Algebra Elemental

RESÚMEN DE ÁLGEBRA ELEMENTAL
2x m y
ab 4 .
POLINOMIOS
Expresión algebraica: Es la representación de un proceso
matemático que contiene una o más operaciones de suma,
resta, multiplicación, división, potenciación, radicación,
combinando números y literales.
Ejemplos:
3x ,
a 8a  3b 
,
b2
5x3 ,
Término: Es una expresión algebraica que consta de signo,
coeficiente, y literales con exponentes. Cuando no aparece un
signo se supone que se tiene el signo “mas”.
 6xy 2 ,  a 2 b 3 y
14x m . No son semejantes
a 2 b y 2ab ,
3xy 2
Son semejantes
y
4a 2 b 3 ,
2ab y
Monomio: Es la expresión algebraica que contiene un solo
termino.
Ejemplos:
3x
x2 y2
2a
 2y 4
3 xy Binomio: La que contiene dos términos
ab
4a Ejemplos:
xy 2 - 4 y
Trinomio: La que contiene tres términos:
Ejemplos.
3 x x  y  z.
2a
ax2  bx  c
2
Ejemplos:
a
- bx
3
Ordenar un Polinomio. es escribir sus términos de tal forma
Polinomio: Es una expresión algebraica que contiene más de
un termino.
Ejemplos:
x  y 
ax2  by  c
Grado de un polinomio: Es el grado del término de mayor
exponente.
que los exponentes de una literal determinada queden en
orden
ascendente
xy 2
53xy 2  24
2 3
3 2
4 y  3xy  2x y  8x y  x y
3x 2  4 x  8 es un polinomio de segundo grado
Ejemplos:
está ordenada en forma descendente respecto a y además en
orden ascendente respecto a
Ejemplos
por
x.
Reducción de Términos Semejantes: Es un procedimiento
que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más
Términos Semejantes: Son aquellos que tienen la misma
parte literal afectadas de iguales exponentes.
términos semejantes. Consiste en sumar o restar
coeficientes numéricos.
Ejemplos:
Ejemplos:
los
3x  2 x  5 x ;
2a  2a  a ;
2
2
3x y  4x y  2x 2 y  5x 2 y ;
1
3
1
3
4
a a a a  a;
2
4
4
7
7
3a - 2b  5a- 3b  2a  6a  5b
ii)
a a
iii)
a
x2
2
- 5b
2
2
ab  b y restar a 2  b 2
sumar
ax2  by  c
 cy - 4
sumar
2 x 2  cy c restar
OPERACIONES CON POLINOMIOS.
A. Suma y resta de polinomios
De preferencia se colocan los polinomios uno de bajo de otro,
acomodándolos de tal forma que estén alineados los términos
semejantes. Y de esta manera realizamos las operaciones
algebraicas.
Ejemplo:
a
a  b  3c sumar 2ab  b  c y restar
2
B. Multiplicación de polinomios
Aplicando
las
leyes
conmutativa
y
asociativa
podemos obtener el producto de la multiplicación de dos o
mas polinomios, tratando de reducir siempre los términos
semejantes.
2a - b  c
 b  3c
2ab  b  c
- ( 2a 2
 b  c)
- a2  2ab  b  c
Ejercicios
i)
( 5x 4 y 2  6x 2 y 4  5 y 6 ) sumar
(- 3x 6  x 2 y 4  11y 6 )
a
la
multiplicación, las leyes de los signos y los exponentes
2
a2
de
Ejemplos
2x 4xy 3x y   24x
3
3
2
4
6
y7
(producto de monomios)


2x 3 y 4xy3  3x 2 y 4  8x 4 y 4  6x 5 y 5
(monomio por binomio)
(2 xy  a)(3x  y)  6 x 2 y  2 xy 2  3ax  ay
(a  b  c)(x  y  z )  ax  ay  az  bx  by  bz  cx  cy  cz
3x 2  2 x  9  ( x  2)(3x  4)  1
o
3x 2  2 x  9
1
 3x  4 
x2
x2
C. División de polinomios
El procedimiento para encontrar
cantidades es el siguiente:
Recordando la división aritmética de una cantidad
denominada dividendo, entre otra
m
n , divisor. El resultado
será el cociente q y sobrará una parte q , llamada residuo tal
que
m  qn  r o
m
r
q
n
n
de d, entonces existe un polinomio q tal que
p  dq  r
Ejemplos
1
o
p
r
q
d
d
126  255  1
o
o
o
de
dos
3882
, por Ejemplos
32
121
32 3882
-32
68
-64
q
d p
126
1
 25 
5
5
cociente
1) Los primeros dígitos del dividendo los dividimos entre
el divisor para obtener el primer digito del cociente
2) El número obtenido lo multiplico por el divisor y lo
resto de los primeros dígitos del dividendo escogidos
3) “bajo” el siguiente digito del divisor
4) Repito el procedimiento a partir de 1) tantas veces
como sea necesario
Tomemos dos cantidades
Si tenemos 2 polinomios p y d con el grado de p mayor que el
el
42
25
5 126
-32
10
que también se puede escribir:
3882
10
 121 
32
32
3882 ( 121)( 32 )  10
o
El procedimiento para la división de polinomios es análogo,
así:
1) Acomodamos los términos del polígono en orden
descendente
2) Se divide el primer término del dividendo entre el
primer término del divisor, para obtener el primer
término del cociente.
3) El término obtenido lo multiplicamos por el divisor y lo
restamos del dividendo
4) “Bajo” el siguiente término del dividendo y repito el
proceso desde 2)
por Ejemplos
4 x2  4 x  5
4x  5 16x  4x 2  0x  19 
3
16x  4 x  19
6
 4x 2  4x  5 
4x  5
4x  5
3
2
 (16x  20x )
 16x 2  0 x
 (16x 2 20x)
20 x  19
 (20x  25)
3
Ejercicios
i)
6 x3  5 x 2  4 x  4

2x  3
ii)
10x 3  x 2  8 x  2
2x  1
iii)
6 x3  22 x  4

2x  4
iv)
2x 4  7 x 3  2x  1
=
x 2  3x  1
FACTORIZACIÓN
2
-6
Si el producto de dos enteros
a y b se llamanfactoresde c .
x es factorde 2 x 2  3x ,
2x 2  3x  x( 2x  3 ).
De
puesto
a
y b es c , entonces
manera
que
podemos
similar,
escribir
El proceso de escribir una expresión dada como el
producto de sus factores se llama factorización.
3. Se
multiplica
monomio
por
un
algebraica
original
entre
el
obtenido.
presente apartado son:
1. Factores en común
2. Agrupación de términos semejantes
3. Trinomio cuadrado perfecto
4. Trinomio cuadrado perfecto con adición o
sustracción
5. Cubo perfecto de un binomio
6. Trinomio de la forma x
 bx  c
2
7. Trinomio de la forma ax
2
 bx  c
8. Diferencia de cuadrados perfectos
9. Suma o diferencia de cubos perfectos
1.- FACTORES EN COMUN
FORMA DE FACTORIZAR:
EJEMPLOS:
x 2  2x 
x 2  x.x
2x  2x
Factores comunes a los dos términos:
x 2  2x  x(x  2 )
·10x 2 - 5 x  15x 4 
10x 2  2  5  x  x
5x  5  x
15x 4  5  3  x  x  x  x
Factores comunes: 5, x
10x 2 - 5x  15x 4  5x( 2x - 1  3x 3 )
1. Se descompone cada uno de los términos en sus
factores primos.
2. Se forma un monomio con sus factores primos
comunes a todos los términos de la expresión
polinomio
compuesto de cada uno de los términos de la
expresión
Los 9 principales casos de factorización a tratar en el
ese
·10 y  20xy 2 
10 y  2  5  y
20xy 2  2  2  5  x  y  y
x
monomio
Factores comunes: 2, 5, y
10y  20xy 2  10y(1  2xy)
24a 2 xy 2 - 36x 2 y 4 
24a 2 xy 2  3  2  2  2  a  a  x  y  y
2.- AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
FÓRMULA:
ax  bx  ...  ay  by  ...  (ax  bx)  ...  (ay  by)
 x(a  b)  ...  y(a  b)
 (a  b) (x  y  .... )
36x 2 y 4  3  3  2  2  x  x  y  y  y  y
Factores comunes: 3, 2, 2, x, y, y
24a 2 xy 2 - 36x 2 y 4  12xy 2( 2a 2 - 3xy 2 )
x( 2a  b  c) - 2a - b - c 
x( 2a  b  c) - (2a  b  c)
Factor común: ( 2a  b  c)
x( 2a  b  c)-2a - b - c  ( 2a  b  c) (x -1 )
FORMA DE FACTORIZAR:
ax  bx  ay  by
*Para el caso particular de:
1. Los dos primeros términos tienen el factor común
x
y
los dos últimos tienen el factor común y
2. Se
agrupan
los
dos
primeros
términos
en
un
paréntesis y los dos últimos en otro precedido por el
signo “+” en este caso, por que
el signo del tercer
término es positivo .
3. Se separa de cada paréntesis el factor común de los
EJERCICIOS:
1.x  x 
2
términos incluidos en él.
4. Se multiplican las cantidades que quedan dentro del
2.35x 2 y 3 - 70x 3 
paréntesis después de sacar el factor común, por la
3.15x 3  2cx 2  5 x 
suma algebraica de los factores comunes.
4.55x 2 y 3 z  110x 2 y 3 z 2  220b 3 x 2 
5.9m 2  12m n  15m 3 n 2  24m n3 
5. La agrupación a que se refiere el punto 2) puede
hacerse generalmente de más de un modo, siempre y
cuando:

Los dos términos que se agrupan tengan algún
factor común.

Las
cantidades
que
quedan
dentro
del
2 x 2 - 3xy - 4 x  6 y  ( 2 x 2 - 4 x) - (3xy- 6 y)
 2 x(x- 2 ) - 3 y(x- 2 )
 (x - 2 ) ( 2 x - 3 y)
paréntesis después de sacar el factor común en
cada grupo, sean exactamente iguales.
·a 2 x - ax2 - 2a 2 y  2axy  x3 - 2 x 2 y  (a2 x - 2a 2 y) - (ax2 - 2axy)
 a 2 (x - 2 y)- ax(x- 2 y)  x 2(x 2 y)
Ejemplos:
x 3  2 x 2 y  4 x  8 y  (x3  2 x 2 y)  ( 4 x  8 y)
 (a2 - ax  x 2 ) (x - 2 y)
EJERCICIOS:
 x 2(x  2 y)  4(x  2 y)
1.m 2  m b  m x  bx 
 (x  2 y) (x2  4 )
2.b 2 - a2  b- a2 b 
3.4a 3 y - 4a 2 b  3bm - 3am y 
·8ab  2b  16a 4  ( 8ab  2b)  (16a - 4 )
 2b( 4a - 1 )  4( 4a - 1 )
 ( 4a - 1 ) ( 2b  4 )
ab2  3b - 7ab- 21  (ab2 - 7ab)  ( 3b- 21)
 ab (b -7 )  3(b - 7 )
 (b - 7 ) (ab  3 )
4.2a 2 b  2ac 2  b 2 c 2  ab3 
5.4 x 3 - 2nx 2  4 xz 2 - 2nz 2 - 6ny 2  12xy 2 
3.- TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Fórmula:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
FORMA DE FACTORIZAR:
1) Comprobar si la expresión es un “trinomio cuadrado
perfecto”. Condiciones:
a.
El primero y tercer términos tiene raíz
cuadrada exacta y son positivos.
b.
El segundo término es 2 veces el producto de
las raíces cuadradas del 1º y 3º términos.
2) Se forma un binomio elevado al cuadrado.
3) Los elementos del binomio son:
a.
 b  (2bx)
2(x)  
 bx
2
2
1º término: raíz cuadrada del 1º término del
trinomio.
b.
x 2  bx 
2º término: raíz cuadrada del 3º término del
trinomio.
3. 400a
4) El signo del binomio resultante será el signo del 2º término
10
b2
b

 x  
4
2

2
 40a 5  1 
del trinomio original.
400a10  20a
1 1
Ejemplos:
1. a - 4ab  4b
2
2
2
2
2( 20a 5 ) (1 )  40a 5

400a10  40a 5  1  ( 20a 5  1 )2
a2 = a
4b 2 = 2b
2(a)(2b)  4ab
a2 - 4ab  4b 2  (a - 2b)2
2.
x 2  bx 
b2

4
Ejercicios:
1. a2 - 2a  1 
x2  x
2. 9 y 2 - 30x 2 y  25x 4 
b2 b

4
2
3.
x2
- xy  y 2 
4
4. m2  2m (m  n)  (m  n)2 
5. (a  b)2 - 2(x- m ) (a b)  (x - m )2 
4.- TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN O
2.Para convertirlo en trinomio cuadrado perfecto, es necesario
restarle :
SUSTRACCIÓN
2
4x 4  2x 2
2
9 y 4 3y 2
FORMA DE FACTORIZAR:
*Hay ocasiones en que un trinomio que no es cuadrado
perfecto, puede convertirse en éste, sumándole o restándole
una cantidad determinada. Una vez que se ha convertido el
trinomio original en cuadrado perfecto, se factoriza de la
manera antes explicada.
4x 2 y 2
Para no afectar la expresión es necesario sumarle
Para no afectar la expresión es necesario sumarle
2
2
4x 4  16x 2 y 2  9 y 4  4x 4  16x 2 y 2  4
9xy 4 y 4x 2 y 2  4x 2 y 2
Ejemplos:
1.-
2(2x 2 )(3 y 2 )  12x 2 y 2  16x 2 y 2
 4x 4  12x 2 y 2  9 y 4  4x 2 y 2
x x y y 
2
2
2
x 4 x 2
2
y4 y2
2
4
Trinomio cuadrado perfecto
 (2 x 2  3 y 2 ) 2  4 x 2 y 2
2( x 2 )( y 2 )  2 x 2 y 2  x 2 y 2
Para convertirla en trinomio cuadrado perfecto, se necesita
sumarle una vez:
para no afectar la expresión también se resta una vez2 2
x y
x4  x2 y2  y4  x4  x2 y2  y4  x2 y2  x2 y2
 x  2x y  y  x y
4
2
2
4
2
2
Trinomio cuadrado perfecto
 (x  y )  x y
2
2 2
2
2
4x 4  16x 2 y 2  9 y 4 
Ejercicios:
2 2
x y
1) x 4 x 2  1 
2)4 x 4  3x 2 y 2  9 y 4 
3)25m 4  54m 2 n 2  49n 4 
4)121a 4  133a 2 b 4  36b 8 
5)49c 8  75a 2 b 2 c 4  196a 4 b 4 
5.- CUBO PERFECTO DE UN BINOMIO
3(m) 2 (1)  3m 2
Formula:
a 3  3a 2 b  3ab2  b 3  (a  b) 3
FORMA DE FACTORIZAR:
1. Se debe comprobar que es un cubo perfecto.
Condiciones:
1) Debe tener 4 términos.
2) El 1º y el 4º término, deben tener raíz cúbica exacta.
3) El 2º término debe ser igual al triple de la raíz cúbica
del 1º término al cuadrado, por la raíz cúbica del
cuarto término.
4) El 3º término debe ser igual al triple de la raíz cúbica
del 1º término por la raíz cúbica del 4º término al
cuadrado.
a. Los signos deben ser todos positivos o alternadamente
positivos y negativos.
2. Se forma un binomio elevado al cubo.
3. Los elementos del binomio son:
a. 1º término: raíz cúbica del 1º término de la expresión
dada.
b. 2º término: raíz cúbica del 4º término de la expresión
dada.
4. El signo del binomio es positivo, si todos los términos de
la expresión son positivos, y es negativo, si los signos de
los términos son positivos y negativos alternadamente.
3(m)(1) 2  3m
m 3  3m 2  3m  1  (m  1) 3
2.-
8a 3  12a 2  6  1 
3
8a 3  2a
3
1 1
3(2a) 2 (1)  12a 2
3(2a)(1) 2  6a
8a 3  12a 2  6a  1  (2a  1) 3
3.-
1  12x  48x 2  64x 3 
3
1 1
3
64x 3  4 x
3(1) 2 (4 x)  12x
3(1)(4 x) 2  48x 2
Ejemplos:
1.-
m 3  3m 2  3m  1 
3 m3  m
3
1 1
1  12x  48x 2  64x 3  (1  4 x) 3
4.-
6.- Trinomio de la forma:
8 x 3  36x 2 y  54xy 2  27 y 3 
x n  bxn / 2  c
Formula:
3
8x  2 x
x n  bx n / 2  c  ( x n / 2  d )(x n / 2  e)
3
27 y 3  3 y
donde:
d eb
3
3(2 x) 2 (3 y )  36x 2 y
3(2 x)83y ) 2  54xy 2
8 x 3  36x 2 y  54xy 2  27 y 3  (2 x  3 y ) 3
d *e  c
Forma de factorizar:
5.-
64a 3  240a 2 b  300ab2  125b 3
3
64a 3  4a
3
125b 3  5b
3(4a) 2 (5b)  240a 2 b
3((4a)(5b) 2  300ab2
64a 3  240a 2 b  300ab2  125b 3  (4a  5b) 3
Ejercicios:
1)27  27b  9b 2  b 2 
2)27x 3  108x 2 y  144xy 2  64 y 3 
3)125x 3  150x 2 y  60xy 2  8 y 3 
4) x 6  3x 4 y 3  3x 2 y 6  y 9 
5)216x 6 y 9  1  18x 2 y 3  108x 4 y 6 
1.Comprobar que es un trinomio de la forma
Condiciones:
x n  bxn / 2  c
a. El coeficiente de xn es igual a 1.
b. La variable que en el 1º término está elevada a la
potencia “n”, en el 2º término debe estar elevada a la
potencia “n/2”.
c. El coeficiente de la variable en el 2º y 3º términos
deben ser factores numéricos.
2.El resultado lo forma el producto de 2 binomios.
3.Los elementos de los binomios son:
a. Primeros términos: la raíz cuadrada del 1º término del
trinomio; este 1º término es igual a ambos binomios.
b. Segundos términos: los forman 2 números cuya suma
algebraica sea igual al coeficiente del 2º término del
trinomio original y cuya multiplicación sea iguañ al
tercer término del mismo.
4.En el 1º binomio, se pone el signo del 2º término del
trinomio y en el 2º binomio se pone el signo que resulte de
multiplicar los signos de los términos 2º y 3º del trinomio.
Ejemplos:
1) x 2  5 x  6  ( x  3)(x  2)
2) x 2  7 x  6  ( x  6)(x  1)
3) x 2  20x  300  ( x  30)(x  10)
4)m 2  7m  12  (m  4)(m  3)
5)a 2  28a  29  (a  29)(a  1)
Ejercicios:
1)a 2  5a  6 
2)m 2  5m  24 
3)m 2  7m  18 
4)54  a 2  15a 
Forma de factorizar:
1. Comprobar que es un trinomio de la forma:
Condiciones:
a. Las condiciones son las mismas que para los
trinomios estudiados en el punto anterior (punto 6).
2. Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente de “xn”
(“a”), dejando indicada dicha operación en el 2º término
del trinomio.
3. Se procede igual que en el caso 6 excepto que se
considera que la suma de los dos números que
constituyen el 2º término de los binomios resultantes,
debe ser igual al 2º término del trinomio sin considerar el
factor (“a”) por el que se multiplicó.
4. Como en un principio se multiplicó el trinomio por el
coeficiente de la xn, se debe dividir ahora entre el mismo
número para no alterar el trinomio.
En caso de que los binomios no sean divisibles entre ese
número, puede descomponerse el mismo en un producto de
dos números entre los cuales sí puedan dividirse los
monomios.
Ejemplos:
1.-
5)m 2  2m  528 
6a 2  7a  2  6(6a 2  7a  2)
7.- TRINOMIO DE LA FORMA:
axn  bxn / 2  c
 36a 2  (6)(7a)  12
 (6a  4)(6a  3)
(6a  4)(6a  3)

6
(6a  4) (6a  3)

*
2
3
 (3a  2)(2a  1)
Formula:
ax n  bx n / 2  c  a(ax n  bx n / 2  c)
 a 2 x n  (a)(bx n / 2 )  ac
 (ax n / 2  d )(ax n / 2  e)
donde:
d eb
d * e  ac

(ax n / 2  d )(ax n / 2  e)
a
2.-
5m 2  13m  6  5(5m 2  13m  6)
Ejercicios:
 25m 2  (5)(13m)  30
 (5m  15)(5m  2)
(5m  15)(5m  2)

5
(5m  15) (5m  2)

*
5
1
 (m  3)(5m  2)
1)3a 2  5a  2 
2)12x 2  35  16x 
3)5m  2m 2  2 
4)11a  21a 2  2 
5)20x 2  40  7 x 
8.- Diferencia de cuadrados perfectos:
Fórmula:
(a 2  b 2 )  (a  b)(a  b)
3.-
15x 4  11x 2  12  15(15x 4  11x 2  12)
 225x 4  (15)(11x 2 )  180
 (15x 2 20)(15x 2  9)
(15x 2  20)(15x 2  9)

15
2
(15x  20) (15x 2  9)

*
5
3
2
2
 (3x  4)(5 x  3)
Forma de factorizar:
1. Comprobar que los elementos que forman la diferencia
tienen raíz cuadrada exacta.
2. Se forma el producto de dos binomios cuyos elementos
son:
a. 1º término: raíz cuadrada del 1º elemento de la
diferencia dada.
b. 2º término: raíz cuadrad del 2º elemento de la
diferencia dad.
3. Los binomios deben tener signo diferente: es decir, uno
positivo y otro negativo.
4.-
100  m 2 n 6 
Ejercicios:
2
100  10
2
m 2 n 6  m n3
100  m 2 n 6  (10  m n3 )(10  m n3 )
1.-
4 x 2  81y 4 
2
4x 2  2x
2
81y  9 y
4
Ejercicios:
2
4 x  81y  (2 x  9 y )(2 x  9 y )
2
4
2
2
1)9  x 2 
2)4m 2  9 
3)100x 2 y 4  169a 6 
2.-
16  b 2 
2
16  4
2 b2  b
4) x 2 a  y 2 a 
1
5)m 2 x n 4 x 

25
16  b 2  (4  b)(4  b)
9. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
Fórmula:
3.-
1  9a 2 b 4 c 6 d 8 
2
1 1
2
9a 2 b 4 c 6 d 8  3ab2 c 3 d 4
1  9a 2 b 4 c 6 d 8  (1  3ab2 c 3 d 4 )(1  3ab2 c 3 d 4 )
(a 3  b 3 )  (a  b)(a 2  ab  b 2 )
(a 3  b 3 )  (a  b)(a 2  ab  b 2 )
Forma de factorizar:
1. Comprobar que son cubos perfectos:
Condiciones:
 Los términos tienen raíz cúbica exacta.
2. El resultado de la suma de dos cubos perfectos es el
producto de :
 Un binomio cuyos elementos son las raíces cúbicas de
los términos, sumadas.
 Un trinomio cuyo 1º elemento es el cuadrado de la raíz
cúbica del 1º elemento del binomio; el 2º elemento con
signo negativo es el producto de las dos raíces cúbicas
y el 3º elemento es el cuadrado de la raíz cúbica del 2º
elemento del binomio.
3. El resultado de la resta de dos cubos perfectos es
exactamente igual que el de la suma, únicamente que se
cambian el signo del binomio y el signo del 2º término del
trinomio obtenidos.
3.-
27x 3  125 
3
27x 3  3x
3
125  5
27x 3  125  (3x  5)(9 x 2  15x  25)
4.-
y3 1
3
EJERCICIOS:
1.-
x 3  27 
3
y3  y
1 1
y 3  1  ( y  1)( y 2  y  1)
5.-
3
x3  x
27a 6  b 9 
3
27  3
3
27a 6  3a 2
3
b9  b3
x 3  27  ( x  3)(x 2  3x  9)
2.-
27a 6  b 9  (3a  b 3 )(9a 4  3a 2 b 3  b 6 )
8  m3 
3
82
3
m3  m
8  m 3  (m  2)(m 2  2m  4)
c) De manera similar ocurre con ecuaciones de tercer,
Ejercicios:
cuarto, quinto grado.
1)a 3  b 3 
La solución de una ecuación, que también se llama raíz de
2)27a 3  b 6 
una ecuación, consiste en encontrar el valor o los valores que
3) y 3  216x 3 
debe adquirir la variable, para que la igualdad sea cierta.
4) x 6 y 6  a 12 
Una igualdad no se altera, sí, las modificaciones que le
5)m  8n 
6
12
hagamos al miembro del lado derecho del signo igual,
también se las hacemos al del lado derecho.
ECUACIONES
Sumar expresiones positivas o negativas, multiplicar o dividir
ambos lados de la ecuación por la misma cantidad, para
Una ecuación es una igualdad de dos expresiones que
encontrar el valor de la incógnita
contienen una o más incógnitas, por Ejemplos:
las reglas para despejar la incógnita en una ecuación.
x2 - 5 = 4x
x +5 = 0
x , es equivalente a aplicar
2x - 3 = x  6
Reglas para despejar la incógnita en una ecuación:
son ecuaciones en
x.
i)
Lo que esta sumando de un lado de la ecuación pasa
restando al otro lado de la ecuación y viceversa.
Las ecuaciones se clasifican según el máximo exponente que
tiene la incógnita en:
Lo que esta multiplicando de un lado de la ecuación
pasa al otro lado dividiendo y viceversa.
a) Ecuaciones de primer grado o lineales: son aquellas cuyo
máximo exponente de la incógnita
ii)
x es uno.
b) Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas: son aquellas
cuyo máximo exponente de la incógnita es dos.
Solución de una Ecuación Lineal
Un método para resolver una ecuación es remplazarla por
una cadena de ecuaciones equivalentes, cada una de algún
modo más sencilla que la que le precede y terminar en una
ecuación para la cual las soluciones son obvias.
(se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen
exactamente las mismas soluciones)
Solución:
3x
6
 1
x2
x2
Ejemplos 1 Resuelva la ecuación 2 x - 7  3
Sumamos los términos del lado derecho
Solución:
2x - 7  3
x  2  6
3x

x-2
x2
Debemos pasar al miembro del lado derecho de la igualdad –
7,
sumando:
2x  3  7
Sumamos términos semejantes
lo que da como resultado
3x
x4

x-2 x2
2 x  10 ,
pasamos el denominador del lado derecho al lado izquierdo y
como 2 está multiplicando
pasa al otro miembro dividiendo
x=
10
2
cancelamos
,
de
x  2
donde x  5 ;
3x
 x4
x-2
3x  x  4
por lo tanto la solución de la ecuación 2 x- 7  3 es cinco.
3x – x =4
pasamos al lado izquierdo la variable
Ejemplos 2: Resuelva la ecuación:
3x
6
 1
x2
x2
x
del lado derecho.
2x  4
Despejamos a la variable
x
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
x  2
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma
ax2  bx  c  0
Por lo tanto la solución de la ecuación anterior es:
X=2
donde
a , b y c son números reales y a  0
las ecuaciones de segundo grado se resuelven por:
Ejercicios:
a) Método de factorización. Este método se basa en el hecho
de que si p y q son dos números reales tales que
Resuelva las siguientes ecuaciones:
1. - 3x  15  0
2. -
9x  3  0
3. - 5 x  3  7 x  2
3
5
4. - 4 -  6 
x
x
2
5.  (6 x  5)  (4 x  3)(9 x  2)
1
2
3
6.  

3 6x  3 2x  1
pq  0 , entonces p  0 ó q  0
Ejemplos 1 Resuelva la ecuación x  5x  6  0
2
Solución:
La ecuación puede expresarse en la
forma
( x  2)(x  3)  0
y entonces se tiene
x20 ó
de donde se obtiene
x3  0
x1  2 ó
x2  3
 1  (1) 2  4(15)(6)
x
2(15)
x
si a  0 , entonces las raíces de la ecuación ax  bx  c  0 están dadas por
2
La fórmula general:
 b  b 2  4ac
.
x
2a
El número b  4ac , que aparece en el radical se denomina
2
el discriminante de la ecuación cuadrática.
a) Si b  4ac  0
2
2
x
 1  1  361
30
x
 1  19
30
entonces, las soluciones son:
la ecuación tiene una raíz de
multiplicidad 2.
b) Si b  4ac  0
 1  1  360
30
la ecuación tiene dos soluciones reales
x1 
 1  19 3

30
5
y
x2 
 1  19
2

30
3
diferentes
c)
Si b  4ac  0
2
Ejemplos
la ecuación no tiene soluciones reales.
resuelva 15x  x  6  0
2
Al tomar a  15, b  1, c  6 en la fórmula general, nos da
Ejercicios:
Resuelva las siguientes ecuaciones
1.  3 x  15  0
2. 
9x  3  0
3.  5 x  3  7 x  2
4.  4 
3
5
 6
x
x
5.  (6 x  5) 2  (4 x  3)(9 x  2)
6. 
1
2
3


3 6x  3 2x  1