ACGS_Mat_u7_ejerSol

MATEMÁTICAS
Unidad 7. Probabilidad
SOLUCIONES
1.-De una urna que contiene 5 bolas rojas, 6 azules y 4 verdes se extrae una bola al azar.
Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Sacar una bola roja
b) Sacar una bola verde
c) Sacar una bola roja o una verde
d) Sacar una bola que no sea roja
Para hacer todos los apartados se aplica la regla de Laplace.
a) En este apartado el número de casos favorables es 5 (hay 5 bolas rojas) y el número de
casos posibles es 15 (hay 15 bolas en total). Por tanto la probabilidad de sacar una bola
roja será:
P(roja) =
5
1

15 3
b) En este apartado el número de casos favorables es 4 (hay 4 bolas verdes) y el número de
casos posibles sigue siendo 15. Por tanto la probabilidad de sacar una bola verde será:
P(verde) =
4
15
c) En este apartado el número de casos favorables es 9 (hay 9 bolas entre rojas y verdes) y
el número de casos posibles sigue siendo 15. Por tanto la probabilidad será:
P(roja o verde) =
9
3

15 5
d) En este apartado el número de casos favorables es 10 (hay 10 bolas que no son rojas) y el
número de casos posibles sigue siendo 15. Por tanto la probabilidad será:
P(roja o verde) =
10 2

15 3
2.- Se lanza una dado tres veces consecutivamente. Calcular:
a) La probabilidad de que salga tres veces el 3.
b) La probabilidad de que la primera vez salga un 5, la segunda un 6 y la tercera un 1
c) La probabilidad de no sacar ningún 1.
Para hacer todos los apartados se aplica la fórmula de la probabilidad en sucesos independientes
PA  B  C  P( A )·P(B)·P(C)
a) En este apartado la probabilidad de obtener un 3 en cada tirada es 1/6, ya que hay un 3 en
el dado y 6 posibles resultados. Por tanto se tiene que:
P(3 y 3 y 3) =
1 1 1
1
  
6 6 6 216
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b) En este apartado la probabilidad de obtener un 5 es 1/6, la probabilidad de obtener un 6 es
1/6 y la probabilidad de obtener un 1 es 1/6. Por tanto la solución es la misma que en el
apartado a).
P(5 y 6 y 1) =
1 1 1
1
  
6 6 6 216
c) En este apartado la probabilidad de no sacar 1 en cada tirada es 5/6, ya que hay 5 caras
el dado que no son el 1 y 6 caras posibles. Por tanto:
P( 1 y 1 y 1) 
5 5 5 125
  
6 6 6 216
3.- Extraemos consecutivamente y con devolución dos cartas de una baraja española.
a) Calcular la probabilidad de que ambas sean sotas
b) Calcular la probabilidad de que ambas sean oros
c) Calcular la probabilidad de que ninguna sea copas
Como hay devolución después de cada extracción se aplica la fórmula de la probabilidad en
sucesos independientes:
PA  B  P( A )·P(B)
a) En este apartado la probabilidad al sacar una carta de obtener una sota es 4/40, ya que
hay cuatro sotas y 40 cartas posibles. Por tanto se tiene que:
P(sota y sota) =
4 4
16
1



40 40 1600 100
b) En este apartado la probabilidad al sacar una carta de obtener oros es 10/40, ya que hay
diez oros y 40 cartas posibles. Por tanto se tiene que:
P(oros y oros) =
10 10
100
1



40 40 1600 16
c) En este apartado la probabilidad al sacar una carta de que no sea copas es 30/40, ya que
hay 30 cartas que no son copas y 40 cartas en total. Por tanto si se denomina S al suceso
“no sacar copas” se tiene:
P( S y S ) 
30 30
900
9



40 40 1600 16
4.- Tres estudiantes realizan el mismo examen. El primero es buen estudiante, suspende
uno de cada 7 exámenes, el segundo aprueba dos de cada 3 exámenes, y el tercero aprueba
uno de cada 5 exámenes.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres hayan suspendido?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres hayan aprobado?
Son sucesos independientes, lo que obtenga un estudiante no depende de lo que hagan los otros.
PA  B  C  P( A )  P(B)  P(C)
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a) En este caso la probabilidad de suspender el primero es 1/7, la de suspender el segundo
es 1/3 y la de suspender el tercero es 4/5. Por tanto se tiene que:
P(suspender 1º, suspender 2º y suspender 3º) =
1 1 4
4
  
7 3 5 105
b) En este caso la probabilidad de aprobar el primero es 6/7, la de aprobar el segundo es 2/3
y la de aprobar el tercero es 1/5. Por tanto se tiene que:
P(aprobar 1º, aprobar 2º y aprobar 3º) =
6 2 1 12
4
  

7 3 5 105 35
5.- En un equipo de baloncesto el jugador A tiene un 56% de acierto en los tiros libres, el
jugador B tiene un 79% de acierto y el jugador C tiene un 82%. Si cada uno tira un tiro libre,
calcular:
a) La probabilidad de que los tres encesten
b) La probabilidad de que ninguno enceste
c) La probabilidad de que alguno enceste.
a) La probabilidad de que los tres encesten
Son sucesos independientes, que enceste un jugador no depende de lo que hagan los otros.
PA  B  C  P( A )  P(B)  P(C)
P(enceste 1º, enceste 2º y enceste 3º) = 0´56  0´79  0´82  0´362768 
362768
1000000
b) La probabilidad de que ninguno enceste
P(no enceste 1º, no enceste 2º y no enceste 3º) = 0´44  0´21  0´18  0´016632
c) La probabilidad de que alguno enceste.+
P(alguno enceste) = 1 – P(ninguno enceste)= 1 – 0´016632 = 0´983368
6.- Un grupo de estudiantes decide hacer un sorteo para financiar un viaje. Para ello emiten
100 boletos, de los cuales 5 tienen algún premio. Si compro tres boletos calcula:
a) La probabilidad de que no me toque ningún premio.
b) La probabilidad de que me toquen tres premios.
c) La probabilidad de que me toque algún premio
Hay tres extracciones y son dependientes, ya que cada vez que compro un boleto estoy
disminuyendo el número total de boletos en la siguiente compra. Por tanto aplico la fórmula de la
probabilidad condicionada:
PA  B  C  P( A )  P(B | A )  P(C | A  B)
Para ser más fácil la notación vamos a denominar S al suceso “tener premio”, por tanto S será el
suceso “no tener premio”
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a) En la primera compra la probabilidad de que no me toque premio es 95/100, ya que hay 95
boletos sin premiar de los 100 totales. En la segunda compra será 94/99, ya que había
comprado ya uno sin premio. En la tercera compra será 93/98. Por tanto:
P( S y S y S) 
95 94 93 830490 27683




100 99 98 970200 32340
b) En la primera compra la probabilidad de que me toque premio es 5/100, ya que hay 5
boletos premiado. En la segunda compra será 4/99, ya que había comprado ya uno
premiado. En la tercera compra será 3/98. Por tanto:
P( S y S y S) 
5
4 3
60
2




100 99 98 970200 32340
Si en algún ejercicio se ven las palabras algún, al menos uno, algunos, o similares hay que
valorar la posibilidad de utilizar la fórmula del suceso contrario. De las leyes de la
probabilidad se sabe que si dos sucesos son contrarios se cumple que:
P( A )  1  P( A )
Lo contrario de que me toque algún premio es no me toque ninguno. Es mucho más fácil
calcular la probabilidad de ninguno que de alguno. Por tanto:
P(algún premio) = 1 – P(ningún premio) = 1 
27683 32340  27683
4657


32340
32340
32340
7.- Se eligen tres cartas de una baraja española. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos
una sea oros?
Hay tres extracciones y son dependientes ya que no hay devolución. Por tanto aplico la fórmula de
la probabilidad condicionada:
PA  B  C  P( A )  P(B | A )  P(C | A  B)
Se denomina S al suceso “sacar oros”, por tanto S será el suceso “no sacar oros”
Sacar al menos una carta de oros es sinónimo de sacar alguna carta de oros. Como se ha visto en
el ejercicio anterior lo contrario de sacar alguna carta de oros es no sacar ninguna carta de oros,
que es mucho más fácil calcular. Por tanto:
P ( sacar ningún oros ) = P( S y S y S ) 
30 29 28 24360 203




40 39 38 59280 494
P(algún oros) = 1 – P(ningún oros) = 1 
203 494  203 291


494
494
494
8.- Una urna contiene 6 bolas rojas y 9 blancas. Se sacan dos bolas de la urna una tras otra.
a) Calcular la probabilidad de que ambas sean rojas
b) Calcular la probabilidad de que ambas sean blancas
c) Calcular la probabilidad de que ambas sean del mismo color
d) Calcular la probabilidad de que ambas sean de distinto color
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Como no hay devolución después de cada extracción se aplica la fórmula de la probabilidad en
sucesos dependientes:
PA  B  P( A )·P(B | A )
a) En la primera extracción la probabilidad de sacar una bola roja es 6/15, pero en la
segunda extracción hay que suponer que ya se ha sacado una roja, por tanto quedan 5
bolas rojas y 14 bolas en total. Por tanto se tiene que:
P(roja y roja) = P(roja)·P(roja|roja)=
6 5
30
1



15 14 210 7
b) En la primera extracción la probabilidad de sacar una bola blanca es 9/15, pero en la
segunda extracción hay que suponer que ya se ha sacado una blanca, por tanto quedan 8
bolas rojas y 14 bolas en total. Por tanto se tiene que:
P(blanca y blanca) = P(blanca)·P(blanca|blanca)=
9 8
72 12



15 14 210 35
c) Para que las dos bolas sean del mismo color se tienen que sumar los casos que sean las
dos rojas y que sean las dos blancas. Por tanto:
P(mismo color) = P(roja y roja ó blanca y blanca) = P(roja y roja + P(blanca y blanca) =
1 12 17


7 35 35
d) El suceso contrario de que dos bolas sean de distinto color es que las dos sean del mismo
color, esto caso lo hemos calculado en el apartado anterior.
Por tanto en este caso:
P(distinto color) = 1 - P(mismo color) =1 -
17 35  17 18


35
35
35
9.- En un aula hay 30 alumnos que tienen la posibilidad de elegir un deporte como actividad
extraescolar. El fútbol lo eligen 8 de ellos, el tenis 4 y el baloncesto 10.
Si se elige al azar un alumno. Halla:
a) Probabilidad de que juegue a baloncesto
b) Probabilidad de que no haga deporte
Si ahora se eligen dos alumnos al azar calcular:
c) Probabilidad de que los dos jueguen a fútbol
d) Probabilidad de que ninguno haga deporte
e) Probabilidad de que alguno haga deporte
f)
Probabilidad de los dos hagan el mismo deporte.
Para resolver los dos primeros apartado se aplica la regla de Laplace. Para el resto de apartados
se trata de un experimento compuesto con sucesos dependientes, se aplicará la fórmula:
PA  B  P( A )·P(B | A )
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a) Hay 10 alumnos que juegan a baloncesto y 30 alumnos en total
P(juegue a baloncesto) =
10 1

30 3
b) Si hay 22 alumnos que hacen deporte significa que hay 8 que no hacen deporte, por tanto:
P(no hacer deporte) =
8
4

30 15
c) Si denominamos S al suceso “juega al fútbol”
P(S1º y S2º) = P(S1º)·P(S2º|S1º)=
8 7
56
28



30 29 870 435
d) Si denominamos S al suceso “no hace deporte”
P(S1º y S2º) = P(S1º)·P(S2º|S1º)=
8 7
56
28



30 29 870 435
e) Como se pregunta por si alguno hace deporte se resuelve por el suceso contrario, lo
contrario de que alguno de los dos haga deporte es que ninguno de los dos lo haga.
P(alguno haga deporte) = 1 – P(ninguno haga deporte)
28
435  28 407


435
435
435
P(alguno haga deporte) = 1 f)
Para el caso de que los dos hagan el mismo deporte se tienen que sumar los casos en los
dos jueguen la fútbol, los dos jueguen a tenis y los dos jueguen a baloncesto.
P(mismo deporte) = P(fútbol y fútbol ó tenis y tenis ó baloncesto y baloncesto)
P(fútbol y fútbol) =
P(tenis y tenis)=
8 7
56


30 29 870
4 3
12


30 29 870
P(baloncesto y baloncesto) =
P(mismo deporte) =
10 9
90


30 29 870
56
12
90
158
79




870 870 870 870 435
10.- Se extraen tres cartas de una baraja española, ¿qué probabilidad hay de que sean del
mismo palo?
Se tienen que sumar los casos que las tres sean oros, que las tres sean copas, que las tres sean
espadas y que las tres sean bastos.
P(oros y oros y oros) =
10 9 8
720
3




40 39 38 59280 247
P(copas y copas y copas) =
10 9 8
720
3




40 39 38 59280 247
P(espadas y espadas y espadas) =
P(bastos y bastos y bastos) =
10 9 8
720
3




40 39 38 59280 247
10 9 8
720
3




40 39 38 59280 247
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P(mismo palo) =
3
3
3
3
12




247 247 247 247 247
11.- Disponemos de cuatro urnas con bolas, de tal manera que:
En la primera urna hay 4 bolas rojas y 5 blancas.
En la segunda urna hay 3 bolas rojas y 8 blancas.
En la tercera urna hay 5 bolas rojas y 2 blancas.
En la cuarta urna hay 2 bolas rojas.
Si elegimos una urna al azar y extraemos de ella una bola, ¿Cuál es la probabilidad de que
ésta sea roja? ¿y de que sea blanca?
Aunque sólo se extraiga una bola es un experimento compuesto. Se realizan dos acciones, la
primera es elegir la urna y la segunda elegir la bola. Los sucesos son dependientes, según la urna
elegida hay un número diferente de bolas de cada color. Por tanto se aplica la fórmula:
PA  B  P( A )·P(B | A )
También hay que tener en cuenta que hay que sumar cuatro casos:

Elegir la primera urna y sacar una bola roja

Elegir la segunda urna y sacar una bola roja

Elegir la tercera urna y sacar una bola roja

Elegir la cuarta urna y sacar una bola roja
La probabilidad de sacar una bola roja será la suma de las probabilidades de los cuatro casos:
P(roja) = P(urna A y roja) + P(urna B y roja)+ P(urna C y roja)+ P(urna D y roja)
P(urna A y roja) =
1 4
4
1
 

4 9 36 9
P(urna A y roja) =
1 3
3


4 11 44
P(urna A y roja) =
1 5 5
 
4 7 28
P(urna A y roja) =
1 2 2 1
  
4 2 8 4
P(roja) =
1 3
5 1 308  189  495  693 1685


 

 0,60786  60,79%
9 44 28 4
2772
2772
Para calcular la probabilidad de sacar una bola blanca se puede utilizar la fórmula de sucesos
contrarios, ya que sacar una bola blanca en este experimento es el suceso contrario de sacar una
bola roja (o se saca bola blanca o roja).
P(blanca) = 1 – P(roja)= 1 
439 353
 39,21%

792 792
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12.- En colegio hay dos grupos de primero de primaria. En 1º A hay 13 chicos y 9 chicas y
en 1º B hay 10 chicos y 12 chicas. Si se elige al azar un alumno de primero, ¿qué
probabilidad hay de que sea chica?
Aunque sólo se tome una persona es un experimento compuesto. Se realizan dos acciones, la
primera es elegir el grupo y la segunda elegir a la persona. Los sucesos son dependientes, según
la clase elegida hay un número diferente de chicas. Por tanto se aplica la fórmula:
PA  B  P( A )·P(B | A )
También hay que tener en cuenta que hay que sumar dos casos, elegir el grupo de 1º A y elegir
una chica y elegir 1º B y elegir una chica. La probabilidad de elegir una chica es la suma de las
dos.
P(chica) = P(1ºA y chica) + P(1º B y chica)
P(1ºA y chica) =
1 9
9


2 22 44
P(1ºB y chica) =
1 12 12


2 22 44
P(chica) =
9 12 21


44 44 44
13.- Tres personas juegan a un juego de azar en el que la probabilidad de obtener un premio
es del 15%.
a) ¿Qué probabilidad hay de que los tres ganen?
b) ¿Qué probabilidad hay de que ninguno gane?
c) ¿Qué probabilidad hay de que alguno gane?
Son sucesos independientes, si gana una persona no depende de lo que hagan los otros.
PA  B  C  P( A )  P(B)  P(C)
a) P(gane 1º, gane 2º y gane 3º) = 0´15  0´15  0´15  0´003375
b) P(no gane 1º, no gane 2º y no gane 3º) = 0´85  0´85  0´85  0´614125
c) P(alguno gane) = 1 – P(ninguno gane)= 1 – 0´614125 = 0´385875
14.- Una explotación ganadera tiene dos granjas, en la primera hay 300 animales, el 30%
son terneros y el resto cerdos; en la segunda granja hay 500 animales, el 25% son terneros
y el resto cerdos. Si se elige un animal al azar calcular la probabilidad de que sea un cerdo.
Es un experimento compuesto, se realizan dos acciones, la primera es elegir la granja y la
segunda elegir el animal. Los sucesos son dependientes, según la granja elegida hay un número
diferente de cerdos. Por tanto se aplica la fórmula:
PA  B  P( A )·P(B | A )
También hay que tener en cuenta que hay que sumar dos casos, elegir la primera granja y elegir
un cerdo y elegir la segunda granja y que sea un cerdo. La probabilidad de elegir un cerdo es:
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P(cerdo) = P(granja A y cerdo) + P(granja B y cerdo)
P(granja A y cerdo) =
1 30
30


2 100 200
P(granja B y cerdo) =
1 25
25


2 100 200
P(cerdo) =
30
25
55
11



200 200 200 40
15.- Una fábrica produce tres tipos de monitores. El 30% de la producción es del tipo A, el
20% del tipo B y el resto del tipo C. Por los estudios de calidad realizados se sabe que en
los dos primeros años la probabilidad de que se estropee un monitor del tipo A es del 3%,
de que se estropee uno del tipo B es del 5% y de que se estropee uno del tipo C es del 10%.
Si se escoge un monitor al azar producido por esa fábrica
a) ¿qué probabilidad se tiene de que sea del tipo C?
b) ¿qué probabilidad se tiene de que se estropee durante los primeros dos años?
c) ¿qué probabilidad se tiene de que no se estropee durante los dos primeros años?
a) ¿qué probabilidad se tiene de que sea del tipo C?
Como del tipo A es el 30% de la producción, del tipo B es el 20% y se dice que el resto es del tipo
C. Es fácil deducir que el 50% de la producción es del tipo C. Por tanto:
P (tipo C ) = 50/100 = ½
b) ¿qué probabilidad se tiene de que se estropee durante los primeros dos años?
Para calcular la probabilidad de que se estropee en los dos primeros años hay que sumar tres
casos, que sea del tipo A y que se estropee, que sea del tipo B y que se estropee y, por último,
que sea del tipo C y que se estropee.. La probabilidad total será:
P(estropear) = P(tipo A y estropear) + P(tipo B y estropear)+ P(tipo C y estropear)
P(tipo A y estropear) =
30
3
90
9



100 100 10000 1000
P(tipo B y estropear) =
20
5
100
10



100 100 10000 1000
P(tipo C y estropear)=
50 10
500
50



100 100 10000 1000
P(estropearse) =
9
10
50
69



1000 1000 1000 1000
c) ¿qué probabilidad se tiene de que no se estropee durante los primeros dos años?
Para calcular la probabilidad de que no se estropee en los dos primeros años se aplica la fórmula
de sucesos contrarios. Lo contrario de no estropearse es que sí se estropee:
P(no estropearse) = 1 – P(estropearse)= 1 
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69
931

1000 1000
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16.- Una empresa embotadora produce dos tipos de botes de pimientos del piquillo. En el
tipo A el 20% de los botes llevan pimientos que pican y en el tipo B llevan pimientos
picantes el 10% de las latas. Del total de la producción el 70% corresponde a botes del tipo
A y el resto del tipo B? Si se elige un bote al azar producido por esa empresa, calcular la
probabilidad de los siguientes sucesos:
a) de haber elegido un bote con pimientos que pican
b) de haber elegido un bote sin pimientos que pican
c) de elegir un bote del tipo B y de que tenga pimientos picantes.
a) Para calcular la probabilidad de sacar un pimiento que pique hay que sumar dos casos,
elegir un bote del tipo A y que el pimiento pique y elegir un bote del tipo B y que el
pimiento pique.. La probabilidad de elegir un cerdo es:
P(picantes) = P(bote tipo A y picantes) + P(bote tipo B y picantes)
P(bote tipo A y picantes) =
70 20
1400
14



100 100 10000 100
P(bote tipo B y picantes) =
30 10
300
3



100 100 10000 100
P(picantes) =
14
3
17


100 100 100
El 17% de los botes llevan pimientos picantes
b) El suceso contrario de elegir un bote sin pimientos picantes es elegir un bote que lleve
pimientos picantes. Por tanto:
P( no picantes) = 1 - P (picantes)
P( no picantes) = 1 
17
83

100 100
c) Este caso ya se ha resuelto en el apartado a)
P(bote tipo B y picante) =
30 10
300
3



100 100 10000 100
17.- En un cierto Instituto de Enseñanza hay un total de 100 alumnos de los cuales: 40 son
varones, 30 usan gafas, y 16 son varones y usan gafas.
Halla:
a) la probabilidad de ser mujer y no usar gafas.
b) la probabilidad de ser mujer o no usar gafas.
c) Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas ¿Qué probabilidad hay de que
sea varón?
Para resolver este ejercicio completamos una tabla de contingencia. Con los datos que se dan en
el enunciado la tabla sería:
Curso de Acceso a Ciclos Formativos de Grado Superior
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MATEMÁTICAS
Unidad 7. Probabilidad
varón
Usa gafas
mujer
Total
16
30
40
100
No usa gafas
Total
Si rellenamos lo huecos sería:
varón
mujer
Total
Usar gafas
16
14
30
No usar gafas
24
46
70
Total
40
60
100
Al tener rellena la tabla es fácil deducir las respuestas a las preguntas:
a) P(ser mujer y no usar gafas) =
46
100
b) En este caso aplicaremos la fórmula P( A  B)  P( A )  P(B)  P( A  B) . Hay que tener en
cuenta que al sumar las mujeres y las personas que no usan gafas estamos contando dos
veces a las mujeres que no usan gafas, por eso hay que restarlas.
P(ser mujer o no usar gafas) =
60
70
46
84



100 100 100 100
c) En este caso se supone que ya sabemos que la persona elegida no usa gafas, por eso los
casos posibles son las 70 personas que no usan gafas y los casos favorables es el
número de varones que no usa gafas.
P(varón|no usar gafas) =
24 12

70 35
18.- En un colegio se pueden elegir dos idiomas en la oferta de extraescolares. De los
alumnos de 5º de primaria se sabe que el 50% estudia inglés, el 40% estudia francés y el
10% estudian inglés y francés. ¿cuál es la probabilidad de que, escogido al azar un alumno
de 5º de primaria del colegio?
a) Estudie inglés
b) No estudie inglés ni francés
c) Estudie sólo uno de los idiomas
d) Estudie inglés o francés
Para resolver este ejercicio completamos una tabla de contingencia. Con los datos que se dan en
el enunciado la tabla sería:
Curso de Acceso a Ciclos Formativos de Grado Superior
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MATEMÁTICAS
Unidad 7. Probabilidad
Inglés
Francés
No inglés
Total
10%
40%
50%
100%
No francés
Total
Si rellenamos lo huecos sería:
Inglés
No inglés
Total
Francés
10%
30%
40%
No francés
40%
20%
60%
Total
50%
50%
100%
Al tener rellena la tabla es fácil deducir las respuestas a las preguntas:
a) P(estudie inglés) = 50%
b) P(no estudie inglés ni francés) = 20%
c) P(estudie sólo uno de los idiomas) = 40% + 30% = 70 %
d) P(inglés o francés) =P( inglés) + P(francés) – P(francés e inglés) = 50% + 40% - 10%=80%
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