11 SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRATICAS c bx ax

11 SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRATICAS
Sea la Ecuación de la forma: ax2  bx  c = 0 con a , b, y c constantes y Su variable x
Esta ecuación también es llamada de segundo grado y al tenerla igualada a cero
podemos tener una factorización del tipo trinomio no cuadrado perfecto ó también
trinomio cuadrado perfecto.
EL DISCRIMINANTE de la ecuación cuadrática esta expresión es: b 2  4ac
Si es igual a cero tenemos Las raíces Reales e iguales;
Si es mayor que cero sus raíces serán reales y distintas
Si es menor que cero sus raíces serán imaginarias ó complejas.
Encontrar dos valores para la variable. A estos valores se les llama solución de la
ecuación ó raíces de la ecuación.
x 2  2 x  3  0 al factorizar esta
x  3x  1  0  x  3  0  x  3 ó x  1  0  x  1
Ejemplo1: Resolver por factorización la ecuación:
expresión tenemos:
solución 3 ,1
Cada uno de los factores lo hicimos igual a cero porque para que el producto de dos
factores sea igual a cero, uno de ellos tiene que ser igual a cero y de hay sacamos que la
solución es x=3 ó x=-1, pues estos dos números al reemplazarlos en la ecuación inicial la
hacen igual a cero o sea que producen una igualdad.
n 2  7n  12  0 al factorizar este trinomio
n  4n  3  0  n  4  0  n  4 ó n  3  0  n  3
Ejemplo2: Resolver por factorización:
obtenemos:
solución s  3, 4
Escribimos Las dos raíces entre llaves puesto que es UN conjunto de dos elementos que
son solución de esa ecuación.
w 2  16  0 al factorizar esta diferencia de
w  4w  4  0  w  4  0  w  4 ó w  4  0  w  4
Ejemplo3: Resolver por factorización:
cuadrados obtenemos:
soluciónS  4 ,  4
SOLUCION DE LA ECUACION CUADRATICA POR FORMULA GENERAL
 b  b 2  4ac
observem osque tenem osdos valores
2a
para la variable x
x
 b  b 2  4ac
y
2a
x
 b  b 2  4ac
llam adas fórm ulacuadrática
2a
Ejemplo 1: Resolver la siguiente ecuación aplicando la formula general ó formula
cuadrática:
MATEMATICAS GENERALES
Página 1
x 2  x  12  0 En esta ecuación tenemos que : a=1 ; b=1 ; c=-12 estos valores los
llevamos a la fórmula cuadrárica y obtenemos:
x
 12  41 12   1 

21
1 
1  48  1  49  1  7  1  7 6
1  7  8



 3 y

 4
2
2
2
2
2
2
2
Ejemplo 2 : Resolver por fórmula cuadrática la ecuación:
4 x 2  12x  9  0 tenem osque : a  4; b  12; c  9
entoncesx 
x
 12 
122  44 9  12 

24

 12  12 2
3
  1 2
8
2

y x
144  144  12  288  12  12 2


8
8
8

 12  12 2
3
  1 2
8
2

Ejemplo:
x 2  1  0 tenem osque : a  1; b  o; c  1
 0  0 2  411   4  4 1 2  1
por tanto x 



 1
2
2
2
2
 2 1
y
x
  1
2
SOLUCION DE UNA ECUACION CUADRATICA POR
COMPLETACION DEL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:
EL
METODO
DE
Recordemos que para completar una expresión cuadrática que contenga también el
término lineal, bx, lo completamos dividiendo el término ( b ) por dos elavamos luego al
cuadrado esta división y despues sumamos y restamos para no alterar la expresión, al
sumar obtenemos UN trinomio cuadrado perfecto:
2
Ejemplo1: Completar la expresión:
2
3 3
x  3x tenem os: x  3x      
2 2
los tres prim erostérm inoslos escribim osasí :
2
2
2
3
9

x  
2
4

El término cuadrático nos representa UN trinomio cuadrado perfecto, veamos otro
ejemplo
Ejemplo2: Completar UN trinomio cuadrado:
MATEMATICAS GENERALES
Página 2
3x 2  6 x  1 tenem osque


3x 2  6 x  1  3 x 2  2 x  1 factorizando




2 2

2
luego tenem os: 3 x 2  2 x     1  3 x 2  2 x  1  1  1  3  x  1  1  1
2 2

por tanto : 3 x  1  3  1  3 x  1  2
2
2
Nuestro propósito era tener UN trinomio cuadrado perfecto en esa expresión y ahí lo
tenemos.
Veamos ahora la importancia del método de completación del trinomio en la solución
de ecuaciones cuadráticas, método de mucha importancia en UN curso de cálculo
diferencial.
Ejemplo 1 Resolver por completación del trinomio cuadrado perfecto la ecuación:
x 2  6 x  18  0
2
2
6 6
2
x  6 x  18  x  6 x        18  x 2  6 x  3  18  32  x 2  6 x  9  27
2
2
   
2
2
por tanto :  x  3  27 
2
x  32
  27   x  3  3 3  x  3 3  3
de dondex1  3 3  3 y x2  3 3  3
Observamos dos raíces reales de números irracionales
Ejemplo 2. Resolver por completación del trinomio cuadrado perfecto la ecuación:
x 2  9 x  14
2
2
9
9
solución: x 2  9 x     14    sum andola m itad de 9 al cuadradoa am bosm iem brosde la
2
2
ecuación para com pletarel trinom iocuadrado perfecto
9
81  56  81 25

luego  x    14  

por tanto :
2
4
4
4

9
5
5 9
59 4
de donde: x     x     x1 

 2 y
2
2
2 2
2
2
Tenem osdos raíces reales y dist int as : S   2,7
2
MATEMATICAS GENERALES
2
9

x    
2

59
x2 

2
25
4
 14
 7
2
Página 3
Ejemplo 3: Resolver por completación del trinomio C.P. La ecuación :
2 x 2  2 x  0 : divi dim os por 2 am bosm iem brospara sim plicarla ecuación
2
2
1
1
por tanto x  x  0 luego x  x       sum am osla m itad del coeficiente de x para
2
2
2
2
2
1
1

com pletarel trinom iocuadrado perfecto. tenem osque :  x    luegosacam osraíz cuadrada
4
2

2
2
1 1
1 1
1 1
1
1
1
1

 x     x     x1    0 y x 2       1
x    
2
2 2
2 2
2 2
2
2
4
2

Solución: S  0,1
Hemos analizado tres métodos para resolver una ecuación cuadrática, a saber :
Factorización, fórmula general ó cuadrática y completación del trinomio cuadrado
perfecto. Ahora resuelve los siguientes ejercicios por el método solicitado.
PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN USANDO ECUACIONES DE SEGUNDO
GRADO
Cuando resolvemos UN problema mediante el uso de ecuaciones de segundo grado,
debemos de tener en cuenta cual de Las raíces nos conduce a la solución del
problema, puesto que al obtener dos raíces, es posible que Las dos sean solución del
problema, por eso debemos de recurrir a Las condiciones que plantea el problema,
pues es posible que solo una de Las dos cumpla la condición ó puede ser posible que
Las dos cumplan, pues de no serlo así el problema no tendría solución, miremos
algunos ejemplos.
Ejemplo 1. UN padre tiene 54 años y Su hijo 12años. ¿ Cuántos años hace que la
edad del padre fue el cuadrado de la edad del hijo ?.
Solución : Llamemos X a la pregunta ¿ Cuántos años hace?. Luego planteamos que
la edad del padre hace X años era de 54 - X, pero entonces el hijo tenía 12 - X. Por
tanto el modelo según la condición que da el problema es :
54  x  12  x  con este modelo buscam osla solución resolvam ospor fórm ula
2
54  x  122  212x  x 2  54  x  144  24x  x 2  54  144  x 2  24x  x
de donde x 2  23x  90  0 tenem osque a  1 b  23 c  90
  23  232  4190 23  529  360 23  169 23  13
x



21
2
2
2
23  13 36
23  13
tenem osdos valores para x a saber x1 

 18 x 2 
5
2
2
2
MATEMATICAS GENERALES
Página 4
Si nos remitimos a Las condiciones del problema, la primera solución de la ecuación
que es 18 no nos cumpliría, pués 12-18 da -6 años lo que no sería posible en esta
solución, pues tendríamos una edad negativa, por tanto la solución para este
problema es X=5 años, es decir hace 5 años el padre tenía el cuadrado de la edad del
hijo o sea edad del padre hace cinco años igual 49 años y edad del hijo hace también
cinco años igual a 7, lo que nos satisface Las condiciones del problema.
Ejemplo 2. Descomponer el número 20 en dos partes tales que al efectuar el producto,
sea 96.
Solución:
Llamemos X a uno de los número, por lo tanto el otro número será 20 - X
Condición que el producto de los dos sea igual a 96
Modelo matemático
X( 20 - X ) = 96. De donde
20x  x 2  96  x 2  20x  96  0 resolvamospor factorización
x  12x  8  0  x  12  0
ó x  8  0  x  12 ó x  8
Observemos que los dos valores de la solución cuadrática cumplen La condición, pues al
escoger alguno de ellos inmediatamente aparece el otro, cuando lo llevamos a la
condición pedida. Los dos números suman veinte y Su producto da 96.
Ejemplo 3. Hallar los números que sumados consigo mismo, sea igual al producto de él
por sí mismo.
Solución: Llamemos a ese número X, por lo tanto podemos formar el modelo matemático
con la condición que no da el problema.
Modelo
a
resolver:
x  x  x  x de donde2 x  x  x  2 x  0 resolvemos por factorización
2
2
x x  2   0  x  0 ó x  2
Solución, el 0 y el 2 cumplen la condición dada por el problema.
Nota: Cuando se invierten p pesos a UN interés compuesto del r por ciento anual, al
final de n años el capital C será:
el siguiente problema:
C  p1  r 
n
Teniendo en cuenta esta nota resolver
Ejemplo 4: ¿ A qué interés $ 100.000 aumentará a $ 144.000, después de dos años ?
Solución:
C = 144.000.
p = 100.000.
r=?
Modelo a resolver:
144.00  0  100.0001  r   1  r  
144.000

100.000
6
6
1
11
1 r    r   1  r  ó r  
5
5
5
5
2
2
1  r 2

144
12
1 r  
100
10
Escogemos el interés como 1/5 por 100 igual al 20% anual.
MATEMATICAS GENERALES
Página 5
Ejemplo 5. El ingreso mensual de una compañía esta dado por el modelo
I  800p  7 p 2
Donde p es el precio del producto en pesos del, producto que fabrica.
¿ A que precio el ingreso será de $10.000, sí el precio debe ser mayor de $ 50 ?.
Solución:
10.000  800p  7 p 2  7 p 2  800p  10.000  0 resolvam os para p
por fórm ulacuadrática: p 
de p 
  800 
 8002  47 10.000 800 

27 
640000 280000
14
800  360000 800  600 800  600 1400
800  600 200



 100 p 

 14.29.
14
14
14
14
14
14
En este problema escogemos el valor 100, puesto que este valor cumple la condición que
dá el problema, el cual dice que el valor debe ser mayor de $ 50.
LO que podemos observar pues al resolver `problemas con modelos de segundo grado,
es que no siempre los dos valores sirven para solucionar un problema, es decir la solución
de
UN modelo no siempre conduce a la solución del problema, sino, que hay que escoger
cual es la solución que me resuelve el problema, a continuación encontrarás una serie de
problemas para construyas el modelo matemático, del cual puedes obtener la solución.
MATEMATICAS GENERALES
Página 6
TALLER 11 y 12
1. RESOLVER
POR
CUADRATICAS:
FACTORIZACION
LAS
SIGUIENTES
ECUACIONES
1.1) x 2  4 x  4  0;
1.2) t 2  3t  2  0;
1.3) 4 x 2  1  4 x;
1.4) q(2q  3)  5;
1.5) s 2  9  0
2.
RESOLVER POR
CUADRATICAS:
FÓRMULA
GENERAL
Las
SIGUIENTES
ECUACIONES
2.1) x 2  2 x  24  0;
2.2) p 2  2 p  0;
2.3) 2 x 2  20  3 x;
2.4) c 2  2 2 c  2  0;
2.5) g 2 
g 3
2
PROBLEMAS PROPUESTOS PARA OBTENER EL MODELO Y DARLES LA
SOLUCIÓN REQUERIDA POR EL PROBLEMA, SI ES POSIBLE.
1. $ 400 deben distribuirse en partes iguales entre cierto número de personas. Pero en el
momento de la repartición faltan cinco de ellas, lo que permite darle $ 4 más a Las
otras. ¿Cuántas personas había al principio?
2. Cual es la edad de Juan, sabiendo que el cuadrado de ella es igual a 16 veces la edad
que tendrá dentro de 12 años.
3. Hallar Las dimensiones de UN rectángulo, cuya área es de 56 metros cuadrados y Su
Perímetro es de 30 metros.
4. Una fábrica puede vender X unidades de UN producto que produce a UN precio de p
Pesos cada unidad, donde p= ( 700-5x ). Si el costo de producir X unidades es de
C = 8.480 + 7x ). Hallar:
A). ¿ Cuántas unidades debe vender la fábrica para tener ingresos de $ 22.500. ?.
B). ¿ Que precio por unidad debe fijar para obtener ingresos de $ ,24.500. ?.
C). ¿ Cuántas unidades deben venderse para obtener utilidades de $ 9.520. ?.
5. UN proyectil es lanzado al aire con una velocidad inicial de 192 metros por segundo.
MATEMATICAS GENERALES
Página 7
Después de t segundos Su altura es de: St  192t  16t 2 . Halle el tiempo que tarda
en llegar al suelo
6. Dado el ingreso total I  600x  5x 2 y el costo total : C  100x  500
Exprese la utilidad en función de X, y determine el punto de equilibrio.
7. La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados es 53; Hallar los números.
8. Una compañía está diseñando UN empaque para Su producto. El empaque será una
caja
sin tapa construída de una lámina cuadrada de aluminio, recortando cuadrados en sus
extremos de 3 cms y doblando luego hacia arriba. La caja debe contener UN volúmen
de
75 cms cúbicos. Hallar Las dimensiones de la hoja de aluminio que se debe utilizar
para
alcanzar ese volumen.
3cms
3 cms
3cms
3cms
9. Una compañía estima que si con Las unidades que produce y vende de UN producto
se genera UN ingreso de: I  100 x . Si Su costo variable por unidad es de $ 2 y sus
costos fijos son de $ 1200. Se desea conocer la producción posible en el punto de
equilibrio. ( Recuerde que el punto de equilibrio está en la utilidad igual a cero ).
10. Suponga que la hipotenusa de UN triángulo rectángulo es 10 cm más larga que uno
de
Los catetos y ese cateto es 10 cm más largo que el otro. Encuentre los tres lados de
ese
Triángulo rectángulo.
11. Si
X 1 y X 2 son las raíces reales de la ecuacióncuadrática ax2  bx  c dem uetreque :
X1  X 2  
b
a
y
X1  X 2 
c
a
12. Si UN campo de juego cuadrado tiene una longitud en Su diagonal de 100 m,
encuentre
El área del campo.
MATEMATICAS GENERALES
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