CÁLCULO INFINITESIMAL:

CÁLCULO INFINITESIMAL:
Las múltiples dificultades teóricas con las que se hubieron de enfrentar tres
generaciones sucesivas de matemáticos confirma el valor de las aportaciones
intelectuales de estos, que condujeron a una revolución científica radical en las
matemáticas. De ahí que Engels observe:
“De todos los progresos teóricos ninguno representa verdaderamente un triunfo
mayor del espíritu humano que la invención del cálculo infinitesimal en la
segunda mitad del siglo XVII. No será fácil encontrar en ningún lugar como aquí
un acto tan puro y exclusivo del intelecto humano.”
(Friedrich Engels fue un filósofo y revolucionario alemán, amigo y colaborador
de Karl Marx).
El cálculo diferencial se inicia con una detallada teoría de las diferencias. Sobre
ellas se construye el cálculo diferencial como el calculo que surge al hacer, por
así decirlo, pequeñas las diferencias. Por tanto, el cálculo infinitesimal consiste
en el método de determinar las razones de los diferentes aumentos o
incrementos de las funciones de una magnitud variable, cuando la variable de
la que se depende experimenta asimismo un incremento infinitesimal.
El Cálculo Infinitesimal es aquel que constituye una parte muy importante de la
matemática moderna. Es normal en el contexto matemático, por simplificación,
simplemente llamarlo cálculo.
El cálculo, como algoritmo desarrollado en el campo de la matemática, incluye
el estudio de los límites, derivadas, integrales y series infinitas, y constituye una
gran parte de la educación de las universidades modernas. Más
concretamente, el cálculo infinitesimal es el estudio del cambio, en la misma
manera que la geometría es el estudio del espacio.
El cálculo infinitesimal tiene amplias aplicaciones en la ciencia y la ingeniería y
se usa para resolver problemas para los cuales el álgebra por sí sola es
insuficiente. Este cálculo se construye con base en el álgebra, la trigonometría
y la geometría analítica e incluye dos campos principales, cálculo diferencial y
cálculo integral, que están relacionados por el teorema fundamental del
cálculo.
Histórica y científicamente se asegura que uno de los modelos matemáticos
más trascendentes, elegantes, importantes y bellos que ha producido la
creación del hombre es el cálculo diferencial e integral, que también de conoce
como CÁLCULO INFINITESIMAL.
El advenimiento de esta rama de la matemática, que hoy designamos como el
ANÁLISIS MATEMÁTICO, tiene una historia que describe la observación, el
razonamiento y la medición. La esencia del Método Infinitesimal, consiste en la
idea del “PASO AL LÏMITE”, producto del a concepción de “sucesión indefinida”
Para tener una idea de estos conceptos, consideramos que es conveniente
estudiar esta historia entres partes:
1. Los Precursores
Eudoxo de Cnidogriego408-355
a. C.
Arquímedes.- griego287-212 a.
C.
Teoría de las proporciones
Método de Exhaución (agotador)
Desarrolla y perfecciona el Método de Exhaución
Lo vincula a un nuevo postulado: “Postulado de
continuidad”
Creador del Método, que contiene la idea de la
integral
Nicolás
Oresmefrancés1313- Estableció ciertas consideraciones acerca del
1382 d. C.
“Infinito”Introducción del cero.
Álvaro TomásAprox. 1509
Realizó el cálculo de las primeras series
convergentes (serie que eltérmino general tiende
a cero)
Cavalieri1598- 1647
Dedicado
a
la
trigonometría
ya
los
logaritmos.Contribuyó a la aplicación del cálculo
en áreas y volúmenes apoyándoseen los
“indivisibles” (ciertos algoritmos que lo llevaron a
establecer un proceso de integración)Publico en
1635
“GEOMETRÍA
INDIVISIBILIBUS
CONTINUORUM NOVA QUADAM RATIONEM
PROMOTA” (geometría indivisiblecontinua y
nueva ley de relación)Teorema de Cavalieri.
EvangelistaTorricelli
En su libro póstumo, “Ejercitaciones Geométricas”
italiano1564-1642
publicado en 1647, pone de manifiesto los
métodos infinitesimales
Kepler alemán1571-1630
Su obra matemática “NOVA ESTEREOMETRIA
DILORIUMVINARIORUM” (nueva estereometría
de los toneles de vino), teoremaclásico de la
capacidad de los toneles de vino, se utilizan
métodosinfinitesimales aplicados a problemas de
carácter comercial.Mediante su 2ª. Ley Planetaria,
que explica como se unen las áreas barridas por
los rayos vectores con los tiempos y velocidades
Blaise PascalFrancés1623-1662 En 1640 escribió “ESSAY POUR LES
CONIQUES” )Ensayo sobre lascónicas)Utilizó
métodos muy aproximados al cálculo infinitesimal
Pierre
Fermat.Francés1601- Escribió en 1637, pero publicada en 1679 “AD
1665
LOCOS PLANOS ETSOLIDOS ISAGOGE”
(introducción a los lugares geométricos,
planossólidos).Coautor de la Geometría Analítica,
que sin duda lo llevó al métodoinfinitesimal, como
es el caso de la “Pendiente Trigonométrica de
latangente”En 1638 descubrió un método para
encontrar máximos y mínimos
Cristian Huygensholandés1629- A este científico se le debe el primer Tratado de
1695
Cálculo de probabilidades; obra que abre un
nuevo
capítulo
de
la
geometríadiferencial.Considerado
como
el
Newton Holandés
John Wallisinglés1616-1703
Consideró a las figuras de las secciones cónicas,
no como sección delcono. Sino como una versión
de
curvas
consideradas
en
coordenadascartesianas
y
de
2º
grado.Perfeccionó el método de los indivisibles y
el cálculo de “Pi” como seconoce actualmente
Christopher
Wreninglés1632- Constructor de la Catedral de San Pablo y otras
1723
iglesias en LondresResolvió problemas relativos a
la cicloideFue el primero que demostró la
existencia de Infinitas generatricesRectilíneas en
el Hiperboloide de una hoja.Maestro de Newton
por poco tiempo en Cambridge
Isaac Barrow inglés1630-1677
Dio importancia a los métodos clásicos
consistentes en la determinaciónde las tangentes
a las curvas planas por medio del llamado
“TriánguloDiferencial”,
cuyos
lados
están
formados por los diferenciales dx, dy yel arco
elemental ds.Fue maestro, amigo y protector de
Newton
2. Los Fundadores
Isaac Newton inglés1642-1727
Muy favorecido por el concepto sajón,
presentándolo como únicoinventor del Análisis
Infinitesimal.Es un filósofo natural, es un físico, o
más bien un “mecánico”Su “Teoría de las
Fluxiones” (derivadas) íntimamente ligadas a
lostrabajos de John Wallis, de Isaac Barrow, en
los métodos geométricos deDescartes y Fermat,
donde se analizan las series infinitas y las
tangentesLos infinitesimales que propone Newton
son llamados “momentos defluxiones”, la idea de
fluxión viene de fluir o velocidad, por eso en la
interpretación de la Derivada se invoca a la
interpretación
MECÁNICA
,al igual que la interpretación
GEOMÉTRICA
.En 1671, Newton desarrolla un Método que lo
publica con el nombre de
“METHODUS FLUXIONUM ET SERIERUM
INFINITORUM”
(Método de fluxiones y series infinitas),
compilación
de
trabajosanteriores
que
comprende: aplicación de las series infinitas a
laresolución de ecuaciones algebraicas y
diferenciales, cálculo demáximos y mínimos,
método
de
nuevas
integraciones
por
substitución,transformación
de
integrales
aplicadas a varias curvasEn 1687 presenta sus
llamadas
“Razones
Últimas”
de
CantidadesEvanescentes,
(la
razón
de
incremento que se ha desvanecido) esto es
elconcepto de límite.En 1687, en sus famosos
“Principia”, Newton antepone nociones decálculo
infinitesimal.En 1693 Newton publica
“DE CUADRATURA CURVARUM”
(Tratado de la Cuadratura de las Curvas), donde
reafirma su método
Gotfried
WilhelmLeibniz.alemán16461716
Independientemente de Newton, estableció en
forma sencilla losalgoritmos de un nuevo cálculo,
o sea del Análisis Infinitesimal entre1673 y 1676,
bajo la influencia personal de Huygens.Su
pensamiento es más lógico y matemático.Menos
artificial y empírico que NewtonSu simbolismo es
más práctico y funcional que el de
Newton.Deseaba desarrollar la matemática a
través de la filosofía.Su legado matemático está
basado en los matemáticos franceses que
noconoció, y que son Pascal, Descartes y
Fermat.Una primera publicación de la forma
Leibniziana del CálculoInfinitesimal fue en 1684.
“ACTA ERUDICTORUM” (Acta Eruditas),con un
subtítulo que decía Un Nuevo Método para
Máximos y Mínimos,t también para Tangentes
que
no
se
ve
obstruido
por
las
cantidadesfraccionarias ni por las irracionales)En
este trabajo están las formas y los símbolos que
se impondrían en lanotación, como : dx, dy, ds,
etc., lo mismo que las reglas de ladiferenciación
como d(xy) = xdy + ydx, y: d (x/y) = (ydx –xdy)
/yz1684.- primer escrito de Leibniz sobre cálculo
diferencial1686.- primer escrito de Leibniz sobre
cálculo integral
La creación del Análisis Infinitesimal al que Newton llamó Teoría de Fluxiones,
y Leibniz lo tituló como Cálculo Diferencial e Integral, suscito una amarga
controversia que tuvo un divorcio entre matemáticos y científicos de la isla
británica y los de la comunidad científica del continente europeo, controversia
larga y estéril sobre la prioridad en el descubrimiento de los métodos de esta
nueva rama de la matemática. Newton y Leibniz si se acercaron y encontraron
por formas de razonamiento bien distinguibles, que los llevó a resultados
diversos, pero esencialmente los llevó a la misma interpretación. El
descubrimiento del cálculo tuvo una especial característica no solo en el
pensamiento matemático, sino en el pensamiento y en la ciencia en general;
mientras que Newton guardaba con gran celo su descubrimiento en la isla sin
propagarlo a sus coterráneas, hombres de ciencia, el Cálculo Diferencial e
Integral de Leibniz se daba a conocer por toda Europa, pues los estudiosos
pudieron aplicarlo de ahí que éstos fueron los continuadores:
3. Los Continuadores
Jacob
1654-1705 suizo
Familia BernoulliDaniel
1700-1782
holandés-suizo
Guillaume
FrancoisAntoine
L’Hopitalfrancés1661-1704
Gabriel Manfredi.Italiano, 16811711
John Keill.Escocés, 1671-1721
Nicolás Fatio deDuilier.Inglés,
1664-1753
Brook Taylor.inglés1685-1731
Francois NigaleFrancés, 16981746
Científicos judío-suizos que vivían en Basilea,
Suiza, aplicaron losconocimientos de Leibniz.En
1701, los hermanos Bernoulli se ocupan del
problema de losisoperímetros.En 1701 Jacobo (1)
Bernoulli
en
su
obra
“ANALYSIS
MAGNIPROBLEMI” (Problemas de análisis
magno) estudia las formas deaquellas curvas de
máximos y mínimos, trazables mediante una
ecuacióndiferencialJohannes Bernoulli (16671748) dirige una carta fechada en 1615,dirigida a
Leibniz, comunicándole su éxito en la aplicación
del nuevocálculo a superficies encerradas bajo las
curvas, las cuales se representan por integrales
Se puede considerar a este francés, como el
autor del primer tratadosistemático del Cálculo
diferencial e Integral, titulado “ANALYSE
DESINFINIMENT PETITS POUR INTELLIGENCE
DES LIGNESCOURBES” (Análisis de la partes
infinitamente pequeñas por curvas)aparecido en
1696.Aparece la fórmula Regla de L’Hopital para
encontrar límites
En
1707
publica
“CONSTRUCTIONES
EAQUATIONUMDIFFERENTIANUM
DIFERENCIALES”
(De
la
construcción
deecuaciones diferenciales), enuncia el método
de la integración deecuaciones diferenciales con
dos variables
En 1710 publica “DE LEGIBUS VIRIUM
CENTRIPETARUM”, (Delas leyes de variación
centrípeta., donde sostiene la prioridad de
Newtonen el descubrimiento del cálculo
infinitesimal
Miembro de la Royal Society.Iniciador de la
controversia entre Newton y Leibniz, por un
exceso decelos académicos y y de una obsesión
británica
En
1615
publica
“METHODUS
INCREMENTORUM DIRECTA ETUNIVERSA”,
(Métodos
de
incrementación
directa
y
universalPropone la Serie de Taylor, deducida
con ayuda del método deinterpolación de Newton.
En 1717 publica “Tratado de cálculo de las
diferencias finitas”, dondeincluye su “regla para
formar las diferencias y para efectuar la suma
deseries dadas”
Colin MaClaurin.Escocés, 1698- Inicia en 1720 hasta 1742, un “TREATISE ON
1746
FLUXIONES”, (Tratadode Fluxiones), con amplia
explicación de máximos y mínimos, ademásde
incluir la regla para encontrar los puntos múltiplos
de las curvas.Expone la fórmula del desarrollo en
serie de las funciones llamadasdespués, Series
de MaClaurin
Abraham de MoivreFrancés, Introduce el estudio de las Series de
1667-1754
RecurrentesA el se debe la regla que lleva su
nombre, para la potenciación de losnúmeros
complejos
George BerkeleyIrlandés, 1685- En 1734, en”THE ANALIST”, (El Análista), critica
1753
los conceptosinfinitesimales de la época
Edmund HalleyInglés, 1656- Amigo y benefactor de Newton, pagó la impresión
1742
de los primeros 250,ó 300 ejemplares de
“PHILOSOPHIAE
NATURALIS
PRINCIPIAMATHEMÁTICA, fue un hábil aplicador
del cálculo infinitesimal
Leonhard Euler Suizo, 1707- Es el primero en organizar y ordenar el Análisis
1783
InfinitesimalConsiderado el más prolífero de todos
los matemáticos.Todos los libros siguen llevando
el orden que implementó Euler Escribió muchos
libros dedicados al análisis matemático
MatemáticosfrancesesSiglo
Alexis
Claude
Clauriaut,
(1713-1765)Jean
XVIII
Baptiste Le Rond D’Lambert, (1717-1783)Joseph
Louis
Lagrange,
(1736-1813),
autor
de
“MECANIQUEANALYTIQUE” obra tratada con
análisis infinitesimal.Simón Laplace, (1749-1827),
su obra “MECANIQUE CELESTE” a laque
también aplica el cálculo diferencial e
integral.Joseph Fourier, ( 1768-1830), establece
la integral con notación deLímites en “LA
THEORIE ANALYTIQUE DE LA CHALEUR”, en
lateoría Analítica del Calor en 1822
El Calculo Infinitesimal está muy avanzado, gracias a las grandes aportaciones
que diferentes pensadores hicieron o han hecho a lo largo de toda la historia,
siendo la época de mayor desarrollo los años del 1650 al 1680.Aún hay mucho
por descubrir, que alguien continuará buscando en la rica mina que representa
una de las más gloriosas y formidables construcciones mentales hechas por el
hombre.
Bibliografía:
Historia de la Matemática, J Rey Pastor y José Babini, Edit. Gedisa, Barcelona,
1986.
http://es.scribd.com/doc/74116498/HIST-DEL-CALCULO-INF-linea-del-tiempo
http://books.google.com.mx/books?id=IG3_b5Xm8PMC&pg=PA141&lpg=PA14
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http://es.wikipedia.org/wiki/Friedrich_Engels