MATRICES DETERMINANTES

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I
MATRICES Y DETERMINANTES
1.- Decir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Demostrar las que sean
ciertas y dar u contraejemplo para las falsas.
a) Si A y B son matrices cuadradas invertibles, entonces A+B también es invertible.
b) Si A es una matriz cuadrada simétrica, entonces A2 también lo es.
c) Si A y B son matrices cuadradas ortogonales, entonces A.B también es ortogonal.
d) Si A y B son matrices cuadradas regulares tales que A.B=I ,entonces A y B son
regulares.
2.- Calcular por el método de Gauss la inversa de las siguientes matrices, en caso de que
se pueda:
1 1

A = 1 1
1 1

1

0
0

3

D = 1
1

−1
1
0

2
1

1

1
F =
1

1

1
2
−1
3
1
−1
2
3
1
1

B = 1
1

1
1
0
1
E =
2

1

0
0

1

C = 1
0

2
2
1
0

4
1

3

1

1

2
1

2

3.- Dadas las siguientes matrices:
1

A = −1
0

1
D =
2

2
0
2
2

1

4

2
6

− 3

B = 2
 1

1

 −1
E =
2

3

2
1
1
4
4
0
1
2
2
1
−1
3

0
1

3
C =
2

2

3
1

0

a) Clasificar las matrices anteriores según tipo.
b) Calcular suma y producto dos a dos donde sea posible.
c) Calcular el rango de las matrices.
4.- Calcular la inversa, donde sea posible, utilizando determinantes.
−4
1
2
4
1

3

1

A = 2
0

−1
1
0
1

2
1

2

0
D =
2

0

−1
0
1
0
1
1
1
0
1

G = 2
3

2
4
4
1

0
1

1

1

B = 2
3

−1
1

0
E =
0

0

2
3
0
0
2

1
3

1
0
0
0
2
0
 2

C = 1
−3

0

0
1

3

3

2
F =
5

2

2
−3
0

2
1

2
3
3
2
7

2
9

3

1
4
3
7
3
3

5
6

5.- Calcular los siguientes determinantes, haciendo operaciones por filas o columnas.
(sin desarrollarlos totalmente):
a)
x
1
1
c)
1 +x
1
1
d)
1
x
1
1
1
x
b)
1
1 +x
1
a
b
b
b
a
b
b
b
a
1
1
1+x
0
a
a
0
b
b
c
c
a
b
0
c
a
b
c
0
1

A
=
2
6.- Dada la matriz
1

−1
k
3
2

1  ; determine los valores de k para los cuales la matriz
k

A no tiene inversa, si es posible calcula la inversa para k=0.
2 
2
 = 2 , con m una constante real. Se
2
2 m + m
7.- Considere la ecuación matricial X 
pide:
a) para qué valores de la constante real m existe una única matriz X que verifica la
ecuación anterior.
b) Si es posible, resuelve la ecuación anterior cuando m = 0 y m=1.
8.- Determine las matrices A y B que son soluciones a los siguientes sistemas:
0

3A − 2B =  5
15

5
9
−4
−4

0 
4 

 7

2 A + B = − 6
 10

1
6
−5
2 

7 
−2

9.- Considere una matriz A de tamaño m x n con m≠n. Razonar si se puede calcular la
expresión ATA - AAT. Justifique su respuesta.
10.- En un Instituto se imparten los cursos de 1,2,3 y 4 de E:S:O. Los profesores tienen
asignado un número de horas de clase, tutorías y guardias a cubrir, de acuerdo con la
siguiente matriz:
clase

 20
M =  18

 22

 25
guardia
5
6
1
2
tutoria 

3 
5 

4 

4 
|
1°
2°
3°
4°
El colegio paga cada hora de clase a $15000, cada hora de guardia a $5000 y tutoría a
$10000, según el vector pT= (15000, 5000, 10000). Además dispone de 5 profesores
para el primer curso, 4 para el segundo curso, 6 para el tercero y 5 para el cuarto.
5 
 
4 
c = 
6
 
5 
 
Calcúlese cada uno de los siguientes productos de matrices e interprétese los resultados:
a) cTM b)Mp c) pT MT


10. Dada la matriz A = 



coinciden.
1
2
3
2
−
3 
2  , demuestre que su inversa y su transpuesta
1 

2 
11.- Una fábrica decide distribuir sus excedentes en tres productos alimenticios A, B y C, a
cuatro países de África, P1, P2, P3 y P4, según se describe en la matriz M (cantidades en
toneladas). Esta fábrica ha recibido presupuestos de dos empresas para el transporte de los
productos a los países de destino, como indica la matriz P (en dólares por tonelada).
¿
A
200

M = 110
220

150

P1
500
P= 

510

B
100
130
200
160
C
120 

200 
100 

150 

P2
P3
450
400
375
400
P1
P2
P3
P4
P4
350  E1

350 
 E2
Efectúa el producto de las matrices y responde a las siguientes preguntas:
a) .Qué representa a11 de la matriz producto?
b) .Qué elemento de la matriz producto nos indica lo que cuesta transportar el producto C con
la empresa E2
c)Indica qué elementos de la matriz producto te permiten decir cuál es la empresa que más
barato transporta el producto B a todos los países.
12.- 21. Sean A yB dos matrices cuadradas cualesquiera de tamaño 2:
a) .Es cierta la igualdad (A + B)2= A2 +2AB + B2?
b) .Y la igualdad (2A - B)T= 2AT – BT ?
1
1
13.-. Dada la matriz A = 

1
 ; obtener las matrices B tales que AB = BA. Determinar qué la
2

matriz B calculada es la matriz inversa de A.
14.- Demostrar, usando las propiedades de los determinantes:
1
a
b +c
1
b
c +a =0
1
c
a +b
15.- Un constructor hace una urbanización con tres tipos de viviendas: S(sencillas),
N(normales) y L(lujo). Cada vivienda de tipo S tiene 1 ventana grande, 7 medianas y 1 pequeña.
Cada vivienda de tipo N tiene 2 ventanas grandes, 9 medianas y 2 pequeñas. Y cada vivienda de
tipo L tiene 4 ventanas grandes, 10 medianas y 3 pequeñas. Cada ventana grande tiene 4
cristales y 8 bisagras; cada ventana mediana tiene 2 cristales y 4 bisagras; y cada ventana
pequeña tiene 1 cristal y 2 bisagras.
a) Escribir una matriz que describa el número y tamaño de ventanas en cada tipo de vivienda y
otra matriz que exprese el número de cristales y el número de bisagras de cada tipo de ventana.
b) Calcular una matriz, a partir de las anteriores, que exprese el número de cristales y bisagras
necesarios en cada tipo de vivienda.
16. Obtener los valores de x, y y z que verifiquen la siguiente ecuación matricial:
1 
 1 1
1 
 

 y   
 2 x +  2 1
 
 = 0 
 −1
 0 1 z  0 
 


 
Además busque una representación diferente a la planteada de la ecuación matricial .
17. Indicar las propiedades de los determinantes que permiten escribir las siguientes igualdades:
a)
2
8
24
100
=
2
8
0
4
=8
1
4
0
1
5
b) 6
1
30
9
−3
1
6
4
1
6
4
12 =15 2
20
3
4 =15 2
3
4 =0
0
3
4
0
1
−3
2
18. Resolver la ecuación:
1
 5

19. Dada la matriz A =  2
− 4

4
−1
4
−1
2
2
x
1 =10
1
3
x
−2 

1  , comprobar que A2
−1 

identidad de tamaño 3.Usando la fórmula anterior, calcula A4.
= 2A−I3, siendo I
3
la matriz
20.- Las cantidades compradas, en litros, de tres clases de vino, se reflejan en la matriz fila:
l
T
B
T
= (180
250
R
200 )
donde B=Blanco, T=Tinto y R =Rosado, y los precios pagados por cada litro en la matriz
columna:
28000  B


p = 15000  T
10000  R


Halle los productos p lT y lT p dando una interpretación de los resultados obtenidos.
a
b
21.- Sabiendo que 5
0
1
1
c
10 =7
determine
5a
- 5b
5c
a +1
−b
c +5
1
−1
1
1
22.- Determinar para que valores de m la siguiente matriz es invertible:
m

C = m
m

m −1
1
1
m( m −1) 

m

m −1 

23.- Mostrar que no existen valores de y tales que la siguiente matriz tenga inversa:
 3 y +5

G =  2 y +3
3 y +11

7
3
2
12 

6
6

24.- Sean A, B matrices cuadradas de tamaño n, invertibles y que conmutan. Probar que también
conmutan:
a) A-1 y B
b) A y B-1 c) A-1 y B-1
25.-a) Si A2 =A qué valores puede tomar el determinante de A?
b) Si A=A-1 que valores puede tomar el determinante de A ?.
26.- Sean A y B matrices de tamaño nxn tales que | A| =3 y | B| = -2. Calcúlese:
a) a)│2A│ b) │B/2│
c) │AB│ d) │BAT│
e) │(BA)T│ f) │2A│ g) │(BT AT
T
B) │
27.- ¿ Pueden existir matrices cuadradas de orden 2 × 2, A y B, tales que verifiquen la ecuación
A·B − B·A = I , donde I es la matriz identidad de tamaño 2 ?.
28-Un cuadrado mágico de orden 2×2 es una matriz 2×2 de números enteros positivos tal que la
suma de los elementos de las filas, columnas y diagonales coinciden.
a)¿ Existe algún cuadrado mágico de suma 1.995 ?; b) ¿ Cuántos cuadrados mágicos existen de
suma 3.992 ?; c) Si un cuadrado es mágico, ¿ lo es también el que se obtiene al transponer la
matriz ?; d) ¿ Cuándo la suma, diferencia y producto de cuadrados mágicos es otro cuadrado
mágico ?
29.- Calcular el determinante de la siguiente matriz por el método de cofactores y por el método
de llevar la matriz a su forma escalonada.
1

4
H = 9

2

9
1
A =
2

30.- Dadas las matrices
2
0
3
0
8
−3
2
2
3
−4
−1
−3
2
9
−2
3
0
2
1
4 

1 
12 

−3 

3 
1

2
B =
0

 −1

−2 

−4 

0 

−1
3 

1 

a) Es cierto que determinante det(AB) = det(BA)? . Qué puede decir de las propiedad
det(AB)=det(BA)=det(A)det(B)?.
b) Calcular si es posible la inversa de AB
31.- Determinar si existen números α, β, µ, tales que la matriz E se pueda escribir como
E = αA+ βB+ µC. Si existen calcúlelos. Las matrices A, B, C y E son:
1
A =
1

1

0

0
B =
1

0

1

0
C =
0

2 

−1

3
E =
1

1 

−1

32.- En los siguientes problemas establezca por qué la igualdad es verdadera sin calcular los
determinantes dados.
3

1) −1

0
2
7
1
3

4 = −
0

8

−1
2
−1
4) 
7

6
3
2
8
4
4
−1
0
1
−1

6)  2
3

2
1
−1
−1
2
7
2
1
2

−1
5
= −
7
1


6
6
2 0

3
 = 1
 
2
4
1
−1
−1
1
8

4

3
2
8
4
2
2) 
−1
−4
1
0
−1
2
3

3 7) 
− 2


4
6
1
5

1

6
1
0
4
4
1
= 2

3
−1
−1

5)  4

2
3 
− 2
 =0
6 

3
8
3) 
2

1
4
9
3
2
0
0
0
0
6
4
 =0
3

6
2  −1

5 
 = 4
− 3
 
0
3
2
5

1

2
3

3
1
−4
3

8) 6
3

2
8
4
1
2
1
2
 =0

1
33.- Comprobar que existe la inversa de la siguiente matriz cualquiera que sea el valor
de a, y calcularla:
 1
M =
 −1

a −3

2 −a

34.- La matriz 4x4, A = aij , aij = i + j , ¿tiene inversa? ¿por qué?.
2

3
A =
4

5

3
4
5
6
4
5
6
7
5

6
7

8

x y z
35.- Si 3 0 2 = 5 , calcular sin desarrollar los siguientes determinantes:
1 1 1
2 x 2 y 2z
3
0 1
a)
2
1 1 1
x
y
z
3 y 3z + 2
b) 3x + 3
x +1 y +1 z +1
0
x −1 y −1 z −1
1
3
c) 4
1
1
1
1

36.-Sea la matriz J = 
 . Si M es una matriz de la forma M = aI + bJ siendo
0 0 
a, b ∈ℜ y I la matriz idéntica 2x2:
a) Calcula M 2 y M 3
Calcula M n , siendo n un número natural.
1

37.- Dada la matriz A = 0
1

0
0
0
1

0  , demostrar que se verifica A n = 2 n −1 ⋅ A .
1

38.- Calcular el determinante
x
1
1
1
1
x
1
1
1
1
x
1
1
1
1
x
Es predecible el determinante de una matriz que tiene el mismo comportamiento y de
tamaño 10x10?