Suma de Ramanujan

SRINIVASA AIYANGAR RAMANUJAN: UN GENIO ENIGMÀTICO
Eduardo A. Castro y Michael J. Bucknum
INIFTA, Divisiòn Quìmica Teòrica, Suc.4, C.C. 16, La Plata 1900, Buenos Aires,
Argentina
Resumen: En este artìculo se presenta una breve reseña de los antecedentes personales
y algunas de sus màs importantes contribuciones de quien fuera y es
considerado uno de los mayores genios matemàticos de todos tiempos,
Srinivasa Aiyangar Ramanujan.
* Autor correspondiente ([email protected])
Srinivasa Aiyangar Ramanujan
Srinivasa Ramanujan
Srinivasa Aiyangar Ramanujan
Nacimiento
22 de diciembre de 1887
Erode, Tamil Nadu, Raj Británico
Fallecimiento
26 de abril de 1920 (32 años)
Chetput, (Madrás), Tamil Nadu, Raj
Británico
Residencia
Raj Británico (hoy la República de
la India)
Reino Unido
Nacionalidad
indio
Campo
Matemáticas
Alma máter
Universidad de Cambridge
Supervisor doctoral G. H. Hardy
J. E. Littlewood
Conocido por
Suma de Ramanujan
Constante de Landau-Ramanujan
Constante de Ramanujan-Soldner
Identidad de Rogers-Ramanujan
Sociedades
Royal Society de Londres
Srinivāsa Aiyangār Rāmānujan, (Erode 22 de diciembre de 1887 - Kumbakonam 26
de abril de 1920) fue un matemático indio muy enigmático. De familia humilde, a los
siete años asistió a una escuela pública gracias a una beca. Recitaba a sus compañeros
de clase fórmulas matemáticas y cifras de π.
A los 12 años dominaba la trigonometría, y a los 15 le prestaron un libro con 6.000
teoremas conocidos, sin demostraciones. Ésa fue su formación matemática básica. En
1903 y 1907 suspendió los exámenes universitarios porque sólo se dedicaba a sus
diversiones matemáticas.
En 1912 fue animado a comunicar sus resultados a tres distinguidos matemáticos. Dos
de ellos no le respondieron, pero sí lo hizo Godfrey Harold Hardy, de Cambridge.
Hardy estuvo a punto de tirar la carta, pero la misma noche que la recibió se sentó con
su amigo John Edensor Littlewood (v.) a descifrar la lista de 120 fórmulas y teoremas
de Ramanujan. Horas más tarde creían estar ante la obra de un genio. Hardy tenía su
propia escala de valoración para el genio matemático: 100 para Ramanujan, 80 para
David Hilbert, 30 para Littlewood y 25 para sí mismo. Algunas de las fórmulas de
Ramanujan le desbordaron, pero escribió ...forzoso es que fueran verdaderas, porque de
no serlo, nadie habría tenido la imaginación necesaria para inventarlas. Invitado por
Hardy, Ramanujan partió para Inglaterra en 1914 y comenzaron a trabajar juntos. En
1917 Ramanujan fue admitido en la Royal Society de Londres y en el Trinity College,
siendo el primer indio que lograba tal honor. De salud muy débil, moría tres años
después.
Hardy escribió de Rāmānujan:
"Los límites de sus conocimientos eran sorprendentes como su profundidad. Era un
hombre capaz de resolver ecuaciones modulares y teoremas de un modo jamás visto
antes, su dominio de las fracciones continuas era superior a la de todo otro matemático
del mundo; ha encontrado por sí solo la ecuación funcional de la función zeta y los
términos más importantes de la teoría analítica de los números; sin embargo no había
oído hablar jamás de una función doblemente periódica o del Teorema de Cauchy y
poseía una vaga idea de lo que era una función de variable compleja..."
Lo principal de los trabajos de Ramanujan está en sus cuadernos, escritos por él en
nomenclatura y notación particular, con ausencia de demostraciones, lo que ha
provocado una difícil tarea de desciframiento y reconstrucción, aún no concluida.
Fascinado por el número π, desarrolló potentes algoritmos para calcularlo.
Rāmānujan trabajó principalmente en la teoría analítica de los números y devino célebre
por sus numerosas fórmulas sumatorias referidas a las constantes tales como π y la base
natural de los logaritmos, los números primos y la función de fracción de un entero
obtenida junto a Godfrey Harold Hardy.
Rāmānujan nació en la localidad de Erode, del estado de Tamil Nadu en India, en el
seno de una familia brahman pobre y ortodoxa. Fue un llamativo autodidacta;
prácticamente todas las matemáticas que aprendió fueron las leídas hacia los 15 años de
edad en los libros La Trigonometría plana de S. Looney, y la Synopsis of Elementary
Results in Pure Mathematics de S. Carr que contenían un listado de unos 6000 teoremas
sin demostración. Estas dos obras le permitieron establecer una gran cantidad de
conclusiones y resultados atinentes a la teoría de los números, las funciones elípticas,
las fracciones continuas y las series infinitas para esto creó su propio sistema de
representación simbólica.
A la edad de 17 años llevó a cabo por su cuenta una investigación de los números de
Bernoulli y de la Constante de Euler-Mascheroni. Se licenció en el Government College
de Kumbakonam.
El matemático seguía una estricta vida de Brahmin. A menudo decía que sus teoremas
matemáticos eran inspirados directamente por la diosa Namagiri, durante sus sueños.
Algunos de sus numerosos teoremas, han resultado ser en realidad incorrectos. Se
desconocen los métodos mentales empleados por la mente de Rāmānujan para
desarrollar sus intuiciones matemáticas, la mayoría de las veces completamente ciertas,
pero en algunos casos falsas.
Rāmānujan, de un modo independiente, recopiló 3900 resultados ¡!!!!! (en su mayoría
identidades y ecuaciones) durante su breve vida.
Afectado por una tuberculosis que se agravaba por el clima de Inglaterra, Rāmānujan
retornó a su país natal en 1919 y falleció poco tiempo después en Kumbakonam (a 260
km de Chennai Madras) a la edad de 32 años. Dejó varios libros llamados Cuadernos de
Ramanujan los cuales continúan siendo objeto de estudios.
Recientemente, las fórmulas de Rāmānujan han sido fundamentales para nuevos
estudios en cristalografía y en teoría de cuerdas. El Ramanujan Journal es una
publicación internacional que publica trabajos de áreas de las matemáticas influidas por
este investigador indio.
Teoremas y descubrimientos
Aquí se reportan algunos de los hallazgos de Ramanujan, y los resultados obtenidos en
colaboración con Hardy a inicios del siglo XX:



Propiedad de los números altamente compuestos
La funciones de partición y sus asintóticas
Función theta de Ramanujan
Ha logrado notables progresos y descubrimientos en las áreas relativas a :





Funciones Gamma
Formas modulares
Series divergentes
Series hipergeométricas
Teoría de los números primos
La conjetura de Rāmānujan y su importancia
Aunque existen numerosas expresiones que reciben el nombre de "conjetura de
Ramanujan", existe una particularmente influyente sobre los trabajos sucesivos. Esta
conjetura de Ramanujan es una aserción referente a las dimensiones de los coeficientes
de la función Tau, una típica forma cúspide en la teoría de las formas modulares. Y ha
sido finalmente demostrada posteriormente como consecuencia de la demostración de la
conjetura de Weil mediante un complicado procedimiento.
Fórmulas
Entre muchas otras, Rāmānujan ha aportado la siguiente fórmula:
Se trata de una especie de obra de arte matemática donde se conecta una serie
matemática infinita y una fracción continua para aportar así una relación entre dos
célebres constantes de matemáticas.
Una segunda fórmula, demostrada en 1985 por Jonathan y Peter Borwein, es la que
descubrió él en 1910 :
Es muy eficaz porque ella aporta 8 decimales a cada iteración.
Número de Rāmānujan
Se denomina número de Hardy-Ramanujan a todo entero natural que se puede expresar
como la suma de dos cubos de dos maneras diferentes. Hardy comenta la siguiente
anécdota :
Recuerdo que fuí a verle una vez, cuando él ya estaba muy enfermo, en Putney. Había tomado
yo un taxi que llevaba el número 1729 y señalé que tal número me parecía poco interesante, y
yo esperaba que él no hiciera sino un signo desdeñoso.
- "No"- me respondió- este es un número muy interesante; es el número más pequeño que
podemos descomponer de dos maneras diferentes con suma de dos cubos.
G.H. Hardy
En efecto, 93 + 103 = 13 + 123 = 1729.
- Otros números que poseen esta propiedad habían sido descubiertos por el matemático
francés Bernard Frénicle de Bessy (1602-1675):




23 + 163 = 93 + 153 = 4104
103 + 273 = 193 + 243 = 20683
23 + 343 = 153 + 333 = 39312
93 + 343 = 163 + 333 = 40033
- El más pequeño de los números descomponibles de dos maneras diferentes en suma de
dos potencias a la cuarta es 635 318 657, y fue descubierto por Euler (1707-1763):

1584 + 594 = 1334 + 1344 = 635318657
Se denomina nésimo número Taxicab, denotado como Ta(n) o Taxicab(n), al más
pequeño número que puede ser expresado como una suma de dos cubos positivos no
nulos de n maneras distintas, sin contar variaciones del orden de los operandos. Así,
Ta(1) = 2 = 13 + 13, Ta(2) = 1729 y Ta(3) = 87539319. Variante del taxicab es el cabtaxi
(un número cabtaxi es definido como el número entero más pequeño que se puede
escribir de n maneras diferentes (en el orden de los términos aproximados) como suma
de dos cubos positivos, nulos o negativos).
Hardy estuvo a punto de tirar la carta, pero la misma noche que la recibió se sentó con
su amigo John Edensor Littlewood (v.) a descifrar la lista de 120 fórmulas y teoremas
de Ramanujan. Horas más tarde creían estar ante la obra de un genio. Hardy tenía su
propia escala de valoración para el genio matemático: 100 para Ramanujan, 80 para
David Hilbert, 30 para Littlewood y 25 para sí mismo. Algunas de las fórmulas de
Ramanujan le desbordaron, pero escribió ...forzoso es que fueran verdaderas, porque de
no serlo, nadie habría tenido la imaginación necesaria para inventarlas. Invitado por
Hardy, Ramanujan partió para Inglaterra en 1914 y comenzaron a trabajar juntos. En
1917 Ramanujan fue admitido en la Royal Society de Londres y en el Trinity College,
siendo el primer indio que lograba tal honor. De salud muy débil, moría tres años
después.
Hardy escribió de Rāmānujan:
"Los límites de sus conocimientos eran sorprendentes como su profundidad. Era un hombre
capaz de resolver ecuaciones modulares y teoremas ...de un modo jamás visto antes, su dominio
de las fracciones continuas era...superior a la de todo otro matemático del mundo; ha encontrado
por sí solo la ecuación funcional de la función zeta y los términos más importantes de la teoría
analítica de los números; sin embargo no había oído hablar jamás de una función doblemente
periódica o del Teorema de Cauchy y poseía una vaga idea de lo que era una función de variable
compleja..."
Lo principal de los trabajos de Ramanujan está en sus cuadernos, escritos por él en
nomenclatura y notación particular, con ausencia de demostraciones, lo que ha
provocado una difícil tarea de desciframiento y reconstrucción, aún no concluida.
Fascinado por el número π, desarrolló potentes algoritmos para calcularlo.
Rāmānujan trabajó principalmente en la teoría analítica de los números y devino célebre
por sus numerosas fórmulas sumatorias referidas a las constantes tales como π y la base
natural de los logaritmos, los números primos y la función de fracción de un entero
obtenida junto a Godfrey Harold Hardy.
Teoremas y descubrimientos
Aquí se reportan algunos de los hallazgos de Ramanujan, y los resultados obtenidos en
colaboración con Hardy a inicios del siglo XX:



Propiedad de los números altamente compuestos
La funciones de partición y sus asintóticas
Función theta de Ramanujan
Ha logrado notables progresos y descubrimientos en las áreas relativas a :





Funciones Gamma
Formas modulares
Series divergentes
Series hipergeométricas
Teoría de los números primos
La conjetura de Rāmānujan y su importancia
Aunque existen numerosas expresiones que reciben el nombre de "conjetura de
Ramanujan", existe una particularmente influyente sobre los trabajos sucesivos. Esta
conjetura de Ramanujan es una aserción referente a las dimensiones de los coeficientes
de la función Tau, una típica forma cúspide en la teoría de las formas modulares. Y ha
sido finalmente demostrada posteriormente como consecuencia de la demostración de la
conjetura de Weil mediante un complicado procedimiento.
Fórmulas
Entre muchas otras, Rāmānujan ha aportado la siguiente fórmula:
Se trata de una especie de obra de arte matemática donde se conecta una serie
matemática infinita y una fracción continua para aportar así una relación entre dos
célebres constantes de matemáticas.
Una segunda fórmula, demostrada en 1985 por Jonathan y Peter Borwein, es la que
descubrió él en 1910 :
Es muy eficaz porque ella aporta 8 decimales a cada iteración.
Número de Rāmānujan
Se denomina número de Hardy-Ramanujan a todo entero natural que se puede expresar
como la suma de dos cubos de dos maneras diferentes. Hardy comenta la siguiente
anécdota :
Recuerdo que fuí a verle una vez, cuando él ya estaba muy enfermo, en Putney. Había tomado
yo un taxi que llevaba el número 1729 y señalé que tal número me parecía poco interesante, y
yo esperaba que él no hiciera sino un signo desdeñoso.
- "No"- me respondió- este es un número muy interesante; es el número más pequeño que
podemos descomponer de dos maneras diferentes con suma de dos cubos.
G.H. Hardy
En efecto, 93 + 103 = 13 + 123 = 1729.
- Otros números que poseen esta propiedad habían sido descubiertos por el matemático
francés Bernard Frénicle de Bessy (1602-1675) :




23 + 163 = 93 + 153 = 4104
103 + 273 = 193 + 243 = 20683
23 + 343 = 153 + 333 = 39312
93 + 343 = 163 + 333 = 40033
- El más pequeño de los números descomponibles de dos maneras diferentes en suma de
dos potencias a la cuarta es 635 318 657, y fue descubierto por Euler (1707-1763):

1584 + 594 = 1334 + 1344 = 635318657
Se denomina nésimo número Taxicab, denotado como Ta(n) o Taxicab(n), al más
pequeño número que puede ser expresado como una suma de dos cubos positivos no
nulos de n maneras distintas, sin contar variaciones del orden de los operandos. Así,
Ta(1) = 2 = 13 + 13, Ta(2) = 1729 y Ta(3) = 87539319. Variante del taxicab es el cabtaxi
(un número cabtaxi es definido como el número entero más pequeño que se puede
escribir de n maneras diferentes (en el orden de los términos aproximados) como suma
de dos cubos positivos, nulos o negativos).
Número de Hardy-Ramanujan
El 1729 es el llamado número de Hardy-Ramanujan es el número natural más
pequeño que puede ser expresado como la suma de dos cubos positivos de dos formas
diferentes:
1729 = 13 + 123 = 93 + 103.
El nombre de estos números proviene de la siguiente historia que tiene como
protagonistas a Godfrey Harold Hardy, y Ramanujan: "Una vez, en un taxi (en inglés
taxicab) de Londres, a Hardy le llamó la atención su número, 1729. Debió de estar
pensando en ello porque entró en la habitación del hospital en donde estaba Ramanujan
tumbado en la cama y, con un "hola" seco, expresó su desilusión acerca de este número.
Era, según él, un número aburrido, agregando que esperaba que no fuese un mal
presagio. No, Hardy, dijo Ramanujan, es un número muy interesante. Es el número más
pequeño expresable como la suma de dos cubos positivos de dos formas diferentes".
Hardy, a continuación, le preguntó si conocía la respuesta para las cuartas potencias.
Ramanujan contestó, tras pensarlo un momento, que no podía ver la respuesta, pero que
pensaba que debía ser un número extremadamente grande. De hecho, la respuesta,
obtenida mediante cálculos con ordenador, es 635318657 = 1344 + 1334 = 1584 + 594
De una generalización de esta propiedad surgen los llamados números Taxicab.
La función modular de Ramanujan y la teoría de cuerdas
La teoría de cuerdas supone que cada modo o vibración de una cuerda fundamental
representa una partícula elemental distinta, y puede explicar a la vez la naturaleza de la
materia y del espacio-tiempo (las partículas en lugar de ser puntuales pasan a ser
unidimensionales). Es la primera teoría cuántica de la gravedad: Cuando se calcularon
por primera vez las ligaduras de autoconsistencia que impone la cuerda sobre el
espacio-tiempo, se observó con sorpresa que las ecuaciones de Einstein ( teoría de la
gravedad) emergían de la cuerda, de hecho, el gravitón o cuanto de gravedad era la
menor vibración de la cuerda cerrada.
No sabemos todavía por qué la teoría de cuerdas está definida sólo en 10 y 26
dimensiones, aunque parece seguro que esta teoría no podría unificar las fuerzas
fundamentales con tan solo tres dimensiones. Las cuerdas se rompen y se forman en el
espacio N-dimensional arrastrando con ellas una serie de términos que destruyen las
maravillosas propiedades de la teoría. Afortunadamente, estos términos aparecen
multiplicados por el factor (N-10), lo que nos obliga a elegir N=10 para eliminarlos.
Los teóricos de cuerdas al intentar manipular los diagramas de lazos KSV ( KikkawaSakita-Virasoro) creados por las cuerdas en interacción encuentran unas extrañas
funciones llamadas modulares que aparecen en las ramas más distantes e “inconexas” de
las matemáticas((Yutaka Taniyama ( Japón, 1927-1958) observó que cada función
modular está relacionada con una curva elíptica. Esto forma la base de la conjetura
Taniyama-Shimura que demostró ser una parte importante en la demostración del
Último Teorema de Fermat de Andrew Wiles )). Una función que aparece
continuamente en la teoría de funciones modulares se denomina función de Ramanujan,
en honor al matemático Srinivasa Ramanujan, nacido en 1887 en Erode, India, cerca de
Madrás.
Ramanujan, trabajando en total aislamiento (y sin formación, toda su instrucción
matemática la consiguió de la lectura de un oscuro y olvidado libro de matemáticas
escrito por George Carr), fue capaz de redescubrir por sí mismo lo más valioso de cien
años de matemáticas occidentales y de dejarnos una obra, que consta de 4.000 fórmulas
en cuatrocientas páginas densamente llenas de teoremas de increíble fuerza pero sin
ningún comentario ni demostración. Tenía tal intuición que los teoremas simplemente
fluían de su cerebro, sin el menor esfuerzo aparente. Solía decir que las diosas
Namakkal le inspiraban la fórmulas en sueños.
Trabajaba en el puerto franco de Madrás, en un trabajo servil con una mísera paga, pero
tenía la suficiente libertad y tiempo para seguir con sus sueños matemáticos. Después de
enviar varias cartas a tres matemáticos británicos conocidos, consiguió que el brillante
matemático de Cambridge Godfrey H. Hardy se diera cuenta de su inmenso genio
matemático y lo trajo a Cambridge en 1914. Hardy tratando de estimar la capacidad
matemática de Ramanujan, concedía un 80 al gran matemático David Hilbert, un 100 a
Ramanujan y un 25 a sí mismo.
La función de Ramanujan contiene un término elevado a la potencia veinticuatro. Ese
número es el origen de las cancelaciones milagrosas que se dan en la teoría de cuerdas,
pues cada uno de los veinticuatro modos de la función de Ramanujan corresponde a una
vibración física de la cuerda. Cuando se generaliza la función de Ramanujan,el número
24 queda reemplazado por el 8. Si tenemos en cuenta que se añaden dos dimensiones
más al número total de vibraciones que aparecen en una teoría relativista, obtendremos
8+2, ó 10: La cuerda vibra en diez dimensiones porque requiere estas funciones de
Ramanujan generalizadas para permanecer autoconsistente.
Pura geometría para explicarlo todo, el sueño de Einstein. Y las matemáticas más
extrañas imaginadas por un genio, sin apenas instrucción básica, para introducirnos en
una teoría de cuerdas que necesita de matemáticas que todavía desconocemos. Einstein
tenía las matemáticas inventadas por Riemann para su teoría de la relatividad general, la
teoría de cuerdas quizás necesite de las matemáticas, que descansan en los cuadernos
llenos de teoremas sin demostrar, de Ramanujan. En el fondo, siempre, una hermosa
conexión entre las ramas más distantes e inconexas de las matemáticas y la propia
realidad que representan las leyes físicas.
Para saber mucho más: "HIPERESPACIO", de Michio Kaku,( 1996 CRÍTICA-Grijalbo
Mondadori,S.A. Barcelona) profesor de física teórica en la City University de Nueva
York. Es un especialista a nivel mundial en la física de las dimensiones superiores (
hiperespacio). Despide el libro con una palabras preciosas:”Algunas personas buscan un
significado a la vida a través del beneficio personal, a través de las relaciones
personales, o a través de experiencias propias. Sin embargo, creo que el estar
bendecido con el intelecto para adivinar los últimos secretos de la naturaleza da
significado suficiente a la vida”.
Suma de Ramanujan
En matemáticas la, suma de Ramanujan, llamada así por Srinivasa Ramanujan y
normalmente escrita como cq(n), se define
donde n y q son enteros positivos, (a,q) son el máximo común divisor de a y q, y e(x) es
la función exponencial exp(2πix).
Es fácilmente demostrable que la suma de Ramanujan es multiplicativa, p.e.
cq(n)cr(n)=cqr(n)
para cualquier (q,r) = 1.
Otra propiedad es que cq(n) es igual a su complejo conjugado, y por tanto real.
Escribiendo d como el máximo común divisor de q y n, y nombrando la función de
Möbius y la función fi de Euler por μ y φ respectivamente, cumple la siguiente
identidad:
Series relacionadas con la suma de Ramanujan
Ramanujan evaluó infinitas series de la forma
para diversas secuencias (aq).1 En particular, para s cualquier número real mayor o igual
que 1, encontró que las series de Dirichlet cumplían que:
donde σ es la función divisor y ζ la función zeta de Riemann. En los casos s = 1 y s = 2
esto es
y
respectivamente.
Otras identitidades obtenidas por Ramanujan son
y
donde r2(n) son el número de representaciones de n como x2 + y2 en enteros x e y.
Referencias
1. ↑ Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by his Life and Work, G. H.
Hardy, Cambridge University Press, 1940
Obtenido de
«http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Suma_de_Ramanujan&oldid=45288916»
Constante de Landau-Ramanujan
En Matemática, la constante de Landau-Ramanujan aparece como un resultado de la
teoría de números que enuncia que la proporción de los enteros positivos menores o
iguales que x que son suma de dos cuadrados es, para x suficientemente grande,
proporcional a
La constante de proporcionalidad es la constante de Landau-Ramanujan.
Más formalmente, si N(x) es el número de enteros positivos menores o iguales que x que
son suma de dos cuadrados, en el límite para x creciente,
Este número es la constante de Landau-Ramanujan.
Obtenido de «http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Constante_de_LandauRamanujan&oldid=50291360»
Constante de Landau-Ramanujan
En Matemática, la constante de Landau-Ramanujan aparece como un resultado de la
teoría de números que enuncia que la proporción de los enteros positivos menores o
iguales que x que son suma de dos cuadrados es, para x suficientemente grande,
proporcional a
La constante de proporcionalidad es la constante de Landau-Ramanujan.
Más formalmente, si N(x) es el número de enteros positivos menores o iguales que x que
son suma de dos cuadrados, en el límite para x creciente,
Este número es la constante de Landau-Ramanujan.

Obtenido de «http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Constante_de_LandauRamanujan&oldid=50291360»
La Conjetura de Ramanujan–Petersson
En matemática, la conjetura de Ramanujan, llamada así en honor a Srinivasa La
Ramanujan, postula que los coeficientes de Fourier
de la forma cúspide
valor 12, definida en la teoría de formas modulares satisface que,
de
donde p es un número primo. Esto implica una estimación que sólo es ligeramente más
débil para todos los
, es decir,
para cualquier
. Esta conjetura de
Ramanujan fue confirmada mediante la demostración de las conjeturas de Weil por
Deligne (1974). Las formulaciones necesarias para mostrar este resultado fueron como
consecuencia delicadas y no tan obvias. Esto se debe al trabajo de Michio Kuga con las
contribuciones también de Mikio Sato, Goro Shimura, y Yasutaka Ihara, seguidos por
Deligne (1968). La existencia de dicha conexión inspiró algunos de los grandes trabajos
sobre el tema a finales de la década de 1960, cuando las consecuencias de la teoría sobre
la cohomología de Étale estaban siendo elaboradas.
La más general conjetura de Ramanujan–Petersson para fórmas cúspides en la teoría
de formas modulares elípticas para subgrupos de congruencia tiene una formulación
semejante, con un exponente (k − 1)/2 donde k es el valor de la forma. Estos resultados
también se pueden obtener a partir de las conjeturas de Weil, excepto para el caso
k = 1, cuyo resultado es debido a Deligne y Jean-Pierre Serre. Es llamada en honor a
Hans Petersson (1902 – 1984).
En el lenguaje de formas automórficas, una generalización muy amplia puede ser
posible; pero ha demostrado ser demasiado optimista, por el caso particular de
,
es decir, la similitud del grupo de cuatro dimensiones denominado grupo simpléctico,
para la cual han sido encontrados contraejemplos. La forma generalizada apropiada para
la conjetura de Ramanujan está todavía en espera; la formulación de las conjeturas de
Arthur está en términos para los cuales se explica el mecanismo que permite cierto tipo
de contraejemplos.
Aplicaciones
La más famosa aplicación de la conjetura de Ramanujan es la construcción explícita de
grafos de Ramanujan por Lubotzky, Phillips y Sarnak. En efecto, esta conjetura dio
nombre a este tipo de grafos.
La Ecuación de Ramanujan–Nagell
En matemática, en el campo de la teoría de números, la ecuación de Ramanujan–
Nagell es un tipo particular de ecuación diofántica exponencial.
Ecuación y solución
La ecuación es
y las soluciones en números naturales n y x existen únicamente cuando n = 3, 4, 5, 7 y
15.
Ésto fue conjeturado en 1913 por el matemático indio Srinivasa Ramanujan (1887–
1920), propuesto independientemente en 1943 por el matemático noruego Wilhelm
Ljunggren (1905–1973), y consecuentemente demostrado poco después por el
matemático noruego Trygve Nagell (1895–1988). Los valores para los que n cumple la
ecuación corresponden con los valores de x :
x = 1, 3, 5, 11 y 1811
Los números triangulares de Mersenne
El problema de encontrar todos los números de la forma 2b − 1 (números de Mersenne)
los cuales son triangulares es equivalente [1]. Los valores de b son precisamente
aquellos que son n − 3, así que los números triangulares de Mersenne son 0, 1, 3, 15,
4095 y no más (sucesión A076046 en OEIS).
Referencias







S. Ramanujan (1913). «Question 464». J. Indian Math. Soc. 5: pp. 130.
W. Ljunggren (1943). «Oppgave nr 2». Norsk Mat. Tidskr. 25: pp. 29.
T. Nagell (1948). «Løsning till oppgave nr 2». Norsk Mat. Tidskr. 30: pp. 62–
64.
T. Nagell (1961). «The Diophantine equation x2+7=2n». Ark. Mat. 30: pp. 185–
187. doi:10.1007/BF02592006.
T.N. Shorey; R. Tijdeman (1986). Exponential Diophantine equations.
Cambridge Tracts in Mathematics. 87. Cambridge University Press. pp. 137–
138. ISBN 0-521-26826-5.
Deligne, Pierre (1971), «Formes modulaires et représentations l-adiques»,
Séminaire Bourbaki vol. 1968/69 Exposés 347-363, Lecture Notes in
Mathematics, 179, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0058801,
ISBN 978-3-540-05356-9, http://www.numdam.org/item?id=SB_19681969__11__139_0
Deligne, Pierre (1974), «La conjecture de Weil. I.», Publications Mathématiques
de l'IHÉS 43: 273–307, doi:10.1007/BF02684373, MR0340258, ISSN 1618-1913,
http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1974__43__273_0
Obtenido de
«http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Conjetura_de_Ramanujan%E2%80%93Peter
sson&oldid=51799273»
La fracción continua de Rogers-Ramanujan
La fracción continua de Rogers–Ramanujan es una fracción continua descubierta por
Rogers (1894) y más tarde estudiada por Srinivasa Ramanujan, íntimamente relacionada
con las identidades de Rogers-Ramanujan, que puede ser evaluada explícitamente para
determinados valores de su argumento.
Definición
La fracción continua de Ramanujan es
(sucesión A003823 en OEIS)
donde
(sucesión A003114 en OEIS)
y
(sucesión A003106 en OEIS)
son funciones que aparecen en las identidades de Rogers-Ramanujan.
Aquí,
denota el símbolo q-Pochhammer para el caso infinito.
Formas modulares
Si q = e2πiτ, entonces q−1/60G(q) y q11/60H(q) y también q1/5H(q)/G(q)) son formas
modulares de τ. Puesto que éstas tienen coeficientes enteros, la teoría de la
multiplicación compleja implica que sus valores para τ siendo un número imaginario
cuadrático irracional son números algebraicos que pueden ser evaluados explícitamente.
En particular, la fracción continua de Ramanujan se pueden evaluar para estos valores
de τ.
Ejemplos
donde φ es el número áureo (Aproximadamente 1.618)
El inverso multiplicativo de esta expresión es:
El inverso multiplicativo de esta expresión es:
Referencias


Rogers, L. J. (1894), «Second Memoir on the Expansion of certain Infinite
Products», Proc. London Math. Soc. s1-25: 318–343, doi:10.1112/plms/s1-25.1.318
Bruce C. Berndt, Heng Huat Chan,, Sen-Shan Huang, Soon-Yi Kang, Jaebum
Sohn, Seung Hwan Son, The Rogers-Ramanujan Continued Fraction, J.
Comput. Appl. Math. 105 (1999), pp. 9–24.
La función theta de Ramanujan
En matemática, la función theta de Ramanujan generaliza la forma de las funciones
theta de Jacobi, a la vez que conserva sus propiedades generales. En particular, el
producto triple de Jacobi se puede escribir elegantemente en términos de la función
theta de Ramanujan. La función toma nombre de Srinivasa Ramanujan, y fue su última
gran contribución a las matemáticas.
La función theta de Ramanujan está definida como:
para |ab| < 1 . La identidad del producto triple de Jacobi toma la forma
Aquí, la expresión (a;q)n denota el símbolo q-Pochhammer. Entre otras, las identidades
que se pueden obtener se incluyen
y
y
esta última se convierte en la función de Euler, que está estrechamente relacionada con
la función eta de Dedekind.
Referencias


W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in
Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press,
Cambridge.
George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition,
(2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge
University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.
Obtenido de
«http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_theta_de_Ramanujan&oldi
d=43707657»
La Constante de Ramanujan-Soldner
En matemáticas, la constante de Ramanujan-Soldner (o simplemente constante de
Soldner) es una constante matemática definida como la única raíz positiva de la función
integral logarítmica. Se llama así en honor a Srinivasa Ramanujan y Johann Georg von
Soldner.
Su valor es, aproximadamente, μ ≈ 1,451369234883381050283968485892027449493…
Como la integral logaritmica se define como
se tiene
lo que facilita el cálculo para enteros positivos. Además, como la función integral
exponencial satisface la ecuación
,
se tiene que la única raíz positiva de la integral exponencial se produce en el logaritmo
natural de la constante de Ramanujan-Soldner, cuyo valor es aproximadamente ln(μ) ≈
0,372507410781366634461991866…
La paradoja de los números interesantes
La paradoja de los números interesantes, que se sirve de algunas propiedades
matemáticas pero que puede catalogarse más adecuadamente como humorística, busca
demostrar que todos los números naturales (1,2,3......etc) son "interesantes". Los
llamados números interesantes se originan de la costumbre entre los matemáticos y
también aficionados, de encontrar propiedades curiosas en ciertos números, que por
poseerlas se consideran más bien números interesantes que aburridos.
La Anécdota de Hardy y Ramanujan
Es conocida la anécdota de la charla entre Hardy y Ramanujan, en la que el primero le
manifestara que el número 1729 era muy aburrido, lo que dio lugar a la inmediata
reacción de Ramanujan quien afirmó que dicho número es muy interesante puesto que
se trata del número más pequeño que puede expresarse como la suma de dos cubos
(positivos) de dos maneras diferentes. 1 La "demostración" que sigue encubre en
realidad una paradoja.
Demostración
Supongamos que existen números que no son interesantes. Entonces podemos efectuar
una partición de los números naturales en dos subconjuntos, por una parte los números
interesantes y por otra parte los números aburridos. Ahora bien, como en todo
subconjunto de números naturales existe siempre uno que es más pequeño que todos los
otros, 2 el subconjunto de los aburridos tiene un número que es el más pequeño de este
grupo. Pero en razón de tal propiedad, ese número se transforma en un número
interesante: se trata en efecto del más pequeño de los números aburridos. Este nos
coloca en la obligación de sacarlo de este grupo y ponerlo en el de los interesantes. Pero
ahora un nuevo número dentro de los aburridos será el más chico y por la misma razón
tendremos que trasladarlo al subconjunto de los interesantes y así sucesivamente hasta
que quede un solo número no interesante. Pero este último número tiene la
interesantísima propiedad de ser el único número no interesante, habrá también que
trasladarlo al grupo de los interesantes y con esto, el grupo de los números no
interesantes se transformó en un conjunto vacío. Nuestra suposición inicial nos hizo
desembocar en una contradicción o aporía, lo que demuestra que tal suposición era
falsa. Entonces tenemos que concluir que no existen números que no son interesantes.
Carácter paradójico
La "demostración" precedente, que tiene la apariencia formal de una reductio ad
absurdum (reducción al absurdo), no puede en realidad calificarse de tal por cuanto
utiliza a tal fin la ambigua propiedad "ser interesante". En efecto, tal calificativo no
tiene una entidad matemática suficientemente precisa y objetiva para poder ser utilizada
como un criterio para "particionar" un conjunto, contrariamente a lo que podría hacer
utilizando por ejemplo la propiedad "ser un número par", con la cual se pueden
establecer clara e indistintamente una partición en pares y no pares (impares), o como
con la propiedad "ser un número primo". En efecto, esto también puede expresarse
diciendo que la relación de pertenencia de un elemento a un conjunto debe ser siempre
perfectamente discernible, es decir, que la afirmación "x pertenece al conjunto M" debe
poder calificarse sea como verdadera sea como falsa sin ambigüedad alguna. 3
Referencias
↑ En efecto: 10^3 + 9^3 = 1000+729=1729 y 12^3+1^3 = 1728+1=1729. No
existe ningún número más pequeño que 1729 que pueda expresarse de dos maneras
como la suma de dos cubos.
2.
↑ Es decir, se trata de un conjunto "bien ordenado". Esta propiedad la
expresamos (informalmente) diciendo que todo subconjunto no vacío de números
naturales tiene siempre un elemento que es el más pequeño entre todos los que
1.
pertenecen a dicho subconjunto. Para una definición más formal puede verse el artículo
sobre conjunto bien ordenado.
3.
↑ Ver artículos sobre conjunto y teoría de conjuntos. En realidad, la exigencia
de dicernibilidad absoluta es típica de la teoría clásica de conjuntos. Más recientemente
se desarrolló el concepto de subconjunto difuso (fuzzy set) que permite atribuir de
"grados de pertenencia" de un elemento a un conjunto, que se escalonan desde cero (no
pertenencia) a uno (pertenencia cierta).
El Sumatorio de Ramanuja
El sumatorio de Ramanujan es una técnica inventada por el matemático indio
Srinivasa Ramanujan para asignar una suma a una serie divergente infinita. A pesar de
que el sumatorio de Ramanujan de una serie divergente no es una suma en el sentido
tradicional, ésta tiene propiedades que las hacen matemáticamente útiles en el estudio
de series infinitas divergentes, para las cuales la suma normal no está definida.
Desarrollo
El sumatorio de Ramanujan se desarrolla esencialmente usando propiedades de las
sumas parciales, en lugar de tomar propiedades de la suma global, la cual no existe.
Usando el método de Euler–Maclaurin junto con la regla de corrección que hace uso de
los números de Bernoulli, se obtiene:
Ramanujan1 reescribió éste para el caso en el cual p tiende a infinito:
donde C es una constante específica de la serie a tratar. Su continuación analítica y los
límites de la integral no fueron especificados por Ramanujan, pero se supone que son
los mencionados arriba.. Comparando ambas fórmulas y asumiendo que R tiende a 0 y x
tiende a infinito, se puede ver que, en un caso general, para funciones f(x) que no
divergen en x = 0:
donde Ramanujan asumió que a = 0 . Tomando
, normamente se puede
recuperar la suma usual para series convergentes, así pues C(0) fue propuesta para su
uso en la suma de la secuencia divergente.
Suma de series divergentes
Usando extensiones standard para series divergentes conocidaas, Ramanujan calculó la
«suma» de éstas. En particular, la suma 1 + 2 + 3 + 4 + · · · es
donde la notación
indica que es un sumatorio de Ramanujan. Esta expresión aparece
originariamente en uno de los cuadernos de Ramanujan, si ningún tipo de anotación que
indicara que ésta se trataba de un sumatorio de Ramanujan.
Para potencias pares positivas, se obtiene:
y para potencias impares positivas ,se obtiene esta expresión, relacionada con los
números de Bernoulli:
En esencia, todos estos resultados son valores de la función zeta de Riemann para
valores negativos de la misma, o sea:
Otras consecuencias
Recientemente, el uso de C(1) ha sido propuesto como sumatorio de Ramanujan, puesto
que se puede asegurar que una serie
admite una y sólo una sumatoria de
Ramanujan, definida como el valor en 1 de la única solución de la ecuación en
diferencias
que verifica la condición condition
.2
La nueva definición de sumatorio de Ramanujan (denotado
) no coincide con
la anterior definición de sumatorio de Ramanujan (C(0)) ni con la suma de series
convergentes, pero tiene propiedades interesantes, tales como: Si R(x) tiende a un límite
finito cuando x→1, entonces la serie
es convergente, obteniéndose:
Otro interesante resultado es el siguiente:
,
donde γ es la constante de Euler-Mascheroni.
Referencias
1. ↑ Bruce C. Berndt, Ramanujan's Notebooks, Ramanujan's Theory of Divergent Series,
Chapter 6, Springer-Verlag (ed.), (1939), pp. 133-149.
2. ↑ Éric Delabaere, Ramanujan's Summation, Algorithms Seminar 2001–2002, F. Chyzak
(ed.), INRIA, (2003), pp. 83–88.
Referencias de Srinivasa Ramanujan
Versiones impresas
1. O Ore, Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).
http://www.encyclopedia.com/doc/1G2-2830903569.html
2. Biography in Encyclopaedia Britannica.
http://www.britannica.com/eb/article-9062575/Srinivasa-Ramanujan
Libros
3. B C Berndt and R A Rankin, Ramanujan : Letters and commentary (Providence,
Rhode Island, 1995).
4. G H Hardy, Ramanujan (Cambridge, 1940).
5. R Kanigel, The man who knew infinity : A life of the genius Ramanujan (New
York, 1991).
6. J N Kapur (ed.), Some eminent Indian mathematicians of the twentieth century
(Kapur, 1989).
7. S Ram, Srinivasa Ramanujan (New Delhi, 1979).
8. S Ramanujan, Collected Papers (Cambridge, 1927).
9. S R Ranganathan, Ramanujan : the man and the mathematician (London, 1967).
10. P K Srinivasan, Ramanujan : Am inspiration 2 Vols. (Madras, 1968).
Artìculos
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