mapping functions

Funciones de cartografía
Función de Haldane
r = recombinación real; p = recombinación observada.
Una función de cartografía ajusta la proporción de genotipos recombinantes
observados para estimar mejor la distancia en un mapa, contando los eventos de
recombinación únicos una vez y los eventos de doble recombinación dos veces para
mejorar el estimado de la distancia entre los loci. La función de cartografía de
Haldane asume que la interferencia entre crossovers es cero.
El número de crossovers dobles se distribuye como una variable de Poisson. Sea 
igual al numero de eventos de nrossover y
 = 2m. Donde m es la distancia en el mapa. Para loci situados a menos de 10
Centimorgans m=p. Para loci situados a más de 10 Centimorgans, m no es igual a p
y m debe ser estimado usando una función. La función de cartografía considera la
probabilidad de eventos de crossing over dobles que causan que m sea más grande
que p.
Distribución del
numero de eventos
0
1
2
3
Probabilidad de ese
numero de eventos
e-2m
me-2m
2
(m /2)(e-2m)
(m3/6)(e-2m)
Si e-2m es la probabilidad de cero eventos de crossover entonces 1 - e-2m es la
probabilidad de por lo menos un evento. La proporción de genotipos recombinantes
observados es (1/2)(1 - e-2m) porque para cada evento de crossover solo la mitad
de la progenie será recombinante debido a que solo dos de las cuatro cromátidas
hermanas participa en el evento. Por lo tanto hay un coeficiente de 1/2 delante del
termino (1 - e-2m). El exponente de -2m se explica por el hecho que es la
probabilidad de un crossover = 2m.
p = (1/2)(1 - e-2m) y esta formula puede ser resuelta para m.
La determinación de la distancia del mapa usando la función de mapeo de Haldane
se basa en la proporción observada de genotipos recombinantes ajustada para el
número de crossovers dobles inobservables. Resolviendo para m:
m = -(1/2) ln(1 -2p) y esta ecuación convierte la fracción de recombinación
observada (p) en la distancia del mapa de Haldane (m). La función de mapeo de
Haldane estima la distancia del mapa para al menos un crossover (o mas) entre los
loci. Si se estima la distancia en el mapa basandose en la proporción de genotipos
recombinantes (sin usar la función de mapeo), entonces asumiremos erróneamente
que no han ocurrido eventos de doble crossing over.
Para segmentos cromosómicos cortos, la distancia del mapa = fracción de
recombinación d = r "i.e. 4% recombinación" = 4cM = 8% crossover.
i.e. 4% recombinación = 4cM = 8% c.o. eventos
Sin embargo, considérese 3 loci separados por más de 10cm.
r no es igual a r + r ; r = r + r - 2r r .
r c no es igual a 40cM; r = 0.2 + 0.2 - 2(0.04) = 0.32.
Comparar estoa 3 loci ligados estrechamente.
La combinación es aditiva para distancias cortas.
r
=r
+r
= 0.06 + 0.08 = 0.14 = 14%
2m = prob. De un único crossover entre A y B
2n = prob. De un único crossover entre B y C
2(m-mn) = probabilidad de un único crossover entre A y B, excluyendo crossovers
dobles entre el locus A y B con el locus B y C.
2(m-mn+mn) = 2m = probabilidad de un crossover entre los loci A y B cuando se
añaden crossovers dobles de dos hebras al crossover único.
2(n-mn+mn) = 2n = probabilidad de un crossover entre los loci B y C cuando se
consideran ambos: crossovers dobles de dos hebras y crossovers simples se
consideran simultáneamente.
Función de Kosambi
La función de cartografía de Haldane asume que no hay interferencia lo cual
incrementaría o disminuiría la proporción de crossovers dobles. La función de mapeo
de Kosambi está basada en datos empíricos basados en la proporción de crossovers
dobles respecto de la distancia. La función de Kosambi ajusta las distancias del mapa
basándose en la interferencia la cual cambia la proporción de crossovers dobles.
Donde 2m es la probabilidad de un evento de crossing over y m es la distancia en el
mapa.
4m = ln(1 + 2p) - ln(1 - 2p)
-
ver Liu texto pgs. 322-324
la función de mapeo de Haldane es:
rAC = rAB + rBC - 2rAB rBC
y no ajustaba por interferencia.
La función de mapeo de Kosambi es:
rAC = rAB + rBC -2CrAB rBC
donde C es el coeficiente de coincidencia
y m = 1/4log [(1+2r)/(1-2r) for 0 <= r < 0.5
Podemos calcular m o la distancia en el mapa cuando conocemos r.
(fracción de recombinación).
Como estimamos r a partir de los números observados de progenies con crossovers
y no-crossover? Hay varios métodos que incluyen el método del producto y el
método de las probabilidades o Likelihood.
Ver Liu pg 320-321
Sea d = la distancia en centiMorgans,
Let p = fracción de recombinación observada.
Let d = -1/2ln(1 - 2p) para 0 <= p <= 0.5
Let d = infinito for p >= 0.5.
Tambien, p = 1/2(1 - e
ejemplo:
p = 0.392, encontrar d.
)
d
d
d
d
d
=
=
=
=
=
-1/2ln(1 - 2(0.392))
-1/2ln(1 - 0.784)
-1/2ln(0.216)
-1/2(-1.5325)
0.766M = 76.6cM
Sea d = 50cM = 0.5M, encuentre p.
p
p
p
p
=
=
=
=
1/2(1 - e-2d)
1/2(1 - e-1) = 1/2(1 - 1/e)
1/2(1 - 0.36)
0.32 = 32%
Por lo tanto, 50cM no es igual a distribución independiente entre dos loci.
Bibliografía
Liu, B.H. 1997. Statistical Genomics: Linkage Mapping and QTL Analysis. CRC Press.
pg 18-19. pgs 328-328
Haldane, J.B.S. 1919. J. Genet. 8:299-309.