paralelismo, perpendicularidad

TEMA 7: SISTEMA DIÉDRICO II: PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD. DISTANCIAS.
TEMA 7: S.DIÉDRICO II: PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD.
DISTANCIAS.
1. PARALELISMO.
1.1. Paralelismo entre rectas.
Dos rectas son paralelas cuando sus proyecciones homónimas son paralelas, es decir,
que r es paralela a s, r´ es paralela a s´ y r´´ es paralela a s´´.
a) Paralelismo entre rectas de perfil.
En el caso de las rectas se perfil puede darse la situación de que las
proyecciones horizontal y vertical sean paralelas pero que al comprobar las
proyecciones de perfil las dos rectas se corten. Por eso en este tipo de rectas
tenemos que comprobar la proyección de perfil para decir que las dos rectas son
paralelas.
1
TEMA 7: SISTEMA DIÉDRICO II: PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD. DISTANCIAS.
b) Recta paralela a otra por un punto dado.
1.2. Paralelismo entre recta y plano.
Para que una recta sea paralela a un plano se ha de cumplir que lo sea a una recta
cualquiera contenida en dicho plano.
a) Recta paralela a un plano P dado y que contenga a un punto A exterior a
él.
Por el punto A trazamos una paralela a una recta cualquiera contenida en el plano P. Las
soluciones son infinitas.
2
TEMA 7: SISTEMA DIÉDRICO II: PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD. DISTANCIAS.
b) Plano paralelo a una recta R y que contenga a un punto A exterior.
Trazamos por A una recta S paralela a R y después la contenemos en un plano. Las soluciones son
infinitas.
1.3. Paralelismo entre planos.
Dos planos paralelos tienen sus trazas paralelas: P es paralela a Q, P´es paralela a
Q´y P´´ tiene que ser paralela a Q´´.
3
TEMA 7: SISTEMA DIÉDRICO II: PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD. DISTANCIAS.
a) Paralelismo entre planos paralelos a la línea de tierra.
En este caso tenemos que comprobar las trazas de perfil ya que podemos encontrarnos ante dos
planos con trazas horizontales y verticales paralelas y cuyas trazas de perfil se corten .
b) Plano paralelo a otro P y que contenga a un punto A.
Por el punto A se trazan dos rectas paralelas a dos contenidas en el plano P (para simplificar una
frontal y una horizontal). Determinamos las trazas de estas dos rectas y obtenemos las trazas
del plano buscado.
4
TEMA 7: SISTEMA DIÉDRICO II: PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD. DISTANCIAS.
2. PERPENDICULARIDAD.
Teorema de las tres perpendiculares: si dos rectas R y S son perpendiculares en el
espacio y una de ellas, R por ejemplo, es paralela a un plano P , sus proyecciones
ortogonales sobre dicho plano serán perpendiculares.
Si una recta es perpendicular a un plano lo será también a todas las rectas
contenidas en él. De manera recíproca, una recta será perpendicular a un plano
cuando lo sea a dos rectas cualesquiera de dicho plano que no sean paralelas.
2.1. Perpendicularidad entre recta y plano.
Para que una recta sea perpendicular a un plano ha de ser perpendicular a dos rectas
de dicho plano. Dos rectas de dicho plano son la traza vertical P´ y la traza
horizontal P, por lo que una recta R es perpendicular a un plano cuando r es
perpendicular a P y r´es perpendicular a P´.
a) Recta perpendicular a un plano dado por un punto A.
Basta con trazar por a´ una perpendicular a P´y por a una perpendicular a P.
5
TEMA 7: SISTEMA DIÉDRICO II: PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD. DISTANCIAS.
b) Plano perpendicular a una recta dada y que contenga a un punto A.
Trazar por el punto A una recta horizontal S cuya proyección s sea perpendicular a r. Trazamos
también una frontal F cuya proyección f´ sea perpendicular a la proyección r´. Por último
determinamos las trazas del plano formado por S y F.
c) Recta perpendicular por un punto a un plano definido por dos rectas R y
S que se cortan ( sin hallar las trazas del plano).
Trazamos una recta horizontal T cuya proyección horizontal indica la dirección de la traza
horizontal del plano. Por la proyección a trazamos una perpendicular a la proyección horizontal t
de la recta. Trazamos una recta frontal F cuya proyección vertical f´ determina la dirección de
la traza vertical del plano. Por la proyección a´ del punto trazamos una perpendicular a la
proyección f´ de la recta F.
6
TEMA 7: SISTEMA DIÉDRICO II: PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD. DISTANCIAS.
2.2. Perpendicularidad entre planos.
Dos planos son perpendiculares cuando uno de ellos contiene a una recta
perpendicular al otro.
2.3. Perpendicularidad entre rectas.
Cualquier recta perpendicular a un plano es perpendicular a todas las rectas
contenidas en dicho plano.
7
TEMA 7: SISTEMA DIÉDRICO II: PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD. DISTANCIAS.
a)Recta perpendicular a otra R y que contenga a un punto A.
Trazar un plano P perpendicular a R y que contenga al punto A. Hallar la intersección de P con R y
obtenemos el punto B. Unir A con B y obtenemos la recta buscada.
3. DISTANCIAS.
3.1. Distancia entre dos puntos.
La distancia entre A y B es la longitud del segmento que los une. Para hallar su
verdadera magnitud abatimos el triángulo rectángulo de catetos la proyección ab y
la diferencia de cotas entre ambos puntos y por hipotenusa la distancia real AB.
8
TEMA 7: SISTEMA DIÉDRICO II: PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD. DISTANCIAS.
3.2. Distancia de un punto A a un plano P.
Trazamos una perpendicular R por A al plano P. La intersección entre la recta
R y el plano P es el punto B. La distancia entre el punto A y el plano P es la
distancia entre A y B.
3.3. Distancia de un punto A a una recta R.
Trazamos un plano P perpendicular a R y que contenga a A. La intersección entre R y
P será el punto B. La distancia entre A y B es la distancia entre la recta y el punto.
9
TEMA 7: SISTEMA DIÉDRICO II: PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD. DISTANCIAS.
3.4. Distancia entre rectas paralelas.
Trazar un plano perpendicular a las dos rectas. La intersección de las rectas con el
plano determina dos puntos A y B. La distancia entre estos dos puntos será la
distancia entre las dos rectas.
3.5. Distancia entre planos paralelos.
Trazamos una recta perpendicular a los dos planos. La intersección entre recta y los
planos son los puntos A y B. La distancia entre A y B será la distancia entre los dos
planos paralelos.
10