Ecuación de propagación de una onda

Ondas. Ecuación de propagación de una onda
Departamento de Física y Química. IES Ramón y Cajal Zaragoza
Ecuación de propagación de una onda
Imaginemos una onda que viaja en una dirección, por ejemplo, una onda en una cuerda muy larga.
Supongamos una situación ideal en la que el medio sea uniforme y la onda no pierda energía, de
manera que la amplitud no disminuya a lo largo de su trayecto.
Si nos fijamos en un punto cualquiera de la cuerda, que habremos pintado previamente para
diferenciarlo de los otros, observaremos que su movimiento es armónico, igual que el del punto
donde se genera la onda. Sin embargo, hay una diferencia importante: su movimiento es igual que
el del punto en el que se genera la onda, pero está desfasado.
Vibra del mismo modo que el punto de la cuerda que está en el
origen, que denominaremos fuente de la onda, pero con un cierto
retraso. Este retraso es el tiempo que tarda la onda en llegar.
Supongamos la ecuación del movimiento vibratorio del punto de
la cuerda que se encuentra en el origen de la onda:
y = A sen wt
Figura
Cuando una onda se propaga, un
punto P, al cual llega la onda, hace
lo mismo que el origen pero con un
retraso, t, igual al tiempo que tarda
la onda en viajar desde el origen
hasta el punto. El retraso del punto
P es igual a la distancia que la onda
recorre dividida entre la velocidad
de propagación: t, = x/vp.
Como la onda viaja a una velocidad v p a través del medio, tarda
un tiempo, que denominaremos t r (tiempo de retraso), en llegar a
un punto que esté a una distancia x. Se ha de verificar:
v p = x/t r ; t r = x/v p
Podemos considerar que la ecuación con que vibra el punto a una
distancia x es la misma que la ecuación con que vibra el que se
encuentra en el origen, pero lo hace en un tiempo t - t r, retrasado
respecto al origen:
y = A sen w (t – t r) = A sen [wt - w (x/v p)]
Si consideramos que v p = λ/T; v p = λf y w = 2πf, la ecuación anterior puede expresarse así:
y = A sen [wt - 2πf (x/λf) ] = A sen [wt – (2π/λ) x]
Si llamamos k, número de onda, a la expresión 2π/λ, la ecuación que indica cómo se mueve un
punto que esté a una distancia x del origen a lo largo del tiempo es la siguiente
y = A sen (wt - kx)
donde:
w = 2π/T
La ecuación anterior también puede escribirse así:
y = A sen 2π (t/T – x/λ)
Estas ecuaciones corresponden a un punto x que esté en la dirección hacia donde via ja la onda (a la
derecha del origen), de manera que hace lo mismo que la fuente de la onda pero con un cierto
retraso. Si la onda viaja en sentido contrario, de manera que pasa antes por el punto en la posición x
que por el origen, será aquel punto el que vibre antes. En la ecuación anterior, sólo cambiará el
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signo: habrá un signo + en lugar del signo -:
y = A sen (wt + kx)
La ecuación de una onda armónica es:
y = A sen (wt ± kx).
El signo - corresponde a aquella situación en que la onda viaja desde el origen hasta un punto de
distancia x. El signo + corresponde a la situación inversa.
Es importante destacar que la amplitud de una onda y la elongación tienen las unidades que
corresponden al tipo de perturbación que se transmite. Por ejemplo, si se trata de ondas en una
cuerda o en el agua, las unidades de A e y corresponderán a las de una longitud; en cambio, si se
trata del sonido, las unidades corresponderán a las de la presión; y, si se trata de una onda
electromagnética, corresponderán a las del campo eléctrico o magnético.
y = A cos (wt - kx) y = A sen (kx - wt) y = A cos (kx - wt) son ecuaciones de ondas que se propagan hacia la
izquierda en el eje de coordenadas. En cambio las ecuaciones
y = A cos (wt + kx) y = A sen (kx + wt)
derecha en el eje de coordenadas.
y = A cos (kx + wt) son ecuaciones de ondas que se mueven hacia la
Ejemplo 1
Escribe la ecuación de la onda armónica que se produce cuando el extremo de una cuerda vibra con una amplitud de
0,4 m y una frecuencia de 3 Hz. La velocidad de propagación de la onda en la cuerda es de 6 m s -1 .
Solución
Podremos escribir la ecuación si conocemos los tres parámetros que intervienen: A, w y k. El valor de A es 0,4 m. El
valor de w se calcula fácilmente:
w = 2nf = 2 π rad x 3 s -1 = 6 π rad s -1
Para poder calcular k, hay que conocer la longitud de onda, que debe cal cularse a partir de la velocidad de
propagación y la frecuencia
vp = λ f; λ = v p /f = 6 m/s -1 / 3 s -1 = 2 m
k = 2π/ λ = 2π/ 2 = π rad m -1
Finalmente, sustituimos A, w y k en la ecuación general de las ondas:
y = A sen (wt - kx)
y = 0,4 sen (6π t - π x)
Ejemplo 2
La ecuación de una onda armónica es y = 0,050 sen (12,6t - 4,2x). Calcula:
a) La amplitud, longitud y velocidad de propagación de la onda.
b) La velocidad y aceleración máximas de un punto del medio a través del cual pasa la onda.
Solución
a) Si comparamos la ecuación y = 0,050 sen (12,6t - 4,2x) con la ecuación general de las ondas, y = A sen (wt - kx),
advertiremos que A = 0,050, w=12,6 y k = 4,2. A partir de w, podemos calcular la frecuencia y, a partir de k, la
longitud de onda y la velocidad:
w = 2 π f; f = w/2 π = 12,6 rad s -1 / 6,28 rad = 2,0 Hz
k = 2 π / λ; λ = 2 π / k = 6,28 rad / 4,2 rad m -1 = 1,5 m
v p = λ f = 1,5 m x 2,0 s-1 = 3,0 m s -1
c) La velocidad y la aceleración máximas de vibración de un punto del me dio pueden calcularse de acuerdo con las
fórmulas correspondientes a un movimiento armónico simple:
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v máx =Aw = 0,050 m . 12,6 rad s -1 = 0,63 m s -1
a máx = Aw 2 = 0,050 m . (12,6 rad s -1 ) 2 = 7,9 m s -1
Actividades
3. La ecuación de una onda es y = 2,5 sen 2π (t/4+2x). Calcula su amplitud, frecuencia, longitud y velocidad de
propagación. ¿Cómo se propaga la onda, acercándose o alejándose del origen?
4. La ecuación de una onda que se propaga en una cuerda es:
y = 0,001 sen(314t-62,8x)
a) ¿A qué velocidad y en qué sentido se mueve la onda?
b) ¿Cuáles son la longitud de onda, la frecuencia y el período?
c) ¿Cuáles son las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración, en función del tiempo, de una partícula que se
encuentra en el punto x = 0,03 m?
Las ondas, como ya se ha dicho, se caracterizan por una doble periodicidad: en el tiempo y en
el espacio. Un punto repite su movimiento al cabo de un tiempo T, y dos puntos separados una
distancia igual a la longitud de onda, λ, vibran de la misma manera.
Consideremos la ecuación de una onda armónica: y = A sen (wt - kx). Supongamos que se
mueve hacia la derecha, en la dirección x.
Observamos que y puede adoptar valores entre A y -A; el valor concreto de y depende del
instante t y de la posición x del punto que consideremos. Todos los puntos que tengan el mismo
valor de wt - kx vibrarán de la misma forma; por ello, esta expresión se denomina fase, φ, y se
mide en radianes:
φ = wt – kx
Si se consideran dos puntos o dos instantes diferentes, la diferencia entre las fases
correspondientes se denomina diferencia de fase o, simplemente, desfase, Δ φ:
Δ φ = (wt 2 - kx 2) - (wt 1 – kx 1)
A menudo, se mide el desfase entre dos puntos diferentes en el mismo instante. Si el tiempo es
igual, el desfase puede calcularse de la siguiente manera:
Δ φ = (wt - kx 2) - (wt - kx 1)= k(x 1 - x 2)
La gráfica nos muestra cómo varía y
en función de x, para un tiempo
constante. Observamos que el valor
de y se repite periódicamente para
intervalos de x iguales a la longitud
de onda λ
Dos puntos están en fase si su desfase es 0, 2 π, 4 π, ..., en general n2 π (donde n es cualquier
número entero, positivo o negativo). Si es así, vibran de la misma manera. Como puede
comprobarse, dos puntos están en fase si su separación, x l - x 2, es múltiplo entero de la longitud
de onda:
n 2 π = (2 π / λ) (x l - x 2)
(x l - x 2) = n λ Los dos puntos vibran en fase
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Figura
a) Los puntos a y a’ y b y b' están
en fase, ya que en cualquier instante
vibran con la misma elongación y
velocidad. Dos puntos están en fase si
están a una distancia igual a un número
entero de longitudes de onda.
b) Los puntos d y d' y e y e' están en
oposición de fase. Dos puntos están en
oposición de fase si están separados
por un número impar de medias
longitudes de onda.
Cuando los dos puntos tienen
un desfase de π, 3π, 5π, ..., en general (2n+1)π (donde n es cualquier número entero), vibran en
oposición de fase, lo que significa que se mueven de la misma manera, pero en sentidos opuestos.
Puede comprobarse que cuando una onda viaja, dos puntos vibran en oposición de fase si están
separados por una distancia de λ /2, (3/2) λ, (5/2) λ, en general, (2n+l)( λ /2):
Δ λ = (2π / λ) (x l - x 2) = (2n + 1) π
x 1 - x 2 = (2n + 1) λ /2 => Los puntos vibran en oposición de fase
Naturalmente, entre estas situaciones extremas hay todas las otras posibilidades, donde los
puntos no están ni en fase ni en oposición de fase, y su desfase se caracteriza, simplemente, por el
valor de Δ φ.
Ejemplo 4
La ecuación de la propagación de una onda es y = 0,050 sen (12,6t - 4,2x).
a) Calcula el desfase entre dos puntos separados 2 m.
b) ¿Cuál es la mínima distancia entre dos puntos que vibran en oposición de fase?
Solución
a) El desfase entre dos puntos debe calcularse a partir de la expresión
Δ φ = (2 π / λ) (x1 - x2 ). La longitud de onda puede deducirse a partir de
k = 2 π/ λ;
el desfase resulta:
λ = 2 π rad/4,2 rad m -1 = 1,5 m
Δ φ = (2 π / λ) (x 1 - x2 ) = (2 π rad/1,5 m) 2 m = 8 π/3 rad
c) Dos puntos que vibran en oposición de fase han de estar separados media longitud de onda o, en general, un
número impar de medias longitudes de onda. Como la longitud de onda es 1,5 m, la mínima distancia entre dos
puntos en oposición de fase es 0,75 m
Actividades
5. Una onda se propaga según la ecuación:
y = 0,25 sen (8 π t- 12 π X)
a) ¿Cuál es el desfase entre dos puntos separados por 0,5 m?
b) ¿Qué separación han de tener dos puntos para que estén en fase?
c) ¿Qué distancia hay entre dos puntos que tienen un desfase de π /2 radianes?
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6. Una onda de 30 Hz de frecuencia se desplaza a una velocidad de 80 m s -1
a) ¿Cuál es la distancia entre dos puntos que tienen una diferencia de fase de 30o?
b) Si la amplitud de onda es de 0,05 m y viaja alejándose del origen, ¿cuál es la ecuación de la onda?
Para completar la idea de desfase entre dos puntos diferentes en el mismo instante, también
podemos considerar el desfase de un mismo punto de la cuerda en dos instantes diferentes, o
periodicidad respecto al tiempo. En este caso, si la posición x es la misma, el desfase en
diferentes instantes puede calcularse de la siguiente manera:
Δ φ = (wt 2 - kx) - (wt 1 - kx)= w(t 2 – t 1)
En la gráfica observamos cómo varía
y en función de t, para un punto fijo.
Observamos que el valor de y se
repite periódicamente para intervalos
de t iguales al período T.
Al igual que el caso anterior, dos puntos están en fase si su desfase es 0, 2 π, 4 π, ..., en
general n2 π (donde n es cualquier número entero, positivo o negativo). Si es así, vibran de la
misma manera. Como puede comprobarse, dos puntos están en fase si el tiempo transcurrido en la
oscilación, t 2 – t 1, es múltiplo entero del período:
n 2 π = (2 π / T) (t 2 – t 1)
(t 2 – t 1) = n T Los dos puntos vibran en fase
Veamos ahora, al igual que ocurría entre dos puntos diferentes de la onda que vibraban en
oposición de fase, también tenemos en un mismo punto x, instantes que vibran en oposición de
fase: cuando el desfase de tiempo es de π, 3π, 5π, ..., en general (2n+1)π (donde n es cualquier
número entero), un punto se encuentra vibrando en oposición de fase, lo que significa que se
encuentra vibrando de la misma manera, pero en sentido opuesto.
Puede comprobarse que en un movimiento ondulatorio, un punto vibra en oposición de fase si ha
transcurrido un tiempo T/2, (3/2) T, (5/2) T, en general, (2n+l)( T /2):
Δ φ = (2π / T) (t 2 – t 1) = (2n + 1) π
t 2 – t 1 = (2n + 1) T /2 => Los puntos vibran en oposición de fase
Naturalmente, entre estas situaciones extremas hay todas las otras posibilidades, donde los
puntos no están ni en fase ni en oposición de fase, y su desfase se caracteriza, simplemente, por el
valor de Δ φ.
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Energía de una onda
Ya que las ondas transportan energía y cantidad de movimiento a través de vibraciones
que se transmiten de un punto a otro, es interesante poder medir la energía transportada
por una onda armónica.
Consideremos una onda armónica que se propaga en cierta dirección. Cuando una
partícula del medio es alcanzada por la perturbación que produce la onda, se ve sometida
a un movimiento armónico igual al punto que generó la onda (siempre que no se
produzca disipación de energía) La energía que posee en el punto es cinética, debido al
movimiento de oscilación y potencial elástica, debida a la posición que ocupa respecto a
la posición de equilibrio. Tal como vimos en los movimientos vibratorios, los
movimientos armónicos provienen de campos de fuerzas conservativos.
Por este motivo, la suma de la energía cinética más la potencial, que constituyen la
energía mecánica total, se conserva.
La energía cinética Ec que posee la masa m del punto que oscila con movimiento
armónico, es: Ec = ½ mv2
La energía potencia elástica, Ep, causada por la fuerza elástica que tiende a desplazar al
punto m de su posición de equilibrio, es: Ep = ½ Ky 2 siendo y la elongación de la
partícula.
Cuando la partícula ha adquirido la máxima elongación A, toda su energía es potencial
elástica, mientras que cuando pasa por la posición de equilibrio, toda su energía es
cinética. En los puntos intermedios, la partícula dispondrá de energía cinética y potencial,
pero la suma de ambas, en cualquier instante, debido a su conservación es:
Em = Ec máx = ½ m v 2máx
Para obtener el valor de la velocidad, v máx, ya sabemos que hay que derivar respecto al
tiempo el valor de y, y su valor es: v(t) = Aw cos wt, por lo tanto el valor máximo que
adquiere la velocidad en los puntos de equilibrio es:
vmáx = Aw
sustituyendo en el valor de Em; E = ½ m A2 w2 = ½ m A2 4π2 f2;
E = 2 m A2 π2 f2
La energía transmitida por una onda armónica es proporcional al cuadrado de la amplitud
de la onda y al cuadrado de su frecuencia.
Si queremos expresar el valor en términos de Potencia, donde definimos la potencia
como la energía transferida por unidad de tiempo:
P = E/Δt = [2 m A 2 π2 f2] / Δt
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Intensidad de las ondas. Caso de ondas bidimensionales y tridimensionales
Además de las ondas que se propagan en una
dimensión (unidimensionales) y que teóricamente
hemos analizado, existen ondas que se propagan en
dos o en tres dimensiones, es decir, sobre una
superficie o en el espacio. A estas ondas se las
denomina bidimensionales o tridimensionales.
Los ejemplos más típicos son las ondas producidas
en la superficie del agua o las ondas sonoras en el
aire.
En el caso de ondas que se propagan en dos o
tres dimensiones se define el concepto de
intensidad de onda I.
ΔE2
R2
ΔE
R1
ΔE1
λ
Cuando arrojamos una piedra sobre la superficie del
agua del un estanque se forman una serie de circunferencias concéntricas. Decimos que
se ha originado un frente de ondas o superficie de onda.
Después de un tiempo, el movimiento ondulatorio ha alcanzado todos los puntos de una
circunferencia de radio R 1. Todos estos puntos que constituyen un frente de onda,
presentan el mismo estado de vibración, vibran en concordancia de fase.
En los casos de ondas bidimensionales o tridimensionales y si el medio es homogéneo e
isótropo, un foco emisor producirá un frente de onda circular o esférico con centro en el
foco emisor.
Que un medio es homogéneo, quiere decir que tiene las mismas propiedades y el mismo
comportamiento en todos sus puntos.
Que un medio es isótropo significa que sus características físicas no dependen de la
dirección
La dirección de propagación de las ondas es perpendicular al frente de ondas y su
velocidad es la misma en todas las direcciones radiales.
Rayo, es la recta que indica la dirección de propagación de una onda. Su dirección es
siempre perpendicular al frente de onda.
Una vez que el foco emisor ha producido la perturbación, el movimiento ondulatorio
generado va alcanzando los frentes de onda de radio cada vez mayor. Éstos reciben la
energía procedente del foco central, que se reparte por toda la superficie de la onda.
Teniendo en cuenta esta superficie, se introduce un nuevo concepto, la intensidad I.
Se define la intensidad de una onda, I, como la energía que atraviesa por segundo la
unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación:
I = E/ Δt.S
Puesto que la energía por segundo es la potencia, la intensidad de una onda, I, se mide en
Wm-2 o J.s-1. Si la potencia es P y la superficie es S, tenemos:
I=P/S
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Si se considera una onda mecánica, de cualquier tipo, puede demostrarse que su
intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud de vibración:
I α A2;
Veamos; si en la ecuación: I = P / S sustituimos el valor de la Potencia, quedará:
I = P / S;
I = [2 m A2 π2 f2] / S. Δt
Donde se observa que la intensidad de una onda es proporcional al cuadrado de la amplitud de
vibración y al cuadrado de su frecuencia
Consideremos ahora dos superficies esféricas a las distancias R1 y R2 del foco emisor, la
intensidad de cada superficie será:
I1 = E / Δt.S = E / Δt 4πR12;
De donde se deduce que para una onda esférica:
I2 = E / Δt 4πR22
I1/I2 = R22/R12
Es decir, la intensidad de un movimiento ondulatorio, cuyas superficies de onda son
esféricas, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde el foco emisor.
Y, como la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud, también deberá serlo de la
intensidad. Como consecuencia, la amplitud de la vibración es inversamente proporcional a
la distancia al foco emisor:
I1/I2 = R22/R12;
I1/I2 = A12/A22, por lo que R2/R1 = A1/A2
El caso de las ondas electromagnéticas…. Estas ondas presentan una gran
diferencia
En cambio, no sucede lo mismo con la energía de las ondas electromagnéticas. A inicios
del siglo XX, Einstein propuso la idea de que la luz y las otras ondas electromagnéticas
transportaban la energía en unas unidades que denominó fotones, de manera que la
energía transportada por cada fotón es proporcional a la frecuencia:
E fotón = h.f
El factor h se denomina constante de Planck y su valor es de 6,6 x 10-34 Js; un valor
tan pequeño de h supone que, aunque algunos fotones tengan una frecuencia muy elevada,
como por ejemplo los de los rayos gamma, la energía transportada por un único fotón sea
muy pequeña.
La energía total de la luz es la suma de las energías transportadas por todos los fotones.
Sin embargo, los efectos energéticos de la luz dependen del efecto de cada fotón individual
sobre los átomos o moléculas del material. Si un fotón puede provocar algún tipo de efecto,
como la ruptura de un enlace determinado de una molécula, cuantos más fo tones choquen,
más moléculas se romperán; en cambio, si un fotón individual no dispone de suficiente
energía, no se producirá ningún efecto ni se romperá ningún enlace, aunque choquen
muchos fotones.
Si tenemos luz monocromática de frecuencia f, la energía total que transporta es igual al
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producto del número de fotones, n, por la energía, hf, que transporta cada fotón:
Etotal = n Efotón = n.h.f
Este comportamiento es totalmente diferente del de las ondas mecánicas, que podemos
imaginar que actúan gradualmente y que pueden transferir energía de una forma continua.
Por ello, como verás más adelante, se dice que la luz presenta una dualidad ondapartícula. Cuando viaja, se comporta como una onda y reúne las propiedades características de las ondas; pero, cuando choca, se comporta como si fuera una partícula
dotada de cantidad de movimiento y energía. Este comportamiento se estudiará en la
última unidad del libro.
Fíjate que ahora, a diferencia de las expresiones que hemos obtenido para las ondas
esféricas mecánicas, la Intensidad que se define como:
I = E/ Δt.S; y, en términos de potencia: I = P / S
ahora tiene una expresión:
I = n.h.f / Δt.S
Si la onda es esférica, S = 4πR 2, sustituyendo, tenemos: I = n.h.f / Δt. 4πR 2
donde n.h.f / Δt es la potencia de la onda electromagnética
la frecuencia puede determinarse a partir de la λ de la onda electromagnética, da acuerdo
con la expresión c = λ.f
La energía de la radiación electromagnética y de las partículas elementales se mide,
normalmente, en electronvoltios (eV). Como ya has visto en la unidad en que se estudiaba
el campo eléctrico, 1 eV es la energía de un electrón que se acelera con una diferencia
de potencial de 1 V y es igual a 1,6 x 10-19 J. Los electronvoltios son una unidad muy
conveniente, ya que permiten comparar fácilmente la energía de diferentes radiaciones.
Figura
Las manchas del zumo de
cereza son difíciles de limpiar.
Conviene tender al sol la pieza
manchada y dejar que los
fotones rompan las moléculas
de los colorantes.
Gradualmente, el color de la
pieza manchada irá
desvaneciéndose.
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Figura
Relación entre la sensación de color, la longitud de onda, la frecuencia y la energía de la luz
visible.
Sensación (color)
rojo
Longitud de onda (nm)
700
14
amarillo
verde
570
515
14
violeta
400
14
Frecuencia (Hz)
4,3 x10
5,3 x 10
5,8 x 10
Energía (eV)
1,8
2,2
2,4
7,5 x 1014
3,1
La energía que corresponde a los fotones de luz roja (650 nm) es de unos 2eV, mientras que
los fotones de rayos X transportan una energía de más de 70 000 eV: los fotones de rayos X
transportan unas 35000 veces más energía que los de luz roja. Por otro lado, es evidente que,
si se quiere obtener rayos X a partir del choque de electrones acelerados en un campo
eléctrico, la diferencia de potencial necesaria es de más de 70 kV
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- Ejemplo 5
La intensidad de la radiación que llega a la Tierra procedente del Sol es, aproximadamente, de 1400 Wm -2. El Sol se
halla a unos 150 millones de kilómetros de distancia respecto de la Tierra. ¿Cuál es, aproximadamente, la energía
total que libera cada segundo? Si toda esta energía fuera transportada por fotones de 500 nm de longitud de onda,
¿cuántos fotones emitiría el Sol por segundo?
Solución
La energía del Sol ha de distribuirse en un frente de onda esférico. A la distancia r (la que le separa de la Tierra) este frente de onda tiene una superficie de:
S = 4 π r 2 = 4 x 3,14 x (150 x 106 x 103 m)2 = 2,8 x 1023 m2
A cada metro cuadrado de superficie perpendicular a la dirección de propagación, en la Tierra, llegan 1 400 W. Si calculamos la potencia que llega a
la superficie de toda la esfera de radio r, obtendremos la potencia que
ha de salir del Sol:
Psol = 1 400 W m-2 x 2,8 x 1023 m2 = 3,9 x 1026 W
Cada segundo salen del Sol 3,9 x 1026 J de energía. Si suponemos que la
transportan fotones de 500 nm, hemos de calcular, en primer lugar, qué
energía tiene cada fotón:
E = = hf = h.c / λ = 6,6 x 10-34 Js . 3.108 m.s-1 / 500.10-9m = 4,0 x 10-19 J
La energía total emitida por el Sol por segundo ha de ser la energía que
transporta un fotón multiplicada por el número de fotones emitidos por
segundo, n:
Figura
En los lugares donde la radiación del Sol
llega intensamente, pueden construirse
plantas de energía solar que concentren
la radiación mediante una gran
cantidad de espejos (que pueden variar
de orientación) en un recipiente donde la
intensidad del calor hace hervir agua y
genera vapor que mueve una turbina.
Etotal = n Efotón = n.h.f
3,9 x 1026J = n x 4 , 0 x 10-19 J
n = 9,7 x 10 44 fotones
Actividades
7. Si consideramos los fotones correspondientes a diferentes colores de la luz visible, ¿cuáles tienen más
energía, los de la luz roja o los de la luz violeta? ¿Cuál es la energía de un fotón de luz roja de longitud
de onda de 630 nm? ¿Y la de uno de luz amarilla de 590 nm de longitud de onda?
8. En un laboratorio de revelado fotográfico, hay unos procesos que se pueden realizar con luz roja, para
facilitar la manipulación de los enseres y observar cómo evoluciona el proceso sin velar las fotografías.
¿Por qué no se puede utilizar una bombilla de luz amarilla o azul?
9. Los fotones de luz violeta tienen una longitud de onda de 400 nm; los de luz roja, de unos 650 nm. ¿Cuántas
veces es mayor la energía de los fotones de luz violeta que los de luz roja?
10. Se aceleran electrones con una diferencia de potencial de 100 kV que, cuando chocan con un metal,
producen rayos X. ¿Cuál es la máxima frecuencia que puede tener la radiación, suponiendo que toda la
energía cinética de los electrones se transfiere a los fotones de rayos X
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Atenuación y absorción
A medid que se aleja el foco emisor, la onda disminuye su energía; esto se debe a que:
La energía propagada se distribuye en la superficie del frente de onda y el número de partículas en
vibración aumenta, por lo que la energía que alcanza a cada partícula es menor y, en consecuencia,
vibran con menos energía. Este fenómeno se denomina atenuación o disminución natural de la
energía.
Los rozamientos de las partículas del medio y otras causas producen una absorción de energía, cuya
magnitud depende de la naturaleza del medio de propagación de la onda.
Una absorción de energía muy grande puede conducir a la anulación de la onda.
Se demuestra que la intensidad de una onda decrece exponencialmente con la distancia del foco
emisor, de acuerdo con la expresión siguiente:
I = Io e-βR
Donde
I: intensidad de la onda a la distancia R del foco emisor
Io: intensidad inicial.
Β: coeficiente de absorción del medio
R: distancia al foco emisor
Resumen:
Llamamos intensidad de un movimiento ondulatorio a la potencia transmitida por cada metro cuadrado
de superficie del medio, perpendicular a la dirección de propagación. Hay dos causas principales de
pérdida de intensidad.
La distancia al foco. Atenuación: La intensidad es
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
al foco de las ondas y la amplitud es inversamente
proporcional a esa distancia. Al disminuir la
amplitud, las partículas vibran con menor energía
I1/I2 = R22/R12
R2/R1 = A1/A2
donde I1 e I2 son las intensidades a las distancias R1 y
R2 del origen, mientras que A1 y A2 son las
amplitudes de las ondas.
La absorción por el medio: La energía de las ondas es
absorbida por el medio de acuerdo con la ley:
I = Io e- βR
donde Io es la intensidad antes de penetrar en el medio, R
es la distancia penetrada y β es el coeficiente de
absorción, una constante que depende del medio.
http://newton.cnice.mec.es/materiales_didacticos/ondas2/ondas-conclusion4.html?3&2
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Ondas. Ecuación de propagación de una onda
Departamento de Física y Química. IES Ramón y Cajal Zaragoza
Ondas sonoras
La vibración de las cuerdas de una guitarra, la de una campana, un timbre eléctrico, una copa
de cristal o la de nuestras cuerdas vocales mueve las capas de aire del entorno. Estas
vibraciones de los cuerpos se transmiten mediante un movimiento ondulatorio.
Si la vibración llega a través del aire a nuestro oído, provoca en el tímpano vibraciones que
son transmitidas al oído interno y, de allí, al cerebro, produciendo una sensación que
llamamos sonido
El sonido es una vibración o perturbación mecánica de algún cuerpo que se propaga en forma
de ondas a través de cualquier medio material elástico. La onda mediante la cual se propaga
el sonido a través de un medio material elástico se denomina onda sonora.
Ésta se caracteriza por tener una frecuencia dentro del intervalo de percepción del oído
humano normal de 20 Hz a 20000 Hz.
Ejemplos de onda sonora son las generadas por las cuerdas vocales, por los instrumentos de
música...
Sin embargo, no todas las ondas son audibles para el oído humano:
— Las ondas infrasónicas, cuyas frecuencias están por debajo del .intervalo audible
(frecuencias inferiores a 20 Hz). Son las generadas, por ejemplo, por los temblores de
tierra.
— Las ondas ultrasónicas, cuyas frecuencias están por encima del intervalo audible
(frecuencias superiores a 20000 Hz). Son las generadas, por ejemplo, al inducir
vibraciones en un cristal de cuarzo con un campo eléctrico alterno.
Mecanismo de formación de las ondas sonoras
Las ondas sonoras son un caso particular de ondas longitudinales. Consisten en sucesivas
compresiones y dilataciones del medio de propagación, producidas por un foco en
movimiento vibratorio. Al paso de la onda, el medio experimenta variaciones periódicas de
presión.
La figura muestra el mecanismo de formación y propagación de las ondas sonoras
unidimensionales, mediante un émbolo vibratorio situado en un extremo de un cilindro
estrecho de longitud indefinida que contiene un gas
Al empujar el émbolo hacia la
derecha, el gas se comprime en la
región más próxima a éste
aumentando la presión y la densidad
del gas. Se forma un pulso de
compresión que viaja hacia la
derecha.
Émbolo vibrante
Compresión
Compresión
Al empujar el émbolo hacia la
izquierda, el gas próximo a éste se
expansiona
disminuyendo
su
presión y su densidad; se produce
un pulso de enrarecimiento que se
propaga por el cilindro.
Descompresión
Al hacer oscilar el émbolo rápida y
periódicamente, viaja por el cilindro
un tren de compresiones y enrarecimientos; la onda longitudinal se
propaga por el tubo, siendo λ la
distancia entre dos compresiones o
dos enrarecimientos sucesivo
Enrarecimientoexpansión
Compresión
Enrarecimientoexpansión-
Compresión
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Ondas. Ecuación de propagación de una onda
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RUIDO
El sonido se origina por variaciones periódicas, ordenadas, de la
presión, mientras que el ruido se produce por un solo pulso de
presión o por una sucesión desordenada de cambios de presión.
El ruido está formado por ondas no periódicas; su amplitud y su
frecuencia varían incesantemente.
Produce ruido una madera que cruje y se parte, un libro que se cae
al suelo, una motocicleta que arranca...
La gráfica muestra el desplazamiento, respecto a la
posición de equilibrio, de cada pequeño elemento de
volumen del gas del cilindro al paso de una onda.
Cualquier elemento de volumen oscila con
movimiento armónico, desplazándose paralelamente a
la dirección de propagación de la onda, el eje OX.
Este desplazamiento, s, varía sinusoidalmente a lo
largo del eje OX.
λ
Llamamos amplitud de desplazamiento, Smáx, al
máximo desplazamiento de un pequeño elemento de
volumen del medio respecto a su posición de
equilibrio.
Los desplazamientos de las partículas del gas dan
lugar a una variación de la presión a lo largo del eje
OX.
Esta
variación
se
produce
también
sinusoidalmente aunque con un desfase de π/2 rad
respecto a la gráfica anterior.
Llamamos amplitud de presión, ΔP máx, al cambio
máximo de la presión a partir de su valor en el
equilibrio.
Como se ve al comparar ambas gráficas:
— ΔP es máxima cuando el desplazamiento es
cero.
— ΔP es nula cuando el desplazamiento es
máximo
La onda sonora puede considerarse como una
onda de desplazamiento o como una onda de
presión.
S (x,t) = So sen (wt-Kx)
Las ondas sonoras, como cualquier onda
mecánica, necesitan un medio material elástico
para su propagación; en el vacío el sonido no
se propaga.
La naturaleza longitudinal de las ondas sonoras
se pone de manifiesto por el hecho de que los
fluidos, tanto los líquidos como los gases, son
capaces de transmitirlas; lo que es debido a
que éstos pueden experimentar compresiones y
enrarecimientos, es decir, variaciones de
presión sucesivas
ΔP (x,t) = ΔPo sen (wt-kx-π/2)
Para facilitar el estudio del sonido como una onda longitudinal, lo realizaremos ondas de
cambio de presión, de acuerdo a esta última expresión.
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Ondas. Ecuación de propagación de una onda
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ACTIVIDADES
Define el sonido desde el punto de vista físico y pon ejemplos cotidianos de ondas sonoras.
¿Por qué decimos que las ondas sonoras son longitudinales?
¿Cuáles son los límites de frecuencia de las ondas sonoras para que sean audibles por el oído humano?
Justifica la siguiente afirmación: Hay sonidos para los cuales todos somos sordos.
Di qué ondas tienen mayor frecuencia, las ultrasónicas o las infrasónicas.
Recuerda la relación entre la frecuencia de un movimiento ondulatorio y su energía. A continuación, deduce si tiene mayor
energía una onda ultrasónica o una onda infrasónica.
Describe el mecanismo de formación y propagación de una onda sonora. Haz un dibujo que lo ilustre.
Una onda sonora puede considerarse como una onda de desplazamiento o una onda de presión. ¿Qué diferencia de fase
existe entre el desplaza miento y la presión de una onda sonora?
Investiga acerca de algunas aplicaciones médicas de los ultrasonidos. Con la información obtenida, elabora un informe y
exponlo en clase.
Nota: cambio de presión en una conversación: 7.10 -9m = 0,02 Pa
Patm 1 atm = 101300 Pa
CUALIDADES DEL SONIDO
Nuestros oídos pueden diferenciar un sonido fuerte de uno débil y un sonido grave de otro
agudo. Además, distinguimos si proceden de uno u otro instrumento musical, de una u otra
persona... Todo ello es posible gracias a tres cualidades del sonido relacionadas con las
características de las ondas: la intensidad, el tono y el timbre.
Intensidad sonora
La intensidad sonora presenta dos aspectos bien diferenciados: la intensidad física u objetiva y
la intensidad fisiológica o subjetiva.
La intensidad física u objetiva, es decir, el volumen acústico, es la energía que transmite la
onda sonora por unidad de tiempo a través de la unidad de superficie perpendicular a la
dirección de propagación.
La intensidad fisiológica o subjetiva es la sensación sonora de mayor o menor intensidad que
percibe el oído humano.
El intervalo de intensidades sonoras que puede
percibir el oído va desde el umbral de audición o
intensidad mínima audible de 1,0. 10-12 W/m2
hasta el umbral de dolor de 1 W/m2, que ocasiona
sensación dolorosa en la mayoría de las personas.
Para medir el nivel de intensidad sonora:
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sonoridad percibida por el oído, se establece una escala logarítmica. Este nivel de intensidad
sonora se mide en decibelios.
Decibelios
Tabla
Fuente de sonido
β/dB
martillo neumático
concierto de rock
aspiradora
conversación normal
susurro
rumor de las hojas
umbral de audición
130
120
70
50
30
10
0
El oído humano puede detectar el sonido en un intervalo de
intensidades enorme. El sonido de intensidad más elevada que
podemos tolerar (umbral de dolor) es 1012 veces más grande
que el más débil que podemos llegar a oír (umbral de audición).
Como la respuesta del sistema auditivo no es lineal, sino
logarítmica, es conveniente definir una escala de medición de
la intensidad de sonido que también sea logarítmica.
La intensidad relativa de un sonido se denomina nivel de intensidad, β, y se mide en decibelios
(dB). Se define como:
β = 10 log (I/Io)
donde I0, denominado umbral de audición, es la intensidad mínima de sonido que podemos
oír; su valor es de 10-12 Wm-2. La intensidad de un sonido, I, se traduce a nivel de intensidad
utilizando la fórmula anterior. Así pues, un sonido en el umbral de dolor, con un valor de I
igual a 1 Wm-2, corresponde a un nivel de intensidad β de 120 dB
Un valor de 0 dB equivale al umbral de audición. Y 120 dB equivalen al umbral de dolor. Los
sonidos de menos de 10 dB son difícilmente audibles, mientras que los superiores a 100 dB
producen molestias; a partir de 140 dB experimentamos dolores agudos.
Actividad
Calcula el nivel de intensidad de un sonido que tiene una intensidad de 10-5 W.m--2 (como, por ejemplo, el sonido
de una máquina de escribir). ¿Cuál es la intensidad del sonido en un concierto de rock?
El nivel de intensidad sonora del rumor de las hojas en un bosque-espeso es de 10 dB, v el de un concierto de rock
es de 120 dB. La intensidad del sonido en el concierto es 1011 veces mayor que en el bosque
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Tono
Permite distinguir los sonidos graves de los agudos.
Depende de la frecuencia del sonido y, por lo tanto,
de las compresiones y enrarecimientos que el oído
percibe por segundo.
Los sonidos graves o tonos bajos corresponden a las
ondas de baja frecuencia (pocas vibraciones por segundo).
Los sonidos agudos o tonos altos corresponden a las
ondas de mayor frecuencia (gran número de
vibraciones por segundo).
Gracias a esta cualidad del sonido podemos distinguir las diferentes
notas que emite un mismo instrumento musical.
El sonido puede clasificarse de acuerdo con su frecuencia:
denominamos sonido audible aquel que podemos oír, cuya
frecuencia está comprendida entre 20 y 20000Hz,
aproximadamente. Los sonidos de frecuencia mayor de
20000Hz se denominan ultrasonidos, y los de frecuencia
menor de 20Hz, infrasonidos.
Nota
f(Hz)
La
Si
Do
Re
Mi
Fa
Sol
440,0
493,9
523,2
587,3
659,3
698,5
784,0
880,0
La#
Tabla 2
Frecuencias de las notas musicales
(escala cromática).
Timbre
Esta cualidad nos permite distinguir dos sonidos de igual intensidad y tono emitidos por dos focos
sonoros distintos.
El timbre depende de la forma de la onda sonora y nos permite distinguir si un sonido procede de un
violín o de una guitarra, reconocer a las personas por su voz aunque no las veamos.
Normalmente, los sonidos no son puros, es decir, las ondas sonoras correspondientes no son
perfectamente sinusoidales, sino que son el resultado de varios movimientos periódicos superpuestos
a la onda fundamental y se denominan armónicos o sobretonos. Así, cada sonido procedente de un
instrumento musical, de una persona o de un foco sonoro cualquiera es una onda compuesta y tiene
unas características específicas que lo distinguen de los demás.
El timbre de un sonido depende del número, de la intensidad y de la frecuencia de los distintos
armónicos que acompañan al sonido fundamenta
Ejercicios
1. Cierta fuente puntual emite ondas sonoras de 80 W de potencia.
a) calcular la intensidad de las ondas a 3,5m de la fuente.
b) ¿A qué distancia de la fuente el sonido se reduce a un nivel de 40 dB?
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2. Describe las cualidades del sonido y pon ejemplos de ellas.
3. Calcula el nivel de intensidad sonora que corresponde a los umbrales de audición (/0 = 1,0 10-12 Wm-2) y de dolor (/ =1,0 Wm-2).
Sol= 0 dB y 120 dB
4. Razona si el oído humano es capaz de percibir ondas sonoras de nivel de intensidad 100 dB cuyas longitudes de onda en
el aire sean 30 m, 12 m y 0,003 m.
5. Un violín da la nota en la con una frecuencia de 440 Hz y un piano da la nota en do con una frecuencia de 264 Hz. Calcula la
longitud de onda de ambos sonidos (velocidad de la onda sonora = 340 m/s)
Sol.: 0,77 m; 1,29 m
6. Los ladridos de un perro tienen una potencia de 1 mW. Si se supone que esta potencia se distribuye uniformemente por
toda el área de una semiesfera: a) ¿Cuál es el nivel de intensidad sonora a una distancia de 4 m?; b) ¿Cuál sería este nivel
si ladrasen a la vez tres perros con la potencia de 1 W? En este caso, ¿por qué factor se ha multiplicado la intensidad del
sonido? ¿Por qué factor se ha multiplicado el nivel de intensidad sonora?
Sol.: a) 70 dB; b) 74,7 dB; por 3 y por 1,067
7. El nivel medio de intensidad sonora de un aparato de radio es de 45 dB. Si dos aparatos de radio iguales están funcionando
al mismo tiempo, ¿cuál es el nivel medio de intensidad sonora?
Sol.: 48 dB
Recepción del sonido
Nuestro oído está capacitado para percibir las ondas sonoras
Pabellón
Conducto
auditivo
Trompa
de
Eustaquio
Oído medio
Oído externo
Caracol
Oído interno
Oído externo. En él, las ondas sonoras son recogidas por el pabellón del oído, pasan por el
conducto auditivo y llegan al tímpano. Las variaciones de presión producen en esta membrana
unas oscilaciones forzadas.
Oído medio. En él, las vibraciones del tímpano son percibidas por una cadena de cuatro
huesecillos que actúa ampliando las excitaciones que llegan al tímpano. Éstas se transmiten a
la ventana oval, de superficie mucho menor que el tímpano, donde las variaciones de presión
de las ondas se multiplican aproximadamente por 50.
El oído medio se mantiene a la misma presión que el exterior, ya que está comunicado con la
garganta por la llamada trompa de Eustaquio.
Oído interno. Contiene un líquido acuoso incompresible que transmite las vibraciones que
llegan a la ventana oval. Éstas son recogidas por una membrana flexible, llamada membrana
basilar, situada a lo largo del caracol y que lo divide en dos secciones. Sobre ella se distribuyen las fibras de Corti, que son filamentos terminales del nervio auditivo, de los que hay
unos 30000 en cada oído.
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Ondas. Ecuación de propagación de una onda
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Los cambios químicos producidos en las células de estas fibras dan lugar a diferencias de
potencial productoras de corrientes que, a través de los nervios transmisores, llegan al cerebro,
donde se convierten en sensaciones sonoras.
Contaminación acústica
Hoy en día es muy común hablar de contaminación, término que aplicamos a la acumulación
de distintas sustancias nocivas para la salud o para el ambiente.
La sociedad cada vez está más sensibilizada hacia la tarea de evitarla. Sin embargo, todavía no
se actúa enérgicamente contra la denominada contaminación acústica, es decir, la producción
de sonidos y ruidos excesivos.
Con la edad disminuye el límite superior de frecuencia audible; así, una persona de mediana
edad es sorda para los sonidos de tono más alto y frecuencias superiores a 16.000 Hz.
Alrededor de los 70 años ya no se escuchan los sonidos de más de 8.000 Hz, con lo que se ve
muy dificultada la capacidad de entender las conversaciones.
Este proceso de envejecimiento, con pérdida parcial o total de la audición, especialmente en la
zona de altas frecuencias, se produce anticipadamente si nos exponemos de forma continuada
o frecuente a un nivel de sonoridad superior a los 100 dB.
Ruidos frecuentes
dB
Efectos del ruido
Reactor Avión
en pista despegando
130
Umbral del dolor. Una exposición breve a niveles de 140 ó 150dB
puede llegar a romper los tímpanos. A partir de 100 dB, el oído
puede lesionarse gravemente.
Taller
mecánico
120
100
90
Comedor escolar
Fotocopiadora
80
80
Ruido peligroso. Pérdida parcial de la audición tras una breve
exposición. La conversación resulta imposible. Una persona expuesta
habitualmente durante su trabajo a niveles de ruido de 90 dB puede
experimentar una pérdida permanente de audición del 25%.
Ruido molesto. Disminución de la audición. Más del 80% de los
españoles soporta sonidos superiores a los 80 dB, lo que supone
riesgos psicológicos y fisiológicos: problemas auditivos, cardiovasculares,
respiratorios y digestivos.
60
Ruido molesto. En las grandes ciudades los pacientes con problemas
de audición suelen tener entre 30 y 45 años; en cambio, hasta hace
poco, estos problemas aparecían a partir de los 60 años. Las palabras se
entienden mal y se ve limitado el uso del teléfono
Conversación tranquila
50
Ruido ligero
Dormitorio
Tranquilo
30
Ruido muy ligero
70
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Ondas. Ecuación de propagación de una onda
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ACTIVIDADES
Es necesario adquirir una conciencia colectiva para disminuir los ruidos, limitar el volumen acústico de la música, respetar la
salud y el descanso...
a) Formad grupos de trabajo e investigad sobre qué medidas se toman en vuestra localidad para evitar la contaminación
acústica.
b) Con la información obtenida en el apartado anterior organizad un coloquio que tenga por título: ¿Es suficiente
la normativa vigente para preservar la salud y el medio de la contaminación acústica?
Normativa respecto al ruido
La Organización Mundial de la Salud (OMS) considera España como el segundo país más
ruidoso del mundo, ya que el 70 % de su población sufre niveles de ruido superiores a 65
decibelios (dB).
El Parlamento Europeo aprobó en junio de 2002 la Directiva sobre evaluación y gestión del
Ruido Ambiental, que obliga a los Estados miembros a elaborar mapas de ruido para las
poblaciones de más de 250 000 hab. (junio de 2007) y de hasta 100 000 hab. (2012).
En España, el Ministerio de Medio Ambiente y las Comunidades Autónomas trabajan para
mejorar las normas estatales (la Ley del Ruido de 2003, basada en la Directiva Europea) y
autonómicas
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