UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA – Inducción Matemàtica

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA – Inducción Matemàtica.
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Lección 1.
FRACCIONES
1.
1.
2.
3.
4.
5.
2.
1.
2.
3.
4.
5.
3. Si
y
son números reales distintos de 0 y
son ciertos para todo
son ciertos (N):
y todo
(C), son ciertos para algunos
1.
2.
3.
4.
4. La suma de
es
1.
2.
3.
4.
5.
5.
es igual a
, indicar si los siguientes enunciados
y
solamente (A), o nunca
1.
2.
3.
4.
5.
0,3
0,03
0,003
0,0003
0,00003
6. Tomar
de los
segmento los:
de la longitud de un segmento, equivale a tomar de la longitud del
1.
2.
3.
4.
5.
7. Si se tiene que
entonces
,
,
y
,
es igual a:
1.
y
2.
y
3.
y
4.
y
5.
y
8. Una persona invierte las dos terceras partes de su salario en el pago de arriendo y
servicios públicos, un cuarto de lo que queda en alimentación y el resto lo consigna en una
cuenta de ahorros. Si el comportamiento del individuo es igual todos los meses y su salario
es de $4'800.000. ¿Cuánto dinero habrá consignado el individuo en la cuenta pasados seis
meses?
1. $7'200.000
2. $1'200.000
3. $3'200.000
4. $1'600.000
5. $2'400.000
9. Al simplificar la expresión
1. 0,2
2. 20
se obtiene:
3.
4. 2
5. 1,669
10. Al simplificar la expresión
1.
se obtiene:
2.
3.
4.
5.
11. El valor de la fracción
es:
1.
2.
3.
4.
5.
12. Sabiendo que:
,
,
números de menor a mayor se tiene que:
y
; al ordenar los
1.
2.
3.
4.
5.
13. Los valores de
1.
14.
,
2.
,
3.
,3
4.
,
5.
y
,
es igual a:
1. 0
2. 2
que satisfacen el sistema
son respectivamente
3. -0.1
4. -0.0001
5. 0.1
15. En una olla se vierte agua sucesivamente en las siguientes cantidades: primero medio litro,
luego un litro y cuarto, y finalmente dos litros y medio. La cantidad total de agua (en litros)
que se vertió en la olla fue de:
1. Tres litros y cuarto
2. Tres litros y medio
3. Cuatro litros
4. Cuatro litros y cuarto
5. Cuatro litros y medio
16. Sean m, n, p, q enteros cualesquiera, tales que
siquientes afirmaciones:
i)
ii)
iii)
iv)
. Considere las
v)
17.
Entonces:
1. i) y ii) son falsas, iii) y iv) son verdaderas
2. Únicamente iii) es verdadera
3. Todas son falsas
4. Únicamente iv) es verdadera
5. Únicamente v) es verdadera
18. ¿Cuál de los siguientes conjuntos está ordenado de menor a mayor?
1.
2.
3.
4.
5.
19. El mínimo y el máximo del conjunto
respectivamente:
son
1.
2.
3.
4.
5.
20. Sean y
falsa?
números racionales tales que
. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es
1.
es un número racional.
2.
3.
4.
5.
21. En el siguiente argumento
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
22. el error está en el paso de
1. (1) a (2)
2. (2) a (3)
3. (3) a (4)
4. (4) a (5)
5. (5) a (6)
23. ¿Cuál es el resultado de efectuar la siguiente operación?
1.
2.
3.
4.
7/15
9/8
31/22
29/5
24. Al despejar r en la igualdad
1.
2.
3.
4.
entonces
es igual:
25. Entre los Números
son:
1.
Los que son racionales
y
2.
3.
y
4.
26. Si los
1.
2.
3.
4.
,
de los
1050
42
21
2100
,
y
de los
son 210 el número es:
27. Dos números son entre sí como
números?
1. 56 y 7
2. 42 y 21
3. 50 y 13
4. 36 y 27
28.
a
. Si la suma de ellos es
y son números enteros mayores que cero. Si
desigualdades es verdadera?
¿Cuales son los
¿cuál de las siguientes
1.
2.
3.
4.
29. Sean
y
números reales tales que
entonces el mayor valor posible de la fracción
y
,
es:
1.
2.
3.
4.
5.
30. Sean , números reales tales que:
son verdaderas?
1.
2.
3.
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones
4.
5.
31. De las afirmaciones:
I
Si
es un número real y
, entonces
II
Si
es un número entero, entonces
es un número racional.
III
El producto de dos números primos es un número primo.
IV
Si
es un número real,
Es o son verdaderas
1. I y II
2. III y IV
3. Solamente II
4. Solamente IV
32. Un entero positivo n se denomina un número perfecto si es igual a la suma de todos sus
divisores propios, uno se cuenta como un divisor propio pero el número no. De los
siguientes números el que no es perfecto es
1. 28
2. 496
3. 2026
4. 8128
33. Un profesor asigna 3 ejercicios. Pide a
del número de estudiantes que está en clase
que resuelva el primer ejercicio, a
el segundo y a
dos están ausentes. La cantidad total de alumnos es
1. 28
2. 32
3. 38
4. 42
el tercero. Del total de alumnos
34. Un par de números racionales que satisfacen la desigualdad
1.
y
2.
y
son:
3.
-y
4.
y
35. Es verdadero que
1.
no está definido
2.
no está definido
3.
4.
36. Respecto a los enunciados:
I. Todo número par es racional
II Existen números reales que no son racionales
III El conjunto de los irracionales es finito
IV Todo número racional es real
V Hay infinitos números racionales mayores que 0 y menores que 1
Es correcto afirmar que:
1.
2.
3.
4.
El único falso es III
El único falso es V
Todos son verdaderos
Todos son falsos
37. Dos números positivos
y
están en la razón
entonces el menor de
y
1.
2.
3.
4.
5.
38. De los siguientes números es un racional
1.
2.
3.
es:
donde
Si
4.
39. Para
, de las siguientes fracciones cuál es la de menor valor?
1.
2.
3.
4.
5.
40.
1.
2.
3.
4.
5.
41. Cuando se ubican los puntos correspondientes a los números
número que corresponde alpunto medio entre ellos es:
1.
2.
3.
4.
5.
42.
1.
2.
3.
4.
5.
y
en la recta real, el
Lección 2.
PROBLEMAS
1. La edad de Pedro es el triple de la de Juan y seis veces la de Andrés. El doble de la suma
de las edades es 90. Entonces la edad de Pedro es:
1. 60
2. 54
3. 42
4. 36
5. 30
2. El producto de dos números enteros es 100. Si se multiplica el primero menos 5 por el
segundo más 6, el resultado es 200. Los números son:
1. 25 y 4
2. 20 y 10
3. 100 y 1
4. -30 y
5. 100 y 10
3. Si seis personas comen seis pizzas en seis días, ¿cuántas pizzas comen ocho personas
en tres días?
1. 24
2. 20
3. 4
4. 8
5. 16
4. Se sabe que tres obreros tardan 8, 6 y 4 horas en pintar una casa. ¿Cuánto tiempo
tardarán si la pintan juntos?
1. 6 horas
2. 32 minutos y medio
3.
horas
4. 2 horas
5. 1 hora y 10 minutos
5. Hace 6 horas mi reloj, que marca la hora de 0 a 12, marcaba el triple de la hora actual.
¿Qué hora marca mi reloj en este momento?
1. 6
2. -3
3. 3
4. 9
5. 2
6. ¿Cuál es la medida de un ángulo, si se sabe que la medida de su suplemento es 39 más
que dos veces la medida de su complemento?
1. 51
2. 141
3. 102
4. 39
5. 41
7. Un estanque tiene dos llaves y un desagüe. La primera llave lo puede llenar en 8 horas y la
segunda llave en 5 horas, estando vacío el estanque y cerrado el desagüe. El estanque
lleno se puede vaciar abriendo el desagüe en 20 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el
estanque si estando vacío se abren al mismo tiempo las llaves y el desagüe?
1.
2.
horas
horas
3. 7 horas
4.
horas
5.
8. Tito, Tato y Tino tienen, entre los tres, 40 canicas. Tito tiene el doble de canicas que tiene
Tino. Tato tiene 4 canicas más que Tino. ¿Cuántas canicas tiene cada uno?
1. 14, 17 y 20
2. 18, 13 y 9
3. 16, 12 y 8
4. 20, 15 y 5
5. 12, 22 y 6
9. Hoy cumplen años mi padre y mi hermano y sus edades suman 58 años. Mi padre tiene 26
años más que mi hermano. ¿Qué edad tienen mi padre y mi hermano?
1. 38, 12
2. 40, 18
3. 42, 16
4. 44, 18
5. 55, 29
10. Las dimensiones de un terreno rectangular están en razón de 2/3. Si el perímetro es de
600 metros. Determinar las dimensiones del terreno.
1. 240, 360
2. 120, 180
3. 200, 100
4. 150, 150
5. 150, 450
11. Dentro de 18 años la edad de un hombre será igual al doble de la edad que tenía hace 11
años. Calcule la edad actual del hombre.
1. 40
2. 42
3. 58
4. 29
5. 14
12. Si a los
de la edad de Paola se aumentan los
de la edad de María, se obtendrían 21
años, y si a los
de la edad de Paola se disminuye
de la edad de María se obtendrían
8 años. Hallar la edad de Paola y María respectivamente
1. 18, 12
2. 18, 15
3. 12, 18
4. 13, 11
5. 12, 13
13. Sobre una mercancía estimada en $5.000 se hacen tres descuentos sucesivos del 5%, el
10% y el 8%. El precio de venta es:
1. $3.933
2. $6.237
3. $1.150
4. $3.850
5. $3.900
14. Se tienen dos varillas de acero de 48 y 60 m de longitud, que se quieren dividir en pedazos
iguales y de la mayor longitud posible. La longitud de cada pedazo es:
1. 6 m
2. 3 m
3. 12 m
4. 24 m
5. 2 m
15. Margarita desea comprar 16 pares de medias, 12 camisetas y 24 camisas. Al llegar al
almacén, encuentra las siguientes promociones:
Camisas:
6 por $14.640 (Promoción Marca A)
4 por $9.840 (Promoción Marca B).
Camisetas:
3 por $5.250 (Promoción Marca G)
4 por $7.200 (Promoción Marca F).
Medias:
4 por $5.400 (Promoción Marca X)
8 por $11.600 (Promoción Marca Y).
Ella quiere gastar la mínima cantidad de dinero posible y hacer todas las compras. En ese
caso debe elegir:
1. Marcas A, G, y X
2. Marcas A, F y X
3. Marcas B, F y Y
4. Marcas B, F y X
5. Marcas A, G y Y
16. Una mesera tomó una orden de 38 hamburguesas: 18 con cebolla, 23 con mostaza y 29
con salsa de tomate. De éstas, 3 tenían sólo mostaza y 8 sólo salsa; 9 de las
hamburguesas tenían mostaza y salsa y 5 los tres ingredientes. Un diagrama de Venn nos
dice que las hamburguesas que llevaban cebolla y salsa de tomate, sólo cebolla y las de
cebolla y mostaza, son respectivamente:
1. 7, 0 y 5
2. 6, 0 y 5
3. 7, 0 y 6
4. 3, 2 y 5
5. 6, 6 y 1
17. Las dimensiones de una caja rectangular son 3, 4 y 5 mts. Aumentamos cada dimensión
en un mismo número de metros de tal manera que el volumen se duplique. ¿Cuál es ese
número?
1. 1
2. 2
3. 0.5
4. 3
5. 2.3
18. Un grupo de estudiantes alquila un aparato para un experimento por $8000 y pagan por
partes iguales. Una semana mas tarde el grupo alquila nuevamente el aparato, pero faltan
diez estudiantes y los restantes deben pagar $40 adicionales por el alquiler. ¿Cuántos
estudiantes formaban inicialmente el grupo?
1. 10
2. 50
3. 40
4. 30
5. 20
19. Se desea construir una caja rectangular a partir de una lámina de 6 cm de ancho por 14 de
largo, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando hacia arriba. Si se desea
que el volumen de la caja sea 40 cm , ¿cuál debe ser la longitud de los lados de los
cuadrados que se deben cortar?
1. 1
2.
3. 3
4. 1.5
5. 2
20. Un carpintero vende todas las mesas que fabrica a un precio de $100 por unidad. Si
21.
22.
23.
24.
25.
produce mesas, el costo total de producción es
. ¿Cuántas mesas
debe producir para obtener la máxima ganancia?
1. 30
2. 31
3. 32
4. 33
5. 34
Un ladrillo pesa una libra más medio ladrillo. ¿Cuanto pesan 3 ladrillos?
1. 3 libras
2. 4 1/2 libras
3. 6 libras
4. 7 1/2 libras
Un estanque cuya capacidad es de 300 litros está vacio.¿En cuánto tiempo se llenará si
abrimos al mismo tiempo 3 llaves que vierten la primera 36 lt en 3 minutos; la segunda 48 lt
en 6 minutos, y la tercera 15 lt en 3 minutos?
1. 10 minutos
2. 12 minutos
3. 14 minutos
4. 16 minutos
Un capataz ofrece a un obrero un sueldo anual de $190.000.oo y un caballo. Al cabo de 8
meses el obrero es despedido, recibiendo $110.000.oo y el caballo ¿Cuál era el valor del
caballo ?
1. $125.000.oo
2. $100.000.oo
3. $75.000.oo
4. $50.000.oo
Veinte obreros pueden pavimentar una calle en 12 días. Cuantos obreros habría que
añadir para hacer el trabajo en 8 días?
1. 14
2. 12
3. 10
4. 8
Cada día de lunes a jueves gano $6000 más que el día anterior ¿Cuánto gané el martes, si
el jueves recibí el cuadruplo de lo que gané el lunes?
1. 24000
2. 12000
3. 72000
4. 42000
26. Un rectangulo mide el doble de largo que de ancho. Si el largo y el ancho se reducen en 2
y 3 centimetros respectivamente, el área se disminuye en 30 centimetros cuadrados.
¿Cuáles eran las dimensiones originales del rectángulo?
1.
y
2.
3.
y
y
4.
y
27. Se dice que una sucesión de números está en progresión aritmética si cada uno de ellos
es igual al anterior más una cantidad constante, llamada diferencia de la progresión. De las
siguientes sucesiones de números la que no está en progresión aritmética es:
1.
2.
3.
4.
28. Se necesitan 1080 toneladas de forraje para alimentar 18 caballos en 12 días ¿cuanta
toneladas de forraje se necesita para alimentar 8 caballos en 20 días?
1. 900
2. 600
3. 700
4. 800
29. Un fabricante de zapatos puede vender todos los pares de zapatos que produce a un
precio de $60 mil cada par. El fabricante tiene costos fijos mensuales de $24 millones. Si el
cuero y los insumos necesarios para producir cada par le cuesta $20 mil, el menor número
de pares que debe producir y vender al mes para obtener utilidades es:
1. 300
2. 600
3. 1200
4. 4000
30. La cifra de las decenas de un número de dos cifras excede a la cifra de las unidades en 2.
Si el número se divide por el número de sus cifras el cociente es 7 ¿Cuál es el número?
1.
2.
3.
4.
31. Para hacer una mezcla se requieren 5/2 de unidades de volumen del componente A por
4/3 de unidades del componente B. El número de unidades de volumen del componente A
que se requieren por cada unidad de volumen del componente B es:
1.
2.
3.
4.
32. Un agricultor desea cercar un campo rectángular y luego dividirlo en tres lotes
rectangulares mediante dos cercas paralelas a uno de los lados. El agricultor necesita
1000 metros de alambre. Si x es el largo del campo, el área A del campo se expresa
correctamente en:
1.
2.
3.
4.
33. Si en la expresión
, el valor de se disminuye en un
entonces el valor de la expresión disminuye en un:
y el valor de y en un
1.
2.
3.
4.
34. De dos varillas cuyas longitudes son
cm y
cm, respectivamente, se desea
obtener trozos iguales que tengan la longitud máxima posible. El mayor número total de
trozos obtenidos es:
1.
2.
3.
4.
35. Un cono circular recto de volumen C, un cilindro de volumen D y una esfera de volumen E
tienen todos, el mismo radio; el cono y el cilindro tiene la misma altura y ésta es igual al
diámetro de la esfera. De acuerdo con la información anterior es correcto afirmar que
1.
2.
3.
4.
36. Observe la siguiente cadena de igualdades
Si n es cualquier número natural la suma
es igual a :
,
1.
2.
3.
4.
37. Se sabe que la medida de dos de los ángulos de un triángulo es de
y esta medida
excede en
a la del tercer ángulo, es posible determinar la medida de los tres angulos
del triángulo resolviendo la ecuación
1.
2.
3.
4.
38. Un laboratorio farmacéutico quiere sacar una nueva presentación de un medicamneto que
actualmente vende en pastillas de 6 mm de diametro y 2 milimetros de alto . La nueva
presentación será un cápsula formada por un cilindro rematadoen sus extremos por
semiesferas. Si
la forma:
es el radio de las semiesferas,la altura total de la cápsula se expresa de
1.
2.
3.
4.
39. Dos bolas esfericas tienen el mismo radio
están echas del mismo material pero una
pesa la tercera parte de la otra pues es hueca en el centro. El radio de la cavidad central
es:
1.
2.
3.
4.
:
40. El cubo de madera de la figura adjunta tiene aristas de longitud 3 metros cada una.
Comenzando en cada cara y atravezando el cubo hasta llegar a la cara opuesta, se perfora
un agujero cuadrado, de lado 1 metro cuyo centro coincide con el centro de la cara los
bordes de los agujeros quedan paralelos a las aristas del cubo. .el area total de superficie,
en metros cuadrados, incluyendo el interior del cubo perforado, es:
1.
2.
3.
4.
5.
Lección 3.
54
72
76
84
86
ÁLGEBRA
1.
2.
1.
2.
3.
4.
5.
3. El valor de
1.
2.
3.
4.
5. 1
que verifica la ecuación
es:
4. La suma de las soluciones,
, del siguiente sistema de ecuaciones
es:
1.
2.
3.
4.
5.
6
16
26
36
46
5. Si las raíces de una ecuación de segundo grado son
y
, la ecuación es:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
es igual a:
ii)
i)
1.
2.
3.
4.
5.
iii)
iv)
i) y ii)
i) y iv)
ii) y iii)
ii) y iv)
i) solamente
7.
es igual a:
1.
2.
3.
4.
5.
8. Al efectuar
1.
2.
3.
4.
5. 1
9. Al simplificar la expresión
se obtiene:
se obtiene:
1.
2.
3.
4.
5.
10. El residuo que se obtiene al dividir el polinomio
1. 2
entre el polinomio
es:
2.
3.
4.
5.
11. Si
, los posibles valores de
son:
1. 0 únicamente
2. 0 y 3
3.
y3
4. 0 y 7
5.
y
12.
El determinante de
es igual a:
1. 6
2.
3.
4.
5. 0
13. Sea
entre
;
y
. Si realizamos la división sintética
; obtenemos el siguiente resultado:
1
1
1
6
30
7
30
14. Los valores de
,
,
1.
,
,0
2.
,
,1
3.
, 13, 1
4. 2,
5.
son respectivamente:
,0
, 13, 0
15. Si y son enteros, ¿cuál de las siguientes afirmaciones sobre la fracción
verdadera?
es
1. Es igual a
2. Es igual a 1
3. Es
si
es diferente de
4. Es igual a
5. Es igual a
si
es diferente de
16. Al simplificar la expresión
se obtiene:
1.
2.
3.
4.
5.
17. Si
. Entonces los valores de
respectivamente son:
1.
, 0, 0
2. 2, 2,
3.
,
,1
,
y
4.
5.
, 0, 0
,
,
18. Al racionalizar y simplificar la expresión
, con
se obtiene:
1.
2.
3.
4.
5.
19. La factorización sobre los racionales de
es:
1.
2.
3.
4.
5.
20. El conjunto de números racionales para los cuales la expresión
1.
2.
3.
4.
5.
21. El máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de
son respectivamente:
1.
y
2.
y
3.
4.
5.
22. La expresión simplificada de
1.
2. 1
y
y
y
es:
es cero, es:
3.
4.
5.
23. El residuo de la división
1. 89
2. 88
3. 87
4. 86
24. Cuál es el resultado de racionalizar el denominador de la fracción
?
1.
2.
3.
4.
25. ¿Cuál debe ser el valor de
para que la solución de la ecuación
, sea
1.
2.
3.
4.
26. Determine el(los) valor(es) de
1.
2.
3.
4.
27. La expresión
Es igual a:
1.
de modo que:
?
es igual a:
2.
3.
4.
28. Para que la expresión
sumar:
se convierta en un cuadrado perfecto se le debe
1.
2.
3.
4.
29. La formula
proporciona las soluciones de una ecuación cuadrática entonces es incorrecto que si
1.
las raices son imaginarias
2.
las raices son reales e iguales
3.
las raices son reales y distintas
4.
las raices son reales y distintas
30. Cuales son los valores reales de
e
que son solución de la ecuación
?
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
31. La gráfica tiene ecuación
. Es correcto afirmar que a y c tienen
______ y las soluciones de la ecuación y = 0 tienen ______.
1. mismo signo - mismo signo
2. signos contrarios - mismo signo
3. mismo signo - signos contrarios
4. signos contrarios - signos contrarios
32. Los cuadrados de las expresiones
1.
2.
,
,
,
,
,
y
son respectivamente:
3.
,
,
4.
,
,
33. El residuo que se obtiene al dividir el polinomio
entre
es:
1.
2.
3.
4.
5.
34. Si un número es ocho veces tan grande como x se aumenta en 2, entonces una cuarta
parte del resultado es:
1.
2.
3.
4.
5.
35. El valor de la expresión
cuando
es igual a
:
1.
2.
3.
4.
5.
36. Cuántos números reales
satisfacen a la siguiente ecuación
1.
2.
3.
4.
5.
37. El número de pares de enteros positivos
es:
1.
2.
3.
4. no finito
que satisfacen la ecuación
5. ninguno de los anteriores
38. La igualdad
1. Todo real
2. b distinto de 2
3. b distinto de -2
4. b distinto de 0
es válida para:
39. Reduciendo a su mínima expresión la diferencia
1.
2.
3.
4.
40. Cuantas parejas de números reales
satisfacen la ecuación
?
1.
2.
3.
4.
5.
41. Al finalizar el año 1994 la edad de Walter era un medio de la edad de su abuela. La suma
de los años en que nacieron los dos es 3844 cuantos años tendrá Walter al finalizar el año
1999?
1.
2.
3.
4.
5.
42. El conjunto solución en los enteros de
1.
2.
3.
4.
5.
Lección 4.
LOGARITMOS
es:
1.
2. Si
, entonces
es:
1. 1
2.
3.
4.
5.
3. La suma de los logaritmos en base 10 de los números 10, 1.000 y 0,10 es:
1. 5
2. 4
3. 2,9
4. 3,1
5. 3
4. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?
1.
2.
3.
4.
5.
5.
es igual a:
1.
2.
3.
4.
5.
6. La solución de la ecuación
1.
2.
3.
4.
5.
es:
7. Si
entonces:
1.
2.
3.
4.
5.
8. Si
entonces
es igual a:
1.
2.
3.
4.
5.
9. Si
entonces
es igual a:
1.
2.
3.
4.
5.
10. El valor de
en
es:
1.
2.
3.
4.
5. 10
11. El valor de
1. 4
2. 5
es:
3.
4. 6
5. 1.024
12. Si
para algún
entonces:
1.
,
2.
,
3.
,
,
y además
, con
,
4.
,
5.
,
13. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta?
1.
2.
3.
4.
5.
14.
es igual a:
1.
2.
3.
4.
5.
15.
; luego
es igual a:
1. 4
2. 9
3.
4.
5.
16. El valor de
1. 1
en la ecuación
2. Ningún valor de
es:
cumple la ecuación
3.
4. 4
5.
17. Si
son números reales positivos la solución de la ecuación
1.
2.
3.
4.
es:
5.
18. Si
, entonces:
1.
2.
3.
4.
5.
19. La media geométrica de 10, 100, 1000, es:
1. 10
2. 100
3. 1000
4. 1
5. 370
20. El conjunto solución de la ecuación
es:
1.
2.
3.
4.
5.
21. ¿Cuál de las siguientes gráficas es la mejor representación de
22. Si
y
1.
entonces
es:
?
2.
3.
4.
23. El logaritmo de
es equivalente a:
1.
2.
3.
4.
24. ¿Cuántos números primos diferentes son divisores de
si
?
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 7
25. Cuál es el valor de la expresión:
?
1.
2.
3.
4.
5.
0,01
0,1
1
2
10
1.
2.
3.
4.
5.
10
6
25
12
20
26. si
:
27. Si
es igual a:
entonces
1.
2.
3.
4.
28. Si la presión atmosférica en un sitio de altitud h se puede determinar usando la expresión
, la altitud de un lugar cuya presión es de
es
1.
2.
3.
4.
29. log
es igual a
1. -8
2. -4
3.
4. 16
5. -16
30. El conjunto de todos los números reales x para los cuales la expresión
está definida, es:
1.
2.
3.
4.
5. Ninguno de los anteriores
31. La ecuación
:
1. No admite solución
2. Admite una única solución,que es negativa
3. Admite una única solución,que es positiva
4. Admite dos soluciones
5. Ninguno de los anteriores
32. La expresión
, está definida para:
1.
2.
3.
4.
, o,
, o,
5.
33. La expresión
1.
2.
3.
, está definida para:
, o,
, o,
, o,
4.
, o,
, o,
5.
34. El conjunto solución de la ecuación
es:
1.
2.
3.
4.
5.
35. El conjunto solución de la ecuación
es:
1.
2.
3.
4.
5.
36.
es igual a :
1.
2.
3.
4.
37. El conjunto solución de la ecuación
1. Es vacio
2. Es unitario
3. Posee dos y solo dos elementos
4. Posee más de dos elementos
38. Si
entonces
es igual a :
1.
2.
3.
4.
39. Siendo
,
es verdadera:
1.
2.
3.
,
, señalar entre las siguientes igualdades la que siempre
4.
40. Si
, y,
entonces,
es igual a :
1.
2.
3.
4.
41. Los valores de
para los cuales esta definida la expresión
1.
2.
3.
4.
5.
Lección 5.
EXPONENTES
1.
1.
2.
3.
4.
5.
2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
1.
2.
3.
4.
son:
5.
3. Al simplificar
se obtiene:
1.
2.
3.
4.
5.
4.
es igual a:
1.
2.
3.
4.
5.
5. Al simplificar
se obtiene:
1.
2.
3.
4.
5.
6. Al racionalizar el denominador de la expresión
1.
2.
3.
4.
5.
7.
es igual a:
1. 512
2.
3.
4.
5.
se obtiene:
8. Si
y
. Es correcto afirmar que:
1.
y
2.
y
3.
y
4.
y
5.
y
9. Si
entonces es cierto que:
1.
2.
,
y
4.
,
y
5.
,
y
3.
10. El valor de la expresión
1. 16
2. 64
3. 256
4. 1.024
5. 65.536
cuando
11. Al efectuar las operaciones
es:
se obtiene:
1.
2.
3.
4.
5.
12. Si
, el valor de
1.
2.
3.
4.
5.
, es:
0
1
2
3
4
13. si
y
1. 72
2. 108
, entonces
es igual a:
3. 6
4.
5.
14. Si
y
. El valor de
es:
1. 3
2.
3.
4.
5. 4
15. Si
, el valor de
es:
1.
2.
3.
4. 2
5. 3
16. Al calcular
1. 1
2. 36
3. 4/9
4. 24
5. 32
obtenemos:
17. Al simplificar
1.
2. 2
3.
4.
5.
18. La raíz cuadrada de
, es:
1.
2. 2
3. 1.4142
4.
5.
19. Si
es un número entre 0 y 1, ¿cuál de las siguienes afirmaciones es verdadera?
1.
2.
3.
4.
5.
20. Si un computador efectua una suma en
en
segundos, entonces cuántas sumas efectúa
minutos?
1.
2.
3.
4.
5.
21. Al evaluar
se obtiene:
1.
2.
3.
4.
22. La ecuación
1. No tiene solución
2. Admite dos soluciones ambas positivas
3. Admite dos soluciones ambas negativas
4. Admite dos soluciones una negativa y otra positiva
5. Admite una única solucion
23.
es igual a :
1.
2.
3.
4.
24. Si
, entonces
1.
2.
3.
4.
5.
25. ¿Cuál es la suma de las cifras del producto
respresentación decimal usual?
1.
2.
3.
4.
5.
26. El valor de
es igual a:
1.
2.
3.
4.
5.
27. ¿Cuál de los siguientes números es el mayor?
1.
2.
3.
4.
5.
28. La ecuación
1. No tiene solución
2. Admite dos soluciones ambas positivas
3. Admite dos soluciones ambas negativas
4. Admite dos soluciones de signos contrarios
5. Admite una única solucion
29. La expresión
1.
2.
3.
4.
5.
es igual a:
cuando éste se escribe en su
30. Si
entonces k es igual a:
1.
2.
3.
4.
5.
31. El valor de
es
1.
2.
3.
4.
5.
32. El area total de un cubo de volumen
es:
1.
2.
3.
4.
33. Simplifique, aplicando las leyes de los exponentes:
1.
2.
3.
4.
34. Simplifique a su mínima expresión el siguiente
radical:
1.
2.
3.
4.
35. La ecuación
1. No tiene solución
2. Admite dos soluciones ambas positivas
3. Admite dos soluciones ambas negativas
4. Admite dos soluciones una negativa y otra positiva
5. Admite una única solucion
36. ¿Cuántos números reales x satisfacen a la ecuación siguiente?
1. 0
2. 1
3. 2
4. 3
5. 4
37. ¿Cuál es el resultado de racionalizar el denominador de la fracción?
1.
2.
3.
4.
38. Despues de simplificar la expresión algebraica
se obtiene:
1.
2.
3.
4.
39. Si
¿Cuál es el valor de ?
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
40. Si se escribe 1998 como producto de dos enteros positivos tales que la diferencia entre
ellos sea la menor posible, entonces esta diferencia es:
1.
2.
3.
4.
5.
Lección 6.
8
15
17
47
93
GEOMETRÍA
Las preguntas 1 y 2 se refieren a la figura , donde
es un semicírculo. Si necesita el valor de
está a escala).
1. El perímetro
de la figura
es un cuadrado de lado 4,
, use la aproximación
y
. (La figura no
, cumple con la relación:
1.
2.
3.
4.
5.
2. El área
de la figura
, cumple con la relación:
1.
2.
3.
4.
5.
3. Un tanque tiene forma de cono recto circular. Se llena de agua hasta alcanzar un nivel de
. Si el radio del círculo que forma la superficie del agua es de
y si aún faltan
para llenar el tanque completamente, como se muestra en la figura , entonces el radio
la parte superior del tanque es:
de
1.
2.
3.
4.
5.
4. Las coordenadas
del centro del círculo
son:
1.
2.
3.
4.
5.
5. Si la ecuación de una recta está dada por
afirmaciones es falsa?
, ¿cuál de las siguientes
1. La pendiente de la recta es
2. El punto
pertenece a la gráfica
3.
representa una línea paralela
4.
representa una línea perpendicular a ella
5. La recta intersecta al eje Y en 5
6. Las rectas y
son paralelas. El ángulo mide
°. El ángulo mide
°. Nota: La figura puede no estar en la escala correcta. ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones es falsa?
1.
2.
3.
4.
5.
7. En la circunferencia con centro en
,
y
, el ángulo
vale:
1.
2.
3.
4.
5.
8. Se tienen un cuadrado y un octágono inscrito en una circunferencia de radio
, tal
como se muestra en la figura. Sabiendo que el lado del cuadrado inscrito vale
entonces el lado del octágono inscrito en la misma circunferencia vale:
1.
2.
3.
4.
5.
9. En una circunferencia de radio se inscribe un triángulo de vértices
Si
,
entonces
es igual a:
,
,
.
1.
2.
3.
4.
5. Hace falta información
10. Dado los siguientes datos, diga cuál es la expresión para el área total de la siguiente figura;
1.
2.
3.
4.
5.
11. El perímetro del rombo representado en la figura 8 es 40, y se sabe que
Entonces la longitud de las diagonales del rombo está dada por:
.
1.
y
2.
y
3.
y
4.
y
5.
y
12. Sea un triángulo de vértices
,
,
; supongamos que el segmento
figura (no está a escala), es paralelo a
longitud de
1.
2.
3.
4.
5.
. Si
,
, como en la
y
¿Cuál es la
?
6
16
12
4
13. En el cilindro circular recto, el volumen de la parte sombreada en
1.
2.
3.
4.
5.
14. Si en la figura 11 las rectas ,
y
son paralelas, el valor de
es:
es:
1.
2. 4
3. 3
4. 1
5. 2
15. Si el área de un cuadrado es el doble de su perímetro ¿Cuál es el valor del lado?
1.
2.
3.
4.
5.
16
4
2
8
16. Se da el
manera que
, con
está entre
. Los puntos
y
,y
y
está entre
están en los lados del
y
.
y
se intersecan en
de tal
. Si
, entonces es falso que:
1.
2.
3.
4.
5.
17. Las distancias del punto
a los planos
,
y
, respectivamente son:
1.
2.
3.
4.
5. Las tres distancias son iguales a
18. El triángulo con vértices
,
y
, es:
1. isósceles
2. escaleno
3. equilatero
4. rectángulo
5. isósceles y rectángulo
19. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones, corresponde a la de la recta que pasa por los puntos
y
1.
2.
3.
, con
?
4.
5.
20. Dado el triángulo
, con
. La altura correspondiente al lado
intersecta a éste en el punto . Si
siguientes afirmaciones es falsa?
denota la longitud del segmento
,
, cuál de las
1. Área
2.
3.
4.
5.
21. Si el volumen de una esfera es
, entonces su diametro es igual a:
1. 1 m
2. 1/2 m
3. 1/3 m
4. 1/6 m
22. El area del rectangulo es de 20 unidades cuadradas. El area del triangulo rayado es:
1.
2.
3.
4.
9
10
11
12
23. De acuerdo al gráfico el valor de
1.
2.
3.
4.
12.5
12.3
12.9
12.7
es:
24. De acuerdo al gráfico el valor de
1.
2.
3.
4.
en grados es:
52
58
40
46
25. El área de un rombo cuyas diagonales miden 6 y 10 cm es en
igual a :
1. 75
2. 60
3. 45
4. 30
26. La base de un triangulo isósceles mide 6 cm y su perimetro 16 cm. ¿Cuál es el area del
triángulo?
1.
2.
3.
4.
27. ¿Cuál es el área de la parte sombreada en la figura, si el cuadrado tiene 4 cm de lado?
(Tome
1. 6/7
2. 8/7
3. 10/7
)
4. 12/7
28. En la figura ABCD es un cuadrilátero cualquiera y M, N, P y Q son los puntos medios de
sus lados, entonces el cuadrilatero MNPQ es un:
1. Rombo
2. Cuadrado
3. Rectángulo
4. Paralelogramo
29. Un triángulo rectangulo puede resolverse completamente si se conocen
1. La hipotenusa y el ángulo recto
2. Un cateto y el ángulo recto
3. La hipotenusa y un cateto
4. Los dos angulos agudos
30. Si los dos sólidos que aparecen en la figura tienen la misma altura y sus volúmenes son
respectivamente
y
, es correcto afirmar que:
1.
2.
3.
4.
31. En la figura, el segmento
es paralelo al segmento
la longitud del segmento
es
1.
2.
3.
4.
5.
32. Si en la figura
,
y
, es correcto afirmar que
1.
2.
3.
4.
33. Un triángulo
es rectángulo y uno de sus ángulos mide
rectángulo y uno de sus ángulos agudos mide
relacionadas con estos triángulos:
. El triángulo
es
. De las siguientes afirmaciones
Deben ser congruentes.
Sus lados son respectivamente proporcionales.
Deben tener sus hipotenusas congruentes.
Tiene dos ángulos congruentes.
Son verdaderas:
1.
2.
3.
y
y
y
4.
y
34. La diagonal de un rectángulo mide 17 cm y su perímetro 46 cm. Si x, y son sus lados,
éstos se pueden determinar resolviendo el sistema de ecuaciones
1.
2.
3.
4.
35. De los ángulos obtenidos ninguno tiene medida igual a la del ángulo
si se traza
1. la semirrecta simétrica a la semirrecta r, con respecto al punto
2. la semirrecta simétrica a la semirrecta s, con respecto al punto
3. una recta paralela a la recta t, que corte las semirrectas y
4. una recta paralela a la recta r, que corte las semirrectas y
36. Se unen los puntos medios de los lados de un caudrado de lado como se ilustra en la
figura si se denota con el perimetro y con el área del cuadrado inicial, entonces el
perimetro y el área del cuadrado obtenido son respectivamente:
1.
y
2.
y
3.
y
4.
y
37. El perímetro medido en centímetros, de una región semicircular es numéricamente igual al
área de la región, medida en centimetros cuadrados, ¿Cuál es la medida.en centímetros,
del radio del semicírculo?
1.
2.
3.
4.
5.
38. La suma de las medidas en grados de todos, excepto uno, de los ángulos internos de un
polígono convexo es 2570. ¿Cuanto mide el otro ángulo?
1.
2.
3.
4.
5.
39. En el plano
una recta vertical divide el tríangulo de vértices (0,0), (1,1), (9,1) en dos
regiones de áreas iguales. la ecuación de la recta es
1.
2.
3.
4.
5.
40. En la figura adjunta, el segmento
es paralelo a
AMN es:
biseca al angulo CBA,
biseca al angulo ACB y
. Si AB =12, BC=24, y AC= 18, entonces el perimetro del triangulo
1.
2.
3.
4.
5.
Lección 7.
VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
1. El conjunto de soluciones de la desigualdad
1.
2. Todos los reales
3.
4.
es:
5.
2. Si
entonces:
1.
2.
3.
ó
4.
ó
5.
3. ¿Cuál de los siguientes intervalos corresponde a la solución de la desigualdad
?
1.
2.
3.
4.
5.
4. Si
entonces se cumple que:
1.
2.
3.
4.
5.
5. El conjunto solución de
es:
1.
2.
3.
4.
5.
6. La solución de la desigualdad
1.
2.
es:
, ó,
, ó,
3.
4.
5.
7. La inecuación correspondiente a la zona sombreada en la figura es:
1.
2.
3.
4.
5.
8.
si:
1.
2.
3.
4.
5.
9. La solución de
es:
1.
2.
3.
4.
5.
10. El conjunto solución de
es:
1.
2.
3.
4.
5.
11. Si
, ¿para qué valores de
se tiene que
1. 1 y 2
2.
y
3. 0
4. 1,
y2
5. 1,
,2y
12. Si
,
1.
2.
,
. La afirmación falsa es:
?
3.
4.
5.
13. El conjunto solución de
es:
1.
2.
3.
4.
5.
14. El valor más grande que puede tomar
en la ecuación
modo que
es:
1. 32
2. 29
3. 0
4. 84
5. 11
15. ¿Cuáles afirmaciones son ciertas?
1. Si
, entonces
2. Si
, entonces
3. Si
4.
5.
6.
7.
8.
9.
, entonces
Si
i) y ii)
Todas
Ninguna
iii)
iv)
16. La gráfica de
, entonces
, es:
.
.
.
.
de tal
17. Considere las siguientes afirmaciones:
1. El valor absoluto de un número real negativo es su inverso aditivo.
2. Si
, la raíz cuadrada de
es
.
3. Si
y
, son números enteros tales que
4. Si
,
y
5. Si
entonces
son números enteros tales que
, entonces
y
.
entonces
.
.
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
6.
y
7.
y
8.
y
9.
y
10.
18. Sean
y
y
números reales tales que
mayor valor posible de la fracción
1. 2
2. 4
3. 6
4. 12
5. 3
19. Si
y
es:
son números enteros arbitrarios, es cierto que
1. Si
, entonces
2.
3. Si
.
.
entonces
.
4.
5. Si
20. La gráfica de
entonces
, es:
.
, entonces el
21. Para que valores de x se verifica la desigualdad
?
1.
2.
3.
4.
22. Para qué valores de se tiene que
?
23. Si la distancia entre dos puntos A y B de una recta numérica no es menor que 3, la gráfica
que representa dos puntos con esta condición es:
1.
2.
3.
4.
24. ¿Cuántos números enteros de cuatro dígitos diferentes hay entre 1000 y 9999 con la
propiedad de que el valor absoluto de la diferencia entre los dígitos primero y último es 2
1. 672
2. 784
3. 840
4. 896
5. 1008
25. Los valores de x que satisfacen
1.
2.
y
, son:
3.
4.
26. Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
( 1. ) El valor absoluto de un número real negativo es su opuesto
( 2. ) Si
( 3. ) Si
la raíz cuadrada de
y
( 4. ) Si
es
, son números enteros tales que
y
, son números enteros tales que
( 5. ) Si
entonces
y
entonces
1.
y
2.
y
3.
y
4.
y
27. La solución de la desigualdad
1.
2.
3.
4.
5.
28. El conjunto solución de la inecuación
es
1.
2.
3.
4.
29. El conjunto de valores de
es:
1.
2.
, o,
, o,
para los cuales los dos enunciados siguientes son verdaderos:
3.
, o,
4.
5.
30. El conjunto solución de la inecuación
es
1.
2.
3.
4.
31. El conjunto de valores de
tales que:
1.
2.
3.
4.
5.
32. Sólo una de las siguientes opciones representa la solución de la desigualdad:
1.
2.
3.
4.
33. ¿Cuál de las siguientes opciones contiene la solución de:
1.
2.
3.
4.
34. Selecciona la opción que contiene la solución de la desigualdad:
1.
2.
3.
4.
35. Sea 1/a < 1/b<-1 donde a y b son números reales, entonces dadas las proposiciones:
I.
II.
III.
Son ciertas:
1.
2.
3.
4.
5.
I y II
II y III
I y III
I,II y III
Solo II
36. El conjunto solución de la inecuación
es:
1.
2.
3.
4.
5.
37. El dominio y rango de la función valor absoluto
1.
:
2.
:
3.
:
4.
:
,
están dados por:
:
,
:
:
,
:
38. El conjunto solución de la inecuación
es:
1.
2.
3.
4.
5.
39.
Sea
un número entero positivo, tal que: , entonces:
1.
2.
3.
4.
5.
40. Resolviendo la inecuación
encontramos
1.
2.
3.
4.
5.
Lección 8.
TRIGONOMETRÍA
1. ¿Cuál de las siguientes no es una identidad?
1.
2.
3.
4.
5.
2. Un observador ve con un ángulo de elevación de 30° un objeto a 300 metros de su
posición. La altura en metros del objeto es:
1. 100
2.
3.
4.
5. 150
3. Si
y
es un ángulo entre 90° y 180°, el valor de
1.
2.
3.
4.
5.
4. Si
donde
1.
el seno de
es igual a:
es:
2.
3.
4.
5.
5.
es igual a:
1.
2.
3.
4.
5.
6. Desde la cima de una montaña de altura 3.000 metros, se observa un avión con un ángulo
de elevación de 30°, como indica la figura. En ese mismo instante, el avión está justo
encima de un árbol que está a 500 metros del pie de la montaña. Si la ladera de la
montaña mide 5.000 metros, ¿a qué altura en metros está el avión?
1. 4.500
2.
3.
4.
5. 7.500
7. Al triángulo de vértices
en la figura). ¿Cuál es el
,
,
se le ha trazado la mediana que sale del vértice
, si
,
y
?
(como
1.
2.
3.
4.
5.
8. El perímetro del rectángulo inscrito en el círculo mostrado en la figura es
el radio de la circunferencia. El valor de
1.
2.
3.
4.
5.
, donde es
es:
30°
45°
60°
15°
75°
9. Al simplificar la expresión
se obtiene:
1.
2.
3.
4.
5.
10. Si el seno de un ángulo es 0.6, el coseno de dicho ángulo es:
1. 0.2
2. 0.4
3. 0.6
4. 0.8
5. 1
11. Si el lado
mide 2 metros, entonces la longitud en metros de la hipotenusa es:
1.
2.
3.
4.
5.
2
3
1
4
8
12. Si
y
, entonces
es igual a:
1.
2.
3.
4.
5.
13. Al efectuar
1.
2.
3.
4.
5.
se obtiene:
1
0
Indeterminado
Infinito
14. Para el triángulo de la figura se sabe que
y que
,
. Suponiendo que
, es correcto afirmar que:
1.
2.
3.
4.
5.
15. Los ángulos
1.
que cumplen la ecuación
son:
,
2.
,
,
3.
,
y
4.
y
y
5.
y
16. De acuerdo a la Figura, ¿cuál de las siguientes expresiones es falsa?
1.
2.
3.
4.
5.
17. Si se sabe que
y
valores de
y
1.
y
2.
y
3.
y
4.
y
5.
y-
18. Si
y
son
, entonces
1.
2.
3.
4.
5.
19. El valor exacto de
1.
2.
3.
4.
es:
es igual a
, entonces los
5.
20. Cuál de los siguientes enunciados es verdadero?
1. La cotangente es indefinida para 270º.
2. Si
, entonces
.
3.
4. Si
5. Si
.
, entonces
.
, entonces
.
21. Un valor de x que verifica la igualdad trigonométrica
1.
2.
3.
4.
22. Las soluciones de la ecuación
para
son:
1.
2.
3.
4.
23. La expresión
para
es igual a:
1.
2.
3.
4.
24. El valor de h de acuerdo a la figura es
1. 61.5
2. 61.5
3. 60
4. 60
25. Desde un punto A que está a 8m sobre el nivel del suelo el ángulo de elevación a la parte
mas alta de un inmueble es 35º y el ángulo de depresión a la base delmismo es15º, la
altura del edificio es:
1.
2.
3.
4.
26. Para
1.
2.
3.
4.
27. La expresión
para
1.
2.
3.
4.
28. Si
y
entonces
1.
2.
3.
4.
29. En el triángulo de la figura, sen(B)=
1.
2.
3.
4.
30. Si
y
1.
es positivo
2.
es positivo
3.
es negativo
, es verdadero que
es equivalente a :
4.
es negativo
31. Se construyó una rampa de 10 metros de altura con una base de 20 metros. El valor del
ángulo θ que se le debe incrementar al ángulo α para que la altura de la rampa sea igual a
15 metros, sin cambiar la medida de la base, satisface la siguiente igualdad:
1.
2.
3.
4.
32. Si el ángulo
mide 4 radianes, entonces
1.
y
son positivos
2.
y
son negativos
3.
es positivo y
es negativo.
4.
es negativo y
es. positivo
33. La función
es de período
1.
2.
3.
4.
34. De los angulos
1.
y
=
representados en la gráfica, se pude afirmar que:
2.
=
3.
4.
35. si
=
, entonces
es igual a:
1.
2.
3.
4.
36. Si
es verdadero afirmar que:
1.
2.
3.
4.
no está definida
no está definida
37. En la figura se han trazado las gráficas de las funciones
la gráfica quer corresponde a la función
1.
y
es:
2.
3.
4.
38. Desde lo alto de un edificio un observador ve un automóvil que se dirige directamente
hacia el edificio. El observador etá a 50 metros sobre el nivel del piso. El ángulo de
depresión cambia de
a
durante el periodo de observación. La distancia que
rrecorreel automóvil durante el tiempo de observación
1.
2.
3.
4.
39. Una rueda de radio 1 tiene una marca reflectiva. Si la rueda se coloca de tal manera que
su centro quede en el origen del sistema de coordenadas y la marca en el punto (1,0) y se
hace girar 120 grados en el sentido contrario de las manecillas del reloj la marca reflectiva
quedará en el punto de coordenadas:
1.
2.
3.
4.
40. De las siguientes proposiciones
I. Para todo
II. Para todo
III Existen valores de
para los cuales
IV Para todo
V. Existen valores de
para los cuales
Es correcto afirmar que:
1.
2.
3.
4.
Lección 10.
Son verdaderas II, III y V
La única falsa es la IV
Son verdaderas I, IV y V
La única falsa es la III
INGLÉS
1. The sum
1. 105
2. 245
3. 2.475
4. 3.215
5. 2.635
is:
2. For all values of
,
equals
1.
2. 8
3. 2
4.
5.
3. The sides of a quadrilateral are extended to make the angles whose sizes are shown. What
is the value of
?
4. Let
1.
2.
3.
4.
5.
100
90
80
75
70
,
and
be distinct integers from one to nine inclusive. The largest possible value of
is
1. 2
2. 3/4
3. 1/21
4. 1
5. 4/3
5. In the diagram, lengths are marked in centimetres. The area, in square centimetres, of the
given figure is:
1. 45
2. 35
3. 41
4. 32
5. 55
6. A fraction which is less than 1 has both a positive numerator and denominator. If 3 is added
to both the numerator and denominator, the new value of the fraction is:
1. Increased by 1
2. Increased by 3
3. Decreased
4. Closer to 1
5. Unchanged
7. If the result of
number is:
1. 219
2. 444
is written in decimal notation, the sum of the digits in that
3. 432
4. 453
5. 462
8. A town has 2500 residents of whom 60% voted in an election to fill a council vacancy. The
result was that of those who voted 38% voted for
, 32% for
and 30% for
. Under the
voting system, was elected. The number of residents who voted for was:
1. 450
2. 570
3. 1250
4. 950
5. 1500
9. Which of the following statements is true for all values (positive, negative or zero) of the
number
?
1.
2.
3.
4.
5.
10. For what values of is
1. 0 and 1 only
2. 0 and -1 only
?
3. all
4.
5.
11. Tom is 3 years older than Suzanne. The sum of their ages is 15. Given that Tom's age is
years, which of the following equations will find
?
1.
2.
3.
4.
5.
12. A circle has its center at
is:
. The line
is a tangent to it. The radius of the circle
1.
2.
3.
4.
5.
1
2
5
6
7
13. The diagram shows a circle enclosed in a square. The diameter of the circle is
square has sides of length
centimetres?.
cm. The
cm. What is the area of the shaded region, in square
1.
2.
3.
4.
5.
14.
equals
1.
2.
3.
4.
5.
15.
equals:
1.
2.
3.
4.
5.
16. If
and
1.
2.
3.
4.
5.
for all integers
, then
49
50
51
52
53
17. For all real numbers
and
, the expression
is equal to
is equal to
1. The maximum of
and
.
2. The minimum of
and
.
3.
4. The average of
and
5. The average of
.
and
18. In the Euclidian plane, the point
centered at
?
1.
2.
3.
4.
5.
.
is on a circle centered at point
. The circles intersect at point
and
, and
. ¿What is the measure of angle
60º
90º
120º
135º
150º
19. The coefficient of
in the expansion of
is
1.
2.
3.
4.
5.
20. How many integers from 1 to
1. 29
2. 31
3. 32
is on a circle
are divisible by 30 but no by 16?
4. 33
5. 38
I. PROBLEMAS SISTEMAS NUMERICOS, FRACCIONES, ALGEBRA.
1. ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son correctas?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
es un número racional
es un entero
es un entero
es un número racional
Exactamente uno de ellos
Exactamente dos de ellos
Exactamente tres de ellos
Todos ellos
Ninguno de ellos
2. Dados los números
1. Exactamente uno
2. Exactamente dos
3. Exactamente tres
4. Exactamente cuatro
5. Ninguno de los anteriores
cuántos son irracionales?
3. Simplificar la siguiente expresión:
4. Encontrar el valor y simplificar
5. Encontrar el valor y simplificar
6. Encontrar el valor y simplificar
7. Simplificar:
8. Simplificar y expresar su respuesta en términos de exponentes positivos:
9. Simplificar y expresar su respuesta en términos de exponentes positivos; racionalice el
denominador para evitar exponentes fraccionarios en el denominador:
10. Simplificar y expresar su respuesta en términos de exponentes positivos; racionalice el
denominador para evitar exponentes fraccionarios en el denominador:
11. Racionalizar el denominador y simplificar:
12.
1.
2.
3.
4.
5.
13.
1.
2.
3.
4.
5.
14. ¿Cuántos de los siguientes son ciertos?
1. [I.]
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Exactamente uno
Exactamente dos
Exactamente tres
Los cuatro
Ninguno de ellos
15. Simplificar lo siguiente; exprese su respuesta sin radicales en el denominador:
16. Simplificar:
17. Multiplicar y simplificar:
18. Multiplicar y simplificar:
19. Realizar las operaciones y simplificar:
20. Al simplificar la expresión
1.
2.
3.
4.
5.
21.
1.
2.
3.
4.
se obtiene:
5.
22.
1.
2.
3.
4.
5.
23. Substraiga la expresión algebraica:
24. Simplificar:
25. Simplificar:
26. Dividir el polinomio
por
y dar el cociente y el residuo.
27. Factorizar:
28. Factorizar:
29. Factorizar:
30. Factorizar:
31. Un factor de
es
1.
2.
3.
4.
5.
32. Al factorizar
1.
2.
3.
4. 0
5. Niguno de los anteriores
33. Factorizar:
34. Factorizar:
35. Factorizar:
36. Realizar la operación y simplificar su respuesta:
, se obtiene
37. Realizar la operación y simplificar su respuesta:
38. Realizar la operación y simplificar su respuesta:
39. ¿Cuántos de los siguientes son ciertos?
1. [I.]
2.
3.
4.
5.
6. Ninguno de ellos
7. Exactamente uno de ellos
8. Exactamente dos de ellos
9. Exactamente tres de ellos
10. Todos ellos
40. ¿Cuál de las siguientes expresiones es verdadera?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Ninguno
I. solamente
I. y II. solamente
I. y III. solamente
Todos ellos
41.
1.
2.
3.
4.
5.
42.
1.
2.
3.
4.
5.
43. Dividir y simplificar:
44. Dividir y simplificar:
45. Simplificar:
46. Simplificar:
47. Simplificar:
48. Resolver:
49. Resolver para
:
50. Resolver para
:
51. Resolver la fórmula
52. Resolver la ecuación
para
.
para .
53. ¿Exactamente cuántas de las siguientes ecuaciones son equivalentes a
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Una
Dos
Tres
Todas
Ninguna
54. Si
, entonces es igual a:
1.
2.
3.
4.
5.
55. Si
, entonces es igual a:
1.
2.
3.
4.
5.
56. Resolver la ecuación:
57. Encontrar explícitamente, en términos de las otras incognitas:
58. Encontrar explícitamente, en términos de las otras incognitas:
?
59. Encontrar explícitamente, en términos de las otras incognitas:
60. Su vecino desea alfombrar los cuartos de su casa. El ancho de los cuartos en su casa es
de 1 yarda menor que el largo. Escriba una ecuación que represente el área
alfombra necesaria para un cuarto de longitud .
61. Resolver:
62. Resolver:
63. Resolver:
64. Resolver:
65. Resolver:
66. Resolver:
67. Resolver:
68. Resolver:
69. Resolver:
70. Resolver:
71. Resolver:
72. Resolver:
73. Resolver:
74. Resolver:
75. Resolver:
76. Resolver:
77. Resolver:
78. Las raíces de
son:
1.
y
2.
y
3.
solamente
4.
5.
solamente
solamente
solamente
solamente
79. La raíz de
1. 0 solamente
2. 2 solamente
3. 7 y 2 solamente
4. 7 solamente
5. -7 solamente
80. ¿La ecuación
1. Ninguna
son:
cuántas raíces tiene exactamente?
de la
2.
3.
4.
5.
Una
Dos
Tres
Cuatro
81. Resolver la ecuación factorizando
82. Resolver la ecuación factorizando
83. Determinar si la siguiente ecuación tiene raíces reales. Si tiene raíces reales, encontrarlas,
de lo contrario decir que no tiene raíces reales:
84. Resolver:
85. Resolver:
86. Resolver:
87. Resolver:
88. Sara y Jeff han acordado reunir sus ahorros cuando tengan ahorrado la misma cantidad de
dinero. Sara puede ahorrar $40 en una semana, pero primero debe darle $65 a su madre.
Cuatro semanas después Jeff comenzo a ahorrar $25 por semana. ¿Cuándo podrán ellos
reunir sus ahorros? ¿Cuánto dincero habrán ahorrado cada uno de ellos?
89. Sally gana $15 por hora. Ella ha decidido ahorrar automáticamente un décimo del dinero
que le queda después de que ha sido substraído semanalmente $10 para Salud. Ella
desea ahorrar al menos $50 cada semana. ¿Cuántas horas debe ella trabajar cada
semana?
90.
es la fórmula para el área
radio y altura
de la superficie curvada de un cilindro que tiene
. Usted tiene una hoja de papel rectangular para envolver, que tiene una
longitud y un ancho . ¿Cuál es el radio del cilindro, con altura y que tenga la mayor
área, que la hoja de papel pueda envolver?
91. Un automóvil cuesta $22000, cuando nuevo pierde un número fijo de dólares en el valor
cada año. Después de cuatro años, el carro cuesta $12000. ¿Cuánto será su valor
después de site años?
92. El tiempo que toma un barco para viajar una distancia rio abajo (con la corriente) puede ser
calculado dividiendo la distancia por la suma de la velocidad del baroco y la velocidad de la
corriente. Escriba una ecuación que calcule el tiempo que toma un barco que se mueva a
una velocidad con una corriente
para viajar una distancia
. Resuleva su ecuación para
.
93. La diferencia entre la longitud de una rampa y la longitud de la distancia horizontal que ésta
cubre es 4 pies. El cuadrado de la distancia vertical que ésta cubre es 56 pies. ¿Cuál es la
longitud de la rampa?
94. Dave puede limpiar la fachada de un barco en 3 horas. Annette puede limpiar la misma
fachada en 2 horas. Si hay muchos barcos para limpiar, y Annette le da a Dave una ventaja
de 3 horas, ¿cuánto tiempo después de que Dave comenzará, ellos habrán limpiado el
mismo número de fachadas? ¿Cuántas habrán limpiado cada uno?
95. Suponga que la altura
en metros de los fuegos artificiales disparados en línea recta
ascendente desde la tierra está dada por
donde está en segundos.
¿Cuándo los fuegos artificiales estarán a 50 metros de la tierra?
96. Suponga que los ingresos semanales para una compañía están dados por
donde
el ingreso es $400.
es el precio de su servicio. Cuánto es el precio de su servicio ai
97. Un arco parabólico tiene una forma descrita por la ecuación
(unidades en pies). A qué altura (arriba del eje
98. El costo total de una compañía es
) es el arco 4 pies de ancho?
, donde
es el número de miles de unidades
producidas. El ingreso total es
. Encontrar los dos valores de
la compañía tiene exactamente el costo igual al ingreso.
para los cuales
99. Usted ha estado en un tren horas viajando millas por hora. Son las 6 p.m y usted está
a 3249 millas desde la estación del tren. ¿Cuántas horas ha estado viajando y que tan
rápido viajó?
100.
Las millas que una persona puede ver al horizonte desde un punto por encima de
la superficie de la Tierra es
de la raíz cuadrada de la distancia en pies de la persona
por encima de la superficie. Arturo está a 65 pies más arriba y ve 4.25 millas más allá que
Luis. A cuántos pies están Arturo y Luis por encima de la superficie.
EJERCICIOS ADICIONALES
Sara y Jeff han acordado reunir sus ahorros cuando tengan ahorrado la misma cantidad de
dinero. Sara puede ahorrar $40 en una semana, pero primero debe darle $65 a su madre. Cuatro
semanas después Jeff comenzo a ahorrar $25 por semana. ¿Cuándo podrán ellos reunir sus
ahorros? ¿Cuánto dincero habrán ahorrado cada uno de ellos?
Sally gana $15 por hora. Ella ha decidido ahorrar automáticamente un décimo del dinero que le
queda después de que ha sido substraído semanalmente $10 para Salud. Ella desea ahorrar al
menos $50 cada semana. ¿Cuántas horas debe ella trabajar cada semana?
$S=2\pi rh$ es la fórmula para el área $S$ de la superficie curvada de un cilindro que tiene radio
$r$ y altura $h$. Usted tiene una hoja de papel rectangular para envolver, que tiene una longitud
$l$ y un ancho $w$. ¿Cuál es el radio del cilindro, con altura $l$ y que tenga la mayor área, que la
hoja de papel pueda envolver?
Un automóvil cuesta $22000, cuando nuevo pierde un número fijo de dólares en el valor cada
año. Después de cuatro años, el carro cuesta $12000. ¿Cuánto será su valor después de site
años?
El tiempo que toma un barco para viajar una distancia rio abajo (con la corriente) puede ser
calculado dividiendo la distancia por la suma de la velocidad del baroco y la velocidad de la
corriente. Escriba una ecuación que calcule el tiempo $t$ que toma un barco que se mueva a una
velocidad $r$ con una corriente $c$ para viajar una distancia $d$. Resuleva su ecuación para $r$.
La diferencia entre la longitud de una rampa y la longitud de la distancia horizontal que ésta
cubre es 4 pies. El cuadrado de la distancia vertical que ésta cubre es 56 pies. ¿Cuál es la longitud
de la rampa?
Dave puede limpiar la fachada de un barco en 3 horas. Annette puede limpiar la misma fachada
en 2 horas. Si hay muchos barcos para limpiar, y Annette le da a Dave una ventaja de 3 horas,
¿cuánto tiempo después de que Dave comenzará, ellos habrán limpiado el mismo número de
fachadas? ¿Cuántas habrán limpiado cada uno?
Suponga que la altura $h$ en metros de los fuegos artificiales disparados en línea recta
ascendente desde la tierra está dada por $h=24.5t-4.9t^2$ donde $t$ está en segundos. ¿Cuándo
los fuegos artificiales estarán a 50 metros de la tierra?
Suponga que los ingresos semanales para una compañía están dados por $r=-3p^2+60p$
donde $p$ es el precio de su servicio. Cuánto es el precio de su servicio ai el ingreso es $400.
Un arco parabólico tiene una forma descrita por la ecuación $y=-x^2+10x-11$ (unidades en
pies). A qué altura (arriba del eje $x$) es el arco 4 pies de ancho?
El costo total de una compañía es $11q+144$, donde $q$ es el número de miles de unidades
producidas. El ingreso total es $q(71-4q)$. Encontrar los dos valores de $q$ para los cuales la
compañía tiene exactamente el costo igual al ingreso.
Usted ha estado en un tren $X$ horas viajando $X$ millas por hora. Son las 6 p.m y usted está a
3249 millas desde la estación del tren. ¿Cuántas horas ha estado viajando y que tan rápido viajó?
Las millas que una persona puede ver al horizonte desde un punto por encima de la superficie
de la Tierra es $0.85$ de la raíz cuadrada de la distancia en pies de la persona por encima de la
superficie. Arturo está a 65 pies más arriba y ve 4.25 millas más allá que Luis. A cuántos pies están
Arturo y Luis por encima de la superficie.
II.FUNCIONES, EXPONENTES , LOGARITMOS, VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
1. Resolver:
2. Resolver:
3. La solución de
es:
1.
2.
3.
4.
5.
4. Resolver:
5. Dos resistencias
y
están conectadas en paralelo en un circuito electrico. La
resistencia neta está dada por
. Si
crearán una resistencia neta de por lo menos 10 ohms?
ohms, ¿qué valores de
6. Después de horas de ser inyectado cierto medicamento en el torrente sanguíneo, su
concentración está dada por
mg/L. Determine el tiempo en el cual la
concentración alcanza el máximo nivel terapéutico de
7. Resolver:
8. Si
o
1.
2.
, entonces:
mg/L.
3.
4.
5.
9. La solución de
es:
1.
2.
3.
4.
5.
10. Si
está en el intervalo
, entonces:
1.
2.
3.
4.
5. Ninguna de las anteriores
11. Seis menos cuatro veces
es un número que es a lo más 14 unidades desde cero.
¿Cuáles son los posibles valores para
12. Tres veces
?
más cinco es un número que es mayor que 4 unidades desde cero. ¿Cuáles
son los posibles valores para ?
13. Exprese en símbolos matemáticos la siguiente afirmación: "El valor absoluto del cociente
de dos números es igual al cociente del valor absoluto de dos números"
14. Dada la función
, encontrar:
1. El dominio de
2.
3.
4.
5.
15. Dada la función
, encontrar:
1. El dominio de
2.
3.
4.
16. Si
, encontrar
17. Si
, encontrar:
1.
2.
18. El dominio de
, es:
1. Todos los números reales
.
2. Todos los números reales excepto
y
3. Todos los números reales excepto
4. Todos los números reales excepto
y
5. Todos los números reales excepto
;
19. Si
y
, entonces
1.
2.
3.
4.
5.
20. Si
, entonces
1. 0
2. 1
3.
4.
5.
21. ¿Exactamente cuántas de las siguientes ecuaciones define
como una función de
?
1.
2.
3.
4.
5. Ninguna de ellas
6. Una de ellas
7. Dos de ellas
8. Tres de ellas
9. Todas ellas
22. El perímetro de un cuadrado de la longitud de su lado.
1. Escriba una función
para el perímetro de un cuadrado cuando la longitud de
su lado .
2. ¿Cuál es el dominio de esta función fuera del contexto dado?
3. ¿Cuál es el dominio de esta función en el contexto dado?
4. Encontrar
,
y
5. ¿Qué le pasa al perímetro de un cuadrado cuando el lado es multiplicado por un
factor ? Describa esto usando una ecuación.
23. El tiempo en segundos que ha transcurrido desde Enero 1 de 2000 a las 12:00 a.m.,
depende de las horas que han transcurrido desde Enero 1 de 2000 a las 12:00 a.m.
1. Escriba una función
para el tiempo transcurrido desde Enero 1 de 2000 a las
12:00 a.m. cuando han trasnscurrido horas.
2. ¿Cuál es el dominio de la función fuera del contexto?
3. ¿Cuál es el dominio de la función en el contexto dado?
4. Encontrar
,
,
y
.
5. ¿Qué significa multiplicar la hora transcurrida por
?
24. El salario semanal de un empleado por cada hora depende del número de horas
trabajadas. Se exige a los patrones que paguen tiempo y medio a un empleado que trabaja
más de 40 horas por semana. Suponga que un patrón se niega a pagar el tiempo y medio,
y las tarjetas de tiempo que graban los incrementos de media hora.
1. Escriba una función
para el salario semanal de una persona que tabaja
horas a la semana y le pagan
la hora.
2. ¿Cuál es el dominio de la función
fuera del contexto?
3. ¿Cuál es el dominio de la función
en el contexto dado?
4. Encontrar
,
y
.
5. ¿Qué le pasa al salario si el tiempo trabajado por una constante
usando usando una ecuación.
25. El área de un círculo depende de la longitud de su radio.
? Describa
1. Escriba una función
para el área del círculo.
2. ¿Cuántas unidades cuadradas de césped son necesarias para cubrir un área
circular de cásped de radio ?
3. Si el radio de un área circular de césped se incrementa en 2 pies, ¿cuánto más
césped será necesario?
4. ¿Cuánto más césped será necesario por pie que se incremente?
5. Si el radio de un área circular de césped se incrementa , ¿cuánto más césped
será necesario?
6. ¿Cuánto más césped será necesario por pie que se incremente?
26. El tiempo que se toma para ir a una distacia dada depende de la razón.
1. Escriba una función
para el tiempo que se toma si la distancia es de 400 millas
y la razón es de millas por hora.
2. ¿Cuánto tiempo es necesario cuando la razón es ?
3. Si la velocidad se incrementa en 10 millas por hora, ¿cuánto tiempo menos es
necesario?
4. ¿Cuánto tiempo menos es necesario por milla por hora incrementada?
5. Si la velocidad se incrementa en , ¿cuánto tiempo menos es necesario?
6. ¿Cuánto tiempo menos es necesario por unidad incrementada?
27. La altura de un objeto lanzado en el aire depende del tiempo desde que ha sido lanzado.
Para una situación particular la altura en metros de un objeto después de segundos
puede ser representada por
1.
2.
3.
4.
5.
¿Cuál es la altura del objeto si el tiempo es segundos?
Si el tiempo se incrementa en 2 segundos, ¿cuál es la altura del objeto?
¿Cuál es la altura del objeto por segundo que se incremente?
Si el tiempo se incrementa en h, ¿cuál es la altura del objeto?
¿Cuál es la altura del objeto por unidad que se incremente?
28. Dada la función
1. El dominio de
2.
3.
.
encontrar:
4.
5.
29. Dada la función
encontrar
1. El dominio de
2.
3.
4.
5.
6.
30. Bajo ciertas condiciones, si dos padres con ojos azules tienen exactamente cuatro niños, la
probabilidad
de que exactamente sean de ojos azules, es una función de y está dada
por
serán de ojos azules.
31. Si
Encontrar la probabilidad de que exactamente tres niños
entonces
1. 0
2.
3.
4.
5.
32. Brett rentó una bicicleta de una tienda de alquiler y rodó a una razón constante de 12
metros por hora, por 2.5 horas a lo largo de una ciclovia, y entonces retorno a lo largo del
mismo camino a la misma razón. Escriba una función de valor absoluto, para representar la
distancia recorrida por Brett desde la tienda de alquiler, en función del tiempo.
33. Julie vive a 32 millas de la ciudad. Ella conduce a su casa desde la ciudad a una razón
constante de 60 millas por hora a lo largo de la carretera. A la salida 2 millas de su casa,
ella recordó que había dejado su bolsa en un grande almacén. Inmediatamente ella retorno
al almacén a razón de 60 millas por hora. Escriba una función de valor absoluto para
representar la distancia que Julie recorrió desde su casa cuando ella condujo a su casa
desde la ciudad.
34. En Junio Tito decidió ahorrar $20.000 en una semana. Él ahorro por 14 semanas y
después por 14 semanas él gastó $20.00 por semana en regalos. Escribir una función de
valor absoluto que represente la cantidad de dinero que Tito ha ahorrado.
35. En Noviembre Steve uso su tarjeta de crédito para comprar $30 000 en obsequios de fiesta
cada semana. Después de 8 semanas él comenzó a ahorrar $ 30 000 para pagar la factura
de su tarjeta de crédito. Escriba una función de valor absoluto que represente la cantidad
que Steve ha ahorrado desde que el comezó a comprar los regalos para la fiesta. (Ayuda:
suponga que las compras de la tarjeta de crédito representan ahorros negativos)
36. Si
y
, encontrar
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
37. Si
y
, encontrar
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
38. Si
, encontrar funciones y
39. Sea
tales que
. Encontrar funciones y
40. Sea
.
tales que
.
. Encontrar funciones y
tales que
.
41. Si
encontrar
1.
2.
3.
4.
42. Suponga que el área de un mantel cuadrado es
. Exprese como una
composición de dos funciones y explique que representa cada función.
43. Suponga que el volumen de un cubo es
. Exprese como una composición
de dos funciones y exprese que representa cada función.
44. Determine las intersecciones con los ejes
45. Esboce la gráfica de
ejes
e
e
, de la gráfica de
.
. También determine las intersecciones con los
.
46. Esboce la gráfica de
determine el dominio y
rango de .
47. Esboce la gráfica de
48. si
es la gráfica de
.
, esboce la gráfica de
.
49. Determine si la gráfica de
origen.
es o no simétrica repecto al eje
, al eje
, o al
50. Determine si la gráfica de
origen.
es o no simétrica repecto al eje
, al eje
, o al
51. Determine si la gráfica de
origen.
es o no simétrica repecto al eje
, al eje
, o al
52. Esboce la gráfica de
, y determine:
1. Las intersecciones con los ejes coordenados.
2. Si es o no simétrica repecto al eje
3. Si
es función de
, al eje
, o al origen.
. Si lo és determine el dominio y el rango.
53. Esboce la gráfica de
, y determine:
1. Las intersecciones con los ejes coordenados.
2. Si es o no simétrica repecto al eje
3. Si
es función de
54. La gráfica de
, al eje
, o al origen.
. Si lo és determine el dominio y el rango.
es simétrica respecto a
1. El eje
únicamente
2. El eje únicamente
3. El origen únicamente
4. El eje , el eje y el origen
5. Ninguno de los anteriores
55. De la gráfica de
respecto al eje
determine las intersecciones con el eje
, al eje
o al origen.
56. Encontrar la pendiente de la recta
57. La pendiente de la recta
1. 4
, y si es simétrica
.
es:
2.
3.
4.
5.
58. La ecuación de la recta que pasa por los puntos
y
es
1.
2.
3.
4.
5.
59. Determine si las siguientes rectas son paralelas o perpendiculares on ninguna de las dos:
60. Determinar la pendiente y la intersección con el eje de la recta
.
61. El área de la selva tropical de un país sur americano ha disminuido por 500 acres por año
en los últimos 10 años. Tenía 12000 acres hace 10 años. Grafique la ecuación resultante y
determine cuando toda la selva tropical de este país será destruida.
62. La relación entre la temperatura en la escala Fahrenheit y la temperatura en la escala
Celsius es
. Encontrar la pendiente y el punto de intersección con el eje
de la ecuación.
63. Un modelo matemático puede aproximar la distancia que gana para el lanzamiento de
disco Olímpico por la fórmula
, donde está dada en pies y
corresponde al año 1948. Nosotros podríamos predecir en qué año cierta distancia pudó
ser escedida, así reescribir la ecuación para resolver . Grafique la ecuación resultante y
encuentre las coordenadas de dos puntos arbitrarios sobre la recta y uselos para estimar la
pendiente.
64. Una casa que cuesta $173000 en 1999 ha estado ganando constantemente $14000 en
valor por año. Escriba una ecuación que describa el valor
años , desde 1995.
, como función del número de
65. Grafique la forma lineal general de la ecución que convierte grados Fahrenheit a Celsius
cuta forma pendiente--intersección es
66. Mostrar que los puntos
son los vértices de un trapezoide (un
trapezoide es una figura de cuatro lados con exactamente dos lados paralelos).
67. Suponga que las variables
cuando
,y
y
están relacionadas linealmente de tal forma que
cuando
68. Suponga que
y
. Encontrar
cuando
.
. Si es una función lineal, entonces
1.
2.
3.
4.
5.
69. Suponga que
y
. Si es una función lineal, entonces
1.
2.
3.
4.
5.
70. Suponga que
es una función lineal dada por
punto de intersección con el eje vertical.
71. Suponga que
. Encontrar la pendiente y el
es una función lineal con pendiente
, entonces encuentre la función
y punto de intersección
.
72. Determine una función lineal
, dados
y
.
73. La demanda por semana para un nuevo automóvil es 400 unidades cuando el precio es $
16 700 cada uno, y 500 unidades cuando el precio es $14 900 cada uno. Encontrar la
ecuación de demanda, asumiendo que ésta es lineal.
74. Para la parábola
1. El vértice
, encontrar
2. El punto de intersección con el eje
3. Los puntos de intersección con el eje
75. Para la parábola
1. El vértice
, encontrar
2. El punto de intersección con el eje
3. Los puntos de intersección con el eje
76. Grafique la función
las intersecciones con los ejes.
77. Encontrar el rango de la función
78. El vértice de la gráfica de la función cuadrática
e indique las coordenadas del vértice y de
.
es:
1.
2.
3.
4.
5.
79. El valor máximo de
1. 7
2. 8
3. 9
4. 10
5. 11
es:
80. Determine si la función
encontrarlo.
tiene un valor máximo o valor mínimo, y
81. Suponga que el vértice de la parábola
es
, encontrar .
82. La ganancia diaria para una tienda de electrónicos de la venta de un pequeño televisor
está dada por
, donde es el número del televisor vendido.
Encontrar el vértice de la función y los puntos de intersección con los ejes, y grafique la
función.
83. Un economista estima que los ingresos tributarios,
, de un país, en billones de dólares,
es una función de la tasa de impuesto , en porcentaje (0 a 75), de acuerdo a la ecuación
. Para qué rango de valores de , los ingresos tributarios son por
lo menos de US$6.25 billones? Interprete el resultado.
84. Resuelva el siguiente sistema algrebraico:
85. Resuelva el siguiente sistema algrebraico:
86. Resuelva el siguiente sistema algrebraico:
87. Resuelva el siguiente sistema algrebraico:
88. La solución para el sistema algebraico
es:
1.
2.
3.
4.
5.
89. Resuelva el siguiente sistema algrebraico:
90. Resuelva el siguiente sistema algrebraico:
91. El número de soluciones del sistema
es
1. cero
2. una
3. dos
4. tres
5. cuatro
92. Suponga que las ecuación de suministro y de demanda para un producto de un fabricante
son
y
, respectivamente, donde
representa el número de
unidades y representa precio por unidad en dólares. Determine
1. La cantidad de equilibrio.
2. El precio de equilibrio.
3. Si un tributo de US$1.00 por unidad es impuesto sobre el fabricante, determine la
nueva cantidad de equilibrio.
4. Si un tributo de US$1.00 por unidad es impuesto sobre el fabricante, determine el
nuevo precio de equilibrio.
93. Las ecuaciones de suministro y demanda para un producto son
y
, respectivamente, donde representa el número de unidades y
representa precio por unidad en dólares. El precio de equilibrio es:
1. US$ 10
2. US$ 20
3. US$ 30
4. US$ 40
5. US$ 50
94. Suponga que las ecuaciones de suministro y demanda para un cierto producto son
y
, respectivamente, donde
representa precio por unidad en
dólares y representa el número de unidades por el lapso de tiempo. Encontrar el precio
de equilibrio
1. algebraicamente.
2. cuando un tributo de 50 centavos por unidad es impuesto.
95. Suponga que el número de pacientes admitidos en un cuarto de emergencias de un
hospital durante cierta hora del día tiene una distribución de Poisson con media 3.
Encontrar la probabilidad que durante esa hora allí estén exactamente dos pacientes de
emergencia. Asuma que
96. La población de una ciudad está dada por
de años despues de 1987. La población en 1989 es:
1. 1'002,000
2. 1'020,000
3. 1'004,000
4. 1'040,000
5. 1'040,400
97. La siguiente gráfica es mejor representada por
donde es el número
1.
2.
3.
4.
5.
98. Encontrar la ecuación de la gráfica que se obtiene de la gráfica de
1. tres unidades abajo
2. tres unidades a la derecha
99. De la gráfica de
100.
, esboce la gráfica de
Evaluar y simplificar:
.
traladándola
101.
Evaluar y simplificar:
102.
Evaluar y simplificar:
103.
Encontrar
:
104.
Encontrar
:
105.
Encontrar
:
106.
Encontrar
:
107.
Encontrar
:
108.
Encontrar
:
109.
Encontrar
y expresar su respuesta en términos de logaritmo natural:
110.
Si
, entonces
1.
2.
3.
4.
5.
III. Geometría y trigonometría
1. La primera pregunta, a continuación, puede contestarse por " sentido común". Dése
solamente la respuesta. La segunda requiere algún proceso aritmético o algebraico para su
resolución. Muéstrese toda la labor necesaria para encontrarla.
1. Si un trozo de alambre de centímetros se corta en dos partes, de manera que el
largo de una parte sea cuatro veces el de la otra, ¿cuál es la longitud de la parte
más larga?
2. Si un trozo de alambre de centímetros se corta en dos partes, tales que el
cuadrado formado doblando una parte tiene cuatro veces el área del cuadrado que
se forma doblando la otra, ¿cuál es la longitud de la parte más larga?
2. Considérese la expresión
Para
. Si hacemos
, la expresión es igual a
. Para
, la expresión es igual a
, la expresión da el valor
.
. Los
números
,
,y
son números primos. (Un número primo es un número natural
mayor que uno, cuyos divisores positivos son uno y él mismo.)
1. Muéstrese que la expresión
cuando
es
ó
se comporta como
.
2. ¿Qué regla general sugiere
? ¿Es cierta o falsa?
3. ¿Cuál es el próximo número natural
¿Qué sucede cuando
?
mayor que
que podríamos considerar?
3. El piloto de un avión de retropropulsión desea hacer un viaje de
velocidad media de
kilómetros por hora. Si los primeros
kilómetros a una
kilómetros se recorren a
kilómetros por hora, ¿a qué velocidad deberá recorrerse la distancia restante?
4. Utilícese una regla para comprobar la exactitud de las medidas de la figura. Si las medidas
son correctas, demuéstrese mediante cálculos que la suma de las áreas de las cuatro
partes del rectángulo es mayor que el área del rectángulo. ¡Extraño!, ¿no es así? ¿Puede
explicarse esto?
5. Indicar si cada uno de los siguientes enunciados es cierto o falso:
1. Es posible definir cada término geométrico, empleando términos geométricos más
sencillos.
2. Los teoremas se demuestran solamente a base de definiciones y términos no
definidos.
3. El razonamiento geométrico preciso conduce a verdades geométricas que no
pueden deducirse de la medición.
4. La mejor manera de aprender a demostrar teoremas es observar a otras personas
demostrarlos.
5. Si se está dispuesto a describir todos los pasos, cada teorema puede deducirse de
postulados y términos no definidos, sin hacer referencia a otros teoremas.
6. Todo enunciado que parece ser cierto debe tomarse como postulado.
6. Supongamos que sea posible ajustar perfectamente una banda de hierro alrededor de una
esfera, digamos la tierra en su ecuador. La circunferencia de la banda sería de,
aproximadamente,
kilómetros. Supongamos que se intercala en la banda una
lámina adicional de hierro de
centímetros de largo, de manera que la banda no se
ajuste ahora a la esfera. La banda ampliada sobresaldría de la esfera y tendría un radio
ligeramente mayor que el radio de la banda original. Aproximadamente, ¿cuánto mayor
será el nuevo radio? (Si es necesario, puede suponerse que el radio de la Tierra es de
kilómetros.)
7. Considérese el conjunto de todos los números naturales divisibles por
. Considérese el
conjunto de todos los números naturales divisibles por .
1. Describir la intersección de los dos conjuntos y hacer una lista de sus primeros
cuatro elementos.
2. Escribir una expresión algebraica para representar la intersección.
3. Describir la reunión de los dos conjuntos y hacer una lista de sus primeros seis
miembros.
8. Al hacer una lista de los subconjuntos de un conjunto dado, se incluyen el conjunto mismo
y el conjunto vacío como subconjuntos del conjunto dado. Así, el conjunto
siguientes subconjuntos:
tiene cuatro subconjuntos.
tiene los
Es decir, un conjunto con dos elementos
1. Hacer una lista de los subconjuntos de
.
2. ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto de cuatro elementos?
3. ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto de cinco elementos?
4. ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto de
elementos?
9. Si y son números reales distintos de
y
, indicar si los siguientes enunciados son
ciertos para todo y todo (C), son ciertos para algunos y solamente (A), o nunca son
ciertos (N):
1.
2.
3.
4.
10. Si consideramos enunciados algebraicos con dos variables
y
, donde
y
son
números reales, podemos construir gráficas de dichos enunciados en el plano
. Por los
estudios anteriores de matemáticas, se recordará que representamos gráficamente el
conjunto de todos los pares ordenados
1. Trazar la gráfica de
que hacen cierto el enunciado algebraico.
.
2. Trazar la gráfica de
.
11. Utilizar el ejercicio anterior como una introducción para este problema:
1. Construir la gráfica de
2. Construir la gráfica de
12. La distancia
medida en centímetros es
unidades mayor que
distancia medida en metros. ¿Cuál es la distancia
en metros?
13. El perímetro de un triángulo medido en pulgadas es
medido en pies. ¿Cuál es el perímetro en pies?
14. Si la longitud de cada lado de un cuadrado es de
veces la misma
más que
veces su perímetro
metros, entonces su perímetro es de
metros y su área de
metros cuadrados. Puesto que
, el enunciado, " El
área de un cuadrado es igual a su perímetro", es cierto para este cuadrado.
1. ¿Será cierto el enunciado, si los lados de este cuadrado se miden en centímetros?
¿Y si se miden en kilómetros?
2. Describir otros dos cuadrados para los cuales el enunciado es cierto.
3. ¿Qué tienen en común los tres cuadrados para los cuales es cierto el enunciado?
15. Si un rectángulo mide pies de largo y pies de ancho, el enunciado, " El perímetro del
rectángulo es la suma del doble de la medida de la longitud y el doble de la medida del
ancho", es cierto para este rectángulo.
1. Será cierto el enunciado si la longitud y el ancho se miden en pulgadas? ¿Y si se
miden en yardas?
2. Depende la veracidad de este enunciado de una elección especial de los
números? ¿Y de una elección especial de las unidades?
16. El radio de una circunferencia es de
metros, la longitud de la circunferencia
es de
metros y el área del círculo asociado
es de
metros cuadrados.
Entonces, el enunciado, " El área del círculo es igual a la longitud de la circunferencia
asociada", es cierto en este caso.
1. ¿Será cierto el enunciado si el radio se mide en centímetros?
2. Describir otras dos circunferencias para las cuales el enunciado es cierto.
3. ¿Depende la veracidad del enunciado de una elección especial de los números?
¿Y de una elección especial de las unidades?
17. Verificar que cada uno de los siguientes enunciados es cierto. Luego, indíquese si cada
uno sigue siendo válido al medirse las longitudes con una unidad diferente. Indíquese,
además, qué enunciados siguen siendo válidos únicamente si se utiliza el mismo número,
o el mismo conjunto de números, para todas las unidades:
1. El perímetro de un rectángulo de
metros.
metros de ancho y
metros de largo, es
2. El perímetro de un cuadrado cada uno de cuyos lados mide
área del cuadrado.
pies, es el doble del
3. El perímetro de un triángulo cada uno de cuyos lados mide
centímetros.
centímetros, es
4. Un triángulo cuyos lados miden metros, metros y metros, respectivamente, es
un triángulo rectángulo. (Utilícese la relación pitagórica.)
5. Un triángulo cuyos lados miden pulgadas,
respectivamente, es un triángulo rectángulo.
pulgadas y
pulgadas,
6. El área de un círculo cuyo radio mide pies es igual al doble de la longitud de la
circunferencia asociada.
18. Se asignan tres sistemas distintos de coordenadas a la misma recta. A tres puntos fijos
de la recta se le asignan las siguientes coordenadas:
1. En el sistema I, la coordenada de
es
2. En el sistema II, las coordenadas de
3. En el sistema III, las coordenadas de
4. ¿Qué punto está entre los otros dos?
5. Evaluar
19.
,
y
,
y
y
y
es
son
son
.
y
y
, respectivamente.
, respectivamente.
.
son tres puntos de una recta. Las coordenadas de
respectivamente. Si
20.
y la de
, ¿cuál es la coordenada de
y
son
y
,
?
son tres puntos de una recta y sus coordenadas son
,
y
, respectivamente.
Si
, ¿qué punto está entre los otros dos? Justifíquese la
respuesta.
21. Es el siguiente enunciado una definición de interposición para los puntos de una recta?
1.
,
y
entre
son puntos distintos de la misma recta y
y
, si
está
.
¿En qué difiere este enunciado de la definición a continuación?
Definición:
está entre
y
, si 1)
,
y
son puntos distintos de una misma recta, y 2)
.
22. Si , y son tres puntos de una circunferencia, ¿puede decirse qué punto está entre los
otros dos? Comentar esto.
23. Tres puntos de una recta,
y
,
y
, tienen coordenadas
,
y
, respectivamente;
. Indicar qué punto está entre los otros dos, si:
1.
2.
3.
24. ¿Es el siguiente enunciado una definición correcta del rayo
El rayo
es el conjunto de todos los puntos
enunciado "
está entre
y
de
?
para los cuales no es cierto el
".
25. ¿Por qué no constituye el siguiente enunciado una definición del punto medio de un
segmento?
Un punto
se llama el punto medio de un segmento
, si
.
26.
1. Si , y son tres puntos distintos y
los tres puntos?
2. Si
,
y
, ¿cuál es la relación entre
son tres puntos distintos, ¿podrá ser cierto que
? Si
no puede ser cierto, explicar por qué. Si es cierto, ¿cuál es la relación entre
,
y
?
27. Al excavar en las ruinas de una antigua civilización, un grupo de arqueólogos encontró
trozos de dos reglas viejas marcadas con símbolos numéricos, pero en cada una se
utilizaba una unidad de medida diferente. Los arqueólogos llamaron una de las escalas la
``escala Zeta'', porque en la regla aparecía tallado un símbolo parecido a una ``Z''.
Después de experimentar con las dos reglas, determinaron que la longitud de la diagonal
de un cuadrado de lado zeta era la unidad de medida de la otra escala. Así, pues,
llamaron a esta escala la ``escala Diag''. Entonces, utilizando la relación de Pitágoras para
un triángulo rectángulo, supieron que
diagrama de las dos escalas:
diag
zetas. A continuación, se presenta un
1. ¿Cuál es la medida en zetas de un segmento cuya medida en diags es
?; ¿ ?;
¿ ?¿ ?
2. Hacer una tabla para pasar de diags a zetas, que llegue hasta
diags.
3. ¿Cuál es la medida en diags de un segmento cuya medida en zetas es
¿ ?; ¿ ?; ¿ ?
4. Completar la siguiente tabla para pasar de zetas a diags, hasta
zetas.
?; ¿ ?;
Número de zetas Número de diags Aproximación decimal
1
0.707
2
1.414
3
4
28. Para cada uno de los siguientes enunciados, considerar el conjunto de puntos de una recta
cuyas coordenadas
1.
.
2.
.
3.
4.
satisfacen la condición dada:
.
.
5.
.
6.
o
7.
.
8.
.
.
¿Cuáles de los conjuntos es un rayo?; ¿un punto?; ¿una recta?; ¿y un segmento? Hacer
un dibujo de cada una de las figuras.
29. La figura que es la reunión de todos los segmentos cuyos extremos son cuatro puntos no
coplanarios, se llama pirámide triangular, o tetraedro. Los cuatro puntos son los vértices
del tetraedro.
o
o
o
o
Redactar una definición de una arista de un tetraedro.
¿Cuántas aristas tiene el tetraedro? ¿Cuáles son?
¿Habrá algunos pares de aristas que no se intersequen?
Una cara es una región triangular determinada por tres vértices cualesquiera.
Nómbrense las cuatro caras. ¿Habrá algunos pares de caras que no se
intersequen?
30. La figura de abajo representa una pirámide cuadrada cuya base, un cuadrado, se supone
que esté más cercana al lector. Nombrar los planos que determinan sus vértices. (Deberán
indicarse siete planos.)
31. Considérense las siguientes definiciones:
El espacio
,
y
es un conjunto cuyos únicos elementos son cuatro puntos no coplanarios
. Una recta es un par de puntos cualesquiera que pertenecen al espacio
plano es una terna de puntos cualesquiera pertenecientes al espacio
,
. Un
.
Mediante un examen cuidadoso de todos los pares y las ternas de puntos, muéstrese que
el espacio satisface a los postulados 4, 5, 6, 7 y 8, y a los teoremas 3--1, 3--2, 3--3 y 3-4 (ver Moise ). Un sistema tal se llama una geometría de cuatro puntos.
¿Qué postulado se incluyó en el texto, que nos asegura que el espacio corriente contiene
una infinidad de puntos?
32. ¿Podrán tres rectas en un plano separarlo en tres regiones?; ¿En cuatro regiones?; ¿en
cinco regiones?; ¿en seis regiones?; ¿y en siete regiones?
33. ¿En cuantos conjuntos separan al espacio dos planos que se intersecan? ¿Y dos planos
paralelos?
34. ¿Cuál es el número mayor de conjuntos en que tres planos distintos pueden separar al
espacio? ¿Y el numero menor?
35. ¿Es el siguiente enunciado cierto o falso? La reunión de dos conjuntos convexos
cualesquiera, que tienen al menos dos puntos comunes, es un conjunto convexo.
Justifíquese la respuesta.
36. Redactar una explicación rigurosa de porqué es cierto el siguiente enunciado: La
intersección de dos conjuntos convexos cualesquiera, que tienen al menos dos puntos
comunes, es un conjunto convexo. [Sugerencia: Sean
y
dos puntos comunes
cualesquiera. ¿Qué conjuntos deben contener a
?]
37. Dibujar cualquier cuerpo geométrico limitado por superficies planas, tal que el conjunto de
puntos del interior de la figura no sea convexo.
38. Cada uno de los planos , y de la figura interseca a los otros dos, como se indica.
¿En cuantas regiones convexas separan al espacio?
39. En este problema, el alumno ``gana'', si puede cruzar cada uno de los segmentos de la
figura exactamente una vez, sin levantar el lápiz del papel. Cópiense las figuras en una
hoja de papel y trátese de descubrir en cuáles dos de las cinco figuras es posible ``ganar''.
¿Habrá una manera de construir figuras con las cuales siempre se ``pierda''?
40. De las tres figuras presentadas a continuación, dos pueden dibujarse sin tener que levantar
el lápiz del papel o volver a pasar por encima de algún segmento de recta, mientras que
resulta imposible hacerlo con la tercera. ¿Cuáles dos pueden dibujarse de esta manera?
Trátese de reproducir cada figura en una hoja de papel, sin levantar el lápiz o pasar de
nuevo por encima de algún segmento. ¿Habrá una manera más fácil de llegar a una
conclusión?
41.
0. ¿Podrá un punto estar en el exterior de un triángulo y, también, en el interior de un
ángulo del triángulo? Ilustrar la respuesta.
1. ¿Podrá un punto estar en el exterior de un triángulo, pero no en el interior de
ninguno de los ángulos del triángulo? Ilustrar la respuesta.
42. Se da el
y un punto
lado de
.
y
.
y
están del mismo
.
0. ¿Está
en el interior del
1. ¿Está
en el interior del
43. Se da el
y, además,
0. ¿Está
y
-
?
?
- ,
- -
,
-
-
y
en el interior o en el exterior del
1. ¿Interseca
2.
están del mismo lado de
a
-
- .
?
?
están en lados opuestos de \underline .
3. ¿Cómo podemos estar seguros de la respuesta a la parte
44. Sobre la arista de un semiplano, tomar los puntos
que
,
,
. En el mismo semiplano, tomar
?
tal que
- -
tal que
. Dibujar
tal
= 85. Medir
TAV con un transportador. ¿Concuerda el resultado con un cálculo correcto?
45. Dos veces la medida de un ángulo es
menos que cinco veces la medida de su
suplemento. ¿Cuál es la medida del ángulo?
46. Si en un plano,
47. Si
y
, ¿cuánto es
m\DBC=180 m\MAS+
?
, ¿será
m\DBC=
m\NAS? ¿Por qué? Si, también, decimos que
podemos concluir? ¿Por qué?
48. Se da la recta
separando a dos semiplanos
Si
\underline del
es un punto de
y
Hallar
y
,
y
intersecan a
en
esta en el
es opuesto a
son rayos opuestos,
interseca al plano
.
, entonces
tal que
= \underline
. [Sugerencia: Sean
50. En la figura, el plano
P es un punto de H
tal que
= \underline . Si
es \underline
49. En el semiplano
y
m\NAS, ¿qué
m\KBG m\KBD\
ym
en
.
.
.]
y
, ambas en el plano
,
0. Nombrar dos pares de ángulos opuestos por el vértice.
1. Nombrar dos pares de ángulos suplementarios.
2. Si
\overleftrightarrow AB, nombrar dos pares de ángulos complementarios.
51. En la figura,
,
está en
0. ¿Cuáles dos ángulos son suplementarios del
?
1. ¿Cuáles dos ángulos son suplementarios del
?
.
,
,
y
se intersecan en
es la intersección de los planos
y
,y
y
están en
.
2. Si
, ¿qué otros ángulos tienen que ser congruentes?
3. Si
es un ángulo recto, ¿qué otros ángulos tienen que ser rectos?
52. Si
,
y
son tres rayos distintos en el plano, tales que ningún par de ellos son
opuestos, ¿será cada uno de los siguientes enunciados cierto o falso?
0.
+
=
.
1.
+
+
= 360.
53. ¿Podría el interior de un triángulo definirse como la intersección de tres semiplanos?
Explíquese. Si el punto
es cualquier punto en el interior del
definición del interior del
sección 4-1.)
, escríbase una
. ¿Refiérase a la definición del interior de un ángulo en la
54. ¿Está el interior del
completamente determinado por la intersección de los
interiores de dos cualesquiera de sus ángulos? Ilústrese esto y formúlese una definición.
¿Es ésta equivalente a la definición anterior?
55. Explicar porqué es cierto el siguiente enunciado: Si la recta
tal que
que
- -
-
- ,y
no corta a
, entonces
corta al
tiene que cortar a
en un punto
en un punto
.
56. La figura a continuación es una estrella de cinco puntas
. Escríbanse todas las
congruencias que admite la estrella consigo misma, comenzando con
\ABCDE.
57. El triángulo
es equilátero, es decir,
. Escríbanse todas las
congruencias posibles del triángulo consigo mismo, comenzando con la congruencia
identidad
tal
\ABC. (Hay más de cuatro.)
58. ¿Cuáles de las siguiente figuras planas pueden coincidir con otras? Para cada par de ellas,
indíquese qué movimientos (dar una vuelta en el espacio a una de las figuras, o deslizarla,
o girarla en el plano) son necesarios par que las figuras coincidan:
Cuáles de estas figuras tridimensionales son congruentes? todo[Gráfico Pág. 111-2]{P1112}
59. Supongamos que el friso ornamental de la figura se extiende indefinidamente en ambas
direcciones, como es el caso de una recta. Consideremos una traslación horizontal del friso
que transformaría cada pestaña en la pestaña siguiente del mismo lado de la recta.
Podríamos decir que este movimiento da una congruencia del friso consigo mismo.
0. Descríbanse movimientos de tipo diferente que den congruencias del friso consigo
mismo. ¿Cuantas de esas congruencias hay?
1. Descríbanse dos tipos de movimientos que den congruencias del friso a
continuación consigo mismo:
60. Construir el triángulo determinado por cada conjunto de medidas dadas a continuación. Si
la información determina dos triángulos, construir ambos. Si pueden contruirse más de dos
triángulos, o no puede construirse ninguno, explicar porqué.
0.
\M = 30, MO = 2, m
.
1.
\B = 55, AB = 5, BC = 3.
2.
\G = 35, GH = 6, HI = 4.
3. AB = 5, BC = 3, AC = 4.
4.
\M = 80, MO = 2, m
5. DE = 8, EF = 3, DF =4.
6.
7.
.
\D = 60.
\A = 70, m
61. Los triángulos
\C = 50
y
no se intersecan y
es un punto entre
y
. ¿Cuál de
los dos símbolos o corresponde colocar en cada uno de los espacios en blanco para
completar un enunciado que tenga sentido y que posiblemente sea cierto?
0.
1.
2.
3.
4.
.
5.
6.
7.
.
a). ¿Qué espacio en blanco se pudo llenar con cualquiera de los dos símbolos?
b). Si
hubiera sido el mismo segmento que
en qué caso se cambiaría
62. Se da el triángulo
por =?
Si
\text y
se puede obtener acerca del
63. Se da
y
con
, pero C fuera un punto diferente de F,
- -
? ¿Cómo se demostraría que la conclusión es válida?
. Los puntos
están en lados opuestos de
,
y
están del mismo lado de
está del mismo lado de
Demostrar que
64. Si
, ¿qué conclusión
que
que
, pero
.
.
y
qué conclusión se puede obtener acerca de los
triangulos
y
? ¿cómo se demostraría que la conclusión es válida?
Enunciese un teorema que generalice esta situación.
65. Se sabe que
.
⊥
y
biseca a
son puntos en
en
, pero
y
, respectivamente, tales que RS = RC,
. También,
.
. Demostrar que
y
están en lados opuestos de
biseca a
⊥
y
y que
.
66. Se da el
manera que
, con
-
-
. Los puntos
y
- -
.
Demostrar que
se intersecan en
y
de tal
.
, ¿se podrá
? Si se puede, hágase la demostración. Si no se puede,
68. En la figura de abajo, si AB=CB,
podrá demostrar que
demostración.
están en los lados del
.
67. En la figura de abajo, si
demostrar que
explíquese por qué.
y
y
y
? Si la respuesta es afirmativa, desarrollar una
, ¿se
69. En la figura de abajo, si
70.
y
se intersecan en
, con
-
, tales que
Demostrar que
biseca al
-
y
⊥
y
-
-
.
y
y
,
y
71. En la figura de abajo,
y
⊥
,
son puntos en el interior del
.
biseca al
.
están alineados.
,
,
y
son puntos en el plano
son isósceles, con
, demostrar que
72. En un plano, los puntos
, demostrar que AB= CB.
y
y
no está en el plano
, respectivamente. Si
biseca al
.
están en lados opuestos de
es un triángulo equilátero y el
,y
de tal modo que el
es un triángulo equiángulo. Demostrar que
.
73. En la figura de abajo, si
,
y
, demostrar que
.
74. En la figura de abajo, AD=BC, AC=BD, AK=BN y AG=BH. Demostrar que KG=NH.
75. En la figura de abajo, si DF=EF y
, demostrar que el
es isósceles.
76. Si, en la misma figura anterior, AC=BC y DC=EC, demostrar que DF=EF.
77. Si en la figura de abajo, MK=MQ,
.
,
\
y
\
, demostrar que
.
78. La recta
es perpendicular a
medios de
de
y
y biseca a
en
, respectivamente. Los puntos
. Los puntos
y
y
se toman en
son los puntos
en lados opuestos
de tal modo que AX=BX y AT=BR. Demostrar que AS=BS.
79. Se da la figura de abajo. Demostrar que si
AD=BC.
y KM=CM=TM, entonces
80.
0. En la figura de abajo, si
,
,
y
son coplanarios,
y
, demostrar que
1. ¿Será necesario que
81. En la figura de abajo,
\
,
sean coplanarios? Explíquese.
y
. Demostrar que
\
y
, demostrar que
.
83. En la figura de abajo,
,
y
están en el plano
,y
y
están en lados opuestos de
.
, RP=SP y RC=SC, demostrar que
0.
,
1.
.
, se tiene
-
-
y
⊥
está en el interior del
PC=PQ.
85. Si
y
.
y
84. En
,
biseca simultáneamente a
82. En la figura de abajo, si
Si
es el punto medio de
y
se bisecan en
. El punto
está en el interior del
tal que
,y
y
. Si
se bisecan en
y el punto
, entonces
, demostrar que
.
86. Se da el
, con AB=BC. Sea
un punto en el lado de
es equilátero. Sea un punto en el lado de
equilátero. Demostrar AE=CD.
87. Se da el
y
ABCD como en la figura, con
opuesto a
opuesto a
y
tal que el
tal que el
es
. Demostrar que
se bisecan.
88. En la figura de abajo, los puntos G y B trisecan a
Si AB = BG demostrar que
congruentes.]
, y los puntos G y P trisecan a
.
. [Nota: Trisecar significa dividir en tres partes
89. Redactar una definición cuidadosa de lo que significa ``
90. Datos: El
es isósceles, con
Demostrar ST = RT.
,y
y
trisecan a
contiene la mediana
''.
del
.
91.
0. Si
y
se bisecan en
, demostrar que AC=BD y que AD=BC.
1. Si también
es bisecado en , ¿se podrán hallar seis pares de segmentos
congruentes, ninguno de los cuales contiene a K?
2. Si
no está en el mismo plano con
y
, ¿cómo afectaría esto a las
conclusiones en la parte 91 b? Trátese de imaginar la figura, o hágase un croquis o
un modelo de ella.
92. Se da el
tal que
;
está en
y
está en
. Con esta información, ¿se podrá demostrar que
hacerlo. Si no se puede, explicar porqué.
93. Los triángulos
Si
y
y
de tal modo que
? Si se puede,
están en planos diferentes, pero tienen el lado común
es cualquier punto en
, entonces
94. Completar la demostración de Euclides para el siguiente teorema: Los ángulos en la base
de un triángulo isósceles son congruentes. Datos:
BAC , con
.
Demostrar
Primeramente, tómese un punto E tal que
. Dibújense
.
es un punto en la base
,
,
y
y
biseca al
.
.
es cualquier punto en
es isósceles.
es un punto en
y
.
y
son dos puntos de
tal que
0. Demostrar que el
es isósceles.
1. ¿Será necesario que
corte a L?
, con
,
es un punto
y AM=AR.
2. ¿Requiere la respuesta a la parte 98 a que
98. Se nos da el
.
, respectivamente, y
la arista de dos semiplanos,
,y
tal que
, interseca al
son no coplanarios y
son los puntos medios de
. Demostrar que el
en
- y
.
96. En la figura de abajo,
97. Sea
-
, la bisectriz de un ángulo en la base,
Demostrar que
y
tal que
\overline CE.
95. En el triángulo isósceles
lado opuesto en
- - y un punto
y
sean coplanarios?
. Las bisectrices de los ángulos en la base,
y
, se cortan en el punto . Demostrar que
es perpendicular a
. (No es
necesario utilizar triángulos congruentes en la demostración.)
99. Una de las diagonales de un cuadrilátero biseca a dos ángulos del cuadrilátero. Demostrar
que biseca a la otra diagonal.
100.
Los puntos
Dado que
,
y
están en el plano
,
es el punto medio de
.
y
están a lados opuestos de
y
, demostrar que
IV. Ejercicios y problemas con enunciado en Inglés
1. ¿What property of real numbers is used to write
1. distributive
2. associative
.
?
3. commutative
4. transitive
5. none of the above
2. Find the value and simplify:
.
3. Simplify and express your answer in terms of positive exponents:
4. Rationalize the denominator and simplify:
5. Simplify:
.
.
.
6. Simplify the following; express your answer with no radical in the denominator:
7. Simplify; express the answer without radicales:
8. Substract the algebraic expressions:
9. One factor of
.
es:
1.
2.
3.
4.
5.
10. Perform the operation and simplify your answer:
.
11. Perform the operation and simplify your answer:
.
12.
1.
2.
3.
4.
5.
13.
1.
2.
3.
4.
5. 0
14. Divide and simplify:
.
15. Rationalize the numerator of
and simplify.
16. Rationalize the denominator and simplify:
17. Solve:
.
.
18. Solve:
.
19. Solve the equation
for
,
, and
20. True or False: The equations
21. Solve:
are equivalent.
.
22. Solve the equation:
23. Solve:
.
.
24. The roots of
1.
and
are:
only
2.
and
only
3.
and
only
4.
5.
.
and
and
only
only
25. The sum of the roots of
1. 0
is:
2.
3.
4.
5.
26. ¿Wich of the following is a root of
?
1.
2.
3.
4.
5.
27. Solve the equation
, by using quadratic formula. Use calculator
and give your answer by rounding off to 2 decimal places.
28. A number squared is six more than five times the number. What is the number?
29. The area of a rectangular table which has a length 1 foot more than its width is 20 square
feet. What are the dimensions of the table?
30. The volume of a rectangular prism with a square base and height which is 16 times as long
as is width is 4 times its width. What are the dimensions of the rectangular prism?
31. Suppose the ratio of the number of hours a coffe shop is opened to the number of daily
customers it gets is constant. When it is opened 3 hours the number of customers is 180
less than the maximum number of customers. When it is opened 11 hours the number of
customers is 20 less than the maximum number of customers. Write an equation describing
this situation and find the maximum number of daily customers.
32. The time it takes an airplane to travel a given distance with a headwind (against the wind)
can be calculated by dividing the distance by the difference of the speed of the airplane and
the speed of the wind. Write an equation which calculates the time it take an airplane
traveling at a speed against a wind to cover a distance . Solve your equation for .
33. A certain machine can perform 34 chemical analyses per day, buta lab technician can
perform only 7. Suposse a laboratory must make 110 analyses tomorrow and it has only
two machines. How many technicians will be need to complete the job?
34. A person deposits $50 in a bank and in two years it increases to $56.18. If the bank
compounds interest annually. what annual rate of interest does it pay?
35. The sum of two real numbers is 12. The sum of their reciprocals is
numbers.
36. The solution of
is
1.
2.
3.
4. No solution
5.
37. The solution of
is
1.
2.
3.
4.
5.
38. Solve:
.
39. Solve:
.
40. Solve:
41. If
.
is less than 4 units from 0, then
1.
2.
3.
4.
5.
42. The solution of
1.
is
. Find the two
2.
3.
or
4.
or
5.
43. Solve:
44. Si
or
, then
1.
2.
3.
4.
5. none of the above
45. Solve: Six plus three times
is a number 12 units from zero.
46. The number minus four is less than 6 units from zero. What are the possible values for
?
47. Express the following problem using absolut value notation: For safety reasons, the arrival
time of commuter train
arrival time of train
at a station must be at least 6 minutes different from the 6:00 p.m.
.
48. A machine part must be within
cm of
inequality describing this requirement, where
49. Si
cm long. Write an absolute value
is the part's length in centimeters.
, find:
1. the domain
2.
3.
4.
5.
50. Si
, find
51. True or False: If
52. The domain of
1.
2.
3.
4.
5.
53. If
, then
1.
2.
.
, then
is a function of
.
consist of all real numbers
such that
3.
4.
5.
54. Which equation below defines
as a function of
?
1.
2.
3.
4.
5.
55. If
. Then find
.
56. The speed you must travel for a given amount of time depends on the distance you must
cover.
1. Write a function
for the speed if the time is 5 hours and the distance to cover is
.
2. What is the domain of this function out of context?
3. What is the domain of this function in the given context?
4. Find
,
y
.
5. What happens to the speed if the distance is reduced (divided) by a constant
Describe using an equation.
57. The perimeter of a square depends on the length of its side.
1. Write a function
?
for the perimeter of a square.
2. How much linear fencing material is needed to fence a square garden of length
3. If the sides of the square garden are increased by feet, how much more fencing
material needed?
4. How much linear fencing material is needed per foot increase?
5. If the sides of the square garden are increased by , how much more fencing
material is needed?
6. How much linear fencing material is needed per unit increase?
58. Given the function
find:
1. the domain of
2.
3.
4.
?
59. A cylinder has a height that is 3 times as long as the radius.
1. Write the area of this circular base as a function of its radius.
2. Write the volume of the cylinder as a function of its radius.
3. Without simplifying, write the ratio of the area of the circular base and the volume of
the cylinder as a function of the radius.
4.
5.
6.
7.
Simplify the function you wrote in
What kind of function is this?
What is its domain out of context?
What is its domain in the given context?
60. If
and
, find
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
61. The
and
intercepts of the graph of
1.
2.
3.
4.
5.
62. By looking at the graph:
1. list all values for which
2.
3.
are
4. find de domain of
5. find the range of
63. To obtain a graph of
statements are true?
1. shift 1 unit to the left.
2. shift 1 unit to the right.
3. shift 1 unit up.
4. shift 1 unit down.
5. none of the above.
from the graph of
64. Determine whether or not the graph of
, which of the following
is symmetric about the
axis, the
axis, or the origin.
65. Determine the
intercepts and
symmetric about the
axis, the
intercepts if they exist. Also find if the graph is
axis, or the origin for
66. The slope of the line passing through the points
67. Find the slope of the line
is 5. Find
.
.
68. The diagram below shows lines with slopes 0, 1,
and
and
.
,2y
. What is the slope of the lines
?
69. Graph the equation
.
70. Wich of the following statements are true?
1. [I.]
2. Slope is not defined for a vertical line.
3. A line that falls left to right has a negative slope.
4. A line with slope is more nearly horizontal than a line with slope .
5. I only
6. II only
7. I and II only
8. I and III only
9. all of the above
71. The stock price of a company has risen at the rate of $5.00 per month over the last year.
On January 1 it was $75.00. Write an equation that shows this relationship.
72. Suppose is a linear function such that
73. For the parabola
1. the vertex
2. the
intercept
3. the
intercepts
and
, find
. Find
.
74. State whether
has maximum or minimum value and find that value.
75. State whether the following function is a quadratic function:
76. Solve the following system algebraically:
.
77. Solve the following system algebraically:
78. If you solve the following system, what is the value of
1.
2.
3.
4.
5.
?
3
4
5
6
7
79. Two species of deer,
and
Each week they receive
, living in a wildlife refuge are given extra food in the winter.
tons of food pellets and 7 tons of hay. Each deer of species
requires 4 pounds of the pellets and 8 pounds of hay. Each deer of species requires 2
pounds of the pellets and 4 pounds of hay. How many of each species of deer will the food
support so that all of the food is consumed each week? Use a graphing calculator to graph
both of your equations at the same time. What do you notice about the graphs?
80. Solve the following nonlinear system:
81. One cellular phone billing plan includes a $19 monthly access fee and a $0.75 charge for
each minute of calling time. A rival plan has a $21 access fee and 1 $0.70 per-minute
charge. For what number of calling minutes do the two plans produce the same total bill to
the customer?
82. Evaluate and simplify:
.
83. Find
:
84. Find
:
85. Find
:
86. Find
:
.
.
.
.
87. Find :
.
88. The following graph is best represented by
1.
2.
3.
4.
5.
89. If
, then
1.
2.
3.
4.
5.
90. Solve for
:
91. Solve for
:
.
.
92. If the yeast has been decreasing by 80% hourly and the current amount is
amount first measured, then the situation can by represented by
of the
.
Represent this equation in logarithmic form. What does represent?
93. The atmospheric pressure
above sea level is given by
1. Find
(in millimeters of mercury) at an altitude
(in kilometers)
.
at an altitude of 4 km, rounded to the nearest whole number.
2. At what altitude will the pressure be 300 mm of mercury? Round to the nearest
tenth of a kilometer.
94. Assume that
and
95. Write the following in terms of
96. Write the following in terms of
97. Solve for
:
. Determine the value of
and
:
and
.
.
:
.
.
98.
1.
2.
3.
4.
5.
99. Writing
0
1
2
3
4
as a single logarithm gives
1.
2.
3.
4.
5.
100.
The population in the state of California is 24 million today. It is increasing at a rate
of
per year. The population years from now is given by the rule
After how many years will the population double?
.