1. Llei d'absorció La variable B no té transcendència inicial

1. Llei d'absorció
Si una variable pertany simultàniament a una branca d'un circuit pot haver−hi absorció.
La variable B no té transcendència inicial
en el circuit i es absorbida per A
Expressió F= A + AB
Resultat F= A + AB−−−−− F=A
Demostració
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
AB
0
0
0
1
AB + A
0
0
1
1
Taula de la veritat d'una absorció.
F = A (A + B) = A
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A+B
0
1
1
1
A (A + B)
0
0
1
1
2. Teorema de Shannon
Serveix per trobar el complement, o sigui, la funció inversa. El procediment és complementar cada variable i
permutar els operadors suma y producte.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
AB
0
0
0
1
AB
1
1
1
0
A+B
0
1
1
1
A+B
1
1
1
0
Exemple
F = A + B A + B = AB
F=A.BA.B=A+B
1
F=A+B=A.B
3. Teorema de Morgan
Els teoremes de Morgan ens permeten transformar funcions suma en funcions producte i a l'inreves. Això
dona l'opció a poder realitzar circuits fent servir només un sol tipus de porta.
1ª de Morgan
2ª de Morgan
3ª de Morgan
4ª de Morgan
A.B=A+B
A+B=A.B
A.B=A+B
A+B=A.B
1ª de Morgan
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A
1
1
0
0
B
1
0
1
0
AB
1
0
0
0
A+B
0
1
1
1
A+B
1
0
0
0
2ª de Morgan
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A
1
1
0
0
B
1
0
1
0
A+B
1
1
1
0
AB
0
0
0
1
AB
1
1
1
0
3 ª de Morgan
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A
1
1
0
0
B
1
0
1
0
AB
0
1
1
1
A+B
0
1
1
1
AB
1
0
0
0
4ª de Morgan
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A
1
1
0
0
B
1
0
1
0
A+B
0
0
0
1
AB
0
0
0
1
A+B
1
1
1
0
Els teoremes de Morgan també es poden demostrar com una conseqüència del teorema de Shannon. Així si a
una funció li determinem la funció complementaria i a continuació la neguem, obtindrem una funció
equivalent amb els operadors permutats.
Funció F = A + B
2
Determinem la complementaria F = A . B (Shannon)
La tornem a negar F = A . B = A + B (3ª Morgan)
Procediment per trobar funció equivalent aplicant Morgan
1º. Negar les variables i permutar els operadors.
2º. Negar la funció obtinguda.
Exemple: Trobar la funció equivalent aplicant els teoremes de Morgan.
F = ABC
1. F = A + B + C F = A + B + C
2. F = A + B + C F = A+ B + C F = ABC
EXERCICI
Donada la funció F = ( A + B ) C, determinar un altre equivalent aplicant els teoremes de Morgan, fer la taula
de la veritat i dibuixar els esquemes dels dos circuits.
F = (A + B) C ( A + B) C = (A . B) + C
F = (A . B) + C
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
(A + B)
0
0
1
1
1
1
1
1
(A + B) C
0
0
1
0
1
0
1
0
(A . B)
1
1
0
0
0
0
0
0
(A . B) + C
1
1
0
1
0
1
0
1
(A . B) + C
0
0
1
0
1
0
1
0
4. Generador de paritat.
Quan es transmet informació de manera binària per un canal podem suposar que pot tenir alteracions degut a
causes imprevistes. Una forma de reduir en gran mesura aquesta pertorbació que pot provocar informació
errònia, consisteix en afegir al missatge una informació extra que compleix la condició que sempre sigui part
el nombre de 1 en el missatge enviat. D'aquesta manera el receptor al rebre el missatge i comprovar la paritat
detectarà si ha sofert una alteració, i en cas afirmatiu rebutjarà el missatge.
La funció que compleix aquesta condició en paquets de 4 bits és F = A + B + C + D
A
0
0
B
0
0
A
0
0
B
0
1
F
0
1
3
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
5. Comparadors.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
F
1
0
0
1
F = A .B + A .B
0A=B
C
1A=B
0A=B
D
1A=B
C
0
1
1
D
0
0
1
X
1
0
0
Y
0
1
0
Z
0
0
1
6. Multiplexors.
6.1 Multiplexors de sues variables de selecció a una sola línea
És un dispositiu que permet la sortida d'unes variables d'entrada escollides.
4
C1
C2
C3
C4
AB
6.2 Multiplexor amb variable de control
Si 1 = 0 Z = 0
6.3 Multiplexor amb variable de control d'alta impedancia
C1
Z En aquest cas si la variable
C2 I=0 cal col·locar el transistor
de sortida de la porta OR en
C3 estat d'alta impedáncia i dona
un valor de sortida Z indeter−
C4 minat, és una desconexió.
ABI
Això actua com un interruptor físic, sense que ningú
Toqui cap palanca.
7. Flip − Flop
Els elements lògics estudiats fins ara presenten com a caves, el fet que no depenen d'una condició inicial
prèviament fonamental.
Són circuits de lògica combinatòria. Els ordinadors precisen d'elements que siguin capaços de recordar
condicions inicials, encara que aquestes hagin desaparegut, són circuits on les sortides depenen de les entrades
i de les condicions inicials. Reben el nom genèric de circuits de lògica seqüencial. El circuit de memòria més
senzill és el flip− flop o bàscula.
7.1 Flip−Flop tipus R−S
A
0
1
1
B
1
1
0
A
1
1
0
B
0
0
1
5
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
R = S = C Indeterminació
7.2 Bàscula
Indeterminació R = S = 1
A
0
1
1
1
0
0
0
B
1
1
0
1
1
0
1
A
1
1
0
0
1
1
1
B
0
0
1
1
0
1
0
Inici
S=1Q=1
R=0Q=0
8. Suma aritmètica
AB
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 0 i em porto 1 CARRY Circuit semiconductor
Suma aritmètica en binari
1 1 1 1 15
+ 0 1 0 1 05
1 0 1 0 0 20
16 4 20
B
A
S
C
6
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
8.2 Sumador total
Dades Suma
de
Sumar
Porta de sortida
Porta
de entrada
Ci Carry imput
Co Carry output
B3 B2
B1
B0
A3
A2
A1
A0
S3 S2 S1 So
Co
(Altres etapes)
B3 B2 B1 Bo
+ A3 A2 A1 Ao
Co S3 S2 S1 So
8.4 Circuits restadors
És necessari tenir definits números binaris amb signes. La forma de notació és el dígit és reverva el signe.
7
BS
0
1
Signe
+
−
0
magnitud
Transformació d'un número positiu a negatiu
Es fa en dos pasos:
• Es complementa el nº a convertir, (els 1 passen a 0; els 0 a 1)
• Se suma un al complement
Ex. Convertir +6 en −6
+6 0110 4 + 2 = 6
Positiu
Complementar
Sumar 1
1001
+0001
1010
2
=−6
−8
9. Circuits combinacionals
· Mapa conceptual
• Mètode de minterms
• Mètode de maxterms
· Simplificació de funcions còniques
• Postulats i propietats de l'àlgebra de Boole
• Taules de Karnaugh
· Exemples
· Exercicis
8
Normalment quan es dissenya un circuit amb portes lògiques que ha de respondre a unes condicions
imposades per l'automatisme, es pot començar fent la taula de la veritat a partir de la qual podem iniciar un
procés que ens duu el disseny del circuit, amb el mínimes portes possibles. Cal saber dos mètodes de treball
un per trobar la forma canònica i l'altre per simplificarla.
Mètode minterms
• Només ens interessen les combinacions que valen 1 a la taula de la veritat.
• Es fa una suma de termes en forma de productes de les diferents variables que intervenen a la equació.
• Les variables que valen 1 prenen el valor afirmatiu i les que valen 0 complementen.
Mètode dels maxterms
• Només interessen les combinacions que valen 0 a la taula de la veritat.
• Es fa un producte de termes en forma de suma de les diferents variables que intervenen a l'equació.
• Les variables que valen 1 prenen el valor complementat i les que valen
0 afirmatiu.
Convertir 225 en − 225
0 1 1 1 0 0 0 0 1 225
100011110
+0000000018
1 0 0 0 1 1 1 1 1 −2 + 31 − 225
Definir Construir
Dades d'entrada
Sistemes de Minterms
Simplificació Maxterms
• Algebra de Boole
• Taules de Karnaugh
a
0
b
0
c
0
f
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
9
1
0
1
0
1
1
0
1
1 1
1
1
F = abc + abc + abc + abc + abc
Equació canònica amb estructura minterms.
Mètode: suma de temes en forma de productes que intervenen en la equació. Només interessen les
combinacions que valen 1, les variables d'entrada que són 1 prenen el valor directe i les que valen 0
complementen.
Propietats i postulats de l'àlgebra de Boole.
1. Commutativa
2. Element neutre 3. Complementació
4. Associativa
Suma
5. Distributiva
Producte respecte
de la suma
Suma a + b = b + a
Suma a + 0 = a
Suma a + a = 1
a+b+c =a + (b+c) a (b+c) = ab + ac
a.1=1
Producte a . a = 0
Producte
Producte
a.b=b.a
Suma respecte del
producte
Abc = a . (b . c)
6. Absorció
7. Idempotencia
a+1=1
a+a=a
a.0=0
a.a=a
8. Doble negació
9. Dualitat
a+ (bc)=(a+b) (a+c)
10. Lleis de
Morgan
Si
a=a
a+0=a
a.1=a
Exercici
Dissenyar un circuit lògic per comandar un automatisme que és governat per 3 variables d'entrada segons la
taula de la veritat.
a
0
b
0
c
0
f
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
10
1
1
0
1
1
1
1
1
F = abc + abc + abc + abc + abc
F = ab (c + c) + ab ( c + c) + ac (b + b)
F = ab + ab + ac
IES. Numància
Sta. Coloma de Gramanet
15
Multiplexor
Multiplexor
SQ
RQ
&
=1
AS
B Co
Ci
BA
Co Ci
BA
Co Ci
BA
Co Ci
BA
Co Ci
Circuit
11
Equació simplificada
Taula de la veritat
Equació canonica
Electrònica digital II
12