Máquinas Reconocedoras o Autómatas

Nociones básicas
sobre
Lenguajes
Gramáticas
y
Autómatas
Lenguajes y Gramáticas
En este capítulo vamos a sintetizar los conceptos básicos de gramáticas y lenguajes para
la teoría de compiladores
Cadenas y Lenguajes
La noción más básica en la teoría de lenguajes es la tira o cadena de caracteres
formada por la concatenación de caracteres.
La cadena mínima es la nula y la denominaremos .
Si tenemos un alfabeto o vocabulario { a, b}, algunas cadenas que se pueden formar
con él serán:
 , a, b, ab, aa, ba, bb, aaa, aab, bba,……
El orden es importante, la cadena ab es diferente de la ba.
La concatenación de 2 cadenas es otra cadena. Ejemplo la concatenación de ab y aaa es
otra cadena : abaaa.
Si una de las cadenas es la nula la concatenación de dos cadenas deja inalterada la
cadena : .ab es la misma que ab.
La longitud de una cadena es el número de caracteres que la forman.
Potencia de una cadena es la cadena resultante de concatenar dicha cadena consigo
misma tantas veces como indique el exponente:
Si x fuera la cadena abc entonces :
x0 = ., x1 = abc , x2= abcabc …….
Si se tienen dos conjuntos de cadenas de caracteres A y B, se puede realizar su
producto cartesiano AB, considerando los pares de cadenas del producto resultante
como concatenados, es decir:
Si A = { a, b, cd } y B = { d, g}, entonces el conjunto producto es .
AB = { ad, ag, bd, bg, cdd, cdg}
Sabiendo realizar el producto de conjuntos de tiras, es fácil calcular potencias” de
conjuntos, realizando el producto consigo mismo
A0= { . } ; A1= A ; A2= AA , etc.
Si A = { a, b}
A0= { . }
A1= A = {a, b}
A2= AA ={aa, ab, ba, bb}
A3= AAA = { aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb}
Cierre transitivo de un conjunto A , que denominaremos A+ a la unión de sus potencias
crecientes
A+ = A1 union A2 union A3 …… union An
Cierre transitivo y reflexivo de A , que denominaremos A* , a la union de sus potencias
crecientes pero comenzando con la potencia cero
A* = A0 union A1 union A2 union A3 …… union An
es decir A* se forma añadiendo  al A+
Lenguaje: su concepto
Un lenguaje está formado por los dos elementos siguientes:
 Un diccionario, que indica el significado de las palabras del lenguaje
 Un conjunto de reglas para describir las sentencias válidas del lenguaje. Este
conjunto forma la gramática del lenguaje.
Semántica : estudio del significado de las frases de un lenguaje y su interpretación. (el
fondo).
Sintaxis: estudio de la estructura del lenguaje ( la forma).
Noción de lenguaje: un conjunto de tiras de caracteres
 Una tira o sentencia es una secuencia ordenada de los símbolos
 Un símbolo es un elemento del vocabulario del lenguaje, que se emplea para
formar las tiras o cadenas del mismo, que se llaman sentencias
 Un alfabeto o vocabulario es el conjunto de todos los símbolos que forman las
sentencias del lenguaje
La operación básica para formar las cadenas del lenguaje es la concatenación de
símbolos.
Noción de Gramática
Una gramática está formada por un cuarteto: ( N, T, P, S)
 N es el vocabulario No Terminal de símbolos introducidos por nosotros como
elementos auxiliares para la definición de la gramática y no figuran en las
sentencias del lenguaje.
 T es el vocabulario Terminal de símbolos que forman las sentencias del
lenguaje.
 P es el conjunto de Reglas de Derivación de las cadenas, que tienen la forma
tira1  tira2. Aplicando esta regla la tira1 se transforma en la tira2.
 S es el elemento más importante del vocabulario N no terminal: el símbolo
inicial o axioma, del que se derivan todas los demás aplicando las reglas P.
Ejemplo:
Sea la gramática G1:
N sólo tiene el símbolo no terminal S que es también el axioma
T tiene los símbolos terminales a y b
P consta de las reglas:
S  ab
S  aSb
Las tiras formadas aplicando estas reglas constan de varias a concatenadas y del
mismo número de b:
S  aSb  aaSbb  aaaSbbb  aaaaSbbbb  aaaaabbbbb
|
V
|
V
|
V
aabb
aaabbb
aaaabbbb
Clasificación de CHOMSKY
Chomsky es el que definió una gramática como formada por el cuarteto antes
mencionado. Introdujo cuatro tipos de gramáticas a base de cambiar sólo las reglas de
derivación P.
Gramática tipo 0 o con estructura de frase:
 La parte izquierda de una regla puede ser una tira de símbolos cualesquiera de N
y T y la parte derecha lo mismo y además puede ser nula.
 tira1tira2 estando tira1 en (N U T)+ y tira2 en (N U T )*
Gramática tipo 1 o sensible al contexto:
 tira1 A tira2 tira1 tira3 tira2 estando A en N, tira1 y tira2 en (N U T)* y tira3
en (N U T)+
 Se puede cambiar A por tira3 pero siempre dentro del contexto tira1...tira2
Gramática tipo 2 o libre de contexto:
 A  tira estando A en N y tira en (N U T)*
 Se puede cambiar A por tira independientemente del contexto en que aparezca A
Ejemplo:
N: S, A, B
T: a, b
P : SaB | bA
A a | aS | bAA
B b | bS | aBB
Gramática de tipo3 o regulares:
 A  aB o A a
Ejemplo:
N: S, A, B
T: 0, 1
P: S0A | 1B |0
A 0A |0S |1B
B 1B | 1 | 0
Cada una de ellas es más restringida que la anterior, comprende un menor número
de lenguajes
G tipo 0
G tipo 1
G tipo2
G tipo 3
Gramáticas libres de contexto
Derivación por la izquierda
Derivación por la derecha
Tomar el axioma
Tomar el axioma
Sustituir axioma
por
parte derecha
regla
Sustituir axioma
por
parte derecha
regla
Tomar el no
terminal más a la
izquierda
Tomar el no
terminal más a la
derecha
Sustituirle por
parte derecha de
alguna de sus
reglas
Sustituirle por
parte derecha de
alguna de sus
reglas
¿queda algún no
terminal por
sustituir?
¿queda algún no
terminal por
sustituir?
si
si
no
no
La cadena
resultante es
una sentencia
del lenguaje
La cadena
resultante es
una sentencia
del lenguaje
Representaciones gráficas: árboles sintácticos
Sea la G con las siguientes reglas:
S a | aAa
A b | bA
Representación gráfica de las sentencias aba
y abba
S aAa  aba
SaAa abAaabba
S
S
a
a
A
A
a
a
b
b
A
b
Recursividad
Un mecanismo que nos permite definir formas complicadas de un lenguaje con reglas
sucintas.
En vez de escribir
T L
T L V
T L V V
T L V V V
…………..
Se utilizan reglas recursivas:
Recursiva por la izquierda T L
T T V
Ejemplos:
Un entero sin signo
Entero Dígito
Entero Entero Dígito
por la derecha TL
T VT
Un identificador
Identificador Letra
Identificador Identificador LetraoDígito
LetraoDígito Letra | Dígito
Ambigüedad
Es esencial que una sentencia tenga un único árbol sintáctico. En caso contrario el
compilador podría “entender” de varias formas lo escrito por el programador.
Diremos que una sentencia es ambigua si el lenguaje definido tiene alguna sentencia
que tenga más de un árbol sintáctico
Ejemplo: expresiones aritméticas
EE + E |E * E | n
es una gramática ambigua
Sea la cadena n + n * n
E
E
E
E
n
E
E
+
n
*
E
E
n
n
E E + T | T
T T * F | F
F n
No es ambigua
E
+
E
n
*
E
E
T
T
T
F
F
n
+
n
F
*
n
n
Máquinas Reconocedoras o Autómatas
Son dispositivos formales que permiten definir un lenguaje por medio de la vía de
aceptación de las cadenas que lo componen. En contraposición de las gramáticas
formales, que generan cadenas a partir de unas reglas, los autómatas deciden si una
cadena determinada pertenece o no a un lenguaje
En general un autómata consta de:
 Una cinta de entrada dividida en celdas, cada celda es ocupada por cada uno de
los símbolos. Puede moverse a la derecha , a la izquierda o permanecer quieta.
 Un control de estados que determina el comportamiento del mecanismo de
reconocimiento representado por un conjunto de estados, que en la práctica debe
ser finito. Encontrándose el autómata en un estado y leído un símbolo de la cinta
de entrada, la máquina transitará a otro estado, pudiendo ser incluso el mismo.
 Una memoria, que consta de una función de direccionamiento, una función de
búsqueda y un determinado alfabeto. Lo más frecuente , esta memoria , cuando
exista, tendrá una estructura de pila.
Se entiende por movimiento a la situación que se produce cuando la cabeza de lectura se
desplaza ( o permanece inmóvil) por la cinta de entrada, el posible almacenamiento en
la memoria de alguna cadena de símbolos y el nuevo estado producido.
Se entiende por configuración, un conjunto de elementos que definen la situación en un
instante considerado del autómata como son el estado actual, el contenido de la cinta de
entrada, y el contenido de la memoria auxiliar en ese instante.
Cuando la transición se realiza de un estado a otro exclusivamente se dice que el control
es determinista. Por el contrario si partiendo de un estado y con la lectura de un símbolo
de la cinta de entrada puede transitarse a dos o más estados diferentes se dice que el
control es no-determinista.
La máquina se encuentra en una configuración inicial cuando se halla en el estado
inicial del reconocimiento, la cabeza de lectura se halla sobre el símbolo más a la
izquierda y la memoria contiene el símbolo inicial. Análogamente , la máquina se
encuentra en la configuración final cuando la cabeza de lectura se encuentra en el
símbolo más a la derecha y la memoria se halla en determinadas condiciones.
En general un autómata acepta una cadena si empezando en la configuración inicial y
después de una serie de movimientos se llega a una configuración final.
Existen varios tipos de máquinas reconocedoras en relación con el tipo de lenguaje que
aceptan:
1. Autómatas finitos, reconocen lenguajes regulares (tipo 3). La cinta de entrada
sólo se mueve en un sentido (unidireccional) y no posee memoria auxiliar.
Utilizados para la construcción de analizadores léxicos.
2. Autómatas con pila, reconocen lenguajes libres de contexto. Son de movimiento
unidireccional y la memoria tiene una estructura de pila, con una función de
almacenamiento y búsqueda. Utilizados en la construcción de analizadores
sintácticos.
3. Autómatas bidireccionales, reconocen lenguajes dependientes del contexto.
4. Máquinas de Turing, reconocen lenguajes tipo 0, o con estructura de frase. Son
también bidireccionales.
Autómatas Finitos
Consta de una cinta de entrada y un control de estados. Reconoce lenguajes Regulares.
Cinta de entrada
..........
Símbolos alfabeto entrada
a
b
....................................
c
...................
Cabeza lectora
Control de estados
Símbolo leído
Estado
actual
Estado
nuevo
Un AF puede ser considerado como un sistema que consta:
 Un conjunto finito de estados que determina la conducta del autómata
 Un conjunto de símbolos de entrada. La cadena que se quiere reconocer y que se
encuentra en la cinta de entrada debe estar formada por caracteres de ete
alfabeto.
 Una función de transición: cada estado actual y el símbolo leído le hace
corresponder uno (determinista) o varios estados (no-determinista) que pasan a
ser los actuales.
 Un estado inicial
 Un subconjunto no vacío de estados llamados finales. Cuando se llega a alguno
de ellos se ha llegado a un final lógico en el proceso de aceptación.
La configuración de un autómata finito:
 Estado en el que se encuentra
 La subcadena que resta por reconocer
Luego la configuración inicial será:
 Estado inicial
 La cadena de entrada completa
La configuración final será:
 Un estado final
 La subcadena vacía, no queda nada de la cadena de entrada por reconocer
Una tira de entrada es reconocida o aceptada por un autómata finito si puede escribirse
una secuencia de movimientos ( o de transiciones) entre las configuraciones inicial y
final.
Una forma de representar una transición
Símbolo leído
Estado viejo
Estado nuevo
Otra notación : expresiones regulares:
a*
a+
a
a
a
a
b
ab
a
a
b
o b
(a+b)
Ejemplo:
identificador  letra (letra | dígito)
letra  a | b | ..........| z
dígito 0 | 1 | ........| 9
identificador = letra (letra +dígito) *
letra = a + b + ...... + z
gígito= 0 + 1+ ....+ 9
Tabla de transiciones:
Estados
0
1
2
Letra
1
1
-
letra
0
Dígito
1
-
Fin de cadena
2
-
$ (fin cadena)
1
Estado inicial
Estado final
Letra o
dígito
Si L es un lenguaje regular:
 L se denota por una expresión regular
 L puede ser definido por un Autómata Finito No Determinista (AFN )
 Cualquier AFN puede ser transformado en uno determinista AFD.