CAPITULO 3

CAPITULO 3
LA LINEA RECTA
3.1 Definición
Analíticamente, una línea recta es una ecuación lineal o de primer grado en las variables X y Y,
la cual es satisfecha únicamente por las coordenadas de cada punto de la recta y por ningún otro punto
fuera de ella.
3.2 Formas de la ecuación de la recta
La ecuación de una línea recta queda perfectamente determinada cuando se proporcionan dos
datos completamente independientes. Dependiendo de los datos que se proporcionen, la ecuación de
una recta se puede expresar de las siguientes formas :
a) Ecuación Punto-Pendiente.
Ahora deduciremos la ecuación de la recta que pasa por un punto dado P1 (x1,y1) y cuya pendiente
sea m. Si representamos un punto cualquiera sobre la recta por P( x , y), entonces ( y - y1 ) / ( x - x1 ) es
la pendiente de la recta que pasa por P1 y P, la cual es m. Por lo tanto :
Ejemplo1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P1(4,-3) y tiene pendiente
m = - 2 / 3.
Solución: Para trazar la gráfica de esta recta, localizamos el punto dado P1 (4,-3). En
seguida, utilizamos la pendiente para obtener un segundo punto Q tomando tres
unidades a la izquierda de P1 y dos unidades hacia arriba de éste (ver la figura 3.1).
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 51
CAPITULO 3
LA LINEA RECTA
Figura 3.1
Para hallar la ecuación de la recta, aplicamos la ecuación (3.1):
2
y  ( 3 )   ( x  4 )
3
2
y  3   ( x  4)
3
3 y  9  2 x  8
3y  2 x  9  8  0
3y  2 x  1  0
Podemos comprobar esta ecuación dibujando su gráfica a partir de una tabla de
valores, demostrando, en consecuencia, que cumple con las condiciones iniciales.
b) Ecuación Pendiente- Ordenada al origen.
Para deducir la ecuación pendiente-ordenada al origen, supongamos que la recta corta al
eje Y en el punto P1( 0 , b ) y dado que, la pendiente m es conocida, aplicamos la
ecuación (3.1).
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 52
CAPITULO 3
LA LINEA RECTA
esta es la ecuación de la recta, dada su pendiente m y su ordenada al origen b.
Ejemplo 2. Hallar la pendiente y la intersección con el eje Y de la recta cuya ecuación
es 3x - 4y + 12 = 0. Dibujar la gráfica.
Solución: La ecuación dada esta en forma general, debemos escribirla en la forma (3.2)
pendiente-ordenada al origen. Despejamos a y de esta ecuación:
4 y  12  3x
3
y  x3
4
de donde obtenemos directamente el valor de la pendiente m y la ordenada al origen b.
Pendiente : m = 3 / 4 , Intersección con el eje Y : b = 3
Ahora es fácil dibujar la recta. Para esto, localizamos la intersección con el eje Y , que es
B(0,3). Para hallar un segundo punto P, nos desplazamos hacia la izquierda 4 unidades y
hacia abajo 3 unidades ( por m = 3/4 )
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 53
CAPITULO 3
LA LINEA RECTA
c) Ecuación Punto-Punto. Deduciremos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos
dados P1(x1,y1) y P2(x2,y2). Si representamos a un punto cualquiera sobre la recta por
P(x,y) , entonces (y-y1) / (x-x1) y (y2-y1) / (x2-x1) son dos expresiones de la misma
pendiente. Por lo tanto:
que, es la ecuación de la recta que pasa por dos puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2). Esta
ecuación no puede usarse si las abscisas de los dos puntos fijos son iguales, esto es, si la
recta es vertical, ya que en este caso x2-x1 = 0 y no podemos dividir entre cero en la
ecuación (3.3). Sin embargo, en este caso los dos puntos están a una distancia x1 del eje
y, y la ecuación de la recta es x = x1.
Ejemplo 3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-2,1) y B(4,3) .
Solución: Aplicando la ecuación (3.3), tenemos que:
31
( x  2)
42
2
1
y 1 ( x  2) ó y 1 ( x  2)
6
3
3y  3  x  2  x  3y  5  0
y 1
Para hacer la gráfica, sólo unimos los dos puntos dados:
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 54
CAPITULO 3
LA LINEA RECTA
d) Ecuación simétrica o abscisa y ordenada en el origen. Deduciremos la ecuación de
la recta que corta a los ejes coordenados x e y en los puntos (a,0) y (0,b)
respectivamente, siendo a la abscisa al origen y b la ordenada al origen. Utilizando la
ecuación (3.1) ecuación punto-punto, obtenemos:
Si la recta no intersecta a uno de los ejes, esta forma no puede usarse, aunque
entonces la recta es paralela a uno de los ejes coordenados, y su ecuación es x=a ó y=b .
Además, si la recta pasa por el origen, ambas intersecciones son cero y tampoco
podemos usar la ecuación (3.4).
Ejemplo 4. Expresar la ecuación 2x + 3y - 6 = 0 en su forma simétrica.
Solución: Debemos reducir la ecuación dada a la forma (3.4). Para esto, pasamos el
término independiente al otro lado de la ecuación, para obtener: 2x + 3y = 6
Dividimos ambos lados de la ecuación entre 6
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 55
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LA LINEA RECTA
2 x 3y 6
x y


ó
 1
6
6 6
3 2
De manera inmediata, obtenemos que las intersecciones con el eje X y eje Y son
respectivamente: a = 3 y b = 2. La gráfica se obtiene uniendo los puntos A(3,0) y B(0,2)
e) Ecuación general
La forma más general de la ecuación de primer grado en las variables x y y es:
Ax + By + C = 0
(3.5)
donde A, B y C son constantes arbitrarias, incluyendo al cero, con la condición de que A
y B no pueden ser iguales a cero simultáneamente.
La ecuación de una recta se puede expresar en alguna de las formas anteriormente
expuestas y cada una de ellas tiene sus ventajas específicas. Pero cuando la ecuación se
expresa como en (3.5), se dice dice que está en forma general. Asi tenemos que:
Toda ecuación de primer grado en las variables x y y es la ecuación de una recta (e
inversamente).
Dada la ecuación general Ax + By + C = 0, podemos hacer las siguientes observaciones:
a) Si C = 0, la recta pasa por el origen
b) Si B = 0, la recta es vertical y su intersección con el eje X es a= - C / A; si B 0, la
recta tiene pendiente m = - A / B y la intersección con el eje Y es b = - C / B .
c) Si A = 0, la recta es horizontal.
Ejemplo 5. Describir las siguientes rectas: a) 3x + 2y = 0 ; b) 3x - 9 = 0 ; c) 2y = 4 ; d)
3x + 2y - 6 = 0
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 56
CAPITULO 3
LA LINEA RECTA
Solución:
a) Dado que C = 0, la recta pasa por el origen y como B 0, entonces m = -3 / 2.
b) Dado que B = 0, la recta es vertical y corta al eje X en x = 3.
c) Dado que A = 0, la recta es horizontal y corta al eje Y en y = 2.
d) Dado que A, B y C son distintas de cero, la recta tiene pendiente m = - 3 / 2 y la
intersección con los ejes X y Y respectivamente son: a = - C / A = 2 y b = - C / B = 3.
f) Ecuación normal
También se puede hallar la ecuación de una recta a partir de información
trigonométrica. La ecuación de una recta está determinada por dos cantidades:
1) La distancia perpendicular desde el origen hasta la recta: p
2) El ángulo que forma esta perpendicular con la parte positiva del eje X: 
La ecuación de una recta expresada en función de estas cantidades se llama forma
normal de la ecuación de la recta. A la perpendicular trazada desde el origen hasta la
recta se le llama frecuentemente radio vector.
Figura 3.1
Sea AB una recta cualquiera. Si p es la longitud de la perpendicular trazada desde
el origen hasta la recta AB y  el ángulo que OP forma con la parte positiva del eje X
(figura 3.1). Si consideramos el sentido desde O hasta P como positivo, entonces las
coordenadas del punto P que se encuentra sobre la recta AB son:
x1  p cos w
y1  p sen w
Si  representa la inclinación de AB, entonces su pendiente es m = tan = - cot  , ya
que  = 90º + . Aplicando la ecuación punto-pendiente a la recta AB tenemos
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 57
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LA LINEA RECTA
y  y1  m( x  x1 )
y  p sen    cot  ( x  p cos  )
cos 
( x  p cos  )
sen 
y sen   p sen 2    x cos   p cos 2 
y  p sen   
x cos   y sen   p sen 2   p cos 2   0
x cos   y sen   p(sen 2   cos 2  )  0 

pero sen2  + cos2  = 1, la ecuación anterior se reduce a :
x cos  + y sen  - p = 0
(3.6)
que es la forma normal de la ecuación de una recta.
3.3 Reducción de la forma general a la forma normal
Para que la forma general de la ecuación de una recta Ax + By + C = 0 y la forma
normal de la ecuación de la misma, x cos  + y sen  - p = 0 sean equivalentes, los
coeficientes de ambas formas deben ser proporcionales, esto es:
cos  = kA
sen  = kB
-p=kC
(1)
(2)
(3)
Elevando al cuadrado las ecuaciones (1) y (2) y sumando:
cos 2  + sen 2  = k 2 (A2 + B2)
Pero: cos 2  + sen 2  = 1, entonces:
k 2 (A2 + B2) = 1
Despejando a k:
k
1
2
 A B
2
Substituyendo en las ecuaciones 1), 2) y 3), obtenemos:
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 58
CAPITULO 3
LA LINEA RECTA
A
cos  =
2
 A B
B
sen  =
p
2
2
 A B
2
C
2
 A B
2
Por lo tanto, la forma normal x cos  + y sen  - p = 0 se puede expresar como:
Ax
2
 A B

2
By
2
 A B
2

C
2
 A B
2
0
o equivalentemente:
Ax  By  C
2
 A B
2
0
(3.7)
que es la fórmula de conversión de la forma general a la forma normal.
En donde el signo que precede al radical se elige de acuerdo a la siguiente regla:
a) Contrario al signo de C, si C  0
b) El mismo signo de B, si C = 0 y B  0.
c) El mismo signo de A, si C = B = 0.
Ejemplo 5. Cambiar la siguiente ecuación a su forma normal: 12x + 5y - 26 = 0
Solución: Dado que A = 12 , B = 5 y aplicando la fórmula de conversión (3.7) tenemos:
A 2  B 2  12 2  52  169  13
12 x  5 y  26
0
13
12
5
26
x y
0
13
13
13
12
5
x y2 0
13
13
en donde: cos  = 12 / 13 , sen  = 5 / 13 y p = 2. Con estos datos podemos hallar el
ángulo de inclinación y la longitud del radio vector :  = 22º 37' 11" y p = 2. La gráfica
de la recta es perpendicular al radio vector.
3.4 Distancia de un punto a una recta
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 59
CAPITULO 3
LA LINEA RECTA
Una de las aplicaciones más importantes de la ecuación de la recta en su forma
normal, es hallar la distancia perpendicular desde un punto hasta una recta. Para
determinar la fórmula, supongamos que L representa cualquier recta del plano, de
manera que su ecuación es: x cos  + y sen  - p = 0
Figura 3.2
Sea P1 (x1,y1) un punto cualquiera, tal como se indica en la figura (3.2). En
seguida, trazamos la recta L1 a través de P1 y paralela a L, de manera que la ecuación
de L1 sea:
x cos  + y sen  -p1 = 0
donde OQ = p1 . Ahora, dado que P1 (x1,y1) está sobre L1 , debe satisfacer la ecuación de
L1 , entonces se puede escribir :
x1 cos  + y1 sen  - p1 = 0
De la figura observamos que: p1 = p + d , y sustituyendo este valor en la ecuación
anterior:
x1 cos  + y1 sen  - p - d = 0
Despejando d, encontramos la fórmula de la distancia de un punto a una recta en forma
normal.
d = x1 cos  + y1 sen  - p
(3.8)
Aplicando la fórmula de conversión (3.7), podemos hallar la distancia desde un punto P1
(x1, y1) a una recta Ax + By + C = 0, cuando la ecuación está en forma general :
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 60
CAPITULO 3
LA LINEA RECTA
d
Ax1  By1  C
(3.9)
 A2  B 2
en ambas ecuaciones (x1,y1) son las coordenadas del punto cuya distancia a la recta
deseamos determinar.
Si la recta no pasa por el origen , entonces, el sentido (o signo) de la distancia de un
punto a una recta es:
- Positivo, si el punto y el origen, están ubicados en lados opuestos respecto a la recta.
- Negativo, si el punto y el origen, están ubicados del mismo lado respecto a la recta.
Si la recta pasa por el origen, entonces, el sentido de la distancia de un punto a una recta
es:
- Positivo, si el punto está ubicado por arriba de la recta
- Negativo, si el punto está ubicado por debajo de la recta
La distancia de un punto a una recta será igual a cero, si el punto se encuentra sobre la
recta.
Ejemplo 6. Hallar las distancias desde los puntos (1, 4) y ( -2, 3) hasta la recta 4x + 3y 9 = 0 y dar la posición de los puntos respecto a la recta.
Solución: Aplicando la ecuación (3.9) al punto (1,4), hallamos
d
4( 1 )  3( 4 )  9
4 2  32

4  12  9 7
  12
.
5
25
Es decir el punto (1,4), se encuentra a 1.2 unidades de distancia de la recta 4x + 3y - 9 =
0 . El punto y el origen, están ubicados a lados opuestos respecto a la recta, ver figura
(3.3).
De la misma forma para el punto (-2,3), hallamos
d
4( 2 )  3( 3 )  9
4 3
2
2

8  9  9
8
   16
.
5
25
Es decir, el punto (-2,3) se encuentra a 1.6 unidades de distancia de la recta 4x + 3y -9 =
0 . El punto y el origen, están ubicados al mismo lado respecto a la recta, ver figura
(3.3).
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 61
CAPITULO 3
LA LINEA RECTA
Figura 3.3
3.5. Distancia entre dos rectas paralelas
Deseamos hallar una expresión para encontrar la distancia entre dos rectas paralelas.
Supongamos que las ecuaciones de dichas rectas son :
L1: Ax + By + C1 = 0
y L2: Ax + By + C2 = 0
Si expresamos ambas ecuaciones en forma normal, tenemos:
L1:
L2:
Ax
2
 A B
2
Ax
2
 A B
2


By
2
 A B
2
By
2
 A B
2


C1
2
 A B
2
C2
2
 A B
2
en donde, el tercer término de cada una de las expresiones, representa la distancia p
desde el origen a cada recta. Entonces, la distancia d entre ambas rectas, es la diferencia
entre estos términos. Por lo tanto:
d
C2  C1
2
A B
2
(3.10)
3.6. Ecuación de la bisectríz de un ángulo
Ahora, deduciremos la ecuación de la bisectríz de un ángulo, aplicando el concepto de
distancia de un punto a una recta. Para esto, supongamos que las ecuaciones de las dos
rectas L1 y L2 que se cortan, son respectivamente:
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 62
CAPITULO 3
LA LINEA RECTA
L1: A1x + B1y + C1 = 0 y L2: A2x + B2y + C2 = 0
Sea P1(x1,y1) un punto que pertenezca a la bisectríz B cuya ecuación deseamos
hallar, tal que d1 y d2 sean las distancias desde ese punto hasta las rectas L1 y L2
respectivamente, ver la figura (3.4).
Figura 3.4
Para que la recta B, sea la bisectríz de L1 y L2, se debe cumplir que d1 = ± d2,
entonces, al aplicar la ecuación (3.9), tenemos:
d1 
d2 
A1x  B1y  C1
 A12  B12
A2 x  B2 y  C 2
 A2 2  B2 2
que al substituir en d1 = ± d2 , hallamos finalmente:
A1x  B1y  C1
 A12  B12

A2 x  B2 y  C 2
 A2 2  B2 2
(3.11)
La ecuación (3.11) nos proporciona las ecuaciones de las dos bisectrices. Para
hallar la ecuación de una bisectríz particular en un problema, determinamos los signos
de las distancias, dibujando la bisectríz buscada o calculando ambas bisectrices y
seleccionamos la que buscamos comparando pendientes o intersecciones.
Ejemplo 7. Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo, formado por las rectas:
L1: x - 4y + 4 = 0 y L2: 4x - y - 8 = 0.
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 63
CAPITULO 3
LA LINEA RECTA
Solución : Graficando ambas rectas:
Figura 3.5
Supóngase que P(x,y) es un punto cualquiera sobre la bisectriz B del ángulo
agudo, formada por L1 y L2, entonces, al convertir ambas ecuaciones a su forma normal
y al observar en la gráfica (ver figura 3.5) que ambas distancias d1 y d2 son positivas,
tenemos:
d1  d 2
x  4y  4
4x  y  8

 12  ( 4 )2
4 2  ( 1 ) 2
x  4 y  4 4x  y  8

 17
17
x  4 y  4  ( 4 x  y  8 )
x  4 y  4  4 x  y  8
5x  5 y  4  0
Es decir, la bisectríz B tiene por ecuación: 5x - 5 y - 4 = 0, la cual, tiene una pendiente m
= 1 y sus intersecciones con los ejes X y Y son respectivamente: a = - C / A= 4 / 5 y b=
-C/B=-4/5
Recordemos que, los signos del radical se eligieron de acuerdo a la regla vista en la
sección 3.2.
3.7. Familia de rectas. Hemos visto que, una recta y su ecuación quedan
completamente detrminadas por dos condiciones independientes. En consecuencia, una
recta que satisface sólo una condición, no es una recta única; existe una infinidad de
rectas que la satisfacen, teniendo todas ellas, la propiedad común asociada a dicha
condición.
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 64
CAPITULO 3
LA LINEA RECTA
La totalidad de las rectas que satisfacen una única condición geométrica se llama
familia o haz de rectas.
Ejemplo 8. Si en la ecuación y = x + k , asignamos a k diferentes valores, obtendremos
una familia de rectas paralelas con pendiente m = 1 .
Si
k = -2
k = -1
k=0
k=1
k=2
Tenemos
y=x-2
y=x-1
y=x
y = x+1
y = x+2
sus gráficas son:
Figura 3.6
Ejemplo 9. En la ecuación y - 4 = k (x-2) , asignemos a k diferentes valores:
Si
k = -2
k = -1
k=0
k=1
k=2
cuyas gráficas son:
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 65
Tenemos
y = -2x + 8
y = -x + 6
y=4
y = x+2
y = 2x
CAPITULO 3
LA LINEA RECTA
Figura 3.7
La ecuación representa a una familia de rectas que se intersectan en el punto (4,2).
Ejemplo 10. Hallar la ecuación de la familia de rectas cuya intersección sea el punto
(5,2).
Solución: Dado que las rectas deben de intersectarse en el punto (5,2), sus pendientes
pueden tomar cualquier valor, es decir la pendiente es una constante arbitraria. Entonces
aplicando la ecuación punto pendiente hallamos:
y-2=k(x-5)
despejando a y :
y= k x - 5k +2
Ejemplo 11. Hallar la ecuación de la familia de rectas paralelas a:2x - 5y + 3= 0
Solución: Para que las rectas sean paralelas a la recta dada, sus pendientes deben de ser
iguales a la pendiente de ésta, es decir m = 2 / 5. Por lo tanto, su intersección con el eje
Y debe variar.
2
y  xk
5
El concepto de familia de rectas, resulta de gran utilidad cuando se desea
determinar la ecuación de una recta particular. El procedimiento consiste en dos pasos:
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 66
CAPITULO 3
LA LINEA RECTA
1) Se escribe la ecuación de la familia de rectas, de tal manera que satisfaga una
condición dada.
2) Se determina el valor de la constante arbitraria, aplicando la otra condición dada.
Ejemplo 12. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,3), tal que la suma
algebraica de sus intersecciones con los ejes es igual a 7.
Solución: Utilicemos la forma simétrica de la ecuación de la recta:
x y
 1
a b
dado que la recta pasa por el punto (2,3), este satisface su ecuación:
2 3
 1
a b
al aplicar la otra condición .
a+b=7
resolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones, tenemos:
1 6
 1
a b
a b  2
1)
2)
Para hallar los valores de b, sustituimos a = -1 y a = -2 en la ecuación 2) hallando
respectivamente: b= 3 y b = 4. Por lo tanto, para la primera ecuación sustituimos a = -1
y b =3 en la forma simétrica:
x y
 1
1 3
3x  y  3  0
sustituyendo a = -2 y b =4:
x y
 1
2 4
4x  2 y  8  0
3.8. Rectas que pasan por la intersección de dos rectas
Deseamos encontrar un método para hallar la ecuación de una recta que pasa por la
intersección de dos rectas dadas. Para esto, supóngase que las ecuaciones de dichas
rectas son:
L1: A1x + B1y + C1 = 0 y L2: A2x + B2y + C2 = 0
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 67
CAPITULO 3
LA LINEA RECTA
realizando una combinación lineal con éstas ecuaciones: L1 + KL2 = 0, hallamos:
A1x + B1y + C1 + K ( A2x + B2y + C2 ) = 0
(3.11)
que es una ecuación de primer grado en x e y y, con una constante arbitraria, por lo
tanto, representa a una familia de rectas
Si L1 y L2 se intersectan en el punto (x1,y1), entonces se cumple que L1: A1x1 + By1 + C1
= 0 y L2: A2x2 + B2y2 + C2 = 0 de manera independiente, de la misma manera debe de
satisfacer le ecuación de la familia de rectas L1 + kL2= 0. Por lo tanto, todas las rectas
determinadas por la ecuación (3.11) pasan por el punto de intersección de las rectas L1 =
0 y L2 = 0
La ecuación (3.11) nos permite resolver problemas que tratan de la intersección de
rectas sin necesidad de hallar sus puntos de intersección.
Ejemplo 13. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las
rectas: x + 3y + 6 = 0 y 3x - 4y + 5 = 0 y por el punto (4, 1).
Solución: Aplicamos la ecuación (3.11) de la familia de rectas que pasan por la
intersección de las rectas dadas:
( x + 3y + 6 ) + k ( 3x - 4y + 5 ) = 0
Para hallar la recta que pasa por el punto (4,1) , debemos de encontrar el
correspondiente valor de k, sustituyendo x = 4 y y =1 en la ecuación anterior
( 4  3  6 )  k ( 12  4  5 )  0
13  13k  0
13
k 
13
k  1
este valor de k se sustituye en la ecuación de la familia de rectas para obtener la
ecuación buscada:
( x  3 y  6 )  1( 3x  4 y  5 )  0
2 x  7 y  1  0
Ejemplo 14. Hallar la ecuación de la familia de rectas que pasan por la intersección de
2x-3y-3=0 y x+4y+7=0. Seleccionar el elemento de la familia con m =1.
Solución: De nuevo, aplicamos la ecuación (3.11) : (2x - 3y - 3) + k(x + 4y + 7) = 0
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 68
CAPITULO 3
LA LINEA RECTA
Agrupando términos en x y en y :
(2 + k)x + (-3 + 4k)y + (-3 + 7k) = 0
Por lo tanto, la pendiente ( m = -A / B ) es:
m 
2k
3  4k
Para encontrar el elemento solicitado, sustituimos m = 1:
1 
Despejando k:
2k
3  4k
3  4k  2  k
1
5k  1 k 
5
Sustituyendo éste valor en la ecuación de la familia de rectas, obtenemos:
1
( 2 x  3y  3 )  ( x  4 y  7 )  0
5
10x  15y  15  x  4 y  7  0  11x  11y  8  0
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 69
CAPITULO 3
LA LINEA RECTA
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.- Hallar las ecuaciones en forma general de las rectas que satisfacen las condiciones
siguientes:
a) Pasa por (3,2) , m = - 5
c) Pasa por (0,- 5) , m = 4 /3
e) Pasa por (-2,-1) , m = 3
b) Pasa por (2,-1), m = 2
d) Pasa por (0,-1), m = 0
f) Pasa por (-4 ,-1), m = -3
2.- Hallar las ecuaciones en forma general de las rectas que pasan por los puntos:
a) (-2,-3) y (4,6)
c) (2,-3) y (6,-1)
e) (1,- 5) y (-6,5)
b) (-3,1) y (-5,1)
d) (2,0) y (2,5)
f) (1,2) y(10,2)
3.- Expresar en forma simétrica las siguientes ecuaciones y hallar las intersecciones con
los ejes.
a) 2x + 3y - 18 = 0
c) 3x - 4y - 12 = 0
b) 5x + 4y - 20 = 0
d) 2x + 7y + 14 = 0
4.- Encontrar la ecuación en forma general de la recta que pasa por (-4,-2) y es paralela
al segmento que pasa por (2,5) y (3,6).
5.- Encontrar la ecuación en forma general de la recta que pasa por (-2,5) y es paralela a
4x + 3y - 5=0
6.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1,3) y es perpendicular al segmento que
pasa por (2,5) y (-6,9)
7.- Determinar la ecuación de la recta que pasa por (10,-4) y es perpendicular a 2x-5y +
7=0
8.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento que une (4,3) con (8,5) y es paralelo a 2x - 7y - 4 = 0
9.- Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto que divide al segmento de (3,-4) a (7,1) en la razón 2 a 1 y es perpendicular a ese segmento.
10.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento entre (7,-4)
y (1,2) y forma un ángulo de 60º con ese segmento.
11.- Hallar la ecuación de la mediatríz al segmento determinado por (8,6) y (4,-2).
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 70
CAPITULO 3
LA LINEA RECTA
12.- Encontrar la pendiente y la intersección con el eje y de las siguientes rectas:
a) 2x + y - 10 = 0
c) 2x + 3y -12 = 0
e) 6x - 7y - 28 = 0
b) 3x - 5y - 15 = 0
d) 2x - 8y - 4 = 0
f) 3x + 5y -15 = 0
13.- Hallar el ángulo de intersección formado por las siguientes rectas:
a) 3x - y - 4 = 0 , 4x + y = 7
b) 2x + y - 9 = 0 , 5x - 2y -12 = 0
14. Hallar la ecuación del conjunto de puntos, tal que la distancia de cada uno de ellos
desde (2,-5) sea igual a su distancia a (7,-4).
15.- Hallar la ecuación del conjunto de puntos, tal que la distancia de cada uno de ellos
desde (3,-4) sea igual a su distancia a (5, -2).
16.- Encontrar la ecuación del conjunto de puntos, tal que la diferencia de los cuadrados
de las distancias de cada uno de ellos desde (3,5) hasta (7,-1) sea 4.
17.- Encontrar la ecuación del conjunto de puntos, tal que la diferencia de los cuadrados
de las distancias de cada uno de ellos desde (-4,9) hasta (1,-2) sea 6.
18.- En los siguientes problemas, clasificar los pares de rectas como: coincidentes,
paralelas, intersecantes, o intersecantes y perpendiculares.
a) 2x - 3y - 7 = 0 , 6x - 9y - 21 = 0
c) 3x + 4y - 9 = 0 , 2x + 3y - 7 = 0
e) 5x + 8y - 13 = 0 , 10x + 17y - 26 = 0
b) 5x - 2y - 3 = 0 , 10x - 4y -5 = 0
d) 3x + 4y - 6 = 0 , 4x - 3y -7 = 0
f) 2x - 7y + 3 = 0 , -4x + 14y -16 = 0
19.- Hallar la ecuaciones de las rectas que satisfacen las condiciones siguientes:
a) p = 3 ,  = 45º
c) p = 5 ,  = 225º
e) p = 5 ,  = 210º
b) p = 7 ,  =150º
d) p = 4 ,  = 300º
f) p = 7 ,  = 330º
20.- Escribir las siguientes ecuaciones en forma normal:
a) 5x + 12y + 39 = 0
c) 7x + 24 y - 100 = 0
e) 15x + 8y - 68 = 0
b) 3x + 4y - 20 = 0
d) -8x + 15y + 85 = 0
f) 12x - 5y + 91 = 0
21.- Hallar la distancia entre cada par de rectas:
a) 3x - 4y - 10 = 0 , 3x - 4y - 25 = 0
c) x + 4y - 50 = 0 , 2x + 8 y + 75 = 0
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 71
b) 5x - 12y - 39 = 0 , 5x - 12y + 26 = 0
d) 15x + 6y - 34 = 0 , 5x + 2y = 0
CAPITULO 3
LA LINEA RECTA
22.- Determinar el área de un círculo si 8x + 15y + 51 = 0 y 8x + 15y - 17 = 0 son
tangentes a él.
23.- Encontrar el área de un cuadrado que tiene dos lados colineales con: 3x - 4y - 10 = 0
y 3x - 4y + 15 = 0.
24.- ¿Dónde puede estar el centro de un círculo, si 5x - 12y - 39 = 0 y 5x - 12y + 13 = 0
son tangentes a éste.
25.- Sin encontrar los vértices, determinar el área del rectángulo de lados colineales con
3x - 4y -5 = 0 , 3x - 4y + 15 = 0 , 4x + 3y + 30 = 0 y 4x + 3y - 5 = 0.
26.- Encontrar la distancia y el sentido de la recta al punto :
a) 5x - 12y + 62 = 0 , (3,1)
b) 8x + 15y - 54 = 0 , (2,-2)
c) -7x + 24y + 2 = 0 , (4,-1)
d) 3x - 4y - 36 = 0 , (4,-1)
e) 15x - 8y = 12 , (3,2)
f) 24x - 7y = 75 , (7,24)
27.-Hallar el área de un rectángulo que tiene lados colineales con 3x - 4y = 10 y 4x + 3y
+ 7 = 0 y un vértice en (3,2).
28.- ¿ Cuál es el radio de un círculo con centro en (3,-2) si 5x + 12y - 4 = 0 es tangente
al círculo ?
29.- ¿ Cuál es el radio de un círculo, si (4,5) y el punto de tangencia de 3x - 4y = 12
están en los extremos opuestos de un diámetro ?
30.- Si el centro de un círculo está en (5,-1) y 8x + 15y = 8 es tangente al círculo,
encontrar el radio.
31.- Si (-3,2) está sobre un círculo y la recta 7x - 24y = 106 es tangente a él en el punto
más alejado de
(-3,2), encontrar el radio del círculo.
32.- Hallar el área de los siguientes triángulos, multiplicando la base por la mitad de la
altura.
a) (2,3) , (-1,-1) , (-2,1)
b) (-5,2) , (3,-13) , (5,1)
b) (4,7) , (0,4) , (-3,0)
c) (-3,-6) , (5,9) , (9,6)
33.- Mostrar que (3,-1) y (5,2) están en el mismo lado que x - y = 2
34.- Mostrar que (4,1) y (1,6) están en el mismo lado que 2x + y - 7 = 0
35.- Mostrar que (3,-1) y (1,-3) están en lados opuestos a 5x + 8y + 9 = 0.
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 72
CAPITULO 3
LA LINEA RECTA
36.- Hallar la distancia entre las siguientes rectas:
a) 2x + y + 15 = 0 y 2x + y + 20 = 0
b) -x + 6y = 12 y -x + 6y - 6 = 0
c) 3x - 4y = 20 y 6x - 8y = 38
d) 5x + y -10 = 0 y 10x + 2y = 15
37.- Hallar las ecuaciones y el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos
interiores del triángulo formado por las rectas:
a) 3x - 4y -10 = 0 ,
b) 4x - 3y - 65 = 0,
c) 7x + 6y -11 = 0,
d) y = 0
,
5x + 12y -13 = 0 ,
7x - 24y + 55 = 0,
9x - 2y + 7 = 0 ,
3x - 4y = 0
,
8x - 15y - 51 = 0
3x + 4y - 5 = 0
6x - 7y - 16 = 0
4x + 3y - 50 = 0
38.- Hallar la ecuación de la bisectriz del menor ángulo formado entre 7x - 24y = 125 y
12x + 5y = 39.
39.- Hallar la ecuación de la bisectriz del mayor ángulo formado 8x + 15y - 85 = 0 y 3x 4y - 30 = 0
40.- Hallar el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores del
triángulo de vértices: (-1,3) , (3,6) y (31/5 , 0)
41.- Determinar el valor de k para que sea satisfecha la condición solicitada
a) 2x - 3y + k = 0 pasa por (3,2)
b) kx + 4y - 7 = 0 pasa por (-2,1)
c) 5x + ky + 26 = 0 está a 2 unidades del origen
d) 4x + ky + 2k = 0 tiene pendiente 1/3
e) kx - 3y + 15 = 0 está a 3 unidades del origen
42.- Hallar la ecuación de la familia de rectas que pasan por la intersección de 2x + 3y 5 = 0 y 3x - y + 2 = 0 .Seleccionar el elemento de la familia con m =1.
43.- Hallar la ecuación de la familia de rectas que pasan por la intersección de 10x + 3y 13 = 0 y -2x - 7y - 11 = 0. Seleccionar el elemento de la familia con m =2.
44.- Hallar la ecuación de la familia de rectas que pasan por la intersección de 4x - y - 10
= 0 y 5x + 3y - 10 = 0 .Seleccionar el elemento de la familia con b = 5.
45.- Encontrar la ecuación de la familia de rectas que pasa por (1,2). Seleccionar el
elemento de la familia que forme un ángulo de 45º con la recta y = 3x + 2
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 73