Determine el período de las pequeñas oscilaciones de un trozo de

Determine el período de las pequeñas oscilaciones de un trozo de alambre de radio r,
densidad lineal  . Ver figura.
Y
O
X

r
O’
Para resolver el problema se puede utilizar la formulación lagrangiana. En ella hay que:
1. los grados de libertad del sistema,
2. elegir las coordenadas generalizadas correspondientes,
3. expresar la energía cinética y potencial en función de dichas coordenadas
generalizadas
4. construir la lagrangiana
5. y resolver las ecuaciones de movimiento de Lagrange.
Este sistema posee un solo grado de libertad, por lo que sólo se necesita una única
coordenada generalizada que tomaremos como el ángulo  , indicado en la figura
Y
O
X
CM
r

Como sabemos la Lagrangiana, L , viene dada por la diferencia entre la energía
cinética, T , y la potencial, V . La energía cinética será la correspondiente a la rotación
entorno del punto O:
1
T  I o 2
2
y la potencial será:
V  mg l sen
(1)
(2)
donde l es la distancia del Centro de Masas del trozo de alambre al punto de
suspensión O. Por tanto, la lagrangiana vendrá dada por
1
L  T  V  I o 2  m g l sen .
2
(3)
Y la ecuación de movimiento será
d  L  L
 0; I o  m g l sen =0


dt    
(4)
Que para pequeñas oscilaciones queda como:

mgl
 =0
Io
(5)
Ecuación que se corresponde con un movimiento armónico simple de período
Io
.
mgl
  2
(6)
Por tanto, para dar una expresión definitiva, y más adecuada del período hemos de
determinar la distancia del punto de suspensión al centro de masas y el momento de
inercia del trozo de alambre respecto del punto de suspensión.
Primero determinemos la posición del centro de masas. Para ello consideremos un
sistema de ejes paralelos a los que se presentan para el punto O, pero centrados en O’.
Si se utilizan coordenadas angulares medidas a partir del eje Y con centro en O’
tendremos para la posición y del centro de masas la expresión

myCM 



ydm=  r cos  rd = r


2
2
 cos d = r sen

y por tanto
yCM  r


 2 r 2sen (7)
sen

(8)
al se la masa del alambre m  2 r .
Por lo tanto, la distancia del punto de suspensión al centro de masas será
 sen 
l  r 1 
.
 

(9)
Finalmente hemos de determinar el momento de inercia I o . Para ello utilizaremos el
teorema de Steiner:
(10)
I  ICM  md 2
Que nos da el momento de inercia respecto de un eje conocido el de un eje paralelo al
mismo y que pase por el centro de masa y la distancia d entre ambos ejes.
Esta expresión nos permite determinar el momento de inercia respecto del centro de
2
masas a partir del momento de inercia respecto del punto O’, I O '  mr ,
I CM
y por tanto
2
  sen 2 
 sen 
2
 IO '  m  r
  mr 1     
  
 
 
(11)
I o  I CM
2
  sen 2 
 sen 
2
 mr 1 
  mr 1      



 
 
2
2




 sen 
sen

sen

mr 2 1  2

  2mr 2 1 













Es decir,
I0  2mrl .
(12)
(13)
De donde finalmente el período será
  2
Io
2mrl
2r
 2
 2
.
mgl
mgl
g
(14)