CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Los Experimentos Aleatorios reúnen las siguientes características comunes. 1. es posible repetir cada experimento en forma indefinida sin cambiar esencialmente las condiciones 2. si bien no podemos indicar cuál será un resultado particular, podemos describir el conjunto de todos los resultados posibles del experimento (Espacio Muestral) 3. a medida que el experimento se repite, los resultados individuales parecen ocurrir en forma caprichosa, sin embargo como el experimento se repite un “gran número” de veces, aparece un patrón definido o regularidad ESPACIO MUESTRAL : en cada experimento aleatorio E , definimos el espacio muestral como el conjunto de todos los resultados posibles de E . Usualmente designamos este conjunto como S. En nuestro contexto S, representa el conjunto Universal o Referencia definido anteriormente Problema 1 : Halla el espacio muestral S en cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: E1: Se lanza un dado y se observa el número que aparece en la cara superior E2: Se lanza una moneda cuatro veces y se cuenta el número total de caras obtenidas E3: Se lanza una moneda cuatro veces y se observa la sucesión de caras y números obtenidos E4: Se fabrican artículos en una línea de producción y se cuenta el número de artículos defectuosos producidos en un período de 24 horas. E5: El ala de un aeroplano se arma con un gran número de remaches. Se cuenta el número de remaches defectuosos. E6: Se fabrica una bombilla. Luego se prueba su duración conectándola en un portalámparas y se anota el tiempo transcurrido hasta que se quema (en horas) E7: En un lote de 10 artículos hay 3 defectuosos. Se elige un artículo después de otro ( sin sustituir el artículo escogido) hasta que se obtiene el último artículo defectuoso. Se cuenta el número total de artículos sacados del lote. E8: Se fabrican artículos hasta producir 10 no defectuosos. Se cuenta el número total de artículos manufacturados. E9: Durante el transcurso de 365 día se registran diariamente se registran diariamente las temperaturas máxima y mínima. EVENTO O SUCESO: Un evento A respecto a un espacio muestral S asociado con un experimento E , es simplemente un conjunto de resultados posibles. Más rigurosamente UN EVENTO ES UN SUBCONJUTO DEL ESPACIO MUESTRAL. Problema 2 : Expresa por extensión los siguientes eventos que corresponden a los experimentos aleatorios del problema 1 1 . A1 es el evento que salga un número par A 2 es el evento que salgan a lo sumo dos caras A3 es el evento que salgan más caras que números A 4 es el evento que todos los artículos sean no defectuosos A5 es el evento que haya por lo menos 3 remaches defectuosos A 6 es el evento que la bombilla se queme en menos de 3 horas A 7 es el evento que se extraigan a lo sumo 5 artículos A8 es el evento que se fabriquen sólo 8 artículos A9 es el evento que la temperatura máxima sea menor que el doble de la mínima OBSERVACIÓN : Dados dos eventos cualesquiera A y B asociados al espacio muestral S de un experimento aleatorio E los conjuntos A B , A B , A-B y AC también son eventos de S . Definición : Se dice que dos eventos A y B son MUTUAMENTE EXCLUYENTES , si no pueden ocurrir juntos, o sea, A B = . Ejercicio: Se prueba un artefacto electrónico y se registra su tiempo total de uso, digamos t. Supongamos que el espacio muestral es S = t R / t 0 . Sean A, B y C tres eventos definidos como sigue : A=t/t<100 , B=t/50 t 200 , C=t/t>50 , hallar los eventos A B , A B , B C , B C , A C , A C , A-B , B-A , B-C , C-B , A-C , C-A , AC , BC , CC PRIMEROS CONCEPTOS DE PROBABILIDAD Sea E un experimento aleatorio y S un espacio muestral asociado con E . Con cada evento A asociamos un número real, designado como P(A) y llamado “probabilidad de A”, el cual satisface los siguientes axiomas : Axioma 1 : 0 P(A) 1 Axioma 2 : P(S)=1 Axioma 3 : Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, P (A B) =P(A) + P(B) Axioma 4 : Si A1, A2 , A3 , ............ An ,.......... es un conjunto infinito numerable de sucesos mutuamente excluyentes dos a dos, entonces P( i=1 Ai ) P(A1 ) P(A2 ) P(A3 ) .......... P(An ) .......... 2 Teorema 1 : P() = 0 Demostración : P(A) = P(A ) = P(A) + P() P() = 0 (por ax. 2) ( prop. cancelativa de la adición) Teorema 2 : P(AC ) = 1 - P(A) Demostración : P(S) = P(A AC ) = P(A) + P(AC ) = 1 entonces P(AC) ) 1 P(A) Teorema 3 : Si A y B son dos sucesos cualesquiera entonces : P(A B)=P(A)+P(B) P(A B) Dem. : P(A B)=P (A-B) (A B) (B-A) P(A-B)+P(A B)+P(B-A)=[P(A-B)+P(A B)]+[P(B-A)+P(A B)]-P(A B)= =P(A)+P(B)-P(A B) Teorema 4 : P(A B C)=P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C) Teorema 5 : A B P(A) P(B) Definición: cuando el cardinal del espacio muestral es finito, o sea # S = n , n pertenece a N ,entonces se dice que el ESPACIO MUESTRAL ES FINITO. S ai ,1 i n a1, a2 , a3 ,............., an A= ai , a j , ad S entonces : P(A) P(ai )+P( a j )+P( ad )= P(ai ) , ai A Definición : cuando P(a1 )=P( a2 )=P( a3 )=..........=P(ai ) , ai S decimos que el ESPACIO MUESTRAL ES EQUIPROBABLE. 1 , ai S, donde n = # S Entonces si S es finito, P(ai ) n PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA Ejemplo : Se lanzan dos dados normales y se anotan los resultados (x1, x 2 ) donde x1 es el resultado del primer dado y x 2 del segundo dado. Consideremos los eventos A=(x1, x2 ) / x1 x 2 10 y B= (x1, x 2 ) / x1 >x 2 , hallar P(A) , P(B) y P(B/A) Definición: La probabilidad del suceso A dado B, o del suceso A sabiendo que pasó B, se escribe, P(A/B), P(A B) y se define P(A/B)= P(B) Consecuencia : P(A B)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B) 3 SUCESOS INDEPENDIENTES Definición : Dos sucesos A y B son independientes P(A/B) = P(A) o P(B/A) = P(B) Consecuencia : A y B son independientes P(A B) P(A).P(B) Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes Definición : A1, A2 , A3 ,.........An son sucesos de un espacio muestral una PARTICIÓN de S si : Ai A j , Ai , A j S , y A1 A2 , P = A1, A2 , A3,.........A n es A3 ......... An S P es una partición de S , P = A1, A2 , A3,.........A n B un suceso S ,entonces : P(B) P(B/A1 ).P(A1 ) P(B/A2 ).P(A2 ) ........... P(B/An ).P(An ) Teorema de la Probabilidad Total P(A j ).P(B/A j ) P(A j / B) i = n [ P(Ai ).P(B) ] Teorema de Bayes i=1 VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Definición : Sea E un experimento aleatorio y S el espacio muestral asociado con él. Una función X : S R tal que cada elemento s S , suceso elemental , le corresponde un número real X(s) , se llama VARIABLE ALEATORIA. 4 Definición : Sea X una variable aleatoria. Si el recorrido de X , R( X ) es un conjunto finito o infinito numerable, llamamos a X una VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. Definición : Sea X una variable aleatoria discreta , R( X )= x i / xi R(X), i N* su recorrido, llamamos FUNCIÓN DE PROBABILIDAD O FUNCIÓN DE CUANTÍA a f, a) f(xi ) 0 que f(xi ) P( X=xi ) , además los números f(xi ) deben cumplir : b) f(xi ) = 1 f : R(X) R tal i=1 Definición : LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA de la variable aleatoria X , la llamamos F, F : R R / F(x) = P X x Valor esperado de una variable aleatoria discreta Definición : Dada X una variable aleatoria discreta, f su función de probabilidad , llamamos VALOR ESPERADO, ESPERANZA , MEDIA O PROMEDIO de X, escribimos E(X) o o X x i .f(x i ) i =1 Varianza , desviación estándar y desviación media de una variable aleatoria discreta Definición : Dada X una variable aleatoria discreta, f su función de probabilidad , llamamos : 2 2 a) VARIANZA de X , V( X ) = E X E(X) = x i E(X) .f(x i ) i =1 b) DESVIACIÓN ESTÁNDAR de X , d.e (X) o (X) = V(X) c) DESVIACIÓN MEDIA de X , d.m. ( X ) = x i E(X) .f(x i ) i =1 Distribución Binomial Definición: Consideremos un experimento aleatorio E y sea A un suceso asociado con E. Supongamos que P( A ) = p . Consideremos n repeticiones independientes de E, por lo tanto el espacio muestral S consiste en todas las sucesiones posibles a1,a 2 ,a3 ,.......,a n donde cada a i es A o A C según A o A C ocurra en la i-ésima repetición de E, #S =2n . Además supongamos que P(A)= p es el mismo ( constante) para todas las repeticiones. Definimos la variable aleatoria X, X= número de veces que ocurrió A . Llamamos a X una VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL con parámetros n y p . Decimos también que X tiene una distribución BINOMIAL, los ensayos individuales se llaman ensayos de Bernoulli. Escribimos X= B (n y p ) Teorema : X= B (n y p ) f(x) = P(X=x) = Cnx pk (1 p)n - k x = 0, 1, 2, ..........., n Teorema : E(X) = n.p y V ( X ) = n.p.(1-p) 5