Constante de la elipse

Constante de la elipse
En una elipse, por definición, la suma de la longitud de ambos segmentos (azul + rojo)
es una cantidad constante, la cual siempre será igual la longitud del «eje mayor».
En la elipse de la imagen, la constante es 10. Equivale a la longitud medida desde el
foco
al punto (ubicado en cualquier lugar de la elipse) sumada a la longitud desde
el foco
a ese mismo punto . (El segmento de color azul sumado al de color rojo).
El segmento correspondiente, tanto trazo
(color azul), como al
(color rojo),
se llaman «radio vector». Los dos «focos» equidistan del centro . En la animación, el
punto recorre la elipse, y en él convergen ambos segmentos (azul y rojo).
Ecuaciones de la elipse [editar]
La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:
donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las
abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La
distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la
excentricidad y a el semieje mayor.
Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (x1, y1), la ecuación es:
En coordenadas polares una elipse viene definida por la ecuación:
La ecuación paramétrica de una elipse es:
con
, y donde el ángulo θ se puede interpretar como el ángulo polar.
Área interior de una elipse [editar]
El área de la superficie interior de una elipse es:
Siendo a y b los semiejes.[4]
Longitud de una elipse [editar]
El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de
segunda especie.
Sin embargo, el matemático Ramanujan ideó una ecuación más simple que se
aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que la
obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su formula, entre otros valores
utiliza el “semieje mayor” y el “semieje menor”. Ecuación de la longitud de una elipse:
Propiedades notables [editar]
La elipse goza de ciertas propiedades asociadas a sus componentes, como se puede
ver en Analogía de Michelson y Morley.
La elipse como cónica [editar]
La elipse surge de la intersección de una superficie cónica con un plano, de tal manera
que la inclinación del plano no supere la inclinación de la recta generatriz del cono,
consiguiendo así que la intersección sea una curva cerrada. En otro caso el corte
podría ser una hipérbola o una parábola. Es por ello que a todas estas figuras
bidimensionales se las llama secciones cónicas o simplemente cónicas.
la elipse como cónica.
La elipse como hipotrocoide
La elipse es un caso particular de hipotrocoide, donde R = 2r, siendo R el radio de la
circunferencia directriz, y r el radio de la circunferencia generatriz.
En una curva hipotrocoide, la circunferencia que contiene al punto generatriz, gira
tangencialmente por el interior de la circunferencia directriz.
La elipse como caso particular de hipotrocoide. Datos: R = 10, r = 5, d = 1.
Anamorfosis de un círculo en una elipse
Cierta trasformación de la circunferencia (al deformar ortogonalmente el plano
cartesiano asociado a ella), se denomina anamorfosis. Se corresponde a una
perspectiva especial. El término anamorfosis proviene del idioma griego, y significa
trasformar.
Una circunferencia en
cartesiano no deformado.
un
Esta circunferencia se transforma en una
plano elipse mediante una anamorfismo, donde el
eje Y se ha contraído y el X se ha dilatado.
En el caso de la circunferencia, si el plano cartesiano se divide en cuadrados, cuando
dicho plano se «deforma», la circunferencia se transforma en una elipse, y los
cuadrados se deforman en sentido del eje X, del eje Y, o de ambos.