AÑO DE LA CONSOLIDACION DEMOCRATICA ESTADÍSTICA Trabajo Nro 1 CALIFICACIÓN DE OCEANOGRAFIA 2006

AÑO DE LA CONSOLIDACION DEMOCRATICA
CALIFICACIÓN DE OCEANOGRAFIA 2006
ESTADÍSTICA
Trabajo Nro 1
JUNIO−2006
ESTADÍSTICA
TRABAJO NÚMERO UNO
• Una muestra de 500 probetas de concreto fue sometida a compresión. Los resultados obtenidos en Kg./cm.
se muestra en la tabla:
clase
750 −1050
1050 −1350
1350 −1650
1650 −1950
1950 −2250
f
95
125
170
90
20
Hallar:
• La carga media de la rotura.
• El valor medio.
• La varianza y desviación típica.
Solución: C = 300; A = 1,500
1ra
2da
3ra
4ta
5ta
N=
CLASE
750−1050
1050−1350
1350−1650
1650−1950
1950−2250
f
95
125
170
90
20
500
F
95
220
390
480
500
X
900
1200
1500
1800
2100
f.d =
d =X−A
−600
−300
0
300
600
f. d
−57000
−37500
0
27000
12000
−55500
d
360000
90000
0
90000
360000
f.d =
f.d
34200000
11250000
0
8100000
7200000
60750000
• X = A + f.d X = 1500 + (−5,5500) X = 1500 − 111
N 500
X = 1,389 Kg./cm.
• Me = Li + N/2 − F1 C La clase de la mediana es N/2 = 500/2 = 250, cae
1
fmed. en la tercera clase.
Me = 1,350 + 250−220 300 Me = 1,350 + 52.94
170
Me = 1,402.94 Kg./cm.
• Va = S Va = f.d − f.d Va = 60750000 − −55500
N N 500 500
Va = 121,500 − 12,321 Va = 109,179 Kg./cm.
Y la desviación típica es S = 109179 S = 330.42 Kg./cm.
• Se clasifican los sueldos en miles de soles de dos empresas, obteniéndose los siguientes resultados:
NUMERO DE
EMPLEADOS
10
30
20
SUELDOS
150 −160
160 −170
170 − 180
NUMERO DE
EMPLEADOS
155 −165
30
165 −175
50
175 − 185
20
Calcular la desviación típica de los sueldos de los empleados de las empresas juntas.
SUELDOS
Solución:
Cuadro Nro. 1: C = 10; A = 30
CLASE
1ra 150 −160
2da 160 −170
3ra 170 − 180
N=
f
10
30
20
60
F
10
40
60
X
155
165
175
d =X−A
−20
0
−10
f.d =
f.d
−200
0
−200
−400
d
400
0
100
f.d =
f.d
4000
0
2000
6000
S1 = f.d − f.d S = 6000 − −400 S = 100 − 44.44
N N 60 60
S1 = 55.56 S = 7.4538
Cuadro Nro. 1: C = 10; A = 50
CLASE
f
F
X
d =X−A
f.d
d
f.d
2
1ra
2da
3ra
155 −165
165 −175
175 − 185
N=
30
50
20
100
30
80
100
160
170
180
−20
0
−30
f.d =
−600
0
−600
−1200
400
0
900
f.d =
12000
0
18000
30000
S2 = f.d − f.d S = 30000 − −1200 S = 300 − 144
N N 100 100
S2 = 156 S = 12.4899
Entonces la desviación típica de los empleados de las empresas juntas sería:
St = S1 + S2 = 7.4538 + 12.4899 St = 9.971
22
• Dado el siguiente cuadro de distribución:
NÚMERO DE ACCIONES POSEIDAS
1 − 99
100 − 199
200 − 299
300 − 399
400 − 499
500 − 599
600 − 699
700 − 799
800 − 899
NUMERO DE ACCIONISTAS
80
120
300
550
800
400
120
60
20
f = 2450
FA
80
200
500
1050
1850
2250
2370
2430
2450
Hallar:
• El sexto decil.
• El percentil 17.
Solución:
M = R/C R = (899 −1) +1 C = ? 9 = 899/C C = 899/9
C = 99.89 = 100
Con las marcas de clase empezamos hacer nuestro cuadro;
CLASE
1ra 1 − 99
2da 100 − 199
3ra 200 − 299
4ta 300 − 399
f
80
120
300
550
F
80
200
500
1050
X
50
149.5
249.5
349.5
3
5ta
6ta
7ma
8va
9na
400 − 499
500 − 599
600 − 699
700 − 799
800 − 899
N=
800
400
120
60
20
2450
1850
2250
2370
2430
2450
449.5
549.5
649.5
749.5
849.5
• D6 = Li + (N/10).6 − F1 C La clase del sexto Decil es (N/10).6 =
fmed. (2450/10).6 = 1470, cae en la quinta clase.
D6 = 399.5 + 1470−1050 100 D6 = 399.5 + 52.5 D6 = 452
800
• P17 = Li + (N/100).17 − F1 C La clase del diecisieteavo Percentil es
fmed. (N/100).17= (2450/100).17 = 416, cae en la tercera clase.
P17 = 199.5 + 416.5 −200 100 P17 = 199.5 + 72.17 P17 = 271.67
300
• La distribución de frecuencia consta de 5 intervalos de clases de igual longitud y de ellas se conocen los
siguientes datos:
N = 110 ; n4 − n3 − n1= 0 ; n1 = n5 ; n2 = n4 ; n4 − n5 = 10
Y0=12.5 ; Y4.N4 = 975
N = Frecuencia total
ni = Frecuencia
Calcular el valor mediano o mediana de la distribución.
Solución:
De los datos podemos hallar:
n4 − n5 = 10 n5 = n4 − 10 reemplazando: n1 = n2 − 10
n4 − n3 − n1= 0 reemplazando: n2 − n3 − (n2 − 10) = 0 n3 = 10
n1 + n2 + n3 + n4 + n5 = N n1 + n2 + 10 + n2 + n1 = 110 reemplazando:
2n1 + 2n2 = 110 − 10 n1 + n2 = 50 reemplazando: n2 − 10 + n2 = 50
2n2 = 60 n2 = 30 ; n1 = 20
Y4.N4 = 975 Y4.30 = 975 Y4 = 32.5
4
Llenamos el cuadro: C = 10
1ra
2da
3ra
4ta
5ta
CLASE
12.5 − 22.5
22.5 − 32.5
32.5 − 42.5
42.5 − 52.5
52.5 − 62.5
N=
f
20
30
10
30
20
110
F
20
50
60
90
110
X
17.5
27.5
37.5
47.5
57.5
Me = Li + N/2 − F1 C La clase de la mediana es N/2 = 110/2 = 55, cae
fmed. en la tercera clase.
Me = 32.5 + (55 − 50) 10 Me = 32.5 + 5 Me = 37.5
10
• La siguiente distribución corresponde al salario de obreros de una empresa:
Intervalos
4000 − 4200
4200 − 4400
4400 − 4600
4600 − 4800
4800 − 5000
5000 − 5200
5200 − 5400
Frecuencia
X
80
4100
120
4300
125
4500
99
4700
88
4900
78
5100
10
5300
600
El sindicato de la empresa propone la siguiente alternativa, el 10% más al salario que viene percibiendo; la
agencia propone, 5% menos del salario anterior más 900 soles. Se pide:
• Calcular la mediana de ambas propuestas.
• Indicar cual de las dos propuestas benefician al obrero.
Solución: C = 200; A = 4500
1ra
2da
3ra
4ta
5ta
6ta
7ma
CLASE
4000 − 4200
4200 − 4400
4400 − 4600
4600 − 4800
4800 − 5000
5000 − 5200
5200 − 5400
N=
f
80
120
125
99
88
78
10
600
F
80
200
325
424
512
590
600
X
4100
4300
4500
4700
4900
5100
5300
d=X−A
−400
−200
0
200
400
600
800
U = d/c
−2
−1
0
1
2
3
4
f.u =
f.u
−160
−120
0
99
176
234
40
269
5
Me = Li + N/2 − F1 C La clase de la mediana es N/2 = 600/2 = 250, cae
fmed. en la tercera clase.
Me = 4400 + 300−220 200 Me = 1350 + 160 Me = 4,560 soles
150
• Propuesta del sindicato, aumento del 10%:
Me = 4560 x 110 Me = 5016 soles
100
Propuesta de la agencia, 5% menos del salario anterior más 900 soles:
Me = 5016 x 95 + 900 Me = 5,665.2 soles
100
• Cual de las dos propuestas benefician al obrero:
Para saber cual de las dos propuestas benefician al obrero, se calcula el salario medio de las 2:
X = A + (f.U) C X = 4500 + (269) 200 X = 4500 + 82.67
N 600
X = 4,589.67 soles
Propuesta del sindicato:
X = 4589.67 x 110 X = 5,048.64 soles
100
Propuesta de la agencia:
X = 5048 x 95 + 900 X = 5,696 soles; la propuesta de la gerencia es
100 más beneficiosa.
• Se ha construido una planta de tratamiento de agua para uso doméstico con una capacidad de 4'500,00 m
por día, casi siempre es necesario superar el riego de jardines públicos, cuando la demanda excede al
abastecimiento, lo cual hace pensar que hay fuga en la tuberías o perdidas. La demanda media en días
laborables en miles de m en los meses de junio y agosto de 1979 nos permitió construir la siguiente tabla:
Demanda miles de m
1800 − 2340
2340 − 2880
2880 − 3420
Frecuencia
12
7
10
6
3420 − 3960
3960 − 4500
4500 − 5040
26
16
15
86
Hallar:
• La media.
• El media de la demanda diaria.
• Que porcentaje de la demanda excede a la capacidad de la planta.
Solución: C = 540 ; A = 3690
1ra
2da
3ra
4ta
5ta
6ta
CLASE
1800 − 2340
2340 − 2880
2880 − 3420
3420 − 3960
3960 − 4500
4500 − 5040
N=
f
12
7
10
26
16
15
86
F
12
19
29
55
71
86
X
2070
2610
3150
3690
4230
4770
d = X−A
−1620
−1080
−540
0
540
1080
U = d/c
−3
−2
−1
0
1
2
f.u =
fu
−36
−14
−10
0
16
30
−14
hi
0.14
0.08
0.12
0.30
0.19
0.17
a) X = A + (f.U) C X = 3690 + (−14) 540 X = 3690 − 87.91
N 86
X = 3,602.09 m
b) Me = Li + N/2 − F1 C La clase de la mediana es N/2 = 86/2 = 43, cae
fmed. en la cuarta clase.
Me = 3420 + 43 − 29 540 Me = 3420 + 290.77 Me = 3710.77 m
26
c) El porcentaje de la demanda que excede a la capacidad de la planta es el 17%
• Una empresa desea hacer un reajuste entre sus empleados, la clasificación se lleva a cabo mediante la
aplicación de un test, que arroja las siguientes puntuaciones:
PUNTUACION NÚMERO DE EMPLEADOS
0 − 30
94
30 − 50
140
50 − 70
160
70 − 90
98
90 − 100
8
La planificación óptima de una empresa exige que el 65% sean administradores, el 20% jefes de sección, el
10% jefe de departamento y el 5% inspectores. Según la puntuación obtenida se pide:
7
Calcular la puntuación máxima para ser administrador, jefes de sección y jefe de departamento.
Solución: C = 20
1ra
2da
3ra
4ta
5ta
CLASE
0 − 30
30 − 50
50 − 70
70 − 90
90 − 100
N=
f
94
140
160
98
8
500
F
94
234
394
492
500
X
15
40
60
80
95
hi
0.19
0.28
0.32
0.20
0.02
1
Hi
0.19
0.47
0.79
0.98
1
a) Administrador:
65% = P65 = Li + (N/100).65 − F1 C La clase del P65 es (N/100)65 =
fmed. (500/100).65 = 325, cae en la tercera clase.
P65 = 50 + 325 − 234 20 P65 = 50 + 11.38 P65 = 61.38 puntuación
160
b) Jefe de sección: 65% + 20% = 85%
85% = P85 = Li + (N/100).85 − F1 C La clase del P85 es (N/100)85 =
fmed. (500/100).85 = 425, cae en la cuarta clase.
P85 = 70 + 425 − 394 20 P85 = 70 + 6.33 P85 = 76.33 puntuación
160
c) Jefe de departamento: 65% + 20% + 10% = 95%
95% = P95 = Li + (N/100).95 − F1 C La clase del P95 es (N/100)95 =
fmed. (500/100).85 = 475, cae en la cuarta clase.
P85 = 70 + 475 − 394 20 P95 = 70 + 16.53 P95 = 86.53 puntuación
160
• Dado el siguiente cuadro:
CLASE
0 − 99
100 − 199
200 − 299
300 − 399
400 − 499
f
80
120
300
550
800
8
500 − 599
600 − 699
700 − 799
800 − 899
900 − 999
Hallar:
400
120
70
50
10
• La media.
• La mediana.
• La moda.
Solución: C = 100; A = 499.5
CLASE
1ra
0 − 99
2da 100 − 199
3ra
200 − 299
4ta
300 − 399
5ta
400 − 499
6ta
500 − 599
7ma 600 − 699
8va 700 − 799
9na 800 − 899
10ma 900 − 999
N=
f
80
120
300
550
800
400
120
70
50
10
2500
F
80
200
500
1050
1850
2250
2370
2440
2490
2500
X
49.5
149.5
249.5
349.5
449.5
549.5
649.5
749.5
849.5
949.5
d = X−A
−450
−350
−250
−150
−50
50
150
250
350
450
U = d/c
−4.5
−3.5
−2.5
−1.5
−0.5
0.5
1.5
2.5
3.5
4.5
f.u =
fu
−360
−420
−750
−825
−400
200
180
175
175
45
−1980
a) X = A + (f.U) C X = 499.5 + (−1980) 100 X = 499.5 − 79.2
N 2500
X = 420.3
b) Me = Li + N/2 − F1 C La clase de la mediana es N/2 = 2500/2 = 1250,
fmed. cae en la quinta clase.
Me = 399.5 + 1250 − 1050 100 Me = 399.5 + 25 Me = 424.5
800
c) Mo = Li + 1 C La clase modal es donde está la mayor
1 + 2 concentración de f; esta en la quinta clase.
Mo = 399.5 + 250 100 Mo = 399.5 + 38.46 Me = 437.96 250 + 400
• En una población se encontró que los ingresos mensuales de 100 personas en miles de soles, esta dado por:
Hallar:
9
x
3.5
7.5
11.5
15.5
19.5
f
4
11
40
32
13
• La clase de ingresos mensuales.
• Graficar la ojiva menor que con los porcentajes.
• Determinar los porcentajes de personas que perciben de 8 a 16 mil soles.
Solución: C = 4
1ra
2da
3ra
4ta
5ta
CLASE
2−5
6−9
10 − 13
14 − 17
18 − 21
N=
f
4
11
40
32
13
100
F
4
15
55
87
100
X
3.5
7.5
11.5
15.5
19.5
hi
0.04
0.11
0.40
0.32
0.13
1
Hi
0.04
0.15
0.55
0.87
1
Menor que
1.5
5.5
9.5
13.5
17.5
21.5
0
4
15
55
87
100
a) Las clases son: 2 − 5, 6 − 9, 10 − 13, 14 − 17, 18 − 21
b)
c)
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
11 40 32
(9 − 8)11 + 40 + (16 − 14)32 = 11 + 40 + 64 = 75 + 40 = 65
3333
Los porcentajes de personas que perciben de 8 a 16 mil soles son 65%
• Supongamos que una organización de cadena de restaurantes tiene 7 de ellos situados a cierta carretera
como indica el cuadro. Diariamente cada restaurante debe buscar alimentos frescos en un almacén central
situado en algún punto a lo largo de la carretera. Además supongamos que el servicio requiere de los
camiones cada día; entonces para eliminar la distancia total de los 7 restaurantes al almacén central, ¿Dónde
debe estar el almacén central?:
Restaurantes
A
B
C
D
Distancia en Km. del almacén central al restaurante.
12
40
76
96
10
E
F
G
Solución:
124
132
148
a) X = x = 628 = 89.71 Km. La central estaría en D
N7
• Dada la siguiente matriz:
60
56
62
58
61
58
63
61
57
58
Hallar el cuadro de distribución sabiendo que la segunda marca de clase es 154, la tercera marca de clase es
157, además sus frecuencias tienen la siguiente relación:
f1 + f3 = 46; f2 + f4 = 42; f3 + f4 = 65; f2 + f3 = 57
Hallar:
• La media aritmética.
• La mediana.
• La moda.
Solución:
Número
50
51
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
Cantidad
2
3
4
6
7
10
10
21
9
9
7
4
4
4
C = 3; A = 57
CLASE
1ra 50 − 52
2da 53 − 55
f
5
17
F
5
22
X
51
54
d=X−A
−6
−3
U = d/c
−2
−1
f.U
−10
−17
11
3ra 56 − 58
4ta 59 − 61
5ta 62 − 64
N=
41
25
12
100
63
88
100
57
60
63
0
3
6
0
1
2
f.u =
0
25
24
22
a) X = A + (f.U) C X = 57 + (22) 3 X = 57 + 0.66
N 100
X = 57.66
b) Me = Li + N/2 − F1 C La clase de la mediana es N/2 = 100/2 = 50,
fmed. cae en la tercera clase.
Me = 55.5 + 50 − 22 3 Me = 55.5 + 2.05 Me = 57.55
41
c) Mo = Li + 1 C La clase modal es donde está la mayor
1 + 2 concentración de f; esta en la tercera clase.
Mo = 55.5 + 24 3 Mo = 55.5 + 1.8 Me = 57.3
24 + 16
• Construya un cuadro de distribución con los puntajes que se obtuvieron de una prueba de aptitud de 150
solicitantes de puestos de trabajo en una compañía y hallar:
• La media aritmética.
• La mediana.
• La moda.
• La madia geométrica.
• La desviación típica
• Grafica el histograma y polígonos de frecuencias.
Solución:
Nro.
13
25
26
27
29
30
31
33
34
35
36
Canti.
1
1
1
3
1
1
1
1
1
2
2
Nro.
44
45
46
47
48
49
51
52
53
54
55
Canti.
5
4
3
1
3
3
6
2
5
6
6
Nro.
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
Canti.
6
5
1
1
2
1
2
3
6
2
4
Nro.
78
79
80
82
83
85
86
88
89
91
94
Canti.
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
12
39
40
41
42
43
2
3
3
3
3
56
57
58
59
60
4
5
3
5
5
72
73
75
76
77
1
3
2
2
1
C = 1 + 3.3 Log 150 C = 8.2 C = 8
R = 94 − 13 + 1 R = 82
El exceso = M x C − R exceso = 11 x 8 − 82 exceso = 6
A = 56.5
a) X = A + (f.U) C X = 56.5 + (−6) 8 X = 56.5 − 0.32
N 150
X = 56.18
b) Me = Li + N/2 − F1 C La clase de la mediana es N/2 = 150/2 = 75,
fmed. cae en la sexta clase.
Me = 52.5 + 75 − 56 8 Me = 52.5 + 3.89 Me = 56.39
39
c) Mo = Li + 1 C La clase modal es donde está la mayor
1 + 2 concentración de f; esta en la sexta clase.
Mo = 52.5 + 17 8 Mo = 52.5 + 3.88 Me = 56.38
17 + 18
d) Mg = Antilog Log X Mg = Antilog 16.69 Mg = Antilog 0.1112167
N 150
Mg = 1.29
2
2
_
_
_
13
_
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
_
_
_
14
_
_
_
_
_
3
3
_
_
_
_
3
3
_
_
_
_
"Ojiva Menor que"
_
0
4
15
_
_
_
55
15
_
87
_
100
1.5
5.5
9.5
13.5
17.5
21.5
_
_
_
2
2
2
2
16