El objetivo de la mecánica estadística es analizar el comportamiento

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Física de Semiconductores (333)
Curso 2005
Ing. Electrónica- 3er. Año, V cuat.
Trabajo Práctico Nro. 3: Bloque Estadística: Funciones de distribución de MaxwellBoltzmann y Fermi-Dirac.
Objetivos:
Estudiar la distribución de electrones en los estados electrónicos permitidos. Analizar y
discutir las semejanzas y diferencias entre las funciones de distribución clásica
(Maxwell-Boltzmann) y cuántica (Fermi-Dirac).
Introducción
El objetivo de la mecánica estadística es analizar el comportamiento de un gran número
de partículas1 o sistemas idénticos, en una forma estadística o probabilística
encontrando los valores más probables de las propiedades del conjunto sin examinar en
detalle los valores de estas propiedades para una partícula dada en un determinado
momento. Por ejemplo, las características eléctricas en un cristal pueden determinarse
por el comportamiento estadístico de un gran número de electrones. Como interesa
calcular las propiedades promedio del conjunto de partículas se necesita conocer la
forma en que dichas partículas se distribuyen respecto a la energía E. Este conocimiento
se logra a partir de la función de distribución f(E) que da la probabilidad de que un
estado con energía E se encuentre ocupado. Existen tres tipos de funciones de
distribución que determinan la distribución de partículas sobre estados de energía
permitidos.
Según la física clásica todas las partículas son distinguibles y pueden ocupar el mismo
estado. Esta consideración conduce a una distribución de ocupación conocida como
función de distribución de Maxwell-Boltzmann. El comportamiento de las moléculas de
un gas en un recipiente es un ejemplo de esta distribución.
En la mecánica cuántica existe una restricción que debe cumplir la partícula: el spin. El
spin tiene unidades de momento angular. Las partículas en la naturaleza pueden tener
spin entero (0, , 2,..) o spin mitad de entero ( /2, 3/2,..). Las partículas de spin
cero o entero obedecen a la distribución de Bose-Eistein y son denominadas bosones (ej.
fotones, fonones, mesones, etc.). Los bosones pueden compartir un mismo estado y son
partículas indistinguibles. Las partículas con spin mitad entero obedecen a la
distribución de Fermi-Dirac y son denominadas fermiones (ej. electrones, protones,
neutrones, etc.). Un estado de energía puede ser ocupado por un único fermión, es decir,
un electrón sólo puede situarse en un nivel electrónico dado. Pero como los electrones
pueden tener spin + /2 ó - /2, dos electrones pueden situarse en un nivel de energía
particular. Son también partículas indistinguibles si tienen el mismo spin y cumplen con
el principio de exclusión de Pauli (dos electrones no pueden ocupar el mismo estado
cuántico).
Para describir el comportamiento de los electrones en sistemas como los
semiconductores utilizaremos la estadística de Fermi-Dirac que puede ser aproximada
por la de Maxwell-Boltzmann bajo ciertas condiciones.
Estas funciones de distribución pueden expresarse como:
1
Se entiende por partícula cada una de las unidades definidas y estables que componen
un sistema físico determinado. Por ejemplo: electrones, átomos o moléculas
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Maxwell-Boltzmann (clásica)
fMB(E)  C e - E/kT
C es una constante que depende del sistema y k es la constante de Boltzmann cuyo valor
es k= 8.62x10-5 [eV/ºK].
Fermi-Dirac
fFD(E) 
1
E - EF
1  e kT
EF es el nivel de energía de Fermi cuya probabilidad de ser ocupado por un electrón a
cualquier temperatura es 0.5.
Para T= 0ºK:
 fFD(E) = + 1 cuando E < EF
 fFD(E) = 0 cuando E > EF
La función se muestra en la siguiente figura para T= 0ºK
fFD(E)
1
E
0
EF
El gráfico muestra que a 0ºK los electrones
están a su nivel más bajo de energía. La
probabilidad de que un estado cuántico esté
ocupado es uno para E < EF, y la probabilidad
de que esté ocupado es cero para E > EF.
Todos los electrones tienen energías por
debajo de la energía de Fermi a T= 0 ºK.
La figura que sigue muestra una simulación en computadora de la función de
distribución de Fermi-Dirac para T  0 ºK, donde se ha tomado x= E - EF.
T= 100 ºK
T= 200 ºK
T= 300 ºK
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Como puede verse si E = EF resulta:
fFD(E  EF) 
1
1 e
0

1
1

11 2
Por lo tanto, todas las curvas para T > 0 ºK pasan siempre por fFD(E=EF) = 1/2.
Para temperaturas mayores a T= 0 ºK hay una probabilidad no nula que algunos estados
de energía por encima de EF estén ocupados por electrones y, consecuentemente,
algunos estados por debajo de EF estarán vacíos.
Cuando E - EF >> kT el término exponencial es mucho mayor que uno y la distribución
de Fermi-Dirac puede ser expresada como:
(E - EF)
kT
fFD(E)  e

Esta ecuación es conocida como aproximación de Maxwell-Boltzmann
Fermi-Dirac vs. Maxwell-Boltzmann
1.2
1
1
0
fMB
f FD
f MB
4.6
fFD
1
2
0.5
0
6
4
2
0
2
4
6

x = E - EF
Ejercicios propuestos:
1- Demostrar que la función de distribución de Fermi-Dirac tiene la propiedad que a
T> 0ºK, la probabilidad que un estado electrónico E por encima del nivel de Fermi
EF esté ocupado es la misma que la probabilidad de que un estado E por debajo de
EF esté vacío.
2- Calcular la probabilidad que un nivel de energía 3kT por encima de la energía de
Fermi esté ocupado por un electrón a T = 300 ºK.
3- El nivel de energía de Fermi para cierto material es de 6.25 eV a un temperatura de
300 ºK. Los electrones en el material siguen la distribución de Fermi-Dirac.
a) Encontrar la probabilidad que un nivel de energía de 6.5eV sea ocupado por un
electrón
b) Repetir para T= 950ºK suponiendo que EF permanece constante con T.
c) Calcular la temperatura a la cual hay un 1% de probabilidad que un estado de 0.3
eV debajo del nivel de Fermi esté vacío de electrones.
4- Calcular la energía en términos de kT y EF para la cual la diferencia entre la
aproximación de Botzmann y la función de Fermi-Dirac es 5% de la función de
Fermi. (Considerar C=1)
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6- a) ¿Cuál es la fracción de estados electrónicos ocupados electrones a una energía
E=EF+0.0455 eV a T=300ºK y T=450ºK?
b) Calcular el error cometido si se usa la aproximación de Boltzmann. Comparar y
analizar los resultados obtenidos.
7- Considerando el diagrama de bandas de energía dado a T= 300 ºK
E1
EF
1.12 eV
E2
a) si E1 - EF = 0.3 eV, determinar la probabilidad que un estado con energía E = E1
esté ocupado por un electrón y la probabilidad que un estado de energía E = E2
esté vacío.
b) Repetir si EF - E2 = 0.4 eV