"Análisis vectorial: **** Integrales impropias: · f: [a,+inf[ -> R, int(a,inf,f(x),dx):=lim(int(a,R,f(x),dx),R->inf). · Criterio de comparación: f,g: [a,+inf[ -> R, |f(x)|=<g(x) => => int(a,inf,g(x),dx) C => la de f(x) C => int(a,inf,f(x),dx) D => la de g(x) D · Criterio del lÃ−mite: f,g: [a,+inf[ -> R, lim (f(x)/g(x))=L distinto de 0,inf => las dos integrales tiene el mismo carácter. · int(-inf,0,f(x),dx)=(u=-x)=int(inf,0,f(u),du)=-int(0,inf,f(u),du). · Criterio integral de Cauchy: f:[n0,+inf[->R, n0 natural, contÃ−nua y decrecente a cero => sum(n=n0,inf,f(n)) C sii int(n0,inf,f(x),dx) C (aunk no lo hagan al mismo valor) · Integrales de segunda especie: f:]a,b]->R contÃ−nua, int(a,b,f(x),dx)=lim(int(R,b,f(x),dx),R->a+). · Aproximación por Taylor: f(x)(aprox)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+(f''(x0))/(2!)*((x-x0)^2)+....+fsupern(xo)/n!*((x-x0)^n)=Tn(x) · f,g:]a,b]->R contÃ−nuas · lim(f(x)/g(x),x->a+) real distinto de cero => int(a,b,f(x),dx) C,D sii int(a,b,g(x),dx) C,D Una buena elección de g(x) es el desarrollo de Taylor de f(x). · f:[a,b[->R, lim(f(x),x->b-)=inf => int(a,b,f(x),dx)=lim(int(a,R,f(x),dx),R->b-). · f:[a,b[->R, lim(f(x),x->a+)=lim(f(x),x->b-)=inf => int(a,b,f(x),dx) C sii: · lim(int(R,c,f(x),dx,R->a+) C · lim(int(c,R,f(x),dx,R->b-) C c valor entre a y b. **** Integrales paramétricas: · int(a,b,f(x,t),dt)=F(x) 1 · f contÃ−nua => F contÃ−nua en el intervalo de integración · f contÃ−nua y df/dx contÃ−nua => F derivable y dF/dx=int(a,b,df/dx,dt) · Fórmula de Leibniz: · f, df/dx, a(x), b(x) contÃ−nuas; a, b derivables => => (d/dx)(int(a(x),b(x),f(x,t),dt))=int(a(x),b(x),df/dx,dt)+f(x,b(x))*b'(x)-f(x,a(x))*a'(x). **** Integración múltiple: R2: · Integrar sobre rectángulos en R2: Teorema de Fubini: Teorema de Fubini: x:[a,b], y:[c,d] int(int(f(x,y),dy),dx)=int(c,d,int(a,b,f(x,y),dx,dy)=int(a,b,int(c,d,f(x,y,dy),dx) · Aplicaciones de las integrales dobles: 1)Calcular volúmenes: V=int(int(f(x,y)))dxdy 2)Calcular áreas: A=int(int(1))dxdy 3)Calcular masas: m=int(int(ro))dxdy, ro=densidad superficial 4)Centro de gravedad: X(,Y,Z)=(1/m)*int(int(x(,y,z)*ro))dxdy 5)Momento de inercia: Ir=int(int(ro*(f(x,y)^2)))dxdy (kg*m^2), f(x,y)=distancia entre (x,y) y recta r Nota: Las unidades pueden no dar, pero eso es porque van implÃ−citas en los lÃ−mites de las integrales. · Teorema del cambio de variable: d(x,y)/d(u,v)=(dx/du dx/dv) (dy/du dy/dv) <- Jacobiano (d(x,y)/d(u,v))^(-1)=d(u,v)/d(x,y) det(A)=det(A') (A'=A transpuesta) det(A^(-1))=1/det(A) int(int(f(x,y))dxdy=int(int(f(x(u,v),y(u,v))*|det(d(x,y)/d(u,v)|))dudv 2 · Para doinios más generales, se van fijando variables y mirando dónde oscilan las demás. · Lo mejor para hacer estos problemas es dibujar SIEMPRE el recinto de integración. · Comprobar que el resultado sea coherente con las unidades, k no cuesta nada y se ve enseguida si está mal hecho. R3: · Teorema de Fubini para integrar sobre paralelepÃ−pedos: => Calcado al de R2. · Aplicaciones: Todas las fórmulas de las dobles se calcan a triples. Volúmen=int(int(int(1)))dxdydz masa=int(int(int(ro)))dxdydz, ro=densidad · Fórmula del cambio de variables: Igual que en las integrales dobles, solo que el determinante es más fastidiao. · Coordenadas polares: x=ro*Cos(zeta) y=ro*Sin(zeta) z=z Jacobiano: det(d(x,y,z)/d(ro,zeta,z))=ro · Coordenadas esféricas: x=ro*Sin(fi)*Cos(zeta) y=ro*Sin(fi)+Sin(zeta) z=ro*Cos(fi) Jacobiano: det(d(x,y,z)/d(ro,fi,zeta))=(ro^2)*Sin(fi) Nota que hemos tomado zeta y fi cambiadas, todo depende de la referencia que tomemos. **** Curvas (Integrales de lÃ−nea): · Dado t => alfa(t)=(x(t),y(t),z(t)) vector de R3, t:[a,b] 3 · Velocidad escalar o rapidez: v(t0)=||alfa'(t0)|| · Vector tangente unitario: T(t)=alfa'(t)/||alfa'(t)|| · Vector normal unitario: N=T'/||T'|| -->componente tangencial · Vector aceleración: alfa''=(alfa')'=(v*T)'=v'*T+v*T'=v'*T+v*||T'||*N ------->componente normal · Longitud de una curva: L=int(t0,t1,||alfa'(t)||,dt) (recuerda que espacio=velocidad*tiempo) · Integrales de lÃ−nea de campos escalares f: int(curva,f,dS)=int(t0,t1,f(alfa(t))*||alfa'(t)||,dt) · Si la curva es cerrada, el sÃ−mbolo es el de una integral de circulación. · Aplicaciones: Las mismas que en las integrales dobles o triples. Masa=int(curva,ro,dS), ro=densidad Centro de gravedad: Z(,X,Y)=(1/masa)*int(curva,ro*Z(X,Y),dS) · Integrales de lÃ−nea sobre campos vectoriales: Una curva en R^k. Trabajo gastado por una partÃ−cula al atravesar este campo: dW=<F,dl> W=int(curva,<F,dl>)=int(a,b,<F(alfa(t)),alfa'(t)>,dt) alfa:[a,b]->R^k Notaciones: int(curva,F,dl)=int(curva,F,dalfa)=int(curva,<F,dalfa>)=int(curva,<F,dl>) · Fórmula de Green: (Relaciona una integral de circulación con una integral doble) C una curva plana recorrida + (sentido antihorario), cerrada. D=interior C P=P(x,y), Q=Q(x,y), P,Q: D->R diferenciables en D F=(P,Q) int(curvacerrada,Pdx+Qdy)=int(int(dQ/dx-dP/dy))dxdy (aplicado en el recinto D) · Campo conservativo: F=(P,Q) Equivalen: 4 1) F es conservativo. 2) int(curva,F,dalfa)=0 para toda curva cerrada. 3) Existe f tal que (-gradiente(f))=F 4) dQ/dx=dP/dy A f se le llama función potencial Ej: Campo gravitatorio: P=(0,-mg) · à rea de un recinto plano: A=int(int(1))dxdy Si somos capaces de encontrar Q,P tales que dQ/dx-dP/dy=1. normalmente se eligen Q=x/2 P=-y/2 I=(1/2)*int(-y dx + x dy) -> à rea de un recinto plano. **** Integrales de superficie: · Como para describir una curva hacÃ−a falta un parámetro (t), para describir una superficie harán falta dos parámetros (u,v): r:D->S, D de R2, r(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v)). · Plano tangente: Definido por estos dos vectores: dr/du, dr/dv. · Vector normal al plano tangente: (dr/du)x(dr/dv) (si lo kiero unitario habrá k dividir por la norma) · à rea de superficies: ^----producto vectorial r:[u0,u1]x[v0,v1] A=int(int(||dr/du x dr/dv||))dudv Truco: E=<dr/du,dr/du>| F=<dr/du,dr/dv>|-> ||dr/du x dr/dv||=sqrt(E*G-F^2) G=<dr/dv,dr/dv>| · Integral de un campo escalar: int(ints(f,dS))=int(int(f(r(u,v))*||dr/du x dr/dv||))dudv · masa de una superficie con densidad ro: m=int(int,superficie,ro))dS · centro de gravedad: (XóYóZ)=(1/m)*int(int(superficie,(XóYóZ)*ro))dS 5 · Integral sobre campo vectorial: · Vector normal unitario: n=(dr/du x dr/dv)/||dr/du x dr/dv|| · flujo=int(int(<F,n>*||dr/du x dr/dv||))dudv=int(int(duperficie,<F,n>))dS=int(int(superficie,F,dS)) en [u0,u1]x[v0,v1] · flujo=(aplicando ecuación de n)=int(int(<F,dr/du x dr/dv>))dudv · Divergencia: div>0 -> Sale agua (fuente) div<0 -> Entra agua (sumidero) F=(F1,F2,F3) campo ectorial diferenciable, S superficie CERRADA divF=dF1/dx+dF2/dy+dF3/dz int(int(superficie,F,dS))=int(int(int(volúmen,divF)))dxdydz · Teorema de Stokes: rotF=|i j k|=AxF |d/dx d/dy d/dz| |F1 F2 F3| gamma -> curva cerrada que encierra a una superficie S con borde. n: Vector normal saliente dela superficie int(int(<rotF,n>,dS))=intgamma(curva,F,dalfa) · F es conservativo sii · int(curva,F,dalfa)=0 para toda curva C cerrada sii · int(int(<rotF,n>,dS))=0 sii · rotF=0 => existe V escalar tal que gradiente(V)=(-F) (Nota: F es un vector). **** Series de potencias: · Polinomio de grado infinito tipo S=sim(n=0,inf,an*((x-x0)^n))=a0+a1*(x-x0)+a2*((x-x0)^2)+... · Criterios de convergencia: 6 · Criterio M de Weierstrass: · |an*((x-x0)^n)|=<Mn que ya no es función de x, para todo x · sum(n=0,inf,Mn) Converge => sum(n=0,inf,an*((x-x0)^n)) C. · Fórmula de Cauchy - Hadamard: · ro=radio de convergencia · ro^(-1)=lim(|an+1/an|,n=inf)=lim(xroot(n,an),n=inf) · Entonces: 1) La serie converge en ]x0-ro,x0+ro[ 2) La serie converge uniformemente en todo intervalo cerrado y acotado en ]x0-ro,x0+ro[ 3) sum(n=0..inf,|an*(x-x0)^n|) converge en ]x0-ro,x0+ro[ 4) La serie diverge en ]-inf,x0-ro[ U ]x0+ro,+inf[ En x0-ro y x0+ro puede pasar de todo. · Son contÃ−nuas y derivables e integrables término a término en ]x0-ro,x0+ro[. · Las únicas series de potencias son las de Taylor (y además son únicas, no hay dos iguales). => f(x)=sum(n=0,inf,(fsupern(x0)/n!)*((x-x0)^n)) · Producto de Cauchy: sum(n=0,inf,an*((x-x0)^n)), sum(n=0,inf,bn*((x-x0)^n)), que convergen en ]x0-ro,x0+ro[, alfan=an*(x-x0)^n, betan=bn*(x-x0)^n => sum(n=0,inf,alfan)*sum(n=0,inf(betan)=sum(n=0,inf,sum(k=0,n,alfak*beta(n-k))). Si las dos series tienen distinto radio de convergencia, esto solo tiene sentido para el intervalo con menor radio 7