Demostraciones Conicas

Algunas demostraciones de cónicas
1.- Deducción de la ecuación canónica de la elipse
Desarrollaremos la demostración del cálculo de la ecuación canónica de una elipse con centro
coincidente con el origen de coordenadas y diámetros mayor y menor coincidentes con los ejes x
e y respectivamente.
Si P(x,y) es un punto perteneciente a la elipse, se verifica, por aplicación de la definición de esta
cónica, que:
PF + PF’ = constante (1)
Como el vértice A pertenece a la elipse,
AF + AF’ = constante (2)
De acuerdo al gráfico, AF = a – c y AF’ = a + c (3)
Reemplazando las expresiones indicadas en (3) en la ecuación (2) y simplificando resulta:
PF + PF’ = 2a
siendo 2a la longitud del diámetro mayor.
Además, como B pertenece también a la elipse, BF + BF’ = 2a (4)
Los triángulos rectángulos BOF y BOF’ son iguales por tener un cateto común, los otros catetos
iguales (igual a la semidistancia focal c) y el ángulo comprendido igual (se trata del ángulo
recto)
En consecuencia, las hipotenusas BF y BF’ son iguales y reemplazando en (4) resulta:
2 BF = 2a  BF = a
En el triángulo rectángulo BOF, aplicando el Teorema de Pitágoras,
BF2 = BO2 + OF2 (5)
Como BF = a (semidiámetro mayor); BO = b (semidiámetro menor) y OF = c (semidistancia
focal), reemplazando en (5) resulta:
a2 = b2 + c2 (6)
que es la relación que vincula estos elementos de la elipse.
Apoyándonos en las deducciones anteriores, y a partir de la definición de la elipse, resulta:
PF + PF’ = 2a
[(c – x)2 + y2]½ + [(c + x)2 + y2]½ = 2a
[(c + x)2 + y2]½ = 2a - [(c – x)2 + y2]½
Elevando ambos miembros al cuadrado y operando:
c2 + 2cx + x2 + y2 = 4a2 -4a[(c – x)2 + y2]½ + c2 – 2cx + x2 + y2
Simplificando y ordenando los términos de la ecuación precedente:
cx = a2 - a[(c – x)2 + y2]½
a2 – cx = a[(c – x)2 + y2]½
Elevando nuevamente al cuadrado miembro a miembro para eliminar la raíz:
(a2 – cx)2 = (a[(c – x)2 + y2]½)2
a4 – 2cxa2 + c2x2 = a2c2 – 2cxa2 + a2x2 + a2y2
Simplificando y agrupando:
a4 - a2c2 = a2x2 - c2x2 + a2y2
a2(a2 – c2) = (a2 – c2)x2 + a2y2
(a2 – c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2)
Aplicando la ecuación (6) en la expresión anterior:
b2x2 + a2y2 = a2b2
Dividiendo miembro a miembro por a2b2 y simplificando:
(b2x2 + a2y2) / a2b2 = a2b2 / a2b2
x2/a2 + y2/b2 = 1
que es la ecuación canónica de la elipse.
2.- Deducción de la ecuación canónica de la hipérbola
Se propone al alumno que realice por sí la deducción de la ecuación canónica de la hipérbola,
aplicando un procedimiento similar al utilizado en el punto precedente para la elipse.
Debe tenerse en cuenta que si P (x,y) es un punto de la hipérbola, por definición,
|PF – PF’| = constante (1)
donde F y F’ son los focos de la hipérbola.
La constante es igual a 2a, siendo 2a la longitud del diámetro real o eje transverso de la cónica.
La deducción es semejante a la que se empleó con la elipse.
La relación entre el semidiámetro real a, el semidiámetro imaginario b y la semidistancia focal c
es en la hipérbola igual a:
c2 = a2 + b2 (2)
Utilizando la definición de la hipérbola dada por la relación (1) y la ecuación (2) es posible,
reiteramos, empleando un mecanismo similar al usado con la elipse, obtener la ecuación
canónica de la hipérbola:
x2/a2 - y2/b2 = 1
La anterior es una hipérbola cuyo diámetro real coincide con el eje x y cuyo diámetro imaginario
coincide con el eje y.
3.- Ecuaciones paramétricas de las cónicas
En los archivos adjuntos se deducen las ecuaciones paramétricas de las cónicas.