FUNCIÓN RACIONAL

ESCUELA HUINCO MONSEÑOR ENRIQUE RAU
Profesora: Iacono, Nilda Ana
Asignatura: Matemática
Curso: 5° año B
FUNCIÓN RACIONAL
Llamamos funciones racionales a las funciones cuya fórmula es una expresión racional: f ( x) 
P( x)
.
Q( x )
Salvo que se indique otra cosa, debe quedar entendido que el dominio de una función es el conjunto más
amplio de números reales para el cual la fórmula tiene sentido. Como la división por 0 no está definida, el
dominio de una función racional es el conjunto de todos los valores de la variable que no anulan al
denominador.
Cuando trabajamos con funciones racionales, como su dominio puede no ser lR, es muy importante que
tengamos constantemente presente su dominio.
x8
es: Dom g = lR – {2}
x2
x3
Ejemplo 2: El dominio de la función p( x) 
es: Dom p = lR – {-3;0}
x.(x  3)
Ejemplo 1: El dominio de la función g ( x) 
Ejemplo 3: El dominio de la función j ( x) 
x2 1
es: Dom j = lR – {-3;-1;1}
x 3  3x 2  x  3
GRÁFICOS DE FUNCIONES RACIONALES
INTERSECCIÓN CON EL EJE Y
La intersección del gráfico de una función f(x) con el eje y se produce cuando la variable x se anula. Esto es
posible únicamente si x=0 pertenece al dominio de f(x); en caso contrario, no hay intersección. La intersección
es el punto P y = (0;f(0))
CEROS
Las intersecciones del gráfico de una función racional f(x) con el eje x se producen para los valores de x que
anulan la función, es decir, para aquellos que anulan al numerador y que pertenecen al dominio de f. Esos
valores de x, si existen, son los ceros de f(x).
ASÍNTOTAS VERTICALES
Si el denominador de la fórmula de una función racional no tiene ceros, esa función no tiene asíntotas
verticales. En cambio, si a es cero del denominador y no anula al numerador, la recta de ecuación x=a es una
asíntota vertical.
Por ejemplo: g ( x) 
1
tiene dos asíntotas verticales cuyas ecuaciones son x= -1 y x=2.
( x  1)(x  2)
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Una función racional tiene asíntota horizontal si el grado del numerador de su expresión es menor o igual que
el grado del denominador.
En general, si f ( x) 
P( x)
:
Q( x )
Grados
gr[P(x)] < gr[Q(x)]
gr[P(x)] = gr[Q(x)]
gr[P(x)] > gr[Q(x)]
Asíntota horizontal
y=0
y
coeficiente _ principal_ de _ P( x)
coeficiente _ principal_ de _ Q( x)
No tiene
CONSTRUCCIÓN DEL GRÁFICO
Para graficar una función racional f(x), podemos seguir estos pasos:
 Se indica el dominio de f(x) a partir de su fórmula original.
 Si se puede, se simplifica la expresión de f y se obtiene una nueva función s(x).
Se indica el dominio de s. Debe tenerse en cuenta que el gráfico de f es como el de s, excepto para los
valores de x que pertenecen al dominio de s y no pertenecen al dominio de f. En esos valores, el gráfico de
f tiene “agujeros”.
 Se analiza si hay asíntotas. Si existen, se trazan con líneas punteadas.
 Se marcan los puntos de intersección de la curva con los ejes cartesianos, si es que existen.
 Si es necesario, se calculan algunas imágenes que ayuden a trazar la curva.
 Se traza el gráfico de modo que la curva pase por los puntos que se marcaron antes y se aproxime a las
asíntotas, si es que existen.
Ejemplo:
f ( x) 
x5
 D f  IR  0
x
*intersección con el eje y
Asíntota
Horizontal
f (0)  5  (0;5) es la intersección con el eje
*raíces
x  5  0  x  5
* asíntota vertical
x0
raíz
Asíntota
Vertical
* asíntota horizontal
1
y   y 1
1
EJERCICIOS
1) Indiquen, si es que existe, el punto de intersección del gráfico de cada una de las siguientes funciones con el eje y:
x2
x2  4
f ( x) 
g ( x) 
x 4  16
x2
h( x ) 
5x
3
x x
p ( x) 
x3  2
4  3x 2
q( x) 
x5  8
2x 4  x3  x 2
2) Hallen el conjunto de ceros de cada una de las siguientes funciones:
1
x2  4
x4 1
x3  8
x3  x 2  6x
x 5  3x 4  x  3
j
(
x
)

h
(
x
)

i
(
x
)

k
(
x
)

g
(
x
)

x2  9
 x2  4
x2 1
x2 1
5x 3
x 2  x  10
f ( x) 
3) Hallen, si es que existen, las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales de las siguientes funciones:
a( x) 
2
x 1
b( x ) 
3x 3  1
x3  x
c( x) 
x3  2x
4x 2
d ( x) 
x8
x2 1
e( x) 
6x 3  8
x2
f ( x) 
x 2  8 x  16
x4
4) Decidan cuál de las siguientes funciones corresponde a cada uno de los gráficos que se presentan a continuación.
Justificar
f ( x) 
 2x  4
2x  3
g ( x) 
2x  2
2x  3
h( x ) 
 2x  2
2x  3
r ( x) 
5) Grafiquen las siguientes funciones:
3 x  12
f ( x) 
2x  4
x3  2x 2  x  2
g ( x) 
x2
 x2  x  2
h( x ) 
x 1
 2x  2
2x  3