PUNTAJE TOTAL Subsector / Módulo: Matemática-Eje Álgebra Profesor (a):Ana María Hernández Ríos Guía de Aprendizaje Nº 7 “Productos Notables” PUNTAJE OBTENIDO COLEGIO MAIPO 74 Nombres y Apellidos: Calificación Curso: 1º Medio__ Fecha: Contenidos: Productos Notables Objetivo: Identificar patrones en multiplicaciones de expresiones algebraicas no fraccionarias. Instrucciones: La guía de aprendizaje tiene 74 ejercicios. Realiza los ejercicios en tu cuaderno y anota los resultados en la guía, para la evaluación debes entregar el cuaderno y la guía. Productos Notables La frase Producto Notable, en Matemáticas, se refiere al resultado de una multiplicación (producto) que se hace con mucha frecuencia (notable). En Álgebra tenemos varios productos notables, como por ejemplo la multiplicación un binomio cualquiera por sí mismo, o lo que es lo mismo, el elevar al cuadrado un binomio cualquiera; lo que da como producto el Trinomio Cuadrado Perfecto. Algunos productos notables son la multiplicación de dos binomios conjugados (suma y diferencia), que da como producto una diferencia de cuadrados; la multiplicación de dos binomios que tienen un término en común, queda como producto un trinomio cuadrado imperfecto; entre otros. En resumen tenemos: Binomio al Cuadrado (a±b)2 = a2 ± 2ab+b2 Trinomio cuadrado perfecto Binomios conjugados (a+b)(a-b) = a2 - b2 Diferencia de Cuadrados. x2+(a+b)x+ab Trinomio Cuadrado Imperfecto Binomios con un término común (x+a)(x+b)= Binomio al cubo. (a±b)3 = a3±3a2b+3ab2±b3 Trinomio al Cuadrado (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc (a+b)(a2 – ab + b2 )= a 3 + b3 Suma de cubos (a-b)(a2 + ab + b2 ) = a3 - b3 Diferencia de cubos CUADRADO DE UN BINOMIO El cuadrado de un binomio es igual a un trinomio (trinomio cuadrado perfecto) cuyos términos son: I. 1º Cuadrado del primer término 2º Doble del producto de ambos términos 3º Cuadrado del segundo término Completa la siguiente tabla: a b 2 3 6 4 2 5 4 2 a+b (a + b)² a² 2·a·b b² a² + b² a² + 2ab + b² Observando los resultados de la tabla verificamos que la expresión algebraica equivalente a (a + b)² es a² + 2ab + b² II. Construye ahora la siguiente tabla: a b a-b 5 2 4 1 2 4 1 3 (a - b)² a² 2·a·b b² a² + b² a² - 2ab + b² Observando los resultados de la tabla verificamos que la expresión algebraica equivalente a (a - b)² es a² - 2ab + b² III. Resuelve los siguientes cuadrados de binomios: 1. (x + 5)² 2. (x - 7)² 3. (a + 1)² 4. (m + 21)² 5. (x - 2)² 6. (x - 18)² 7. (p + 5q)² 8. (x - 3y)² 9. (2x + 6)² 10. (3x - 5)² 11. (6x - 8y)² 12. (0,2x - 3)² 13. (5a - 0,3)² 14. ( 3 x - 5)² 4 15. 3 2 a b 4 3 2 IV. Determina el área del cuadrado cuyo lado mide: [Recuerde que el área del cuadrado es igual al lado elevado al cuadrado: A□ = (lado)2 ] 1) x + 12 2) 2x - 1 3) 0,3x + 2 4) 2 x y 5 CUADRADO DE UN TRINOMIO El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los términos, más el doble producto de cada término por los que le siguen tomados de dos en dos. a b c2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc (a b c d ) 2 a 2 b 2 c 2 d 2 2ab 2ac 2ad 2bc 2bd 2cd EJEMPLO: Efectuar 2 x 3 y 5 z 2 SOLUCIÓN: 2 x 3 y 5z 2 2 x 2 3 y 2 5z 2 22 x 3 y 22 x 5z 23 y 5z 4 x 2 9 y 2 25z 2 12xy 20xz 30yz EJEMPLO: 2 1 x y z Efectuar 3 5 SOLUCIÓN: 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 x y z x y z 2 x y 2 x z 2 y z 5 3 3 5 3 5 3 5 1 4 2 4 2 4 x2 y z 2 xy xz yz 9 25 15 3 5 EJERCICIOS: 1. a 2b 3c 2 2. (a 2b 3c) 2 3. (a 2b 3c) 2 4. (a 2b 3c) 2 5. (a 2b 3c) 2 6. (a 2b 3c) 2 PRODUCTO DE LA SUMA POR SU DIFERENCIA El Producto de un binomio suma por su diferencia (producto de binomios conjugados) es igual a la diferencia de los cuadrados de cada término. (a b)(a b) a 2 b 2 EJEMPLO: Efectuar (x – a)(x + a) SOLUCIÓN: (x – a)(x + a) = x·(x + a) – a·(x + a) = x2 + ax – ax – a2 = x2 – a2 EJEMPLO: Efectuar (2x + 3y) (2x – 3y) SOLUCIÓN: (2x + 3y)(2x – 3y) = 2x(2x–3y)+3y(2x–3y) = 4x2-6xy+6xy–9y2 = 4x2 – 9y2 Por simple inspección, podemos determinar directamente el resultado de los siguientes productos de binomios conjugados: EJEMPLO: n1 m m n1 Efectuar (5a 3a )(3a 5a ) SOLUCIÓN: (5a n1 3a m )(3a m 5a n1 ) , aplicando la propiedad conmutativa de la adición, tenemos que (5a n1 3a m ) (3a m 5a n1 ) , en cambio (3a m 5a n1 ) es distinto de (5a n1 3a m ) . Por eso hay que fijarse en la diferencia y escribir el cuadrado del minuendo menos el cuadrado del n1 m m n1 m 2 n1 2 2m 2 n 2 sustraendo: (5a 3a )(3a 5a ) (3a ) (5a ) 9a 25a EJERCICIOS: 1. (3x - 8z)(3x + 8z) 2. (5a2b + 7a3b2) (5a2b - 7a3b2) 3. (2an - 4bm) (2an + 4bm) 4. (12a2 + 17a3) (12a2 - 17a3) 5. (7x2 + 5bx3) (5bx3 – 7x2) 6. (a2 + 7) (7 - a2) PRODUCTO DE BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN Multiplicar dos binomios con un término común es igual a un trinomio (trinomio cuadrado imperfecto) cuyos términos son: 1º Cuadrado del término común 2º La suma de los términos no comunes por el término común 3º El producto de los términos no comunes (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + a·b EJERCICIOS: 1. (x-4)(x+3) 2. (x+4)(x+3) 3. (x-4)(x-3) 4. (x+4)(x-3) 5. (x-14)(x+10) 6. (x-8)(x+7) 7. (x+9)(x-8) 8. (x-9)(x-7) 9. (x-18)(x+2) 10. (x+12)(x+3) 11. (x2-4)(x2-9) 12. (x2-8)(x2-10) 13. (x2-8)(x2+10) 14. (x2-4)(x2+20) 15. (x2+5)(x2+9) 16. (x3+14)(x3-9) 17. (2x-4)(2x-5) 18. (2x+4)(2x+5) 19. (2x-4)(2x+5) 20. (2x+4)(2x-5) 21. (3x-7)(3x-5) 22. (3x+7)(3x-5) 23. (3x-7)(3x+5) 24. (3x+7)(3x+5) 25. (3x-7)(8-3x) 26. (6-x)(2+x) 27. (x+4)(5+x) 28. (2x5+14)(2x5-5) x 2 x 2 x 3 x 3 29. ( 5)( 1) 30. ( 5)( 1) Binomio al cubo. El cubo del binomio es igual a un polinomio de cuatro términos, que son: 1º El cubo del primer término 2º El triple del producto del cuadrado del primero por el segundo término 3º El triple del producto del primero por el cuadrado del segundo término 4º El cubo del segundo término (a±b)3 EJERCICIOS: 1. (x + 3)3 2. (x - 4)3 3. (2x - 3y) 3 4. (a2 - 2a)3 5. (3a3b – 5ab2) 3 6. (4a2 – 3b2) 3 7. (3an – 5b2n) 3 8. (3a3+x – 5) 3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 Suma y Diferencia de cubos (a + b)(a2 – ab + b2 ) = a3 + b3 (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3 EJERCICIOS: 1. (x + 3)(x2 – 3x + 9)= 2. (x – 4)( x2 + 4x + 16)= 3. (2x - 3y)(4 x2 + 6xy + 9y2)= Autor: Profesor Carlos Moreno