análisis numerico

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA AGRARIA
ANTONIO NARRO
Unidad Laguna
Apuntes: Métodos Numéricos
Autor: MC. Edgardo Cervantes Alvarez
Enero 2015
1
CONTENIDO PROGRAMATICO DE LA MATERIA:
ANÁLISIS NUMERICO
I.-INTRODUCCION
1.1Repaso de Cálculo Diferencial e Integral
1.2 Definición de matrices
1.3 Operaciones con matrices
1.4 Determinante de una matriz
1.5 Sucesiones y series
1.6 Tipos de errores
1.7 Ejercicios
II.-SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES
2.1 Método de solución de Cramer
2.2 Método de Matriz Inversa
2.3 Ejercicios
III.-ECUACIONES ALGEBRAICAS NO LINEALES
3.1 Método de bisección
3.2 Método de Newton-Raphson
3.3 Ejercicios
IV.-DIFERENCIACION E INTEGRACIÓN
4.1 Diferenciación numérica
4.2 Integración numérica:
a) Método trapezoidal
b) Método de Simpson
4.3 Ejercicios
V.-AJUSTE DE MODELOS
5.1 Mínimos Cuadrados
5.2 Interpolación de Lagrange
5.3 Ejercicios
VI.-SISTEMA DE ECUACIONES ALGEBRAICAS NO LINEALES
6.1 Método de Newton
6.2 Ejercicios
2
FORMA DE EVALUACIÓN:
1.-Tareas = 25 %
2.-Participación en clase = 5 %
3.-Consulta complementaria en Internet = 10 %
4.-Exámenes = 60 %
4.-Elaboración y entrega de Programas = 10 %
REQUISITOS PARA APROBAR EL CURSO:
1.-Asistir a clases mínimo el 85%
2.-Su promedio debe ser mayor o igual a 70.
BIBLIOGRAFÍA
1.-“ANALISIS NUMERICO”
Richard L. Burden
J. Douglas Faires
Sexta Edición, 1998
International Thomson Editores
2.- “MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A LA INGENIERIA”
Terrence J. Akai
Primera Edición, 1999
Editorial Limusa
Maestro: MC. Edgardo Cervantes Alvarez
3
y=x4+x3-3x2-3x+1
d
c
a
b
e
g
f
DE ACUERDO CON LA GRAFICA, DETERMINAR:
a)
b)
c)
d)
e)
Determinar los valores de a,b,c,d,e,f, g
Intervalo donde es creciente
Intervalo donde es decreciente
Intervalo donde es cóncava hacia arriba
Intervalo donde es cóncava hacia abajo
4
1.2 Definición de matrices
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas
de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas
parciales. Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física.
MATRICES
Una matriz es una tabla ordenada de escalares ai j de la forma
La matriz anterior se denota también por (ai j ), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o
simplemente por (ai j ).
Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus
columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n,
o matriz m  n.
Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los
elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...
Ejemplo:
donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus
CLASES DE MATRICES
Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:
Matrices cuadradas
Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de
columnas. Se dice que una matriz cuadrada n  n es de orden n y se
denomina matriz n-cuadrada.
Ejemplo: Sean las matrices
Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.
Matriz identidad
Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A
consiste en los elementos a11, a22, ..., ann.
5
La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier
otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad).
Para cualquier matriz A,
A· I = I ·A = A.
Matrices triangulares
Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o
simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal
principal son iguales a cero. Así pues, las matrices
son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.
Matrices diagonales
Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son
cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, ..., dnn ). Por ejemplo,
son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por
diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1).
Traspuesta de una matriz
La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las
columnas y se denota por AT.
Así, la traspuesta de
En otras palabras, si A = (ai j ) es una matriz m  n, entonces AT =
es la
matriz n  m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes
propiedades:
1. (A + B)T = AT + BT.
2. (AT)T = A.
3. (kA)T = kAT (si k es un escalar).
4. (AB)T = BTAT.
Matrices simétricas
Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica,
si AT = -A.
6
Ejemplo:
Consideremos las siguientes matrices:
Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que
AT = A. Siendo así, A es simétrica.
Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es
antisimétrica.
A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni
antisimétrica.
Matrices ortogonales
Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa
que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con
inversa A-1 = AT.
Consideremos una matriz 3  3 arbitraria:
Si A es ortogonal, entonces:
Matrices normales
Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA.
Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente
normal.
Ejemplo:
Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal.
1.3 Operaciones con matrices
Suma y resta de matrices
Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de
filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3  2 y otra de 3  3,
no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como
7
para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar
en las matrices.
Ejemplo:
Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No
necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser
cuadradas.
Ejemplo:
Producto de matrices
Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número
de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará
con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de
columnas de la segunda.
Es decir, si tenemos una matriz 2  3 y la multiplicamos por otra de orden
3  5, la matriz resultante será de orden 2  5.
(2  3)  (3  5) = (2  5)
Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad
conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por
la primera, no podríamos efectuar la operación.
3  5 por 2  3,
puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que
filas la segunda.
8
1.4 DETERMINANTES
A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular
denominado determinante de A, denotado por det (A), | A | o
Una tabla ordenada n  n de escalares situada entre dos líneas verticales,
llamada determinante de orden n, no es una matriz.
La función determinante apareció por primera vez en el estudio de los
sistemas de ecuaciones lineales. Veremos que es una herramienta
indispensable en el estudio y obtención de éstas.
DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS
Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue:
= a11
Así, el determinante de una matriz 1  1 A = (a11) es el propio escalar a11,
es decir, det (A) = |a11| = a11.
Ejemplos:
a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos
det (24) = 24, det(-3) = -3, det (3x+5) = 3x+5.
b)
DETERMINANTES DE ORDEN TRES
Consideremos una matriz 3  3 arbitraria A = (ai j ). El determinante de A se
define como sigue:
a12a21a33 - a32a23a11
Obsérvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de
la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su
signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).
Para calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puede
ayudar a resolverlos:
9
Ejemplo:
Calcular el valor del determinante:
= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63
El determinante de la matriz 3  3 A = (ai j ) puede reescribirse como:
det (A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 a22a31) =
que es una combinación lineal de tres determinantes de orden dos, cuyos
coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz
dada. Esta combinación lineal puede indicarse de la forma siguiente:
Nótese que cada matriz 2  2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la
fila y la columna que contienen su coeficiente.
10
1.5 Sucesiones y Series
n
n
1.-  i  1  2  3  4...n  (n  1)
2
i 1
n
2.-
i  1  2  3  4 ... n
2
2
2
2
2
2

i 1
n
(n  1)(2n  1)
6
2
n
3.- i  1  2  3 ... n  n (n1)
4
3
3
3
3
2
3
i 1
00
i
2
3
4
5
4.- e =  x  1  x  x  x  x  x ...
i!
2! 3! 4! 5!
x
i 0
2i 1
00
5.-
3
5
7
3
5
7
9
x -1
Ln( x)  2 *  2zi  1  2 *(z  z3  z5  z7  z9 ..., donde z = x +1
i 0
00
2i 1
9
11
x  x  x  x . x ..., donde x en radianes
6.-Sen(x)=  (1) x
 x
(2i  1)!
3! 5! 7! 9! 11!
i
i 0
00
2i
2
4
6
8
10
7.-Cos(x)=  (1) x  1  x  x  x  x . x ..., donde x en radianes
(2i )!
2! 4! 6! 8! 10!
i
i 0
11
2.5 METODO DE DESCOMPOSICIÓN L-U
GUIA PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES POR
METODO DE DESCOMPOSICIÓN – LU :
SEA EL SISTEMA (1)
AX=B
PASO 1.Factorizar
A=LU
PASO 2.-
Se sustituye A = L U
, en la ecuación (1) y nos queda:
(2)
LUX=B
PASO 3.Sea
U X = Y ; se sustituye en la ecuación (2) y nos queda:
LY=B
;
se resuelve para “Y” utilizando el
método de Gauss
PASO 4.Con los valores obtenidos de “Y” en el paso anterior se resuelve
la ecuación U X = Y , para “X” por método de Gauss.
Estos valores de “X” son la solución al sistema original
AX=B
12
III.-ECUACIONES ALGEBRAICAS NO LINEALES
Muchos fenómenos de ingeniería son descritos por ecuaciones algebraicas no
lineales; es por esto que se hace importante determinar las raíces de estas ecuaciones. Los
métodos numéricos se usan para resolver ecuaciones algebraicas no lineales cuando las
ecuaciones son intratables con técnicas matemáticas normales. Todos estos métodos
numéricos son iterativos, y se pueden usar para ecuaciones que contienen una o muchas
variables.
Uno de los problemas básicos de la aproximación numérica, es el de la búsqueda de
raíces. Consiste en obtener una raíz x de una ecuación de la forma f(x) = 0 para una función
dada “f” (Al número x se le llama también cero de “f”). Este es uno de los problemas de
aproximación más antiguos, y sin embargo la investigación correspondiente todavía
continúa. El problema de encontrar una aproximación a la raíz de una ecuación se remonta
por lo menos al año 1700 a.C. Una tabla cuneiforme que pertenece a la Yale Babylonian
Collection, y que data de este período, da la aproximación de 2 .
3.1 Método de bisección
Este se clasifica como un método de acotamiento. Es aplicable a ecuaciones de la
forma: f(x) = 0 cuando es posible encontrar dos valores limitantes a1 y b1 tales que la
función f(x) cambia de signo una vez para valores de x en el intervalo [a1, b1]. Por
consiguiente, los valores limitantes acotan la raíz.
El método de bisección también se denomina método de bipartición del intervalo
porque la estrategia de bisectar o separar a la mitad del intervalo de a1 a b1 y luego retener
el semiintervalo cuyos extremos siguen acotando la raíz.
El tamaño del intervalo que contiene a la raíz se puede reducir a un valor
arbitrariamente pequeño aplicando iteradamente el proceso de bisección. El proceso
termina cuando el intervalo se hace menor o igual que algún valor prescrito.
13
a1
b1
OBJETIVO: Encontrar “p” tal que f(p) = 0
REQUISITOS: 1.- “f” sea continua en el intervalo [a1, b1]
2.- f(a1) . f(b1) < 0
PROCEDIMIENTO:
Sea p1 = ½(a1+b1) , si f(p1) = 0
entonces p = p1 es la solución.
Puede suceder que f(p1) tenga el mismo signo que f(a1) o
f(p1) tenga el mismo signo que f(b1).
Caso 1
Si f(p1) y f(a1) tienen el mismo signo, entonces p está en [p1, b1] y tomamos
a2 = p1 y b2 = b1 , así la raíz “p” estará en el intervalo [a2, b2]
Caso 2
Si f(p1) y f(a1) tienen signos opuestos, entonces p está en [a1, p1] y tomamos
a2 = a1 y b2 = p1 , así la raíz “p” estará en el intervalo [a2, b2]
Se vuelve aplicar el proceso al intervalo [a2, b2], hasta que f(p1) = 0
14
INICIO
a1, b1
E, N
f(x)
No
FIN
encontró
I=1
solución
I >N
I=I+1
FA1=f (a1)
p1= ½(a1+b1)
FP1=f (p1)
F
FP1 < E y b1-a1 < E
V
p = p1
p
FA1. FP1 < 0
F
a1 = p1
V
b1 = p1
FIN
DIAGRAMA DE FLUJO PARA ENCONTRAR “RAICES” POR METODO DE
BISECCION
15
DIAGRAMA DE FLUJO PARA ENCONTRAR “RAICES” POR
METODO DE NEWTON – RAPHSON
INICIO
p0, E, N
f(x), f ’(x)
No encontró
FIN
solución
I=1
I >N
I=I+1
FP0 = f(p0)
DFP0 = f ’(p0)
p1 = p0 – FP0 / DFP0
FP1 = f(p1)
FP1 < E y p1-p0 < E
p1
p0 = p1
FIN
16
DIAGRAMA DE FLUJO PARA ENCONTRAR “RAICES” POR
METODO DE LA SECANTE
INICIO
p0, p1, E, N
f(x)
No encontró
FIN
solución
I=1
I >N
I=I+1
FP0 = f(p0)
FP1 = f (p1)
p2 = p1 – FP1* (p1-p0) / (FP1-FP0)
FP2 = f(p2)
FP2 < E
p2
p0 = p2
FIN
17
UNIVERSIDAD AUTONOMA agraria
Antonio narro
ANÁLISIS NUMERICO
IV.-DIFERENCIACION E INTEGRACIÓN
4.1 Diferenciación numérica
La diferenciación y la integración son los dos procesos fundamentales del
Cálculo. En general, uno o ambos procesos se encuentran en aplicaciones en las que los
modelos están descritos en términos de razones de cambio. En principio, siempre es posible
determinar una forma analítica de una derivada para una función dada. Sin embargo, en
algunos casos la forma analítica es demasiado compleja, y para el objetivo buscado puede
ser suficiente una aproximación numérica de la derivada. Para funciones descritas sólo en
términos de datos tabulados, la diferenciación numérica es el único medio para calcular una
derivada.
La integración numérica se usa para integrar funciones tabuladas o funciones
cuyas integrales son imposibles o muy difíciles de obtener analíticamente.
lim f(x0+h) – f(x0)
La derivada de la función “f” en x0 es : f ’(x0) = h---0
h
Los métodos que se van a utilizar para encontrar aproximaciones de diferenciación
numérica son tres:
1.- Fórmula de diferencia.
2.- Fórmula de tres puntos.
3.- Fórmula de cinco puntos.
Para la deducción de las fórmulas en cada método utilizado, se aplicó Series de
Taylor y polinomios de Lagrange.
1.- Fórmula de diferencia
f ’(x0) = f(x0+h) – f(x0)
h
2.- Fórmula de tres puntos
f ’(x0) = (1/2)(1/ h) [-3 f (x0) + 4 f(x0+h) -f(x0+ 2h)]
3.- Fórmula de cinco puntos
f ’(x0) = (1/12) (1/ h) [-25 f (x0) + 48 f(x0+h) –36 f(x0+ 2h) +16 f(x0+3h)-3 f(x0+4h)]
18
AREA POR METODO RECTANGULAR
30
0
x0
x1
x2
x3
xn-1
xn
19
b) AREA POR METODO TRAPEZOIDAL
30
0
x0
x1
x2
x3
xn-1
xn
20
DIAGRAMA DE FLUJO PARA ENCONTRAR EL AREA POR “METODO
TRAPEZOIDAL”
INICIO
X0, XN, N
f(x)
H = ( XN-X0 ) / N
FX0 = f (X0)
FXN = f (XN)
SUMA = 0
SUMA = SUMA + (1/2)* (FX0+FXN)
I=1
AREA = H * SUMA
I >N-1
AREA
I=I+1
XI = X0 + I*H
FIN
SUMA = SUMA + f(XI)
21
EJEMPLO METODO TRAPEZOIDAL
N
6
f(XI)
f(X)=Raiz(X)
SUMA
PARCIAL
ACUMULADA
SUMA=SUMA+f(XI)
H
1
FX0
0
SUMA
AREA
1
2.414213562
4.14626437
6.14626437
8.382332347
9.607077219
9.607077
N
12
f(X)=Raiz(X)
H
0.5
FX0
0
SUMA
AREA
SUMA
PARCIAL
ACUMULADA
SUMA=SUMA+f(XI)
0.707107
1
1.224745
1.414214
1.581139
1.732051
1.870829
2
2.12132
2.236068
2.345208
0.707106781
1.707106781
2.931851653
4.346065215
5.927204045
7.659254853
9.530083546
11.53008355
13.65140389
15.88747187
18.23267975
SUMA
0
FXN
2.4495
SUMA
0
SUMA=SUMA+(1/2)*(FX0+FXN) AREA=H*SUMA
1
1.414214
1.732051
2
2.236068
f(XI)
FXN
2.4495
SUMA=SUMA+(1/2)*(FX0+FXN) AREA=H*SUMA
19.45742462
9.728712
22
c) DIAGRAMA DE FLUJO PARA ENCONTRAR EL AREA POR “METODO
SIMPSON”
INICIO
X0, XN, N
f(x)
H = ( XN-X0 ) / N
FX0 = f (X0)
FXN = f (XN)
SUMA1 = 0
SUMA2 = 0
SUMA = (2/3)*SUMA1 + (4/3)*SUMA2 + (1/3)* (FX0+FXN)
I=1
AREA = H * SUMA
I=1
I > N/2
I >(N/2)-1
AREA
I = I+1
I=I+1
FIN
XI = X0 +(2* I -1)*H
XI = X0 +2* I*H
SUMA2 = SUMA2 + f(XI)
SUMA1 = SUMA1 + f(XI)
23
FORMULA POR METODO DE SIMPSON:
b

a

n
( 1)
2

h
2
4 n/2
f ( x)dx  f ( x0 )  f ( x N )  h  f ( x2i )  h f ( x2i 1 )
3
3 i 1
3 i 1
EJEMPLO METODO DE SIMPSON
N
6
f(XI)
SUMA1
H
1
FX0
0
FXN
2.44949
XI
f(XI)
SUMA2
XI = X0+(2*I1)*H
1.4142
2
3.414213562
1
3
5
SUMA
AREA
(2/3)*SUMA1+(4/3)*SUMA2+(1/3)*(FX0+FXN)
H*SUMA
9.716797336
9.716797
N
12
f(XI)
SUMA1
1
1.732051
2.236068 4.968119
H
0.5
FX0
0
FXN
2.44949
XI
f(XI)
SUMA2
XI = X0+(2*I1)*H
1
1.4142
1.7321
2
2.2361
8.382332347
0.5
1.5
2.5
3.5
4.5
5.5
SUMA
AREA
(2/3)*SUMA1+(4/3)*SUMA2+(1/3)*(FX0+FXN)
H*SUMA
19.53851468
9.769257
0.707107
1.224745
1.581139
1.870829
2.12132
2.345208 9.850347
24
V.-AJUSTE DE MODELOS
5.1 MÍNIMOS CUADRADOS
El método de “Mínimos Cuadrados” consiste en determinar la mejor línea de
aproximación, que minimize la suma de los errores al cuadrado, esto es, la línea que menos
error tenga (que la diferencia entre los puntos y la línea recta sea lo menos posible).
Para encontrar los parámetros: a, b de la línea recta y=ax+b, se utiliza el Cálculo
Diferencial, obteniendo las siguientes fórmulas:
a
n xi yi   xi  yi
n xi2  (  xi ) 2
x y x y x
b
n x  (  x )
2
i
x(meses) y(miles dolares)
2
2.4
3
6
7
11
12
3.7
7.6
8
14.2
15
i
2
i
i
i
i
2
i
a=
b=
R2=
y-estimada
1.27826962 2.30503018
-0.25150905 3.5832998
0.99484826 7.41810865
8.69637827
13.8094567
15.0877264
ESTIMACION LINEAL
16
y = 1.2783x - 0.2515
R2 = 0.9948
MILES DE DOLARES
14
12
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
MESES DE TRABAJO
COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN:
r 
2
(  xi yi 
x y )
i
i
2
n
(  xi ) 2
(  yi2 ) 2
2
( x 
)(  yi 
)
n
n
2
i
25
5.2 METODO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
n
f ( x )   f ( xk ) Lk ( x )
k 0
f ( x)  f ( x0) Lo( x)  f ( x1) L1( x)  f ( x2) L2( x)  f ( x3) L3( x) ... f ( xn) Ln( x)
n x  xj
donde: Lk ( x )  
xk  xj
j 0
donde j  k
Lo( x ) 
( x  x1)( x  x 2)( x  x 3)...( x  xn)
( xo  x1)( xo  x 2)( xo  x 3)...( xo  xn)
L1( x ) 
( x  xo)( x  x 2)( x  x 3)...( x  xn)
( x1 xo)( x1 x 2)( x1 x 3)...( x1 xn)
L 2( x ) 
( x  xo)( x  x1)( x  x 3)...( x  xn)
( x 2  xo)( x 2  x1)( x 2  x 3)...( x 2  xn)
L 3( x ) 
( x  xo)( x  x1)( x  x 2)...( x  xn)
( x 3 xo)( x 3 x1)( x 3 x 2)...( x 3 xn)
.
.
.
Ln( x ) 
.
.
.
( x  xo)( x  x1)( x  x 2)...( x  xn  1)
( xn  xo)( xn  x1)( xn  x 2)...( xn  xn  1)
26
5.3 METODO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON
n
Pn( x )  f ( x 0)   Ck ( x  x 0)( x  x1)( x  x 2)...( x  xk  1)
k 1
n f ( xk )
Cn  
k  0 Ak ( xk )
n
Ak ( xk )   ( xk  xj ) ; j  k
Donde :
j 0
EJEMPLO: CALCULAR EL MODELO QUE PASA POR LOS PUNTOS: (x0,f(x0) = (0,0) ;
(x1,f(x1) = (1,1) ; (x2,f(x2) = (4,2) ; (x3,f(x3) = (9,3)
COMO SON CUATRO PUNTOS ENTONCES SE OBTENDRA LA FUNCION: P3(x)
P 3( x )  f ( x 0)  C1 * ( x  x 0)  C 2 * ( x  x 0)( x  x1)  C 3 * ( x  x 0)( x  x1)( x  x 2)
1
C1   Ak ( xk ) 
f ( xk )
k 0
f ( x 0)
A 0( x 0)

f ( x1)
A1( x1)

f ( x 0)
( x 0 x1)
 ( x1 x 0)

f ( x 1)
A1( x 1)

f ( x 2)
A2( x 2 )

f ( x1)
2
C 2   Ak ( xk ) 
f ( x 0)
A 0( x 0)
C2 
 ( x1 x 0)( x1 x 2 )  ( x 2  x 0)( x 2  x1)
f ( xk )
k 0
f ( x 0)
( x 0 x 1)( x 0 x 2 )
f ( x 1)
f ( x 2)
3
C 3   Ak ( xk ) 
f ( xk )
k 0
C3 
f ( x 0)
A 0( x 0)
f ( x 0)
( x 0 x 1)( x 0 x 2 )( x 0 x 3)

f ( x 1)
A1( x 1)

f ( x 2)
A2 ( x 2 )

f ( x 3)
A 3 ( x 3)

 ( x1 x 0)( x1 x 2 )( x1 x 3)  ( x 2  x 0)( x 2  x1)( x 2  x 3)  ( x 3 x 0)( x 3 x1)( x 3 x 2 )
f ( x 1)
f ( x2)
f ( x 3)
27
5.4 METODO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON IGUALMENTE SEPARADOS
n
Pn( x )  f ( x 0)   Ck ( x  x 0)( x  x1)( x  x 2)...( x  xk  1)
k 1
1
Donde: Cn 
n!h n
 (1)   f ( x )
n
k 0
n k
n
k
k
1
C1  [  f ( x 0)  f ( x1)]
h
1
C2 
[ f ( x 0)  2 f ( x1)  f ( x 2)]
2 * h2
1
C3 
[  f ( x 0)  3 f ( x1)  3 f ( x 2)  f ( x 3)]
6 * h3
1
C4 
[ f ( x 0)  4 f ( x1)  6 f ( x 2)  4 f ( x 3)  f ( x 4)]
24 * h 4
1
C5 
[  f ( x 0)  5 f ( x1)  10 f ( x 2)  10 f ( x 3)  5 f ( x 4)  f ( x5)]
120 * h 5
1
C6 
[ f ( x 0)  6 f ( x1)  15 f ( x 2)  20 f ( x 3)  15 f ( x 4)  6 f ( x5)  f ( x 6)]
720 * h 6
1
C7 
[  f ( x 0)  7 f ( x1)  21 f ( x 2)  35 f ( x 3)  35 f ( x 4)  21 f ( x5)  7 f ( x 6)  f ( x 7)]
5040 * h 7
EJEMPLO: CALCULAR EL MODELO QUE PASA POR LOS PUNTOS: (x0,f(x0) = (0,0) ;
(x1,f(x1) = (1,1) ; (x2,f(x2) = (2,4) ; (x3,f(x3) = (3,9)
COMO SON CUATRO PUNTOS ENTONCES SE OBTENDRA LA FUNCION: P3(x)
P 3( x )  f ( x 0)  C1 * ( x  x 0)  C 2 * ( x  x 0)( x  x1)  C 3 * ( x  x 0)( x  x1)( x  x 2)
28