I. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN.

I.
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN.
POTENCIACIÓN DE UN POLINOMIO
En algunas situaciones es necesario elevar polinomios a una potencia determinada,
procedimiento que resulta simple sabiendo que la potenciación es una simple
multiplicación.
OBSERVA:
OBSERVA:
2 2 es equivalente a 2 x 2
22=2x2
(a  b)2 es equivalente a (a + b).(a + b)
(a  b) 2 (= (a + b).(a + b)
Como puedes ver la potenciación de un polinomio se convierte en multiplicación de
polinomios
2
2
2
(a + b ) = (a + b).(a + b) = a + ab + ba + b
PRODUCTOS NOTABLES
Se denominan productos notables a algunas potencias de polinomios o productos entre
ellos que pueden resolverse rápidamente ya que cumplen algunas características o
reglas fijas.
Existen varios productos notables que son:
CUADRADO DE LA SUMA
El cuadrado de una suma se resuelve: se eleva la primera cantidad al cuadrado, luego
se suma el producto de la primera cantidad por la segunda cantidad y por dos, y
además se suma el cuadrado de la primera cantidad.
Observa:
(a  b)2
a2
2ab
b2
 el cuadrado de la primera cantidad
 dos veces la primera cantidad por la segunda cantidad
 el cuadrado de la segunda cantidad
(a + b)
2
=
a
2
+ 2 ab + b
2
Ejemplos:
 ( x + 2y)2 = x2 + 2.(x).(2y) + (2y)2 = x  4xy  4 y
 (2a2 + 3b3 )2 = ( 2a2 )2 + 2.(2.a2).(3b3) + ( 3b )2 = 4a 4  12a 2b3  9b6
2
2
DIFERENCIA DE CUADRADOS
El cuadrado de una diferencia se resuelve: se eleva la primera cantidad al cuadrado,
luego se resta el producto de la primera cantidad por la segunda cantidad y por dos, y
además se resta el cuadrado de la primera cantidad.
Observa:
(a  b)2 a2  el cuadrado de la primera cantidad
2ab  dos veces la primera cantidad por la segunda cantidad
b2  el cuadrado de la segunda cantidad
(a  b)2  a2  2ab  b2
Ejemplos:
* (2x – 4)2 = (2x)2  2(2x) (4)  42
* (mn3 – 3 m4 x2 )2 =
(mn3
 4x2  16x  16
2  2(mn3 ) (3m4 x2 )  (3m4 x2 )2
3 6
5 3 2
8 4
= m n  6m n x  9m x
EJERCICIOS:
Resolver los siguientes productos notables:
1.
6.
(3y+5z)2
1

2.  x  y 
3

7.
2
1 
3
3.  a  b 
4 
4
4. (3 – 4 a)2
5. (7 – 2x)2
8.
2

x y

2
5  a 
2x  3x 
y 2
x
a 1
a 2 2
1

9.  m 2 n 3  m 3 n 2 
2

2
10. a  b  c
2
SUMA POR DIFERENCIA
Es un producto de la siguiente forma (a + b)(a – b) los mismos términos en un
paréntesis separados con más y en el otro con menos.
Se resuelve de la siguiente manera:
(a + b)(a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2  b2
2
2
(a + b) (a – b) = a – b
Ejemplos:
 (2a – 3b)(2a + 3b) = 4 a2 – 9 b2
2
 2
 4
  a  b  a  b  = a 2  b 2
3
 3
 9
EJERCICIOS
1.
2.
3.
3m  5 y 3m  5 y 
a  2b (a  2b )
3
3
(a  b)  2 (a  b)  2
 1 3  1 3 
4.   a   a 
 3 2  3 2 
5. (2m3 – n4)(2m3 + n4)
6. (a 2x – 3)(a 2x + 3)
7. (a + 2b + 2)(x +2b–2)
8. (ab + c)(ab – c)
9. (3x2 – b) ( b + 3x 2)
3
10. a  x  a  b a - b)3  (a  b)
11. (5x+2y)(2y–5x )
3
 3

12.  x3  2m2 y3  x3  2m2 y3 
4
 4




CUBO DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS TERMINOS
Cuando se presentan los siguientes binomios al cubo, se resuelven de la forma que se
indica:
a  b3  a3  3a 2  3ab2  b3
(a  b)3 = (a+b)2(a+b)
= (a2+2ab+b2) (a+b)
= a3+3a2b+3ab2+b3
a  b 3  a3  3a 2b  3ab 2  b3
que se demuestra de la misma manera que el anterior.
EJEMPLOS
 (m–2)3 = m3–3(2m2)+3m(2)2–23 = m3–6m2+12m–8
 (3 a2 + 2 b3)3 = (3 a2)3 + 3(3 a2)2 (2 b3) + 3(3 a2) (2 b3)2 + (2 b3)3
= 27 a6 + 54 a4 b3 + 36 a2 b6 +8 b9
EJERCICIOS:

12. x
11. 5 x  5 y
1. (a –
2. (3y+5z)3
b)3
1

3.  x  y 
2

3
a 1

3
 x a 2

3
1

13.  m 2  n 2 
2

3
14. a  b  c
3
3
4.
5.
6.
7.
1 
3
 a  b
4 
4
(3a – 4 b)3
(7 – 2x)3
(2x2 – 5y 3 )3
2

8.  a  4m 
3

2

15.  x  y 4 
5



17. 3a  2b 
16. a 3b  b 2b
3
4 3
3
2 
3
18.  x 3  y 2 
3 
4
19. (a – b – c)3
20. (–x – y)3
3
2 2
3 2
9.  x y  xy 
5
4

1

10.   m3 
3

3
3
3
POTENCIA DE BINOMIOS
El binomio (a+b)n con n perteneciente al conjunto de los números naturales (1,2,3....),
llamado BINOMIO DE NEWTON se resuelve utilizando el TRIANGULO DE PASCAL, de
la siguiente manera:
1. los números que se encuentran en el triángulo de Pascal son los coeficientes
numéricos de los términos del producto.
2. El primer número diferente de 1 es el exponente del binomio
3. El primer término inicia con el mismo exponente que el binomio y el segundo con
exponente cero.
4. El primer término comienza a disminuir su exponente hasta que sea cero y el
segundo a aumentarlo.
5. Los signos son positivos si el binomio es suma y se intercalan si el binomio es
resta– se utiliza así:
(a+b)1 = ab0 +a0 b
= a+b
(a+b)2 = a2+2ab+b2
1
1 2 1
1
1
3
4
3
6
(a – b)3 = a3 – 3 a2b + 3 a b2 – b3
1
4
1
(a + b )4 =a4+4 a3b + 6a2b2 +4 ab3+b4
EJEMPLOS
 (a+2)6 = a6+6 a5(2)+15 a4 (2)2+20 a3(2)3+15 a2(2)4+6 a(2)5+26
a6+12 a5+60 a4 + 160 a3 + 240 a2 +192 a + 64
2 4
2
2
2
2
) =(3x)4–4 (3x)3 ( )+6 (3x)2 ( )2 – 4(3x)( )3 +( )4
3
3
3
3
3
216
216
32
16
= 81 x4–
x3 +
x2–
x+
81
3
9
9
 (3x–
EJERCICIOS
1. (a – 2b)6
2. (2 x2 – 3y 2) 4
3. (3 – a3) 5
x y
4.   
2 2
5.
a
x
2
1

7.  x  y 3 
3

8.
4
9.

2 x  3 y 
5  3a 
2 6
3
2 3
10. 2  a
3
3

6.   m 2 
4

4
7
2 
1
11.  a 2  b 3 
3 
2
5
4
FACTORIZACIÓN
Factorizar un número natural es descomponerlo en sus factores primos así:
12 = 2 x 2 x 3= 2 2 x 3 donde 2 y 3 son números primos.
Factorizar un polinomio significa descomponerlo hasta donde sea posible, en el
producto de todos sus factores primos.
La propiedad distributiva de la multiplicación de números reales respecto de la adición
permite transformar las sumas indicadas en productos. Esta transformación es una
FACTORIZACIÓN.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
FACTOR COMÚN
Es el Máximo Común Divisor de los términos del polinomio, tanto de la parte literal
como de la numérica.
El M.C.D de los coeficientes del polinomio, y el factor común literal está conformado
por las variables que se repiten en todos los términos elevadas al menor exponente. El
factor restante con el que se multiplica el factor común, está compuesto por los
coeficientes de cada término sobre el mismo factor común. Ejemplo:
Factoriza los siguientes polinomios:
* 6 x3 – 12 x2 + 3 x
El factor común de los términos es 3 x. Por la propiedad distributiva se puede escribir
6 x3 – 12 x2 + 3 x = 3x ( 2 x2 – 4 x + 1)
* 8 x w3 + 32 x 3 w 2 = 8 x w 2 (w + 4 x2 )
* 5 y z4 – 12 y 6 = y ( 5 z4 – 12 y5 )
* 4 x ( x + 2) – ( x + 2)= ( x + 2) ( 4 x –1)



* x3  2)3  7 x3  2   x3  2

 x3  2
2  7 
Ejercicios:
1. 3xy3  27x4 y
2. 5b  b4 z  25b3w
3. 2 xn  1   3 yn  1

FACTOR COMÚN POR AGRUPÁCIÓN:
Cuando el polinomio tiene más de tres términos, es necesario agrupar adecuadamente
Se emplea inicialmente una asociación de términos por medio de los signos de
agrupación, para hallar así los factores comunes de cada uno. Ejemplo:
* 3x 2  6ax  4 x  8a
1. Agrupemos: (3x2 – 6 ax) + (4x – 8 a)
2. Factoricemos el factor común:
3x ( x – 2 a) + 4( x – 2 a)
3. Se factoriza de nuevo: (3x +4) (x – 2a)
* x2  a2  x  a2 x
1. Agrupemos:  x 2  a 2 x    x  a 2 


2. factoricemos: xx  a 2    x  a 2 

3. Se factoriza de nuevo:  x  1  x  a 2

* 3a3  3a2b  9ab2  3b2  a2  ab


1. 3a3  3a2b  9ab2   3b2  a2  ab
2. 3a a2  ab  3b2   a2  ab  3b2 



3. 3a  1  a 2  ab  3b2
Ejercicios:



1. 3m  2n  2nx4  3m x4
2. 2 x 2 y  2 xz 2  y 2 z 2  xy3
3. 3a 2  7b 2 x  3ax  7 ab2
DIFERENCIA DE CUADRADOS
Es la suma de las raíces cuadradas de los términos, multiplicada por la diferencia de
las mismas:
a 2  b 2  a  b a  b 
Ejem plos:
* 16x 4  81y 2  4 x 2  9 y  4 x 2  9 y
* 25  x 6 z8  5  x3 z 4  5  y 3 z 4

*

64 4 x 4  8 2 x 2

 
9
3
w
w2


2
  8  2 x 
w
3
Ejercicios:
1. 361x14  1
b12x
 49a10n
81
2
3. a m 4n6  144
2.
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (T.C.P )
Es el resultado de un Binomio al cuadrado. El primer y tercer término son cuadrados
perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y su signo es positivo, y el segundo término es
el doble de producto de las raíces cuadradas del primer y tercer término:
2
a 2  2ab  b 2  a  b 
Ejemplos:
* x 2 – 2x + 1=
( x – 1)2
Raíz cuadrada de x2 = x
Raíz cuadrada de 1 = 1
Doble producto de estas raíces: 2 ( x ) ( 1) = 2 x
* 36 + 12 m2 + m4 = ( 6 + m2 )2
Raíz cuadrada de 36 = 6
Raíz cuadrada de m4 = m2
2 ( 6) ( m2) = 12 m2
a2
a
 ab  b 2    b
*
4
2
2
a
a2
=
2
4
Raíz cuadrada de b2 = b
Doble producto de esta raíces:
a
2ab ab

2(
) (b) =
4
4
2
Raíz cuadrada de
Ejercicios:
1. 1  14x 2 y  49x 4 y 2
2. 9  6 x  x 2
n2
3.
 2m n  9m 2
9
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR COMPLETACIÓN
Este caso se da cuando los trinomios no son exactos para ser T.C.P.
Ejemplos:
* 4a4  3a2b2  9b4
1. Se observa si es un T.C.P
La raíz cuadrada de 4 a4 = 2 a2
La raíz cuadrada de 9 b4 = 3 b2
2 ( 2 a2 ) ( 3 b2 )= 12 a2 b2
Este Trinomio no es cuadrado perfecto ya que 3a 2b2  12a 2b2
2. Luego hay que sumarle 9a2 b2 al segundo término para que sea igual a
12 a2 b2, pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad
que se suma y quedaría así:
4a4  3a2b2  9b4
– 9a2b2
 9a2b2
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
4a 4  12a 2b 2  9b 4  9a 2b 2  4a 4  12a 2b 2  9b 4   9a 2b 2

Factorizo el T.C.P

= 2a2  3b2

2

 9a 2b2

Factorizo la Diferencia de Cuadrados = 2a2  3b2  3ab  2a2  3b2  3ab

y por último lo ordeno


= 2a2  3ab 3b2 2a2  3ab 3b2

* c4  45c2  100
1. Se observa si es un T.C.P
La raíz cuadrada de c4 = c2
La raíz cuadrada de 100 = 100
2 ( c2 ) ( 10 ) = 20 c2
Este Trinomio no es cuadrado perfecto ya que 45c2  20c2
2. Luego hay que sumarle 25 c2 al segundo término para que sea igual a
45 c2, pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que
se suma y quedaría así:
c 4  45c 2  100
 25c 2
– 25c 2
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
c 4  20c 2  100  25c 2   c 4  20c 2  100   25c 2

2
=  c2  10   25c2

Factorizo la Diferencia de Cuadrados = c2  10  5c  c2  10  5c
ordeno
= c2  5c 10 c2  5c 10
Factorizo el T.C.P





Ejercicios:
1. 25a 4  54a 2b 2  49b 4
2. 4  108x 2  121x 4
3. 121x 4  133x 2 y 4  36 y8
TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c
1. Se organiza el trinomio
2. El coeficiente del primer término es 1
3. Se descompone en dos factores binomios y al comienzo de cada uno de ellos
se escribe la raíz cuadrada del primer término.
4. Se buscan dos cantidades que al multiplicarse den el tercer término y al
sumarse den el segundo término
Ejemplos:
* Factorar: m2  17m  60
Se halla la raíz cuadrada del primer término m2 = m
El trinomio se decompone en dos binomios: m
) m
)
Se busca dos números cuya diferencia es 17 y cuyo producto es 60.
En el primer paréntesis se coloca el signo negativo ya que –17x lo tiene, luego
en el segundo paréntesis se coloca el signo positivo porque al multiplicar el
signo del segundo término con el signo del tercer término nos da positivo.
Se descompone en sus factores primos al tercer término:
60  2
30
 2
15
 3
5
 5
1

2 x 2 x 5 = 20 y 3
m
Rta :
– 20 ) m + 3 )
* Factorar: 28  a2  11a
Se organiza el trinomio: a 2  11a  28
Se halla la raíz cuadrada del primer término a2 = a
El trinomio se descompone en dos binomios: (a
) (a
)
Se busca dos números cuya diferencia es 11 y cuyo producto es 28.
En el primer paréntesis se coloca el signo negativo ya que –11x lo tiene, luego
en el segundo paréntesis se coloca el signo negativo porque al multiplicar el
signo del segundo término con el signo del tercer término nos da negativo.
Se descompone en sus factores primos al tercer término:
28  2
14
 2
7
1
 7
2x2=4 y 7
Rta :
( a – 4 ) (a – 7 )
* Factorar: x2  2ax  15a2
Se halla la raíz cuadrada del primer término x2 = x
El trinomio se descompone en dos binomios: (x
a ) (x
a )
Se busca dos números cuya diferencia es 2 y cuyo producto es 15.
En el primer paréntesis se coloca el signo positivo ya que 2x lo tiene, luego
en el segundo paréntesis se coloca el signo negativo porque al multiplicar el
signo del segundo término con el signo del tercer término nos da negativo.
Se descompone en sus factores primos al tercer término:
15  3
 5
5
1
Rta :
( x + 5a ) (x – 3a )
Ejercicios:
1. x2  6 x  8
2. x2  x  2
3. 15  2 x  x2
TRINOMIO DE LA FORMA
AX 2  BX  C
donde
A1
Se multiplica y se divide al mismo tiempo por el valor de * a *
En el numerador el valor de * a* sólo afecta al primer y tercer término
Luego se factoriza de la forma X 2  BX  C
Por último se divide por * a * para no alterar el trinomio
* Factorar: 6 x 2  7 x  2

6 6 x2  7 x  2
6




6x  2 76x   62 
6
36x2  76x   12
6
6 x  4  6 x  3 
6
2 x3

2 3x  2  3 2 x  1 
6
2x3
3x  2  2 x  1 
* Factorar: 5x6  4x3  12

5 5 x6  4 x3  12
5

 
 32
 5x
 4 5 x3   512


5

25x6  45x3   60

5

 x3  2


5x3  10 

5x
6

5
5 x1
 5 x3  6 
1. 3x2  18 x  165
Ejercicios: 2. 2ax 2  8ax  24a
3. 20 x2  7 x  6
CUBO PERFECTO DE BINOMIOS: a3  3a 2b  3ab2  b3  a  b
3
Se debe tener en cuenta lo siguiente:
1. Tener cuatro términos
2. Que el primer y cuarto término sean cubos perfectos
3. Qué el segundo término sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer
término multiplicando por la raíz cúbica del última.
4. Qué el tercer término sea más triplo de la raíz cúbica del primer término por el
cuadrado de la raíz cúbica del último.
* 8 12a2  6a4  a6
La raíz cúbica de 8 = 2
La raíz cúbica de a6 = a2
3 ( 2)2 ( a2 )
= 12 a2
2
2
3 (2) (a )
= 6 a4
Rta
segundo término
tercer término
( 2 – a2 )3
* 125a3 150a2b  60ab  8b3
La raíz cúbica de 125 a3 = 5 a
La raíz cúbica de 8b3 = 2 b
3 ( 5 a )2 ( 2 b )
= 150 a2 b
3 ( 2 b )2 ( 5a )
= 60 a b2
segundo término
tercer término
( 5a + 2 b )3
Rta
Ejemplo:
1. 8a3  36a2b  54ab2  27b3
2. 125 x3  1  75 x2  15 x
3. x9  9 x6 y 4  27 x3 y8  27 y12
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS:
a3  b3 
a  b   a2  ab  b 2 
a3  b3 
a  b   a2  ab  b2 



1. La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores
x3  27 
x  3   x2  3.x  32 

La raíz cúbica de x3  x
La raíz cúbica de 27  3
8 x3  y3 
2 x  3 y   2 x 2  2 x  y   y 2 
de 8 x3  2 x
La raíz cúbica de y3  y
* La raíz cúbica
m  n


 3 27 
 m  n   3  m  n  2 m  n  3   3 2 
de  m  n 3  m  n
La raíz cúbica de 27  3
* La raíz cúbica
Ejercicios:
1. a3  27
2. x6  y9
3. x6  x  2 3
SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES:
Se debe tener en cuenta:
1. Ambos términos deben tener el mismo exponente
2. Se saca la raíz de cada término
3. Se empieza a disminuir el primer término y el segundo empieza a aumentar.
* a7  b7  a  b   a6  a5b  a 4b 2  a3b3  a 2b 4  ab5  b6


La raíz séptima de a7 es  a
La raíz séptima de b7 es  b
* 32  m5 
2  m   24  23 m  22 m2  2m3  m4 

La raíz qu int a de 32 es  2
La raíz qu int a de m5 es  m
Ejercicios
1. 1  243w5
2. x6  64w6
3. a7  2187
Factoriza el polinomio P(x)=2x5 -3x3 +4x2 -9x + 6
Usamos la regla de Ruffini, los candidatos a raíz serán los divisores de 6,
es decir, 1, -1, 2, -1, 3, -2, 6, -6.
Vamos probando hasta que encontremos un valor cuyo resto es 0,
repetimos el proceso con los coeficientes del polinomio cociente hasta que
no podamos continuar, porque lleguemos a un polinomio irreducible.
En el ejemplo hemos llegado a un momento en el que no hemos
encontrado raíces enteras 2x2 +3, con este polinomio podemos continuar
planteando una ecuación de segundo grado, aún así no tiene raíces reales
por tanto es irreducible. En la figura de la derecha se observa el proceso.
La factorización queda:
2x5 -3x3 +4x2 -9x + 6 =(x-1)2(x+2)(2x2 +3)
EN RESUMEN: FORMA DE DISTINGUIR LOS CASOS DE FACTORIZACIÓN
¿La expresión tiene factor
común?
¿Qué tipo de expresión
es?
¿Es un trinomio?
¿Es un polinomio de 4 o
mas términos?
¿Es un trinomio cuadrado
perfecto?
¿Es factorizable por
agrupación de términos?
¿Es una suma ó resta de
cubos?
¿Es un trinomio de la
forma x²±bx±c?
¿Es un caso combinado?
¿Es una suma de
cuadrados?
¿Es un trinomio de la
forma ax²±bx±c?
¿Es una suma ó resta de
binomios al cubo?
¿Es un trinomio cuadrado
perfecto por completación?
¿Es factorizable por
división sintética?
¿Es un Binomio?
¿Es una diferencia de
cuadrados?
EJERCICIOS: factoriza completamente las siguientes expresiones:
1.
x2 + 4x + 3 =
2. 6 x 4  21 x 3  18 x 2
3.
a2 + 7a + 10 =
4.
b2 + 8b + 15 =
5. 6 a  9  a 2
6.
x2 - x - 2 =
7.
r2 - 12r + 27 =
8. 2 m2  11m  21
9.
s2 - 14s + 33 =
10.
h2 - 27h + 50 =
11. x 3  64
12. y2 - 3y - 4 =
14. 9 n 2  12 n  4
15. m2 + 19m + 48 =
1 2
x  3x  9
4
20. 2 m b  a n  2 m n  a b
18. x2 - 12x + 35 =
13. x2 + 14xy + 24y
16. x2 + 5x + 4 =
19. 5x2 + 11x + 2 =
17.
21. 3a2 + 10ab +
7b2 =
22. 4x2 + 7x + 3 =
24. 4h2 + 5h + 1 =
25. 5 + 7b + 2b2 =
23. x 3  2 x 2  15 x
26. y z  2 x w  2 y w  x z
28. 5c2 + 11cd + 2d2 =
29. 6 a 2  7 a  20
30. 2x2 + 5x - 12 =
31. 6x2 + 7x - 5 =
32.  2 x  y  2  2 x  y
34. 3m2 - 7m - 20 =
35. 4 m 4 y 6  36 a 12 b 18
33. 6a2 + 23ab - 4b2
=
36. 8x2 - 14x + 3 =
37. 5x2 + 3xy - 2y2 =
38. x 2  12 x  35
4
2
1
41. y 2  y 
9
3
4
44. k  2 k  2  k  2
40. 6a2 - 5a - 21 =
43. 2a2 - 13a + 15 =
27. 7x2 - 15x + 2 =
39. 7p2 + 13p - 2 =
42. 2x2 - 17xy +
15y2 =
46. 2ab + 4a2b - 6ab2 =
47.  n  2  2 
49. b2 - 3b - 28 =
50. 8  z 12
45. x 3 - 3x 2 + 4x +
12
48. 2xy2 - 5xy + 10x2y
- 5x2y2 =
51. a2 + 6a + 8 =
52. 5a + 25ab =
53.  6 a 3  11a 2  10 a
54. bx - ab + x2 - ax =
55. 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab
58. 8x2 - 128 =
56.  2  12 v
59. m 3  m 2 n  m n 2  n 3
57. ax + ay + x + y =
60. 4 - 12y + 9y2 =
62. y  y  1 
63. x2 + 2x + 1 - y2 =
61. x4 - y2 =
64. (a + b )2 - ( c + d)2 =
65.


n  2 2
y  1
2
7
x 
3
12

66. a2 + 12ab + 36b2
=
67. 36m2 - 12mn + n2 =
68. 3 x 2  4 x  1
69. x16 - y16 =
70. x2 + 10x + 25 =
73. m 3  216s 3 
2
2
76.  p  q  m  n 
71. 2ab + 4a2b - 6ab2 =
74. b2 - 3b - 28 =
77. 5a + 25ab =
72. (a + b )2 - ( c + d)2
75. 36m2 - 12mn + n2
79. 24a 2 xy 2  36x 2 y 4 
80. 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab =
78. x 3  x 5  x 7 
81. 8x2 - 128 =
II.
EXPRESIONES RACIONALES
MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE POLINOMIOS
Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos.
El MCD es el producto de los factores comunes con su menor exponente.
Ejemplos:
* Hallar el MCD de ab 2 c, a 2 bc
Las letras comunes son a b c. Se toma las letras a, b y c con su menor
Exponente, por lo tanto su mcd es = a b c
15a 2b 3c  5  3 a 2b 3c
24ab 2 x,  2.  2.  2.  .3 ab 2 x
36b 4 x 2  2.  2.  3  .3 b 4 x 2
 Hallar el MCD entre 15a 2b 3c, 24ab 2 x, 36b 4 x 2
Por lo tanto el mcd es = 3 b2
* Hallar el MCD entre 2a 2  2ab, 4a 2  4ab
2a 2  2ab  2a a  b 
Por lo tanto el mcd es= 2ª
4a 2  4ab  4a a  b 

Hallar el MCD entre 9 x 2  1, 9 x 2  6 x  1 |
9x 2  1

3x  1  3x  1 
Se factorizan ambos términos
3x  1  3x  1 
9x 2  6x  1 
Por lo tanto el mcd es= 3x – 1
Ejercicios: HALLE EL MCD DE LAS SIGUITES EXPRESIONES
1. x 2  4, x 3  8
2. 3x 3  15x 2 , ax 2  5ax
3.  x 2  1

2
 , x 2  4 x  5, x 4  1
4. 8 x 3  y 3 , 4ax 2  ay 2
5. 3x 2  3x  60, 6 x 2  18x  24
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS
Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos.
El MCM es el producto de los factores primos, comunes y no comunes, con su mayor
exponente.
Ejemplos:
15a 2b 3c  5  3 a 2b 3c
24ab 2 x,  2.  2.  2.  .3 ab 2 x
36b 4 x 2  2.  2.  3  .3 b 4 x 2
* Hallar el MCM de ab2c, a2bc
El mcm es= a2 b2 c

Hallar el MCM entre 15a 2b3c, 24ab2 x, 36b4 x2
Por lo tanto el mcm es = 23 32 5 a2 b4 c x2
= 360 a2 b4 c x2
* Hallar el MCM entre 2a 2  2ab, 4a 2  4ab
2a 2  2ab  2a a  b 
Por lo tanto el mcm es= 4 a (a + b) ( a–b)
4a 2  4ab  4a a  b 
= 4 a ( a 2 – b2 )

Hallar el MCM entre 3a 2 x  9a 2 , x 2  6 x  9 |
3a 2 x  9a 2
 3a 2  x  3 |
x 2  6x  9 

x  3  x  3 
Se factorizan ambos términos

Por lo tanto el mcm es = 3a 2 x  3
2
Ejercicios: HALLE EL MCM DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:
1. x 2  4, x3  8
2. 3x3  15x 2 , ax2  5ax
4. 8 x3  y3, 4ax2  ay2
5. 3x 2  3x  60, 6 x 2  18x  24
3. x 2  2 x, x3  2 x 2 , x 2  4
6. x3  y3 ,
x  y 3
OPERACIONES CON FRACCIONES:
Se debe tener en cuenta lo siguiente:
1. Si es posible, se factorizan los denominadores
2. Se llevan al mcd y se efectúan las operaciones indicadas
3. Se unen los términos semejantes
4. Si es posible se simplifica la respuesta.
Suma de fracciones
Simplificar:
x  2 3x  2
*

el m cm es 12
4
6
3 x  2   23x  2 

12
3x  6  6 x  4
9x  2


12
12
*
x  2 x 2  2 2  x3


el m cm es 45x3
2
3
3x
5x
9x
15x 2 x  2   9 x x 2  2   5  2  x3

45x3

*

15x3  30x 2  9 x3  18x  10  5 x3
45x3



19x3  30x 2  18x  10
se reducen a términos semjantes
3
45x
1
x  x2

1

x3
1  x2
x  x2
1
1
x3



x1  x  x1  x  1  x  1  x

1  x  1  x 
1  x  1  x  x x  3 
1  x  1  x  x 2  3x


x 1  x  1  x 
x 1  x  1  x 
el mcm es x
x 2  3x  2
se simplifica
x 1  x  1  x 
x  2  x  1   x  2

x 1  x  1  x 
x 1  x 

Resta de fracciones:
Simplificar
a3
4  3ab2
*

5ab
3a 2b3
3ab2 a  3

el m cm es 15a 2b3


*
5
15a 2b3
3a 2b 2  6ab2  20
15a 2b3
x

x 1
2

x 1
2
x 1 

4  3ab 
el m cd es

x x  1 
x  1  x  1

x2  x  x2  2x  1
x  1  x  1 2



2

3a 2b 2  9ab2  20  15ab2
15a 2b3
x  1  x  1 2
2

x2  x  x2  2x  1
x  1  x  1 2
 3x  1
x  1  x  1 2
Multiplicación de fracciones:
Se debe tener en cuenta lo siguiente:
a. Se descomponen en factores los términos de las fracciones que se van a
multiplicar.
Se simplifica, quitando los factores comunes tanto en los numeradores como en los
denominadores.
b. Se multiplican entre sí las expresiones que queden en los numeradores después
de simplificar, y este resultado se parte por el producto de las expresiones que
queden en los denominadores
Ejemplos: Multiplicar:
*
*
2a 2
6b 2
x
3b
4a
 ab
2x2  x
x
6
2x

3
a 2  5a  6
*
3a  15

*

12a 2b 2
12ab
8
4x  2
x
x
x(2 x  1)
3x 2
6a
a 2  a  30
(a  3) (a  2)
3(a  5)
x2  2 x
x 2  16

x
x2  2 x  8
x3  x 2

x( x  2)
( x  4) ( x  4)

1
x 1
x
 se sim plifica
2 x2 x2
2(2 x  1)
x
factoriza
a 2  25
x
2a  4
6a
(a  6) (a  5)
x
se
(a  5) (a  5)
2(a  2)
x

a (a  3)
a6
x2  4 x
x2  4 x  4
( x  4) ( x  2)
x 2 ( x  1)
x
x( x  4
( x  2) ( x  2)
Ejercicios:
1
2x 2  x
8
x
6
4x  2
a 2  ab  a  b
3
x
a 2  2a  1
6a 2  6ab
x 3  2 x 2  3x
2x 2  3x
3.
x
4 x2  8x  3
x2  x
2.
4.
(x - y )3
x
x3  1
5.
2a - 2
x
2a 2  50
6.
(a 
x2  x 1
( x  y)2
a 2  4a  5
3a  3
a
a
) (a)
b
b 1
División de fracciones:
Se debe tener en cuenta:
a. Se multiplica el dividendo por el divisor invertido.
Ejemplos:
Simplificar:
2x
x2
 se aplica la prop. de la división

*
y3
3y2
xy
y3
x2

x

2
6
2x
3y
2x  6
x3  x
5x 2  5 x
x3  x
x


*
2
2
2x  6
5x 2  5 x
2x  6x
2x  6x
2 (x  3)
x (x 2  1)
x

5x (x - 1)
2x (x  6)
2 ( x  3)
x (x - 1) (x  1)
x

5x ( x - 1)
2x (x  3 )
x 1

5x
*


x 2  5 x  24
x2  6x  9

2x3  17 x  8
4 x2  1

2x 2  17 x  8
x2  6x  9
x
x 2  5 x  24
4 x2  1
(x - 3) (x - 3)
(2x - 1) (2x  1)
x -3

2x - 1
x
(x  8) (2x  1)
(x  8) (x - 3)
Ejercicios:
Simplificar:
1.
15m2
20y2

19ax3
38a3x 4
2.
x -1
2x - 2

3
6
3.
ax2  5
a 3x 2  5a 2

2a  1
4a 2  1
4.
5.
15x2  7 x  2
6x2  13x  6

25x10x  1
25x3  x
x3 - 1
7x2  7 x  7

2x2  2 x  2
7 x3  7
6. ( x -
2
x
)  (x )
x 1
x 1
Ejercicios:
 3x
8y 
z2
 
1. 
x
9x  3x 2
 4y
2.
3.
a 2  5a
b  b2
 a 2  6a  55
ax 3 a 
 
x

b2  1
ab2  11b 2 

a 2  3a2 x
27 - a 3
a  3) 2  3a
9 - a2
 x 4  27x
4. 
x
 x 2  7 x  30

a 4  9a 2

(a 2  3a) 2
x 2  20x  100
x 2  100

x3
x3  3x 2  9 x 
1. Simplificar las siguientes expresiones, aplicando los criterios de factorización que
corresponda:
24 x  18 y
i)

44 x  33 y
e)
a)
x 2  16
j) 2
=
x  8 x  16
4a  4b

5a  5b
48a

72ab
f)
b)
3x  6 y
=
5x  10 y
25a 2b
=
75ab 2
9 x 2  30 x  25
k)

6 x  10
g)
c)
x 2  xy

xy  y 2
96m3n 2

32m4 n 3
x 2  25
l) 2

x  x  20
h)
8x  7 y

64 x 2  49 y 2
d)
3(a  b)

5(a  b)
m)
4 y2  4 y  1

6x  3
n)
( a  b) 2  c 2
p) 2

a  (b  c) 2
a2  9

3(a  3)
t)
b a

a
b 
y)
1 1

b a
x 2  6x  8
=
x 2  7 x  12
ñ)
1  64c 6
q)

1  4c 2
v)
m2  n 2

2n  2m
x 2  4 x  12

x 2  8 x  12
o)
x 2  7 x  10
r)

x 2  25
w)
y 2  y  12

y 2  2 y  15
64  u 2

u 2  13u  40
x2  x  2
s) 2

x  3x  2
x)
x 2  5x  6

x 2  8 x  15
x+y x  y

x-y x  y
z' )

x+y x  2 y

x
xy
1
a-1 
z)
1
1
a 1
1+
Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones y
escriba la fracción racional resultante en su forma más simple:
1)
7)
2)
8)
3)
9)
4)
10)
5)
6)
11)
24.
12)
13)
14)
15)
16)
25.
26.
27.
28.
17)
29.
18)
30.
19)
20)
21)
22)
23