Distancia de un punto a una recta

GEOMETRIA ANALITICA
Distancia de un punto a una recta:
La distancia de un punto a una recta, es la longitud perpendicular ữ a la recta D, trazada
desde el punto M’ al punto M.
Para calcular la distancia de un punto M(x, y) a una recta Ax + By + C = 0, sin pasar por
una medición gráfica, vamos a utilizar un sistema de coordenadas cartesianas, con los
pasos siguientes:
a) La recta y el punto cuya distancia se quiere medir son definidos por su ecuación
cartesiana y sus coordenadas respectivamente.
b) La distancia de un punto a una recta es la medida sobre una recta perpendicular a
la anterior y que pase por el punto.
c) Como nos darán la ecuación de la recta, sabremos la pendiente de la recta (sea m
esta pendiente), entonces la pendiente de las rectas perpendiculares a esta
tendrán pendiente -1/m, por ser rectas perpendiculares.
d) Además esa recta tiene que pasar por el punto M’ indicado, nos será muy fácil
calcular la ecuación de esa recta. Usando la pendiente y el punto dado.
e) Ya tenemos entonces las ecuaciones de las dos rectas, planteamos y resolvemos
el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos rectas,
obtendremos el punto en el que se cortan las rectas.
f) Ya tenemos entonces las coordenadas de dos puntos (uno el punto original M’ y
otro sobre la recta M, este punto es el mas cercano al primero), y entonces
Utilizando la ecuación de la distancia entre dos puntos determinaremos la
distancia.
E je mp l o:
Encontrar la ecuación de la recta que contiene el punto P(17, 12) y es
perpendicular a la recta de ecuación 5x + 12y – 60 = 0.
Solución:
Como la pendiente de la recta de ecuación 5x + 12y – 60 = 0. Es
Entonces,
si m1 denota la pendiente de la perpendicular se sigue que
Así que de la recta que se busca, se conoce su pendiente
el punto P(17, 12)
y
En consecuencia, la ecuación de dicha recta viene dada por:
12x – 5y – 144 = 0 es la ecuación general de la recta.
Para encontrar el punto de intersección, entre las rectas, se resuelve
simultáneamente el sistema:
5x + 12y – 60 = 0
(1)
12x – 5y – 144 = 0
(2)
Para ello, se multiplica por 5 la ecuación (1) y se le suma la ecuación (2)
multiplicada por 12. Así:
25x + 60y – 300 = 0
144x – 60y – 1728 = 0
169x – 2028 = 0
de donde x = 12 es la abscisa del punto de intersección.
Reemplazando el valor de x, así obtenido en cualquiera de las ecuaciones (1) ó (2)
se obtiene y = 0 como la ordenada del punto de intersección entre las rectas.
Es decir PI(12, 0) es el punto de intersección pedido.
En la fig. se ilustra la situación planteada.
Usando la fórmula de la distancia entre dos puntos, se obtiene:
Otra forma de obtener la distancia entre los puntos P y PI es usando la fórmula de
la distancia del punto P(17, 12) a la recta de ecuación: 5x + 12y – 60 = 0.
d
es la distancia que se busca
A
es el coeficiente de “X” en la ecuación = 5
X1
es el valor de la abscisa en el punto dado = 17
B
es el coeficiente de “Y” en la ecuación = 12
Y1
es el valor de la ordenada en el punto dado = 12
Ej em pl o :
C al cul a l a di st anci a del punt o P (2, -1) a l a rect a r de ecu aci ó n
3x + 4 y = 0
Miscelánea de Ejercicios:
1.- Calcula la distancia del punto dado a la recta cuya ecuación es:
a)
b)
c)
d)
P (5,1)
P (3,-2)
P (3,0)
P (2, 3)
8x - 6y + 5 = 0
2x + 5y - 7 = 0
x+y =0
x + 2y - 8 = 0
2.- Calcular la distancia del punto (-3,12) a la recta - 5x+4y – 27 = 0
3.- Calcular la distancia entre las rectas paralelas 3x+5y - 23=0 y 3x+5y - 35=0
4.- Calcular la distancia entre las rectas paralelas 2x+6y -49=0 y 4x+12y + 25=0
5.- Halla la distancia del punto P(1,3) a la recta x + y - 2 = 0
Ing. Jaime Acosta Vélez
Mayo del 2009