I

DEFINICIONES BÁSICAS
I
GUALDAD.- Es la relación que nos indica que dos expresiones tienen el mismo valor
en un cierto orden de ideas.
CLASES DE IGUALDADES
Igualdad absoluta
Formalmente son identidades que se verifican para cualquier valor numérico de sus
letras, en la cual están definidos.
Ejemplos:
 x  2  2  x 3  6x 2  12x  8
 x  a  x  a   x2  a 2
Igualdad relativa o ecuación
Se llaman también igualdades condicionales y se verifican para algunos valores de sus
variables.
Ejemplos:
3x  2  x  2 se verifican para: x  2
5
x  1  0 se verifican para: x  1
DEFINICIÓN DE ECUACIÓN
Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en la que al menos esté presente
una variable que ahora recibirá el nombre de incógnita.
Ejemplos:
ECUACIONES ALGEBRAICAS
2
x x20
4
1

0
x x 1
:
ecuación polinomial
:
ecuación fraccionaria
x 1  3 x  0 :
ecuación irracional
ECUACIONES NO ALGEBRAICAS
x
2
:
:
ecuación exponencial
ecuación logarítmica
1
0
2
:
ecuación trigonométrica
2 1 x  0
log x  1  0
Sen x 
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
Una solución de una ecuación es una colección de valores (de las incógnitas) que al ser
reemplazadas en la ecuación transforman a esta en una proposición verdadera.
CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN (C.S)
Es aquel conjunto formado por todas las soluciones de dicha ecuación. Si la ecuación no
tiene conjunto solución, entonces su conjunto solución es el conjunto vacío (  ).
Ejemplo:
 x  3 5  x  5   x  7 8  0
Vemos que las soluciones son 5 ; 3; 7 entonces su conjunto solución es:
C.S.   5;3;7 
Para determinar el conjunto solución de una ecuación se utiliza el siguiente teorema.
ab  0  a  0  b  0
 En caso la ecuación no presenta soluciones entonces el conjunto solución será el
conjunto nulo o vacío.
Así: C.S    C.S.   
 En caso la ecuación presente infinitas soluciones entonces el conjunto de valores en
el cual existe la ecuación será el que se denomina universo.
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
Existen varias formas de clasificar a una ecuación:
A.- ATENDIENDO AL GRADO
Las ecuaciones pueden ser, de primer grado, segundo grado, de tercer grado, etc.
Ejemplos:
 primer grado
5x  3  0
2
3x  11x  5  0
 segundo grado
3
 tercer grado
B.- POR EL NÚMERO DE INCÓGNITAS
Las ecuaciones pueden ser, de una incógnita, de dos, de tres, etc.
Ejemplos:
9x  x  2  0
4
2
5x  x  3  0
 3x  5y  2
II.- De dos incógnitas: 
 4x  3y  7
I.- De una incógnita:
C.- ATENDIENDO A SUS COEFICIENTES
Las ecuaciones pueden ser numéricas o literales.
Ejemplos:
2
Numérica: 2x  6x  7  0
;
Literal:
D.- ATENDIENDO A SU ESTRUCTURA ALGEBRAICA
Las ecuaciones pueden ser.
 Ecuaciones polinomiales
 Ecuaciones fraccionarias
 Ecuaciones irracionales
 Ecuaciones trascendentes
E.- ATENDIENDO A SU SOLUCIÓN
4
3
ax  bx  c  0
Las ecuaciones pueden ser compatibles o incompatibles.
1.- ECUACIONES COMPATIBLES
Son aquellas que poseen al menos una solución, esta pueden ser:
1.1.- ECUACIONES COMPATIBLES DETERMINADAS
Una ecuación es compatible determinada, si es posible determinar la cantidad de sus
soluciones o tiene un número limitado de elementos de su conjunto solución.
Ejemplos:
x  3  5 tiene C.S.   2 
Sea:  x  1   x  2   x  3   x  4   0
C.S.  1;2;3;4 
1.2.- ECUACIONES COMPATIBLES INDETERMINADAS
Es aquella que tiene un número ilimitado de elementos en su conjunto solución.
Ejemplos:
x  3  x  3
x  x  0x  0
Ecuación compatible indeterminada pues tiene infinitas soluciones.


Sea: x  1  C.S.  1;2;3; 2;...
0
2.- ECUACIONES INCOMPATIBLES (INCONSISTENTES)
Es aquella que no tiene ningún elemento en su conjunto solución, es decir su conjunto
solución es el vacío.  C.S   
Ejemplos: Sea: 0x  2  C.S.  
3.- ECUACIONES EQUIVALENTES
Dos o más ecuaciones son equivalentes si están en una misma incógnita y tienen el
mismo conjunto solución.
x 2x
 14  C.S.  12 
Ejemplos: 
2
3
5x  36  2x  C.S.  12 
EN RESUMEN:
En la ecuación ax  b  0 , de acuerdo a los valores que tomen a y b, se tienen las
siguientes consideraciones:
La ecuación es compatible determinada
b
y el valor de “x” es único: x   .
a
La ecuación es compatible determinada y
Si: a ≠ 0 y b = 0
la ecuación tiene solución única: x=0.
Si: a = 0 y b ≠ 0
La ecuación es incompatible.
Si: a = 0 y b = 0
La ecuación es compatible
indeterminada.

 Pueden ser de 1 er , 2 do , 3 er...hasta enésimo grad o. Ejemplo:
 De acuerdo

9
8
7
5
4
3
2


x  x  2x  x  x  x  x  x  1  0
 al grado 
no

ecuación polinomial de 9 grado




 Pueden ser ecuaciones con coeficientes n uméricos o literales. Ejemplo:
 De acuerdo 
2
a sus   m  n  x   m  n  x  mn  0  coef. literal
Si: a ≠ 0 y b ≠ 0