Inductancia y corriente alterna

UdelaR Facultad de Ciencias
Curso de Física II p/Lic. Física y Matemática
Curso 2010
Inductancia – Circuitos RLC-Corriente alterna
1.- Inductancia (L) – La inductancia L de un elemento de un
circuito
(como una bobina o solenoide) se define
mediante la relación (considerando todas las variables como
magnitudes):  L  L
di
dt
Si la corriente que circula en una bobina cambia, se modifica el
flujo magnético (B) que atraviesa la bobina, por tanto aparece
una fem inducida en la propia bobina (autoinducción).
 
d N B 
dt
Si no hay materiales ferromagnéticos, se cumple que N  B  Li
L- depende sólo de la geometría del sistema
 
d N B 
di
 L
dt
dt

L
di (inductancia)
dt
N B
Para calcular la inductancia de un elemento usamos L 
i
1Volt.s
Unidad de inductancia en SI henry (H): 1Henry
A
2. Valores de inductancia
Solenoide largo: longitud l, sección A y n número de
espiras/longitud: L   0 n lA
2
Toroide: N espiras, altura h y radios a y b
0 N 2h  a 
ln 
2
b
L
3. Circuitos LR
Al pasar el interruptor S a posición a, la ecuación del circuito
  iR  L
es
di
0
dt
Cuya solución vale
i(t ) 
 
R
 t
1 e L
R

t

  
L

1 e
 R 






la corriente no alcanza su valor máximo instantáneamente, sino
L
es la constante de tiempo inductiva.
R
Para t  0 el inductor se opone al paso de corriente; Para t   el inductor se comporta como un
que tarda determinado tiempo.  L 
conductor (cable).
Si
luego
i (t ) 

R
que
R
 t
e L
Ficha Nº 9


R
un

e
tiempo
largo,
paso
el
interruptor
S
a
posición
b:
iR  L
di
0
dt
t
L
1
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4. Almacenamiento de energía en un campo magnético
Al igual que el campo eléctrico, el campo magnético puede almacenar energía. Así un inductor
almacena energía magnética (UB) como un capacitor almacena
energía eléctrica.
UB 
LI 2
2
Densidad de energía magnética: u B 
B2
2 0
5. Oscilaciones electromagnéticas - circuito LC
Cuando un condensador C cargado (con QMAX) conectado en serie
con un inductor L, y se cierra el interruptor, se producen
oscilaciones en la corriente y en la carga del condensador.
El sistema conserva la energía, en forma análoga a un sistema
masa-resorte. Inicialmente la energía en el circuito está almacenada
en el capacitor y se va transfiriendo al inductor.
1 2 q2
Li 
2
2C
2
d q 1
d 2q
1
L 2  q0

q   2 q
2
C
LC
dt
dt
U UB UE 
Soluciones: q(t )  QMAX cos t   
Con la frecuencia angular dada por  
i(t )  QMAX sin t   
1
LC
2
1 q 2 QMAX

cos2 ( t   )
2 C
2C
2
Li 2 L 2 QMAX
UB 

sin2 ( t   )
2
2
UE 
6. Circuito RLC- Oscilaciones amortiguadas y forzadas
En cualquier circuito LC real siempre hay presente una cierta resistencia R. Por tal razón, la energía
U no es constante sino que disminuye debido a que se va disipando en la resistencia:
dU dU B dU E


 iR2
dt
dt
dt
L
d 2q
dt
2
R
resultando: Li
di q dq

 iR 2
dt C dt
dq 1
 q  0 ecuación del circuito RLC sin fuente de tensión, que describe las oscilaciones
dt C
LC amortiguadas. La solución general de la
razonablemente pequeña) puede escribirse como
q(t )  qm e
Ficha Nº 9
 Rt
2L
cos' t   
2
ecuación
diferencial
1  R 
 R 
 
 
con  '    
LC  2L 
 2L 
anterior
(cuando
R
es
2
2
2
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Esta ecuación diferencial y su solución general es análoga a la del oscilador armónico amortiguado.
Cuando R 
4L
la frecuencia ’ del oscilador amortiguado será aproximadamente igual al del
C
oscilador no amortiguado  
1
LC
Cuanto mayor sea R, más rápidamente se amortigua la oscilación, existiendo
un valor crítico de R,
Rc 
4L
por arriba del cual no ocurren oscilaciones. Si R=Rc, se dice que el
C
sistema está críticamente amortiguado, y si es superior,
sobreamortiguado.
7. Corrientes alternasLas corrientes alternas (CA), corrientes
que varían con el tiempo en forma sinusoidal, se generan
mediante inducción magnética en generadores de CA, que
producen una fem del tipo
   m sin t
(fuente de CA)
m amplitud de la fem variable,  (en rad/s) frecuencia angular
que se relaciona con la frecuencia (en Hertz) de la forma
 = 2(en rad/s).
Consideraremos el estudio de un circuito RLC conectado a una fuente de CA. Durante un el periodo
transitorio, la corriente varía en forma errática con t, estas variaciones transitorias desaparecen
rápidamente después de lo cual la corriente varía sinusoidalmente con la misma frecuencia que la
fuente:
i  im sin( t   )
im amplitud de la corriente (magnitud máxima de la corriente) y  es
la constante de fase.
7.1- Elemento resistivoDefiniendo VR= Va-Vb tenemos
VR  iR  im R sin( t   )
VR e i están en fase
La potencia P varía con el
tiempo.
P  i 2 R  im2 R sin2 ( t   )
Ficha Nº 9
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La misma varía desde 0 a un valor máximo im2 R . La potencia media Pm liberada durante el tiempo
T
de un periodo T 
2


1
1
Pm 
P(t )dt  im2 R
T
2
0
La mayoría de los instrumentos en CA miden el valor eficaz o valor medio cuadrático (o r.m.s.)
el cual se obtiene elevando al cuadrado el valor y luego considerar el valor medio en un ciclo. El
valor eficaz de una magnitud cualquiera que varía sinusoidalmente es igual al valor máximo del a
i
misma divida por 2 : i ef  i rms  m
2
La potencia media puede expresarse como:
Pm  ief2 R
7.2- Representación fasorial
Un fasor es un vector bidimensional que tiene las siguientes
propiedades: 1) su longitud es proporcional al valor máximo de la
cantidad alternante que interviene; 2) su proyección sobre el eje
vertical (en caso de ser la fem de la forma sint) da el valor
instantáneo de la magnitud considerada. En caso de ser de la forma
cost se debe considerar la proyección horizontal).
7.3- Elemento inductivo- Definiendo VL= Va-Vb tenemos
VL  L
di


 Lim cos(t   )  Lim sint    
dt
2

VL e i no están en fase,
están un cuarto de ciclo
fuera de fase, con VL
delante de i, se dice que comúnmente que en un inductor, la
corriente se atrasa con respecto a la diferencia de potencial en 90º.
Se define la reactancia inductiva XL como X L   L


VL  im X L sint    
2

VL m  im X L
7.4- Elemento capacitivoDefiniendo
V C=
Va-Vb
tenemos
VC 
i
i
q


  m cos(t   )  m sint    
C
C
C 
2
VC e i están a 90º fuera de fase, con i adelante de VL,
se dice que comúnmente que en un capacitor, la
corriente se adelanta con respecto a la diferencia de potencial
1
en 90º. Se define la reactancia capacitiva XC como X C 
C


VC  im X C sint    
2

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7.5- Circuito RLC de una sola mallaLa fem está dada por
   m sin t , mientras que la corriente por
i  im sin( t   )
  VR  VL  VC
1
L 
XL  XC

C
tan 

R
R
m
im 

R 2   X L  X C 2
m
1 

R 2   L 

C 


Se denomina impedancia del circuito (Z) a: Z  R 2   X L  X C   R 2   L 
2

Y por tanto: i m 
2
1 

C 
2
m
Z
Resonancia: Ocurre cuando la impedancia Z es mínima (y por tanto im es máxima) cuando las
reactancias son iguales: XL=XC, esto ocurre cuando la frecuencia vale
  0
1
(frecuencia de resonancia)
LC
La potencia media vale:
1 2
1
1
im R  imVR  im m cos  ief  ef cos
2
2
2
1
Pm  im m cos  ief  ef cos
2
R
cos 
se denomina factor de potencia
Z
Pm 
La potencia también puede expresarse como
Pm   ef2
 ef2 R 2
R

Z L2  2  o2   2 R 2


La figura de la izquierda es una gráfica de
curvas de
resonancia. La potencia media es máxima cuando la frecuencia
del generador es igual a la frecuencia
  0
1
LC
Las curvas de resonancia se pueden caracterizar por el ancho
de resonancia f, que es la diferencia de frecuencias entre los
dos puntos de la curva en que la potencia es la mitad de su
valor máximo.
f 0 0 0 L


También por el factor de calidad Q: Q 
f 
R
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7.6- Circuito RLC en paraleloLa tensión instantánea en cada elemento es la misma, y la
corriente total I es la suma fasorial de la que pasa por
cada elemento:
 V
V
V
V 
I   I R2  I L  I C 2     

Z
R
 XL XC
2




2
 1
1
1
1
    

Z
R
 XL XC
2




2
8- Transformadores
Dispositivo que funciona en base a la ley de inducción de
Faraday y permite transformar tensiones en las dos
bobinas (primaria y secundaria) manteniendo constante el
producto
 ef ief
Bobina primaria de NP vueltas se conecta a la fuente de CA.
Suponiendo un comportamiento ideal, la fem por vuelta es
la misma en cada devanado:
 d B 
 d B 




 dt  primario  dt  sec undario
Vp
Np

Vs
Ns
 Vp 
Np
Ns
Vs
Como en la condición ideal no hay pérdida
apreciable de energía, el producto de la
corriente por la tensión en los devanados es
igual
i pV p  isVs
N
ip   s
 Np

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2
 Vp

 R

6