Análisis de estructuras

DEFINICION DE FUERZA AXIAL.
Cuando suponemos las fuerzas internas uniformemente distribuidas, se sigue de la estática elemental que la
resultante P de las fuerzas internas debe estar aplicadas en el centroide de C de la sección. Esto significa que
una distribución uniforme de esfuerzos es posible únicamente si la línea de acción de las cargas concentradas
P y P´ pasa por el centroide de la sección considerad. Este tipo de carga se conoce como carga axial centrada y
supondremos que se produce en todos los elementos sujetos a dos fuerzas que encontramos en cerchas y en
estructuras conectadas por articulaciones.
DEFINICION DE ESFURZOS CORTANTES.
Debe existir fuerzas internas en el plano de la sección y que su resultante debe ser igual a P. estas fuerzas
internas elementales se llaman fuerzas cortantes y la magnitud P de su resultante es el cortante en la sección.
Dividiendo la fuerza cortante P por el área A de la sección obtenemos en el esfuerzo cortante promedio en la
sección. Los esfuerzos cortantes se presentan normalmente en pernos, pasadores y remaches utilizados para
conectar varios miembros estructurales y componentes de máquinas.
DEFINICION DE MOMENTO FLEXIONANTE.
Un diagrama de fuerzas cortantes o un diagrama de momentos flexionantes es una grafica que muestra la
magnitud de la fuerza cortante o momento flexionante a lo largo de la viga.
¿CUANTOS TIPOS DE INDETERMINACIONES HAY?
En la discusión de las vigas estáticamente indeterminadas es conveniente referirse al grado de
indeterminaciones. El grado de indeterminaciones es el número de reacciones redundantes de la viga. Se
determina restando el número de componentes reactivas que puede colocarse por medio de la estática, del
número total de componentes reactivas de la viga. Por ejemplo en la figura 8.1 (b), hay cuatro componentes
reactivas (RAX, RAY, RBY, RCY), tres de las cuales puede determinarse mediante las ecuaciones de la
estática. La viga de la figura 8.1 (b) se dice que es indeterminada de primer grado y que los cuatro reactivos
menos las tres determinadas por la ecuaciones de estática dan una reacción redundante. Análogamente la viga
de la figura 8.1 (c) es indeterminada de segundo grado y la figura 8.1 (d)es indeterminada de tercer grado.
¿CUANTOS TIPOS DE APOYO, NUDOS O SOPORTES SE PUEDEN IDENTIFICAR O CONSTRUIR
UNA ESTRUCTURA?
• Vigas simplemente apoyadas: las reacciones de la viga ocurren en sus extremos.
• Vigas en voladizo: un extremo de la viga esta fijo para impedir la rotación; también se conoce como un
extremo empotrado, debido a la clase de apoyo.
• Vigas con voladizo: uno o ambos extremos de la viga sobresalen de los apoyos.
• Vigas continuas: una viga estáticamente indeterminada que se extiende sobre tres o más apoyos.
• Sin carga: la misma viga se considera sin peso (o al menos muy pequeño con las demás fuerzas que se
apliquen).
• Carga concentrada: una carga aplicada sobre un área relativamente pequeña (considerada aquí como
concentrada en un punto).
• Carga uniformemente distribuida sobre una porción de la longitud de la viga.
METODO DEL TRABAJO VIRTUAL
Es un método muy versátil para calcular desplazamientos en las estructuras. Estos desplazamientos pueden ser
1
debidos a cargas de cualquier tipo, cambios de temperatura, contracciones en al material estructural o errores
de fabricación. La expresión básica para el trabajo virtual es:
Trabajo virtual = trabajo virtual interno
We = Wi
En la ecuación anterior se puede expresar el primer término como el producto de una carga desconocida por el
desplazamiento buscado. El segundo termino se puede expresar en función de los elementos mecánicos de la
estructura lo cual se hará en seguida:
Considérese la armadura mostrada en la fihura, la cual esta sujeta a un sistema de cargas P, y en la cual se
desea calcular el desplazamiento vertical
en el punto A.
Considérese ahora la misma armadura sujeta a una carga F en el punto A en la dirección de
.
Si se denomina como N de las fuerzas axiales en los elementos debidas al sistema de carga P, y como n a las
fuerzas axiales en los elementos debidas a la carga F, se tiene, según BETTIQUE:
Donde el termino con paréntesis es el alargamiento o acortamiento de cada elemento de la estructura debido a
la aplicación de la carga F. por lo tanto:
Si se da a F el valor unitario (puede ser cualquier valor) se tendrá:
En forma semejante se puede establecer las expresiones del trabajo virtual interno para los demás elementos
mecánicos y se obtiene:
2
BARRA
LONGITUD L/EA
EC
DA
DC
ED
AC
CB
AB
500
300
400
300
500
300
400
.234X10−4
.140X10−4
.187X10−4
.140X10−4
.234X10−4
.140X10−4
0
.93X10−3
.56X10−3
.75X10−3
.56X10−3
1.87X10−3
1.69X10−3
0
−1.25
0.75
0
−0.75
1.25
1.50
0
−0.027
0.006
0
−0.006
0.0547
0.034
0
O
1.0(−)
0
1.0(−)
0
0
0
0
0.008
0
0.008
0
0
0
=0.06cm
ENERGIA DE DOFORMACION PARA CARGAS AXIALES
La barra simple de la estructura de la figura 13.4 tiene una carga Q aplicada gradualmente. Si el sistema se
conserva elástico, el trabajo externo es Q D/2.
La figura 13.5 indica una barra sujeta a la aplicación gradual de una carga P. la barra experimentará un
alargamiento total
. La deformación interna de un segmento de la barra, de longitud dx (figura 13.5 b) es igual a la fuerza
promedio por el cambio de longitud de dx.
La energía total de deformación para toda la barra es la suma de las energías de deformación para cada
segmento:
ENERGIA DE DEFORMACION PARA CARGAS CORTANTES
La figura 13.11 (a) indica una viga de sección transversal rectangular. Las cargas extremas producen una
fuerza cortante interna V. El esfuerzo cortante no esta distribuido uniformemente. Sobre la sección
transversal, si no que varia según la ecuación como
. Consideremos una fibra tal como lo indica la figura 13.11 (b). El trabajo que se realiza mientras que la fibra
de longitud dx esta siendo distorsionada es trabajo =
3
.
El movimiento
es igual A
ya que los ángulos son pequeños y
El área dA es igual a bdy, segunda Fig.13.11(c). el ángulo
representa la deformación unitaria por cortante.
ENERGIA DE DEFORMACIONES PARA CARGAS DE FLEXION
La fig. 13.7 indica una viga con una carga concentrada actuando en B. el trabajo externo involucra el
movimiento de la fuerza Q a travez de la deflexion
de la viga. El trabajo externo es igual a
, y recomendamos otra vez la relacion lineal carga−deflexion.
La energia interna de deformación para un segmento de longitud dx se determina sumando la energia de
deformación dU para cada fibra que existe en dx. Primero considerando la deformación en una sola fibra
localizada a una distancia y a partir del eje neutro(fig. 13.8b).
ENERGIA DE DEFORMACIONES PARA CARGAS DE TORSION
La fig. 13.12 indica una flecha circular sujeta a un par de torsión T. el trabajo externo involucra el movimiento
del par T a traves de la rotacion
. El trabajo externo es
.
La energia interna de deformación dU para un segmento dx en la figura 13.12b es
la energia de deformación en toda la longitud de la flecha se obtiene sumando la energia de deformación para
cada segmento. Este se convierte en
MODULOS DE ELASTICIDAD Y RAZONES DE POISSON
MATERIAL
MODULO DE
ELASTICIDAD
MODULO DE
RAZON DE
ELASTICIDAD CORTANTE POISSON
4
Ksi
Gpa
Ksi
Gpa
Hierro
12000−5000 83−170
4600−10000
32−69
0.2−0.3
Fundido
2500−4500 17−31
Concreto
baja−2600
18
alta−4400
30
0.1−0.2
(compresión)
Piedra
Granito, mármol
Cuarzo, piedra
caliza
Acero
Madera (flex)
Pino douglas
Roble
Pino del sur
6000−14000 40−100
0.2−0.3
3000−10000 20−70
0.2−0.3
28000−30000190−210
10800−11800
75−80
0.27−0.30
50000−55000340−380
21000−23000
0.2
14000
5600
0.25
1600−1900 11−13
1600−1800 11−12
1600−2000 11−14
Tugsteno
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MOMENTO POLAR DE INERCIA
Puede determinarse un momento de inercia usando coordenadas polares en vez de las coordenadas
rectangulares de las secciones anteriores el momento polar de inercia se define como:
donde:
d = momento polar de inercia
r = distancia radial del elemento de area
dA = area elemental considerada en m2.
Usando el teorema de Pitágoras
pero
, entonces
5
por definición
por consiguiente
OBTENCION DE LA ENERGIA DE DEFORMACION
Carga axial. Datos:
fuerza cortante
momento flexionante
6
EJERCICIO
datos:
7
EJERCICIO
CALCULO DE LAS FUERZAS EN LOS SEGMENTOS DE LA ESTRUCTURA (TODOS LO
SEGMENTOS ESTAN ARTICULADOS)
CALCULO DE LAS REACCIONES
(ángulos a 45 grados)
8
BARRA
A−B
B−C
D−E
A−D
D−B
E−B
E−C
LONGITUD
3
3
3
3
4.24
3
4.24
L/EA
0
7.14X10−6
14.29X10−6
14.29X10−6
4.04X10−6
2.86X10−6
20.19X10−6
N
0
−5
5
−10
−7.1
−5
7.1
N2L/EA
0
0.18X10−3
0.36X10−3
1.43X10−3
0.20X10−3
0.07X10−3
1.02X10−3
EJERCICICIO
PARA EL CASO DEL ESTUDIO DEL GIRO EN X=L/4
Del equilibrio se tiene
9
DIAGRAMAS DIAGRAMAS
CORTANTE CORTANTE(virtual)
DIAGRAMAS DIAGRAMAS
MOMENTO MOMENTO(virtual)
CONTRIBUCION DE CORTANTE
CONTRIBUCION POR FLEXION
EJERCICIO
10
CALCULAR EL DESPLAZAMIENTO MÁXIMO EN LA ESTRUCTURA
Solución
Calculando las reacciones
11
para conocer
se aplica el método de carga virtual unitaria
De la estática se obtiene que
Obtención de
MOMENTOS DE INERCIA
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de la relación fuerza−desplazamiento se tiene que
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OBTENER LOS VALORES DE
RESOLVER EL SIGUIENTE MARCO POR EL METODO DE RIGIDECES
Solución particular
Solución complementaria
Los momentos de empotramiento en los nudos 1 y 2
los valores de las rigideces en los nudos para los diferentes estados de deformación supuestos, son:
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las ecuaciones de equilibrio son:
sustituyendo los valores
15
resolviendo el sistema de ecuaciones anterior
una vez determinados los giros y desplazamientos en marco, se calcularan los momentos reales en dicho
marco
las reacciones y diagramas de momento, fuerza cortante y normal se determinan como sigue
reacciones en el marco
diagrama de fuerza normal
diagrama de fuerza cortante
diagrama de momentos
Para la estructura que se indica, se requiere conocer los valores de las reacciones y los diagramas de fuerzas
axiales, cortante y momentos flexionantes.
I
Vigas secundarias
3m
Trabes y estructura particular
5m rígida
16
I'
La estructura se presenta de la siguiente forma:
Corte I − I'
3m 5m
Se considera que:
REDUNDANTES
ESTRUCTURA PARTICULAR
3m 1.5 2 1.5
Solución complementaria
C−1
C−2
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