Constante de incremento proporcional

Constante de incremento proporcional
Por Omar Osvaldo Sierra
Prólogo
En incontables ocasiones, el conocimiento científico, es precedido por el pensamiento
filosófico, -esa abstracción mental que visualiza una situación, y que urde alguna forma
mediante la cual entender la relación entre los elementos-.
Ese pensamiento, induce a buscar un método para asir lo que hasta ese momento le
resulta inasible, y mediante la aplicación del método obtiene conocimiento.
Y el conocimiento hace poseer potencialmente todo aquello que se conoce, es una forma
virtual de tener, palpar, tocar con la mente, ver.
Normalmente las preguntas simples son las que llevan a importantes descubrimientos:
¿Que pasa si?, ó ¿si en lugar de ser así fuera de otra forma?...
La duda racional, el pensamiento crítico, y sobre todo la curiosidad por ver que hay mas
allá de lo conocido, es el motor que impulsa a la mente del género humano, tanto a
hombres como a mujeres, a asir con el pensamiento lo que no pueden tomar con sus
manos.
Y a hacerse de millares de herramientas, que se convierten en la prolongación de sus
extremidades, que agudizan exponencialmente sus sentidos, su memoria, su capacidad
de expresión y de comprensión del universo del que forman parte.
Cada herramienta que se ha forjado tiene su propia utilidad: una piedra tallada, un
simple palo, una vela, un número, una letra, una ley…
Y para cada herramienta se crearon técnicas de aplicación, que se fueron
perfeccionando y combinando con otras; entretejiéndolas, y destilando conocimientos y
experiencias hasta obtener conocimiento científico.
Pero además de entregarse a la inconmensurable empresa de reconocer la inmensidad
que la rodea, la humanidad tiene la no menos difícil tarea de entenderse a si misma.
Esa necesidad que tenemos de saber quienes somos, como es el universo, o por que
estamos, es el resultado cognitivo de la propia existencia, y no solo del mero existir.
Este estudio que he realizado, está impregnado de ese deseo de conocer, de la inquietud
de saber.
Lo que aquí presento no es producto de un destello de genialidad, la cual es exclusiva de
algunas mentes privilegiadas, sino del humilde esfuerzo de años de reflexiones.
Escudriñando con perseverancia una situación, un hecho establecido, pero desde otra
perspectiva; sin otra pretensión que la satisfacción interior que produce el conocimiento
de cosas nuevas.
Y aunque no sean nuevas en un sentido absoluto, si lo son para el que las descubre por
si mismo y por primera vez.
Omar O. Sierra.
La Constante de Incremento Proporcional.
Concepto geométrico
(Autor: Omar Osvaldo Sierra)
En la naturaleza y en las cosas hechas por el hombre, existen innumerables situaciones
en que el perímetro de la circunferencia se presenta distribuido de forma racional.
Esta división especial de la circunferencia resulta ser el patrón de infinidad de
estructuras, y es importante tener una herramienta matemática que contemple esta
situación para poder analizarlas desde la perspectiva geométrica en que se presentan.
Utilizaremos un método para racionalizar la medida del diámetro respeto de la
medida del perímetro a fin de obtener una Constante que sirva como instrumento
matemático para calcular radios, diámetros, perímetros, áreas y volúmenes esféricos;
pero desde una perspectiva racional de la distribución del perímetro de la
circunferencia.
Para lograrlo realizaremos el siguiente procedimiento:
Establecemos al diámetro como la unidad de medida, y con esta unidad dividimos al
perímetro, quedando dividido de esta forma: 1ø, 1ø, 1ø, (л -3ø), siendo la medida del
perímetro = л. Esta es una división irracional del perímetro: (Figura 1)
Figura 1
Luego, a la parte (л -3ø) la dividimos en 3 partes iguales (Figura 2), y ordenamos la
división del perímetro de la siguiente forma: 1ø, (л -3ø), 1ø, (л -3ø), 1ø, (л -3ø),
3
3
3
Así la medida de la longitud del perímetro seguirá siendo = л, pero el perímetro
quedará dividido geométricamente de forma regular. (Figura 3)
Figura 2
Figura 3
Luego, si asociamos las partes (л -3ø) a cada uno de los 1ø, el perímetro quedará
3
repartido de la siguiente forma: 1ø + (л -3ø), 1ø + (л -3ø), 1ø + (л -3ø) (Figura 4)
3
3
3
La medida de la longitud del perímetro seguirá siendo = л, pero el perímetro quedará
dividido geométricamente de forma racional.
Figura 4
Ahora bien, si queremos generalizar esta racionalización para aplicarla a cualquier
medida de diámetro hay que conocer la proporción de la parte: (л -3), respecto de 1,
3
Y tenemos que:
1____ = 21,18753991…
[( л -3) ÷3]
[( л -3) ÷3] cabe 21,18753991… veces en la unidad:
Expresión decimal de la Constante
1____ = 21,18753991…
[( л -3) ÷3]
Siguiendo el procedimiento mostrado, podemos incrementar a la unidad en la
21,18753991… parte de si misma, y esta unidad incrementada, entrará un número
racional de veces en el perímetro de su respectiva circunferencia.
El mismo procedimiento se puede aplicar a un radio, a un diámetro, a un radio al
cuadrado o a un radio al cubo, para que sus medidas, al ser incrementadas en la
21,18753991 parte de si mismos, entren un número racional de veces en sus respectivos
perímetros, circunferencias, áreas esféricas o volúmenes esféricos
21,18753991…es una Constante de incremento proporcional, independientemente de
la longitud del diámetro o del radio, que aplicada a su medida, la racionalizará respecto
del perímetro, circunferencia, áreas esférica o volumen esférico
Ley de la función f(x)= Ω
Hay una función con cuya ley, se pueden hallar tantas (n) constantes, como en (x)
cantidad de veces, se quiera considerar dividida a la longitud del perímetro:
____ 1 ____ para los (x) racionales mayores que cero y menores que л,
[(л – x ) ÷ x]
y para los (x) racionales mayores que л hacia infinito es:
1_____
[(x - л) ÷ x]
La gráfica de la función representa a todas las (n) constantes posibles, pero la más
natural es 21,18753991… porque x = 3, es la cantidad natural máxima de veces, que
la longitud del diámetro cabe en la longitud del perímetro. Y es la mas precisa, porque
n = 21,18...es la parte mas pequeña en que queda dividida la unidad, -mas que
cualquiera de las f(x) = (n) constantes, para cualquier (x) natural.
Sin embargo es posible utilizar cualquiera de las constantes de la función, pero
habrá que tener en cuenta que cada constante estará vinculada a ciertos (x)
racionales que intervendrán en las fórmulas.
A la Constante de Incremento Proporcional 21,18753991… la he denominado así
porque 21,18753991…es la parte proporcional a la medida de: (un radio, radio al
cuadrado, radio al cubo, o diámetro) que debe incrementársele, para que esa medida
radial o diametral incrementada, quede racionalizada para con sus respectivos
(perímetro, círculo, área esférica, o volumen esférico).
Esta constante es de Incremento, no es de proporcionalidad directa como л, opera de
otra forma, con otras fórmulas y el desarrollo matemático se aborda desde otra
perspectiva geométrica.
Tiene una función opuesta al incremento en 21,18753991..., que es el decremento en
(21,18753991…+ 1), es decir en 22,18753991.
Esto es así por como operan el incremento y el decremento.
Debido al sistema de posicionamiento numérico del sistema decimal, en donde la
posición de cada dígito representa una cierta cantidad de unidades de cada orden,
y, el hecho de solo poder utilizar una parte de la sucesión de los dígitos de л, o de la
constante de incremento proporcional, los resultados obtenidos cuando se utiliza
esta constante son iguales a los de л hasta ciertos órdenes, dependiendo de la cantidad
de dígitos de л y de la constante utilizados.
Luego hay una divergencia, en donde los resultados obtenidos con la constante de
incremento proporcional son expresados de forma más precisa que los de л, porque esta
constante está definida en 2 órdenes más pequeños que la unidad, y es 66,5 veces más
pequeña que л.
En un principio, cuando calculé el valor de esta constante por primera vez, lo hice
basándome en el valor conocido de л, por lo que pensé que su precisión dependía del
número л, pero luego advertí que no es absolutamente necesario obtener el valor de la
Constante, de la relación (diámetro – perímetro), sino que el valor de la constante de
incremento proporcional también está presente En el Cociente entre (el ángulo
formado por el radio tendido como arco) y (el ángulo diferencia entre el radio tendido
como cuerda y el radio tendido como arco).
Grafica de la función f(x)= Ω
La Constante de Incremento Proporcional calculada en función del número Л es
1÷ {(Л- 3) ÷3} = 21,18753991779…
Expresión trigonométrica de la Constante
El valor numérico de la constante de incremento proporcional, también se puede
obtener mediante la proporcionalidad que existe entre los ángulos formados por:
el radio tendido como cuerda, y el radio tendido como arco.
A estos ángulos cuyos vértices están en el centro de la circunferencia, llamaremos:
α : al ángulo formado con los extremos del radio tendido como cuerda
γ : al ángulo formado con los extremos del radio tendido como arco
δ : al ángulo diferencia entre α y γ, es decir: (α menos γ).
El ángulo α =
2 . Arc sen 1
2
El ángulo γ =
Limite 2ⁿ . Arc sen 1 = 57º 17´ 44,81…”
n→∞
2ⁿ
(n = n° Nat.>1)
El ángulo δ = Limite
n→∞
= 60º
2 . Arc sen 1 _
2
2ⁿ . Arc sen 1
2ⁿ
(n = n° Nat.>1)

El resultado del cociente entre γ y δ es Constante,
Para toda longitud de radio.

Expresión trigonométrica de la Constante de Incremento Proporcional:
2ⁿ . Arc sen 1
Limite ______________ 2ⁿ_______ __ = 21,18753991…
Aplicaciones
constante
n→∞ de
2 . laArc
sen 1 de
_ incremento
2ⁿ . Arc senproporcional
1
2
2ⁿ
El valor numérico decimal
(n = n° Nat.>1)
Expresión decimal de la Constante de Incremento Proporcional:
21,187539917793137309379015457711674128202930075436594001994950620667…
Expresión decimal de la Constante de Incremento Proporcional
calculada a 1.000 dígitos:
21.18753991779313730937901545771167412820293007543659400199495062066771
0012740168250511932427748731842946623417552555942278115974612166662143
3900329496990146131029480979968213810571102918101033872814164703582075
2607686420634136321344399768837379810599692008276035179862998010853710
2242162267923122637859462136040839899333896147186301552122626180390939
4967061727644362131887850058081826642703165323726387831245182222582166
8659194534967571797705972293983583104750679211072981753196243134512439
9810015378137017050856224150562998949256654339907203606466924292701463
3441084185103340869657962602443052629969925081583159531865859723226657
5813728002245826948497831301573091879932896000963235839900421637322095
6302183818044243419960321970217103585492471593812960810846818194357884
0722696906039129248486555342852340504648518820715573327735906067439964
4626562767811570843799427837310651170163695003120430799696308515561150
3964305375486094042419055892054678028273369389940231365414548744015806
74225465300751781389…
Es un número irracional no periódico. Esta constante Ω es 21,1…veces más pequeña
que la unidad, y 66,5… veces más pequeña que Л.
Aplicaciones de la Constante de Incremento Proporcional
Esta constante sirve para calcular cualquier cosa que se pueda calcular con el número л,
utilizando el incremento proporcional en lugar de utilizar la proporcionalidad directa.
Este método ofrece una perspectiva totalmente distinta y revela aspectos de las
ecuaciones que pasan inadvertidas cuando se utiliza la proporcionalidad directa.
Esta Constante tiene un efecto racionalizante sobre las medidas:
Cuando se incrementa la medida del radio o del diámetro en el valor de la constante, su
tamaño quedará racionalizado respecto de su perímetro, circunferencia, superficie
esférica o volumen esférico.
De modo opuesto, si a la medida de un perímetro, circunferencia, superficie esférica o
volumen esférico, se le realiza un decremento en la 22,1… parte de si misma, su medida
quedará racionalizada respecto de la medida de su diámetro, radio, radio² o radio³.
La Constante de Incremento Proporcional está definida en el orden de las centésimas de
unidad, con lo cual los resultados que se obtienen al aplicarla son muy precisos, aún
utilizando pocos decimales.
El método y las fórmulas que utilizan la Constante de Incremento Proporcional es un
confiable verificador del método y fórmulas que utilizan л.
Las aplicaciones de la Constante de Incremento Proporcional son innumerables, puesto
que es una contante de proporcionalidad aplicable a las ciencias básicas.
Fórmulas expresadas mediante
la Constante de Incremento Proporcional
Pi
(1 ∆ Ω) x 3
Perímetro de la circunferencia
(Ø ∆ Ω) x 3
Perímetro de la circunferencia
(r ∆ Ω) x 6
Diámetro de la circunferencia
(Per. -∆ Ω +1) ÷ 3
Radio de la circunferencia
(Per. -∆ Ω +1) ÷ 6
Superficie de la circunferencia
(r ² ∆ Ω) x 3
_____________________
√ (Sup. Circ. -∆ Ω +1) ÷ 3
Radio de la circunferencia
Superficie de la esfera
Radio de la esfera
Volumen de la esfera
(r ² ∆ Ω) x 12
_____________________
√ (Sup. Esf. -∆ Ω +1) ÷ 12
Radio de la esfera
(r ³ ∆ Ω) x 4
____________________
³√ (Vol. Esf. -∆ Ω +1) ÷ 4
Volumen sector esférico
(r ² ∆ Ω) x 2 altura del sector
Volumen del huso esférico
Volumen del cono
(r ³ ∆ Ω) x Áng. Central en grados
90
(r ² ∆ Ω) x h
Radio del cono
______________________
√ (Vol. Cono -∆ Ω +1) ÷ h
Longitud de arco de circunferencia
Período pendular
Sumatoria de los cuadrados inversos
∞
∑ (1 + 1/2² + 1/3² + 1/4²+…..+ 1/n²)
n=1
(r ∆ Ω) x Áng. Central en grados
60
_________
6 x (√ long. ÷ G.) ∆ Ω
=
[(1+ 1/2) ΔΩ)] ΔΩ
Potencias de π
(1 Δⁿ Ω) x 3ⁿ = πⁿ
(Δⁿ Ω) significa n veces incrementado en la Constante de incremento Proporcional
Algunos ejemplos numéricos
De la aplicación de la Constante
Pi = (1 ∆ Ω) x 3
[1 + (1÷ 21.18753991…)] x 3 = 3,141592653…
•••••
Perímetro de la circunferencia = (Ø ∆ Ω) x 3
Ejemplo: Ø = 1
(1 ∆ Ω) x 3 = [1 + (1÷ 21.18753991…)] x 3 = 3,141592653…
•••••
Perímetro de la circunferencia = (r ∆ Ω) x 6
Ejemplo: r = 0,5
(r ∆ Ω) x 6 = [0,5 + (0,5 ÷ 21,18753991…)] x 6 = 3,141592653…
•••••
Diámetro de la circunferencia = (Per. -∆ Ω +1) ÷ 3
Ejemplo: Perímetro = 3,141592654
(Per. -∆ Ω +1) ÷ 3 = [3,141592654 – (3,141592654 ÷ 22,18753991…)] ÷ 3 = 1
•••••
Radio de la circunferencia = (Per. -∆ Ω +1) ÷ 6
Ejemplo: Perímetro = 3,141592654
(Per. -∆ Ω +1) ÷ 6 = [3,141592654 – (3,141592654 ÷ 22,18753991…)] ÷ 6 = 0,5
•••••
Superficie de la circunferencia = (r ² ∆ Ω) x 3
Ejemplo: r = 0,5
(r ² ∆ Ω) x 3 = [0,5² + (0,5² ÷ 21,18753991…)] x 3 = 0,785398163
•••••
_____________________
Radio de la circunferencia = √ (Sup. Circ. -∆ Ω +1) ÷ 3
Ejemplo: Superficie de la circunferencia = 0,785398163
_____________________
√ (Sup. Circ. -∆ Ω +1) ÷ 3 =
____________________________________________
√ [0,785398163 – (0,785398163 ÷ 22,18753991…)] ÷ 3 = 0,5
•••••
Superficie de la esfera = (r ² ∆ Ω) x 12
Ejemplo r = 0,5
(r ² ∆ Ω) x 12 = [0,5² + (0,5² ÷ 21,18753991…)] x 12 = 3,141592654
•••••
_____________________
Radio de la esfera = √ (Sup. Esf. -∆ Ω +1) ÷ 12
Ejemplo: Superficie de la esfera = 3,141592654
_____________________
√ (Sup. Esf. -∆ Ω +1) ÷ 12 =
_____________________________________________
√ [3,141592654 – (3,141592654 ÷ 22,18753991…)] ÷12 = 0,5
•••••
Volumen de la esfera = (r ³ ∆ Ω) x 4
Ejemplo r = 0,5
(r ³ ∆ Ω) x 12 = [0,5³ + (0,5³ ÷ 21,18753991…)] x 4 = 0,523598775
•••••
___________________
Radio de la esfera = ³√ (Vol. Esf. -∆ Ω +1) ÷ 4
Ejemplo: Volumen de la esfera = 0,523598775
__________________________________________
³√ [0,523598775 – (0,523598775 ÷ 22,18753991) ÷ 4] = 0,5
•••••
Volumen sector esférico = (r ² ∆ Ω) x 2 altura del sector
Ejemplo: r = 7 altura del sector = 3,5
(r ² ∆ Ω) x 2 altura del sector =
[7² + (7² ÷ 21,18753991…)] x 2 x 3,5 = 359,1887601
•••••
Volumen del huso esférico = (r ³ ∆ Ω) x Áng. Central en grados
90
Ejemplo r = 5
Áng. Central en grados = 60º
(r ³ ∆ Ω) x Áng. Central =
90
[5³ + (5³ ÷ 21,18753991…)] x 60º = 87,2664626
90
•••••
Volumen del cono = (r ² ∆ Ω) x h
Ejemplo r = 6
h=9
(r ² ∆ Ω) x h = [6² + (6² ÷ 21,18753991…)] x 9 = 339,2920066
•••••
______________________
Radio del cono = √ (Vol. Cono -∆ Ω +1) ÷ h
Ejemplo: Volumen = 339,2920066
h=9
______________________
√ (Vol. Cono -∆ Ω +1) ÷ h =
__________________________________________
√ [339,2920066 - (339,2920066 ÷ 22,18753991)] ÷ 9 = 6
•••••
Longitud de arco de circunferencia = (r ∆ Ω) x Áng. Central en grados
60
Ejemplo: r = 25
Áng. Central en grados = 30º
(r ∆ Ω) x Áng. Central en grados =
60
[25 + (25 ÷ 21,18753991…)] x 30º = 13,08996939
60
•••••
_________
Período pendular = 6 x (√ long. ÷ G.) ∆ Ω
Ejemplo: longitud péndulo = 50
_________
6 x (√ long. ÷ G.) ∆ Ω =
________
________
6 x [(√ 50 ÷ 9,81.) + (√ 50 ÷ 9,81.) ÷ 21,18753991)] = 14,18503354
•••••
Aplicación de la constante de incremento proporcional al Radian
Si aplicamos la constante de incremento proporcional, a la longitud del radio,
obtenemos una medida tal que cabe (6) veces en el perímetro de la circunferencia.
Del mismo modo si a la medida angular en grados del radián le aplicamos la
constante de incremento proporcional, obtendremos una medida angular que entra
(6) veces en los 360° de la circunferencia.
1 radián = 57° 17’ 44,81’’
→
(1 radián ∆ Ω)
=
60°
(57° 17’ 44,81’’ + 57° 17’ 44,81’’) = (57° 17’ 44,81’’ + 2° 42’ 15,19’’) = 60°
21,18753991…
Valor en grados sexagesimales
Del radián incrementado en Ω, y su valor en Л:
(Radián ∆ Ω) x 0,5
=
30°
Л /6 rad
(Radián ∆ Ω) x 0,75
=
45°
Л /4 rad
(Radián ∆ Ω) x 1
=
60°
Л /3 rad
(Radián ∆ Ω) x 1,5
=
90°
Л /2 rad
(Radián ∆ Ω) x 2
=
120°
2 /3 Л rad
(Radián ∆ Ω) x 2,5
=
150°
5/6 Л rad
(Radián ∆ Ω) x 3
=
180°
Л rad
(Radián ∆ Ω) x 3,5
=
210°
7 /6 Л rad
(Radián ∆ Ω) x 4
=
240°
4 /3 Л rad
(Radián ∆ Ω) x 4,5
=
270°
3 /2 Л rad
(Radián ∆ Ω) x 5
=
300°
5 /3 Л rad
(Radián ∆ Ω) x 5,5
=
330°
11 /6 Л rad
(Radián ∆ Ω) x 6
=
360°
2Л rad
Aplicación de la constante de incremento proporcional
Al Estereorradián
Aplicando la Constante de incremento proporcional al ángulo sólido estéreo radián:
Si a la unidad (r ²), le aplicamos la constante de incremento proporcional,
obtendremos una medida que entrará 12 veces en la superficie de la esfera.
(r ² +
r²
) = 1 superficie de la esfera
21,18753991…
12
(1² +
1²
) = 4л
21,18753991…
12
= 1 superficie de la esfera
12
El estereorradián es un ángulo sólido que intersecta en la superficie de la esfera, una
superficie igual a radio al cuadrado (r ²).
Como la superficie de la esfera es 4Л x r ², en una esfera caben 4Л estéreo radianes, lo
que equivale a: 12,56637061 estéreo radianes, la cual es una cantidad irracional de
veces.
(r ² + r ² ) x 12 =
Ω
superficie de la esfera
Superficie de la esfera =
12
(r²+ r²)
Ω
=
(r ² ∆ Ω)
Aplicando la Constante de incremento proporcional al estéreo radián:
(estéreo radián ∆ Ω), obtenemos una unidad que cabe 12 veces en la esfera.
De este modo obtenemos un ángulo sólido, (estéreo radián ∆ Ω), que intersecta en la
superficie de la esfera una superficie = (radio ² ∆ Ω), este ángulo sólido entra 12
veces justas en la esfera.
_____________________
-El diámetro, el radio, el radio², el radio³, el radián, y el estereorradián-, son
unidades que entran en: -el perímetro, la superficie, o el volumen de: -la
circunferencia, el círculo o la esfera-, una cantidad irracional de veces.
Al aplicarles la Constante de incremento proporcional, esas unidades quedan
racionalizadas y entran una cantidad racional de veces.
La transformación inicial de estas unidades cambia la estructura de las fórmulas,
las hace más simples, y fáciles de comprender, y revelan aspectos de la relación entre
las variables que desde otra perspectiva no se aprecian.
En la práctica, cuando las ecuaciones son aplicadas a los fenómenos de la naturaleza, se
tiene una perspectiva de la interacción entre las variables, diferente y a la vez
complementaria, de la perspectiva que tenemos con Л.
Como transformar una fórmula con л
en una fórmula con la Constante de Incremento Proporcional
La forma mas sencilla es reemplazar л por la expresión (1 ∆ Ω) x 3
Ejemplo:
Volumen de la esfera
=
4 x л x radio ³ =
3
4 x (1 ∆ Ω) x 3 x radio ³ =
3
4 x (1 ∆ Ω) x radio ³ =
4 x (radio ³ ∆ Ω) =
(radio ³ ∆ Ω) x 4 = Volumen de la esfera
Las propiedades matemáticas del incremento permiten que la fórmula pueda ser
expresada de varias formas, y cada forma de expresión, presenta un desarrollo
geométrico diferente, que revela una visión particular de la relación proporcional
entre las variables que la componen.
Ejemplo:
(radio ³ ∆ Ω) x 4 =
(4 ∆ Ω) x radio ³ =
(4 radio ³ ) ∆ Ω
Aplicación de la Constante de incremento Proporcional
El Problema de Basilea
El Problema de Basilea es un famoso problema de teoría de números, planteado por
primera vez por Pietro Mengoli, y resuelto por Leonhard Euler en 1735…
El problema de Basilea consiste en encontrar la suma exacta de los inversos de los
cuadrados de los enteros positivos, esto es, la suma exacta de la serie infinita:
∞
∑
(1 + 1/2² + 1/3² + 1/4²+…..+ 1/n²)
n=1
Numéricamente, se puede obtener que la serie sea aproximadamente igual a 1,644934…
Sin embargo, el problema de Basilea busca la suma exacta de la serie, de forma cerrada,
así como una demostración de que dicha suma es correcta. Euler encontró que la suma
exacta era π ² y anunció su descubrimiento en 1735… (Información de Wikipedia)
6
El número 1,644934... y la constante de incremento Proporcional
Se puede obtener el resultado numérico: 1,644934... , aplicando la constante de
incremento proporcional al número π.
Es de suma importancia recordar que π es la longitud del perímetro de una
circunferencia de diámetro =1.
De modo que π es la longitud de arco de la semicircunferencia de diámetro =1.
2
Luego:
La longitud de arco de la semicircunferencia, incrementada en la Constante de
Incremento Proporcional = (π ΔΩ) = 1,644934...
2
También se puede expresar la suma exacta de los inversos de los cuadrados de los
enteros positivos sin utilizar π, utilizando solo la Constante de Incremento
Proporcional.
∞
∑
(1 + 1/2² + 1/3² + 1/4²+…..+ 1/n²) = (3/2) Δ²Ω
n=1
(Δ²Ω significa 2 veces incrementado en la constante)
Es decir:
[(1+ 1/2) ΔΩ)]ΔΩ =
(1+ 1/2) Δ²Ω
=
(3/2) Δ²Ω = 1,644934...
Ejemplos de la precisión de cálculo de la
Constante de incremento proporcional con respecto a Л.
Aplicación del incremento en 21,18753991…
Si la longitud del diámetro de una circunferencia mide 1.000 mm., el perímetro de la
misma mide 3.141,592653…mm. Si la dividimos en 360°, tendrá en total 1.296.000”
segundos, y cada segundo medirá un arco de 0.002424068406 mm.
Supongamos que una línea recta (a) tiene el origen en el centro de la circunferencia y
sale de la circunferencia con un ángulo de elevación de 11° respecto del eje (x).
Como 11° son 39600”segundos, la longitud del arco de la circunferencia desde el eje
(x) hasta la intersección con (a) mide 95,99310888 mm.
Este es el resultado del cálculo realizado utilizando Л a 9 cifras después de la coma.
Para comparar el nivel de precisión, realicemos el mismo cálculo de 11° para una recta
(b), pero utilizando Л a 4 cifras después de la coma.
El resultado indica que el perímetro de la circunferencia mide = 3.141,5 mm., y cada
segundo mide 0,002423996914 mm.
Como 11° son 39600”segundos, la longitud del arco desde el eje (x) hasta la
intersección con (b) mide 95,99027779 mm.
Para comparar también el nivel de precisión, realicemos el mismo cálculo de 11° para
una recta (c), pero utilizando Ω a 4 cifras después de la coma.
El resultado indica que el perímetro de la circunferencia mide 3.141,59292 mm.
y cada segundo mide 0,002424068611 mm.
Como 11° son 39600”segundos, la longitud del arco desde el eje (x) hasta la
intersección con (c) mide 95,993117 mm.
La diferencia entre los resultados realizados con Л a 9 cifras después de la coma,
Л a 4 cifras después de la coma, y Ω a 4 cifras después de la coma, es el siguiente:
Para Л a 9 cifras – 11° son 95,99310888 mm.
Para Л a 4 cifras – 11° son 95,99027779 mm.
Para Ω a 4 cifras – 11° son 95,993117 mm.
Л a 9 cifras es la recta (a), y Л a 4 cifras es la recta (b).
La desviación en mm. entre (a) y (b) es de (- 0,00283 mm.), es decir que (b) tiene
una desviación angular de: 1,168” segundos hacia abajo de (a).
Л a 9 cifras es la recta (a), y Ω a 4 cifras es la recta (c).
La desviación en mm. entre (a) y (c) es de:(+ 0,00000812 mm.), es decir que (c) tiene
una desviación angular de: 0,00335” segundos hacia arriba de (a).
Utilizando trigonometría se calcula la distancia métrica que produce una desviación
angular de 1,168” segundo con respecto a la trayectoria original, y la que produce
una desviación angular de 0,00335” segundo:
Por ejemplo, en una distancia de 300 Km., una apertura angular de 1,168 segundo
produce una desviación en la trayectoria de la recta (b) con respecto a la recta (a) de
-1.698, 78 mm. Mientras que una apertura angular de 0,00335 segundo, produce una
desviación en la trayectoria de la recta (c) con respecto a la recta (a) de +4, 87 mm.
Este nivel de precisión significa una desviación de la recta (b) 348,8 veces mayor con
respecto a la recta (a) que la desviación de la recta (c) con respecto a la recta (a).
Es decir que la diferencia de precisión entre el cálculo con Ω y el cálculo con Л
utilizando una misma cantidad de dígitos después de la coma fue de 2,3 órdenes de 10.
Esto sucede porque Ω es 66,5 veces más pequeña que Л.
La Constante de incremento proporcional
Aplicada a Sistemas de Representación
Propagación de Emisiones
Una emisión, se mide en función de: la distancia radial desde el foco emisor hasta
la proyección, y el área esférica proyectada por la emisión.
Para medir la intensidad de una emisión se utiliza la ley cuadrática inversa.
El concepto utilizado proviene del Estereo radián: ángulo sólido cuya apertura angular
tridimensional, es como una pirámide cuadrada que proyecta su base sobre la superficie
esférica, con un área de proyección igual a la distancia radial al cuadrado.
La relación constante del Estereo radián: distancia radial = Radio, área esférica =
Radio ², determina que la superficie esférica total proyectada, a distancia radial “R”,
será: 4Л x R².
La constante de proporcionalidad directa que vincula al radio con el área es Л.
Este concepto, desde la perspectiva numérica de la proporcionalidad entre radio y
superficie, es muy útil para calcular la intensidad de la emisión en un área R², pero
geométricamente tiene un inconveniente:
El Radio ² es un área que no cabe un número racional de veces en la superficie de una
esfera, y la forma de los cuadrados convexos que forman un área Radio x Radio, no se
adaptan entre si para hacer un mapa de secciones iguales y contiguas de la totalidad
de la superficie esférica.
Representación de superficies
R² a distancias 1r, 2r, 3r.
1r→ ( r )² → 1 r ² → Л/3 Sup. Esfera
2r→ ( 2 r )² → 4 r ² → Л/3 Sup. Esfera
3r→ ( 3 r )² → 9 r ² → Л/3 Sup. Esfera
Esta representación gráfica de proyección cuadrada cóncava, no es posible dibujarla
simultáneamente sobre toda la superficie de la esfera.
Porque una superficie con forma cuadrada cóncava = R², solo cabe 10 veces en la
superficie de la esfera, y quedan sobrando 4 husos esféricos dentro de los cuales no se
puede dibujar un cuadrado cóncavo de lado = R.
Ante la imposibilidad de graficar la totalidad de la superficie esférica dividida en
unidades cuadradas, se recurre al cálculo infinitesimal pero sin representación gráfica.
Aplicando la Constante de incremento Proporcional al R², esta medida se racionaliza
respecto de la superficie total de la esfera de proyección y posibilita una forma para
dibujar esta superficie divida en 12 áreas iguales.
Ejemplo de representación de áreas esféricas cuadradas
Incrementadas en la constante: (Radio ² Δ Ω)
Representación de superficies
(Radio ²) Δ Ω a distancia 1r, 2r, 3r.
1r→ (r)² Δ Ω → (1r²) Δ Ω → 1/12 Sup. Esfera
2r→ (2r)² Δ Ω → (4r²) Δ Ω → 1/12 Sup. Esfera
3r→ (3r)² Δ Ω → (9r)² Δ Ω → 1/12 Sup. Esfera
Cada área cuadrada = R² incrementada en la constante, entra 12 veces justas en la
superficie total de la esfera correspondiente a ese radio.
Y aunque no se puedan dibujar 12 cuadrados que cubran toda la superficie, si se pueden
dibujar 12 pentágonos regulares; cada uno de esos pentágonos mide (r)² Δ Ω.
A continuación analizaremos esta perspectiva y sus posibilidades de aplicación:
Propagación de Emisiones
Existe un problema con la representación de las proyecciones de las emisiones. Por lo
general las emisiones no son iguales ni uniformes en todas las direcciones, y varían
de acuerdo con la forma del emisor, su movimiento y su posición relativa,
la capacidad de transmisión del medio de propagación, y los obstáculos o
interferencias con que se encuentre la emisión.
Diversas formas de propagación de emisiones
Estas ilustraciones son algunos ejemplos de la propagación de emisiones; obsérvese
que no todas son uniformes, por lo tanto la medición de la propagación, en un radio
o área determinados, no debe ser generalizada a toda la esfera de proyección.
Mediante la racionalización de las unidades rectilíneas, para que entren una
cantidad natural de veces en las curvas generadas por radios, podemos hacer un
mapa tridimensional dinámico de la evolución de este tipo de fenómenos.
Basándonos en la estructura del dodecaedro regular y la esfera que lo circunscribe, se
puede establecer un sistema de referencia en torno al emisor, en donde la superficie
de la esfera que lo contiene, quede dividida en 12 sectores pentagonales convexos
iguales. De ese modo aplicar la ley cuadrática inversa teniendo como área de
proyección esos pentágonos convexos, que tienen la propiedad geométrica de adaptarse
a la curvatura de todo el espacio esférico en torno del foco emisor.
Si analizamos la fórmula de la superficie esférica que utiliza la Constante de
incremento proporcional: (Radio ² Δ Ω) x 12, observaremos que la fórmula tiene una
estructura dodecaédrica, en donde:
* El área (Radio ² Δ Ω) cabe 12 veces justas en la superficie esférica.
* El área (Radio ² Δ Ω) es una sección esférica pentagonal convexa.
* Esa sección es la 1/12 parte del área esférica.
* El ángulo sólido (Estereo Radián Δ Ω) que intersecta esa área esférica, es una
porción de esfera, con forma de pirámide de base pentagonal convexa.
* Cada ángulo sólido mide la 1/12 parte del volumen esférico y se proyectan
espacialmente, centrados en 6 ejes simétricos.
* La proporcionalidad existente entre (el radio Δ Ω) y la proyección de estos ángulos
sólidos sobre la superficie esférica, es constante.
* La división del volumen esférico y del área esférica es simétrica y racional.
* La constante que vincula racionalmente al Radio, con la superficie curva de
proyección, es la Constante de incremento proporcional.
Para que sirve racionalizar el Radio² con respecto a la superficie esférica:
La ventaja de este sistema de representación geométrica, es que una vez establecida la
orientación espacial de sus ejes, es fácil determinar una posición relativa, dentro y fuera
del sistema de referencia establecido, además de fácil interpretación visual, es buen
método para captar, registrar y evaluar la evolución de datos.
Basándonos en la división racional de la esfera en 12 secciones, y en la
proporcionalidad constante entre el Radio, y la superficie curva de proyección
(Radio ² Δ Ω), se puede construir un sistema de referencia fijo, con origen en el
emisor, y aplicar la ley cuadrática inversa para realizar una secuencia de mapas
tetra dimensionales (espacio-tiempo) de la evolución de la propagación de la
emisión.
Es factible construir un programa informático, al que ingresándole datos, o información
captada por sensores, muestre una secuencia de mapas, que permitan analizar como si
fuese una tomografía, capa por capa y sección por sección, la evolución (espaciotemporal) de la proyección de la emisión.
A medida que aumenta el radio, cada esfera concéntrica, es un mapa tetra
dimensional de la proyección de la emisión, correspondiente a cada variación de
tiempo.
Esto hace posible analizar de forma localizada o general el mapa tetra dimensional,
obteniéndose mapas de la evolución de la emisión en cada instante, y a cada distancia
radial del foco de emisión.
Esto sirve para analizar sistemáticamente el comportamiento de una emisión,
almacenar datos, y predecir la evolución futura de la propagación de la emisión.
Además posibilita clasificar las emisiones de forma estandarizada, compararlas con
otras, determinar cuales son las zonas de emisión y propagación máxima, mínima o
nula, predecir el tiempo en que una zona será alcanzada por una emisión o no, o hacia
que zonas evolucionara la emisión en tal lapso de tiempo.
Esto es aplicable al estudio de todo tipo de emisiones: propagación de ondas
electromagnéticas (luz, calor, radiaciones), ondas mecánicas (sonido, olas, tsunamis,
vibraciones, terremotos), reacciones nucleares (explosiones o emisiones radioactivas),
multiplicación de bacterias, emanaciones atmosféricas (contaminaciones por emisión de
gases, nubes volcánicas), observaciones astronómicas (emisiones estelares) etc.
Para todos estos casos, es de suma importancia establecer sistemas de referencias
claros, tanto en el emisor como en el receptor, porque conociendo las variables
intervinientes, se puede determinar rápidamente y con precisión la evolución del
fenómeno.
Representación del concepto de sistema de referencia racional en torno al emisor.
(Esta representación simple de una
emisión, muestra el concepto). Una
representación virtual computarizada
sería dinámica, con esferas de
pentágonos convexos en evolución
progresiva y regresiva, con giros en
3D, de acuerdo a la orientación de los
6 ejes de simetría del dodecaedro, y
con zoom de la observación localizada
de cada zona pentagonal.
Las áreas (a) de intersección de la
emisión,
en las secciones pentagonales (1, 2,
3,…12)
revelarían la superficie de proyección
(a),
la intensidad (i ),
la densidad (d),
y la posición (e), de la emisión.
Ubicadas a una distancia radial (R) del emisor,
y vinculada a una escala de tiempo, para cada instante (t),
pudiendo así determinar: la velocidad, área, intensidad, densidad, posición, y dirección
de la propagación. Además estas imágenes manejadas con zoom permitirían un análisis
preciso de la evolución espacio-tiempo de la propagación de una emisión.
Como he dicho antes un sistema de representación gráfica basado en proyecciones
cuadradas cóncavas no permite mapear la totalidad de la superficie, porque la
geometría del cuadrado cóncavo no se adapta a la totalidad de la superficie esférica.
Aun así, si quisiéramos calcular la densidad de una emisión aplicando la ley
cuadrática inversa, utilizando un área de forma cuadrada, se puede incrementar el
Radio ² en el valor de la Constante de Incremento Proporcional: (Radio ² Δ Ω),
Ejemplos de aplicación de la Constante de incremento proporcional
Estructuras atómicas
Ejemplo del Sistema Cúbico Simple
Explicación:
Se denomina Factor de empaquetamiento atómico a la fracción de esferas sólidas en
una celda unidad.
Factor de empaquetamiento atómico = Volumen de átomos en la celda unidad
Volumen de la celda unidad
Factor de empaquetamiento atómico = n x 4/3 Л x r³
a³
Donde:
n = número de átomos
4/3 Л x r³ = volumen del átomo
a³ = Volumen de la celda unidad
En el sistema cúbico simple, n = 1 y a = r
Cada celda unidad contiene 8/8 de átomos, 1/8 en cada vértice de la celda, lo que
equivale al volumen de 1 átomo por celda unidad.
Como la arista de la celda unidad: a, = 2r de la esfera, los 8/8 equivalen al volumen
de una esfera inscrita en el cubo de la celda unidad.
Desde esta perspectiva podemos obtener la siguiente conclusión:
El factor de empaquetamiento = volumen de la esfera inscrita = 0,52359…
Atómico cúbico simple
volumen del cubo circunscrito
__________________________
Analicemos que sucede si reemplazamos la fórmula de la esfera que usa Л:
4/3 Л x r³
a³
Por la fórmula de la esfera que usa la Constante de incremento proporcional:
(r³ Δ Ω) x 4
a³
Como: arista = 2radios
entonces
(r³ Δ Ω) x 4
a³
=
(r³ Δ Ω) x 4
(2 r)³
Luego, la expresión:
(r³ Δ Ω) x 4 = (r³ x 4) Δ Ω = volumen de la esfera inscrita
Por otra parte:
(r³ x 4)
=
(2 r)³ =
2
a³ =
2
volumen del cubo circunscrito
2
Entonces si:
(r³ x 4)
=
volumen del cubo circunscrito
2
Significa que:
(r³ x 4) Δ Ω = (volumen del cubo circunscrito) Δ Ω = volumen de la esfera inscrita
2
Entonces:
El volumen de la esfera inscrita = (volumen del cubo circunscrito) Δ Ω
2
Conclusión:
Como el volumen de la esfera es el volumen atómico, y el volumen del cubo es el
volumen de la celda unidad, en el empaquetamiento atómico cúbico simple:
El volumen del átomo = (1/2 Volumen de la celda unidad) Δ Ω
El volumen de la celda unidad = (2 Volumen del átomo) –Δ Ω+1
También podemos definir el coeficiente del factor de empaquetamiento atómico
cúbico simple de las siguientes formas:
1)
Factor de empaquetamiento atómico cúbico simple
Solo en función de la celda unidad =
(1/2 Volumen de la celda unidad) Δ Ω = 0,52359…
Volumen de la celda unidad
2)
Factor de empaquetamiento atómico cúbico simple
Solo en función del volumen del átomo =
1/2 Volumen del átomo___
(Volumen del átomo –Δ Ω+1)
= 0,52359
Este es solo un ejemplo de cómo cuando se utiliza la Constante de Incremento
Proporcional, se aprecia la proporcionalidad entre algunos elementos que de otro modo
hubiese pasado inadvertida.
La distribución racional de las curvaturas generadas por radios esta presente en
muchas estructuras inertes, en la materia orgánica, y en las construidas por los seres
vivos. Conocer las proporcionalidades que las rigen, es conocer una parte importante de
su organización estructural, lo cual puede tener aplicaciones tecnológicas y científicas.
Ejemplos de aplicación de la Constante de incremento proporcional
Ejemplo del Fullereno
Explicación:
La fórmula de la superficie esférica que utiliza la constante de incremento
proporcional es: (radio² incrementado en la constante) x 12 es decir (r² Δ Ω) x 12
La fórmula (r² Δ Ω) x 12, considera una distribución racional de la superficie de la
esfera que es compatible con la organización de las estructuras atómicas dodecaédricas.
El dodecaedro regular es una estructura
geométrica de 12 lados pentagonales.
La esfera que circunscribe al dodecaedro está
en contacto con cada uno de los vértices de
los pentágonos, quedando la superficie
esférica dividida en 12 sectores pentagonales convexos iguales.
El área de cada sector esférico: es igual a la proyección de la cara del dodecaedro
sobre la superficie de la esfera circunscripta, teniendo como foco de proyección el
centro de ambos cuerpos. El radio de la esfera circunscripta es igual a la distancia del
centro del dodecaedro a los vértices de las caras.
Por la fórmula: (r² Δ Ω) x 12 = sup. Esfera deducimos sin necesidad de cálculos que:
el sector esférico delimitado por los vértices de 1 cara del dodecaedro = (r² Δ Ω).
La estructura del Fullereno C 20 es un ejemplo
de este tipo de distribución geométrica.
Los 20 átomos que forman la estructura del
C 20, son equidistantes y constituyen los
vértices que forman las12 caras de un
dodecaedro regular.
El sector esférico delimitado por los 5
átomos que forman una cara de la molécula
del C 20,
Tiene una superficie que es igual al radio
máximo de la molécula, elevado al cuadrado,
e incrementado en el valor de la constante de
incremento proporcional:
El sector esférico delimitado por los 5 átomos de 1 cara del C 20 = (r² Δ Ω).
Esquema de distribución racional
centrada en los pentágonos
La estructura del C 60.
Los 60 átomos de carbono forman un
poliedro de 32 caras: 20 hexágonos y 12
pentágonos con los átomos situados en
los vértices de estos polígonos.
El radio máximo del C 60 coincide con
el radio de la esfera que lo circunscribe,
y todos los átomos están en contacto con
la superficie de la misma.
La fórmula (r²ΔΩ) x 12 divide a la
superficie de la esfera en 12 áreas
iguales, cuyas áreas son pentágonos
convexos que miden: (r²ΔΩ).
Como la molécula del C60 tiene 60
átomos, tiene una distribución -no
regular pero uniforme-, de 12 grupos,
de 5 átomos.
Este es el patrón de distribución de los
átomos del C60: Tiene 5 átomos por
cada (r²ΔΩ) de la esfera circunscripta.
Estos suman 12 pentágonos atómicos
equidistantes distribuidos en la
superficie esfera circunscripta, con 2 pentágonos opuestos centrados en cada eje de
simetría siguiendo el mismo patrón geométrico de la formula (r²Δ Ω) x 12 =
superficie de la esfera.
Desarrollo bidimensional del área del Fullereno C60
Tomando como centros de
simetría los centros de los
12 pentágonos convexos de
superficie (r²ΔΩ), podemos
obtener un desarrollo
bidimensional de la superficie
total del C60 mediante el
ordenamiento planar de 60
unidades de superficie iguales,
cada superficie es la suma de
1/5 de pentágono + 1/3 de
hexágono.
El desarrollo bidimensional está coloreado para
mostrar como ensamblar el área total del C60.
La unión de los ángulos de los triángulos blancos
de contorno negro forma los 12 pentágonos del C60, y por los centros de las uniones
pasan los 12 ejes de simetría de la molécula del Fullereno C60.
Y por la unión de los rombos de colores iguales, se van formando los 20 hexágonos.
Lo que hace posible que la estructura sea tridimensional, es que los triángulos y los
rombos, de cada unidad de superficie, no son coplanares.
Esta, no pretende ser una exposición acerca de las propiedades de la materia.
Sino un ejemplo de como la Constante de Incremento Proporcional Ω es aplicable a
distintas ramas de la ciencia y tecnología, para mostrar la forma en que esta constante
aporta una perspectiva innovadora.
Esta perspectiva no es de ningún modo excluyente, sino complementaria a la
perspectiva que ofrece Л, ya que permite al mismo tiempo analizar una estructura
geométrica desde la proporcionalidad directa y desde el incremento proporcional.
Con un poco de práctica resulta sencillo y muy positivo operar de forma simultánea con
ambas constantes, porque en conjunto ofrecen mayor seguridad en los resultados,
ya que ambos métodos actúan como verificadores mutuos; y además presentan una
visión completa de la proporcionalidad que existe en la organización de los elementos
que componen a las estructuras curvas generadas con patrones radiales.
Reflexión final
En cuanto a las ventajas que ofrece la Constante de incremento proporcional Ω con
respecto a la constante Л, se puede argumentar lo siguiente: Desde que se descubrió el
número Л, se buscó aumentar su precisión descubriendo la mayor cantidad posible de
dígitos, pero aunque se aumente la precisión del valor numérico de Л, (es decir:
aunque se le conozcan infinitos dígitos después de la coma), no se puede cambiar el
orden numérico en el cual está definido Л.
Sucede lo mismo con la constante de incremento Proporcional:
Aunque se aumente la precisión del valor numérico de Ω, (es decir: aunque se le
conozcan infinitos dígitos después de la coma), no se puede cambiar el orden
numérico en el cual está definida Ω.
Este condicionamiento del orden numérico implica lo siguiente:
En el sistema de numeración decimal, Л pertenece al orden de las unidades.
Porque el “3,” del número Л: 3,141592653…, “está definido estrictamente” por la
naturaleza intrínseca de los elementos entre los cuales se estableció la
proporcionalidad, es decir: (El diámetro), puesto en proporción con (el perímetro).
Y, por el hecho arbitrario de considerar al diámetro como la unidad de medida.
Este condicionamiento también se aplica a la constante Ω:
En el sistema de numeración decimal, Ω pertenece al orden de las centésimas de
unidad.
El “21,” del número: 21,18753991…, “está definido estrictamente” por la
naturaleza intrínseca de los elementos entre los cuales se estableció la
proporcionalidad, es decir entre:
(La resta entre el perímetro y 3 diámetros) dividido tres, y el resultado puesto en
proporción con (el diámetro).
Y, por el hecho arbitrario de considerar al diámetro como la unidad de medida.
Este posicionamiento de los ordenes numéricos de ambas constantes respecto de la
unidad, que en este caso es el diámetro, implica que Л, sea 3 veces mas grande que la
unidad, y que Ω, sea 21 veces mas pequeña que la unidad y que a su vez Ω, sea
66,5 veces mas pequeña que Л.
Cada vez que se utiliza Л, el resultado obtenido se aproxima al resultado real, y cada
vez que se utiliza Ω, el resultado obtenido también se aproxima al resultado real,
pero si se utilizan la misma cantidad de decimales en ambas constantes, la
aproximación de los resultados obtenidos con Ω, es mas precisa que la obtenida con Л.
Además de las diferencias de escala, las diferencias entre Л y Ω se aprecian en el
desarrollo de las operaciones. Tenemos la posibilidad de resolver una misma incógnita
desde 2 perspectivas diferentes, con métodos y fórmulas diferentes, y basados en
constantes de proporcionalidad distintas.
Es como ir a un mismo destino pero por dos caminos diferentes, en donde el paisaje que
se presenta al ir por un camino es diferente del que se aprecia al ir por el otro.
Así también sucede cuando se calcula con estas dos constantes, Л y Ω.
El lugar de destino: (el resultado) es circunstancial, para un fin determinado,
pero el desarrollo del método: (el camino), descubre un paisaje
que puede llegar a ser asombrosamente revelador,
y llevar a descubrimientos más importantes aún que el propio objetivo inicial.
Omar Osvaldo Sierra