PARCIAL 1.

Matemáticas y Vida Cotidiana II
PARCIAL 1.
ACTIVIDADES:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
SQA
Teorema de Gauss (actividad 1 página 8)
Teorema de Gauss (actividad 1 página 8)
Retrato hablado (Ecuaciones lineales)
Paraguas (Funciones y gráfica de la función lineal)
Tabulación y graficación:
a) y = x+2;
b) y = 2x;
c) y = x-2
7. Tabulación y graficación (ejercicios de la página 14)
8. Actividad 3 de la página 15.
PARCIAL 2.
ACTIVIDADES:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Sistemas lineales (apuntes y ejercicios).
Interpretación geométrica de las soluciones (apuntes).
Métodos de solución (apuntes).
Método de suma y resta (apuntes).
Método de suma y resta (ejercicios a, b y c).
Método de suma y resta (ejercicios c, d y f).
Método de sustitución (apuntes).
Método de sustitución (ejercicios a, b y c).
Método de sustitución (ejercicios c, d y f).
PARCIAL 3.
ACTIVIDADES:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Método de igualación (apuntes).
Método de igualación (ejercicios a, b y c).
Método de igualación (ejercicios c, d y f).
Método de determinantes 2x2 (ejercicios a, b y c).
Método de determinantes 2x2 (ejercicios d, e y f).
Método de determinantes 3x3 (ejercicios a y b).
Método de determinantes 3x3 (ejercicios c y d).
Método de determinantes 3x3 (ejercicios e y f).
I. C. Alejandrina Beltrán Enciso.
Matemáticas y Vida Cotidiana II
PARCIAL 2.
ACTIVIDAD 1: 1.4 SISTEMAS LINEALES.
El sistema de 2 x 2 es aquél que consta de dos ecuaciones con dos incógnitas; de 2 x 3 es el que
consta de dos ecuaciones con tres incógnita; de 3 x 3 el que consta de tres ecuaciones con tres
incógnitas y de 3 x 2 consta de tres ecuaciones con dos incógnitas. Así, un sistema de orden “m x n”
es aquél que contiene “m” ecuaciones con “n” incógnitas.
Ejemplos:
a) 3x + 2y = 5
b) 4x - y + 2z = 7
5x – 3y = 6
2x + 3y - z = 8
c)
x + y + z =1
d) x + y = 5
5x – 2y + 3z = 2
2x – 2y = -1
3x + y – 4z = 3
3x + 4y = 6
En los ejemplos anteriores, en el inciso “a” el sistema es de orden 2 x 2; en el inciso “b” el
sistema es de 2 x 3; en el inciso “c” el sistema es de 3 x 3 y en el inciso “d” el sistema es de 3 x 2.
Ejercicios:
En los siguientes sistemas de ecuaciones escriba el orden de cada uno de ellos:
a) x + 3y =-2
3x + 2y = 5
4x – 3y = -1
El sistema es de orden _________ porque tiene ___ ecuaciones
con ____ incógnitas.
b) 2x – 5y = 3
-x + 2y = -1
El sistema es de orden _________ porque tiene ___ ecuaciones
con ____ incógnitas.
c) 3x – 2y = 6
-2x + 3z = 4
4y + 2z = -2
El sistema es de orden _________ porque tiene ___ ecuaciones
con ____ incógnitas.
ACTIVIDAD 2: 1.5 Interpretación geométrica de las soluciones de los sistemas de ecuaciones.
Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultáneas cuando se satisfacen para
iguales valores de las incógnitas. Así las ecuaciones
x+y=8
x–y=4
Son simultáneas porque x = 6, y = 2 y satisfacen ambas ecuaciones.
Fig. 9 Se cortan en un punto y tiene
solución única.
Fig. 10 Son paralelas y no tienen
solución.
Fig. 11 Son la misma recta y tiene
infinitas soluciones.
I. C. Alejandrina Beltrán Enciso.
Matemáticas y Vida Cotidiana II
Dado que una ecuación lineal con dos incógnitas representa una recta, el sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas consiste en dos rectas:
a) que se intersecan en un punto cuando el sistema tiene solución única (figura 9),
b) que no se intersecan porque son paralelas y por lo tanto no tiene solución (figura 10),
c) que se sobreponen una en la otra por lo que el sistema tiene infinitas soluciones (figura 11).
Ecuaciones equivalentes son las que se obtienen una de la otra y tienen infinitas soluciones
comunes. Así, las siguientes ecuaciones son equivalentes porque al multiplicar la primera ecuación
por 2, se obtiene la segunda.
x+ y=8
2x + 2y = 16
ACTIVIDAD 3: 1.6 Métodos de solución.
Los métodos de solución son:






Gráfico
Suma o Resta
Sustitución
Igualación
Determinantes
Eliminación Gaussiana
ACTIVIDAD 4: 1.7 Método de Suma o Resta.





Este método consiste en:
Multiplicar una o las dos ecuaciones por constantes escogidas apropiadamente para obtener
ecuaciones equivalentes que tengan el mismo coeficiente en una de las incógnitas.
Después se suman o restan las ecuaciones para elimina la incógnita.
Resolver la ecuación resultante.
Sustituir el valor calculado en cualquiera de las ecuaciones originales y calcular la otra incógnita.
Para comprobarse, se sustituyen los valores calculados en las ecuaciones originales.
Ejemplos:
Sean las ecuaciones:
a) 2x + y = 3
b) x + 3y = 4
Para eliminar el coeficiente de la variable “x”, multiplicamos la ecuación “b” por -2, quedando ahora
el sistema equivalente a:
a) 2x + y = 3
c) -2x – 6y = -8
Si sumamos ambas ecuaciones tenemos por resultado que:
- 5y = - 5
5
5
Despejando y:
y 
Por lo tanto:
y =1
Enseguida, sustituimos el valor de “y” en cualquiera de las dos ecuaciones originales como
por ejemplo, en la ecuación “b”:
Sustituyendo y = 1, tenemos:
x + 3y = 4
x + 3(1) = 4
I. C. Alejandrina Beltrán Enciso.
Matemáticas y Vida Cotidiana II
Por lo tanto:
x+3=4
x = 4 – 3,
x=1
PARA COMPROBARSE: dichos valores se sustituyen en las ecuaciones originales.
En la primera ecuación:
En la segunda ecuación:
x + 3y = 4
1 + 3(1) = 4
1+3 =4
2x + y = 3
2(1) + 1 = 3
2+1 =3
ACTIVIDAD 5 y 6: Resuelva mediante el método de suma y resta.
a) 3x + 5y = -12
7x – 5y = 22
b) 6x – 5y = -43
x – 5y = -28
c) 7x + 3y = -26
4x - y = - 4
d) 9x – y = 102
x+y= 8
e) 2x – 11y = 119
4x + 3y = -37
f) 5x – 4y = 0
3x – 2y = 4
ACTIVIDAD 7: 1.8 Método de Sustitución.





Este método consiste en:
Despejar una incógnita en cualquiera de las dos ecuaciones.
La expresión calculada sustituirla en la segunda ecuación.
Se resuelve la ecuación para calcular el valor de la segunda incógnita.
Sustituir dicho valor en cualquiera de las ecuaciones originales.
Para comprobarse, se sustituyen los valores calculados en las ecuaciones originales.
Ejemplos:
Sean las ecuaciones:
a) 2x + y = 3
b) x + 3y = 4
Despejando “y” de la ecuación “a” tenemos que:
y = 3 – 2x
Sustituyendo la ecuación y = 3 - 2y en la “b”: x + 3(3 – 2x) = 4
Haciendo la multiplicación:
x + 9 – 6x = 4
Agrupando términos semejantes:
x – 6x = 4 –
9
Reduciendo términos semejantes:
- 5x = - 5
Despejando el valor de “x”:
El valor de “x” es:
x
5
5
x=1
Si sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales, encontraremos el valor
para “y”. Por ejemplo en la ecuación “a”:
Sustituimos x = 1 y tenemos:
I. C. Alejandrina Beltrán Enciso.
Matemáticas y Vida Cotidiana II
El valor de “y” es:
2x + y
2(1) + y
2+y
y
=3
=3
=3
=3-2
y =1
PARA COMPROBARSE: dichos valores se sustituyen en las ecuaciones originales.
ACTIVIDAD 8 y 9: Resuelva mediante el método de sustitución.
a) 3x + 5y = -12
7x – 5y = 22
b) 6x – 5y = -43
x – 5y = -28
c) 7x + 3y = -26
4x - y = - 4
d) 9x – y = 102
x+y= 8
e) 2x – 11y = 119
4x + 3y = -37
f) 5x – 4y = 0
3x – 2y = 4
I. C. Alejandrina Beltrán Enciso.
Matemáticas y Vida Cotidiana II
PARCIAL 3.
ACTIVIDAD 1: 1.9 Método de Igualación.





Este método consiste en:
Despejar una de las incógnitas en cada una las ecuaciones originales.
Igualar las dos expresiones obtenidas.
Resolver la ecuación con una sola incógnita.
Sustituir el valor calculado en cualquiera de las ecuaciones originales.
Para comprobarse, se sustituyen los valores calculados en las ecuaciones originales.
Ejemplo:
Sean las ecuaciones:
a) 2x + y = 3
b) x + 3y = 4
Despejando “y” de las ecuaciones “a” y “b” tenemos que:
De la ecuación “a”:
y = 3 – 2x
De la ecuación “b”:
y 
4x
3
Igualando las ecuaciones despejadas “a” y “b” se tiene que:
4x
3 – 2x =
3
Multiplicando por 3 ambos miembros de la ecuación:
3(3 – 2x) =
3 (4  x )
3
Se obtiene:
9 – 6x = 4 – x
Agrupando términos semejantes: x - 6x = 4 – 9
Reduciendo términos semejantes: -5x = -5
Despejando el valor de “x”:
x
5
5
Por lo tanto:
x=1
Si sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales, encontraremos el valor para
“y”.
ACTIVIDAD 2 y 3: Resuelva mediante el método de igualación.
a) 3x + 5y = -12
7x – 5y = 22
b) 6x – 5y = -43
x – 5y = -28
c) 7x + 3y = -26
4x - y = - 4
d) 9x – y = 102
x+y= 8
e) 2x – 11y = 119
4x + 3y = -37
f) 5x – 4y = 0
3x – 2y = 4
I. C. Alejandrina Beltrán Enciso.
Matemáticas y Vida Cotidiana II
1.10. Método por Determinantes.
Determinantes de 2 x 2.
Este método se emplea para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas y consiste
en:
 Formar un determinante general.
 Formar un determinante para cada una de las variables del sistema.
 Los símbolos son: determinante general (), determinante para “x” (x) y determinante para “y”
(y).
 La solución se obtiene al aplicar la Regla de Cramer:
x
Δx
Δ
y
Δy
Δ
El determinante de segundo orden se obtienen al multiplicar los términos de la diagonal
principal y restar el producto de los términos de la diagonal secundaria.

a b
 a dcb
c d
Por ejemplo, al calcular el determinante de segundo orden del siguiente arreglo de números el
procedimiento es:

4 5
 4(3)  2(5)  12  10  2
2 3
El determinante general se forma con los coeficientes de las columnas de las variables “x” y
“y”, en ese orden y se obtiene restando el producto de sus diagonales en el orden indicado enseguida:
El determinante para “x” se forma con las columnas de las constantes y de los coeficientes de
la variable “y”, en ese orden y se obtiene restando el producto de sus diagonales en el orden indicado
enseguida:
El determinante para “y” se forma con las columnas de los coeficientes de la variable “x” y
de las constantes, en ese orden y se obtiene restando el producto de sus diagonales en el orden
indicado enseguida:
ACTIVIDAD 4 y 5: Resuelva mediante el método de determinantes de 2x2.
a) 3x + 5y = -12
7x – 5y = 22
b) 6x – 5y = -43
x – 5y = -28
c) 7x + 3y = -26
4x - y = - 4
d) 9x – y = 102
x+y= 8
e) 2x – 11y = 119
4x + 3y = -37
f) 5x – 4y = 0
3x – 2y = 4
Respuestas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
x = 1, y = -3
x = -3, y = 5
x = -2, y = -4
x = 11, y = -3
x = -1, y = -11
x = 8, y = 10
I. C. Alejandrina Beltrán Enciso.
Matemáticas y Vida Cotidiana II
1.11 Determinantes de 3x3.
Este método se emplea para resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas y consiste
en:
 Formar un determinante general.
 Formar un determinante para cada una de las tres variables del sistema.
 Los símbolos son: determinante general (), determinante para “x” (x), determinante para “y” (y)
y determinante para “z” (z).
 La solución se obtiene al aplicar la Regla de Cramer:
x
y
z
x

y

z




Ejemplos:
Sea el sistema de ecuaciones:
a) 2x + y – 3z = 12
b) 5x – 4y + 7z = 27
c) 10x + 3y – z = 40
Para facilitar el proceso de cálculo de un determinante de 3x3 se recurre a la Regla de Sarrus
que consiste en repetir los primeros dos renglones o las primeras dos columnas del arreglo obtenido al
formar los determinantes.
El determinante general es:
Aplicando la Regla de Sarrus:
2
2
 5
10
1
3
4
7
3
1
5
  10
2
5
1
3
4
3
7
1
1 3
4 7
De las flechas hacia arriba, la suma de sus productos es:
(10)(-4)(-3) + (2) (3) (7) + (5) (1) (-1) = 120 + 42 – 5 = 157
De las flechas hacia abajo, la suma de sus productos es:
(2)(-4)(-1) + (5) (3) (-3) + (10) (1) (7) = 8 - 45 + 70 = 33
El resultado del determinante general es la diferencia de la suma hacia abajo menos la suma
hacia arriba:
 = 33 – 157 = -124
El determinante para “x” se obtiene con las columnas de las constantes y de los coeficientes
de las variables “y” y “z”, en ese orden.
El determinante para “y” se forma con los coeficientes de las columnas de la variable “x”, de
las constantes y de los coeficientes de la variable “z”, en ese orden.
El determinante para “z” se obtiene con los coeficientes de las columnas de las variables “x”
y “y” y de la columna de las constantes, en ese orden.
La solución del sistema de 3x3 se obtiene al aplicar la Regla de Cramer.
x
x  620

5

 124
y
y
496

 4
  124
z
z
248

 2
  124
La solución es para x = 5, y = -4 y z = -2.
PARA COMPROBARSE: dichos valores se sustituyen en cualquiera de las tres ecuaciones
originales.
I. C. Alejandrina Beltrán Enciso.
Matemáticas y Vida Cotidiana II
ACTIVIDADES 6, 7 y 8: Resuelva mediante el método de determinantes de 3x3.
a)
x + 3y – 2z = 15
2x – 2y + 3z = 18
3x + 4y + z = 48
b) 3x + 4y - z = - 1
x + 5y + 3z = 6
2x - y - 6z = -13
c)
2x – 2y + 4z = -14
x + y – 5z = 4
-4x + 5y + 3z = 19
d)
x + 4y – z = 6
2x + 5y - 7z = -9
3x - 2y + z = 2
e)
x + 2y + 4z = 11
-3x + 4y + z = 11
-2x + 6y – 3z = - 2
f) -2x + 3y – 4z = -4
-4x – 6y – 8z = 0
6x – 9y + 12z = 12
Respuestas:
a) x = 8, y = 5, z = 4
b) x = 2, y = -1, z = 3
c) x = -3, y = 2, z = -1
d) x = 1, y = 2, z = 3
e) x = -2, y = 0.5, z = 3
f) x = 1, y = -2/3, z = 0
I. C. Alejandrina Beltrán Enciso.