Trabajo matemático de Euler.

TRABAJO MATEMÁTICO DE EULER
LEONHARD EULER Y ALGUNOS DE SUS APORTES ELEMENTALES
Considerado como el más prolífico de los matemáticos, genio universal reconocido por sus aportes a casi
todas las ramas de las matemáticas tanto teórica como aplicada, a la mecánica, la óptica, el sonido y la
astronomía.
Leonhard Euler nació en la ciudad de Basilea (Suiza) el 15 de abril de 1707. Paulus Euler padre de Leonhard
quería que su hijo fuese pastor y con el fin de estudiar teología lo inscribió en la Universidad de Basilea en
1720. Allí conoció Johann Bernoulli, quien debido a la muerte de Leibniz y al retiro de Newton de la
actividad científica era considerado como el más destacado matemático del momento.
Johann descubrió muy pronto la extraordinaria capacidad de Leonhard y se dedicó a darle gratuitamente una
hora semanal de enseñanza privada, además logró convencer a Paulus de que la verdadera vocación de su hijo
era las matemáticas. En 1722 se graduó bachiller y dos años después obtuvo el título de Maestro.
Deseando ingresar como docente de la Universidad de Basilea se presentó como aspirante a una cátedra de
Física que se encontraba vacante, pero no fue admitido debido a que lo consideraron muy joven para ocupar el
cargo, Leonhard contaba con 20 años.
Es entonces cuando Leonhard acepta la invitación de Nicolás y Daniel Bernoulli para que ingresara a la
Academia de San Petersburgo hoy Leningrado, allí fue donde empezó su ilimitada producción científica. En
los 14 años que permaneció allí escribió más de 100 artículos y su tratado de Mecánica.
Resulta prácticamente imposible presentar una descripción cronológica de todos sus artículos, ya que al
terminar un artículo lo más probable es que empezara algún otro, sobre un tema totalmente distinto.
Antes de ver el trabajo matemático de Euler hagamos un repaso de las progresiones geométricas.
Sea S la sumatoria de los términos de una progresión geométrica, entonces:
S = a + ar + ar2 + ar3 + . . . + arn-1 multipliquemos ambos miembros por r entonces
Sr = ar + ar2 + ar3 + . . . + arn-1 + arn
 Sr  S = (ar + ar2 + ar3 + . . . + arn-1 + arn)  (a + ar + ar2 + ar3 + . . . + arn-1)
 Sr S = (ar + ar2 + ar3 + . . . + arn-1 + arn)  a  (ar + ar2 + ar3 + . . . + arn-1)
 Sr S = arn  a
 S(r-1) = arn  a
ar n  a a(1  r n )

r 1
1 r
a
( 1  r n ) sabemos que si r  (1,1) o sea que r < 1 ó 1 < r < 1
S=
1 r
a
n
 r es un infinitésimo y por lo tanto S =
1 r
S=
TRABAJO MATEMÁTICO DE EULER (1707-1783)
Cuando todavía no se había desarrollado el concepto riguroso de convergencia y de límite Euler dotado de
una prodigiosa intuición obtuvo unos resultados que posteriormente fueron comprobados en algún sentido.
De todas formas, por falta de rigor con el que hoy en dia se han demostrado las proposiciones, Euler cometió
también muchos errores al obtener sus resultados. He aquí algunos ejemplos de aciertos y errores.
1. Resolver 1+ X + X² +. . . Xn = 5
Solución
POR ÁLVARO GERARDO INSUASTI CAMACHO
1
TRABAJO MATEMÁTICO DE EULER
1+ x (1+ x + x² + x³ +. . .+ x) = 5
ya que 1+ x + x ² + x ³ +. . . + x = 5
1+ x (5) = 5
5x = 5  1 entonces x = 4/5
solución correcta
2. Resolver 1+ X + X² + X³ + X4 +… Xn-1 + Xn =  2
Solución
1+ x (1+ x + x2 +… x n-1)
=2
1+ x ( 2) =  2 de donde 1  2x =  2
x =3/2
solución incorrecta ya que hoy con el rigor del cálculo se sabe que sí
1+ x + x² + x³ +..............xn
=b
b

1
1 x
por lo tanto
b 1  2 1  3


y x debe pertenecer al intervalo (1,1) ó 1 < x < 1
b
2
2
Ahora veamos que el límite de b cuando x tiende a 1 es ½ y cuando x tiende 1 b tiende a infinito, lo
x
que significa que b sólo debe tomar valores mayores que ½ es decir x debe pertenecer al intervalo (1/2, )
lo que significa que para estos valores b converge.
Lim
1
1

1 x 2
y
Lim
1

1 x
Pero si b  1/2 entonces x 1 y la serie que estamos resolviendo diverge. Veamos algunos ejemplos.
Si x =  1 entonces b = 1/(1 x) =1/(1 (1)) = ½ este resultado es falso en la solución de la ecuación en
cuestión ya que 1+ (1) + (1)2+ (1)3+ . . . = 11+11+1… no da ½ de ninguna forma que se agrupen los
términos
Si x = 1 entonces b = 1/(11) entonces b tiende a infinito por lo tanto la serie diverge
Si b =1/2 el resultado da diferente según se agrupe veámoslo
Si b =1/2 entonces según vimos x =  1  1 + x + x² + x³ +. . . + xn =  2
1+ (1) + (1)²… = 11 + 11+11+1. . .=1 (11)  (11)........= 1
(11) + (11) = 0
ó
 1 + 1  1+ 1….
= (11) +
Definitivamente 1+ x² + x³ +… xn = b converge y tiene solución para b > 1/2 para los cuales x< 1
3. Resolver
x x x x 2
POR ÁLVARO GERARDO INSUASTI CAMACHO
2
TRABAJO MATEMÁTICO DE EULER
x  2  2 Debido a que

x x x x 2
 x + 2 = 4 de donde x = 2 solución cierta
(compruébelo el alumno con una calculadora)
2  2  2  2  2......  2
4. Resolver
Xx
 x2 = 2 debido a que X
 x=
X
xx
xx
xx
xx
xx
x
2
2
2 solución cierta que se puede comprobar con el uso de calculadora. Pero al resolver la ecuación.
 3  X = 3 de donde X =
3
3
3
3
solución falsa
ya que
3
3
3
3
3
 2.7 y no es igual a 3
Para el tiempo de Euler no se conocían los estudios realizados por Cauchi sobre límites.
Hoy en día por un estudio riguroso del cálculo se sabe que
X
xx
xx
 b siendo b > 0 y 1  b  e
xx
 e y por lo tanto Xe = e y por lo tanto e Ln x = Ln e y por consiguiente Ln x = 1/e
Sí b = e  X
 Ln x = 0,3678794412
 X = antilog 0,3678794412 = 1,44466….  1  x  1,44466….
xx
Conclusión: b debe tomar valores entre 1 y e o sea entre 1 y 2,718281828… y x debe tomar valores 1 y
1.44466…….
POR ÁLVARO GERARDO INSUASTI CAMACHO
3