T E S I

BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE
PUEBLA
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS
POSTGRADO EN CIENCIAS MATEMÁTICAS
Convergencia de Rayos Externos
Racionales en los conjuntos de Julia y
Mandelbrot
T
E
S
I
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
Maestro en Ciencias
PRESENTA:
Laura Angelica Cano Cordero
DIRECTOR DE TESIS:
M.C. Juan Francisco Estrada García
Puebla, Pue.; 26 de marzo de 2009.
S
Este trabajo es una ofrenda a las personas que
lograron con su presencia y apoyo este trabajo
al ser opuestos y complementarios:
mi ague y mi asesor de tesis.
Agradecimientos
Agradezco al CONACYT el haber financiado mis estudios de maestría. También
hago patente mi reconocimiento al Posgrado en Ciencias Matemáticas y al personal
administrativo del mismo, en especial al Dra. Esperanza Guzmán, directora del mismo, por el apoyo académico y las facilidades otorgadas en dos años y medio de mi
postgrado. Así como a Don Pedro quien pacientemente contribuyó a este trabajo.
Índice general
Introducción
III
1 Variedades
1.1 Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Variedades Topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Variedades diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Funciones y Aplicaciones Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Coordenadas Isotermas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Espacio tangente y cotangente. Aplicaciones inducidas . . . .
1.6 Aplicaciones isogonales e isométricas . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Aplicaciones Isométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Aplicaciones Isogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Variedades Holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Métrica de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Cubrientes Universales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1 Existencia de Superficies Cubrientes Universales . . . . . . .
1.9.2 Representación de Superficies de Riemann como espacios Cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.3 Grupo de Transformaciones Cubrientes Universales . . . . . .
1.10 Grupo de Automorfismos Biholomorfos de Dominios Canónicos . . .
1.11 Superficies de Riemann de Tipo Excepcional . . . . . . . . . . . . .
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2 Espacio Dinámico
2.1 Teoría Local . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Caso Parabólico . . . . . . . . . .
2.1.2 Conjuntos de Julia y Fatou . . . . .
2.2 Estructura del conjunto de Fatou . . . . . .
2.3 Convergencia de Rayos Externos Racionales
2.4 Conjuntos de Julia Localmente Conexos . .
2.4.1 Hiperbolicidad . . . . . . . . . . .
2.4.2 Sub hiperbolicidad . . . . . . . . .
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3 Conjunto de Mandelbrot83
3.1 Definición y Propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2 Polinomios hiperbólicos y sub hiperbólicos en el Mandelbrot . . . . . . 88
I
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ÍNDICE GENERAL
II
3.3
Convergencia de rayos externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Comentarios Finales
105
A Existencia de Puntos Periódicos
109
B Cluster Sets y Prime Ends
113
C Producto Tensorial
117
D Rayos externos en los conjuntos de Julia disconexos
119
Bibliografía
121
Introducción
“ Hay felicidad cuando nada exigimos del mañana
y aceptamos con gratitud lo que el hoy nos trae.”
El estudio dinámico de los endomorfismos racionales de la esfera inició con los trabajos de Fatou y Julia en los albores del siglo XX, ambos establecieron las propiedades
topológicas de los conjuntos resultantes de esta investigación. Sin embargo, no fue hasta
la década de los 80’s cuando el estudio de la familia polinomial cuadrática {z2 + c}c∈C
comenzó a dar sus primeros frutos teniendo como principal característica una intrincada estructura, tanto en el espacio dinámico como en el espacio de parámetros, la cual
fue revelada en los trabajos de A. Douady y John H. Hubbard.1 Teniendo como objetos centrales de estudio, los conjuntos de Julia Jc en el espacio dinámico asociado con
cada polinomio, en los cuales hay caos dinámico y, el conjunto de Mandelbrot M en el
espacio de parámetros, el cual está constituido por los parámetros c, para los cuales Jc
es conexo. Estos conjuntos plantean una gran variedad de problemas en diversas áreas
de las Matemáticas.
El propósito del presente trabajo es el estudio de algunos aspectos topológicos y
dinámicos, lo cual fue introducido por Douady y Hubbard, y simplificado posteriormente por matemáticos como J. Milnor, Carsten L. Petersen, D. Sullivan, Jean C. Yoccoz, entre otros. En lo concerniente al aspecto dinámico enunciamos los resultados
clásicos y algunos temas básicos que son imprescindibles en el estudio de la dinámica holomorfa en general. Por otra parte, en lo relativo a la parte topológica, sabemos
que la conexidad de los conjuntos de Julia está determinada por el comportamiento de
la órbita crítica. Se demuestra que si la órbita crítica es acotada entonces el conjunto de Julia es un continuo; sin embargo, la conexidad local de los conjuntos de Julia
es una propiedad topológica que requiere de un estudio más refinado, para lo cual es
necesario introducir nuevas herramientas que nos sirvan como puente entre el estudio
del comportamieno a la frontera de la transformación de Riemann de Carathéodory y
la dinámica generada por un polinomio. La herramienta que utilizamos son los rayos
externos, cuya convergencia se garantiza considerando a la cuenca de atracción del
infinito no tan sólo como un dominio del plano sino como una superficie de Riemann
hiperbólica, concepto que el primer capítulo de este texto introduce desde sus orígenes
mas rudimentarios, es decir, comenzando a estudiar las superficies en R3 continuando progresivamente hasta llegar a las superficies de Riemannn y su clasificación. Más
1 Trabajos que
se encuentran publicados en [7].
III
IV
ÍNDICE GENERAL
aún, este estudio va un poco más allá al introducir de manera sucinta la existencia y
propiedades de la métrica de Poincaré de estas superficies. Siendo la propiedad de ser
contractante en la cuenca de atracción, la propiedad clave que permite demostrar la
convergencia de los rayos externos con argumento racional.
Pero no tan sólo estudiamos la convergencia, sino también nos enfocamos en establecer la naturaleza dinámica del punto de convergencia, así como la cardinalidad de
los rayos que convergen a un mismo punto. Lo cual es el tema central del capítulo 2 de
esta tesis.
Por último, en el capítulo 3 se estudia el conjunto de Mandelbrot, el cual se demuestra es un continuo pleno. En el cual también podemos hablar de los rayos externos.
Dado que los rayos de argumento racional convergen en el espacio dinámico entonces
se demuestra que también lo hacen en el espacio paramétrico con lo cual se garantiza
que la frontera del conjunto de Mandelbrot es localmente conexo en un conjunto denso.
El presente texto incluye además cuatro apéndices cuyo propósito es ampliar algunos conceptos expuestos a lo largo del texto. Con ello, pretendemos presentar al
lector con conocimientos en Variable Compleja un texto un poco más accesible que los
textos clásicos en Sistemas Dinámicos Holomorfos.