFT Se trabajan los siguientes: • Interés por conocer la realidad a través de la matemática. • Análisis de procesos y establecimiento de relaciones lógicas. • Resolución de problemas cotidianos que desarrollen el pensamiento lógico – deductivo. • Uso de herramientas tecnológicas (calculadora). Mapas de Progreso Las capacidades trabajadas referentes al eje datos y azar son(en niveles 5, 6 y 7): • Resuelve problemas acerca del cálculo de probabilidades usando diagramas de árbol, técnicas combinatorias y aplicando propiedades de la suma y producto de las probabilidades. • Comprende las propiedades de probabilidad y las aplica en la resolución de problemas en una amplia gama de situaciones. • Trabajo grupal. En esta sección de la unidad se comienza a trabajar con probabilidad teórica en relación a sucesos independientes. Para ello, se utilizan los diagramas de árbol y se escriben espacios muestrales para facilitar la comprensión de los distintos problemas y situaciones. Recuerde que, para los alumnos y alumnas, no siempre es fácil “contar” las distintas situaciones que se pueden producir en un problema determinado. Detengámonos en algunos puntos importantes: a. El primer ejemplo trata de la probabilidad de que una persona escoja azarosamente una ruta para ir de una ciudad (ciudad 1) a otra (ciudad 3), pasando obligadamente por una tercera (ciudad 2) U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 205 205 2/11/11 17:26:02 que está en medio de ambas. Esta ruta está formada por dos caminos sucesivos que son elegidos, cada uno de ellos, en una gama de tres (de ciudad 1 a ciudad 2) y cuatro caminos (de ciudad 2 a ciudad 3) posibles. La formación y la presentación del espacio muestral también se puede efectuar a través de la siguiente tabla: Camino para ir de la ciudad 2 a la ciudad 3 Camino para ir de la ciudad 1 a la ciudad 2 D E F G A A-D A-E A-F A-G B B-D B-E B-F B-G C C-D C-E C-F C-G Y la probabilidad de que la persona haya escogido, sin preferencia 1 alguna, el camino C – F, es . Esta es la aplicación de la regla de 12 Laplace. Pero, también podemos llegar hasta mismo resultado usando directamente probabilidades. Así, la probabilidad de escoger alguna de las filas que representan al camino A, al camino B y al camino C, es 1 la misma, es decir, . De igual manera, la probabilidad de escoger 3 1 alguna de las columnas que representan a los caminos D, E, F y G, es . 4 Como la forma de elección para ir de la ciudad 1 a la ciudad 3 exige la elección sucesiva de dos caminos posibles para establecer una ruta, la probabilidad de elección mencionada también depende de las probabilidades de esas elecciones sucesivas de los dos caminos. Pues bien, al igual como se trabaja en los temas de proporcionalidad, cuando una variable z depende de otras dos variables independientes x e y, la fórmula que las relaciona es z = K ⋅ x ⋅ y , la probabilidad de la elección de una ruta determinada depende del producto de cada una de las probabilidades de los caminos que constituyen dicha ruta. El mérito que tiene este ordenamiento en filas y columnas de los sucesos elementales es que más adelante puede usarse este mismo problema pero con preguntas relacionadas con la probabilidad condicionada, facilitando así, mediante la selección de una fila o una columna, el desarrollo y las respuestas a ellas. Ahora bien, cabe la pregunta si la probabilidad de regresar de la ciudad 3 a la ciudad 1, pasando obligadamente por la ciudad 2, sin alterar el número de los caminos, es igual a la obtenida anteriormente. La respuesta es inmediata, pues de los ordenamientos deben ser mirados simplemente al revés y se aplica nuevamente la regla de Laplace. Se puede postular, de una manera más general, que si un suceso 1 se produce de n maneras distintas, un segundo suceso lo hace de m manera distintas, un tercer suceso ocurre de p maneras distintas, etc., todos estos sucesos son independientes entre sí, entonces la probabilidad de que ocurran todos ellos a la vez, o de manera sucesiva, está dada por el producto de las probabilidades de ocurrencia de cada uno de ellos. 206 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 206 2/11/11 17:26:02 Es importante también hacer hincapié en varios ejercicios de distintos tipos, que pueden ser una muestra de los casos con los que se pudieran encontrar, y considerar aquí los cambios de espacios muestrales. Veamos la fórmula para la intersección de tres sucesos independientes A, B y C p ( A ∩ B ∩ C ) = a ⋅ b ⋅ c , con p ( A ) = a ; p ( B ) = b; p ( C ) = c. Primeramente consideremos A ∩ B = M , por tanto, se tiene: p ( M ∩ C ) = p ( M ) ⋅ p (C ) Como A ∩ B = M , entonces p ( ( A ∩ B ) ∩ C ) = ( p ( A ) ⋅ p ( B ) ) ⋅ p ( C ). Eliminando los paréntesis correspondientes y reemplazando por los valores de cada probabilidad, se tiene p ( A ∩ B ∩ C ) = a ⋅ b ⋅ c . UNID AD 5 b. Hemos encontrado una fórmula para la intersección de dos sucesos independientes. Más adelante obtendremos una fórmula para sucesos dependientes. En la página 323 se hace alusión a un error frecuente, que consiste en encontrar la probabilidad de la unión de eventos independientes, a través de la suma de las probabilidades de ocurrencia de cada uno de ellos. El ejemplo allí desarrollado muestra claramente la forma correcta de encontrar la unión de dos eventos independientes y la manera incorrecta de hacerlo. Para encontrar la probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B o ambos a la vez se procede de la siguiente manera: Por el teorema de la probabilidad total se tiene que P ( A ∪ B ) + P A ∪ B = 1. ( ) ( ) De aquí, tenemos que P ( A ∪ B ) = 1 − P A ∪ B . Pero ¿qué significa A ∪ B ? Es la negación total de que ocurra siquiera alguno de los dos eventos. Esto es “no debe ocurrir ni A, ni B”. Esto se escribe A ∩ B . ( ) Por tanto, P ( A ∪ B ) = 1 − P A ∪ B , que también lo hemos escrito como P ( A o B ) = 1 − P ( no A y no B ) Una forma alternativa para P ( A ∪ B ) se efectúa de la siguiente manera. Debemos considerar tres casos que pueden presentarse en la unión de A con B. No olvidemos aquí que los sucesos pueden ser presentados mediante conjuntos. U representa el universo, pero más específicamente, el espacio muestral. 207 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 207 2/11/11 17:26:06 Caso 1 A Caso 2 B U B U A A B Nótese que nada en común tienen ambos conjuntos. Esto es A ∩ B = ∅ . A Caso 3 U U B B está completamente contenido en A. A ∩ B esta contenido completamente en A y completamente en B, pero no A ∩ B = B. coincide con ninguno de ellos. U A A B El número total de elementos de A ∪ B El número total de elementos de A ∪ B es simplemente la suma del número corresponde al número de elementos de elementos de A con los de B. Esto se de A, # ( A ∪ B ) = # A.+ # B escribe # ( A ∪ B ) = # A + # B. U B El número total de elementos de A ∪ B se puede pensar como la reunión directa de todos los de A, con todos los de B, pero descontando una vez el número de elementos que tienen en común, porque de lo contrario, éstos aparecerían dos veces así # ( A ∪ B ) = # A + # B − # ( A ∩ B ). La fórmula # ( A ∪ B ) = # A + # B − # ( A ∩ B ) es la más general de las tres, pues incluye a las otras dos. Si # ( A ∩ B ) = 0 es la fórmula mencionada, se obtiene el caso 1. Si # ( A ∩ B ) = # B , entonces tenemos el caso 2. Continuamos ahora asignando #U al número total de elementos presentes en el universo y donde están incluidos ambos conjuntos. Entonces no es difícil seguir los desarrollos: #( A ∪ B ) = # A + # B − #( A ∩ B ) #( A ∪ B ) # A # B #( A ∩ B ) + − #U #U #U #U p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B ) = / :# U Así hemos encontrado otra fórmula para encontrar la probabilidad de la unión de los sucesos p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B ) Nótese que de esta fórmula podemos tener una forma para calcular la probabilidad de la intersección, probabilidad que ya hemos mencionado para sucesos independientes. Además, podemos agregar que esta fórmula es muy usada en el desarrollo del cálculo de probabilidades. Podemos comentar que la obtención de la primera fórmula, aquella que se usa en el libro, nace sobre la base de que la probabilidad de un suceso más la probabilidad del suceso contrario es 1. Y luego la equivalencia entre el complemento de la unión de los sucesos con la intersección de los complementos de cada uno de ellos. Sin embargo, 208 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 208 2/11/11 17:26:10 Note también que se han incluido en esta sección algunos elementos de combinatoria. Sin definiciones de los conceptos de permutaciones, variaciones y combinaciones, se ha trabajado con ellos en forma intuitiva. Dejaremos el tratamiento formal de esto para el taller de profundización. Al igual que en secciones anteriores se presenta, al final de ella, actividades individuales y grupales para ejercitar lo aprendido y una evaluación de proceso para sus estudiantes. En esta sección se trabajan habilidades como: conocer, calcular, aplicar, analizar, relacionar, resolver problemas. UNID AD 5 la segunda, aquella que presentamos como alternativa, nace de la cardinalidad, es decir, del número de elementos de la unión de conjuntos, y luego de la aplicación de la regla de Laplace. Sucesos dependientes... probabilidad condicionada (Página 329 del Texto del Estudiante) OFT Se trabajan los siguientes: • Interés por conocer la realidad a través de la matemática. • Análisis de procesos deductivos y establecimiento de relaciones lógicas. • Resolución de problemas cotidianos que desarrollen el pensamiento lógico – deductivo. Mapas de Progreso Las capacidades trabajadas referentes al eje datos y azar son (en niveles 6 y 7): • Resuelve problemas aplicando el cálculo de probabilidad condicional. • Comprende las propiedades de probabilidad y las aplica en la resolución de problemas en una amplia gama de situaciones. • Uso de herramientas tecnológicas (calculadora, programa computacional para graficar). • Trabajo grupal. Se abordan aquí los sucesos dependientes y la probabilidad de que ocurra uno de ellos, dado que cierta ocurrencia del otro ya ha sucedido. Al igual que en la sección anterior, aquí se resuelven los ejercicios con la ayuda de diagramas de árbol. Siempre un buen esquema ayuda a clarificar lo que se pide y a resolver los ejercicios y problemas. Se define, entonces, el cálculo de una probabilidad condicionada como: Si dos sucesos, A y B, son dependientes, entonces, la probabilidad de que A suceda dado que B ha ocurrido se puede calcular por la P ( A y B) siguiente fórmula: P ( A / B ) = P (B) Nuevamente, la sugerencia es trabajar con datos de actualidad, incluso puede realizar una encuesta de interés en su curso y trabajar con ella. Por ejemplo, qué prefiere el curso para sortear la forma de evaluación de esta unidad: prueba o trabajo. Si es trabajo: grupal o individual; si es prueba: de alternativas o desarrollo y calcular sobre las preferencias de los alumnos probabilidades como: “que un alumno o alumna seleccionado de una prueba de desarrollo sí había elegido prueba”. 209 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 209 2/11/11 17:26:11 Recuerde que para que los contenidos de esta sección sean bien aprendidos, los estudiantes, deben tener claro que tienen que fijar su espacio muestral primero según la primera condición establecida y, a partir de este, calcular la probabilidad pedida. Revisemos uno de los ejemplos dados, •En un curso hay 35 alumnos, de ellos 20 son hombres. Hay en el curso 5 mujeres y 8 hombres que tienen pelo rubio y el resto tienen el pelo castaño. Se elige un joven al azar del curso y este es hombre. ¿Cuál es la probabilidad que tenga el pelo castaño? En el libro su desarrollo fue el siguiente: Si hacemos un diagrama tendremos que: 8 rubios 20 hombres 35 alumnos 12 castaños 5 rubias 15 mujeres 10 castañas Según nuestro diagrama, el número de personas que tienen el pelo castaño y son hombres es 12 y como debemos restringir nuestro espacio muestral solo a los hombres, entonces tenemos que la probabilidad pedida será, 8 2 P ( rubio si es hombre ) = = = 0, 4 = 40 % 20 5 Observe que, al trabajar con porcentajes, se ha sugerido tomar un total de casos de 100 y calcular las cantidades correspondientes. Esto hace que los cálculos sean más sencillos y que los alumnos no olviden que lo que se debe hacer en realidad es calcular el porcentaje de otro porcentaje. Uno de los ejemplos dados en la unidad se explica de la siguiente manera: Otra manera de abordarlo es: Número de Rubios Número de hombres Número de mujeres Total 8 5 Número de No rubios Total 12 20 10 15 13 22 35 Número de Rubios Número de No rubios Total 8 12 20 Al elegir un alumno al azar y resulta ser hombre. Esto nos hace poner nuestra atención a la reducción inmediata del espacio muestral. En la tabla consiste en considerar: Número de hombres 210 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 210 Entonces, ahora la pregunta se reduce a encontrar, en esa restricción del muestral, la probabilidad de que sea rubio. Esto se hace sencillamente aplicando la regla de Laplace. Es decir, 8 P (rubio rubio si si es es hombre hombre) = , es decir de un 40%. 20 2/11/11 17:26:11 alumnos en total. 8 Esto es 35 . 20 35 8 Pero corresponde numéricamente a la probabilidad de escoger un 35 alumno que “sea rubio y hombre”. 20 En cambio, , numéricamente es la probabilidad de elegir un alumno 35 que “sea hombre”. UNID AD 5 8 lo podemos mirar como la razón entre 8 hombres rubios de los 35 20 alumnos en total, con respecto a los 20 hombres que hay en los 35 Este es el motivo por el cual aparece el número 35 en el desarrollo al final de la página 329. Otro ejemplo trabajado en el libro es: Un informe médico sobre la diabetes señala que del total de la población chilena, el 14% indica no conocer su situación respecto a su padecimiento de esta enfermedad. Del resto, solo el 25% dice estar en tratamiento riguroso de su enfermedad. Isaías, estudiante de medicina de la Universidad de Talca, que debe hacer un trabajo de investigación sobre el tema en su región, toma esta información de referencia, y por ello, necesita calcular la probabilidad de que al escoger una persona al azar, esta no esté en tratamiento dado que no conoce de su enfermedad. (Datos extraídos de http://escuela.med.puc.cl/deptos/ saludpublica/ResultadoENS/CapIV204Diabetes.pdf) Haciendo un esquema de los datos obtenidos tenemos, Población total (100%) Sabe 86% Sin tratamiento 75% No sabe 14% Con tratamiento 25% Nota que tenemos porcentajes de porcentajes; por lo tanto, debemos tener mucho cuidado al hacer los cálculos, ya que, por ejemplo, las personas sin tratamiento son el 75% del 86%. Entonces podemos tomar un universo de 100 personas para simplificar la situación (recuerda que como los porcentajes son razones, será lo mismo si tomamos un universo mayor): 211 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 211 2/11/11 17:26:13 Entonces reescribamos el esquema: Población total 100 personas 86 personas saben (86%) 65 personas aproximadamente sin tratamiento (75% de 86) 14 personas no saben (14%) 21 personas aproximadamente con tratamiento (25% de 86) P ( sin trat ./sabe ) = P ( sin tratamiento y sabe ) P ( sabe ) 65 65 100 65 = 100 = ⋅ = ≈ 0, 76 ≈ 76 % 86 100 86 86 100 Con el mismo objetivo de las secciones anteriores se presentan, al final de ella, actividades individuales y grupales para ejercitar lo aprendido, una síntesis de los conceptos más relevantes de la unidad y una evaluación de proceso para sus estudiantes. A modo de resumen, podemos decir que la probabilidad condicionada se produce en sucesos que son dependientes, que su cálculo proviene de la aplicación de la regla de Laplace, donde se ha restringido el espacio muestral, y que equivalentemente este mismo cálculo se puede efectuar usando la fórmula anteriormente escrita. Un trabajo más refinado sobre la fórmula nos puede conducir a: •Obtener una fórmula para encontrar la intersección de sucesos dependientes P ( A ∩ B ) = P ( A / B ) ⋅ P ( B ) •Responder lo siguiente: Si P ( A / B ) = 0, ¿cómo se interpreta esta dependencia nula? Esto no implica independencia, sino que P ( A ∩ B ) = 0, y esto quiere decir que ambos sucesos no pueden acontecer simultáneamente. Si ocurre uno, no es posible que ocurra el otro al mismo tiempo. Si P ( A / B ) es numéricamente igual a P ( A ) ⋅ P ( B ), los sucesos son independientes Si P ( A / B ) es numéricamente igual a P ( A ), A no depende de B. Preguntarnos por la relación de condicionalidad cuando la dependencia de los sucesos se invierte, es decir, cuando el suceso dependiente hace depender al otro de él. Específicamente preguntarnos por la fórmula de P ( B / A ) y la vinculación con P ( A / B ). 212 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 212 2/11/11 17:26:16 Anteriormente se dijo, que P ( A ∩ B ) = P ( A / B ) ⋅ P ( B ). Análogamente, podemos decir que P ( B ∩ A ) = P ( B / A ) ⋅ P ( A ). Pero tenemos P ( A / B ) ⋅ P ( B ) = P ( B / A ) ⋅ P ( A ), en palabras, P ( A/ B) = P ( A) . Que nos establece una razón numérica entre las P ( B / A) P ( B ) probabilidades absolutas de dos sucesos dependientes, en relación con las probabilidades de sus dependencias mutuas. UNID AD 5 P ( A ∩ B ) = P ( B ∩ A ). Haciendo la igualación correspondiente Apliquemos esta última relación al siguiente ejercicio inspirado en el primer ejemplo analizado. Supongamos que el enunciado es el siguiente: “En un curso hay 35 alumnos y alumnas, de los cuales 13 son rubios. Hay 20 hombres, y además la probabilidad de que un hombre sea rubio es de un 40%. Se escoge uno de estos estudiantes al azar, y resulta ser rubio. ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?” Sean A y B sucesos definidos por A: “ser rubio” y B: “ser hombre”. De 20 13 esta manera podemos decir que P ( A ) = y P ( B ) = . Además, 35 35 P ( A / B ) = 0, 40. Efectuando los reemplazos tenemos 13 P ( B / A ) 20 0, 40 = 35 de aquí tenemos que = , y así P ( B / A ) 20 0, 40 13 35 8 20 P ( B / A ) = ⋅ 0, 40. Esto es P ( B / A ) = ; aproximadamente, un 62 %. 13 13 Agregamos finalmente las siguientes fórmulas para redondear el estudio de esta unidad, y que nacen de simples remplazos. Si los sucesos A y B son a. Independientes, entonces p ( A ∪ B ) = p ( A ) + p ( B ) − p ( A ) ⋅ p ( B ) b. Dependientes, siendo A dependiente de B, luego p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A / B ) ⋅ p ( B ) Por último, en el siguiente sitio web encontrará algunos ejemplos resueltos: http://ws-01.ula.ve/ciencias/jlchacon/materias/discreta/probpro.pdf Observación final al libro En la página 332 terminan los diálogos y las historias de cada uno de los personajes que nos acompañaron en la exposición de las unidades. Muchos de estos diálogos están tomados de la vida real de jóvenes y adultos, al igual que algunos ejercicios desarrollados y problemas propuestos. La interacción entre los personajes intenta traspasar un espíritu de búsqueda, de responsabilidad, de no dejarse abatir frente a las adversidades. Se finaliza con un poema que llama profundamente al perdón. Lo unimos con el compañerismo y la amistad al que alude la profesora que aparece en el párrafo anterior. 213 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 213 2/11/11 17:26:23 Existe, como siempre al final de esta sección, una evaluación de proceso para ser realizada por los alumnos y alumnas. En el taller de la página 339 del libro se abordan las ordenaciones circulares. Esto puede analizarse mediante polígonos o figuras estrelladas inscritas en una circunferencia. Los vértices corresponden a las posiciones de las personas, y la circunferencia representa a la mesa redonda. Ahora bien, se va variando el número de personas de dos en adelante, dejando fijo uno de estos vértices y construyendo los polígonos o figuras estrelladas correspondientes. Finalmente, se propone una fórmula que permita calcular el número de permutaciones circulares con n elementos. Número de integrantes (n) Total de ordenamientos posibles Posibles ubicaciones C B 3 A 4 B A 2=2·1 C D C C D B D D B A B A B A C A C B C C B A D A D 5 Al dejar fijo uno de los vértices, los cuatros restantes permutan entre sí, determinando las maneras de sentarse cinco personas a la mesa. 6 Al dejar fijo uno de los vértices, los cinco restantes permutan entre sí determinando las maneras de sentarse seis personas a la mesa. n Al dejar fijo uno de los vértices, los n–1 restantes permutan entre sí determinando las maneras de sentarse n personas a la mesa. 6=3·2·1 20 = 4 · 3 · 2 · 1 120 = 5! ( n − 1)! Entonces, podemos decir que n personas pueden sentarse alrededor de una mesa circular de ( n − 1)!, con n mayor o igual a dos. 214 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 214 2/11/11 17:26:24 Errores frecuentes Contenido Posible déficit Sugerencia Cálculo de probabilidades. Error al contar casos favorables y casos totales debido al no uso de diagramas de árbol o espacios muestrales. Probabilidad calculada a partir de frecuencias absolutas. Trabajar con los estudiantes la interpretación y lectura de tablas de Lectura de tablas y gráficos. una y doble entrada y de gráficos, extrayendo información relevante de ellos. Probabilidad de sucesos con extracción sin reposición. No variar el espacio muestral. Realizar experimentos de extracciones sin reposición en la sala de clases, donde los alumnos puedan experimentar el cambio de espacio muestral. Contrastarlo con aquellas extracciones con reposición. No ajustar el espacio muestral según la condición impuesta por el suceso independiente. Por ejemplo, si se quiere calcular la probabilidad de que se escoja una persona con lentes dado que es mujer, se deberá cuidar que el espacio muestral de la probabilidad, de A dado B, sean las personas mujeres y no toda la población. Esto quedará más claro para los jóvenes si hacen un buen esquema con los datos del problema. Probabilidad condicionada. Ser enfático en la construcción de los diagramas y los espacios muestrales. A medida que los alumnos y alumnas se sientan seguros y comprueben que ya no se equivocan, pueden ir prescindiendo de ellos. UNID AD 5 Se nombran en esta sección algunos de los errores frecuentes cometidos por los alumnos y alumnas. Es importante tenerlos en cuenta durante el desarrollo de la unidad para corregirlos. 215 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 215 2/11/11 17:26:24 Síntesis de la Unidad Síntesis conceptual de la unidad Ejercicios propuestos en esta Guía El objetivo de esta síntesis es que los estudiantes puedan revisar los conceptos fundamentales de la unidad. Se presenta primero, un mapa conceptual como ejemplo de síntesis de los conceptos de la unidad. Se sugiere revisarlo en clases junto a sus estudiantes haciendo énfasis en los conceptos. i. Actividades de refuerzo Estas actividades se presentan como un apoyo para el profesor y los estudiantes, de manera de reforzar lo aprendido. Encontrará aquí una batería de ejercicios que puede trabajar en clases, en forma adicional a los ya propuestos en el texto. Ejercicios de resumen ii. Ficha de refuerzo Estos ejercicios están destinados a aquellos estudiantes que aún no han logrado los objetivos mínimos propuestos y necesiten trabajar sobre los conceptos fundamentales de la unidad. Se pueden separar en dos partes: la primera corresponde a los ítems I y II, donde se repasan todos los contenidos en diferentes tipos de ejercicios, que pueden ser trabajados grupal o individualmente. Note que se hace siempre énfasis en colocar TODO el desarrollo en la resolución de los ejercicios. La segunda parte son los ítems III y IV, que presentan ejercicios y problemas de aplicación. Luego el ítem V, es una evaluación en base a alternativas tipo PSU y donde hay una sugerencia para que el alumno revise y obtenga su porcentaje de logro, que se aconseja sea trabajado individualmente. Por último, al final de la unidad se proponen dos evaluaciones sumativas de todas las unidades. iii. Actividades de profundización Este material tiene por objetivo ampliar los conocimientos de los estudiantes que evidencien mayores habilidades matemáticas en esta unidad. Se proponen ejercicios y una actividad con los que usted puede trabajar. Tipos de ejercicios Se pueden identificar en ejercicios donde se repasan todos los contenidos en diferentes ítems, que pueden ser trabajados grupal o individualmente. En otros casos, especialmente en la Ficha de refuerzo, se hace siempre énfasis en colocar todo el desarrollo en la resolución de los ejercicios. Finalmente, también ofrecemos evaluaciones basadas en alternativas tipo PSU y donde hay una sugerencia para que el alumno revise y obtenga su porcentaje de logro, que se aconseja sea trabajado individualmente. 216 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 216 2/11/11 17:26:24 Actividades de refuerzo Nº Probabilidad 1 0,180 4 0,140 2 3 5 6 0,140 0,210 0,150 0,180 Además se dispone de una moneda cargada, cuya probabilidad de cara es la mitad que de la de sello. Se lanzan simultáneamente la moneda y ambos dados. Se leen marca y pintas para formar claves tipo: marca, pinta del dado rojo, pinta del dado negro. 8 a. Estima la probabilidad de que en un día elegido al azar la temperatura no haya superado los 25 ºC. 7 b. ¿Qué rango de temperatura corresponde a la mayor probabilidad de haber ocurrido? Justifica tu respuesta. 3. Usando un simulador, efectúa 1 000 lanzamientos de un dado y completa así la siguiente tabla. Luego responde la siguiente pregunta: ¿Qué es más probable, obtener 15 puntos en total al lanzar 3 veces el dado simulado en tu tabla o lanzar dos veces un dado de ocho caras, no cargado, para obtener también 15 puntos? Nº Frecuencia Frecuencia relativa 1 2 3 4 5 6 a. ¿Cuál es la probabilidad de la clave S, 5, 6? b. Escribe tres claves que sean las menos probables con sus correspondientes probabilidades de aparición. No repitas los dígitos finales en tus tres claves 30 ≤ T ≤ 35 25 ≤ T < 30 10 (http://www.ematematicas.net/simulacionmoneda.php Material Fotocopiable 4 20 ≤ T < 25 15 ≤ T < 20 10 ≤ T < 15 1 Material Fotocopiable 1. Se dispone de un dado rojo y otro negro, cuyas probabilidades, para ambos iguales, se resumen en la tabla a continuación: Nº de días Material Fotocopiable II. Resuelve los siguientes ejercicios de probabilidades. Recuerda revisar tus respuestas junto con tu profesor o profesora: Temperatura Máxima T (ºC) Horizontales Verticales 1.Sucesos donde la ocurrencia de 1.Suceso cuya uno de ellos no depende de la probabilidad ocurrencia del otro. es uno. 4.Sucesos con la misma probabilidad 2.Suceso cuya de ocurrencia. probabilidad 5.Magnitud que varía azarozamente. es cero. 6.Probabilidad calculada a partir de la 3.Razón entre los realización de un experimento casos favorables azarozo. de ocurrencia de 7.Probabilidad de un suceso que un suceso y los depende de la ocurrencia de otro. casos totales. 2. La siguiente tabla muestra el comportamiento de la temperatura de enero de 2011, en una localidad al interior de la séptima región Material Fotocopiable d. ¿La clave S, 4, 5 es favorecida en su probabilidad de formación usando estos dados con esta moneda o usando dados y monedas normales? UNID AD 5 c. ¿Quién tiene más probabilidad de aparecer: C, 3, 4 o C, 4, 3? Justifica tu respuesta. I. Resuelva el siguiente crucigrama con los conceptos de la unidad de probabilidades: tienes un simulador de lanzamientos). 217 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 217 2/11/11 17:26:25 Material Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable 4. Sean A un suceso seguro y B un suceso imposible de un mismo experimento aleatorio. ¿Cuál es la probabilidad de que a. ambos ocurran a la vez? b. ocurra cualquiera de ellos? c. no ocurra ni uno, ni el otro? 5. La familia que es mi vecina está formada por los padres y sus cinco hijos y me piden que les saque una foto sentados en una gran banca. ¿Cuál es la probabilidad de que los papás no queden juntos? 6. Se generan números aleatorios de cuatro cifras usando los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7, sabiendo que sus cifras se pueden repetir. ¿Cuál es la probabilidad de formar un número: a. b. c. d. de cuatro cifras distintas? que no tenga sus cuatro cifras distintas? que termine en 3 y sus cifras sean distintas? que termine en 5 o 7? 7. Glenda está eligiendo tres colores de lanas para tejer franjas tricolores, sin repetir ninguno de ellos. Naturalmente a ella le importan mucho el orden en que deben ir los colores, pero esta vez quiere jugar y los elije al azar. Dispone de 9 colores para hacerlo: rojo, morado, gris, verde, amarillo, café, azul, rosado y naranjo. ¿Cuál es la probabilidad de que forme: a. cualquiera de estas franjas de tres colores, respetando este orden? • Café – gris - morado • Rojo – verde - amarillo b. una franja usando solamente gris, blanco y naranja? 8. Un estudio de números aleatorios requiere considerar solo aquellos números de seis cifras. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir uno cualquiera este sea impar, comience con 6, y su unidad de mil sea 5? 9. Se dispone de 8 puntos no colineales en un plano, a los que se le han nombrado por A, B, C, D, E, F, G y H, donde cada uno de ellos tiene la misma preferencia para formar triángulos. Azarosamente, se ha construido un triángulo. ¿Cuál es la probabilidad de que a. uno de sus vértices sea E? b. uno de sus lados sea DG ? c. sea el ∆ BCF ? 10. Una dupla de dos jugadores de tenis, A y B, frente a un cierto equipo adversario cometen fallas tanto individualmente como ambos a la vez. El 10% de las fallas las comete solo A, el 13% las comete solo B y un 7 % fallan ambos. Calcula la probabilidad de que en otro partido frente al mismo equipo adversario a. no haya fallas. b. falle solo uno de los dos. c. falle A, sabiendo que ya B falló. 11. Los resultados de una encuesta sobre nivel del dominio inglés en una empresa a lo largo del país se presentan en el siguiente cuadro: Nivel de dominio SECTOR NORTE 60 Avanzado 40 Intermedio 10 Básico CENTRO 70 30 40 SUR 20 50 80 Se elige al azar uno de estos aprobados ¿Cuál es la probabilidad de que a. sea del Norte y tenga dominio básico? b. tenga nivel avanzado, dado que vive en el Sur? c. si se sabe que tiene nivel intermedio, provenga del Centro? 12. En un experimento aleatorio, M, N son sucesos independientes tal que P M ∪ N = 0, 20 (probabilidad de que no ocurra M ∪ N ). Hallar P ( M ∪ N ). ( ) 13.La probabilidad de que cuatro ampolletas funcionen al mismo tiempo, en una determinada instalación eléctrica, de manera independiente, es de 0,6561. Si todas tienen la misma probabilidad de funcionar en forma separada, ¿cuánto es este valor? 14. Si la probabilidad de la intersección de dos eventos, M y N, es 0,75 y la probabilidad de N es 0,95. ¿Cuál es P ( M / N )? 15. En la Industria de LCD “X_PLENDID”, el 25%, el 30% y el 40% de la producción total de 10000 unidades las realizan las fábricas A, B y C, respectivamente. Siguiendo el mismo 218 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 218 2/11/11 17:26:27 Guerrero galáctico 7 50 25 40 Piloto estrella avanzado Piloto Estrella 100 (última versión) FIFA 2010 25 Detective III Pinball Héroes Nº de Descargas Juego 1. Pancracio administra un sitio web comercial que se especializa en la venta de juegos. Las estadísticas muestran el número de las descargas promedio durante el periodo agosto - diciembre 2010 de algunos juegos más solicitados: 10 Si esta tendencia se hubiera mantenido en los tres primeros meses del 2011, responde: a. ¿Cuál hubiera sido la probabilidad del juego más preferido? b. ¿Cuáles hubieran sido los juegos equiprobables y el valor de sus probabilidades? c. ¿Qué tan probable hubiera sido que alguien hubiera descargado los tres juegos de las más altas frecuencias de descargas y de una vez? 2. –Por eso me retiré de la otra carrera –dijo Imelda, sonriendo, a la profesora de su nuevo ramo de probabilidades- Porque no me gustaban los experimentos con ratas. –¿Por qué exactamente? –Bueno, sentía que perdía mi tiempo mirando una rata que, colocada en una caja con tres pulsadores de colores rojo, azul y blanco, al pulsar uno de ellos obtenía alimentos, al pulsar otro conseguía la salida de la caja y por otro, nada. Después hacer unas mediciones y sacar conclusiones de su comportamiento. –Bueno, bueno, esto es para que veas que todo en el saber está conectado, cada ciencia sirve a la otra para avanzar... pues bien, ahora responde lo que se pregunta... a. La probabilidad de pulsar cada tecla de cualquiera de esos tres colores, por parte de la rata, no se dice. ¿Qué valor sería el más adecuado asignar a cada color para que las teclas tuvieran la misma posibilidad de ser pulsadas?, ¿cómo se llama a ese tipo de sucesos? b. Si pulsar una tecla no influye en la rata, que azarosamente elija otra determinada tecla para continuar. ¿Cómo se llaman aquellos sucesos que no influyen en la ocurrencia de uno en el otro? c. ¿Cuál es la probabilidad de que la rata presione, en orden, las teclas roja, blanca y azul? 3. “Lo que me tiene más inquieto, hermanos, es no darle una solución rápida a la delicada intervención quirúrgica de papá. Estuve haciendo mis averiguaciones y supe que Ítalo es el médico más confiable, ya que de cada 10 pacientes que ha intervenido, 8 se han recuperado notablemente. Por otro lado, me enteré que Ian, el médico de cabecera de tío Blas, también se dedica a este tipo de intervenciones, pero solo 6 de cada 10 intervenidos quedan bien. Ahora bien, puede ser que también podamos a acudir a Ulrike, la doctora alemana. Sé que 7 de cada 10 intervenidos por ella salen en perfectas condiciones. Pero con el resto del equipo médico, porque no los conozco bien. Por eso siento, hermanos, que se está pasando el tiempo, y papá está empeorando. Entonces, ¿qué tan probable es que cualquiera de los tres médicos haga la intervención quirúrgica exitosamente?, ¿qué tan probable es que ninguno de los tres médicos pueda, al mismo tiempo, solucionar esta situación de manera exitosa?” UNID AD 5 III.Resuelve los siguientes problemas con tu grupo. Revisen sus respuestas con su profesor o profesora: Material Fotocopiable c. C Material Fotocopiable b. B –Porque si bien ahora no estoy en el laboratorio, al mirar esta guía de trabajo que usted nos dio, un ejercicio dice así:“Una rata, colocada en una caja con tres pulsadores de colores rojo, azul y blanco, pulsa dos veces las teclas al azar”. Material Fotocopiable a. A –¿Y por qué te estabas riendo ahora? Material Fotocopiable orden de la producción de cada una de ellas, el 3%, 4% y el 5% son LCD defectuosos. Como control de calidad se toma un LCD al azar de la producción total y se le encuentra defectuoso. Cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la fábrica: 219 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 219 2/11/11 17:26:27 Material b. Como se produjo este resultado de 3-2. ¿Qué tan probable es que haya ocurrido en la forma predicha por Adonio, considerando todos los resultados posibles? 6. Estoy atravesando el canal de Chacao, vuelvo a mi tierra, a Chiloé, después de 40 años de docencia en Matemática y Física. A mi lado va Cory, mi señora, serena contemplando el mar bajo un cielo azul. De repente me desconcentro por las risas de unos pescadores que van cerca de nosotros. Los escucho, uno de ellos dice: “...y me gané casi todos los juegos en ese bar de Puerto Montt. El juego de sacar mayor puntaje al tirar tres dados era muy fácil”. ¡Cuántas veces sorprendí a mis alumnos diciéndoles que en el juego de tirar tres dados y sumar sus pintas era más frecuente que saliera diez, en lugar de nueve! No me lo creían. Te invitamos a que ayudes a despejar las dudas a Wendy. Responde sus preguntas. 8. “Mi mamá se ubicó a través de Internet con sus compañeras de colegio y vinieron tres de ellas a mi casa. Igual que cuando eran estudiantes, hablaron, cantaron, se rieron... ¡jugaron hasta Bachillerato! He aquí cuando más gritaban:“que stop”, “que cinco puntos”, “que no vale”, “no, porque jibia no se escribe así”, “que eso es trampa”, “que esa letra es muy difícil”,en fin. Aquí te muestro la hoja de mi mamá cuya última fila no la alcanzó a contestar, según ella porque se puso muy nerviosa”. Américo A M L T C Nombre País Argentina 10 Macarena México Luis 10 5 Tobías 5 Titulo de película Asno Amanecer Mono Anafe 5 Mecha 10 10 Machuca 5 5 10 5 Luxemburgo Lagartija Lonchera La nana Tasmania 10 10 0 10 0 Cornelio Animal Objeto Toro Total Imagínate la cara de alegría que va a poner Adonio cuando se entere. Ahora responde tú. 7. Wendy es jefa de personal y debe nominar una terna para la propuesta del ascenso funcionario. Este año no es fácil decidir porque hay cinco muy buenos funcionarios e igualmente merecen ser considerados. Ellos son Jeremías, Genaro, Delia, Cidalia y Rogelia. ¡Qué terrible situación! Después de mucho meditarlo, dio una condición a la terna: que incluya a Cidalia en primer lugar. Después pensó, “¿qué tan probable es que acepten por lo menos alguna de las ternas donde incluyo a esta funcionaria en el primer lugar? Y más aún, ¿qué tan posible que acepten la que tengo en este momento en mente? ¡Uf, total, yo solo propongo!” Letra Material Fotocopiable a. Sobre el total de cinco goles, ¿qué tan probable es que se haya dado este resultado, considerando todas las posibilidades? Material Fotocopiable Material Fotocopiable Algo en el relato hace creer que se hizo trampa. ¿Puedes contestar qué es? Material Fotocopiable Material Fotocopiable 4. “Claro, compadrito. Le cuento que ese día en que dejamos de vernos gané jugando todo mi dinero. Tiré dos dados, de esos comunes, y saqué 11 puntos en total, con lo que dejé enloquecidos a los otros jugadores. Entonces ellos, Bencho, Mañungo y Segua, me dijeron que había hecho trampas. Bueno, no vale entonces –les dije–. Tiré de nuevo los dos dados y saqué 13 puntos en total. Tenía el 100 % de probabilidades de ganar. Me dieron el dinero, nada de contentos, y aquí estoy... frente a usted” 5. “Secreto Deportivo vence tres a dos a Deporte Oculto en espectacular partido por la final del Fútbol 2010”, era uno de los titulares de prensa. Adonio había apostado, a sus amigos que Secreto Deportivo ganaría, diciendo incluso, que los dos primeros goles los haría su equipo... Material Fotocopiable Te desafío a ti, joven estudiante, a decirme las probabilidades de ambos y ver que lo que digo es cierto. ¡Difícil situación, ¿no?! Tú sabes de probabilidades, respóndelas. 40 35 40 5 31 minutos, Tetera la película 30 5 5 10 Crepúsculo 15 5 0 0 10 10 (Nota: las letras las eligieron al azar, se otorgan 5 puntos si hay coincidencia con otra compañera; 10, si no hay coincidencia con nadie; 20 para la única persona que haya llenado el recuadro y 0 si no contesta) 220 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 220 2/11/11 17:26:27 d. ¿Qué porcentaje de probabilidad es qué haya tenido 20 en la columna de animal y cualquier otro valor distinto a este número en la otras columnas con 0? e. ¿Cuál es la probabilidad de que hubiera tenido treinta puntos en total? 9. “Y nosotros con María Teresa estábamos temblando antes de entrar al examen de Matemática. Fue un poco difícil, pero de las cinco preguntas que nos hicieron, nos dijeron que respondiéramos solo tres, a nuestra elección y en el orden que quisiéramos, pero que lo hiciéramos lo mejor posible. Y valían 12 puntos cada una de las preguntas. A pesar de todo, ¡aprobé, mamita, aprobé! ¡Y María Teresa también!” ¿A quién no le habrá pasado algo similar? Pero no todos se han preguntado, ¿qué tan probable es que hubiera ocurrido justo esa elección? Bien, te lo preguntamos ahora y esperamos tu respuesta a esta última pregunta. Considera todos los casos posibles. 10.–¡Qué regodeón!, ¡tan linda que es Jackie, y el tonto no se fija en ella! Anda pendiente de esta otra chica de la vuelta, que ni lo toma en cuenta. –¡Ah pero tú lo conoces bien! –Sí, él pretende ser muy exclusivo en sus gustos. Tiene sus preferencias: le gustan de pelo caoba dorado, nariz respingada europea, esbelta, de ojos verdes claros y que cante lírico. –Oye ¿y qué tan probable es que una mujer que pase por la calle en estos momentos reúna estas características? ¿O qué exista?... –Ja ja, se nota que nos hemos puesto hasta matemáticas para hablar. Ja ja. Pero esto que acabas de conocer es un problema de probabilidades. Basta que digamos que cada característica que se describe constituye un suceso independiente. Entonces responde: ¿qué tan probable es encontrar azarosamente la mujer descrita en el relato? 11.¿Te acuerdas de Imelda? Aquella alumna a la que no le gustaban los experimentos con ratas. Ya la ayudaste a resolver el problema anterior, de probabilidades, ahora te envía este problema para que lo resuelvas. “Una rata colocada en una caja con tres pulsadores de colores rojo, azul y blanco pulsa dos veces las teclas al azar. a. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos veces pulse la tecla blanca? b. ¿Cuál es la probabilidad de que pulse la primera vez o la segunda o las dos veces la tecla blanca? 12.La fiesta de baile de antifaces organizada por la refinada Penélope Lambar está realizándose en uno de los salones de un lujoso hotel. Ella porta un antifaz dorado y, para el resto de los invitados, ha designado antifaces rojos y negros: Nueve de los rojos los usan damas de las veintitrés invitadas y los trece rojos restantes, los llevan algunos caballeros de los veinticinco invitados. En medio de la fiesta donde están ya todos los invitados, un caballero invita a hacer un brindis en honor a la bella Penélope. Secundando la iniciativa, una dama improvisa magistralmente algunas arias de óperas famosas. Y finalmente, Edgar, único en romper el protocolo, se retira su antifaz por un momento y recita un poema. UNID AD 5 –¡Ah! Y una de cada cien, que cante lírico. Material Fotocopiable c. ¿Qué porcentaje de probabilidad es qué haya tenido 20 en la columna de animal? –¿Y qué más? ¡Ya se me olvidó! Material Fotocopiable b. ¿Cuál es la probabilidad de que para la letra C las puntuaciones escritas de izquierda a derecha no hayan sido 20, 10 y 5; 10, 20 y 5; ni 0, 10 y 5? –Claro y una de cada cinco, esbelta; una de cada diez debe tener ojos verde claro y... Material Fotocopiable a. ¿Cuál es la probabilidad de que para la letra C las puntuaciones escritas de izquierda a derecha hayan sido 20, 20 y 10? –Bueno, una de cada cien mujeres debe tener el pelo caoba, y creo que una de cada diez debe tener nariz respingada europea... ja, ja. Material Fotocopiable Imagínate que todas las letras con sus recuadros presentan la misma dificultad para responderla de manera independiente. Conforme a la última fila: 221 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 221 2/11/11 17:26:27 Material Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable La velada continúa con música, grata conversación y baile. Una persona invitada, presa de un estado de decepción, es la primera en retirarse lanzando a la salida del hotel su máscara roja. Sin considerar a la bella Penélope, ¿cuál es la probabilidad de que: a. el caballero del brindis porte antifaz negro? b. la dama que improvisa arias tenga antifaz rojo? c. el color del antifaz de Edgard sea rojo o negro? d. la persona que se ha retirado, presa de un estado de decepción, sea hombre? 13. Ignacio es médico forense y jefe de su unidad, y está revisando las estadísticas de la época señalada en el cuadro en busca de alguna pista para su investigación de casos clínicos. Te invitamos a que analices, al igual que él, los datos, respondiendo las preguntas que abajo se encuentran. Región de Atacama: total de defunciones por año de ocurrencia, según grupos de causas de muerte. Período 1997 - 2003. Defunciones Clasificación internacional Grupo de causa de muerte Año de ocurrencia 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 A00-Y98 A00-A09 A15-A19 A20-B99 C00-C97 D00-D48 D50-D89 E00-E90 F00-F99 G00-G99 H00-H59 H60-H95 I00-I99 J00-J99 K00-K93 L00-L99 M00-M99 N00-N99 000-099 P00-P96 000-099 R00-R99 V01-V98 Total Enfermedades infecciosas intestinales. Tuberculosis. Otras enfermedades infecciosas y parasitarias. Tumores malignos. Tumores in situ, benignos y comportamiento incierto o desconocido. Enfermedades de la sangre y de los órganos hematopoyéticos y ciertos transtornos que afectan el mecanismo de la inmunidad. Enfermedades de las glándulas endocrinas, de la nutrición y metabólicas. Trastornos mentales y del comportamiento. Enfermedades del sistema nervioso. Enfermedades del ojo y sus anexos. Enfermedades del oído y de la apófisis mastoides. Enfermedades del sistema circulatorio. Enfermedades del sistema respiratorio. Enfermedades del sistema digestivo. Enfermedades de la piel y del tejido subcutáneo. Enfermedades del sistema osteomuscular y del tejido conjuntivo. Enfermedades del sistema genitourinario. Embarazo, parto y puerperio. Ciertas afecciones originadas en el período perinatal. Malformaciones congénitas, deformidades y anomalías cromosómicas. Síntomas, signos y hallazgos anormales clínicos y de laboratorio no clasificados en otra parte. Causas externas de morbilidad y de mortalidad. 1421 107 1 093 1 103 1 138 1 163 1157 1 7 8 5 7 5 1 2 11 4 5 6 7 5 10 23 22 17 13 17 13 29 271 243 244 240 249 277 278 12 11 9 16 10 7 17 4 28 6 27 2 37 5 34 6 51 1 55 11 48 12 19 0 0 263 144 64 4 2 15 11 1 0 288 144 68 4 0 8 15 0 1 271 166 77 8 3 12 16 0 0 294 161 64 3 9 18 16 0 0 300 157 74 3 4 18 24 0 0 319 148 80 1 3 21 26 1 0 303 135 64 1 7 57 56 51 33 40 34 53 26 0 32 15 148 21 0 30 22 126 31 2 25 22 94 30 0 29 28 103 39 0 22 15 105 http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/demografia_y_vitales/estadisticas_vitales/pdf/causas_de_muerte_regiones%202003.PDF 32 1 19 23 102 26 3 17 14 91 222 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 222 2/11/11 17:26:27 e. ¿Sabiendo que una persona falleció por causas externas de morbilidad y de mortalidad, en qué año es menos probable que haya acontecido? 14.Rolando es un ingeniero especializado en artículos electrónicos de la famosa Industria especializada “Etronik”. Lo han enviado a hacer una demostración, ante un grupo supervisor externo a la industria, de un nuevo aparato electrónico que consta de dos motores, para un primer control de calidad. Él explica minuciosamente las partes y el funcionamiento del aparato. Uno de los supervisores le pregunta acerca de la posibilidad de que fallen los motores. Rolando responde diciendo que la probabilidad de que falle el primero de ellos es de un 20%, de que fallen los dos es de 15 % y que falle solo el segundo es de un 30 %. Los supervisores le piden que encienda el aparato y transcurridos unos segundos, falla el segundo motor, pero igual sigue funcionando. Rolando, preparado para esta situación, continúa dando más explicaciones técnicas hasta que de pronto, falla el primer motor. Entonces, un segundo supervisor le pregunta “¿Qué tan frecuente es que ocurra este tipo de fallas que estamos presenciando?” Otro agrega,“Y si hubiera sido al revés, ¿qué tan probable es que falle el primero y un poco después, el segundo?” El grupo supervisor encontró que el producto no podía pasar este primer control. Rolando, un poco amargado, se preguntó “¿Qué tan probable es que no hubiera ocurrido ninguna falla?” Calcula tú las probabilidades pedidas. –Nada me explico al respecto, Myriam. Solas, sin equipos, sin nuestros compañeros, sin celulares que funcionen, sin teléfono y para colmo caminos cortados. ¿A qué nos enviaron? ¿A ver llover? –Pero recuerda que nos informaron que en el poblado donde están nuestros compañeros la probabilidad de lluvia es de un 10% más que acá, donde la probabilidad de lluvia es de un 60% en esta época del año. –Sí, y un 35% de que llueva en ambos poblados. Oye, Myriam, sabiendo que acá sigue lloviendo, ¿qué tan probable es que donde están nuestros compañeros también lo esté? –Buena pregunta, Sonia, y al revés, seguramente alguno de nuestros compañeros dirá si acá llueve, ¿qué tan probable es que llueva también donde Sonia y Myriam estén? –¿O que llueva...? –¡No sigas! Porque es hora de ir a dormir. –¡Sí! Porque mejor es decir ¡Al mal tiempo, buena cara! Ja, ja. Vamos a nuestros dormitorios a descansar. Buenas noches. Te invitamos a que respondas a las tres interrogantes planteadas en la conversación de Sonia y Myriam. UNID AD 5 Material Fotocopiable d. ¿Qué es más probable que hubiera ocurrido, una persona fallecida por alguna enfermedad del sistema circulatorio en 1999 u otra fallecida por tumor maligno en el 2003? Justifica tu respuesta. –¿Para qué nos habrán mandado antes acá, tan lejos, a este poblado, si aún no llegan ni nuestros equipos? Material Fotocopiable c. ¿Cuál es el rango de variación de las probabilidades de las enfermedades del sistema respiratorio? Expresa tu respuesta incluyendo el año. Material Fotocopiable b. En 1997, según clasificación internacional, ¿cuáles fueron las causas más probables de defunción, las que se inician su código con A o las que inician su código con N? Justifica tu respuesta 15.Myriam y Sonia fueron enviadas a un poblado costero en búsqueda de evidencias de muerte de algunas especies marinas. Ambas forman parte de un equipo de investigación integrado por oceanógrafos, biólogos marinos, entre otros. Ya es medianoche, y en el segundo piso miran hacia el mar. Ven solo una noche oscura, y la lluvia no ha cesado. Para no despertar a la familia que las alberga, conversan en voz baja. Pregunta Myriam a Sonia: Material Fotocopiable a. ¿En cuál de estos años fue mayor la probabilidad de que una persona haya fallecido por enfermedades al sistema respiratorio? Justifica tu respuesta 223 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 223 2/11/11 17:26:27 Material Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable IV.Marca la alternativa correcta: 1. En un dado cargado, la probabilidad de que al tirarlo salga dos es: 1 a. 6 1 b. 2 c. Igual a la probabilidad de que salga un 3. d. Igual a la probabilidad de un cuatro y un cinco a la vez. e. No se puede determinar, pues al estar cargado, ningún número tiene la misma probabilidad. 2. La probabilidad de que al extraer tres monedas de una bolsa que contiene 5 monedas de $5, 5 monedas de $10 y 30 monedas de $100 se obtengan exactamente $115 es: 1 1 d. a. 1 600 120 3 75 b. e. 256 5 928 75 c. 988 3. Si A y B son sucesos independientes y la probabilidad de A es 0,4 y la de B es 0,2, entonces la probabilidad de que A o B sucedan es: a. 0,08 b. 0,48 c. 0,52 d. 0,60 e. 0,92 4. De un total de 100 entrevistados, el 20% de ellos dice preferir las bebidas a los jugos naturales. De aquellos que prefieren los jugos, el 10% prefiere el de frutilla, el 20% de melón y el resto de naranja. Si se escoge un encuestado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que prefiera el jugo de frutilla si se sabe que prefiere los jugos? a. 8% b. 10% c. 20% d. 40% e. 60 % 5. En un juego de cartas con naipe inglés se sacan dos cartas al azar. Se extrae la primera, se anota su pinta y número y se vuelve a colocar en la baraja. Luego se extrae la segunda y se procede de igual manera que con la primera. ¿Cuál es la probabilidad de extraer un rey y un as de la misma pinta? 1 1 d. a. 676 104 1 1 b. e. 2704 169 1 c. 364 6. ¿Cuál(es) de los siguientes sucesos tiene(n) la misma probabilidad de ocurrir? I. Sacar 10 al lanzar dos dados no cargados. II. Escoger un huevo al azar de la docena que mi mamá tiene en el refrigerador III.Elegir una de todas las posibilidades de ordenar una bandera roja, una azul y una verde. a. Solo I d. Solo I y III b. Solo II e. I, II y III c. Solo I y II 7. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I. El valor de la probabilidad experimental de un suceso se acerca al valor de la probabilidad teórica de este a medida que se aumenta el número de veces que se repite el experimento. II. A un suceso imposible no se le puede calcular su probabilidad de ocurrencia debido a que es imposible. III. El valor de la probabilidad de un suceso puede variar en el intervalo ]0, 1[. a. Solo I d. Solo I y III b. Solo II e. Solo II y III c. Solo III 224 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 224 2/11/11 17:26:31 c. 20% e. 40% I. La probabilidad de que al escoger un joven al azar este prefiera el pub B es mayor que la probabilidad que prefiera el pub A. 9. La tabla adjunta muestra los resultados del control de calidad de dos artículos, A y B, en una fábrica. Los artículos se clasifican en alta calidad y calidad media. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un artículo al azar este sea de alta calidad, sabiendo que era del tipo B? a. 46% b. 48% Tipo A d. 54% Alta calidad Calidad media 54 46 48 III.La probabilidad que un joven, escogido al azar prefiera el pub A dado que es hombre es, aproximadamente, 21% e. 100% 52 a. Solo I d. Solo I y III b. Solo II e. I, II y III c. Solo I y II 60 40 20 0 34 22 A Preferencia de pubs 46 28 B Pubs 40 36 C Hombres Mujeres Material Fotocopiable Material Fotocopiable Nº de personas B c. 52% II. La probabilidad de que al escoger un joven al azar esta sea mujer dado que prefirió en pub C es, aproximadamente, el 70% UNID AD 5 b. 16, 6 % d. 30% Material Fotocopiable a. 10% 10.El siguiente gráfico muestra los resultados de una encuesta que se ha realizado a jóvenes sobre su preferencia al momento de elegir uno de los tres pubs más nombrados de la ciudad. A partir de esta información, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)? Material Fotocopiable 8. De los libros que tiene mi papá en la biblioteca, 2 son de Matemática, 4 de Física, 6 de Historia y 8 son novelas. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir uno al azar, este sea de Historia? 225 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 225 2/11/11 17:26:31 Material I. Resuelve los siguientes ejercicios: II. Resuelve los siguientes problemas: 1. En una bolsa coloca cuadrados de cartulina: 3 rojos, 4 azules, 2 amarillos y 5 negros. Extrae uno de ellos al azar (sin mirar) y anota el resultado, vuelve a colocar el cuadrado dentro de la bolsa. Haz este experimento 20 veces. Calcula la probabilidad de que salga 2 azul. ¿Coincide con el valor , que representa 7 su probabilidad teórica? Justifica tu respuesta. 2. La probabilidad de que se extraiga un calcetín rojo desde una cajonera llena de calcetines sueltos (que no forman pares), donde hay calcetines rojos, verdes y morados 2 3 es y la de que se extraiga uno morado es . 9 5 Determina: a. la probabilidad de extraer uno verde. b. la probabilidad de que si se extrae un calcetín y luego se vuelve a colocar en la cajonera y por último se extrae otro, el primero sea verde y el segundo morado. 3. Dado el siguiente gráfico, que representa las preferencias de un curso, por sexo, respecto a su fiesta de graduación, responde en porcentajes: Fiesta de graduación: ¿con papás o sin ellos? Nº de alumnos Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Material Fotocopiable Ficha de refuerzo 20 15 10 5 0 12 18 8 Hombres 7 Fiesta con papás Fiesta sin papás Mujeres a. ¿Cuál es la probabilidad de que la fiesta se realice sin los papás? 1. Por un terrible accidente, a Heriberto se le ha abierto su pastillero y se han mezclado los remedios que llevaba en su bolso de viaje. Él tenía para sus vacaciones 12 paracetamoles, 15 remedios para la presión, 8 pastillas para la circulación y 20 antialérgicos. Afortunadamente, cada tipo es de un color distinto. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar dos pastillas al azar la primera sea para la presión y la segunda sea un antialérgico? 2. Maritza ha conseguido un trabajo de verano en un supermercado, donde debe llevar las estadísticas de los productos de la línea de desodorantes para una reconocida marca. Ella debió completar la siguiente tabla, que indica las ventas de tres tipos de desodorantes en una semana y, por tanto, representan las preferencias de las personas. Determina: Tipo de desodorante De bolita Aerosol En barra Para mujeres Para hombres 53 12 30 37 75 13 a. la probabilidad de que la próxima persona escoja, al azar, un desodorante de bolita. b. la probabilidad de que una persona escoja, para su uso personal, un desodorante en barra si esta es hombre. c. la probabilidad de que una mujer escoja un desodorante en aerosol o de bolita para ella. 3. A Esteban le encanta jugar scrable, aquel juego de formar palabras. En su último juego presintió que su probabilidad de ganar era muy baja, ya que debía formar una palabra de 3 letras, legibles y con significado conocido, y solo tenía cuatro letras: a, f, e y l. ¿Cuál era la probabilidad de formarla? b. ¿Cuál es la probabilidad de preguntarle a un hombre y que este opine que la fiesta debe ser con los papás? 226 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 226 2/11/11 17:26:32 Orlando con una cita inolvidable. Solo hay un problema y es que Orlando es muy austero; por lo tanto, no aceptará ir a todos los lugares que Ingrid tiene planeado. Ella ha calculado 1 que la probabilidad de ir a comer es y de ir 3 2 al cine es . Tal como lo había previsto, 5 Orlando le dice que elija uno o lo otro, o que se queden en su casa escuchando música, ¿cuál es la probabilidad de que Ingrid vaya al cine o a comer? 3. “¡Cuando gane el Kino me compraré todo lo que quiera! –le dijo Leo, enojado, a su papá–. Mañana mismo me compraré uno y ya vas a ver... todo lo que yo quiera”. Su papá pacientemente y no haciendo caso a sus berrinches le preguntó: “¿Cuál es la probabilidad de que lo ganes si supones que solo se imprime una combinación por cartón?” (recuerda que gana el Kino quien acierta 14 números de 25) 4. “Las reglas del concurso de baile son un tanto extrañas –pensaban Teresa y Clemente–. Existen 4 equipos, cada uno de ellos con 6 parejas. Nos han dicho que para la próxima selección de temas escogerán una pareja de cada equipo, pero que no puede ser ni el hombre ni la mujer mejor calificada de los equipos. ¿Cuál es la probabilidad de que nos escojan a nosotros para representar a nuestro equipo?” 6. “Hoy compré mi nuevo auto y el próximo lunes me lo entregan. Como la patente de todos los autos que he comprado han comenzado con K y terminado en 7, me pregunto ahora cuál será la probabilidad de que nuevamente mi patente sea de ese tipo, sabiendo que ahora las patentes están formadas por dos consonantes y cuatro dígitos. Calcúlalo por mí”. 7. Los informes realizados en una clínica con respecto a los enfermos arrojan los siguientes datos: un 45 % de ellos ingresa por problemas respiratorios, un 35 % por problemas estomacales y un 20 % por otras patologías. De los enfermos ingresados, la probabilidad de que sean dados de alta (completamente sanos) es, respectivamente, un 0,6; 0,8 y 0,9, dependiendo de la patología de ingreso. Calcula la probabilidad de que si un enfermo es dado de alta, haya ingresado por una patología estomacal. Material Fotocopiable celebrar los casi cuatro años de noviazgo con b. las dos bolitas sean del mismo color. Material Fotocopiable 2. El 14 de febrero se acerca. Ingrid quiere a. la primera sea roja (de la primera urna) y la segunda sea blanca (de la segunda urna). Material Fotocopiable 1. Pedro y Luisa están haciendo una apuesta. Ellos lanzan una moneda al aire tres veces. Pedro dice que es más probable obtener al menos 2 caras que obtener al menos 1 cara y 1 sello y Luisa dice lo contrario. ¿Cuál de ellos tiene razón y cuáles son estas probabilidades? 5. Se tienen dos urnas con bolitas de colores. La primera contiene 8 rojas, 9 blancas y 3 negras. La segunda contiene 4 blancas, 12 rojas y 4 negras. Calcula la probabilidad de que, al extraer dos bolitas, una de cada urna: Material Fotocopiable I. Resuelve los siguientes ejercicios y problemas: UNID AD 5 Actividades de profundización 227 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 227 2/11/11 17:26:33 Instrumentos de evaluación Mediante esta guía didáctica, específicamente en las unidades anteriores, hemos puesto énfasis en la evaluación, tanto de proceso como sumativa. Es esencial que cada alumno o alumna pueda ser parte de su proceso de aprendizaje, y eso solo se logra cuando también forma parte de la evaluación de su proceso. Por esta razón se han propuesto distintas formas de evaluación y, sin duda, habrá muchas más. Las que hemos abordado en esta guía como propuesta son: •escalas de apreciación •listas de cotejo •trabajos grupales formativos •actividades individuales o grupales de estudio •evaluaciones sumativas a.Escalas de apreciación Sirven para recolectar información sobre el trabajo puntual realizado por los alumnos y alumnas en una clase o en una actividad determinada. Pueden complementar las evaluaciones de proceso que están en la unidad. Por ejemplo, al final del estudio de cada una de las propiedades de las raíces, es: Nombre del estudiante: Curso: Fecha: Actividad: Promedio obtenido: Porcentaje de logro: Según tu apreciación personal del trabajo realizado, marca con una cruz el casillero correspondiente para cada una de las siguientes preguntas, de acuerdo con esta escala (Recuerda que hay actitudes como la participación en clases, el trabajo en grupo, etc., que también se aprenden). A: He aprendido B: Algunos temas aún me cuestan C: La mayoría de los temas me cuestan Indicador A B C ¿He aprendido los conceptos de la sección? ¿Podría resolver solo los ejercicios resueltos o los ejemplos dados? ¿He sido capaz de desarrollar los ejercicios propuestos? ¿Respondí correctamente durante la clase cuando se me preguntó? ¿Me he preocupado de preguntar lo que no me quedó claro? ¿He realizado un buen trabajo en equipo, junto con mis compañeros? (en caso de trabajo en grupo) ¿He demostrado interés en aprender? ¿He puesto todas mis capacidades al servicio de mi aprendizaje? 228 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 228 2/11/11 17:26:33 b. Listas de cotejo Recolectan información sobre el nivel de logro de aspectos trabajados en las secciones de la unidad. Pueden ser dirigidas al estudiante o trabajadas por el profesor. Un ejemplo de estas es: UNID AD 5 Realiza las tareas dadas Aporta al trabajo de su grupo Realiza los ejercicios propuestos Alumno Muy bueno (7,0 - 6,0) Bueno (5,9 - 5,0) Suficiente (4,9 - 4,0) Insuficiente (3,9 - 1,0) Pregunta cuando tiene dudas MB: B: S: I: Es capaz de verbalizar los conceptos fundamentales Escala: Trabaja bien en clases Curso: Abarca Juan Baeza Lorena También se puede aplicar al trabajo individual. Por ejemplo, en los ejercicios de síntesis y evaluación de la unidad. c. Trabajos grupales formativos Se vuelve a insistir en la importancia del trabajo grupal, ya que muchas veces los alumnos logran explicarse mejor entre ellos. Puede formar grupos de manera aleatoria o intencionada. En esta sección se ha privilegiado el trabajo grupal en la resolución de problemas de planteo, pero es usted como maestro quien debe decidir cuáles son las actividades que designará como trabajos grupales y cómo serán evaluadas. d. Actividades grupales o individuales de estudio Se sugiere trabajar alguna de las guías complementarias propuestas como preparación para la prueba de unidad. Recuerde que es bueno trabajar con el tipo de ejercicios que se evaluarán. Usted debe evaluar lo que enseñó y no si el alumno es capaz de resolver un problema nuevo con algún otro tipo de estrategia. Los ejercicios que apuntan a desarrollar habilidades superiores, como aplicar, analizar y relacionar diversos conceptos, deben ser trabajados en clases. No trate de sorprender a sus alumnos, solo constate que aprendieron lo que usted les enseñó. 229 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 229 2/11/11 17:26:33 e. Coevaluación Entendida como aquella evaluación realizada entre pares de una actividad o trabajo realizado. Recuerde que la dinámica de las relaciones del curso debe ser la brújula que le indique si este tipo de instrumento se puede aplicar y cómo se hace. Recuerde que usted puede visitar el siguiente enlace para optimizar este recurso evaluativo: http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a0286a13e6329d3f&ID=137573 Un posible instrumento es: COEVALUACIÓN TEMA: FECHA: : INDICADORES Niveles de logro INTEGRANTES DEL GRUPO 1 2 1 3 4 5 4 = SÍ 8 = NO 2 3 4 Total 1. Ayuda a los integrantes del grupo 2. Cumple con lo que el grupo le encarga 3. Mantiene un buen trato con sus compañeros 4. Es tolerante ante las opiniones y propuestas de los compañeros f. Evaluaciones sumativas Resumen lo trabajado en la unidad. Se pueden utilizar, como ya se ha dicho, de manera formativa o evaluada. Los ítems de alternativas propuestos en el libro tienen una evaluación porcentual de logro que los alumnos deben calcular. Esta se puede traducir a nota según las siguientes tablas (al 50% o al 60%). Recuerde que en la unidad 1 de esta misma guía se han entregado dos escalas para transformar porcentajes de logro en notas. De manera complementaria al Texto del Estudiante, a continuación se presentan dos evaluaciones con diferentes ítems para que sirvan de apoyo al docente. 230 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 230 2/11/11 17:26:33 Evaluaciones efectuado 1 000 lanzamientos de una moneda, cuyas frecuencias se presentan en gráfico circular: 1. y son ejemplos de dos sucesos equiprobables 2. La probabilidad de escribir dos vocales seguidas en el computador, sin mirar la pantalla, es 3. Un evento cierto es, por ejemplo, 4. La probabilidad de que al lanzar un dado y una moneda salga 4 y cara es 5. Si el equipo de fútbol “Mañanitas” tiene probabilidad de ganar igual a 0,1; de empatar igual a , entonces, la probabilidad de perder es 6. y son ejemplos de sucesos dependientes 7. Un suceso imposible tiene probabilidad igual a 8. La probabilidad de un suceso está siempre entre los valores 9. La probabilidad de sacar tres números pares de una urna con números del 1 al 20 al hacer tres extracciones simultáneas y sin reponer los números es 10.La probabilidad de escoger dos compañeros en tu curso de modo que el primero sea hombre y la segunda sea mujer es II. Resuelve los siguientes ejercicios: 1. Usando un simulador, se han efectuado 1 000 lanzamientos de dados, cuyos resultados se presentan en el gráfico de barras. Análogamente, con un simulador se han Lanzamiento de monedas 0,161 0,169 0,180 0,174 0,190 0,180 0,170 0,160 0,150 0,140 0,154 I. Completa cada una de las siguientes afirmaciones según corresponda: Lanzamiento de dados 0,162 Resuelve en tu cuaderno. Recuerda que colocar el desarrollo en forma ordenada te ayudará a pensar y razonar mejor. Revisa tus respuestas junto a tu profesor o profesora. 1 2 3 4 5 6 0,505 0,495 CARA SELLO UNID AD 5 Evaluación 1 El experimento consiste en lanzar dos veces el dado consecutivamente y luego la moneda una vez. Se forman los productos de las pintas y se acompaña con C o S según proceda. a. Ordena de manera descendente los siguientes resultados: 6 S; 24 C; 6 C y 29 S, de acuerdo a su probabilidad de ocurrencia, indicando en paréntesis el valor encontrado. ¿Qué llama la atención de uno de estos valores respecto del tipo de suceso? b. ¿Cuál es el valor de la probabilidad de: (20 C / 10 C )? c. ¿Cuál es el valor de la probabilidad de que aparezca ya sea 20 C o 10 S? 2. La probabilidad de un dado cargado es proporcional a su pinta. Es decir, P (1) = x ; P ( 2) = 2 x ; P (3) = 3 x etc. Se lanza cuatro veces y se ha formado la secuencia 3 – 5 – 4 – 2. ¿Qué es más probable: que esta secuencia aparezca usando un dado no trucado o este? Justifica tu respuesta. 3. Se consideran todos los números de tres cifras divisibles por 6. ¿Cuál es la probabilidad de que al azar se encuentre uno de ellos si en la bolsa que los contiene hay: a. solo números de tres cifras que contienen números divisibles por dos y por tres a la vez? b. números comprendidos entre 100 y 999? c. números impares de tres cifras? 4. En una pequeña sala de ventas de automóviles hay siete vehículos, y uno de ellos viene con defectos. Dos personas entran 231 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 231 2/11/11 17:26:34 a comprar automóviles. ¿Cuál es la probabilidad de que: porcentaje de probabilidad tienen sus moradores de: a. los dos primeros que se vendan sean sin defectos? a. tener uno de los dos servicios? b. el segundo automóvil comprado no sea defectuoso, sabiendo que el primero comprado no es defectuoso? c. el primero que sea con defecto y el segundo sin defecto d. el segundo automóvil comprado no sea defectuoso, sabiendo que el primero lo es? Ahora bien, ¿qué llama la atención del resultado anterior con respecto al tipo de suceso? 5. Con las letras o, d, c, s, i, r, t, e se pueden formar palabras con o sin sentido en nuestro idioma. Escribe una palabra con sentido. ¿Cuál es la probabilidad de formación de dicha palabra? 6. Supongamos que formamos todos los números posibles de 5 dígitos con las cifras 2; 2; 2; 2; 5; 5; 5; 5. Si tomamos uno de esos números al azar, cuál es la probabilidad de que la suma de sus dígitos sea menor que 20? 7. “Somos siete amigos que hacemos fila para entrar al cine. Al llegar a la ventanilla, nos informan que solo quedan 4 entradas. Uno de nosotros decide retirarse. Así que tenemos que repartirnos azarosamente las entradas. ¿Cuál es la probabilidad de que, por esto, yo no ingrese?” 8. Se generan azarosamente números enteros de cinco cifras con repetición a partir de dos conjuntos posibles: 0, 2, 3, 4, 6, 7 y 2, 4, 5, 7, 8, 9. Responde: a. ¿Tiene la misma probabilidad de ser formado 44 444 a partir de cualquiera de los dos conjunto de números? Justifica tu respuesta. b. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar, azarosamente, un número formado a partir del segundo conjunto y que sea múltiplo de 10? ¿Por qué se produce este resultado? 9. Una encuesta realizada en una ciudad pequeña reveló que el 35% de los hogares tienen Internet en su casa, el 31% tienen TV por cable y 20% ambos servicios. Se elige un hogar de los encuestados al azar. ¿Qué b. no tener ninguno de los dos servicios? c. tener TV por cable si se sabe que tienen Internet? 10.El siguiente cuadro muestra la composición del personal de una empresa PERSONAL PROFESIONALES ADMINISTRATIVOS AUXLIARES Mujeres Hombres 45 40 70 50 35 30 Se elige una persona al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea: a. mujer, sabiendo que es profesional? b. hombre, dado que no es auxiliar? c. profesional o administrativo, dado que no es hombre? 11.Sean A, B y C sucesos, donde B y C son independientes, en un mismo experimento aleatorio, tal que, 2 3 1 P ( A ) = ; P ( B ) = ; P ( C ) = . Encontrar: 3 5 2 a. P ( B ∩ C / A ) b. P ( A / B ∩ C ) 12.En un Centro de enseñanza, el 80% del alumnado es de Enseñanza Media y el resto de Enseñanza Básica (7º y 8º). En la redacción de una revista interna participa el 10% de los de Enseñanza Básica (7º y 8º) y el 5% de los de Enseñanza Media. ¿Qué probabilidad existe de elegir a alguien que: a. sea de la redacción, resulte ser de Enseñanza Media? b. no sea de la redacción, sea de Enseñanza Básica (7º y 8º)? 13.Dos dados son lanzados. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado de un dado sea 5 sabiendo que la suma es 8? 14.Si A y B son sucesos de un experimento aleatorio la P ( A / B ) = P ( A ) a. ¿Cuánto es P ( A ∩ B ) ? b. Conforme a tu respuesta de a., ¿qué concluyes con respecto a la dependencia o independencia de A y B? 232 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 232 2/11/11 17:26:37 es ir con su pololo y una amiga con otro amigo que les acompañe. ¿A quiénes invitar? A Ofelia, Oriana e Isa, por un lado, y a Elmo, Ramón y Bartolomé por el otro. Pero al momento de decidir vienen los problemas, porque no todos se llevan bien. Ofelia y Elmo pueden ir sin problemas, pero ¿Ofelia con Ramón o Bartolomé? ¡jamás! Ahora, Oriana con Elmo o Ramón no tienen problemas, pues son muy buenos amigos entre sí, pero ¿Oriana con Bartolomé? ¡Ni pensarlo, terminan peleando siempre! En el caso de Isa, con Elmo no puede ser, porque mutuamente se desagradan, pero ella con Ramón o Bartolomé, ningún problema. a. menor que 4 b. mayor que 2 c. menor que cuatro, pero mayor que 2 d. no menor que 4, dado que no es mayor que dos III.Resuelve los siguientes problemas: 1. Dalmiro D, estadístico, va a pasar, junto a su esposa, quince días de vacaciones a un centro de aguas termales de la Región de La Araucanía. Al momento de registrarse, la dueña, Orielle, se da cuenta de que Dalmiro es hijo de Alamiro D, una persona que la orientó en los comienzos de su actual negocio, cuando ella vivía en Puerto Varas, y le pidió cierta ayuda. Ella le expresa que si bien es cierto que la ido bien, la competencia con otros centros es muy fuerte. Entonces él le da algunos consejos básicos: b. incluya a Ofelia? c. incluya a Isa, pero no a Ramón? d. considere a Oriana y se lleve bien? e. descarte a Oriana? f. incluya a Bartolomé, dado que fue elegida Ofelia? Noviembre - Diciembre Septiembre - Octubre Julio - Agosto Mayo - Junio Marzo - Abril Enero - Febrero ¿Qué hacer?... Le contó a su pololo, y como él los conoce, le dijo que eran ideas suyas, que confiara porque él va a elegir, de entre ellos, la pareja más apropiada. Conforme a la percepción de Karina, y a la elección de su pololo, ¿cuál es la probabilidad que la pareja elegida a. se lleve bien? “Por eso le digo, Sra. Orielle, que para empezar es bueno tabular los datos como lo estoy haciendo ahora con la información que usted me ha dado: Nº de visitantes Tramo en promedio por mes bimestres UNID AD 5 15.Una urna contiene nueve bolas numeradas del 1 al 9. Determina la probabilidad de que al extraer al azar una bola esta sea: g. se lleve bien, sabiendo que incluye a Elmo? 3. –Bueno, compadre, cuénteme qué pasó con sus tres amigos. 30 42 57 51 33 27 – Mire, compadrito, estábamos sentados en la cantina de Doña Tinita, como al mediodía del sábado pasado, y decidimos jugar a los dados de colores, esos de caras cuadradas. Un juego muy fácil. Tiramos cuatro dados iguales, donde cada cara está pintada de un color distinto. Después vemos el color de la cara cuadrada superior; quien tiene más cuadrados del mismo color, gana. Empezamos a apostar dinero, era un juego rápido, hasta que cuando todos llevábamos suficiente dinero acumulado, hago mi tirada y me salen todas las caras azulitas. ¡Esperen! les dije, les apuesto toda mi plata a que puedo tener cinco caras azules en total. Ellos se echaron a reír. Accedieron apostando todo también. Junté los dados, con las caras azules hacia arriba y Ahora, estime usted la probabilidad de que uno de los visitantes haya estado: a. En los tres bimestres de menor concurrencia. b. En los dos bimestres seguidos de mayor afluencia de visitantes” 2. Al participar en el concurso de radio:“Mi pareja ideal”. Karina se ha ganado una cena para cuatro personas, con show bailable, en un lugar muy bello de la ciudad. Además, está feliz porque este evento es para el 14 de febrero, el día de los enamorados. Todo parece bien, pero piensa que lo más adecuado U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 233 233 2/11/11 17:26:37 formé un gran cuadrado. Ahora cuenten, cuatro cuadrados de los dados y el grande que he formado. Así que vengan para acá con su dinero porque lo he ganado limpiamente. No me creyeron otra vez, pero la evidencia estaba a la vista. ¿Qué le parece mi relato compadrito? ¡Este es su compadre Venancio, pues! a. A pesar de la evidencia de Venancio y conforme a las reglas del juego dadas al comienzo ¿cuál es la probabilidad de que el total de los cuadrados de igual color sea cinco en cuatro dados cargados o no? ¿Por qué? b. ¿Cómo se llaman el evento de la pregunta anterior? c. Escribe un evento seguro considerando los colores de los dados. 4. Ramiro va a hacer una fiesta en el salón comunitario de su villa. Mientras el encargado del recinto conversa algunos detalles para dar la autorización, pregunta: –¿Que tipo de amigas y amigos van ser los invitados? –Bueno la mayoría son jóvenes, algunos chispeantes y sensibles. Veinte en total, incluyéndome. –Ah, jóvenes, chispeantes y... ¿sensibles? –Sí, así le llamo a aquellos que bailan “solo lentos”, son ocho en total. ... –Yo le hablo de otras cosas, Ramiro. De dónde vienen, por ejemplo, o si vendrán en vehículo. Un poco después de dada la autorización, Ramiro pensó que no es mala idea clasificar un poco a los invitados; así se puede programar mejor la música. Entonces hizo el siguiente esquema con el número de amigos correspondientes en cada clasificación. Chispeantes Creativos 6 1 2 2 4 Sensibles 5 0 Determina la probabilidad de que una de las personas invitadas: a. sea creativa y baile solo lentos. b. sea solo chispeante. c. sabiendo que no es creativa, no baila solo lentos. d. sea sensible, chispeante y creativa. e. sea chispeante, dado que baila lentos. 5. “Ignacio pertenece a un club privado de carreras de caballos y me invitó a la gran final del Premio Equino dorado. Yo fui ilusionada... nos sentamos en una mesa para dos para ver en una pantalla gigante un espectáculo divino y emocionante, la carrera final entre El Mueca sugerente y El Jarana caprichoso. Todos gritan de porcentajes de éxito a favor de uno o el otro. Él me contó que era más seguro apostar a El jarana caprichoso, que tenía una probabilidad de ganar la carrera de 75%, en contra de 70% del otro, por eso aposté a ese caballo. Aquí le interrumpí, le puse mi mano derecha delicadamente sobre su boca y, en voz baja, mirándolo fijamente a sus ojos, le dije, juega a empate, Ignacio, porque en este juego o ganas o pierdes. Entonces bajé mi mano, la posé un segundo sobre la suya y... la carrera empezó...”. Conforme al relato, responde: a. Que gane “El Mueca sugerente” o que gane “El Jarana caprichoso” son suceso de distintas probabilidades de ocurrencia. ¿Cómo se llama a este tipo de sucesos? b. ¿Cómo se llama a aquellos sucesos que no pueden ocurrir simultáneamente? c. ¿Cuál es la probabilidad de que efectivamente gane la carrera “El Mueca sugerente” y pierda “El Jarana caprichoso”? d. Si existiera la posibilidad de un empate, ¿cuál sería su probabilidad? 6. Luzmira, Liberto, Lamberto y Lola tienen que presentar su exposición final sobre los cambios climáticos y deben abarcar cinco aspectos en el orden dado por su profesora de Ciencia, y cada aspecto debe ser explicado por un integrante del grupo. Ella les había advertido que todos deben saber la materia al exponer y que no se extrañaran si hace que pasen los cuatro, o tres, o dos, o solo uno de ellos para explicarla. Sin 234 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 234 2/11/11 17:26:37 Descubrieron que hay siete órdenes distintos en la presentación que definitivamente no les favorecen.“Bueno, dijo Lola, si ya sabemos esto, ¿qué tan probable es que no aparezcan estos órdenes? De todas maneras, es mejor que nos propongamos dominar toda la materia”. ¿Cuál es la probabilidad aducida por Lola? Expresa tu respuesta porcentualmente con aproximación a la décima. 7. Al regreso del paseo, en el verano de 1991, nos quedamos aislados por la crecida del río. La noche estaba estrellada, pero oscura. No había nada ni nadie en ese campo. Al rato, un hombre fornido bajó de su camioneta, se acercó a mi vehículo y me pidió una linterna. Empezó a dirigirse con señales de luces cortas y largas hacia un punto luminoso en las faldas de un cerro. Paraba y seguía insistiendo. Minutos más tarde, del otro lado respondieron de similar manera. ¡Calma me dijeron mis dos amigos, está ayudándonos con sus claves!, es código Morse. El hombre me devolvió la linterna y nos dijo, que ya venía la ayuda y se alejó. Llegó la ayuda, pero nunca supimos quién fue”. El código Morse es un método según el cual cada letra o número es transmitido de forma individual con un código consistente en rayas y puntos. Así se pueden formar mensajes. Hoy es perfectamente utilizable cuando hay condiciones atmosféricas adversas, que no permiten el empleo de otros medios. Por ejemplo, la siguiente secuencia quiere decir “Hola”, donde los / , // son separadores de cada letra y el orden de . y - importa. //.... / --- / .-.. / .- // Halla la probabilidad de formar letras de cuatro símbolos a. con igual número de . y b. con tres . y una c. que contenga de uno a tres . 8. A puerta cerrada y tras acaloradas discusiones, los miembros del directorio de TV logran aprobar el orden en que deben ir los dos cantantes, el humorista y las dos coreografías para el día de apertura de un festival de la canción, dejando fijas las dos competencias, la folclórica y la internacional 2012, que será transmitido a todo el país y también por señal internacional. Por supuesto que nadie iba con el ánimo de discutir las treinta maneras de las posibles ordenaciones. La primera de las propuestas sin distinguir nombres es cantante: coreografía, humorista, coreografía, cantante y la otra es coreografía, cantante, humorista, cantante, coreografía. ¿Cuál es la probabilidad de que se elija: UNID AD 5 embargo, ella lo determinaría al momento de la exposición. Esto no los dejó conformes y están analizando lo peor que les puede ocurrir para la mencionada exposición. Confiesan que todos no dominan completamente la materia. Por ejemplo, no les conviene el siguiente orden: Luzmira, Liberto, Lola y Lamberto. a. Ninguna de estas dos propuestas b. Una en la que se tenga un cantante al final de la presentación c. Una en la que se tengan los cantantes en tercer y quinto lugar de la presentación Lee atentamente y luego responde las preguntas 9 y 10. –¡Alto ahí!, ¡levanten las manos de inmediato! –nos gritaron mientras, caminábamos hacia ellos los siete sobrevivientes del último ataque aéreo por parte del enemigo –Somos del poblado vecino. Soy Rafael N, ingeniero aeronáutico, con mi mujer, Natalia, mis tres hijos, más dos de mis colaboradores. Aquí tengo mi autorización estatal... 9. Una vez en la base conversan... –Sus radares no son tan seguros. –No es verdad, el ingeniero jefe nos garantiza que nuestros radares, independientes entre sí, actualmente detectan en un 90%, 93% y 96% algún avión del enemigo. Aunque ya resistimos el último ataque... –Ustedes siguen confiados... ¡Yo no lo haría, Señor! En cualquier momento puede haber un ataque y sus radares están fallando. ¡Hay vidas humanas en peligro! Sus radares han sido intervenidos por alguien que está en esta base, están funcionando intencionadamente mal. –¿Está insinuando que entre nosotros alguien está traicionándonos, espiando, trabajando para el enemigo?... ¿alguien descomponiendo radares?... ¡Mucha imaginación don Rafael N! 235 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 235 2/11/11 17:26:37 A las 3:58 un avión explorador del enemigo ronda los cielos de la base. 10 minutos más tarde comienza un bombardeo enemigo. ¡Ataque sorpresa! Supongamos que los radares no fueron intervenidos y el rendimiento es el mencionado. Responde: a. ¿Cuál es la probabilidad de que el avión explorador no haya sido detectado por ninguno de los radares? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el avión haya sido detectado por cualquiera de los radares? c. ¿Cuál es la probabilidad de que el avión haya sido detectado solo por el de mayor rendimiento? 10.Una hora después cesa el fuego, hubo mucha pérdida de las instalaciones y algunas bajas. Luego, terminada una reunión extraordinaria, el encargado de la base se acerca a Rafael e irónicamente le comenta: –Al parecer, los hechos confirman su teoría del supuesto espía... –La guerra no es un juego, señor. Las vidas perdidas no se recuperan. Si hoy mis hijos están aterrorizados por nuestras atrocidades, mañana, junto a los suyos, nos juzgarán por nuestras acciones... El encargado de la base, golpeado entre otras cosas por estas palabras, decide nombrar una comisión de cinco de las siete personas de su confianza para investigar la situación. Determina la probabilidad de que en la comisión esté presente: a. la persona de más confianza del encargado. b. el supuesto traidor. c. la persona de más confianza y el supuesto traidor, que no son la misma persona. 11.–¡He pasado la vergüenza del siglo con Tino! Era nuestra tercera salida como novios y decidimos ir al cine. Alcanzamos a sacar las entradas, él corrió a comprar una bolsita de caramelos con surtido de tres sabores: naranja, limón y guinda en la dulcería del costado de la caja. La película recién estaba empezando, nos acomodamos. Como a la media hora del inicio, silenciosamente, le pedí que me pasara un caramelo y me dio uno de guinda; en seguida, se le cayó uno a suelo que no recogió, tomó otro echándolo a su boca. Súbitamente, me tomó la mano, me la apretó y saltó de su asiento, expulsando violentamente de su boca el caramelo. Este fue a dar como proyectil a la cara de otra joven que también estaba con su novio. Hubo una mala interpretación del hecho por parte de los afectados, se produjo un escándalo y tuvimos que abandonar el cine en medio de las pifias. Discutimos afuera y todo porque a él no le gusta el de sabor a naranja. –¡Uf, amiga! ¡Qué pena! ¿Qué dulces compraron? –Unos nuevos. Venían 10 de naranja, 5 de limón y 3 de guinda. Una reacción inesperada y sobredimensionada para la ocasión, por decir lo menos. Pero: a. ¿Con qué probabilidad se produjo este acontecimiento si el caramelo que cayó fuera de limón? b. Teniendo en cuenta que el primer caramelo fue de guinda y el último de naranja, ¿cuál de las tres secuencias posibles de sabores de los caramelos extraídos del paquete hubiera sido la menos probable de ocurrir? indica su valor. 12.Andrés acaba de dar la PSU y está esperando sus puntajes. Desea entrar a ingeniería y ha estado averiguando en varias universidades los requisitos para ingresar. Entre tantas búsquedas, se encontró con un informe que decía que en una de sus preferidas, el 20% de los alumnos estudian arte, el 30% ciencia y el 50% ingeniería. Ahora bien, los que terminan la carrera de arte son un 5 %; 10% la de ciencia y el 20% la de ingeniería. Si tomara un alumno al azar ¿qué tan probable será que a. haya terminado su carrera y sea de ingeniería? b. sabiendo que es de ingeniería, haya acabado su carrera? c. sea de ingeniería si ha acabado su carrera? 236 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 236 2/11/11 17:26:37 13.Angélica y su grupo están haciendo un trabajo de investigación para su colegio y han elegido el tema de los pueblos autóctonos de nuestro país. Con el título de “Conozcamos cada vez más a nuestro pueblos originarios” van a hacer una exposición, que abarque varios aspectos, incluso alguno para usarlo en la clase de Matemática. La fuente de información proviene de “ESTADÍSTICAS SOCIALES DE LOS PUEBLOS INDÍGENAS EN CHILE - CENSO 2002. PUBLICACIÓN ELABORADA POR EL INSTITUTO NACIONAL DE ESTADÍSTICAS EN CONVENIO CON EL MINISTERIO DE PLANIFICACIÓN NACIONAL”. Composición de la población indígena por sexo y regiones (n) R.M. 98124 XII. XI. X. IX. 101004 VIII. VII. VI. 49499 4848 3878 26526 III. 2430 2764 3362 II. 11391 I. 24327 52594 27381 4671 9310 IV. 4241 3886 4701 V. 4802 93 330 102946 9528 11839 24762 Mujeres Hombres http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/ estadisticas_sociales_culturales/etnias/pdf/estadisticas_ indigenas_2002_11_09_09.pdf Ellos dijeron:“la población indígena total es de 692192 habitantes indígenas. Este es nuestro total de referencia para nuestros cálculos”. Responde: ¿cuál es la probabilidad de escoger una persona indígena al azar y que a. sea mujer? b. sea de la I Región y sea hombre? c. sabiendo que es de la IX Región sea mujer? e. sea de la II o III dado que es mujer? f. siendo hombre, sea de la Región Metropolitana? g. sabiendo que es mujer, pertenezca a alguna de las regiones X, XI o XII? h. dado que proviene de la región donde hay menos población indígena, sea hombre? 14.Antonio asistió a un programa de televisión y durante su desarrollo salió sorteado para pasar a concursar en la sección “la puerta ganadora”. Él tenía la posibilidad de elegir una entre 3 puertas A, B o C para quedarse con lo que había detrás de ella: un departamento amoblado en Viña del Mar. Todas las puertas son igualmente posibles de contener el premio. El animador dijo: –¿Cuál puerta elige usted, Antonio? –La puerta A –¿Respuesta definitiva, Antonio? –Sí, la puerta A 5872 4176 d. que pertenezca a la VI, VII u VIII y sea hombre? UNID AD 5 d. Por otro lado, ¿qué será más probable: encontrar un alumno que haya terminado sabiendo que es de ciencia o encontrar un alumno que haya terminado sabiendo que es de arte? ¿Por qué? El animador, que conoce exactamente dónde está el premio le abre la puerta C, donde no está el premio. Entonces le ofrece la opción de cambiar de puerta. Se produce mucha tensión, el público grita a favor o en contra de la puerta A... Entonces, como queremos que Antonio gane, la pregunta va para ti: ¿Debe Antonio aceptar la nueva posibilidad cambiando la puerta A que eligió inicialmente o no? ¿Por qué? Justifica usando probabilidades. 15.Tamara es asistente social y Paula, sicóloga laboral. Ellas atendieron el año 2010 a 800 trabajadores provenientes de tres ciudades, C1, C2 y C3, y que trabajaban en cuatro industrias, I1, I2 ,I3 y I4, según lo indica la tabla adjunta. Ciudad C1 C2 C3 I1 65 60 25 I4 170 130 100 Industria I2 I3 50 40 30 20 40 70 237 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 237 2/11/11 17:26:37 Como una forma de iniciar un seguimiento para su trabajo del 2011, eligen al azar uno de estos trabajadores y necesitan responder las siguientes preguntas. Ayúdales a hacerlo y responde tú. ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador elegido a. trabaje en I2, sabiendo que él vive en C3? a. 0,19% b. 0,38% c. 1,9 % d. 3,8 % 5. Si A y B son sucesos independientes, tales que P ( A ) = 0, 56 y P ( B ) = 0, 21 , entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) correcta(s)? b. viva en C2, dado que trabaja en I1 o I4? I. P ( A ∩ B ) = 0, 1176 d. viva en C2 o C3, dado que trabaja en I1 o I3? a. Solo I c. Solo III b. Solo II d. Solo II y III c. si se sabe que vive en C1, trabaje en I2 o I4? IV.Marca la alternativa correcta: 1. La probabilidad de que al lanzar una moneda, tres veces sucesivas, se obtengan dos sellos es: 1 3 5 a. c. e. 8 8 8 4 2 b. d. 8 8 2. La siguiente tabla muestra los resultados de un estudio sobre dos de las enfermedades más comunes en los adultos mayores: diabetes y artrosis. Según los datos en ella, ¿cuál es la probabilidad de que al elegir al azar a una persona encuestada esta tenga artrosis si era mujer? 28 28 24 a. c. e. 55 50 55 27 27 d. b. 50 55 Enfermedad Hombre Diabetes Artrosis 42 48 56 Mujer 54 3. La probabilidad de que al elegir un alumno de tu colegio este sea hombre o mujer entre 4 y 19 años es: a. 0 b. cualquier número del intervalo ]0, 1[ c. 1 d. 2 e. No se puede determinar, pues faltan datos. 4. Matías tiene una bolsa llena de bolitas de colores. Tiene 10 rojas, 4 verdes, 8 azules, 5 blancas y 7 negras. La probabilidad de que al extraer tres bolitas consecutivamente estas sean verde, negra y blanca, en este orden, es aproximadamente: e. 38 % II. P ( no A ) = 0, 44 III. P ( no B ) = 0, 79 e. I, II y III 4 6. Si la frecuencia relativa de un suceso es , se 33 puede afirmar que: I. la probabilidad del suceso es, aproximadamente, 12% II. el suceso ocurrió 4 veces de un total de 33 que se realizó el experimento III.la probabilidad es 0,12. a. Solo I c. Solo III b. Solo II d. Solo I y III e. I, II y III 7. Juan tiene 4 posibilidades de tomar el ramo de Cálculo; 3, de tomar Estadística y 2, de tomar Geometría el próximo semestre, dependiendo del profesor que lo dicte. Si Juan no tiene preferencia por ningún profesor en particular, la probabilidad de que elija 1 de las posibles combinaciones que puede hacer es: 1 1 1 c. a. e. 6 10 24 1 1 d. b. 12 9 8. La probabilidad de escoger un múltiplo de 5 entre los 100 primeros números naturales es: a. 20 % b. 15 % c. 10 % d. 2 % e. 1% 9. La probabilidad de escoger una bolita gris de la urna de la figura, que contiene bolitas todas del mismo tamaño y peso, es la misma que: a. la probabilidad de escoger una blanca. b. la probabilidad de escoger una negra. 238 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 238 2/11/11 17:26:45 d. la probabilidad de escoger una negra y una blanca. e. no se puede determinar la probabilidad pedida. 4. ____Si dos sucesos son dependientes, entonces cada uno de ellos tiene probabilidad 50% de ocurrir. 5. ____Que mañana sea jueves es un suceso dependiente. 6. ____Si la probabilidad de que A suceda es 0,4, entonces la probabilidad de que no suceda es 0,6. 7. ____Si dos sucesos son equiprobables, la probabilidad de que suceda uno o el otro está dada por la suma de las probabilidades de cada uno de ellos. 10.Dado el siguiente gráfico, que muestra los atrasos registrados en un colegio durante el año 2009, si se elige un alumno al azar de los que han llegado atrasados durante el año, ¿cuál es la probabilidad, aproximada al entero, de que sea de segundo ciclo básico (5º a 8º básico)? 122 109 92 120 117 112 149 108 92 138 132 62 7 0 10 3 11 8 16 5 10 7 11 10 15 20 160 140 120 100 80 60 40 20 0 KA KB 1ºA 1ºB 2ºA 2ºB 3ºA 3ºB 4ºA 4ºB 5ºA 5ºB 6ºA 6ºB 7ºA 7ºB 8ºA 8ºB IºA IºB IIºA IIºB IIIºA IIIºB IVºA IVºB Nº de atrasos Atrasos 2009 Cursos a. 20% b. 25% Evaluación 2 c. 30% d. 35% e. 40 % Resuelve en tu cuaderno. Recuerda que colocar el desarrollo en forma ordenada te ayudará a pensar y razonar mejor. Revisa tus respuestas junto a tu profesor o profesora. I. Coloca verdadero (V) o falso (F) en cada afirmación según corresponda: 1. ____La nota de mi prueba de Matemática es una variable aleatoria. 2. ____La probabilidad de dos sucesos independientes está dada por el producto de las probabilidades de cada uno de ellos. UNID AD 5 c. la probabilidad de escoger una negra o una blanca. 8. ____Si juego al cachipún con un amigo, la probabilidad de ganar es 0,5. 9. ____La probabilidad de sacar un número par y luego uno impar al lanzar dos dados consecutivamente es la misma que sacar un múltiplo de cuatro y luego un número impar. 10. ___La probabilidad de que el número de teléfono de mi casa comience con 1 es 0. II. Resuelve los siguientes ejercicios: 1. Se dispone de un dado de ocho caras cargado y, en mil lanzamientos, se obtuvo la siguiente distribución de frecuencia: Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 Frecuencia 80 130 110 150 135 170 145 80 a. Indica la probabilidad de el(los) número(s) que tiene(n) más baja frecuencia relativa e indica el valor de esta. b. ¿Cuál es la probabilidad del número que se acerca más a su probabilidad teórica, es decir, a aquella de debiera tener en un dado de ocho caras normal? ¿Por qué? c. Encuentra la probabilidad de obtener un número mayor que 3 y menor que 7 en un lanzamiento. d. Encuentra la probabilidad de obtener un 4 y luego un 7 en dos lanzamientos e. Encuentra la probabilidad de obtener un total mayor o igual a 4 al sumar las pintas que aparecen en dos lanzamientos. 3. ____Un suceso cierto tiene la misma probabilidad de ocurrir siempre. 239 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 239 2/11/11 17:26:45 45 75 95 60 800 ≤ S ≤ 950 650 ≤ S < 800 500 ≤ S < 650 350 ≤ S < 500 200 ≤ S < 350 Sueldos Nº de (miles de trabajadores pesos) 2. En una empresa, la distribución de los sueldos líquidos mensuales de los trabajadores es la siguiente: 25 Estima la probabilidad de que si un trabajador es elegido al azar, a. su sueldo sea de por lo menos $500000. b. su sueldo sea por lo menos de $350000, pero no los $800000 c. su sueldo sea el menos probable de ser escogido y a qué rango de sueldo corresponde. Justifica tu respuesta. 3. “Tengo tres repisas donde quiero que estén mis libros de cine, los de Matemática y los de Filosofía, cada grupo en una repisa distinta. Los quiero ordenados uno al lado del otro de manera vertical. Sé que tengo 120 maneras posibles de ordenar mis libros de cine y solo 30 de ellas me gustan; de las 24 maneras posibles de ordenar mis libros de Matemática, solo 15 de ellas me gustan y de 6 maneras posibles de ordenar mis libros de Filosofía, solo 1 de ellas me gusta. ¿Cuál es la probabilidad de que al pedirle a una persona que ordene azarosamente cada repisa y conforme a mis preferencias, acierte a. en las tres? b. en cualquiera de ellas? c. solo en las de Cine y Filosofía? d. únicamente en la de Matemáticas?” 4. Sean A y B sucesos, tal que p ( A ) ⋅ p ( B ) = 0 a. ¿Qué puedes decir del valor de p ( A ) o de p ( B )? b. Conforme a lo anterior, ¿qué tipo de suceso es por lo menos uno de los dos? 5. En una repisa, hay carpetas similares, numeradas de 1 a 6, y colocadas de manera ordenada. Accidentalmente caen al suelo y el encargado de la oficina las vuelve a colocar en su lugar, pero descuidando el orden en que estaban. ¿Cuál es la probabilidad de que solo las dos primeras estén es el orden inicial y las otras definitivamente desordenadas? 6. Se generan números aleatorios de cuatro cifras usando 0, 1, 2, 3, 4, donde éstos pueden repetirse. ¿Cuál es la probabilidad de formar un número que: a. contenga solo cifras impares? b. sea par, dado que sus cuatro cifras son distintas? 7. Para un evento formal, Javier debe combinar muy bien su vestimenta. Dispone de tres chaquetas, cuatro pantalones, seis camisas, cinco corbatas, siete pares de calcetines, tres pares de zapatos. Con estas prendas de vestir debe formar una tenida adecuada. Suponiendo que cualquiera de las que elija combinan, encuentra la probabilidad de elegir una tenida donde a. incluya una de sus dos corbatas preferidas, la chaqueta que más le gusta, sus mejores zapatos y aquel pantalón que le queda mejor. Con el resto de las prendas no tiene preferencia alguna. b. no lleve una de las dos chaquetas que menos le gustan, tampoco aquellos calcetines que están un poco viejos, ni esa camisa que le queda un poco apretada. Con el resto de las prendas no tiene preferencia alguna. 8. Se han colocado en una tómbola todos los números de seis cifras que pueden formarse y se decide elegir al azar uno de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos cifras iniciales se repitan y sus dos últimas cifras sean divisibles por 4? 9. Para un campeonato nacional femenino se dispone de cinco atletas de la Ciudad del Este y cuatro de la ciudad del Oeste para formar el equipo regional. El equipo debe estar formado por tres atletas de la Ciudad del Este y dos de la otra ciudad. Determina la probabilidad de que Trinidad, de la ciudad del Oeste, quede junto a su amiga Antonia, que es de la ciudad del Este. 240 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 240 2/11/11 17:26:46 personas asaltadas habían pedido mayor presencia policial y el 5 % de las personas que no han sido asaltadas pidieron mayor presencia policial. Si un habitante que pertenece a esta municipalidad es escogido al azar y expresa la necesidad de pedir mayor presencia policial, ¿cuál será la probabilidad de que haya sufrido un asalto? a. atienda reclamos, reparaciones y ventas? 14.Se consideran dos sucesos, A y B, asociados a un experimento aleatorio, donde P ( A ) = 0, 72 y P ( B ) = 0, 65 y b. atienda reclamos? c. atienda reclamos y ventas? d. sabiendo que atiende reparaciones, además atienda reclamos y ventas? 11.La siguiente tabla muestra la distribución de un grupo de personas según dos aspectos por considerar: hábito de fumar y presencia de bronquitis. HÁBITO DE FUMAR FUMA NO FUMA BRONQUITIS SÍ NO 150 130 95 125 De acuerdo a la tabla, encierra las alternativas que puedas deducir y anota la cantidad de personas a la que afecta. a. Fume y tenga bronquitis b. No fume ni tenga bronquitis c. Dado que tiene bronquitis, fume d. No fume, dado de que tiene bronquitis e. No tenga bronquitis, dado que fuma f. No fume o tenga bronquitis 12.Un computador tiene cargados dos programas antivirus, A y B, que actúan simultánea e independientemente. Ante la presencia de un virus, el programa A lo detecta con una probabilidad de 0,8 y el programa B lo detecta con una probabilidad de 0,9. Calcula la probabilidad de que: a. un virus sea detectado. b. un virus sea detectado por el programa A y no por B. 13.Una de las municipalidades recoge cierta información que dice que el 1% de los habitantes de su jurisdicción han sido asaltados. Confrontándola con informaciones anteriores, se tiene que 2 de cada diez de las U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 241 ( ) P A ∩ B = 0, 532. Encuentra: UNID AD 5 10.El turno habitual de una central telefónica requiere que 5 de los funcionarios atienda exclusivamente reclamos, 7 solo reparaciones y 18 solo ventas. El resto de los cuarenta atienden reclamos, reparaciones y ventas. El supervisor llama al azar a uno de ellos para pedirle una información de su gestión. ¿Cuál es la probabilidad de que: a. P ( A ∩ B ) b. P ( A / B ) c. ¿Son A y B independientes? ¿Por qué? 15.Sean A y B dos sucesos independientes, asociados a un experimento aleatorio. Además, sea P ( A ) = 0, 4 y P ( A ∪ B ) = 0, 7. ¿Cuál es el valor de P ( B )? (Recuerda que P ( A ∪ B ) = 1 − P ( no A ∩ no B ) ) III.Resuelve los siguientes problemas: 1. Era mi primera semana de práctica como estudiante egresado de Psicología. Atender un centro de rehabilitación de jóvenes por consumo de drogas era una tarea difícil y por eso la elegí. El coordinador del Centro me pasó una encuesta reciente donde decía que de los 110 jóvenes que consumen drogas, 70 eran menores de15 años y el resto de 15 a 21 años. Por otro lado, 7 jóvenes de los 70 mencionados no querían terapia de rehabilitación, y 16 de los que tienen entre 15 y 21 años, tampoco la querían. Iba a continuar leyendo, cuando golpeó a la puerta de la oficina una pareja de jóvenes de 17 años. Uno de ellos venía a una de sus sesiones conmigo, se llamaba Willy. ¿Podrías tú ayudarme a responder estas preguntas y a calcular la probabilidad de que Willy a. tenga menos de quince y no quiera terapia? b. quiera terapia, dado que tiene entre 15 y 21 años? c. ¿Cómo se llaman los sucesos cuya probabilidad es igual a la de a.? 241 2/11/11 17:26:49 Ahora bien, supongamos que tomamos al azar un joven que consume drogas. Indica la probabilidad de que: d. tenga entre 15 y 21 años, ambos inclusive, y quiera terapia. e. tenga menos de 15, y no quiere terapia. 2. El lunes pasado recitó su verso ante el curso. Tenía la tarea de escribir poemas, lo que le dictara el corazón. Ella nos sorprendió declamando: “¿Qué será más fácil: encontrar el amor verdadero o evitar la fría muerte cuando me alcance? ¿Y qué decir de mi amor no correspondido, si a mi risa la congelaste para siempre? ¿Por qué no volver ahora al vientre de mi madre y no haber nacido, dado que me has hechizado eternamente? Y si alguna vez desistes, lanza un perfume amargo sobre mi frente”. Terminó, se produjo un silencio y nadie se atrevió a hablar. Obtuvo la nota máxima. Estima y escribe algunos tipos de sucesos y de probabilidades que has estudiado al meditar sobre lo que te insinúa el texto. Por ejemplo, “encontrar el amor verdadero” es un suceso probable ¿no? Estudia hechos de la vida diaria donde encuentre sucesos posibles, imposibles, probabilidad condicionada, etc. 3. –¡Qué grande era esa roja! ¡Viva Bielsa y la Roja!... ¡qué bien jugaban esos chiquillos! ¿Saben? Les voy a contar un secreto. Yo aconsejé personalmente al entrenador para darle algunas estrategias. –¿Qué? ¿No nos digas que lo conoces? –Claro y a los jugadores también. El siguió mis consejos cuando clasificamos. ¿Por qué creen que fuimos a Sudáfrica?... Por mis consejos. Yo le dije: “Marcelo, mira, con siete delanteros de la misma calidad, selecciona tres para que puedan actuar en los tres frentes de ataque, y así podrás hacer añicos al equipo contrario. No te olvides del orden en que deben ir. Le repetí: no te olvides, “de 7, elegir 3” 242 –¿Tú crees que somos tontos? ¿Y cuándo te hizo caso a eso de “de 7, elegir 3”? No tienes idea. Ellos no saben quién eres tú. U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 242 –Lo que pasa es que ustedes tienen envidia de mis conocimientos. Te invitamos a que recuerdes o averigües qué pasó en este último mundial con Chile. Si bien es cierto no sabemos qué ternas le aconsejó nuestro relator, sí podemos conocer la probabilidad que tenía de aparecer una de ellas, no olvidando que: “De siete, eliges tres, respetando el orden”. 4. Dos amigas, sentadas en las graderías de su liceo comentan: –¡Qué suerte tiene Natalie!, le va bien en los estudios, en el amor, goza de buena salud, y fíjate que se ganó $100000 en un juego de azar. –¿Y cómo? –Es que participó en el “Gana rápido, gana rapidito” –Ah, ese nuevo juego que ganas si tienes exactamente las mismas cifras que el número extraído. –¿Y de cuántas cifras es? –De cinco y se pueden repetir. Además los boletos son todos distintos. –Compremos dos números. Si ganamos, compartimos. –Veamos, mientras no nos transformemos en adictas, está bien. Las amigas compraron los boletos 21769 y 04786. ¿Qué tan probable es que a. hayan ganado con el boleto 21769? b. hayan ganado con los dos boletos? c. hayan ganado con cualquiera de los dos boletos? 5. El encargado de ventas de un famoso centro comercial debe elegir una terna de vendedores para ir a una premiación especial dada por un Instituto también famoso. Son tres premios diferentes, y para él, quien merece uno de ellos es Reno, porque es el más antiguo y competente. Pide al resto del personal nombres posibles. Después de ver varias duplas para completar su trío, manda finalmente la lista: Reno, Rommy y Jael. Sin embargo, llega una queja de parte de los otros candidatos posibles, Verónica, Erika y Joel, los que se sienten discriminados. Estas 2/11/11 17:26:49 Este tipo de conflicto, desgraciadamente, se presenta en algunas empresas. Tú puedes responder: ¿cuál es la probabilidad de haber elegido el trío donde esté Reno a. Rommy y Jael? b. y dos cualesquiera de los tres integrantes que se sienten discriminados? c. y solo uno de los integrantes que se sienten discriminados? d. Rommy o Jael para uno de los cupos, y Verónica, Erika o Joel por el otro cupo? 6. “Aló, mamá, no puedo ingresar al edificio porque hay un asaltante que puede estar escondido en cualquiera de los departamentos. Por favor, no salgas, cuida a los niños porque se va a hacer un operativo”. Miro desesperado este edificio de cinco pisos con cuatro departamentos por piso. ¿Dónde estará escondido el malhechor? Escucho que es más probable que esté en los pisos superiores. Pienso, en cada piso, los departamentos de los extremos tienen menos posibilidades de que el malandrín se esconda... Mientras se efectúa el operativo, un amigo muy dado al cálculo de probabilidades y que pasaba cerca dijo: “La probabilidad por piso es proporcional al número del piso y, en cada piso los departamentos de los extremos tienen la mitad de probabilidades de ser elegido por el malhechor que los del centro”. Si quieren, calculen. El operativo terminó con éxito. Sin daños ni violencia. El malhechor se entregó. De acuerdo a las pistas del relato, determina la probabilidad donde sea más seguro encontrarlo, indicando el lugar posible. 7. “Se ha detectado un tráfico ilegal de animales exóticos por tres pasos fronterizos cercanos entre sí. Tenemos evidencia de que es una sola banda y por esto tenemos que organizarnos para intervenir y detener, en primera instancia, a los traficantes –explica el prefecto, mientras abre la reunión ante el comisario y los brigadistas competentes del caso–. Mi asistente les explicará la situación mediante el siguiente mapa. “Por Quebrada Roja ingresan casi el 55% de estos animales y el resto, por Quebrada Amarilla. Ambas van a desembocar a Punta Destino. De los animales que aquí llegan, al 35 % los sacan por Cuesta Tenebrosa; 30 % por el Camino del Norte y 10 % por el Camino del Centro; el resto por el Camino del Sur. Se les dará el mapa geográfico y se reunirán con sus jefes. Buena suerte”. Una de las brigadistas se levanta, pide la palabra y consulta. “Señor, en la ciudad ya hemos detectado a uno de estos animales exóticos que ha sido ingresado por alguna de las rutas descritas. Quisiera que usted me respondiera, ¿qué tan probable es que UNID AD 5 denuncias dicen que si bien están de acuerdo que Reno lo merece, ellos no fueron considerados para la premiación. a. haya ingresado por la ruta “Quebrada Amarilla” y “Camino del Centro”? b. sabiendo que ingresó por la “Quebrada Amarilla”, haya seguido por “Camino del Norte”? c. haya ingresado a la región por “Cuesta Tenebrosa”, dado que primeramente atravesó por “Quebrada Roja“? Contesta tú estas preguntas. 8. ¡Alto muchacho, no te muevas un milímetro porque tu imprudencia te ha llevado a este campo minado! Miré de soslayo, sin darme vuelta, aterrorizado... ¿sería la última vez que miraría el desierto florido? Empecé a sudar mientras ellos hacían el rastreo... Sentía que estaba como en un tablero de ajedrez donde tal vez con dos jugadas me salvaría, pero solo con una moriría. Di dos pasos en diagonal y me abrazó el rescatista para llevarme a terreno seguro, junto a mis padres. Mirar el desierto florido en lugar permitido no tiene nada de malo, pero en terreno prohibido, seis de cada diez racimos estallan sin avisar y siete granadas de cada 10 no se hacen esperar para explotar. No te imaginas el inmenso daño que le habrías causado a tu familia si esto hubiera terminado mal. Responde: ¿qué tan probable es que haya estallado un racimo o una granada? 9. Venancio les propuso a los dueños del negocio “Doña Tinita” la idea de vender jugos de tres sabores y pastelitos de cuatro tipos. Así, la semana entre Navidad y Año Nuevo del 2010, 243 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 243 2/11/11 17:26:50 se llevó a cabo esta idea, con inusitado éxito. Jugo trisabor, con exquisitas mezclas a partir de mango, naranja, maracuyá, pomelo y piña. Además, ricos pasteles chilenitos, merengues pegados y alfajores. Todas las mezclas entre sí fueron igualmente preferidas por el público. Lo mismo ocurrió con los pasteles. Ahora tú, determina la probabilidad de haber elegido: a. Un jugo de pomelo-piña-maracuyá. b. Un jugo cualquiera que llevara naranja y un chilenito. c. Un jugo que llevara mango-pomelo y un merengue pegado. d. Un jugo de pomelo-piña-maracuyá o naranja-mango-maracuyá, dado que se ha escogido un alfajor. 10.Arcadio y Honorio pelean, yéndose a las manos, por el supuesto cobro ilegal de un gol en un partido amistoso de futbol en su barrio. El árbitro los separa y les pide una explicación... Arcadio inicia su versión y posteriormente viene la de Honorio. Todo se reduce a que hay un supuesto gol ilegal, tan importante porque si fuera validado, podría permitir que el partido terminara desempatado. El árbitro les explica que no es la idea pelear en un partido amistoso de futbol. Después de tiras y aflojas llegan a un acuerdo. Recuerda que nada justifica la violencia para resolver los pleitos. Por ahora te pedimos que encuentres la probabilidad de que este supuesto gol ilegal y de desempate haya sido el segundo o el quinto en ser convertido. 11.Para el nuevo trabajo que se nos ha encargado en nuestra oficina, Filiberto se da cuenta de que es necesario formar dos comités, uno integrado por dos hombres y otro por dos mujeres. Hay cinco hombres y cinco mujeres posibles e igualmente elegibles. Así, se dispone de Fabricio, Filomena, Remo, Lorena, Félix, Felicinda, Felícito, Alba, Fermín e Isidora. Al consultarles si participarían, no todos aceptaron. Responde: a. ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan retirado dos hombres de esta lista? b. Supongamos que se retiraron voluntariamente Remo, Félix y Felicinda. ¿Cuál es la probabilidad de formar la dupla Fabricio y Felícito? c. Determina la probabilidad de formar la dupla Alba e Isidora. 12.“Mira, Belmar, si aplicamos el primer método para desalinizar las aguas del norte, tendremos un 60% de éxito. Por otro lado, con el segundo método, aquel que nos comentaron los expertos, el éxito sería de un 70%. Si agregamos al estudio nuestro método, tendremos un 80% de éxito. Pero no es suficiente porque es el financiamiento. Más aún, debiéramos saber qué tan probable es que fallemos si usamos cualquiera de los tres métodos. Este también es un punto que tenemos que analizar”. Calcula tú esta probabilidad. (Puedes generalizar lo estudiado para dos sucesos, en tres o más sucesos). 13.Melisa y Toribio son expertos en recuperar archivos dañados, borrados accidentalmente o que tengan problemas similares en un computador. Pero les ha tocado un problema no usual, un caso difícil de resolver. Como último recurso, tienen dos posibles tratamientos, A y B, cuyo éxito es de 20% y 30%, respectivamente. Además, la probabilidad de que tengan éxito usando ambos es de un 10% ¿Cuál de las siguientes estrategias debieran utilizar? Justifica, empleando sus probabilidades de éxito I. Aplicar primero el tratamiento B y, luego, aplicar el A. II. Aplicar primero el tratamiento A y, luego, aplicar el B. Lee atentamente y luego responde las preguntas 14 y 15. El meteorólogo dijo, a través de la TV, que la probabilidad de que llueva hoy en Santiago es de 40%. Luego comenzó a explicar algunos gráficos de altas y bajas presiones, y finalmente, señalo que la probabilidad de que baje bruscamente la temperatura con la lluvia presente es de 15% para los habitantes de la Región Metropolitana. 14.“Yo terminé de tomar mi café, mientras escuchaba ese pronóstico. Me levanté para pagar mi desayuno, tomé mi chaqueta y subí a mi camioneta. Llamé a mi casa y le dije a mi esposa que cuidara a los niños, porque no sé 244 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 244 2/11/11 17:26:50 15.En tanto, en Santiago, su esposa respondió la llamada con los ojos nublados de nostalgia y colgó. Después se alistó para ir a su trabajo, miró el cielo y pensó:“¿qué tan probable es que hoy se mantenga o suba la temperatura, o no llueva?” Responde tú. ¿Cuál es el valor de la probabilidad mencionada? IV.Marca la alternativa correcta: 56 90 11 b. 178 11 180 111 d. 178 c. e. 112 180 2. Marco va a un club de video a arrendar una película, pero esta vez lo quiere hacer al azar. En la tienda hay 70 películas de acción, 50 de romance, 80 de terror y 60 infantiles. De las películas de acción, el 20% de ellas ya las ha visto; de las de romance ha visto solo el 10%; de las de terror ha visto el 35% y de las infantiles solo ha visto el 5%. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. La probabilidad de que escoja una película de terror si se sabe que no la ha 52 visto es . 80 II. La probabilidad de que escoja una película de acción si se sabe que no la ha 56 . visto es 209 III.La probabilidad de que escoja una película de acción o romance es la misma que la probabilidad de escoger una de terror o infantil. a. Solo I c. Solo III b. Solo II d. Solo I y III a. el valor de la probabilidad se acerca a 0,125. b. el valor de la probabilidad sigue siendo 0,122. c. el valor de la probabilidad se acerca a 0,225. d. el valor de la probabilidad varía, pero no se puede determinar sin hacer el experimento. e. No se puede determinar lo que pasará. 1. En una tómbola se han colocado los números para jugar a la lotería, bolitas numeradas del 1 al 90. La probabilidad de que al extraer dos bolitas en forma consecutiva la primera bolita sea un número impar y la segunda un múltiplo de 8 es: a. 3. Al hacer un experimento lanzando un dado de 8 caras se concluye que la probabilidad experimental de obtener un 6 es 0,122. Si se repite el experimento 100000000 de veces se puede concluir que, para este evento: e. Solo II y III UNID AD 5 qué tan probable es que empezara a llover allá y baje la temperatura”. Encendí el motor, me entristecí al escuchar su voz. Cuando llegue a Futrono la volveré a llamar. ¿Cuál es el valor de la probabilidad insinuada en el relato? 4. En el colegio de Ana trabajan 36 profesores que se distribuyen en 2 salas de profesores. En la sala 1 trabajan 16 profesores y en la sala 2, el resto. En la sala 1, el 25% de los profesores son hombres, mientras que en la sala 2 solo el 10% lo es. La probabilidad de que al escoger un profesor al azar este sea mujer si se sabe que fue elegido de la sala 2 es: c. 33, 3 % e. 75 % a. 10 % b. 25 % d. 60 % a. 0,10 c. 0,79 5. Si las probabilidades de que dos sucesos independientes, A y B, ocurran son 0,3 y 0,7, respectivamente, entonces la probabilidad de que A o B ocurra es: b. 0,21 d. 0,90 e. 1,00 6. Montserrat debe escoger un día de enero del 2012 para comenzar sus vacaciones, pero este no debe ser ni lunes ni viernes ni tampoco fin de semana. ¿Cuál es la probabilidad de que sus vacaciones comiencen un miércoles si hace esta elección al azar?: 4 18 4 e. c. a. 31 31 13 13 4 d. b. 31 18 7. Se ha encuestado a un grupo de personas para saber las preferencias de los habitantes de una ciudad sobre lugares de esparcimiento de los fines de semana. Los resultados fueron presentados en la tabla adjunta. La probabilidad de que un encuestado haya respondido que su preferencia era el centro comercial o los parques si era mujer es aproximadamente 245 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 245 2/11/11 17:26:54 a. 32% b. 48% Lugares Hombres Mujeres c. 63% e. 68 % d. 66% Centro comercial Plazas y parques Visita a familiares 50 100 70 100 40 80 8. La probabilidad de que al formar números de 3 cifras no repetidas con los dígitos 1, 3, 4, 5 y 8 estos sean impares es: a. 5% b. 10% c. 20% d. 40% e. 60 % 9. Noel es un alumno de tercero medio. Él debe elegir su plan electivo de estudio. Para ello debe escoger un ramo de cada grupo de los que se presentan en la siguiente tabla. Ya ha seleccionado Lenguaje del grupo A, entonces, la probabilidad de que escoja Arte del grupo B y Música del grupo C, si hace esta elección al azar, es: 1 1 3 c. a. e. 3 27 3 1 2 d. b. 9 3 Grupo A Grupo B Grupo C Matemática Física Química Biología Arte Música Lenguaje Filosofía Historia 10.Sebastián y Juan José están jugando para saber quién pagará las entradas al cine. Sebastián no pagará si gana en los siguientes tres juegos: lanzar una moneda (gana sello), tirar un dado (gana puntaje mayor) y una mano de cachipún. ¿Cuál es la probabilidad de que Sebastián haya ganado si Juan José obtuvo cara, cuatro y piedra? 1 1 1 a. c. e. 6 12 36 1 1 d. b. 9 18 Pauta de evaluación sugerida para evaluación 1 y 2 Esta pauta puede aplicarse para obtener el porcentaje de logro, transformarlo a calificación y también para evaluar cada ítem pedido. Puede parcelar la evaluación como trabajo individual en varias clases y luego promediar la calificación o los porcentajes de logros obtenidos. Complete la tabla adjunta: Puntaje obtenido Indicador Puntaje total Número de respuestas correctas obtenidas en el ítem I (verdadero y falso o completación) Número de ejercicios correctamente desarrollados en ítem II (asigne 2 puntos a cada una) Número de problemas correctamente desarrollados en ítem III (asigne 2 puntos a cada uno) Número de alternativas correctas en ítem IV (asigne 1 punto a cada una) Total 10 30 30 10 80 Para traducir a porcentaje de logro el puntaje obtenido, use la siguiente fórmula: Porcentaje = Puntaje obtenido ⋅ 100 80 Para traducir el porcentaje obtenido a nota, puede usar las tablas de esta guía didáctica. 246 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 246 2/11/11 17:26:57 Solucionario de la Unidad 11. a. 2,5 % b. 13, 3% 14. 78,9% b. 12. 0,80 I. Crucigrama: 13. 0,9 15. a. 15 79 III.1. a. 40% II. 1. a. 0,02 b. Deben terminar en 2, 4 y 5. Por ejemplo: C, 7 ; C, 2, 1 000 49 4 o C, 4, 4 con probabilidad y C, 4, 2 7 500 49 . o C, 2, 2 con probabilidad 7 500 c. Tienen la misma probabilidad debido al principio multiplicativo. 2, 5 o C, 4, 5 con probabilidad d. De esta manera, la probabilidad es 0,014, con monedas y dados normales es 0, 0138. 2. a. Aproximadamente un 43,33% b. 25 ≤ T < 30 al tener la frecuencia mayor; entre los otros rangos, también lo es su frecuencia relativa. Por tanto, su probabilidad es la mayor (33, 3 %). 3. --- 4. a. 0% 5. 5 7 120 6. a. 343 223 b. 343 1 7. a. 504 1 8. 225 3 9. a. 8 10. a. 70% U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 247 b. 100% c. 0 % 120 c. 2 401 2 d. 7 1 b. 180 b. 3 28 b. 23% c. 1 56 c. 35 % c. 25 % 24 79 c. 40 79 b. Pinball Héroes y Guerrero Galáctico 7%; 10% UNID AD 5 Actividades de refuerzo c. 1,28% 1 2. a. equiprobables 3 b. Independientes 1 c. 27 3. 97,6%; 2,4%. 4. Es imposible obtener 13 al lanzar dos dados comunes; la puntuación máxima es 12; por lo tanto, la probabilidad de haber ganado es 0%. 5. a. 31,25 % 6. 1 25 versus 8 216 7. 20 % y 1,67% 8. a. 015625 61 b. 64 c. 25 % 9. 10 % 10. 0,0000002 1 11. a. 9 12 12. a. 25 9 b. 23 13. a. 1999 con 7,04% b. 3,125 % d. 14,0625% 7 e. 64 b. 5 9 c. 100 % d. 12 26 b. Las que se inician con A juntas con un 3,59%, en cambio, para la N, es 2,28% c. Rango varía entre 5,53% y 7,05% 247 2/11/11 17:27:07 d. Más probable que haya sido por enfermedad del sistema circulatorio en el 1999 (15,98%) versus tumor maligno en el 2003, con 24,03%. e. En 2003 con 7,87%. 14. La probabilidad de que falle el primer motor, dado que falló el segundo es, aprox. 33,33%. La probabilidad de que falle el segundo motor, dado que falló el primero: 75%. La probabilidad de ninguna falla: 50% 15. 58%, 33% y 50% IV.1. e 3. c 5. d 7. a 9. b 2. c 4. b 6. c 8. d 10.b Ficha de refuerzo I. 1. No debiera coincidir porque la calculada es una probabilidad experimental. Sí debiera ser un valor cercano. 2. a. b. 3. a. 57,7% b. 60% II. 1. 10% aprox. 2. a. 27% aprox. 7. Evaluación 1 I. 1. Salir 1 y salir 2 al lanzar un dado 2. 3,4 % 3. Hoy sea un día de la semana 7 12 3 5. 70 6. Ir al cine y conseguir dinero para ello 4. 7. 0 8. 0 y 1 o 0 % y 100 % 9. II. 1. a. 2. 3. 4. 5. 6. 248 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 248 Resultado 0,05489754 6S 0,02693691 0 3. 8,3% I. 1. Probabilidad 0,05381046 c. 69,17% 1 Pedro: P ( al menos 2 caras ) = , 2 3 Luisa: P ( al menos 1 cara y 1 sello ) = . Luisa 4 tiene razón. 3 5 1 P ( ganar el kino ) = ≈ 0, 000022 % 4 457 400 1 36 2 9 b. a. 25 25 1 230 2 19 10. --- b. 10,8% Actividades de profundización 28 73 6C 24 C 29 S 29 S es un evento nulo o imposible b. 0,00083, aproximadamente c. 0,0581418 2. La probabilidad de que aparezca en un dado no trucado, pues la probabilidad es 0,00077 versus, 0,00062, que corresponde a la del dado cargado. 1 b. 3. a. 100% c. 0 % 6 4. a. 71 % b. 71 % c. 14,28 % d. 100%, el suceso es seguro 1 (palabra “discreto”) 40320 5 6. 6 5. 2/11/11 17:27:13 1 3 5. a. No equiprobables b. Incompatibles 1 8. a. a partir del primer conjunto y que 6 480 1 , que se obtiene es mayor que 7 776 considerando los números del segundo conjunto. Esto se debe a que hay menos números en total que se pueden formar a partir del primer conjunto, ya que no hay números que se inicien con cero. b. 0%, porque los múltiplos de 10 necesitan terminar en cero. Pero como el segundo conjunto carece de cero, no se puede construir número con dicha terminación. 9. a. 46% 9 10. a. 17 b. 54% b. 43,9% 2 3 9 b. 47 11. a. 0,3 b. 2 12. a. 3 13. 40% c. 57,14 % 23 c. 30 b. Ambos son sucesos independientes 7 1 1 15. a. b. c. d. 0 9 3 3 b. 45% III.1. a. 37,5% 2 c. 9 2 d. 9 2 e. 3 1 f. 3 2 g. 3 3. a. 0%. Porque el juego (experimento) involucra solo contar las caras cuadradas y no formar cuadrados b. Imposibles c. Por ejemplo que, teniendo los cuatro dados, que el total de las caras pintadas coincidentes varíe entre 0 y 4 5 e. 25 % c. 4. a. 20% 9 b. 25% d. 10% U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 249 d. 60 % 6. 99,3% 7. a. b. c. 9. a. 0,028 % b. 97,2% c. 0,672 % 3 8 3 8. a. 8 1 6 2 b. 5 7 12 1 c. 10 1 si está dentro de las 7 personas de 7 confianza, sino 0 % 10.a. 1 7 1 c. 21 b. 11. a. 5,51% b. La secuencia guinda-guinda-naranja. 1,23%. 12. a. 10% 14. a. P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) 5 2. a. 9 1 b. 3 c. 22,5% UNID AD 5 7. b. 20 % c. 71,43 % aprox. d. El que haya terminado, sabiendo que es de Ciencia (21,43% aprox.), versus el otro (7,14% aprox.) 13. a. 49,59 % b. 3,58% c. 49,52 % d. 5,48% e. 39,96 % f. 26,75 % g. 17,11 % h. 53,22 % 14. La elección de una puerta no influye ni depende de la elección de otra. Al haberse 1 elegido la puerta A con de la probabilidad, 3 los dos tercios restantes son para las puertas B o C. Pero como “C no es la puerta ganadora”, es decir, la probabilidad de ser elegida es cero, la única opción es que la probabilidad 2 de la puerta B sea . Así, ante esta nueva 3 1 elección, la puerta A permanece con y la 3 249 2/11/11 17:27:20 2 puerta B con , por tanto es aconsejable que 3 deba cambiar a puerta B. 15. a. IV.1. c 8 47 2. b b. 3. c 4. b 19 55 c. 44 65 d. 5 8 5. e 7. e 9. a 6. d 8. a 10.c Evaluación 2 I. 1. F 3. V 5. V 7. F 9. F 2. V 4. F 6. V 8. F 10.V 12. a. 98 % 13. 3,88% aprox. 14. a. 0,468 b. 0,72 c. Sí, porque P ( A ∩ B ) = 0, 468 = P ( A ) ⋅ P ( B ) 15. 0,5 III. 1. a. 0 %. (Wally tiene 17 años) b. 60 % c. Imposibles II. 1. a. El 1 y el 8, con el valor 0,08 2. --- c. 45,5% 4. a. 0,00169% b. 76,67% aprox. c. El de rango de sueldo: 800 ≤ S ≤ 950, ya que al tener la frecuencia menor, entre los otros rangos, también lo es su frecuencia relativa. Por tanto, su probabilidad es la menor (8, 3 %) 1 25 5 147 c. d. 3. a. b. 64 64 192 192 4. a. Alguno de ellos debe ser 0 6. a. 2,56% 1 7. a. 90 8. 0,025 9. 5% 10. a. 25% b. 37,5% 11. a. 30% b. 25% U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 250 3. 0,158 % c. 0,003386% 2. a. 60% b. Imposible 1 5. 30 e. 30,43 % b. 2,87 · 108 % e. 97,28% 250 d. 21, 81 % b. El 2, porque siendo su probabilidad de 0,13 en este dado y 0,125 en un dado normal, la diferencia es menor que la de los otros números. d. 2,175% b. 8 % 20 b. 21 c. 25% d. 58,82 % aprox. d. 38,78% 6. e. 46,43 % b. 24 % c. 36 % d. 24 % ; quinto piso en cualquiera de los dos departamentos centrales. 7. a. 45 % 8. 42 % 9. a. 1 10 b. 13,5% b. 10. 40% 11. a. 20 % b. 60% c. 61,22% 5. a. 4 % 12. 2,4% 1 5 c. b. 2 9 1 10 c. 19,25 % d. 1 15 c. 0,01% 13. La probabilidad de la primera forma (I) es 50% y la de la segunda (II) es, aproximadamente, 33,33%. Es decir, la estrategia más exitosa es: “Aplicar primero el tratamiento B y, luego, aplicar el A”. 14. 37,5% 15. 94% IV.1. b 3. a 5. c 7. c 9. d 2. b 4. d 6. a 8. e 10.d f. 72 % 2/11/11 17:27:25 http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/historia/ Historia%20de%20la%20probabilidad.pdf http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/activities/ Prob/Index.html Este documento pdf descargable e imprimible se titula “HISTORIA DE LA PROBABILIDAD”. Esta página es interactiva y se requiere tener Java instalado. Con título “Probabilidad experimental”,hay tres botones de link que la explican, indican cómo usar el recurso y el beneficio de usarla como actividad lúdico educativa. Se puede programar el tipo de dados y, o ruletas de colores. El lanzamiento es de dos dados y otorga la suma de los números de las caras que aparecen. También agrega el número total de lanzamientos que se lleva de manera acumulada. En el caso de las ruletas, se indica la frecuencia del color y el número total de giros que se lleva de manera acumulada. La página es del sitio web EDUTEKA, el cual es un Portal Educativo gratuito actualizado mensualmente desde Cali, Colombia, por la Fundación Gabriel Piedrahita Uribe. Contempla el contexto histórico y precursores, el nacimiento y evolución de la teoría de la probabilidad para llegar a la teoría moderna de la Probabilidad. Hay un tratamiento y comentario de la probabilidad de Laplace. Departamento de Matemáticas. Universidad Autónoma de Madrid. http://www.estadisticaparatodos.es/historia/histo_proba.html Contiene una breve historia de la Probabilidad. La página contiene links internos de un taller estadístico y otro de Historia. Además, hay links a fichas de biografías, software, enlaces externos, etc. El sitio se llama “Estadística para todos”,cuyo principal objetivo es estimular y extender la educación estadística a los alumnos, profesores y público general. http://www.cirst.uqam.ca/Portals/0/docs/divers/resumen%20 LMayer.pdf Este documento pdf descargable e imprimible se titula “El probabilismo ¿ambiente cultural que ayudó a la creación de la probabilidad aleatoria?” El probabilismo corriente dentro de la filosofía moral del cristianismo se desarrolló a partir del siglo XVI. El probabilismo significó la apertura ideológica que Europa necesitó al enfrentar culturas tan lejanas como las americanas o las del Lejano Oriente y permitió la reflexión sobre la incertidumbre y crear los contextos y significados culturales que posteriormente dieron lugar a la probabilidad aleatoria. El trabajo es de Leticia Mayer Célis, Investigadora Titular “A” del Instituto de Investigaciones en Matemáticas Aplicadas y en Sistemas. Universidad Nacional Autónoma de México http://www.ematematicas.net/simulaciondado.php Aquí usted tiene la simulación del lanzamiento de un dado, indicando previamente el número de lanzamientos. El resultado se expresa en una tabla donde puede destacarse la probabilidad teórica y la probabilidad experimental de cada número. La página muestra otros links para otras simulaciones, videos, apuntes, etc. Este Recurso Educativo es de “Ejercicios de Matemáticas”, sitio de apoyo a la actividad docente y estudiantil. Brinda apuntes, recursos educativos, algunos interactivos, etc. UNID AD 5 Bibliografía y detalle de links de la unidad http://www.emathematics.net/es/simulacionmoneda.php Aquí usted tiene la simulación del lanzamiento de una moneda no cargada, indicando previamente el número de lanzamientos. El resultado se expresa en una tabla donde puede destacarse la probabilidad teórica y la probabilidad experimental de cara y sello. La página muestra otros links para otras simulaciones, videos, apuntes, etc. Este Recurso Educativo es de “Ejercicios de Matemáticas”,sitio de apoyo a la actividad docente y estudiantil. Brinda apuntes, recursos educativos, algunos de éstos, interactivos, etc. http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/estadisticas_ economicas/turismo/cifras/cifras2009.php) En esta página, usted dispone de documento en formato Excel, descargable y reproducible de las “CIFRAS TURÍSTICAS MENSUALES 2009”. El referente es el número de llegada y pernoctación de pasajeros a establecimientos de alojamiento turístico 2009. El portal de la página es INE, el que presenta vasta información de la realidad nacional en diversos aspectos; por ejemplo demográficos, económicos, etc. Proporciona datos y representaciones gráficas confiables, con desarrollo interpretativo, en formato pdf, descargables e imprimibles. Además hay links internos, sugeridos y externos. http://escuela.med.puc.cl/deptos/saludpublica/ResultadoENS/ CapIV204Diabetes.pdf) Este documento pdf descargable e imprimible trata del tema de la diabetes de una manera estadística. En las tablas se reportan promedios y prevalencias expandidas, Chile 2003. El estudio es del Departamento de Salud Pública de Facultad de Medicina de la Pontificia 251 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 251 2/11/11 17:27:25 Universidad Católica de Chile. El sitio web respectivo es de la Escuela de Medicina de dicha Universidad. http://club.telepolis.com/ildearanda/combina/combsin_marco.htm Trata de la combinación sin repetición, la define e indica la fórmula respectiva. Esta página es interactiva y dado un máximo de ocho elementos, con una selección que debe indicarse, calcula el total de combinaciones y las escribe todas. Las página principal es para el estudio de Combinatoria, Técnica de recuento, y elaborado por Ildefonso Aranda y Paco Cuenca, profesores de Matemáticas en el I.E.S. Gil de Zático de Torreperogil (Jaén). España. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0516-02/ed990516-02.html Después de la presentación se oprime el botón Entrar y aparece la página que trata el tema de Combinatoria. Mediante links internos se selecciona lo que se desea: permutaciones, variaciones, etc. Hay una calculadora especial para combinatoria que permite calcular el total de combinaciones, variaciones, etc., y las escribe todas. Incluye un links para problemas. Las páginas de COMBINATORIA corresponden a un ejercicio práctico de final de curso, realizado para el Curso de educación a distancia Thales-CICA 99: “Extensiones y utilidades de HTML para la enseñanza”,realizado por Adolfo Cid Valle. España. El Proyecto Thales-CICA se propone educación a distancia a través de Internet. http://www.ematematicas.net/simulacionmoneda.php Simulador de lanzamientos de dados. http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T01.pdf Este documento es descargable e imprimible. Permite repasar, da ejemplos y entrega de inmediato alguna pregunta al respecto. Al final hay un cálculo de algunos números combinatorios y factoriales usando las teclas de una calculadora científica. El trabajo es de Javier Pérez Olano y está en el sitio web a cargo de ITE: Instituto de Tecnologías Educativas. Ministerio de Educación. Gobierno de España. http://www.matematicas.profes.net/especiales2.asp?id_ contenido=44295#comb Esta página proporciona varios links a ejercicios, Banco de Recursos, etc. Pertenece a un sitio especializado, profes.net, que otorga variadas herramientas al docente. http://www-ma4.upc.edu/~fiol/pipe/100TestVAv2.pdf Este documento pdf descargable e imprimible, es Test de 100 Preguntas, sobre Probabilidad Combinatoria y Variables Aleatorias unidimensionales. Hay un solucionario donde se incluyen algunos desarrollos explicativos. El autor es M.A. Fiol, Departament de Matemática Aplicada IV. Universitat Politécnica de Catalunya http://www.conevyt.org.mx/actividades/probabilidad/ evaluacion.html Aquí dispone de una evaluación en línea que consta de cinco preguntas donde debe elegirse la respuesta correcta. Se puede limpiar la zona de respuestas para volver a ser usada nuevamente. Oprimiendo el botón de Respuesta, se obtienen las correctas. Esta página está en el sitio web de Consejo Nacional de Educación para la Vida y el Trabajo Este Portal educativo es un sitio de Internet a través del cual las personas jóvenes y adultas pueden obtener información, recursos de aprendizaje y Servicios de Educación Básica, Formación para el trabajo, Bachillerato, Acreditación de Conocimientos, Orientación Ocupacional y Bolsas de Trabajo. México. http://ws-01.ula.ve/ciencias/jlchacon/materias/discreta/probpro.pdf Este documento pdf descargable e imprimible consiste en problemas de probabilidad resueltos y propuestos con resultados. El trabajo es del profesor José Luis Chacón. Matemáticas Discretas. Facultad de Ciencias. Universidad de Los Andes. Venezuela. http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/ VerContenido.aspx?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a0286a13e6329d3f&ID=137573 Este es un portal de la educación, donde usted puede conseguir varias indicaciones prácticas destinadas a la Coevaluación y autoevaluación citando la fuente de procedencia. El material está además en pdf descargable e imprimible. Tiene además links de interés para docentes, estudiantes y familia, no solo en Matemáticas, sino también para las otras asignaturas o áreas del quehacer educativo. http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/ estadisticas_sociales_culturales/etnias/pdf/estadisticas_ indigenas_2002_11_09_09.pdf Este documento pdf descargable e imprimible llamado “ESTADÍSTICAS SOCIALES DE LOS PUEBLOS INDÍGENAS EN CHILE - CENSO 2002. PUBLICACIÓN ELABORADA POR EL INSTITUTO NACIONAL DE ESTADÍSTICAS EN CONVENIO CON EL MINISTERIO DE PLANIFICACIÓN NACIONAL” pertenece a INE. Aquí se da cuenta, desde la estadística social, de aquellos aspectos fundamentales que caracterizan la vida en regiones y comunas indígenas del país. La página es del sitio web del portal INE, el que presenta vasta información de la realidad nacional en diversos aspectos; por ejemplo demográficos, económicos, etc. Proporciona datos y representaciones gráficas confiables, con desarrollo interpretativo, en formato pdf, descargables e imprimibles. Además hay links internos, sugeridos y externos. 252 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 252 2/11/11 17:27:25 Bibliografía temática • Lipschutz, S. y Lipson, M. (2001). Probabilidad. Bogotá: Mc Graw Hill Interamericana. 2ª ed. • Masjuán, G.; Arenas, F. y Villanueva, F. (2008). Álgebra clásica. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 1ª ed. • Meyer, P. (1998). Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. México, DF.: Pearson Educación Addison Wesley Longman de México S.A. de C.V. 1ª ed. • Sullivan M. (2006). Álgebra y Trigonometría. México DF.: Pearson Educación Prentice Hall. 7ª ed. • Tapia, O.; Ormazábal, M.; Olivares, J. y López, D. (2009). Manual de preparación para PSU matemática. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 9ª ed. • Tapia, O. y Ormazábal, M. (2008). Cuaderno de ejercicios PSU matemática. Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones. 5ª ed. • Trola, M. (2004). Probabilidad y Estadística. México S.A. de C.V.: Pearson Addison Wesley. 9ª ed. UNID AD 5 •Elbridge, V. (1965). Álgebra y Trigonometría Modernas. Massachusetts-Palo Alto -London: Addison Wesley PubIishing Company, Inc. 2ª ed. Sitios web sugeridos http://www.sectormatematica.cl/articulos.htm Contiene links a diversos artículos para conocer el pensamiento y trabajo de matemáticos y matemáticas, y educadoras y educadores del mundo. Los artículos están en formato Word, pdf, descargables y reproducibles. También hay otros links internos y externos, como poesía, revistas, etc. http://www.elprisma.com/apuntes/apuntes. asp?categoria=704 En el buscador que presenta la página, usted puede ir por la materia que desee actualizar. El sitio web que la alberga es un portal para Investigadores y Profesionales. Es una biblioteca virtual de varias áreas del saber: Ingeniería, Medicina, Matemática, etc. Contiene apuntes y cursos para la comunidad universitaria. Además, se pueden encontrar suficientes apuntes en formato Word y pdf, la mayoría descargables y reproducibles, como los que se encuentra en este link. 253 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 253 2/11/11 17:27:25 Bibliografía temática Raíces y función raíz cuadrada Desigualdades e inecuaciones • Tapia, O., Ormazábal, M., Olivares, J., y López, D. (2010). “Álgebra y Funciones: Raíces y ecuaciones irracionales”; “Función raíz cuadrada”. Manual de preparación para PSU Matemática. Santiago: Ediciones Universidad Católica de Chile. 10ª ed. • Tapia, O.; Ormazábal, M.; Olivares, J. y López, D. (2010). “Álgebra y Funciones: Cap. 2: Desigualdades”; “Inecuaciones”. Manual de preparación para PSU Matemática. Santiago: Ediciones Universidad Católica de Chile. 10ª ed. • Tapia, O., y Ormazábal, M. (2008). “Álgebra y Funciones: Raíces y ecuaciones irracionales” (Caps. 9, 10 y 16); “Función raíz cuadrada” (Cap. 15). Cuaderno de ejercicios PSU Matemática. Santiago: Ediciones Universidad Católica de Chile.5ª ed. • Tapia, O. y Ormazábal, M. (2008). “Álgebra y Funciones: Cap. 5: Desigualdades”; “Inecuaciones”. En Cuaderno de ejercicios PSU Matemática. Santiago: Ediciones Universidad Católica de Chile. 5ª ed. • Sullivan, M. (2006). “Raíces y ecuaciones irracionales”; “Función raíz cuadrada”. Álgebra y Trigonometría. México D.F.: Pearson Educación Prentice Hall. 7ª ed. • Elbridge V. (1965). “Raíces y ecuaciones irracionales” (Cap. 3); “Función raíz cuadrada” (Cap. 7). Álgebra y Trigonometría Modernas. Massachussets-Palo Alto-London: Addison-Wesley PubIishing Company, Inc. 2ª ed. Ecuaciones cuadráticas y función cuadrática • Tapia, O., Ormazábal, M., Olivares, J., y López, D. (2010). “Álgebra y Funciones”; “Ecuaciones cuadráticas”; “Función cuadrática y Parábola”. Manual de preparación para PSU Matemática. Santiago: Ediciones Universidad Católica de Chile. 10ª ed. • Tapia, O., y Ormazábal, M. (2008). “Álgebra y Funciones: Ecuaciones cuadráticas” (Cap. 14); “Función cuadrática y Parábola” (Cap. 13). Cuaderno de ejercicios PSU Matemática. Santiago: Ediciones Universidad Católica de Chile. 5ª ed. • Sullivan, M. (2006). “Ecuaciones cuadráticas” (Cap. De Repaso R5, Cap. 1); “Función cuadrática y Parábola” (Cap. 4). Álgebra y Trigonometría. México D.F.: Pearson Educación Prentice Hall. 7ª ed. • Elbridge V. (1965). “Funciones Lineales y Cuadráticas: Ecuaciones cuadráticas” (Cap. 7); “Función cuadrática y Parábola”. Álgebra y Trigonometría Modernas. Massachussets-Palo Alto-London: Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 2ª ed. • Sullivan, M. (2006). Desigualdades (Cap. 1); Inecuaciones (Cap. 4). En Álgebra y Trigonometría (Séptima edición). México D.F.: Pearson Educación. • Elbridge, V. (1965). “Desigualdades” (Cap. 4); “Inecuaciones” (Cap. 7). Álgebra y Trigonometría Modernas. Massachussets-Palo Alto-London: Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 2ª ed. Algo más sobre triángulos rectángulos • Tapia, O.; Ormazábal, M.; Olivares, J. y López, D. (2010). “Geometría: Cap. 3”. Manual de preparación para PSU Matemática. Santiago: Ediciones Universidad Católica de Chile. 10ª ed. • Tapia, O. y Ormazábal, M. (2008). “Geometría y Trigonometría: Teorema de Pitágoras y Teorema de Euclides” (Cap. 9); “Relación entre ángulos y lados en un triángulo rectángulo” (Cap. 10); “Otros temas de Trigonometría”. Cuaderno de ejercicios PSU Matemática. Santiago: Ediciones Universidad Católica de Chile. 5ª ed. • Sullivan, M. (2006). “Teorema de Pitágoras y Teorema de Euclides: Cap. 6 Funciones Trigonométricas”. En Álgebra y Trigonometría. México D.F.: Pearson Educación.7ª ed. • Masjuán, G.; Arenas, F. y Villanueva F. (2006).“Teorema de Pitágoras y Teorema de Euclides: Relación entre ángulos y lados en un triángulo rectángulo”(Cap.1); “Otros temas de Trigonometría” (Cap. 2). Trigonometría y Geometría analítica. Santiago: Ediciones Universidad Católica de Chile. 2ª ed. 254 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 254 2/11/11 17:27:25 • Elbridge, V. (1965). “Teorema de Pitágoras y Teorema de Euclides: Relación entre ángulos y lados en un triángulo rectángulo” (Caps. 6 y 15); “Otros temas de Trigonometría” (Cap. 6). Álgebra y Trigonometría Modernas. Massachussets-Palo Alto-London: Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 2ª ed. Probabilidades... un paso más • Tripla, M. F. (2009). “Variable aleatoria” (Cap. 5); “Probabilidad experimenta” (Cap. 4); “Cálculo de probabilidades”. Estadística. México D. F.: Pearson Education Addison Wesley. 10ª ed. • Sullivan, M. (2006). “Conteos y Probabilidad” (Cap. 13). Álgebra y Trigonometría. México D.F.: Pearson Educación Prentice Hall. 7ª ed. • Tapia, O. y Ormazábal, M. (2008). “Estadística y probabilidad” (Cap. 2). Cuaderno de ejercicios PSU Matemática. Santiago: Ediciones Universidad Católica de Chile. 5ª ed. • Meyer, P. L. (1998). “Variable aleatoria” (Caps. 1 y 4); “Probabilidad experimental” (Caps. 1 y 2); “Cálculo de probabilidades” (Caps. 1, 2 y 3). Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. México. D. F.: Pearson Educación Addison Wesley Longman. 1ª ed. • Masjuán, G., Arenas, F., Villanueva F. (2008). “Combinatoria” (Cap. 6). Álgebra clásica (intervalo de páginas). Santiago: Ediciones Universidad Católica de Chile. 1ª ed. • Elbridge, V. (1965). “Análisis Combinatorio y Teorema del Binomio” (Cap. 11). Álgebra y Trigonometría Modernas. Massachussets-Palo Alto-London: Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 2ª ed. 255 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 255 2/11/11 17:27:26 U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 256 2/11/11 17:27:26